九年级数学上册第四章图形的相似4探索三角形相似的条件第2课时相似三角形的判定定理作业课件新版北师大版
(2)∵∠ABD＝∠ACF，∴∠BGF＝∠CGE， ∴△BGF∽△CGE.∴BFGG＝CEGG. 又∵∠FGE＝∠BGC，∴△FGE∽△BGC. ∴BFEC＝CEGG.∴FE·CG＝EG·CB
15．如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，
△HGI是①与②相似 B．①与③相似 C．①与④相似 D．②与④相似
11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点G，E为AD的中点， 连 接 BE 交 AC 于 点 F ， 连 接 FD ， 若 ∠ BFA ＝ 90° ， 则 下 列 四 对 三 角 形 ： ① △ BEA 与 △ ACD ； ② △ FED 与 △ DEB ； ③ △ CFD 与 △ ABG ； ④ △ ADF 与 △CFB.其中相似的有_①__②__③___.(填序号)
解：设它们同时出发了 t 秒时△PBQ 与△ABC 相似，BP＝10－t，BQ＝2t.
①∵∠B＝∠B，∴当BBAP ＝BBQC时，△PBQ∽△ABC， ∴101－0 t＝220t ，解得 t＝5； ②∵∠B＝∠B，∴当BBCP＝BBQA时，△PBQ∽△CBA，∴102－0 t＝120t ， ∴t＝2.综上，它们同时出发了 2 秒或 5 秒时， 以 P，B，Q 为顶点的三角形与以 A，B，C 为顶点的三角形相似
且AB＝2，BC＝1，连接AI，交FG于点Q，则QI＝__3___.
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝10 cm，BC＝20 cm， 两只小虫P和Q同时分别从A，B出发沿AB，BC向终点B，C方向前进， 小虫P每秒走1 cm，小虫Q每秒走2 cm. 请问：它们同时出发多少秒时， 以P，B，Q为顶点的三角形与以A，B，C为顶点的三角形相似？
∵AADC＝CDGF， ∴△ADF∽△ACG (2)∵△ADF∽△ACG，
∴AADC＝AAGF ， 又∵AADC＝12，∴AAGF ＝12，∴AFGF＝1
7．如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在 AC，AB 边上， 且AADC＝13，AE＝BE，连接 DE，BD.求证：∠AED＝∠CBD.
6．(杭州中考)如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，
∠AED＝∠B，射线 AG 分别交线段 DE，BC 于点 F，G，且AADC＝CDGF. (1)求证：△ADF∽△ACG； (2)若AADC＝12，求AFGF的值．
解：(1)证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠DAE， ∴∠ADF＝∠C，
其中单独能够判定△ABC∽△ACD 的个数为( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
9．如图，在△ABC中，AB＝24，AC＝18，D为AC上一点，AD＝12， 在AB上取一点E，使A，D，E组成的三角形与△ABC相似，则AE＝___9_或_.16
10．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形 分成①，②，③，④四个三角形．若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一 定正确的是(B )
证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC， ∠A＝∠C＝60°，
又∵点 E 为 AB 的中点，AADC＝13， ∴ABCE＝12，ADDC＝12， ∴ABCE＝ADDC，又∵∠A＝∠C， ∴△AED∽△CBD，∴∠AED＝∠CBD
8．如图，给出下列条件：
①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③ACDC＝ABCB；④AC2＝AB·AD.
3．如图，AB，CD交于点O，且OC＝45，OD＝30，OB＝36， 当OA＝_5_4_时，△AOC∽△BOD；当OA＝_3_7_._5_时，△AOC∽△DOB.
4．如图，在△ABC 中，CD 是 AB 边上的高，且ACDD＝CBDD， 则∠ACB＝__9_0__度．
5．如图，点 D 是△ABC 边 AB 上的一点，AD＝2BD＝2， 当 AC＝___6__时，△ACD∽△ABC.
