组合数学题库答案
填空题
1．将5封信投入3个邮筒，有_____243 _种不同的投法．
2．5个男孩和4个女孩站成一排。如果没有两个女孩相邻，有 43200 方法．
3．22件产品中有2件次品，任取3件，恰有一件次品方式数为__ 380 ______．
4．6
()x y +所有项的系数和是_64_ _．答案：64 5．不定方程1232++=x x x 的非负整
数解的个数为_ 6 ___．
6．由初始条件f f (0)1,(1)1==及递推关系)()1()2(n f n f n f ++=+确定的数列
f n n {()}(0)≥叫做Fibonacci 数列
7．（3x-2y ）20
的展开式中x 10y 10
的系数是
10
1010
20
)2(3-c ． 8．求6的4拆分数P 4(6)= 2 ．
9．已知在Fibonacci 数列中，已知f f f (3)3,(4)5,(5)8===，试求Fibonacci 数
f (20)=10946
10．计算P 4(12)=
k k P P P P P P 4
412341
(12)(12)(8)(8)(8)(8)
===+++∑k k k k P P P P 34
121
1
(8)(8)(5)(4)145515===+++=+++=∑∑
11．P 4(9)=（ D ）A ．5 B. 8 C. 10 D. 6 12．选择题
1．集合A a a a 1210{,,,}=L 的非空真子集的个数为（ A ） C. 1024 2．把某英语兴趣班分为两个小组，甲组有2名男同学，5名女同学；乙组有3名男同学，6名女同学，从甲乙两组均选出3名同学来比赛，则选出的6人中恰有1名男同学的方式数是（ D ）
A ．800 B. 780 C. 900 D. 850
3．设x y (,)满足条件x y 10+≤，则有序正整数对x y (,)的个数为（ D ） A. 100 C. 50
4．求60123(32)+++x x x x 中x x x 23
012项的系数是（ C ）
B. 60
5．多项式40123(24)x x x x +++中项22
012x x x ??的系数是（ C ）
A ．78 B. 104 C. 96 D. 48
6．有4个相同的红球，5个相同的白球，那么这9个球有（ B ）种不同的排列方式 A. 63 B. 126 C. 252
7．递推关系f n f n f n ()4(1)4(2)=---的特种方程有重根2，则（B ）是它的一般解 A ．n n c c 1
122
2-+ B. n c c n 12()2+ C. n c n (1)2+ D. n n c c 1222+
8．用数字1,2,3,4（数字可重复使用）可组成多少个含奇数个1、偶数个2且至少含有一个3的n n (1)>位数（ ）运用指数生产定理 A.n
n n
43(1)4
-+- B. n n 4314-+ n n
4213-+. n n n 43(1)3
-+-
9．不定方程()12n x x x r r n +++=≥L 正整数的解的个数为多少（ A / C ）不确定
A.1r r n -??
?-?? B.r r n ?? ?-?? C.1n r r +-?? ??? D.1n r r n +-??
?-??
10．x x x 12314++=的非负整数解个数为（ A ） D. 50
11．从1至1000的整数中，有多少个整数能被5整除但不能被6整除（ A ）
12．期末考试有六科要复习，若每天至少复习完一科（复习完的科目不再复习），5天里 把全部科目复习完，则有多少种不同的安排（ D ） A. 9 B. 16
13．某年级的课外学科小组分为数学、语文二个小组，参加数学小组的有23人，参加语文小组的有27人；同时参加数学、语文两个小组的有7人。这个年级参加课外学科小组人数（ C ）。 A ．50
B ．57
C ．43
D ．11
14．将11封信放入8个信箱中，则必有一个信箱中至少有（ B ）封信。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
15．组合式???
?
??50120与下列哪个式子相等（ B ） A 、????
??60120 B 、???? ??50119+???
? ??49119 C 、512
???? ??49120 D 、???
? ??49119 16．在{1，2，3，4,5,6}全排列中，使得只有偶数在原来位置的排列方式数为（ A ）。 A 、 2 B 、 4 C 、 9 D 、 24 17．若存在一递推关系01124,9
56(2)
n n n a a a a a n --==?
?
=-≥?则=n a ( A ).
A.n
n
323+? B.n
n
232+? C.1
23+?n D.11
32
3+++?n n
18．递推关系n n n n a a a n 12432(2)--=-+≥的特解形式是（ B ）（a 为待定系数） A.n an 2 B. n a 2 C. n an 32 D. n
an 22 19．错位排列数n D =( C ) 答案：C
A.n n nD 1(1)++-
B. n n n D (1)(1)++-
C. n n nD 1(1)-+-
D. n n n D 1
(1)(1)+++-
20．有100只小鸟飞进6个笼子，则必有一个笼子至少有（ C ）只小鸟 A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
21．10个节目中有6个演唱，4个舞蹈，今编写节目单，要求任意两个舞蹈之间至少有1个演唱，问可编写出多少种不同的演出节目单)4,7()6,6(4
44
76
6P P A C A ?； 22．数列0{}n n ≥的生成函数是（ D ）。 A 、
()()211t t +- B 、 ()211t - C 、 ()()311t t t +- D 、()
2
1t t -
23．6个男孩和4个女孩站成一圈，如果没有两个女孩相邻，有（ C ）种排法。 A 、(6,4)P B 、6!(6,4)P ? C 、
6!
(6,4)6
P ? D 、6!(7,4)P ? 24．排A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母，使A ，B 之间恰有2个字母的方式数（ D ）。 A 、12 B 、72 C 、36 D 、144 25．求多重集S a b c {3,2,4}=的8-排列数是（ C ） A. 700 B. 140 C. 1260 D. 1200
26．一糕点店生产8种糕点，如果一盒内装有12块各种糕点，并且可以认为每种糕点无限
多，那么你能买到多少种不同的盒装糕点（假设装盒与顺序无关）（ B ） Ａ．50000 Ｂ．50388 Ｃ．55000 Ｄ．52788
27．在一次聚会上有15位男士和20位女士，则形成15对男女一共有多少种方式数（ A ） A ．20!5! B. 20!15!
C. 2015
D. 15
20
28．n a n =的生成函数是（ D ） A ．x 21(1)- B. x x 22
(1)- C. x 21(1)-- D. x x 2(1)-
计算题
1．试确定多重集123={1,,,,}k S a a a a ?∞?∞?∞?L 的r -组合数。 解：把S 的r —组合分成两类：
①包含1a 的-r 组合：这种组合数等于-
?∞????∞?∞）的（1
-r },,,{32k a a a 即)1,3()1,1)1()1((1--+=---+-=r r k C r r k C N
②不包含1a 的-
r 组合：这种组合数等于-
?∞????∞?∞r a a a k 的},,,{32组合数 即
),2(),1)1((2r r k C r r k C N -+=-++=
由加法法则，所求的-
r 组合数为),2()1,3(21r r k C r r k C N N N -++--+== 2．求S a b {5,3}=的6-排列数
解： 根据题意有：M a b M a b M a b 123{5,},{4,2},{3,3}===
N N N 1236!6!6!
