应力强度因子的计算
计算应力强度因子
基于ANSYS的断裂参数的计算本文介绍了断裂参数的计算理论，并使用ANSYS进展了实例计算。
通过计算说明了ANSYS可以用于计算断裂问题并且可以取得很好的计算结果。
1 引言断裂事故在重型机械中是比拟常见的，我国每年因断裂造成的损失十分巨大。
一方面，由于传统的设计是以完整构件的静强度和疲劳强度为依据，并给以较大的安全系数，但是含裂纹在役设备还是常有断裂事故发生。
另一方面，对于一些关键设备，缺乏对不完整构件剩余强度的估算，让其提前退役，从而造成了不必要的浪费。
因此，有必要对含裂纹构件的断裂参量进展评定，如应力强度因了和J积分。
确定应力强度因了的方法较多，典型的有解析法、边界配位法、有限单元法等。
对于工程上常见的受复杂载荷并包含不规如此裂纹的构件，数值模拟分析是解决这些复杂问题的最有效方法。
本文以某一锻件中取出的一维断裂试样为计算模型，介绍了利用有限元软件ANSYS计算应力强度因子。
2 断裂参量数值模拟的理论根底对于线弹性材料裂纹尖端的应力场和应变场可以表述为：其中K是应力强度因子，r和θ是极坐标参量，可参见图1，(1)式可以应用到三个断裂模型的任意一种。
图1 裂纹尖端的极坐标系应力强度因子和能量释放率的关系：G=K/E" (3)其中：G为能量释放率。
平面应变：E"=E/(1-v2)平面应力：E=E"3 求解断裂力学问题断裂分析包括应力分析和计算断裂力学的参数。
应力分析是标准的ANSYS线弹性或非线性弹性问题分析。
因为在裂纹尖端存在高的应力梯度，所以包含裂纹的有限元模型要特别注意存在裂纹的区域。
如图2所示，图中给出了二维和三维裂纹的术语和表示方法。
图2 二维和三维裂纹的结构示意图3.1 裂纹尖端区域的建模裂纹尖端的应力和变形场通常具有很高的梯度值。
场值得准确度取决于材料，几何和其他因素。
为了捕获到迅速变化的应力和变形场，在裂纹尖端区域需要网格细化。
对于线弹性问题，裂纹尖端附近的位移场与成正比，其中r是到裂纹尖端的距离。
关于管道裂纹应力强度因子的计算
是管道内半径 R i 和外 半径 R 0 比值 ∃= R i / R 0
第1期
&设计与研究& 考应力的作用下 , 其应力强度因子分别为: KB 1r =
B 2r = 0
3
式( 9) 、 ( 10) 中的参数 M iA 和 M iB 可根据两个参考 应力强度因子解和第三个条件确定。对于表面半椭圆 裂纹最深 点的权 函数, 确定参 数 M iA 的第 三个 条件 为
权函数, 则在任何应力条件下 , 应力强度因子均可通过 积分式( 1) 求得。下面分别讨论含轴向裂纹和纵向表 面半椭圆裂纹管道应力强度因子的权函数计算方法。
3
轴向裂纹的应力强度因子
如图 1 所示 , 管壁中有一轴向裂纹 , 类似于平板中
的边缘裂纹。对于这种类似的 边缘裂纹 , Pet roski 和 Achenbach 提出了裂纹张开位移的近似表达式!4∀ : u( a, x ) =
M 2B( x ) + M 3B ( x ) a a !a F = Q 1
dx
1+ M 1B + M 2B + M 3B= 0
选取均布应力和线形减少分布应力作为两个参考 x) = x) =
%
a 0
0( 1
x) a
1 2 1 + M 1B ( x ) 2+ a !x
0 0(
! x x 3 M 2B ( a ) + M 3B ( a ) 2 d x
ext
E∋ 2
!4f ( a / w )
a
a- x ( 3)
+ G ( a/ w )
( a - x ) 3/ 2 ∀ a
2
权函数法
由权函数理论可证明
应力强度因子的计算