AE＝ED，DF＝14DC，连接 EF 并延长交 BC 的延长线于点 G. (1)求证：△ABE∽△DEF； (2)若正方形的边长为 8，求 BG 的长．
解：(1)由题意得DDEF＝AABE＝12， 又∵∠D＝∠A＝90°， ∴△ABE∽△DEF (2)∵DE∥CG，∴△DEF∽△CGF，
∴CDGE＝DFCF＝13， ∴CG＝3ED＝12，∴BG＝8＋12＝20
第四章 图形的相似
4．4 探索三角形相似的条件
第2课时 相似三角形的判定定理(2)
1．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后， 仍无法判定△ABC∽△ADE 的是（ B ） A.AADB＝AACE
B.AADB＝BDCE C．∠B＝∠D
D．∠C＝∠AED
2．如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6. 将△ABC沿图示中的虚线剪开， 剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( C )
12．在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做
格点三角形，在如图5×5的方格纸中，以A，B为顶点作格点三角形与 △OAB相似(相似比不能为1)，则另一个顶点C的坐标为_(_5_，__2_)_或__(_4_，__4_) _．
13．如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AD，CD 上的点，
14．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD交于点E， 点F在边AB上，连接CF交线段BE于点G，CG2＝GE·GD. (1)求证：∠ACF＝∠ABD； (2)连接EF，求证：EF·CG＝EG·CB.
证明：(1)∵CG2＝GE·GD， ∴GCGD＝CGGE， 又∵∠CGD＝∠EGC， ∴△GCD∽△GEC. ∴∠GDC＝∠GCE. ∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC.∴∠ACF＝∠ABD
15．如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，
△HGI是①与②相似 B．①与③相似 C．①与④相似 D．②与④相似
11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点G，E为AD的中点， 连 接 BE 交 AC 于 点 F ， 连 接 FD ， 若 ∠ BFA ＝ 90° ， 则 下 列 四 对 三 角 形 ： ① △ BEA 与 △ ACD ； ② △ FED 与 △ DEB ； ③ △ CFD 与 △ ABG ； ④ △ ADF 与 △CFB.其中相似的有_①__②__③___.(填序号)
解：设它们同时出发了 t 秒时△PBQ 与△ABC 相似，BP＝10－t，BQ＝2t.
①∵∠B＝∠B，∴当BBAP ＝BBQC时，△PBQ∽△ABC， ∴101－0 t＝220t ，解得 t＝5； ②∵∠B＝∠B，∴当BBCP＝BBQA时，△PBQ∽△CBA，∴102－0 t＝120t ， ∴t＝2.综上，它们同时出发了 2 秒或 5 秒时， 以 P，B，Q 为顶点的三角形与以 A，B，C 为顶点的三角形相似
且AB＝2，BC＝1，连接AI，交FG于点Q，则QI＝__3___.
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝10 cm，BC＝20 cm， 两只小虫P和Q同时分别从A，B出发沿AB，BC向终点B，C方向前进， 小虫P每秒走1 cm，小虫Q每秒走2 cm. 请问：它们同时出发多少秒时， 以P，B，Q为顶点的三角形与以A，B，C为顶点的三角形相似？
∵AADC＝CDGF， ∴△ADF∽△ACG (2)∵△ADF∽△ACG，
∴AADC＝AAGF ， 又∵AADC＝12，∴AAGF ＝12，∴AFGF＝1
7．如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在 AC，AB 边上， 且AADC＝13，AE＝BE，连接 DE，BD.求证：∠AED＝∠CBD.
6．(杭州中考)如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，
∠AED＝∠B，射线 AG 分别交线段 DE，BC 于点 F，G，且AADC＝CDGF. (1)求证：△ADF∽△ACG； (2)若AADC＝12，求AFGF的值．
解：(1)证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠DAE， ∴∠ADF＝∠C，
其中单独能够判定△ABC∽△ACD 的个数为( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
9．如图，在△ABC中，AB＝24，AC＝18，D为AC上一点，AD＝12， 在AB上取一点E，使A，D，E组成的三角形与△ABC相似，则AE＝___9_或_.16
10．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形 分成①，②，③，④四个三角形．若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一 定正确的是(B )
证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC， ∠A＝∠C＝60°，
又∵点 E 为 AB 的中点，AADC＝13， ∴ABCE＝12，ADDC＝12， ∴ABCE＝ADDC，又∵∠A＝∠C， ∴△AED∽△CBD，∴∠AED＝∠CBD
8．如图，给出下列条件：
①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③ACDC＝ABCB；④AC2＝AB·AD.
3．如图，AB，CD交于点O，且OC＝45，OD＝30，OB＝36， 当OA＝_5_4_时，△AOC∽△BOD；当OA＝_3_7_._5_时，△AOC∽△DOB.
