函数中常见的分类讨论

函数中常见的分类讨论

一、讨论导函数取值的正负问题

例1：已知函数f （x ）=

+lnx （a 、b ∈R ）．（1）试讨论函数f （x ）的单调区间与极值；

变式训练1：（1）已知函数()ln ()f x x a x

a R =-∈,判断函数 f (x )的单调性；

（2）（1）已知函数()ln ()f x ax x

a R =-∈,判断函数 f (x )的单调性；

二、讨论两根大小：

例2：已知函数()()()21'0x f x ax x e f =+-+.（1）讨论函数()f x 的单调性；

变式训练2：（1）已知函数1()()a f x a x

+=

∈R .设函数()ln ()h x a x x f x =--,求函数h (x )的极值；

（2）已知函数()2ln f x a x x ax =+-（a ∈R ）．

（Ⅰ）若3x =是()f x 的极值点，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求()()2g x f x x =-在[]1,e 的最小值()h a ．

（3）已知函数21()()()2x f x xe a x x a R =-+∈．当0a >时，讨论函数()f x 的单调性．

（4）已知函数()ln 2a f x a x x a x

=--+( a R ∈).（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；

二、讨论根（极值点或零点）的个数，即讨论△的符号

例2：已知函数()()1ln f x x a x a R x =-

-∈，求()f x 的单调区间

变式训练2：（1）已知函数()()ln 0=+>a f x x a x

. (Ⅰ) 若函数()f x 有零点, 求实数a 的取值范围; (Ⅱ) 证明: 当2a e ≥

时, ()->x f x e .

（2）已知函数2()2ln (0,)f x ax x x

a a R =-+≠∈,判断函数 f (x )的单调性；

（3）已知函数2()(2ln )()f x x a x a R x

=-

+-∈,判断函数 f (x )的单调性；

（4）已知函数()()2ln 23,1f x x x x x =-+-≥.试判断函数()f x 的零点个数；

（5）已知函数()()()21ln .2a f x a x x x a R =--

+∈若2

1≤a ，讨论()x f 的单调性；