第二章应力强度因子的计算K--应力、位移场的度量=K的计算很重要,计算K值的几种方法：1. 数学分析法：复变函数法、积分变换；2. 近似计算法：边界配置法、有限元法；3. 实验标定法：柔度标定法；4. 实验应力分析法：光弹性法.§ 2-1 三种基本裂纹应力强度因子的计算、无限大板I型裂纹应力强度因子的计算K] =lim ■ 2px桩Z I计算K的基本公式，适用于型裂纹X? 01. 在“无限大”平板中具有长度为2a的穿透板厚的裂纹表面上，距离x = _b处各作用一对集中力p.y；「x 二ReZ i - y Im Z I；「y 二ReZ i y Im Z Ixy =_yReZ l选取复变解析函数:2 pz a2b2二(z2_b2)边界条件:a. zb. zca,出去z = ±b处裂纹为自由表面上c.如切出xy坐标系内的第一象限的薄平板，在x轴所在截面上内力总和为p2 p (匕 +a) Ja 2+孑二[(a)2-b 2] ； (2a)2p 、、 a二(a 2-b 2)2. 在无限大平板中,具有长度为2a 的穿透板厚的裂纹表面上，在距离x= _印的 范围内受均布载荷q 作用.yb.11yqn____ r~Kq 1旺x------ ►J 2 a利用叠加原理：a2q\a i . ---------------- dxo _ / 2 2、二(a -x )令x=acos : a 2-x 2= acosv , dx = acos 二当整个表面受均布载荷时，c -• a. =K i = 2^-s in3. 受二向均布拉力作用的无限大平板，在x 轴上有一系列长度为2a ，间距为2b的裂纹.以新坐标表示:K i微段 > 集中力qdx > dK i2q烏 dx 护(a 2_x 2)-K isin 4(J)广;)竺吗=a cos^二0, -a ::: x ::: a, -a 二2b ：：： x ：：： a 二2b 在区间内；-y =°,，xy =c.所有裂纹前端；匚y.匚单个裂纹时又Z应为2b的周期函数采用新坐标：=z-an ..-sin ( a) 2b当© t 0时,sin 二© =厶Jcos 厶© =12b 2b 2b迟JL乜JL JL乜= sin——( a) =sin—— cos一a cos一sin — a 2b2b 2b 2b 2b边界条件是周期的：a. z —二二xb.在所有裂纹内部应力为零.y~2 2z - a-sin2b二a、2(Sin" %2b 仙2b)JI u 31ji.二 a 二 sin - 2b 1 -a . -a ——cos ——sin — 2b 2b 2b =；「2b tan a \ 2b—a, 2b tan ：aYn a2b2a 1若裂纹间距离比裂纹本身尺寸大很多（兰乞丄）可不考虑相互作用，按单个裂纹2b 5计算•二、无限大平板n>m 型裂纹问题应力强度因子的计算1. u 型裂纹应力强度因子的普遍表达形式（无限大板）:心计吋（人尹2. 无限大平板中的周期性的裂纹，且在无限远的边界上处于平板面内的纯剪切 力作用.JT JT cos a sin a 2b 2b2bfTTfTTfTTfTTHTfTTfTT.. 2 ■22 2[sin (a)] = ( ) cos a 2 cos a sin a (sin a) 2b2b 2b 2b 2b 2b2b•2：:.2[%(a)] -(sin2b a)JI=2 -2bn Jicos asin a2b 2b:二 sin2b—2/ ?.a .二 acos ——sin2b 2b2b 修正系数,大于1,表示其他裂纹存在对K ］的影响.二a 2 药）心=帆 J 2 兀©Z (©) = i V^a J^tan 舒3.川型裂纹应力强度因子的普遍表达形式（无限大板）:4.周期性裂纹:sin二z 2b n ： …sin ( a) 2bZ()二訓n 2?+a)]2-伽訝H Z 2伽亦）一伽§ 2-2 深埋裂纹的应力强度因子的计算1950年，格林和斯内登分析了弹性物体的深埋的椭圆形裂纹邻域内的应力 和应变，得到椭圆表面上任意点，沿y 方向的张开位移为：2 2 1x z . 2 y =y 0（1 2 2）a c2（1 -」2）；「a 其中：yo =（丘丿.-为第二类椭圆积分•有Ji | 2 2=o 2、1-c；asin 2d 「（于仁东书丿匹 a^2 二 2[sin 2「（-）2cos 2] d （王铎书丿 0c1962年,lrwin 利用上述结果计算在这种情况下的应力强度因子xz2 2 2 2 2N 二 Qcos : ,x ,-『sin :2 2 X i 乙-2~~2acacc 2sin 2「a 2cos 2假设：椭圆形裂纹扩展时，其失径「的增值r 与「成正比.