九年级数学下册28.2解直角三角形及其应用28.2.2第2课时利用方位角坡度解直角三角形作业课件新版新人教版
53模拟试卷初中数学九年级下册28.2.2第2课时坡度、坡角,实际生活问题
第二十八章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用28.2.2应用举例第2课时坡度、坡角,实际生活问题基础过关全练知识点3解直角三角形的应用——坡度、坡角问题9.(2022湖南邵阳模拟)如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,其中AD ∥BC,迎水坡AB的坡角∠ABC=45°,背水坡CD的坡比为1∶,迎水坡AB的长为8 m,则背水坡CD的长为()A.6 mB.8 mC.4 mD.8 m10.(2023广东汕头金平三模)如图,斜坡AB的坡度i1=1∶,现需要在不改变坡高AH的前提下将坡度变缓,调整后的斜坡AC的坡度i2=1∶2.4,已知斜坡AB=10米,那么斜坡AC=米.(M9228005)11.(2023四川绵阳游仙模拟)如图,某水上乐园在一平地推出了“急流勇进”的项目,项目有两条斜坡滑道(BC、AD)以满足不同的难度需求,游客可以乘坐垂直升降电梯沿AB自由上下选择项目难度.其中斜坡滑道BC的坡度为i=5∶12,BC=13米,CD=16米,∠D=32°(其中点A、B、C、D均在同一平面内),则垂直升降电梯的升降高度AB约为米.(参考数据:sin 32°≈0.530,cos 32°≈0.848,tan 32°≈0.625)(M9228005)12.(2022湖南株洲中考)如图1所示,某登山运动爱好者由山坡①的点A处沿线段AC行至山谷点C处,再从点C处沿线段CB行至山坡②的点B处.如图2所示,将直线l视为水平面,山坡①的坡角∠ACM=30°,AM=0.6千米,山坡②的坡度i=1∶1,BN⊥l于N,且CN=千米.(1)求∠ACB的度数;(2)求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程.知识点4解直角三角形在其他实际问题中的应用13.(2022福建中考)如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,∠ABC=27°,BC=44 cm,则高AD约为(参考数据:sin 27°≈0.45,cos 27°≈0.89,tan 27°≈0.51)()A.9.90 cmB.11.22 cmC.19.58 cmD.22.44 cm14.(2023河南郑州金水二模)如图,一个钟摆的摆长OB为1.5米,当钟摆向两边摆动时,摆角∠BOD为2α,且两边的摆动角度相同,则它摆至的最高位置与最低位置的高度之差AC为(M9228005)()A.(1.5-1.5cos α)米B.米C.(1.5-1.5sin α)米D.米15.(2023内蒙古赤峰中考)为发展城乡经济,建设美丽乡村,某乡村对A 地和B地之间的一处垃圾填埋场进行改造,把原来A地去往B地需要绕行到C地的路线,改造成可以直线通行的公路AB.如图,经测量,AC=6千米,∠CAB=60°,∠CBA=37°,则改造后的公路AB的长是千米(精确到0.1千米;参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,≈1.73).(M9228005)16.【教材变式·P84T9】(2022内蒙古通辽中考)某型号飞机的机翼形状如图所示,根据图中数据计算AB的长度(结果保留小数点后一位,≈1.7).(M9228005)能力提升全练17.(2023湖北十堰中考,7,★☆☆)如图所示,有一天桥高AB为5米,BC是通向天桥的斜坡,∠ACB=45°,市政部门启动“陡改缓”工程,决定将斜坡的底端C延伸到D处,使∠ADB=30°,则CD的长度约为(参考数据:≈1.414,≈1.732)(M9228005)()A.1.59米B.2.07米C.3.55米D.3.66米18.(2022广东深圳福田三模,8,★★☆)某学校安装了红外线体温检测仪(如图1),其红外线探测点O在垂直于地面的支杆CP上(如图2).已知最大探测角∠OBC=67°,最小探测角∠OAC=37°.若要使测温区域AB的长度为2 m,则OC应调整为精确到0.1 m.参考数据:sin67°≈,cos 67°≈,tan 67°≈,sin 37°≈,cos 37°≈,tan37°≈(M9228005)()A.2.4 mB.2.2 mC.3.0 mD.2.7 m19.