6,15,205!1!4!2!3!3!
=
=====则的全排列数N N N N 12341=++= 3．求x x x 2
36
(1234)+++展开式中x 5
的系数
4．求n
x x )21(2++的展开式中5
x 的系数,其中3≥n 。 ???
?
??52n （3≥n ）
解：n x x )21(2++=n
n x x 22)
1())1((+=+。 又因为∑=???
? ??=+n
k k
n
x k n x 2022)
1( 所以5
x 的系数为???
?
??52n （3≥n ）
5．(1)求5n a n =+的生成成函数。（0≥n ） 解：设0
()n
n n A t a t
∞
==
∑，则0
()(5)(1)4n
n
n
n n n A t n t
n t t ∞
∞∞
====
+=++∑∑∑
212
144(1)4(1)(1)t t t t --+-=-+-=
-254(1)t
t -=- (2)解递归关系：H n H n H n ()4(1)4(2)=---， H H (0)1,(1)3==。 答案：解特征方程x 2
-4x-4=0 x 1=x 2=2. 得H(n)=2n
{1+n/2} 6．求重集S a b c {20,14,20}=g g g 的10-组合数。 答案：C(10+3-1 , 10) 7．a b c d 100
()
+++的展开式在合并同类项后一共有多少项
答案：C(100+4-1 , 100).
8．解递推关系.4
49
,4272651021==++-=--a a n a a a n n n ，（2≥n ） 解：递推关系2
165---=n n n a a a ()2≥n （1）
的特征方程为0652=+-x x ，特征根为.3,221==x x 故其通解为
.3221n n n c c a ?+?=
因为（1）式无等于1的特征根，所以递推关系
()226521≥++-=--n n a a a n n n （2）
有特征根B An a n +=，其中A 和B 是待定常数，代入（2）式得
2])2([6])1([5+++--+-=+n B n A B n A B An
化简得,2722+=-+n A B An 所以 解之得.411,21==
B A 于是,4
1
213221++?+?=n c c a n n n 其中21,c c 是待定常数。由初始条件得???
???
?=+++=++44941121324
27411212
1c c c c 解之得.1,321==c c 所以).2(4
11
21323≥++
+?=n n a n n n 9.解递推关系n n n a a a n a a 120156235,10.--=-+-==，（2≥n ） 解：递推关系2
165---=n n n a a a ()2≥n （1）
???=-=2
721
2A B A
的特征方程为0652=+-x x ，特征根为.3,221==x x 故其通解为
.3221n n n c c a ?+?=
因为（1）式无等于1的特征根，所以递推关系
()2326521≥-+-=--n n a a a n n n （2）
有特征根B An a n +=，其中A 和B 是待定常数，代入（2）式得
32])2([6])1([5-++--+-=+n B n A B n A B An
化简得,32722-=-+n A B An 所以
解之得.2,1==B A 于是,23221++?+?=n c c a n
n n 其中21,c c 是待定常数。由初始
条件得??
?=+++=++10
2232522121c c c c
解之得.1,221==c c 所以).2(23321≥++++=+n n a n
n n n
答案：n n n a n 1232+=+++
10．求1到1000之间不能被5 ，6 ，或8整除的自然数的个数。
解：设A 为1至1000的整数中能被5整除的数的个数；B 为1至1000的整数中能被6整除的数的个数；C 为1至1000的整数中能被8整除的数的个数.
则8
1201000,41241000,25401000,33301000,12581000,16661000,20051000=???
???==??????==??????==??????==??????==??????==??????=C B A C B C A B A C B A I I I I I
所以
400
8412533125166200C B A =+---++=+---++=C B A C B C A B A C B A I I I I I Y Y
即所求为：6004001000=-.
11．在所有的n 位数中，包含数字3、8、9但不包含数字0、4的数有多少 解：除去0、4，则在1、2、3、5、6、7、8、9这8个数组成的n 位数中: 令S 表示由这8个数字组成的所有n 位数的集合，则n
S 8=； 令P 1表示具有性质：一个n 位数不包含3； 令P 2表示具有性质：一个n 位数不包含8； 令P 3表示具有性质：一个n 位数不包含9；
??
?-=-=3
722
2A B A
令i A 表示S 中具有性质i P 的元素构成的集合i (1,2,3)= 则有容斥原理，
i i A A A S A A A A A A A 3
1231223131||(||||||)==-+++∑I I I I I A A A 123||-I I
而n i A i ||7,1,2,3;==n A A A A A A 122313||||||6===I I I ，n A A A 123||5=I I
所以n n n n A A A 123837365=-?+?-I I
12．求45
(123)++x x 的展开式中3
x 的系数。
解：原式=45
(123)++x x =
454424334244
555555(3)(12)(3)(12)(3)(12)(3)(12)(3)
012345(12)5??????????++++++++ ? ? ? ? ???????????
??
++ ???
x x x x x x x x x x 所以3
x 的系数52?? ???
32?=80
13．请确定在81234(22)x x x x -+-的展开式中2321234x x x x 项的系数。
()3
!8)8(!2!3!2!8)2()2()
1(12
13
2
8
2312
=-?=-??-??
试确定多重集1234={,3,5,7}S b b b b ∞????的10-组合数。
解：构造多重集S ’={∞*b1, ∞*b2, ∞*b3, ∞*b4}，令S ’ 的所有10?组合构成的集合为S ，有|S|=C(4+10-1,10)。令B 为至少出现4个b2的组合构成的集合， C 为至少出现6个b3的组合构成的集合，D 为至少出现8个b4的组合构成的集合。
由于B 中的每一个10?组合至少含有4个b2，故这样的一个组合相当于S ’ 的一个6?组合，反之， S ’ 的一个6?组合加上4个b2就得到了B 的一个10?组合。这两种选法是一一对应的。故|B|=C(4+6-1,6)，同理有|C|=C(4+4-1,4)，|D|=C(4+2-1,2)。 类似的分析可得
|B ∩C|=C(4+0-1,0)，|B ∩D|=0，|C ∩D|=0，|B ∩C ∩D|=0。 根据容斥原理，S 的10?组合数为286-(84+35+10)+(1+0+0)-0=158 14．解递推关系：
12015623(2)
5,10
n n n a a a n n a a --=-+-≥??