边缘上任一点p （x ,z ）,有:x j (「r)sin 炉=(1 f^?sin 》=(1 f)x iz = r)cos 即=(1 f )z 1=■ p (x ；z), p (M,Z i )均在 y=0 的平面内.— ,:2 ・2-2 24 2 2・2 ・2=c x a z (i f)ac a c=新的裂纹面仍为椭圆•长轴c =(i • f)c ,短轴a '=(i • f)a .=y 向位移2 2原有裂纹面：二 二,上）2=ia c y o2 2扩展后裂纹面：笃•务•（工）2=i a c y o以x'x i , z'z,代入=原有裂纹面的边缘y 向位移y ,有原裂纹面y o2(i 」2)二 a2(i-」2)ri f)aE=(i f)y oc 2片2a 2zj 二 a 2c 2sin 2「亠 a 2cos2 :2 2 2 2 2 2「-（1-2门笃一（1一2门刍=1一笃一乌2f （笃吕）ac a ca c=2f二 y 2=2fy °2=2f （1 f ）2y o 2L 2fy 。
应力强度因子的一般表达式和用途
应力强度因子的一般表达式和用途原题号：6假定某一物体内一个长度为a 2的小裂纹处于一个拉应力作用下，应力方向垂直于裂纹表面。
x 方向是预计的裂纹发展线，y 方向为垂直于裂纹方向。
r 、θ坐标系在x 、y 坐标平面内，它的原点在裂纹前缘。
如果假定材料是二维线弹性各向同性连续体，则裂纹尖端附近（r <<a ）的应力（全部厚度的平均值）为：=− −= +=23cos 2cos 2sin 223sin 2sin 12cos 223sin 2sin 12cos 20θθθπτσθθθπσθθθπσr K rK rK I xy x I x Iy (2.1) 式中，I K 是参数“应力强度因子”；下角标I 表明是把裂纹表面直接拉开的应力系统，即张开型裂纹。
除张开型的裂纹变形之外，还有两种不同的形式，滑开型裂纹变形（II 型）和撕开型变形（III 型）（如图2.1）。
对于一条穿过物体的裂纹而言，裂纹的扩展通常用整个裂纹的平均应力来进行研究，而不考虑在厚度中心的断裂可能是张开型，而接近表面则可能是剪切型的这种事实、习惯上，对于这种混合型的断裂，整个有效应力强度因子是用K 来标明的，没有加下角标。
图2.1 裂纹表面位移的基本形式 对于一般的平面应力和平面应变状态，K 值的一般表达式为：a Y K πσ= (2.2)(c) I 型 (b) II 型(a) III 型式中σ——应力；a ——裂纹尺寸；Y ——应力强度因子修正系数，为裂纹形状和所考虑的有裂纹物体的函数，参考文献[1]对Y 值的计算公式进行了归纳。
K 是建立在线弹性断裂力学基础上的，它研究的是理想弹性体的低应力脆性断裂问题，其主要对象是高强度低韧性钢，这种材料认为其断裂没有塑性变形。
但实际一般钢结构在裂纹尖端或多或少存在塑性变形区（屈服区），塑性区的形状和尺寸因材料性质、几何形状和应力状态等因素而异。
当屈服区小于裂纹尺寸，称为小范围屈服。
研究表明对裂纹尖端的塑性区进行修正，小范围屈服的裂纹体仍可应用线弹性断裂力学。
abaqus计算应力强度因子
重庆大学课题： Abaqus 计算裂纹应力强度因子学院：专业：学号：姓名：一、计算裂纹应力强度因子问题描绘：以无穷大平板含有一单边裂纹为例，裂纹长度为 a=10mm，平板宽度 h=30，弹性模量 E=210000Pa，泊松比 v=，在远场受双向均布拉应力。
使用 Abaqus 计算该问题：1、进入 part 模块成立平板 part ，平板的尺寸相关于裂纹足够大，本例尺寸为50x30（mm）；使用 Partation Face:sketch 工具，将 part 分开成如图 1 形式图 12、进入 property 模块成立弹性资料；截面选择平面问题的solid，homogeneous；给予截面。
3、进入 Assembly 模块实体的种类（ instance type）选择 independent 。
4、进入 mesh 模块区分单元格如图 2 所示。