4．如图，在△ABC 中，CD 是 AB 边上的高，且ACDD＝CBDD， 则∠ACB＝__9_0__度．
5．如图，点 D 是△ABC 边 AB 上的一点，AD＝2BD＝2， 当 AC＝___6__时，△ACD∽△ABC.
AE＝ED，DF＝14DC，连接 EF 并延长交 BC 的延长线于点 G. (1)求证：△ABE∽△DEF； (2)若正方形的边长为 8，求 BG 的长．
解：(1)由题意得DDEF＝AABE＝12， 又∵∠D＝∠A＝90°， ∴△ABE∽△DEF (2)∵DE∥CG，∴△DEF∽△CGF，
∴CDGE＝DFCF＝13， ∴CG＝3ED＝12，∴BG＝8＋12＝20
第四章 图形的相似
4．4 探索三角形相似的条件
第2课时 相似三角形的判定定理(2)
1．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后， 仍无法判定△ABC∽△ADE 的是（ B ） A.AADB＝AACE
B.AADB＝BDCE C．∠B＝∠D
D．∠C＝∠AED
2．如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6. 将△ABC沿图示中的虚线剪开， 剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( C )
12．在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做
格点三角形，在如图5×5的方格纸中，以A，B为顶点作格点三角形与 △OAB相似(相似比不能为1)，则另一个顶点C的坐标为_(_5_，__2_)_或__(_4_，__4_) _．
13．如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AD，CD 上的点，
14．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD交于点E， 点F在边AB上，连接CF交线段BE于点G，CG2＝GE·GD. (1)求证：∠ACF＝∠ABD； (2)连接EF，求证：EF·CG＝EG·CB.
证明：(1)∵CG2＝GE·GD， ∴GCGD＝CGGE， 又∵∠CGD＝∠EGC， ∴△GCD∽△GEC. ∴∠GDC＝∠GCE. ∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC.∴∠ACF＝∠ABD
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九年级数学相似三角形性质(PPT)4-2
定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫相似 三角形. 三角形相似判定：
1.对应角相等，对应边成比例。
2.预备定理：平行于三角形一边的直线和 其他两边（或两边的延长线）相交，所构 成的三角形与原三角形相似。 3.判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。 4.判定定理2：两边对应成比例且夹角相等， 两三角形相似。
5.判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。
内盆栽；室外则会设置草坪、荫树、观景树、灌木、藤蔓、多年生草本植物和花坛花草；植物的意象通常被使用于美术、建筑、性情、语言、照相、纺织、 钱币、邮票、旗帜和臂章上头；活植物可用于绿雕、盆景、插花和树墙等。 观赏植物有时会影响到历史，如郁金香狂热。 植物是每年有数十亿美元的旅游产 业的基本，包括到植物； 万和城：/ ； 园、历史园林、国家公国、郁金香花田、雨林以及有多彩秋叶的森林等地的旅行。 [] 文化价值 植物也为人类的精神生活提供基础需要。每天使用的纸就是用植物制作的。一些具有芬芳物质的植物则被人类制作成香水、香精等各种化妆品。 许多乐器也 是由植物制作而成。而花卉等植物更是成为装点人类生活空间的观赏植物。 植物脉搏编辑 每逢晴天丽日，太阳刚从东方升起时，植物的树干就开始收缩，一 直延续到夕阳西下。到了夜间，树干停止收缩，开始膨胀，并且会一直延续到第二天早晨。植物这种日细夜粗的搏动，每天周而复始，但每一次搏动，膨胀 总略大于收缩。于是，树干就这样逐渐增粗长大了。 可是，遇到下雨天，树干“脉搏”几乎完全停止。