==? 解：特征方程为 2
560x
x --=，特征根为1231,2,2x x x ===
所以对应的齐次递推关系式有1223n n
n a c c =?+?的通解
原递推式有特解为26n n a An a -=-，代入原递推式得A=1，D=2，因此原递推式有通解
12232n n n a c c n =?+?++，再将015,10a a ==代入通解得122,1c c ==，所以1232n n n a n +=+++
14.有红球4个，黄球3个，白球3个，把它们排成一条直线，有多少种排法 解：由定理得： 4200!
3!3!4)!334(=++=N
15．求{4,3}M a b =??的5-可重排列数。
解法1：23234
A(t)=(1+t+)(1)2!3!2!3!4!
t t t t t t +++++
所以 5
t 的系数为：
111
4!2!3!3!2!
++ 则55!t 的系数为：5!（111
4!2!3!3!2!
++）=25
{4,3}M a b =??的5-排列数有1{4,1}M a b =??, 2{3,2}M a b =??, 3{2,3}M a b =??三
种情况。1235!5!5!
,,4!3!2!2!3!
N N N =
==
?? 1235101025N N N N =++=++=
15．求x x x 1232428++=的正整数解的个数 解：
A x x x x x x x 22448()()()()=++++++L L L x x x x x x 72244(1)(1)(1)=++++++++L L L
x x x x x x x x x x x x 7
247
7
22
22443(1)(1)(1)(1)(1)(1)
(1)(1)(1)---+++=
=
---
证明题
1．证明：边长为4的正三角形内任意5个点必有两点其距离不超过2。
答案：取个边中点将三角形等分为四个边长为2的三角形。则5个点中必然有两个落在同一个三角形内。
2．设12,,,n x x x L 是n 个正整数，证明其中存在着连续的若干数，其和为n 的倍数。
如果存在
，的余数记作除以把答案：令10,,2,1,21-≤≤=+++=n r r n s n i x x x s i i i i i ΛΛ0,,2,10,21≠=+++=i i i r n i i n x x x r i 都有，整除，如果对于所有的可以被，则使得ΛΛj k r r k j n r n k j i φΛ，满足和原理必存在种可能的取值，由割巢，，，只能有个那么=-12,1整除可以被因此：n x x x s s j k k k j +++=-++Λ21
3.设S 是n 元集，则S 的子集数是2(,0)(,1)(,)n C n C n C n n =+++L 。
n
s n n C n C n C s r s r n C r s r s n r 2),,()1,()0,(),(,,,1,0是法则得不同的子集总数于是由乘法子集或不属于该子集，元素有两种选择属于该的某子集时可以对每个另一方面，构成的子集数是，元子集数根据加法法则的就是组合，因此的一个元子集就是的每个答案：对于+++-=ΛΛ
4．某学生在37天里共做了60道数学题。已知他每天至少做1道题，求证：必存在连续的若干天，在这些天里该学生恰做了13道数学题。
证明：设该同学从第1天至第()1,2,,37i i =L 天共做了i a 道数学题，则
.601372≤<<<≤a a a i Λ
()37,,2,113Λ=+=i a b i i 令， 则 12371473.b b b ≤<<≤L
{}{}{}11237212371273,,,,,,,,A A a a a A b b b ===L L L 令，，，，则12.A A A ??
如果12A A ?=?，则
1212373774,A A A A A ≥?=+=+=这与73A =矛盾，所以12A A ?≠?，从而存在
12,,k l a A b A ∈∈使得,k l a b =即13,k l a a =+13,k l a a -=这表明该学生从第1l +天到第k
天共做了13道数学题。
5．证明 ：C n C n n 2
(2,2)2(,2)=+。这里，C m n (,)表示从m 个对象中取n 个的方法数。 答案：等式左边表示从2n 个不同的球中取两个球的方法数。我们把2n 个球平均分成A ，B 两组，选球的方法有以下两类：去自同一组的选法数为12(,2)N C n =; 取自不同组的球的
方法数为222[(,1)]N C n n ==
6．如n, r ∈N 且n ≥r ≥2，则P(n,r)= r ×P(n-1,r-1)+P(n-1,r) 。
证明：当r ≥2时，把集合A 的r ?排列分为两大类：一类包含A 中的某个固定元素，不妨
设为a 1，另一类不包含a 1 。第一类排列相当于先从A-{a 1}中取r-1个元素进行排列，有P(n-1,r-1)种取法，再将a 1放入每一个上述排列中，对任一排列，a 1都有r 种放法。由乘法法则，第一类排列共有r ×P(n-1,r-1)个。第二类排列实质上是A-{a 1}的r ?排列，共有P(n-1,r)个。再由加法法则有P(n,r)= r ×P(n-1,r-1)+P(n-1,r) 证毕。 7．用非降路径法证明：
C m n n C m n n C m n n (,)(1,1)(1,)+=+--++-
这里，C m n (,)表示从m 个对象中n 取个元素的方法数。
答案：（0,0）到（m,n ）的路径数为C(m+n , n); 又，(0,0)到(m,n) 的任一路径必过(m-1,n)或 。故，等式成立；
8．证明：0110m n m n m n m n r r r r +??????????????
+++= ??? ??? ??? ?-??????????????
L 。
解：证明：法1, 设A={am},B={bn},且A ∩B=Φ，则A ∪B=C 有m+n 个元素。C 的r ?组合个数为C(m+n,r)，而C 的每个r ?组合无非是先从A 中取k 个元素，再从B 中取出r-k 个元素组成(k=0,1,…,r)。由乘法法则共有C(m,k)C(n,r-k)种取法，再由加法法则即可得证。
应用题
1．一次宴会，5位来宾寄存他们的帽子，在取帽子的时候有多少种可能使得没有 一位来宾取回的是他自己的帽子
44种可能使得没有一位来宾取回的是他自己的帽子。 解：属于重排问题，所求为5D 。4451413121111!5D 5=-+-+-=）！
！！！！（………（6分）
2.n 对夫妻围圆桌就座，要求每对夫妻不相邻，问有多少种入座方式
()()()())!
1(2)1()!42(2)!
32(2)!22(2)!12()!1(21,)!2(2(2,,2,1,)!2(2(2)!