图 25、进入 interaction 模块指定裂纹 special/creak/assign seam；生成裂纹 crack 1，special/crack/create ；special/crack/edit ，对两个裂纹进行应力奇怪的设置。
6、进入 step 模块在 initial 步以后成立 static ， general 步；在output/history output requests/create/中创立输出变量。
7、进入 load 模块定义位移和荷载界限，如图 3 所示。
图 38、进入 job 模块，提交计算Mises 应力散布见图4，在 .dat 文件中（图 5）查察应力强度因子。
图 4图 5计算分析解：由公式F=- (a/h)+(a/h) 2- (a/h)3+(a/h)4计算得分析解为k=1001应力强度因子偏差为%二、偏差剖析改变板的长度，其余条件不变1.当长度L=100时偏差为 %2.当板长L=30偏差为 %结论：当板长改变，板长没法表现无穷大的状况，计算结果的偏差会变大。
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第二章 应力强度因子的计算K --应力、位移场的度量⇒K 的计算很重要,计算K 值的几种方法: 1.数学分析法:复变函数法、积分变换； 2.近似计算法：边界配置法、有限元法； 3.实验标定法：柔度标定法； 4.实验应力分析法：光弹性法.§2-1 三种基本裂纹应力强度因子的计算一、无限大板Ⅰ型裂纹应力强度因子的计算K Z ξ→=→ⅠⅠ计算K 的基本公式，适用于Ⅱ、Ⅲ型裂纹.1.在“无限大”平板中具有长度为2a 的穿透板厚的裂纹表面上，距离x b =±处各作用一对集中力p .Re Im x Z y Z σ'=-ⅠⅠRe Im y Z y Z σ'=+ⅠⅠRe xy y Z τ'=-Ⅰ选取复变解析函数：222()Z z b π=- 边界条件：a.,0x y xy z σστ→∞===.b.,z a <出去z b =±处裂纹为自由表面上0,0y xy στ==。
c.如切出xy 坐标系内的第一象限的薄平板，在x 轴所在截面上内力总和为p 。
y '以新坐标表示：Z=⇒lim()K Zξξ→==Ⅰ2.在无限大平板中,具有长度为2a的穿透板厚的裂纹表面上，在距离1x a=±的范围内受均布载荷q作用.利用叠加原理:微段→集中力qdx→dK=Ⅰ⇒K=⎰Ⅰ令cos cosx a aθθ==,cosdx a dθθ=⇒111sin()1cos22(cosaa aaaK daθθθ--==Ⅰ当整个表面受均布载荷时,1a a→.⇒12()aaK-==Ⅰ3.受二向均布拉力作用的无限大平板,在x轴上有一系列长度为2a,间距为2b 的裂纹.边界条件是周期的: a. ,y x z σσσ→∞==.b.在所有裂纹内部应力为零.0,,22y a x a a b x a b =-<<-±<<±在区间内0,0y xy στ==c.所有裂纹前端y σσ> 单个裂纹时Z =又Z 应为2b 的周期函数⇒sinzZ πσ=采用新坐标:z a ξ=-⇒sin()a Z πσξ+=当0ξ→时,sin,cos1222bbbπππξξξ==⇒sin()sincos cos sin22222a a a bbbbbπππππξξξ+=+σcossin222a a bbbπππξ=+2222[sin()]()cos 2cos sin(sin)2222222a a a a a bbbbbb bπππππππξξξ+=++22[sin()](sin )2cos sin22222a a a a bbbbbπππππξξ⇒+-=sinaZ ξπσ→⇒=sinlim aK ξπσ→⇒===Ⅰ=取w M =修正系数,大于1,表示其他裂纹存在对K Ⅰ的影响. 若裂纹间距离比裂纹本身尺寸大很多(2125a b ≤)可不考虑相互作用,按单个裂纹计算.二、无限大平板Ⅱ、Ⅲ型裂纹问题应力强度因子的计算 1.Ⅱ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):lim (K Z ξξ→=Ⅱ2.