【方程思想】(2022黑龙江牡丹江中考改编,10,★★☆)如图,小明去爬山,在山脚B处看山顶A的仰角为30°,沿着坡比为5∶12的山坡走1 300米到达E点,此时小明看山顶A的仰角为60°,则山高AC为(M9228005)()A.(600-250)米B.(600-250)米C.(350+350)米D.500米20.【中华优秀传统文化】(2022湖南岳阳中考,15,★★☆)喜迎二十大,“龙舟故里”赛龙舟.丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场的点P处观看200米直道竞速赛.如图所示,东西方向的赛道AB的起点A位于点P的北偏西30°方向上,终点B位于点P的北偏东60°方向上,AB=200米,则点P到赛道AB的距离约为米(结果保留整数,参考数据:≈1.732).(M9228005)21.【新素材】(2022山西太原二模,14,★★☆)图1是劳动课上同学们组装的一个智能机器臂.水平操作台为l,底座AB固定,AB⊥l,AB的长度为24 cm,连杆BC的长度为30 cm,手臂CD的长度为28 cm,点B,C 是转动点,且AB,BC与CD始终在同一平面内.如图2,转动连杆BC和手臂CD,当∠ABC=135°,∠BCD=165°时,端点D离操作台l的距离DE为cm.(M9228005)22.(2023辽宁本溪中考,22,★★☆)暑假期间,小明与小亮相约到某旅游风景区登山.他们需要登顶600 m高的山峰,由山底A处先步行300 m到达B处,再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处.已知点A,B,D,E,F 在同一平面内,山坡AB的坡角为30°,缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°(换乘登山缆车的时间忽略不计).(1)求登山缆车上升的高度DE;(2)若步行速度为30 m/min,登山缆车的速度为60 m/min,求从山底A 处到达山顶D处大约需要多少分钟(结果精确到0.1 min).(参考数据:sin 53°≈0.80,cos 53°≈0.60,tan 53°≈1.33)23.【真实情境】(2023浙江嘉兴中考,22,★★☆)图1是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别),其示意图如图2,摄像头A的仰角、俯角均为15°,摄像头高度OA=160 cm,识别的最远水平距离OB=150 cm.(M9228005)(1)身高208 cm的小杜,头部高度为26 cm,他站在离摄像头水平距离130 cm的点C处,那么小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别? (2)身高120 cm的小若,头部高度为15 cm,踮起脚尖可以增高3 cm,但仍无法被识别,社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°(如图3),此时小若能被识别吗?请计算说明.(精确到0.1 cm,参考数据:sin 15°≈0.26,cos 15°≈0.97,tan 15°≈0.27,sin 20°≈0.34,cos 20°≈0.94,tan 20°≈0.36)素养探究全练24.【应用意识】(2023四川绵阳三台模拟)小丽测量了斜坡上一棵垂直于地面的大树的高度.如图,小丽先在坡角为30°的斜坡AB上的点A处,测得树尖E的仰角为15°,然后沿斜坡走了10米到达坡脚B处,又在水平路面上行走20米到达大树所在斜坡CD的坡脚C处,大树所在斜坡CD的坡度i=3∶4,且大树的底端与坡脚的距离CD为15米,则大树ED的高度约为.(结果精确到0.1米.参考数据:sin 15°≈0.26,cos 15°≈0.97,tan 15°≈0.27, ≈1.73)(M9228005)25.【应用意识】(2023湖南常德中考)今年“五一”小长假期间,小陈、小余和家长去沙滩公园游玩.坐在如图1所示的椅子上休息时,小陈感觉很舒服,这激发了她对这把椅子的好奇心,就想出个问题考考小余.小陈先进行测量,并根据测量结果画出了图1的示意图(如图2).在图2中,已知四边形ABCD是平行四边形,座板CD与地面MN平行,△EBC 是等腰三角形且BC=CE,∠FBA=114.2°,靠背FC=57 cm,支架AN=43 cm,扶手的一部分BE=16.4 cm.这时她问小余:“你能算出靠背顶端F 点距地面(MN)的高度是多少吗?”