降雨期间，树干总是不分昼夜地持续增粗，直到雨后 转晴，树干才又重新开始收缩，这算得上是植物“脉搏”的一个“病态”特征。 如此奇怪的脉搏现象，是植物体内水分运动引起的。经过精确的测量，科学 家发现，当植物根部吸收水分与叶面蒸腾的水分一样多时，树干基本上不会发生粗细变化。但如果吸收的水分超过蒸腾水分时，树干就要增粗，相反，在缺 水时树干就会收缩。 了解这个道理，植物“脉搏”就很容易理解了。在夜晚，植物气孔总是关闭着的，这使水分蒸腾大大减少，所以树就增粗。而白天，植 物的大多数气孔都开放，水分蒸腾增加，树干就趋于收缩。有相当多木本植物都有这种现象，但是，“脉搏”现象特别明显的还当属一些速生的阔叶树种。 其他资料编辑 植物之最 白藤 白藤 在非洲的热带森林里，生长着参天巨树和奇花异草，也有绊你跌跤的“鬼索”，这就是在大树周围缠绕成无数圈圈的白藤。 白藤也叫省藤，中国云南也有出产。藤椅、藤床、藤蓝、藤书架等，都是以白藤为原料加工制成的。 白藤茎干一般很细，有小酒盅口那样粗，有的还要细些。 它的顶部长着一束羽毛状的叶，叶面长尖刺。茎的上部直到茎梢又长又结实，也长满又大又尖往下弯的硬刺。它像 一根带刺的长鞭，随风摇摆，一碰上大树， 就紧紧地攀住树干不放，并很快长出一束又一束新叶。接着它就顺着树干继续往上爬，而下部的叶子则逐渐脱落。白藤爬上大树顶后，还是一个劲地长，可
1.对应角相等，对应边成比例。
2.预备定理：平行于三角形一边的直线和 其他两边（或两边的延长线）相交，所构 成的三角形与原三角形相似。 3.判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。 4.判定定理2：两边对应成比例且夹角相等， 两三角形相似。
5.判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。
内盆栽；室外则会设置草坪、荫树、观景树、灌木、藤蔓、多年生草本植物和花坛花草；植物的意象通常被使用于美术、建筑、性情、语言、照相、纺织、 钱币、邮票、旗帜和臂章上头；活植物可用于绿雕、盆景、插花和树墙等。 观赏植物有时会影响到历史，如郁金香狂热。 植物是每年有数十亿美元的旅游产 业的基本，包括到植物； 万和城：/ ； 园、历史园林、国家公国、郁金香花田、雨林以及有多彩秋叶的森林等地的旅行。 [] 文化价值 植物也为人类的精神生活提供基础需要。每天使用的纸就是用植物制作的。一些具有芬芳物质的植物则被人类制作成香水、香精等各种化妆品。 许多乐器也 是由植物制作而成。而花卉等植物更是成为装点人类生活空间的观赏植物。 植物脉搏编辑 每逢晴天丽日，太阳刚从东方升起时，植物的树干就开始收缩，一 直延续到夕阳西下。到了夜间，树干停止收缩，开始膨胀，并且会一直延续到第二天早晨。植物这种日细夜粗的搏动，每天周而复始，但每一次搏动，膨胀 总略大于收缩。于是，树干就这样逐渐增粗长大了。 可是，遇到下雨天，树干“脉搏”几乎完全停止。降雨期间，树干总是不分昼夜地持续增粗，直到雨后 转晴，树干才又重新开始收缩，这算得上是植物“脉搏”的一个“病态”特征。 如此奇怪的脉搏现象，是植物体内水分运动引起的。经过精确的测量，科学 家发现，当植物根部吸收水分与叶面蒸腾的水分一样多时，树干基本上不会发生粗细变化。但如果吸收的水分超过蒸腾水分时，树干就要增粗，相反，在缺 水时树干就会收缩。 了解这个道理，植物“脉搏”就很容易理解了。在夜晚，植物气孔总是关闭着的，这使水分蒸腾大大减少，所以树就增粗。而白天，植 物的大多数气孔都开放，水分蒸腾增加，树干就趋于收缩。有相当多木本植物都有这种现象，但是，“脉搏”现象特别明显的还当属一些速生的阔叶树种。 其他资料编辑 植物之最 白藤 白藤 在非洲的热带森林里，生长着参天巨树和奇花异草，也有绊你跌跤的“鬼索”，这就是在大树周围缠绕成无数圈圈的白藤。 白藤也叫省藤，中国云南也有出产。藤椅、藤床、藤蓝、藤书架等，都是以白藤为原料加工制成的。 白藤茎干一般很细，有小酒盅口那样粗，有的还要细些。 它的顶部长着一束羽毛状的叶，叶面长尖刺。茎的上部直到茎梢又长又结实，也长满又大又尖往下弯的硬刺。它像 一根带刺的长鞭，随风摇摆，一碰上大树， 就紧紧地攀住树干不放，并很快长出一束又一束新叶。接着它就顺着树干继续往上爬，而下部的叶子则逐渐脱落。白藤爬上大树顶后，还是一个劲地长，可
九年级数学上册 第四章 图形的相似 4 探索三角形相似的条件教学课件上册数学课件
还能用其它方法来说明其正
A
B
确性吗?