无限大平板中的周期性的裂纹,且在无限远的边界上处于平板面内的纯剪切力作用.τsin()zZ z πτ=sin()()a Z πτξξ+=lim ()K ξξ→⇒==Ⅱ3.Ⅲ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):lim ()K ξξ→=Ⅲ4.周期性裂纹:K =§2-2 深埋裂纹的应力强度因子的计算1950年，格林和斯内登分析了弹性物体的深埋的椭圆形裂纹邻域内的应力和应变，得到椭圆表面上任意点,沿y 方向的张开位移为:1222022(1)x z y y a c=--其中:202(1)ay E μσ-=Γ.Γ为第二类椭圆积分.有φϕ= (于仁东书) 1222220[sin ()cos ]a d cπϕϕϕ=+⎰(王铎书)1962年,Irwin 利用上述结果计算在这种情况下的应力强度因子σ原裂纹面11cos ,sin z x ρϕρϕ==又222222221111221x z c x a z a c a c+=⇒+= ⇒ρ=假设:椭圆形裂纹扩展时,其失径ρ的增值r 与ρ成正比.r f ρ= (f 远小于1)r f ρ⇒==边缘上任一点(,)p x z ''',有:1()sin (1)sin (1)x r f f x ρϕρϕ'=+=+=+1()cos (1)z r f z ρϕ'=+=+11(,),(,)p x z p x z '''⇒均在0y =的平面内. 222242222(1)c x a z f a c a c ''''''⇒+=+=⇒新的裂纹面仍为椭圆.长轴(1)c f c '=+,短轴(1)a f a '=+. ⇒y 向位移22002(1)2(1)(1)(1)a f a y f y E E μσμσϕϕ'--+'===+原有裂纹面:222220()1x z ya c y ++=扩展后裂纹面:222220()1x z y a c y '''++='''以1x x '=,1z z '=,代入⇒原有裂纹面的边缘y 向位移y ',有2222211112222222011(1)(1)x z x z y y a c f a f c'=-+=--'''++。
如何使用ABAQUS计算应力强度因子
如何使用ABAQUS计算应力强度因子ABAQUS是一种广泛使用的有限元分析软件，可用于计算应力强度因子。
应力强度因子用于评估材料中的裂纹扩展性能，是断裂力学中的重要参数。
以下是使用ABAQUS计算应力强度因子的一般步骤：1.准备模型：在使用ABAQUS计算应力强度因子之前，需要先准备好模型。
模型应包含有裂纹的几何形状，以及材料的属性。
2.确定边界条件：要使用ABAQUS计算应力强度因子，必须指定适当的边界条件。
这些条件可以是约束的位移或力。
3.定义材料特性：为了计算应力强度因子，需要定义材料的特性，如弹性模量和泊松比。
这些特性通常可以从实验数据中获取。
4.创建网格：在使用ABAQUS计算应力强度因子之前，需要对模型进行离散化处理，将其划分为有限个单元。
这可以通过使用ABAQUS提供的网格生成工具来完成。
5.应用载荷：定义适当的载荷类型和大小，以便在模型上施加负载。
这可以是施加在边界上的力或位移。
6.定义裂纹：使用ABAQUS的初始裂纹命令或裂纹离散化工具来创建裂纹几何。
裂纹可以是直线裂纹，也可以是不规则或曲线裂纹。
7.定义断裂准则：使用ABAQUS的断裂准则定义工具，指定在何种条件下认为破坏发生。
常用的断裂准则包括应力强度因子法和能量释放率法。
8.运行ABAQUS求解器：在定义了模型、边界条件、材料特性、网格和载荷之后，可以运行ABAQUS求解器。
根据模型的复杂程度，可能需要较长的计算时间。
9.后处理结果：一旦ABAQUS求解器完成计算，可以使用ABAQUS提供的后处理工具来分析结果。
这些工具可以用于计算应力强度因子及其分布。
10.计算应力强度因子：通过使用ABAQUS的应力强度因子计算工具，可以计算裂纹尖端处的应力强度因子。
这些结果可以用来预测裂纹的扩展和破坏行为。
应力强度因子的数值计算方法