请你帮小余算出结果(最后结果保留一位小数).(参考数据:sin 65.8°≈0.91,cos 65.8°≈0.41,tan 65.8°≈2.23)答案全解全析基础过关全练9.D 如图,过点A作AF⊥BC,垂足为F,过点D作DE⊥BC,垂足为E.∵AD∥BC,∴AF=DE.在Rt△ABF中,∠ABF=45°,AB=8 m,∴AF=AB·sin 45°=8× m.在Rt△DEC中,tan∠DCE=,∴∠DCE=30°,∴CD=2DE=8(m).故选D.10.13解析∵i1=1∶,∴tan∠ABH=,∴∠ABH=30°,∴AH=×10=5(米),∵坡度i2=1∶2.4,∴,即,解得CH=12(米),∴AC==13(米).11.12.5解析如图,延长AB、DC交于点E,由BC的坡度为i=5∶12,得BE∶CE=5∶12.设BE=5x米,CE=12x米,在Rt△BCE中,由勾股定理,得BE2+CE2=BC2,即(5x)2+(12x)2=132,解得x=1(负值舍去),即BE=5米,CE=12米,∴DE=DC+CE=16+12=28(米),∵tan D=,∴AE=DE·tan D=28tan 32°(米).∴AB=AE-BE=28tan 32°-5≈12.5(米).12.解析(1)∵山坡②的坡度i=1∶1,∴CN=BN,∴∠BCN=45°,∴∠ACB=180°-30°-45°=105°.(2)在Rt△ACM中,∠AMC=90°,∠ACM=30°,AM=0.6千米,∴AC=2AM=1.2千米,在Rt△BCN中,∠BNC=90°,∠BCN=45°,CN=千米,∴BC==2(千米),∴该登山运动爱好者走过的路程为1.2+2=3.2(千米).答:该登山运动爱好者走过的路程为3.2千米.13.B ∵AB=AC,BC=44 cm,AD⊥BC,∴BD=CD=22 cm.∵∠ABC=27°,∴tan∠ABC=≈0.51,∴AD≈0.51×22=11.22 cm.故选B.14.A 由题意,得OA⊥BD,∠BOC=∠BOD=·2α=α,OB=OA=1.5米,在Rt△BOC中,OC=OB·c os α=1.5cos α米,∴AC=OA-OC=(1.5-1.5cos α)米.故选A.15.9.9解析如图,过点C作CD⊥AB于点D,在Rt△ADC中,AC=6千米,∠CAD=60°,cos∠CAD=,sin∠CAD=,∴AD=AC·cos∠CAD=6cos 60°=3(千米),CD=AC·sin∠CAD=6sin 60°=3(千米).在Rt△CDB中,∠CBD=37°,CD=3千米,tan∠CBD=(千米),∴AB=AD+DB=3+4≈3+4×1.73≈9.9(千米),即改造后的公路AB的长约是9.9千米.16.解析如图,∠BDE=90°-45°=45°,在Rt△BDE中, DE=BE=14 m.∵CM=BE=14 m,在Rt△ACM中,∠ACM=60°,∴AM=(m),∴AB=BM-AM=CE-AM=20+14-14≈10.2(m).答:AB的长约为10.2 m.能力提升全练17. D 在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ACB=45°,∴∠ABC=∠ACB=45°,∴AC=AB=5米.在Rt△ABD中,∠BAD=90°,∠ADB=30°,∴∠ABD=60°,∴=tan∠ABD=tan60°=AB-AC≈1.732×5-5=3.66(米),∴CD的长度约为3.66米.故选D.18. B 设BC=x m,∵AB=2 m,∴AC=(x+2)m.∵OC=BC·tan∠OBC=BC·tan 67°≈x m,OC=AC·tan∠OAC=AC·tan 37°≈(x+2),解得x=≈2.2 m.故选B.19.B 如图,作EF垂直CB于点F,EN垂直AC于点N,∵斜坡BE的坡度为5∶12,∴设EF=5x米,则BF=12x米,由勾股定理得(5x)2+(12x)2=1 3002,解得x=100(舍负),则EF=500米,BF=1 200米.由题意可知,四边形NCFE为矩形,∴NC=EF=500米,NE=CF.在Rt△ANE中,tan∠AEN=tan 60°=,∵tan 60°=AN.在Rt△ACB中,tan∠ABC=tan 30°=,∵tan 30°=,解得AN=(600-750)米,∴山高AC=AN+NC=600-250)米,故选B.20.87解析如图,过点P作PC⊥AB,垂足为C,设PC=x米,在Rt△APC中,∠APC=30°,∴AC=PC·tan 30°=x(米).