C
解法2: 如图,设小正方形
A′
B′
的边长为1,由勾股定理可
C′
得:
AB 8,AC 2 2;
且∠A=∠A′=450,
AB4,AC 2;
AB AC2. AB AC
12/11/2021
∴△ABC∽△A′B′C′ (两边对应成比例且夹角相等 的两个三角形相似.)
•问题四:在Rt△ABC与
12/11/2021
黄金螺 线
12/11/2021
蜗牛的外壳呈黄金螺线形。
树叶的梗和蝴蝶、老虎的身形呈黄金比例
12/11/2021
在现在生活中，黄金比例也一直被使用着，例如国 旗、明信片、报纸、邮票等等，其长宽之比均接近 黃金比，据统计黄金比也是被使用最多的比例.
12/11/2021
12/11/2021
•我们重新来看问题三: •如果△ ABC与△ DEF有一个 角相等,且两边对应成比例,那 么它们一定相似吗? •(2).如果这个角是这两边中一 条边的对角,那么它们一定相 似吗? •小明和小颖分别画出了下面
的△ ABC与△ DEF:
12/11/2021
C
4cm 500 A
F 3.2cm
2cm
1.6cm
判定三角形相似的方法
判定两个三角形相似的方法: 两角对应相等的两个三角形相似. 三边对应成比例的两个三角形相似. •类比三角形全等的判定方法: •边角边(SAS);角边角(ASA);角角边(AAS);边边边 (SSS);斜边直角边(HL). •你还能得出判定三角形相似的其它方法吗?
12/11/2021教学课件Biblioteka 数学 九年级上册 北师大版
九年级数学上册第四章图形的相似4探索三角形相似的条件判定三角形相似的方法全攻略素材北师大版
判定三角形相似的方法全攻略判定三角形相似的方法有五种：一、由定义判定:三个角对应相等，三边对应成比例的两三角形相似.二、由三边的比判定三角形相似1、判定定理:如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.简单地说三边对应成比例的两个三角形相似。
2、推理形式：如图1所示，在△ABC 和△C B A '''中，如果A C CA CB BC B A AB '=''=''，那么△ABC∽△C B A '''.类比拓展：由三边的比判定三角形相似的方法与判定三角形全等的“SSS”方法类似，只是把三边对应相等,改为三组对应边成比例即可.例1 如图2，小正方形的边长均为1，则下图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的为( )解析：由于正方形边长均为1，在△ABC 中，AC=2，BC=2，AB=10;图A 中三角形三边长为1，,22,5而与△ABC 三边的比分别为,521022,25,21=显然它们不相等;图B 中三角形三边长为1，,5,2与△ABC 的三边的比分别为,22105,22,2221==' 图1A 图2 D故对应边的比相等；同样的道理可以得出在图C 和图D 中的两个三角形三边分别与△ABC 三边的比不相等.故选B.三、由两边和夹角判定三角形相似1、判定方法：如果两个三角形的两组对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形形似。
简单说成,两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
2、推理形式：如图1，在△ABC 和△C B A '''中，如果,,A A A C CA B A AB '∠=∠'=''那么△ABC∽△C B A '''.例2 如图3，在4×4的正方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.（1）填空：∠ABC=_____，BC=_____;(2）判断△ABC 与△DEF 是否相似,并证明你的结论。
九年数学上册第4章相似三角形4.4两个三角形相似的判定2用角的关系判定三角形相似课件(新版)浙教版
11．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，点E在AB上， 且AE＝3，点F在AC上，连结EF，若△AEF与△ABC 相似，则AF＝________．
错误答案：2 诊断：根据题意，知△AEF与△ABC相似，由于本题没 有说明对应关系，故采用分类讨论思想．有两种可能： (1)△AEF∽△ABC，(2)△AEF∽△ACB. 正确答案：6．如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，
DE 与 AC 相 交 于 点 F ， AB ＝ 9 ， BD ＝ 3 ， 则 CF 等 于
( B)
A．1
B．2
C．3 D．4
7．【中考·安徽】如图，在矩形 ABCD 中，AB＝8，BC＝4， 点 E 在 AB 上，点 F 在 CD 上，点 G，H 在对角线 AC 上， 若四边形 EGFH 是菱形，则 AE 的长是( ) A．2 5 B．3 5 C．5 D．6
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【点拨】如图，当PD∥BC时，△APD∽△ACB；当 PE∥AB时，△EPC∽△BAC；当PF⊥AB时， △APF∽△ABC，故过点P的△ABC的“相似 线”最多有3条．故选C.