1(2(,,2,1,2.,,2,1,,,,,,,3
3
2
2
1
212121--++--
-+---=-=???≤≤=?=====n n n n n N n A A A n j i n A A n
i n A n s n i A p s n s n i y x p y y y x x x n n
n n
n n
n n n n j i i i i i i i n n ΛΛΛ
πΛΛΛΛΛ由包含排斥原理得那么有的子集为的满足性质构成的集合，个人的全体环排列为令相邻，其中与表示设他们的妻子分别记为个丈夫记为解：将
2．用17张100元钱买3支股票，不要求每支股票都买，但要求买A 股钱数必须 是200的倍数，买B 股钱数是400的倍数，求有多少种买法 25种买法。
解：此题等同于求方程1742321=++x x x 的非负整数解的个数。
方程通过换元可变为：17321=++y y y ，其中1y 为非负整数，2y 为非负偶数，3y 为非负的4的倍数的整数。
由此构造常生函数： )1)(1)(1(8
4322ΛΛΛ+++++++++t t t t t t 所求为常生成函数的17
t 的系数，化简生成函数为：
2
424
2)1)(1)(1(111111--++=-?-?-t t t t
t t ，可求得公式得18t 的系数为25。 3．方程304321=+++x x x x 有多少满足21≥x ，02≥x ，53-≥x ，84≥x 的整数解 解 进行变量代换：
211-=x y ，22x y =，533+=x y ，844-=x y
则方程变为
254321=+++y y y y
原方程满足条件的解的个数等于新方程的非负整数解的个数。新方程的非负整数解的个数为
3276!326
27283282528251425=??=???
? ??=???? ??=???? ??-+ 3．用四种颜色（红、蓝、绿、黄）涂染四台仪器,,A B C 和D 。规定每台仪器只能用一种颜色并任意两台仪器都不能相同。如果B 不允许用蓝色和红色，C 不允许用蓝色和绿色，D 不允许用绿色和黄色，问有多上种染色方案
4
14-21036-44.54,10,64106132132=??+?====+++=！！！！方案数是所求的根据定理从而得到答案：N r r r x x x M
5．一个学生有37天用来准备考试。根据过去的经验，她知道她需要不超过60小时的学习
时间。她还希望每天至少学习1小时。证明，无论她如何安排她的学习时间（不过，每天都是整数个小时），都存在连续的若干天，在此期间她恰好学习了13小时。
证明 设从第一天到第i 天她共学习了i a 小时。因为她每天至少学习1小时，所以
3721,,,a a a Λ和13,,13,133721+++a a a Λ都是严格单调递增序列。因为总的学习时间
不超过
60
小时，所以6037≤a ，731337≤+a 。3721,,,a a a Λ,
13,,13,133721+++a a a Λ是1和73之间的74个整数，由鸽巢原理知道，它们中存在相
同的整数，有i a 和13+j a 使得13+=j i a a ，13=-j i a a ，从第1+j 天到第i 天她恰好学习了13小时。
6．8个女孩围坐在旋转木马上。她们可以有多少种方法改变座位，使得每个女孩前面的女孩都与原先的不同
解 令S 为}8,7,6,5,4,3,2,1{的全部!7个循环排列的集合，i A 为出现模式)1(+i i 的循环排列的集合（71≤≤i ），8A 为出现模式81的循环排列的集合。若71≤≤k 且k i i ,,1Λ是集合}8,7,6,5,4,3,2,1{中的不同整数，则!)7(||1k A A k
i i -=??Λ。1||8
1==I i i A 。因此，
16251!078!168!258!348!438!528!618!7||81=+???
?
??-???? ??+???? ??-???? ??+???? ??-???? ??+???? ??-=??A A Λ 她们可以有1625种方法改变座位。
7．把n 21+个苹果送给3个孩子，若使得任意两个孩子得到的苹果总数大于另一个孩子的苹果树，问有多少种分法
()()()2
)1(3)331()1()1()1()(222
122
1
20
2
23
32
21
3
313
2
n
n N y y
y
y
y y y y y y A n n n n n n n n n n +=-=-+-=--=
++++=++++∞
=+++++∑项的系数为
上述展开式中如下
根据题意写出生成函数Λ
高等数学下册试题(题库)及参考答案
高等数学下册试题库 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， |AB |= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 解 由公式（6-21）有 2 1112)1(211)1(1221cos 2222222 121= ++?-++?-+?+?= ??= n n n n α， 因此，所求夹角 32 1 arccos π α= =． 5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ． 解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有 ?? ?=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的 平面方程 01=-+y x 6．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2
(完整word版)组合数学课后答案
习题二证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。证明：假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设至少有两人谁都不认识，则认识的人数为0的至少有两人。
任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的整数倍。证明：对于任意的一个整数，它除以10的余数只能有10种情况：0，1，…，9。现在有11个整数，由鸽巢原理知，至少有2个整数的余数相同，则这两个整数的差必是10的整数倍。证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。证明：有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为奇数+奇数= 偶数；偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。
一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果证明：根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。一个袋子里装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。那么至少取出多少水果后能够保证已经拿出20个相同种类的水果证明：根据推论2.2.1，若将4*（20-1）+ 1 = 77个水果取出，必有20个相同种类的水果。
趣味数学题带答案
趣味数学题带答案 1、一个人花8块钱买了一只鸡，9块钱卖掉了，然后他觉得不划算，花10块钱又买回来了，11块卖给另外一个人。问他赚了多少？ 答案：2元 2、假设有一个池塘，里面有无穷多的水。现有2个空水壶，容积分别为5升和6升。问题是如何只用这2个水壶从池塘里取得3升的水。 答案：先用5升壶装满后倒进6升壶里，在再将5升壶装满向6升壶里到，使6升壶装满为止，此时5升壶里还剩4升水将6升壶里的水全部倒掉，将5升壶里剩下的4升水倒进6升壶里，此时6升壶里只有4升水再将5升壶装满，向6升壶里到，使6升壶里装满为止，此时5升壶里就只剩下3升水了 3、一个农夫带着三只兔到集市上去卖，每只兔大概三四千克，但农夫的秤只能称五千克以上，问他该如何称量。 答案：先称3只，再拿下一只，称量后算差。 4、有只猴子在树林采了100根香蕉堆成一堆，猴子家离香蕉堆50米，猴子打算把香蕉背回家，每次最多能背50根，可是猴子嘴馋，每走一米要吃一根香蕉，问猴子最多能背回家几根香蕉？ 答案：25根先背50根到25米处，这时，吃了25根，还有25根，放下。回头再背剩下的50根，走到25米处时，又吃了25根，还有25根。再拿起地上的25根，一共50根，继续往家走，一共25米，要吃25根，还剩25根到家。 5、一天有个年轻人来到王老板的店里买一件礼物,这件礼物成本是18元，售价是21元。结果是这个年轻人掏出100元要买这件礼物。王老板当时没有零钱，用那100元向街坊换了100元的零钱，找给年轻人79元。但是街坊后来发现那100元是假钞，王老板无奈还了街坊100元。现在问题是：王老板在这次交易中到底损失了多少钱? 答案：97元 6、一个四位数与它的各个位上的数之和是1972，求这个四位数 答案：因为是四位数，和是1972 所以这个四位数的千位上一定是1，因为它不能是0，也不能大于1. 所以这个数就是1xxx。剩下三个数，即使是1972，9+7+2=18，18+1=19.所以百位上的数只能是9，因为是别的数是不可能得出19xx的。然后设个位为数字x，十位为数字y，x、y都为0~9的整数，则有：1900+10y+x+x+y+10=1972 则有11y+2x=62 x=（62-11y）/2 这样把0~9的数放到y的位置，就发现只能是y=4，x=9 所以就是19 49