在Rt△BCP中,∠CPB=60°,∴BC=CP·tan 60°=x(米).∵AB=200米,∴AC+BC=200米,∴x=200,解得x=50≈87,∴点P到赛道AB的距离约为87米.21.(38+15)解析如图,过点B作BF⊥DE于F,过点C作CG⊥BF于G,过点C 作CH⊥DE于H,则四边形ABFE、四边形CGFH都是矩形,∴AB=EF=24 cm,CG=HF,∠BGC=∠ABF=∠GCH=90°.∵∠ABC=135°,∴∠CBG=∠ABC-∠ABF=45°,∴∠BCG=90°-∠CBG=45°.∵∠BCD=165°,∴∠DCH=∠BCD-∠BCG-∠GCH=30°.在Rt△BCG中,BC=30 cm,∴CG=BC·sin 45°=30×cm,在Rt△CDH中,CD=28 cm,∴DH=CD·sin 30°=28×)cm.22.解析(1)如图,过点B作BM⊥AF于点M,由题可知,∠A=30°,∠DBE=53°,DF=600 m,AB=300 m,在Rt△ABM中,∠A=30°,AB=300 m,∴BM=AB=150 m,∴EF=BM=150 m,∴DE=DF-EF=600-150=450(m).答:登山缆车上升的高度DE为450 m.(2)在Rt△BDE中,∠DBE=53°,DE=450 m,∴BD==562.5(m),∴需要的时间=步行时间+乘坐缆车时间=≈19.4(min).答:从山底A处到达山顶D处大约需要19.4分钟.23.解析(1)如图,过C作OB的垂线分别交仰角线、俯角线于点E、D,交水平线于点F,在Rt△AEF中,tan∠EAF=,∴EF=AF·tan 15°≈130×0.27=35.1(cm),∴CE=CF+EF=160+35.1=195.1(cm),∴小杜最少需要下蹲208-195.1=12.9厘米才能被识别.(2)小若能被识别.理由:如图,过B作OB的垂线分别交仰角线、俯角线于M、N,交水平线于P,在Rt△APM中,tan∠MAP=,∴MP=AP·tan 20°≈150×0.36=54.0(cm),∵∠MAP=∠NAP,AP=AP,∠APM=∠APN=90°,∴△AMP≌△ANP(ASA),∴PN=MP=54.0 cm,∴BN=160-54.0=106.0(cm),∵120-15=105(cm),106.0 cm>105 cm,∴小若必须踮起脚尖.∵小若踮起脚尖后头顶距地面的高度为120+3=123(cm),∴小若踮起脚尖后头顶超出点N的高度为123-106.0=17.0(cm)>15 cm,∴小若能被识别.素养探究全练24.7.0米解析如图,延长BC、ED相交于点F,过点A作AG⊥EF,垂足为G,过点A作AH⊥CB,交CB的延长线于点H.由题意,得AH=FG,AG=HF,BC=20米,EF⊥BF,在Rt△ABH中,∠ABH=30°,AB=10米,∴AH=AB=5(米),BH=(米),∴GF=AH=5米.∵斜坡CD的坡度i=3∶4,∴,∴设DF=3x米,则CF=4x米,在Rt△CDF中,CD==5x(米),∵CD=15米,∴5x=15,解得x=3,∴CF=12米,DF=9米,∴AG=HF=BH+BC+CF=(32+5)米,在Rt△AGE中,∠EAG=15°,∴EG=AG·tan 15°≈(32+5)×0.27≈10.98(米),∴ED=EG+FG-DF=10.98+5-9≈7.0(米),∴大树ED的高度约为7.0米.25.解析如图,过点F作FQ⊥CD交直线CD于点Q,过点A作AP⊥MN于点P,过点C作CH⊥AB于点H.∵四边形ABCD是平行四边形,∠FBA=114.2°,∴∠FCQ=∠CBA=180°-114.2°=65.8°,∴FQ=FC·sin∠FCQ=57sin 65.8° cm.由题意知AB∥CD∥MN,FC∥AN,则∠ANP=∠ADC=∠FCQ=65.8°,又AN=43 cm,∴AP=AN·sin∠ANP=43sin 65.8° cm.∵BC=CE,EB=16.4 cm,∴BH=8.2 cm,∴CH=BH·tan∠CBH=8.2×tan 65.8°≈8.2×2.23≈18.29 cm,∴靠背顶端F点距地面(MN)的高度为FQ+AP-CH=57sin 65.8°+43sin 65.8°-18.29≈100×0.91-18.29=72.71 ≈72.7 cm.。
28.2 应用举例 方位角、坡度、坡角
因为在 Rt△EBD 中,i=DB∶EB=1∶1, 所以 BD=EB,所以 CD+BC=AE+AB, 即 2+x=4+ 5 x,解得 x=12,所以 BC=12 米.