应力强度因子的数值计算方法应力强度因子是用来描述裂纹尖端应力场的重要参数，它在研究裂纹扩展、断裂行为等问题中具有重要的应用价值。
本文将介绍应力强度因子的数值计算方法，包括解析方法和数值方法。
一、解析方法解析方法是指通过求解弹性力学方程，得到应力场的解析表达式，进而计算应力强度因子。
常见的解析方法有：1. 爱尔兰函数法：该方法适用于轴对称问题，通过引入爱尔兰函数，将弹性力学方程转化为常微分方程，进而得到应力强度因子的解析表达式。
2. 奇异积分法：该方法适用于不规则裂纹形状或复杂载荷情况。
通过奇异积分的性质，将应力场分解为奇异和非奇异两部分，进而得到应力强度因子的解析表达式。
3. 线性弹性断裂力学方法：该方法通过建立合适的应力强度因子与裂纹尺寸之间的关系，利用裂纹尖端应力场的奇异性，通过分析弹性力学方程的边界条件，得到应力强度因子的解析表达式。
二、数值方法数值方法是指通过数值计算的方式，求解弹性力学方程，得到应力场的数值解，从而计算应力强度因子。
常见的数值方法有：1. 有限元法：有限元法是一种广泛应用的数值方法，通过将结构离散为有限个单元，建立节点间的关系，利用数值方法求解离散方程组，得到应力场的数值解，进而计算应力强度因子。
2. 边界元法：边界元法是一种基于边界积分方程的数值方法，通过将边界上的应力场表示为边界积分方程的形式，利用数值方法对积分方程进行离散求解，得到应力场的数值解，进而计算应力强度因子。
3. 区域积分法：区域积分法是一种基于区域积分方程的数值方法，通过将应力场表示为积分方程的形式，利用数值方法对积分方程进行离散求解，得到应力场的数值解，进而计算应力强度因子。
以上介绍了应力强度因子的数值计算方法，包括解析方法和数值方法。
解析方法适用于问题简单、载荷条件规则的情况，可以得到解析表达式并具有较高的精度；数值方法适用于问题复杂、载荷条件不规则的情况，通过数值计算可以得到应力场的数值解，并利用数值解计算应力强度因子。
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第二章 应力强度因子的计算K --应力、位移场的度量⇒K 的计算很重要,计算K 值的几种方法: 1.数学分析法:复变函数法、积分变换； 2.近似计算法：边界配置法、有限元法； 3.实验标定法：柔度标定法； 4.实验应力分析法：光弹性法.§2-1 三种基本裂纹应力强度因子的计算一、无限大板Ⅰ型裂纹应力强度因子的计算K Z ξ→=→ⅠⅠ计算K 的基本公式，适用于Ⅱ、Ⅲ型裂纹.1.在“无限大”平板中具有长度为2a 的穿透板厚的裂纹表面上，距离x b =±处各作用一对集中力p .Re Im x Z y Z σ'=-ⅠⅠ！Re Im y Z y Z σ'=+ⅠⅠRe xy y Z τ'=-Ⅰ选取复变解析函数：Z =边界条件：a.,0x y xy z σστ→∞===.b.,z a <出去z b =±处裂纹为自由表面上0,0y xy στ==。
c.如切出xy 坐标系内的第一象限的薄平板，在x 轴所在截面上内力总和为p 。
/y '以新坐标表示：Z=⇒lim()K Zξξ→==Ⅰ\2.在无限大平板中,具有长度为2a的穿透板厚的裂纹表面上，在距离1x a=±的范围内受均布载荷q作用.利用叠加原理:微段→集中力qdx→dK=Ⅰ⇒aK=⎰Ⅰ、令cos cosx a aθθ==,cosdx a dθθ=⇒111sin()1cos22()cosaa aaaK daθθθ--==Ⅰ当整个表面受均布载荷时,1a a→.⇒12(aaK-==Ⅰ3.受二向均布拉力作用的无限大平板,在x轴上有一系列长度为2a,间距为2b的裂纹.边界条件是周期的: a. ,y x z σσσ→∞==.b.在所有裂纹内部应力为零.0,,22y a x a a b x a b =-<<-±<<±在区间内0,0y xy στ==c.