题库 高考数学试题库全集及参考答案
1.(2012北京,18,13分)已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值; (2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1]上的最大值. 2.(2012安徽,19,13分)设函数f(x)=ae x++b(a>0). (1)求f(x)在[0,+∞)内的最小值; (2)设曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y=x,求a,b的值. 3.(2012重庆,16,13分)设f(x)=aln x++x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线垂直于y轴. (1)求a的值; (2)求函数f(x)的极值. 4. (2012大纲全国,20,12分)设函数f(x)=ax+cos x,x∈[0,π]. (1)讨论f(x)的单调性; (2)设f(x)≤1+sin x,求a的取值范围. 5.(2012湖北,17,12分)已知向量a=(cos ωx-sin ωx,sin ωx),b=(-cos ωx-sin ωx,2cos ωx),设函数f(x)=a·b+λ(x∈R)的图象关于直线x=π对称,其中ω,λ为常数,且ω∈. （1）求函数f(x)的最小正周期 （2）若y=f(x)的图像经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围 6.(2012湖北,18,12分)已知等差数列{a n}前三项的和为-3,前三项的积为8. (1)求等差数列{a n}的通项公式; (2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|a n|}的前n项和. 8.(2012河北高三模拟，21，12分)设函数f(x)=x4+bx2+cx+d,当x=t1时, f(x)有极小值. (1)若b=-6时,函数f(x)有极大值,求实数c的取值范围;
组合数学课后答案
作业习题答案 习题二 2.1证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。 证明： 假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n 个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。 假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。 2.3证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。 证明： 方法一： 有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为 奇数+奇数 = 偶数 ； 偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。 方法二： 对于平面上的任意整数坐标的点而言，其坐标值对2取模后的可能取值只有4种情况，即：(0,0) ,(0,1) ,(1,0), (1,1)，根据鸽巢原理5个点中必有2个点的坐标对2取模后是相同类型的，那么这两点的连线中点也必为整数。 2.4一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果？ 证明： 根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。 2.9将一个矩形分成(m +1)行112m m +?? + ??? 列的网格每个格子涂1种颜色，有m 种颜色可以选择，证明：无论怎么涂色，其中必有一个由格子构成的矩形的4个角上的格子被涂上同一种颜色。 证明： （1）对每一列而言，有（m+1）行，m 种颜色，有鸽巢原理，则必有两个单元格颜色相同。 （2）每列中两个单元格的不同位置组合有12m +?? ??? 种，这样一列中两个同色单元格的位置组合共有 12m m +?? ??? 种情况 （3）现在有112m m +?? + ??? 列，根据鸽巢原理，必有两列相同。证明结论成立。 2.11证明：从S={1,3,5,…,599}这300个奇数中任意选取101个数，在所选出的数中一定存在2个数，它们之间最多差4。 证明：
最新高等数学下考试题库(附答案)
《高等数学》试卷1（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π=b a 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+
A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21.
清华组合数学()习题答案
?1.证：对n 用归纳法。先证可表示性： 当n=0,1时，命题成立。 假设对小于n 的非负整数，命题成立。对于n,设k!≤n ＜(k+1)!,即0≤n-k!＜k·k!由假设对n-k!,命题成立， 设n-k!=∑a i ·i!，其中a k ≤k-1,n=∑a i ·i!+k!，命题成立。i=1 k i=1 k 再证表示的唯一性： 设n=∑a i ·i!=∑b i ·i!, 不妨设a j ＞b j ,令j=max{i|a i ≠b i }a j ·j!+a j-1·(j-1)!+…+a 1·1! =b j ·j!+b j-1·(j-1)!+…+b 1·1!,(a j -b j )·j!=∑(b i -a i )·i!≥j!＞∑i·i!≥∑|b i -a i |·i!≥∑(b i -a i )·i! 另一种证法：令j=min{i|a i ≠b i }∑a i ·i!=∑b i ·i!,两边被(j+1)!除,得余数a j ·j!=b j ·j!,矛盾. i=1 k i=1k i=1 j-1i=1 j-1 i=1j-1i=1 j-1 i ≥j i ≥j ?2.证： 组合意义： 等式左边：n 个不同的球，先任取出1个，再从余下的n-1个中取r 个； 等式右边：n 个不同球中任意取出r+1个，并指定其中任意一个为第一个。显然两种方案数相同。 nC(n-1,r) = n ————= ——————— (n-1)! (r+1)·n! r!·(n-r-1)! (r+1)·r!·(n-r-1)! = ——————= (r+1)C(n,r+1).(r+1)·n! (r+1)!·(n-r-1)! ?3.证： 设有n 个不同的小球，A 、B 两个盒子,A 盒中恰好放1个球,B 盒中可放任意个球。有两种方法放球： ①先从n 个球中取k 个球(k ≥1),再从中挑 一个放入A 盒,方案数共为∑kC(n,k),其余球放入B 盒。 ②先从n 个球中任取一球放入A 盒，剩下n-1个球每个有两种可能，要么放入B 盒， 要么不放，故方案数为n2 . 显然两种方法方案数应该一样。 k=1n n-1 ?4.解：设取的第一组数有a 个,第二组有b 个,而 要求第一组数中最小数大于第二组中最大的，即只要取出一组m 个数(设m=a+b),从大到小取a 个作为第一组,剩余的为第二组。此时方案数为C(n,m)。从m 个数中取第一组数共有m-1中取法。总的方案数为∑(m-1)C(n,m)=n ·2 +1. ?5.解：第1步从特定引擎对面的3个中取1个有 C(3,1)种取法，第2步从特定引擎一边的2个中 取1个有C(2,1)种取法，第3步从特定引擎对面的2个中取1个有C(2,1)中取法，剩下的每边1个取法固定。 所以共有C(3,1)·C(2,1)·C(2,1)=12种方案。 m=2 n n-1 ?6.解：首先所有数都用6位表示，从000000到 999999中在每位上0出现了10 次,所以0共出现 了6·10 次,0出现在最前面的次数应该从中去掉， 000000到999999中最左1位的0出现了10 次， 000000到099999中左数第2位的0出现了10 次， 000000到009999左数第3位的0出现了10 次, 000000到000999左数第4位的0出现了10 次, 000000到000099左数第5位的0出现了10 次, 000000到000009左数第6位的0出现了10 次。另外1000000的6个0应该被加上。所以0共出现了 6·10 –10 –10 –10 –10 –10 –10 +6 = 488895次。 5 5 5 4 3 2 1 5543210 ?7.解：把n 个男、n 个女分别进行全排列，然后 按乘法法则放到一起，而男女分别在前面,应该 再乘2,即方案数为2·(n!) 个. 围成一个圆桌坐下， 根据圆排列法则，方案数为2 ·(n!) /(2n)个. ?8.证：每个盒子不空，即每个盒子里至少放一 个球，因为球完全一样，问题转化为将n-r 个小球放入r 个不同的盒子，每个盒子可以放任意个球，可以有空盒，根据可重组合定理可得共有C(n-r+r-1,n-r) = C(n-1,n-r)中方案。根据C(n,r)=C(n,n-r),可得 C(n-1,n-r)=C(n-1,n-1-(n-r))=C(n-1,r-1)个方案。证毕。 2 2 ?9.解：每个能整除尽数n 的正整数都可以选取每个素数p i 从0到a i 次，即每个素数有a i +1种选择，所以能整除n 的正整数数目为(a 1+1)·(a 2+1)·…·(a l +1)个。 ?10.解：相当于把n 个小球放入6个不同的盒子里，为可重组合，即共有C(n+6-1,n)中方案，即C(n+5,n)中方案。 ?11.解：根据题意,每4个点可得到两条对角线,1个对角线交点,从10个顶点任取4个的方案有C(10,4)中,即交于210个点。