上,则船C到海岸线l的距离是
km. 3
4.(2017海南)为做好防汛工作,防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固,专家提供 的方案是水坝加高2米(即CD=2米),背水坡DE的坡度i=1∶1(即DB∶EB=1∶1),如图所示,已 知AE=4米,∠EAC=130°,求水坝原来的高度BC.(参考数据:sin 50°≈0.77, cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.20)
探究点二:坡度与坡角问题 【例2】 如图,水坝的横断面为梯形ABCD,已知上底长CB=5米,迎水面坡度为1∶ 面坡度为1∶1,坝高为4米,求:坝底AD和迎水面CD的长及坡角α 和β .
,背3 水
【导学探究】 1.作CE⊥AD,BF⊥AD,由坡度可得,CE∶ DE =1∶ 2.由坡度是坡角的 正切 值可得坡角.
第2课时 方位角、坡度、坡角
一、方位角 1.平面测量时,经常以正北、正南方向为基准描述物体运动的方向,这种表示方向的角叫 做方位角. 2.如图,射线OA,OB,OC,OD分别表示北偏东30°,南偏东70°,南偏西50°,北偏西35°.
二、坡度、坡角 1.坡度:坡面的铅直高度(h)与水平宽度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作 i,即 i= h .
在 Rt△BCD 中,∠CBD=30°,tan 30°= CD = 3 ,所以 CD= 3 BD≈115(km),
人教版九年级下册28.2.2应用举例(第二课时)方位角优秀教学案例
（一）情景创设
1.利用现实生活中的情境，如迷路、找方向等，引发学生对方位角的兴趣，激发学生的学习动机。
2.通过展示图片、视频等多媒体资源，让学生直观地感受方位角在实际生活中的应用，增强学生的空间想象力。
3.设计具有挑战性和启发性的问题，引导学生主动探究方位角的定义和计算方法，提高学生的思维能力。
（四）总结归纳
1.教师引导学生总结本节课所学的内容，如方位角的定义、计算方法和应用等。
2.学生分享自己在讨论过程中的收获和感悟，总结解决问题的方法和经验。
3.教师强调方位角在实际生活中的应用，提醒学生关注数学与生活的联系。
4.教师对学生的学习情况进行点评，给予肯定和鼓励，并提出改进建议。
（五）作业小结
（三）学生小组讨论
1.教师布置具有挑战性和启发性的任务，让学生分组讨论并解决实际问题。
2.教师指导学生运用所学知识，如方位角、坐标系等，进行问题分析和解决。
3.教师关注学生的讨论过程，及时给予指导和鼓励，促进学生的有效合作。
4.各小组展示讨论成果，分享解决问题的方法和经验，促进学生之间的相互学习和借鉴。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对自己的学习过程进行反思，总结学习经验和教训，提高学生的自我认知能力。
2.教师通过课堂提问、作业批改等方式，及时了解学生的学习情况，给予针对性的指导和反馈。
3.教师组织学生进行自我评价和同伴评价，让学生了解自己的优点和不足，培养学生的评价能力。
4.教师注重评价学生的综合素质，如空间想象力、逻辑思维能力、合作意识等，全面客观地评价学生的学习成果。通过评价激发学生的学习动力，促进学生的全面发展。
1.教师布置具有针对性和实践性的作业，让学生巩固所学知识，提高应用能力。
部审人教版九年级数学下册课堂同步教学课件28.2.2 第2课时《 利用仰俯角解直角三角形》两套
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第2课时 利用仰俯角解直角三角形
学习目标
1.巩固解直角三角形有关知识；（重点） 2.能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角的问题. (难点)
导入新课
情境引入
某探险者某天到达如图 所示的点A 处时，他准备估 算出离他的目的地——海拔 为3 500 m的山峰顶点B处的 水平距离.他能想出一个可行 的办法吗？
如图，在Rt△ABC中，∠BAC =25°，AC =1000m， 因此 tan 25o BC BC
AC 1000 从而 BC=1000×tan25°≈466.3（m）
因此，上海东方明珠塔的高度 BD=466.3+1.7=468（m）
答：上海东方明珠塔的高度BD为468 m.
当堂练习
1.如图1，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上 一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的 水平距离BC=____1_0_0___米. 2.如图2，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得 D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD 的高20为3_____米.
导入新课
问题引入
某探险者某天到达如 图所示的点A 处时，他准
B．
备估算出离他的目地，
海拔为3 500 m的山峰顶点
B处的水平距离.他能想出
一个可行的办法吗？
通过这节课的学习，相信你也行.
．． A
讲授新课
一 解与仰俯角有关的问题
如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平 线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线 下方的夹角叫做俯角.
