多尺度方法在力学中的应用(Part I )
流体力学中的多尺度湍流模拟与建模
流体力学中的多尺度湍流模拟与建模湍流是流体力学中一个复杂而普遍存在的现象，涉及到多尺度的运动和相互作用。
在实际应用中，对湍流进行准确模拟和有效建模具有极大的重要性。
本文将介绍流体力学中的多尺度湍流模拟与建模方法，并探讨其在工程实践中的应用。
第一部分：湍流模拟方法湍流模拟是通过数值方法模拟湍流流动，以获得流场的详细信息。
在多尺度湍流模拟中，常用的模拟方法包括直接数值模拟（DNS）、大涡模拟（LES）、雷诺平均导数模拟（RANS）等。
直接数值模拟是一种最为精确的模拟方法，通过求解流动的Navier-Stokes方程来模拟湍流现象。
由于湍流流动存在广泛的空间和时间尺度，直接数值模拟的计算成本极高，通常只能用于精细的研究和小规模的流动模拟。
大涡模拟是在直接数值模拟的基础上发展起来的一种方法，通过将大涡的运动精确模拟，而对小涡采用模型进行参数化。
相比于直接数值模拟，大涡模拟的计算成本较低，可以在一定程度上模拟湍流的多尺度特性。
雷诺平均导数模拟是一种更为常用的湍流模拟方法，在工程实践中得到广泛应用。
该方法通过将流场的各个变量进行平均处理，然后引入湍流模型来描述湍流效应。
由于雷诺平均导数模拟只考虑了平均尺度上的湍流特性，无法准确模拟湍流的具体结构，因此在一些对流动细节要求较高的场合，该方法的精度有限。
第二部分：湍流建模方法湍流建模是为了在湍流模拟中描述湍流效应而引入的方法。
这些模型基于湍流的统计性质和物理规律，对湍流的各种参数进行描述和计算。
常用的湍流建模方法包括湍流能量方程、湍流应力传输方程等。
湍流能量方程是湍流建模中的一种重要方法，用于描述湍流的能量传输过程。
该方程通过考虑湍流的产生、消耗和传输等过程，以及湍流能量的耗散来描述湍流的演化规律。
基于湍流能量方程，可以计算湍流的能谱和湍流能量的分布等参数。
湍流应力传输方程是湍流建模中的另一种关键方法，用于描述湍流的动量传输过程。
该方程通过考虑湍流的各向异性和湍流的剪切作用等因素，计算湍流应力的分布和演化规律。
变分多尺度方法在一维力学模型中的应用
变分多尺度方法在一维力学模型中的应用
蔡云竹;吴宇清
【期刊名称】《力学与实践》
【年(卷),期】2014(036)003
【摘要】将变分多尺度方法应用于一维缆索模型,导出受力缆索的宏观有限元模型并求得细观位移解析解,总结出变分多尺度方法应用于具体模型的关键点和缺陷.假定刚度为常值,数值模拟一定边界和受力下的缆索,得到宏观和细观位移.将细观与宏观位移叠加,相比于精确位移得出:细观位移可视为常规有限元模型的后验误差.变分多尺度方法在一维力学模型中的成功应用,推进了其实用性,为其在更多力学及工程问题中的运用和发展提供了参考.
【总页数】6页(P288-293)
【作者】蔡云竹;吴宇清
【作者单位】同济大学土木工程学院建筑工程系,上海200092;同济大学土木工程学院建筑工程系,上海200092
【正文语种】中文
【中图分类】TB121
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3.滴流床中持液量及流型转变的一维流体力学模型 [J], 王蓉;毛在砂
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多尺度计算在材料学中的应用
多尺度计算在材料学中的应用1.原子尺度计算：原子尺度计算主要涉及分子动力学模拟和量子力学计算。
分子动力学模拟通过数值解牛顿方程，在原子层面上模拟材料的结构和动力学行为，从而揭示材料的力学、热力学、电子输运等性质。
量子力学计算则通过求解薛定谔方程，获得材料的电子结构和光学性质。
这些计算方法在材料学中的应用包括：材料缺陷的形成机理研究、表面和界面上的化学反应研究、材料的光伏、光催化等能源应用研究。
2.细观尺度计算：细观尺度计算涉及多晶材料的建模和计算。
通过对材料微观结构的建模和计算，可以揭示材料的晶界、相界、位错等缺陷的分布和演化规律，并与宏观性能进行关联。
细观尺度计算方法包括晶粒尺寸分布的蒙特卡洛模拟、位错行为的位错动力学模拟等。
这些方法在材料学中的应用包括：研究多晶材料的强度、韧性、疲劳寿命等力学性能、预测材料的变形行为和失效机制。