所有裂纹前端y σσ> 单个裂纹时Z =#又Z 应为2b 的周期函数⇒sinzZ πσ=采用新坐标:z a ξ=-⇒sin()a Z πσξ+=当0ξ→时,sin,cos1222bbbπππξξξ==σ⇒sin()sincos cossin22222a a a bbbbbπππππξξξ+=+cos sin222a a bbbπππξ=+2222[sin()]()cos 2cos sin(sin)2222222a a a a a bbbbbbbπππππππξξξ+=++22[sin()](sin )2cos sin22222a a a a bbbbbπππππξξ⇒+-=sinaZ ξπσ→⇒=sinlim aK ξπσ→⇒===Ⅰ！=取w M =修正系数,大于1,表示其他裂纹存在对K Ⅰ的影响. 若裂纹间距离比裂纹本身尺寸大很多(2125a b ≤)可不考虑相互作用,按单个裂纹计算.二、无限大平板Ⅱ、Ⅲ型裂纹问题应力强度因子的计算 1.Ⅱ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):lim (K Z ξξ→=Ⅱ2.无限大平板中的周期性的裂纹,且在无限远的边界上处于平板面内的纯剪切力作用.sin()zZ z πτ=sin()()a Z πτξξ+=lim ()K ξξ→⇒==Ⅱ3.Ⅲ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):；lim ()K ξξ→=Ⅲ4.周期性裂纹:K =、τ*§2-2 深埋裂纹的应力强度因子的计算1950年，格林和斯内登分析了弹性物体的深埋的椭圆形裂纹邻域内的应力和应变，得到椭圆表面上任意点,沿y 方向的张开位移为:1222022(1)x z y y a c=--其中:202(1)ay E μσ-=Γ.Γ为第二类椭圆积分.有φϕ= (于仁东书) |σ1222220[sin ()cos ]a d cπϕϕϕ=+⎰(王铎书)1962年,Irwin 利用上述结果计算在这种情况下的应力强度因子原裂纹面11cos ,sin z x ρϕρϕ==又222222221111221x z c x a z a c a c+=⇒+=⇒ρ=假设:椭圆形裂纹扩展时,其失径ρ的增值r 与ρ成正比.r f ρ= (f 远小于1)r f ρ⇒==边缘上任一点(,)p x z ''',有:<1()sin (1)sin (1)x r f f x ρϕρϕ'=+=+=+1()cos (1)z r f z ρϕ'=+=+11(,),(,)p x z p x z '''⇒均在0y =的平面内.222242222(1)c x a z f a c a c ''''''⇒+=+=⇒新的裂纹面仍为椭圆.长轴(1)c f c '=+,短轴(1)a f a '=+. ⇒y 向位移22002(1)2(1)(1)(1)a f a y f y E E μσμσϕϕ'--+'===+原有裂纹面:222220()1x z ya c y ++=扩展后裂纹面:222220()1x z y a c y '''++='''以1x x '=,1z z '=,代入⇒原有裂纹面的边缘y 向位移y ',有222221111222222211(1)(1)x z x z y y a c f a f c '=-+=--'''++ }2222221111112222221(12)(12)12()x z x z x z f f f a c a c a c----=--++2f =2222200022(1)2y fy f f y fy ''⇒==+又f =⇒2y '=设各边缘的法向平面为平面应变,有:31)sin sin ]22v k θθ=+- 其中34k μ=-当θπ=时24(1)v K E μ-=222216(1)2I r K E μπ-⇒=:22021E ()41I K y acπμ⇒=-又202(1)ay E μσϕ-=14122222()(sin cos )I a K c a cϕϕφ⇒=+在椭圆的短轴方向上，即2πϕ=，有I ImaxK K φ== 危险部位 →椭圆片状深埋裂纹的应力强度因子当a c =时→圆片状裂纹，2πφ=2I K π⇒=#§2-3 半椭圆表面裂纹的应力强度因子计算一、表面浅裂纹的应力强度因子当aB （板厚）→线裂纹⇒可以忽略后自由表面对A 点应力强度的影响—欧文假设：半椭圆片状表面线裂纹I K 与深埋椭圆裂纹的I K 之比等于边裂纹平板与中心裂纹平板的I K 值之比。