BC BD CD 40 3 120 3
28.2.2.2与方位角、坡度有关的解直角三角形的应用教案
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解方位角的概念及其在解直角三角形中的应用；
（2）掌握坡度的计算方法及其在实际问题中的应用；
（3）运用解直角三角形的方法解决与方位角、坡度有关的实际问题。
举例使学生理解方位角的概念，并学会在解直角三角形中运用。
4.结合实例，让学生学会在实际情境中运用解直角三角形的知识，提高解决问题的能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.理解并掌握方位角、坡度与解直角三角形之间的关系，提高空间想象能力和几何直观；
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提升数学应用意识；
3.增强学生逻辑推理能力，使其在解决问题过程中能够运用严密的数学思维；
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调方位角的计算方法和坡度的实际应用这两个重点。对于难点部分，如将实际问题抽象为解直角三角形模型，我会通过具体实例和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与方位角、坡度相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用三角板和量角器测量并计算实际物体的方位角。
28.2.2.2与方位角、坡度有关的解直角三角形的应用教案
一、教学内容
本节课选自教材《数学》第八册，章节28.2.2.2，主要内容包括：与方位角、坡度有关的解直角三角形的应用。具体教学内容如下：
1.方位角的定义及计算方法；
2.坡度的定义及计算方法；
3.利用解直角三角形的方法解决实际生活中的问题，如确定物体方位、计算物体的高度等；
2022春九年级数学下册第28章利用解直角三角形解含方位角坡角坡度的应用授课课件新版新人教版ppt
第6课时 利用解直角三
角形解含方位角、坡角
（坡度）的应用
第二十八章 锐角三角函数
学习目标
1 课时讲解 用解直角三角形解方位角问题
用解直角三角形解坡角（或坡度） 问题
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
CB
直角三角形中诸元素之间的关系：
（1）三边之间的关系：a2+b2=c2 (勾股定理)；
感悟新知
5. 如图，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往 知1－练 百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰 好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车 车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时 段动车的平均速度是( A )米/秒． A．20( 3 ＋1) B．20( 3 －1) C．200 D．300
感悟新知
解：(1)在Rt△ABF中，tan α＝
1 1.5
≈0.666 7，
所以α≈33°41′29″.
在Rt△DCE中，tan β＝ 1 ≈0.333 3， 3
所以β≈18°26′.
知2－练
感悟新知
(2)因为AF＝6， AF 1 ， BF 1.5
所以BF＝9. 所以AB＝ BF 2＋AF 2＝ 92＋62 ≈10.8(m)． 答：斜坡AB的长约为10.8 m.
北 65°
P 34°
知1－练
A C
B
感悟新知
解：如图，在Rt△APC中， PC =PA • cos(90°-65°) =80 × cos 25° ≈72. 505. 在 Rt△BPC 中， ∠B = 34°，
sin B PC ， PB
PB PC 72.505 13（0 n mile）. sin B sin 34
人教版九年级下册数学：第28章 28.2.2解直角三角形的应用 (2)方位角、坡度坡比
达标测试
1.如图,C岛在A岛的北偏东50°方 向,C岛在B岛的北偏西40°方向,则从C
岛看A,B两岛的视角∠ACB等于 90° 。 50°
40° 50° 40°
2、如下图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与 钢缆固定点O的距离为4米，钢缆与地面的夹角∠BOA为60º，则 这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是多少米．
tanα= 1 = 3 33
∴α=30°
240
C
1: 3
?
A?
B
在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,AC=240m
∴ sinα= BC = BC
AC 240
∴ BC=240×sin30°=120(m)
答:这座山坡的坡角为30°,小刚上升了120m.
【例4 】水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高23m,
北
PC=PA·cos（90°-65°）=80×cos25°
≈80×0.91 =72.8
65°
在Rt△BPC中,∠B=34°
西
P
∵ sinB = PC
PB
34°
∴
PB
=
PC sinB
=
72.8 sin340
≈
72.8 0.559
≈130.23（海里）
南
?