组合数学课后标准答案
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习题二证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。证明：假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设至少有两人谁都不认识，则认识的人数为0的至少有两人。
任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的整数倍。证明：对于任意的一个整数，它除以10的余数只能有10种情况：0，1，…，9。现在有11个整数，由鸽巢原理知，至少有2个整数的余数相同，则这两个整数的差必是10的整数倍。证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。2.3证明：有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为奇数+奇数= 偶数；偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。
一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果？证明：根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。一个袋子里装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。那么至少取出多少水果后能够保证已经拿出20个相同种类的水果？证明：根据推论2.2.1，若将4*（20-1）+ 1 = 77个水果取出，必有20个相同种类的水果。
趣味数学智力问答题及答案
趣味数学智力问答题及答案 1、有两根不均匀分布的香，香烧完的时间是一个小时，你能用什么方法来确定一段15分钟的时间? 答：把两根香同时点起来，第一支香两头点着，另一支香只烧一头，等第一支香烧完的同时(这是烧完总长度的3/4)，把第二支香另一头点燃，另一头从燃起到熄灭的时间就是15分! 2、一个经理有三个女儿，三个女儿的年龄加起来等于13，三个女儿的年龄乘起来等于经理自己的年龄，有一个下属已知道经理的年龄，但仍不能确定经理三个女儿的年龄，这时经理说只有一个女儿的头发是黑的，然后这个下属就知道了经理三个女儿的年龄。请问三个女儿的年龄分别是多少?为什么? 答：三女的年龄应该是2、2、9。因为只有一个孩子黑头发，即只有她长大了，其他两个还是幼年时期即小于3岁，头发为淡色。再结合经理的年龄应该至少大于25。 3、有三个人去住旅馆，住三间房，每一间房$10元，于是他们一共付给老板$30，第二天，老板觉得三间房只需要$25元就够了于是叫小弟退回$5给三位客人，谁知小弟贪心,只退回每人$1，自己偷偷拿了$2，这样一来便等于那三位客人每人各花了九元，于是三个人一共花了$27，再加上小弟独吞了不$2，总共是$29。可是当初他们三个人一共付出$30那么还有$1呢? 答：一共付出的30元包括27元(25元给老板+小弟贪污2元)和每人退回1元(共3元)，拿27和2元相加纯属混淆视听。 4、有两位盲人，他们都各自买了两对黑袜和两对白袜，八对袜了的布质、大小完全相同，而每对袜了都有一张商标纸连着。两位盲人不小心将八对袜了混在一起。他们每人怎样才能取回黑袜和白袜各两对呢? 答：每对袜子都拆开，每人各拿一支，袜子无左右，最后取回黑袜和白袜各两对。 5、有一辆火车以每小时15公里的速度离开洛杉矶直奔纽约，另一辆火车以每小时20公里的速度从纽约开往洛杉矶。如果有一只鸟，以30公里每小时的速度和两辆火车同时启动，从洛杉矶出发，碰到另一辆车后返回，依次在两辆火车来回飞行，直到两辆火车相遇，请问，这只小鸟飞行了多长距离? 答：把鸟的飞行距离换算成时间计算。设洛杉矶和和纽约之间的距离为a，两辆火车相遇的时间为a/(15+20)=a/25，鸟的飞行速度为30，则鸟的飞行距离为a/25*30=6/5a. 6、你有两个罐子，50个红色弹球，50个蓝色弹球，随机选出一个罐子，随机选取出一个弹球放入罐子，怎么给红色弹球最大的选中机会?在你的计划中，得到红球的准确几率是多少? 答：一个罐子放一个红球,另一个罐子放49个红球和50个蓝球,概率接近75%.这是所能达到的最大概率了。实际上，只要一个罐子放<50个红球，不放篮球，另一个罐子放剩下的球，拿出红球的概率就大于50%
大学高等数学下考试题库(及答案)
一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+
10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2）
组合数学题目及标准答案
组合数学 例1: 将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃，那么称8个“车”处于一个安全状态。问共有多少种不同的安全状态? 解：8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不同的8行和8列上。 用一个排列a1,a2,…,a8 ，对应于一个安全状态，使ai 表示第i 行的ai 列上放置一个“车”。这种对应显然是一对一的。因此，安全状态的总数等于这8个数的全排列总数8!＝40320。 例4：n 位客人在晚会上每人与他人握手d 次，d 是奇数。证明n 偶数。 证：由于每一次握手均使握手的两人各增加 一次与他人握手的次数，因此n 位客人与他人握手 次数的总和 nd 是偶数 — 握手次数的2倍。根据奇偶 性质，已知d 是奇数，那么n 必定是偶数。 例４ 从1到2n 的正整数中任取n +1个，则这n +1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个的倍数。 证 设n +1个数是a 1, a 2, ···, an +1。每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。组成序列r 1, r 2,, ···, rn +1。这n +1个数仍在[1 , 2n ]中，且都是奇数。而[1, 2n ]中只有n 个奇数，故必有ri =rj = r , 则ai = 2αi r , aj = 2αj r 。若ai ＞aj ，则ai 是aj 的倍数。 例5 设a 1, a 2, ···, am 是正整数，则至少存在一对k 和l , 0≤k
小学三年级趣味数学题及答案
小学三年级趣味数学题及答案 【趣味数学题】 1、小华的爸爸1分钟可以剪好5只自己的指甲。他在5分钟内可以剪好几只自己的指甲？ 2、小华带50元钱去商店买一个价值38元的小汽车，但售货员只找给他2元钱，这是为什么？ 3、小军说：“我昨天去钓鱼，钓了一条无尾鱼，两条无头的鱼，三条半截的鱼。你猜我一共钓了几条鱼？”同学们猜猜小军一共钓了几条鱼？ 4、6匹马拉着一架大车跑了6里，每匹马跑了多少里？6匹马一共跑了多少里？ 5、一只绑在树干上的小狗，贪吃地上的一根骨头，但绳子不够长，差了5厘米。你能教小狗用什么办法抓着骨头呢？ 6、王某从甲地去乙地，1分钟后，李某从乙地去甲地。当王某和李某在途中相遇时，哪一位离甲地较远一些？ 7、时钟刚敲了13下，你现在应该怎么做？ 8、在广阔的草地上，有一头牛在吃草。这头牛一年才吃了草地上一半的草。问，它要把草地上的草全部吃光，需要几年？ 9、妈妈有7块糖，想平均分给三个孩子，但又不愿把余下的糖切开，妈妈怎么办好呢？ 10、公园的路旁有一排树，每棵树之间相隔3米，请问第一棵树 和第六棵树之间相隔多少米？ 11、把8按下面方法分成两半，每半各是多少？算术法平均分是____，从中间横着分是____，从中间竖着分是____.