【答案】C
5．【中考·安徽】如图，在△ ABC 中，AD 是中线，BC＝8，
∠B＝∠DAC，则线段 AC 的长为( B )
∴∠ABD＝12∠ABC＝36°＝∠A. 又∵∠AED＝∠BED＝90°，ED＝ED， ∴△ADE≌△BDE(AAS)．
证明△ABC∽△BDC.证明如下： ∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝72°. ∵BD 为角平分线， ∴∠DBC＝12∠ABC＝36°＝∠A. 又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC.
【点拨】连结 EF.∵四边形 EGFH 为菱形，∴EF⊥GH，设
北师大版九年级数学上册 探索三角形相似的条件
BC B1C1
∴ △ ABC ∽ △A1B1C1
B
C
A1
B1
C1
总结归纳
判定三角形相似的方法： 如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别
算出三条对应边的比值，看是否相等，计算时最 长边与最长边对应，最短边与最短边对应 （注意：大对大，小对小，中对中）
练一练
1.如图,小方格的边长为1 ，△ ABC与△ A′B′C′相似吗?
A．∠BAD=∠C
B．∠B DA =∠B A C
C． BA BC BD BA
D． BA AC BD AD
【答案】D
【详解】解：A.∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，
∴△ BAD∽△BCA，故本选项正确，不符合题意；
B.∵∠BDA=∠BAC，∠B＝∠B，
∴△ BAD∽△BCA，故本选项正确，不符合题意；
AB AD
BC DE
AC AE
.
∠BAD=20°,求∠CAE的度数.
A
解：∵
AB AD
BC DE
AC AE
,
B
∴△ABC∽△ADE ∴∠BAC=∠DAE.
D
∴∠BAC - ∠DAC =∠DAE-∠DAC.
即 ∠BAD=∠CAE.
∵∠BAD=20°，
∴∠CAE=20°.
C E
知识点四 黄金分割
A
C
B
AB AC
设AB = 1，AC = x,则BC = 1 – x.
∴ x2 = 1 ×（1 - x）.
即 x2 + x – 1 = 0.
解方程得：x1=
-1 2
5,
黄金比
AC BC =
AB AC
x2=
北师大版九年级数学上册 (相似三角形判定定理的证明)图形的相似教育课件
2x2-3x +1=0 2 -3 1
x2 x1+x2 x1x2
12
1
-1
1
观察上述表格，回答下列问题：
(1)每个方程的两根之和与它的系数a、b、c有什么关系？
x1
x2
b a
(2)每个方程的两根之积与它的系数a、b、c有什么关系？
c x1x2 a
思考：对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)，当b24ac≥0 时，有两个根分别为x1，x2，那么：
达标测评
2、已知：如图
AD AC
=
DE AB
=
AE BC
，求证：AB=AE
证明：∵ AD = DE = AE
A
AC AB BC
∴△ADE∽△CAB
B
DE
C
∴∠AED=∠B
∴AB=AE
达标测评
3、如图，AB·AE=AD·AC,且∠1=∠2，
求证△ABC∽△ADE
证明：∵AB·AE=AD·AC,
∴
AB = AC AD AE
(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，
截得的对应线段成比例).
过点D作DF∥AC，交BC于点F，则
AD AB
=
CF CB
(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，
截得的对应线段成比例).
∴
AE AC
=
CF CB
探究1 ∵DE∥BC，DF∥AC
∴四边形DFCE是平行四边形。 A
A'
∴DE=CF
∴ AE = DE AC CB
∵∠ AEF = ∠CEA=135°.
九年级数学上册 第四章 相似三角形 4.4 两个三角形相似的判定②课件 (新版)浙教版
知
,∠ABD＝40°.求∠C的度数.
解：在△ABD与△ACB中，∠A=∠A，
•由 AB2 AD AC,
•得
AB AD AC AB
•∴△ABD∽△ACB
•∴∠C=∠ABD=40°.
＝25cm,BC边上的高线长为20cm.小慧给出 一种裁纸方法:如图,将AB,AC分别五等分, 然后连结两边对应的点,并以这些连结线 为一边作矩形.剪下矩形纸条(图中阴影部 分)作为墙报镶边的材料.问:小慧的这种 方法能满足这版墙报镶边的需吗？请说明 理由.