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°
方向时，它距离灯塔P大约130.23海里。
45° 南
45° 45°
西南
（南偏西45°）
南
东南
（南偏东45°）
典例精析
【例1】如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距
离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位
人教版九年级下册数学 28.2.2《解直角三角形应用举例》第2课时(方向角坡度问题)课件(共27张PPT)
∵在Rt△ADF中，∠DAF=30°
设DF= x , AD=2x
则根据勾股定理，得
AF AD2 DF 2 2x2 x2 3x
在Rt△ABF中，
∵
tan ABF AF BF
∴ tan 30
3x
12 x
3 3
解得x=6
∴ AF 6x 6 3 10.4
60° B
A
DF 30°
∵10.4 海里> 8海里 ∴没有触礁危险
（2）在Rt△AFB中，∠AFB=90°，AF=6 i 1:1.5 AF 1
BF 1.5 BF 1.5AF 1.5 6 9m
AB AF 2 BF 2
62 92 107 10.8m
i=1:1.5 α
B
AD 6m
FE
i=1:3 β C
tan i 1 3
33
300
i=1:3 β C
（1）求坡角α和β;
解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90°
∵ tan AF i 1：1.5
BF
∴ 33.7o
在Rt△CDE中，∠CED=90°
∵
tan DE i 1: 3
CE
∴ 18.4o
i=1:1.5 Bα
AD 6m
FE
i=1:3 β C
（2）斜坡AB 的长（精确到0.1m）
归纳总结
解决坡度问题时，可适当添加辅助线，将梯形 分割为直角三角形和矩形来解决问题．
练习
2. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水 平宽度CE的比），根据图中数据求：
（1）坡角a和β;
（2）斜坡AB 的长（精确到0.1m）
i=1:1.5 Bα
【人教版】九年级数学下册-第2课时 方向角和坡角问题(导学案)
28.2.2 应用举例第2课时方向角和坡角问题一、新课导入1.课题导入情景：如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile 的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？问题：怎样由方向角确定三角形的内角？2.学习目标（1）能根据方向角画出相应的图形，会用解直角三角形的知识解决方位问题.（2）知道坡度与坡角的含义，能利用解直角三角形的知识解决与坡度有关的实际问题.3.学习重、难点重点：会用解直角三角形的知识解决方向角、坡度的相关问题.难点：将实际问题转化为数学问题（即数学建模）.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P76例5.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：独立探索解题思路，然后同桌之间讨论，写出规范的解题过程.（4）自学参考提纲：①如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？(结果取整数，参考数据：cos25°≈0.91，sin25°≈0.42，tan25°≈0.47，sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）a.根据已知在图中标出方向角：如图所示.b.根据方向角得到三角形的内角：在△PAB中，∵海轮沿正南方向航行，∴∠A= 65°，∠B= 34°，PA= 80 .c.作高构造直角三角形：如图所示.d.写出解答过程：在Rt△APC中，PC=PA·cos(90°-65°)=80×cos25°≈72.505（n mile）.在Rt△BPC中，∠B=34°,PB=72505sin sin34.PCB=︒≈130（n mile）.②如图，海中有一个小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°的方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°的方向上，如果渔船不改变航向继续向东航行，有没有触礁的危险？解：过A作AE⊥BD于E.由题意知：∠ABE=30°,∠ADE=60°.∴∠BAD=60°-30°=30°=∠ABD.∴AD=BD=12.∴AE=AD·sin60°=12×32=63(海里)＞8海里.∴无触礁的危险.2.自学：结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：观察学生自学提纲的答题情况.②差异指导：根据学情对学习有困难的学生进行个别或分类指导. （2）生助生：小组内互相交流、研讨.4.强化：利用解直角三角形的知识解方向角问题的一般思路.1.自学指导（1）自学内容：教材P77.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：先独立归纳利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路，然后对照课本P77的内容归纳，进行反思总结.（4）自学参考提纲：①利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路：a.将实际问题抽象为数学问题；b.根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；c.得到数学问题的答案；d.得到实际问题的答案.②练习：如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i=1∶1.5是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比，斜面坡度i=1∶3是指DE与CE的比，根据图中数据，求：a.坡角α和β的度数；b.斜坡AB的长(结果保留小数点后一位).2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：明了学生解答问题的情况.