I I I I K K K K =表边埋中又有：1220.1sin(1)tanI I AK W A K Wππ=+边中其中：A ----裂纹长度；W---板宽度 当1A W 时22sin A A W W ππ≈，tan A A W Wππ≈1.1I I K K ⇒≈≈边中1.1I I K K ⇒=表埋1.1I I K K ⇒==埋表→椭圆片状表面裂纹A 处的I K 值二、表面深裂纹的应力强度因子:深裂纹：引入前后二个自由表面⇒使裂纹尖端的弹性约束减少⇒裂纹容易扩展⇒I K 增大()I IK Me K ⇒=⋅表面（埋藏） 其中：Me —弹性修正系数，应大于1，由实验确定 一般情况下12Me M M =⋅其中：1M —前自由表面的修正系数2M —后自由表面的修正系数关于Me 表达式两种形式的论述 1. 巴里斯和薛a ．0a c →时⇒接近于单边切口试样1 1.12M =b ．1a c→时⇒接近于半圆形的表面裂纹11M =利用线性内插法110.12(1)aM c=+-%利用中心穿透裂纹弹性件的厚度校正系数⇒ 1222(tan )2B a M a Bππ=B —板厚a —裂纹深度 c —裂纹长度当aB 时21M ≈⇒浅裂纹不考后自由表面的影响2. 柯巴亚希.沙.莫斯2110.12(1)2a M c=+-1222(tan )2B a M a Bππ=⇒表面裂纹的应力强度因子（应为最深点处）：I K =】|§2-4 其他问题应力强度因子的计算一、 Ⅰ.Ⅱ型复合问题应力强度因子的计算 复变数：iy x z +=，iy x z -=取复变解析函数：()x z p iq =+，11()z p iq ψ=+取应力函数：2()()()()z z zx z zx z ϕψψ=+++或Re[()()]z zx z ϕψ=+⇒满足双调和方程分析第一应力不变量：22'224Re[()]x y x z x yϕϕσσ∂∂+=+=∂∂ （推导过程略）对于Ⅰ.Ⅱ型复合裂纹Ⅰ型：'Re Im x I I Z y Z σ=-， 'Re Im y I I Z y Z σ=+⇒ ||0||0|0()2Re 2x y IIZ ξξξσσ→→→+==Ⅱ型：'2Im Re x II II Z y Z σ=+ 'Re y II y Z σ=-—000()|2Im |2|x y Z ξξξσσ→→→⇒+==ⅡⅡ⇒Ⅰ、Ⅱ型复合裂纹在裂纹前端处的不变量.000()|2|2|x y ξξξσσ+→→→+=+ⅠⅡ02)]|K iK ξ→⇒-ⅠⅡ 取复数形式的应力强度因子.K K iK =-ⅠⅡ00()|2|x y ξξσσ+→→⇒+=ⅠⅡ 又()4Re[()]x y x Z σσ'+=lim ()K Z ξ→'⇒=若采用z 坐标:()z aZ a K Z ξ→'=-⇒=选择()x z '满足具体问题的应力边界条件.⇒这种方法利用普遍形式函数求解应力强度因子. '1144()()()()f F Z F Z ZF Z ZF Z =+++ (14(),()F Z F Z 为解析函数)---复变解析函数表达的双调和函数的普遍形式(或复变应力函数为普遍形式). 利用这个方法可以求解很多”无限大”平板中的穿透裂纹问题. 二、有限宽板穿透裂纹应力强度因子的计算实际情况:应看成有限宽计算.→必须考虑的自由边界对裂纹尖端应力场和位移场的影响.→在理论上得不到完全解.→通过近似的简化或数值计算方法→数值解.方法:边界配置法,有限单元法等.针对有限宽板问题:寻找一个满足双调和方程和边界条件的应力函数或复变解析应力函数.边界配置法:将应力函数用无穷级数表达,使其满足双调和方程和边界条件,但不是满足所有的边界条件,而是在有限宽板的边界上,选足够多的点,用以确定应力函数,然后再由这样符合边界条件的应力函数确定K 值.边界配置法:计算平面问题的单边裂纹问题,只限于讨论直边界问题. 以三点弯曲试样为例进行说明.(1)威廉氏(Williams)应力函数和应力公式 。