C4
1 5
2 5
3 5
4 5
BC
2BC 2 25 50(cm) 48cm
谢谢大家
(两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似），
AD AO , 即 5 1，
BC BO
BC 2
BC 25 1（0 cm）
答：容器的内径BC为10cm.
1.已知:如图,在△ABC中,D,E分别是AB, AC上的点，
AD AE DB EC
.求证:△ADE∽△ABC.
•解：由已知可得
三角形相似还有下面的判定定理：
•两边对应成比例，且夹角相等的两个三 角形相似.
例2 图4 -19是用卡钳测量容器内径的示意图.现量得卡钳上A，D
解 两端点的距离为5㎝，AO DO 1 .求容器的内径BC.
BO CO 2
} AOD BOC
AO DO
△AOD∽△BOC
BO CO
AD DB AE EC
AD
AE
••即 又∵∠A=∠AAADB，
AC AE
2019年年秋北师大版数学(广东)九年级上册作业课件：4 探索三角形相似的条件第2课时 利用两边及夹角判定
6. 如图，点D是△ABC边AB上的一点，AD＝2BD＝2，当AC＝____6____
时，△ACD∽△ABC.
7. 如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4，D为AB的中点，过点D 的直线与BC交于点E，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，
则DE＝____2__或__13_0_____．
知识点：利用两边及夹角判定两个三角形相似
【典例导引】 【例1】 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且 ∠AED＝∠B，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得 △ADE∽△BDF的是( C )
A.BEDA＝EBDF B.BEFA＝EBDD C.ABDD＝BAFE D.BBDF＝BBAC
B．AC∶BC＝AB∶AD
C．AB2＝CD·BC
D．AB2＝BD·BC
3. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分
成①②③④四个三角形，若OA·OC＝OB·OD，则下列结论中一定正确的
D
是(
)
A．①和②相似
B．②和③相似
C．①和④相似
D．②和④相似
4. 在三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6，按下列方法沿虚线剪 下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是( D )
解：△ADE∽△ACB，理由：∵AD＝5，DB＝7，AE＝6，EC＝4， ∵AADC＝6＋5 4＝12，AABE＝7＋6 5＝12，∴AADC＝AABE，又∵∠A＝∠A，∴△ ADE∽△ACB
2. 如图，点 D 在△ABC 的 AB 边上，AD＝2，BD＝4，AC＝2 3. 求证：△ACD∽△ABC.
二、填空题 5. 如图，线段AC与BD相交于点O，且OA＝12，OC＝54，OD＝36，OB ＝18，则△ABO与△DCO_______一__定__相似．(填“一定”或“不”)
北师大版九年级数学上册课件：4.4.2探索相似三角形的条件(二)
书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月下午4时4分22.4.1216:04April 12, 2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022年4月12日星期二4时4分54秒16:04:5412 April 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
想一想
观察上面图形， 如果两个三角形两边对应成比例，有任意一角对应相等，
那么，这两个三角形一定相似吗？
注意：两边对应成比例并且必须是夹角对应相等两三角形才一定相似哦．
学以致用
练一练
如图，ΔABC与ΔABC相似吗？你有哪些判定 方法？
练一练
下列每组的两个三角形是否相似？为什么？
收获感悟
1.通过这节课的学习，你有哪 些收获？ 2.你还有哪些困惑？
AB AC
三角形相似判定3： 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
设问质疑，尝试探究
例2：如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB上
的点。AE=1.5，AC=2，BC=3，且
，求
DE的长。
A
E
D
B
C
设问质疑，尝试探究
学以致用
如图，A，B两点被池塘隔开，为测量A，B 两点间的距离，在池塘边任选一点C，连 接AC，BC，并延长AC到D，使CD= AC，延 长BC到E，使CE= BC，连接DE，如果测量 DE=20m，那么AB=2×20=40m。你知道这是 为什么吗？
作业
1.（必做题）课本习题1、2、3 2.（选做题） （1）课本习题4 （2）如图，正方形ABCD中，E为AB中点， BF＝ BC，那么图中与△ADE相似的三角形 有________.