12、一个房子4个角，一个角有一只猫，每只猫前面有3只猫，请问房里共有几只猫？ 13、一个房子4个角，一个角有一只猫，每只猫前面有4只猫，请问房里共有几只猫？ 14、小军、小红、小平3个人下棋，总共下了3盘。问他们各下了几盘棋？（每盘棋是两个人下的） 15、小明和小华每人有一包糖，但是不知道每包里有几块。只知道小明给了小华8块后，小华又给了小明14块，这时两人包里的糖的块数正好同样多。同学们，你说原来谁的糖多？多几块？ 【答案】 1、20只，包括手指甲和脚指甲 2、因为他付给售货员40元，所以只找给他2元； 3、0条，因为他钓的鱼是不存在的； 4、6里，36里； 5、只要教小狗转过身子用后脚抓骨头，就行了。 6、他们相遇时，是在同一地方，所以两人离甲地同样远； 7、应该修理时钟； 8、它永远不会把草吃光，因为草会不断生长； 9、妈妈先吃一块，再分给每个孩子两块； 10、15米； 11、4，0，3。 12、4只； 13、5只；
(完整)高等数学考试题库(附答案)
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）. （A ）4 24arctan 1x dx x π π-+? （B ）44 arcsin x x dx ππ-? （C ）112x x e e dx --+? （D ）()121sin x x x dx -+? 10．设() f x 为连续函数，则()1 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ） ()()11102f f -????（C ）()()1 202 f f -????（D ）()()10f f - 二．填空题（每题4分，共20分） 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3．21 x y x =-的垂直渐近线有条. 4． ()21ln dx x x = +?. 5． ()4 22 sin cos x x x dx π π - += ?.
李凡长版-组合数学课后习题答案-习题3
李凡长版-组合数学课后习题答案-习题3
第三章递推关系 1.在平面上画n条无限直线,每对直线都在不同的点相交,它们构成的无限 区域数记为f(n),求f(n)满足的递推关系. 解： f(n)=f(n-1)+2 f(1)=2,f(2)=4 解得f(n)=2n. 2.n位三进制数中,没有1出现在任何2的右边的序列的数目记为f(n),求 f(n)满足的递推关系. 解：设a n-1a n-2 …a 1 是满足条件的n-1位三进制数序列，则它的个数可以用f(n-1) 表示。 a n 可以有两种情况： 1）不管上述序列中是否有2，因为a n 的位置在最左边，因此0 和1均可选； 2）当上述序列中没有1时，2可选； 故满足条件的序列数为 f(n)=2f(n-1)+2n-1 n 1, f(1)=3 解得f(n)=2n-1(2+n). 3.n位四进制数中,2和3出现偶数次的序列的数目记为f(n),求f(n)满足 的递推关系. 解：设h(n)表示2出现偶数次的序列的数目，g(n)表示有偶数个2奇数个3的序列的数目，由对称性它同时还可以表示奇数个2偶数个3的序列的数目。 则有 h(n)=3h(n-1)+4n-1-h(n-1),h(1)=3 （1） f(n)=h(n)-g(n),f(n)=2f(n-1)+2g(n-1) （2） 将（1）得到的h(n)=(2n+4n)/2代入（2），可得 n+4n)/2-2f(n), 4.求满足相邻位不同为0的n位二进制序列中0的个数f(n). 解：这种序列有两种情况： 1)最后一位为0，这种情况有f(n-3)个； 2)最后一位为1，这种情况有2f(n-2)个； 所以 f(1)=2,f(2)=3,f(3)=5. 5.求n位0,1序列中“00”只在最后两位才出现的序列数f(n). 解：最后两位是“00”的序列共有2n-2个。 f(n)包含了在最后两位第一次出现“00”的序列数，同时排除了在n-1位第一次出现“00”的可能； f(n-1)表示在第n-1位第一次出现“00”的序列数，同时同时排除了在n-2位第一次出现“00”的可能； 依此类推，有 17
《高等数学》练习题库及答案
C 、有最大值与最小值 D 、无最小值 高等数学》练习测试题库及答案 n ,n 为奇数 C ． {f(n)}, 其中 f(n)= 1n n n ， n 为偶数 1n 4. 数列有 界是数列收敛的（ ） A ．充分条件 C.充要条件 5．下列命题正确的是（ ） A ．发散数列必无界 C ．两发散数列之和必发散 sin( x 2 6． lim 1） （ ） x 1 x 1 A.1 B.0 C.2 D.1/2 7．设 lim(1 k x x x e 6 则 k=( ) A.1 B.2 C.6 D.1/6 8.当 x 1 时， 下列与无穷小（ x-） 等价的无穷小是（ ） 1 1.函数 y= 2 2 是（ ） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 x 2.设 f(sin )=cosx+1,则 f(x) 为( 2 ） A 2x 2 － 2 B 2－ 2x 2 C 1＋x 2 D 无界函数 D 1－x 2 3．下列数列为单调递增数列的有 （ A ． 0.9 ，0.99，0.999，0.9999 B ． 3， 2，5， 4 2345 D. { 2n 1 2n B. 必要条件 D 既非充分也非必要 B ．两无界数列之和必无 界 D ．两收敛数列之和必收 A.x 2 -1 B. x 3-1 C.(x-1) D.sin(x-1) 9. f （x ）在点 x=x 处有定义是 f （x ）在 x=x 处连续的（ ） A. 必要条件 C.充分必要条件 10、当 |x|<1 时，y= B.充分条件 D.无关条件 ） A 、是连续的 B 、无界函数 ．选择题 ）