②差异指导：根据学情进行相应指导.（2）生助生：小组内互相交流、研讨.4.强化（1）坡度、坡角的含义及其关系，梯形问题的解题方法.（2）在自学参考提纲第②题中，若补充条件“坝顶宽AD=4 m”，你能求出坝底BC的长吗？（3）利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路：三、评价1.学生自我评价：在这节课的学习中你有哪些收获？掌握了哪些解题技巧和方法？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生学习的主动性、小组交流协作情况、解题方法的掌握情况等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时应先认知“方向角”“坡度”及其所代表的实际意义，添作适当的辅助线，构建直角三角形.然后结合解直角三角形的有关知识加以解答，层层展开，步步深入.一、基础巩固（70分）1.(10分)已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西40°，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的（D）A.南偏东50°B.南偏东40°C.北偏东50°D.北偏东40°2.(10分)如图，某村准备在坡度为i=1∶1.5的斜坡上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为5 m，则这两棵树在坡面上的距离AB为5133m．（结果保留根号）3.（10分）在菱形ABCD中，AB=13，锐角B的正弦值sinB=513，则这个菱形的面积为65 .4.(20分)为方便行人横过马路，打算修建一座高5 m的过街天桥.已知天桥的斜面坡度为1∶1.5，计算斜坡AB的长度(结果取整数).解：∵i=115.ACBC=,AC=5,∴BC=1.5×5=7.5.∴AB=228125.AC BC+=≈9(m).5.(20分)一轮船原在A处，它的北偏东45°方向上有一灯塔P，轮船沿着北偏西30°方向航行4 h到达B处，这时灯塔P正好在轮船的正东方向上.已知轮船的航速为25 n mile/h，求轮船在B处时与灯塔的距离（结果可保留根号）.解：过点A作AC⊥BP于点C.由题意知：∠BAC=30°,∠CAP=45°,AB=25×4=100.在Rt△ABC中，BC=12AB=50，AC=32AB=503.在Rt△ACP中，CP=AC=503.∴BP=BC+CP=50(3+1)(n mile).二、综合应用（20分）6.(20分)某型号飞机的机翼形状如图所示.根据图中数据计算AC,BD和AB 的长度（结果保留小数点后两位）.解：如图所示，在Rt△BDE中，BE=5.00，∠DBE=30°,∴DE=BE·tan30°=533,BD=103cos303BE=︒≈5.77(m).在Rt△ACF中，CF=BE=5.00,∠FCA=45°,∴AF=CF=5.00,∴AC=2CF=52≈7.07(m).∴AB=BF-AF=DE+CD-AF=533+3.40-5.00≈1.29(m).三、拓展延伸（10分）7.(10分)海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为162 n mile的圆形海域内有暗礁，一艘船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°方向上,且A，P之间的距离为32 n mile.若轮船继续向正东方向航行,轮船有无触礁危险?请通过计算加以说明.若有危险,轮船自A处开始至少沿东偏南多少度的方向航行,才能安全通过这一海域?解：如图，∠PAB=30°,AP=32.∴PB=12AP=16(n mile).∴PB＜16n mile.∴轮船有触礁危险.假设轮船沿东偏南α恰好能安全通过，此时航线AC与⊙P相切，即PC⊥AC.又∵AP=32，,∴∠PAC=45°,∴α=15°.∴轮船自A处开始至少沿东偏南15度方向航行,才能安全通过这一海域.。
九年级数学下册 28.2.2 应用举例(第2课时)教案 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中九年级
28.2.2应用举例（第二课时）一、【教材分析】二、【教学流程】2．如图所示，一渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时至B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东15°方向，此时灯塔M 与渔船的距离是( )A . 27 海里B .214海里C . 7 海里D .14 海里两道题目都需要做辅助线，通过解题，能更好的让学生发挥主观想象力，学会抽象图形的同时，掌握辅助线的作图规律.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是: 1.将实际问题抽象为数学问题; (画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;3.得到数学问题的答案;4.得到实际问题的答案.强化辅助线 总结补 偿（2014•某某某某）钓鱼岛自古以来就是中国的领土．如图，我国甲、乙两艘海监执法船某天在钓鱼岛附近海域巡航，某一时刻借助中考原题，让学生能够零距离接触中考脉搏. 对内容的升华理解认识提高这两艘船分别位于钓鱼岛正西方向的A处和正东方向的B处，这时两船同时接到立即赶往C处海域巡查的任务，并测得C处位于A处北偏东59°方向、位于B处北偏西44°方向．若甲、乙两船分别沿AC，BC方向航行，其平均速度分别是20海里/小时，18海里/小时，试估算哪艘船先赶到C处．（参考数据：cos59°≈0.52，sin46°≈0.72）同时题目内容涉及钓鱼岛国土纷争，给予学生爱国主义教育，让学生了解历史，学会知耻而后勇的道理，奋发学习，努力成为国家的栋梁之才.小结1.通过本节课的学习你有什么收获？2. 你还有哪些疑惑？学生独立思考，师生梳理本课的知识点及方法1.在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念(方位角;坡度、坡角等)2.实际问题向数学模型的转化三、【板书设计】四、【教后反思】。