三角函数公式大全及推导过程.docx

三角函数公式大全及推导过程

—、任您片的三甬函数

在角Q的终边上任鸭一点P(x, y)，记：r = yjx2 + y2 ,

正弦：sina =—余弓玄：cosa =—正切：tan? =—

r r x

二、同用三斤函数的基本关系式

商数关系：tan ? = S^na , 平方关系：sin2cif+ cos2? = 1, cos2a ---------- ---- —

cos a 1 + tan a 三、诱导公式

公式一:

设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin (2kjr+a)二sina cos (2kn+a) = cosa tan (2kjr + a) = tana 公式二：

设a为任意角，R+a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系：

sin (rc + a)二?sina cos (n+a) = -cosa tan (n+a) = tana

公式三：

任意角a与?a的三角函数值Z间的关系：

sin (?a) = -sina cos (?a) = cosa tan (-a) = -tana

公式四：

利用公式二和公式三可以得到n-a与a的三角函数值之间的关系：

sin (rc?a)二sina cos (n-a) = -cosa tan (n?a) = -tana

公式五：利用公式■和公式三可以得到2n-a与a的三角函数值之间的关系: sin (2ir?a) = -sina cos (2n-a) = cosa tan (2ii?a) = -tana 公式六：

兰士a及西±a与a的三角函数值之间的关系：

2 2

sin (--a) =cosa

2 cos (仝?a) = sina

2

sin ( 兀-cosa cos ( —+a): =-sina

2 2

?3Q、/ 3兀、

sin ( ——a) =-cosa cos ( ------ a)= =-sina

2 2

3龙z 3/r 、

sin ( ——+a) =-cosa cos (——+a)= =sina

2 2

三、两甬和差公式

sin(a + 0) = sina?cos0 + cosa?sin 0 sin(a-0) = sin a - cos/7 - cos^z - sin 卩COS（Q + 0） = cos6z - cos/? - sin a - sin J3

cos（cif 一0） = cosa ? cos/? + sin a ? sin 0

仙@+0）="眩+伽0

1 - tancif ? tan/?

tan<7-tan/?

1 +tana ? tan0

sin 2a = 2sina8sa

COS 2Q = cosP — sirT a = 2cos~a — l = 1 — 2si” a …（*）

宀 2 tan a

tan 2a = ------- ；—

1 一 tarr a

二倍角的余弦公式(*)有以下常用变形：(规律：降幕扩角，升幕缩角) 1 + cos2a = 2cos 2 a 1 - cos2a = 2sin 2 a

1 + sinZz = （sina + cosQ ）

2 1 - sin 2a = （sin^z-cosa ）2 其它公式

五、 辅助甬公式：

asinx + bcosx = J/ +戻 sin （x+0） （其中 tan? =—）

a 其中：角卩的终边所在的象限与点S,

b ）所在的象限相同，（以上kez ）

六、 其它公式：

1、 正弦定理：一￡_ = _2_ = _d = 2R （/?为AABC 外接圆半径） sin A sin B sin C

2、 余弦定理

a 1 -

b 1 +

c 1 - 2b c- cos A

b 2 = a 2 +

c 2 一 2ac' cosB

c 2 = a 2 +b 2 - 2ah- cosC

3、 三用形的面积公式

Swc = — x x S^BC = —absmC = —bcsinA = — easin B （i 两边一夹角）

万能公式推导

sin2 a =2sin a cos a =2sin a cos a / (cos"2( a )+sin"2(a)) ................................ *,

(因为 cost ( a )+sin"2( a )=1)

再把*分式上下同除 cos"2(a ),可得

sin2 a =2tana /(l+tarT2( a )) 然后用a/2代替a 即可。 二倍甬公式

同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

三倍角公式推导

tan3 a =sin3 a/cos3 a

=(sin2 a cos a +cos2 a sin a ) /(cos2 a cos a -sin2 a sin a )

= (2sin a cos 2 ( a )+cos 2 ( a ) sin a —sin 3 ( a ))/(cos 3 ( a ) —cos a sin 2(a ) —2s in 2 ( a ) cos

a )

上下同除以cos八3(a),得：

tan3 a =(3tan a — tan 3 ( a ))/(1 -3tan 2 ( a ))

sin3 a 二sin(2 a + a)=sin2 a cos a +cos2 a sin a

=2sin a cos 2( a ) + (1—2sin 2( a ))sin a

=2sin a —2sin 3 ( a )+si na —2sin 3 ( a )

=3sin a —4sirT3 ( a )

cos3 a =cos (2 a + a )=cos2 a cos a — sin2 a sin a

=(2cos*2( a ) —1) cos a — 2cos a sirT2( a )

=2cos 3 ( a ) —cos a +(2cos a —2cos"3( a ))

=4cos 3 ( a)—3cos a

即

sin3 a =3sin a —4sin 3 ( a )

cos3 a =4cos 3 ( a)—3cos a

和差化积公式推导

首先，我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb, sin(a~b) =sina*cosb-cosa*sinb

我们把两式相加就得到sin(a+b) +sin(a~b) =2sina*cosb

所以，sina*cosb= (sin(a+b) +sin(a~b))/2

同理，若把两式相减,就得到cosa*sinb= (sin(a+b)-sin(a~b) )/2

同样的，我们还知道cos (a+b) =cosa*cosb-sina*sinb, cos (a-b)=cosa*cosb+sina*sinb 所以，把两式相加，我们就可以得到cos (a+b) +cos (a-b) =2cosa*cosb 所以我们就得到，cosa*cosb= (cos (a+b) +cos (a~b) )/2

同理,两式相减我们就得到sina*sinb=- (cos (a+b) -cos (a~b) )/2

这样，我们就得到了积化和差的四个公式：

sin a*cosb=(sin(a+b)+si n(a-b))/2

cosa*si nb=(si n(a+b)-si n(a-b))/2

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a ?b))/2

sin a*si nb=?(cos(a+b)-cos(a-b))/2

好，有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化积的四个公式.

我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2 把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式：

sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)