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面 上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二下午4时4分54秒16:04:5422.4.12
想一想
观察上面图形， 如果两个三角形两边对应成比例，有任意一角对应相等，
那么，这两个三角形一定相似吗？
注意：两边对应成比例并且必须是夹角对应相等两三角形才一定相似哦．
学以致用
练一练
如图，ΔABC与ΔABC相似吗？你有哪些判定 方法？
练一练
下列每组的两个三角形是否相似？为什么？
收获感悟
1.通过这节课的学习，你有哪 些收获？ 2.你还有哪些困惑？
AB AC
三角形相似判定3： 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
设问质疑，尝试探究
例2：如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB上
的点。AE=1.5，AC=2，BC=3，且
，求
DE的长。
A
E
D
B
C
设问质疑，尝试探究
学以致用
如图，A，B两点被池塘隔开，为测量A，B 两点间的距离，在池塘边任选一点C，连 接AC，BC，并延长AC到D，使CD= AC，延 长BC到E，使CE= BC，连接DE，如果测量 DE=20m，那么AB=2×20=40m。你知道这是 为什么吗？
作业
1.（必做题）课本习题1、2、3 2.（选做题） （1）课本习题4 （2）如图，正方形ABCD中，E为AB中点， BF＝ BC，那么图中与△ADE相似的三角形 有________.
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面 上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二下午4时4分54秒16:04:5422.4.12
九年级数学上册(北师大版)课件：4.4.2探索三角形相似的条件
Ｏ
Ａ
ＣＢ
Ｄ
运用： 你会做了吗？
下面每组的两个三角形是否相似？ 请说说你的理由：
⑴
4E4
⑵
D
2
2.5
E 3. F
A
4
5
B
7
C
运用：
下面每组的两个三角形是否相似？ 请说说你的理由：
⑴
4E4
⑵ 一个直角三角形两条直角边的长分别为6cm、4，这两个直角三角形是否相似？为什么？
4
3.
50° 3.2 2
BC
G
D
2 1.
E
50 °
F6
结论：
两边对应成比例且夹角相等的 两个三角形相似.
若在△ABC与△A'B'C'中
A
AB＝
A¢B¢
AC A¢C¢
且∠A=∠A′
C B
C'
则△ABC∽△A'B'C' A'
B'
议一议
观察上面图形， 如果两个三角形两边对应成比例，有任意一角对应相等，
∴AD AE ,
AB AC
又∵∠EAD=∠CAB
∴ △ ADE∽ △ABC
∴ DE AD 3 ,
BC AB 4
E
B
∵BC=3 ∴DE=
3
4
D
C
BC=3 4
9 ×3=4
试一试 《拿破仑测莱茵河宽度》
观察到对面岸边的一个标志O，于是他想出了一 个测量河宽的办法。他在自己的岸边选点A、B、D， 使得AB⊥AO，DB⊥AB，然后确定DO和AB的交点C。 然后测得AC=120米。CB=60米，BD=2０0米，你能帮 助他算出莱茵河的宽度吗？
Ａ
ＣＢ
Ｄ
运用： 你会做了吗？
下面每组的两个三角形是否相似？ 请说说你的理由：
⑴
4E4
⑵
D
2
2.5
E 3. F
A
4
5
B
7
C
运用：
下面每组的两个三角形是否相似？ 请说说你的理由：
⑴
4E4
⑵ 一个直角三角形两条直角边的长分别为6cm、4，这两个直角三角形是否相似？为什么？
4
3.
50° 3.2 2
BC
G
D
2 1.
E
50 °
F6
结论：
两边对应成比例且夹角相等的 两个三角形相似.
若在△ABC与△A'B'C'中
A
AB＝
A¢B¢
AC A¢C¢
且∠A=∠A′
C B
C'
则△ABC∽△A'B'C' A'
B'
议一议
观察上面图形， 如果两个三角形两边对应成比例，有任意一角对应相等，
∴AD AE ,
AB AC
又∵∠EAD=∠CAB
∴ △ ADE∽ △ABC
∴ DE AD 3 ,
BC AB 4
E
B
∵BC=3 ∴DE=
3
4
D
C
BC=3 4
9 ×3=4
试一试 《拿破仑测莱茵河宽度》
观察到对面岸边的一个标志O，于是他想出了一 个测量河宽的办法。他在自己的岸边选点A、B、D， 使得AB⊥AO，DB⊥AB，然后确定DO和AB的交点C。 然后测得AC=120米。CB=60米，BD=2０0米，你能帮 助他算出莱茵河的宽度吗？