11、设函数 f (x )=(1-x ) cotx 要使 f (x )在点：x=0连续，则应补充定义 为 ( ) A 、 B 、 e C 、-e D 、 -e 12、下列有跳跃间断点 x=0 的函数为( ) A 、 xarctan1/x B 、 arctan1/x C 、 tan1/x D 、 cos1/x 13、设 f(x) 在点 x 0连续， g(x) 在点 x 0不连续，则下列结论成立是( ) A 、 f(x)+g(x) 在点 x 0 必不连续 B 、f(x) ×g(x) 在点 x 0 必不连续须有 C 、复合函数 f[g(x)] 在点 x 0 必不连续 A 、 、f[f(x)] 16、函数 f(x)=tanx 能取最小最大值的区间是下列区间中的( A 、[0, л] B 、( 0, л) C 、[- л/4, л/4] D 、( - л/4, л/4 ) 17、在闭区间 [a ,b] 上连续是函数 f(x) 有界的( ) A 、充分条件 B 、必要条件 C 、充要条件 D 、无关条件 18、f(a)f(b) <0 是在[a,b] 上连续的函 f(x) 数在( a,b )内取零值的( A 、充分条件 B 、必要条件 C 、充要条件 D 、无关条件 D 、 在点 x 0 必不连续 14、设 f(x)= 在区间 (- ∞,+ ∞) 上连续，且 f(x)=0 ，则 a, 满足 A 、a >0,b >0 、a >0,b <0 C 、a <0,b >0 、a <0,b <0 15、若函数 f(x) 在点 x 0 连续， 则下列复合函数在 x 0 也连续的有( C 、tan[f(x)]
经典趣味数学题及答案
经典趣味数学题及答案趣味数学题及答案1 七天七夜打一数学名词 答案：周长 看谁力量大打一数学名词 答案：比例力 人民的力量打一数学名词 答案：无限 一直不来打一数学名词 答案：恒等 不用再说打一数学名词 答案：已知 千刀万割打一数学名词 答案：分式 大家发表意见打一数学名词 答案：讨论 从后面算起打一数学名词 答案：倒数 北打一数学名词 答案：反比 剑穿楚霸王打一数学名词 答案：通项 算信件打一数学名词 答案：函数
答案：级数 逐优录取打一数学名词答案：0.618法 计算转动杆打一数学名词答案：数轴 不准确打一数学名词 答案：误差 趣味数学题及答案2 搬来数一数打一数学名词答案：运算 隔河相答打一数学名词对应 再算一遍打一数学名词答案：复数 招收演员打一数学名词答案：补角 十八斤打一数学名词 答案：分析 司药打一数学名词 答案：配方 请人做事打一数学名词答案：求作 查帐打一数学名词 答案：对数
答案：公式 小小的房子打一数学名词 答案：区间 齐头并进打一数学名词 答案：平行 废律打一数学名词 答案：除法 大家发表意见打一数学名词 答案：商 彼此盘问打一数学名词 答案：互质 五角钱打一数学名词 答案：半圆 趣味数学题及答案3 1、猩猩最讨厌什么线 A 中位线 B 平行线 C 角平分线 D 射线 2、衣柜里有6只白色袜子，6只黑色袜子。它们除颜色不同之外，其它都一样。如果身处漆黑中，由衣柜取出两只颜色相同的袜子，最少要从衣柜中拿出几只袜子，才能确保其中有两只袜子颜色相同呢? A 1次 B 2次 C 3次 D 4次 3、1874年，德国数学家康托尔创立了集合论。到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础上。就在人们认为数学的基础已经很牢固的时候，集合论出现了一系列自相矛盾的结果，即悖论!于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。请选出下面哪个选项不属于悖论 A 有个虔诚的教徒，他在演说中口口声声说上帝是无所不能的，什么事都做得到。一位过路人问了一句话：“上帝能创造一块他自己也举不起来的石头吗?”
趣味数学题目及答案
1.6根相同的火柴最多可以拼成几个等边三角形？ 答案：4个将其拼成正四面体就行了！ 2.一只半母鸡在一天半里生一个半蛋，六只母鸡在六天里生几个蛋？答案：先保持时间不变，从1.5只母鸡在一天半里生1.5个蛋，得到1只母鸡一天半生1个蛋，6只母鸡一天半生6个蛋。再保持母鸡的只数不变，把时间从1.5天增加到6天，扩大为4倍，因而产蛋只数也要乘以4，6个变成24个。所以，6只母鸡，在6天里，一共生24个蛋。 3.猩猩最讨厌什么线： 答案：平行线，因为平行线没有相交（香蕉） 4.现在给出这样一个定义，1=5,2=55,3=555,4=5555那么5= 答案：1=5，那么5=1 5.中国国旗的长宽比例为： 答案：常识问题3:2 6.不使用任何其他变量，交换a，b变量的值？ 答案：a = a+b b = a-b a= a-b
7.桌子上原来有12支点燃的蜡烛，先被风吹灭了3根，不久又一阵风吹灭了2根，最后桌子上还剩几根蜡烛呢 答案：5根没被吹灭的烧完了 8.一个农夫带着三只兔到集市上去卖，每只兔大概三四千克，但农夫的秤只能称五千克以上，问他该如何称量。 答案：先称3只，再拿下一只，称量后算差。 9.一个四位数与它的各个位上的数之和是1972，求这个四位数: 答案：1949 因为是四位数，和是1972 所以这个四位数的千位上一定是1，因为它不能是0，也不能大于1. 所以这个数就是1xxx。剩下三个数，即使是1972，9+7+2=18，18+1=19.所以百位上的数只能是9，因为是别的数是不可能得出19xx的。然后设个位为数字x，十位为数字y，x、y都为0~9的整数，则有：1900+10y+x+x+y+10=1972 则有11y+2x=62，x=（62-11y）/2 这样把0~9的数放到y的位置，就发现只能是y=4，x=9。所以就是1949 10.ABCD乘9=DCBA，A=? B=? C=? D=? 答案：a=1,b=0,c=8，d=9 1089*9=9801