3.经验尺度计算：经验尺度计算是一种介于原子和细观尺度之间的计算方法，通过建立经验势能函数，模拟材料的宏观行为。
这些势能函数可以通过统计数据拟合和分子动力学模拟验证。
经验尺度计算方法如分子动力学和连续介观尺度模拟（如耗散粒子动力学模拟）可以模拟材料的位移、变形、断裂等宏观行为，并探究材料的微观机制。
经验尺度计算在材料学中的应用包括：研究纳米材料的变形机制、预测复杂材料的微观行为、优化材料的性能。
综上所述，多尺度计算在材料学中具有广泛的应用。
它能够帮助科学家深入理解材料的微观结构与宏观性能之间的关系，并为材料的设计和制备提供指导。
随着计算科学和计算机技术的不断发展，多尺度计算在材料学领域的应用将会越来越重要，并为新材料的研发和应用提供更好的支持。
热流体力学问题中的多尺度数值方法研究
热流体力学问题中的多尺度数值方法研究热流体问题是一类热传导和流体动力学耦合的问题，其具有多尺度特性。
随着科技的不断发展，对于热流体问题的研究越来越深入，对于其数值方法的研究也越来越多。
本文将对于热流体力学问题中的多尺度数值方法进行探讨，从宏观尺度、中间尺度和微观尺度三个角度进行分类讲解。
一、宏观尺度在宏观尺度下，热流体力学问题是一个由Navier-Stokes方程和热传导方程组成的耦合问题。
对于这类问题，传统数值方法选择有限差分或有限元等方法进行离散求解。
然而，这些方法在处理大规模模拟问题时存在困难。
因此，一些新的多尺度数值方法逐渐被应用，如多重尺度有限元法和基于多网格的方法等。
多重尺度有限元法（MSFEM）是一种宏观-微观尺度耦合的方法，它通过预处理微观尺度的信息从而减少了宏观尺度上的计算量。
它是将微观尺度看做是局部的扰动，然后通过计算局部的扰动来确定宏观尺度的解。
然而，这种方法只适用于微观尺度的扰动与宏观尺度有限相差的情况，否则会存在误差。
基于多网格的方法则是一种更加广泛使用的多尺度数值方法，它在宏观尺度和微观尺度之间建立了多个网格层次。
通过建立不同网格层次，可以有效地解决宏观尺度和微观尺度之间的缩放问题。
虽然这种方法在处理大规模问题时具有优势，但是当问题的多尺度特性比较强时，它也很难得到令人满意的结果。
二、中间尺度在中间尺度下，热流体问题的耦合性更加复杂，因为在这个尺度下，流体动力学和热传导属性开始交织在一起。
对于这种多尺度问题，常规的方法常常会忽略一些重要的细节，从而得到不准确的结果。
因此，一些新的多尺度数值方法被提出，如平均场模型和光滑粒子流动方法等。
平均场模型是一种通过对随机微观结构取平均的方法来建模的方法。
它是一种高效的多尺度方法，能够较好地模拟热流体问题中的多尺度效应。
然而，平均场模型基于强假设，它假设微观尺度的结构对于宏观尺度的场有类似于平均场的效应。
光滑粒子流动方法是另一种中间尺度下的多尺度数值方法，它是建立在SPH（Smoothed Particle Hydrodynamics）方法之上的。
多尺度计算模型在材料力学中的应用研究
多尺度计算模型在材料力学中的应用研究材料力学是研究材料在外力作用下的应变和变形行为的学科。
随着科技的不断发展，对材料力学的研究也日趋深入。
尤其是近年来，多尺度计算模型在材料力学中的应用越来越受到关注。
多尺度计算模型是一种综合不同尺度的方法，用于研究材料的力学特性。
它能够从微观尺度到宏观尺度，对材料的各种物理和力学性质进行建模和计算。
这种模型的应用，可以帮助我们更好地理解材料的力学行为，并为材料设计和工程应用提供指导。
在材料力学中，多尺度计算模型主要包括两个层次：微观尺度和宏观尺度。
微观尺度主要研究材料的原子、分子结构和微观力学性质，而宏观尺度则侧重于材料的整体力学行为。
这两个层次之间存在着相互耦合的关系，多尺度计算模型正是基于这种关系来构建材料力学模型的。
在微观尺度上，多尺度计算模型可以通过原子力学模拟、分子动力学模拟等方法来研究材料的微观力学性质。
通过这些模拟方法，我们可以获得材料在不同应变率、温度等条件下的力学行为，并揭示材料的微观变形机制。
同时，这些模拟结果还可以与实验数据进行比对，从而验证模型的准确性。
在宏观尺度上，多尺度计算模型可以利用有限元法等方法对材料进行宏观力学建模。
通过建立合适的力学方程，我们可以预测材料在不同载荷条件下的应力、应变和变形行为。
此外，多尺度计算模型还可以将微观尺度的模拟结果与宏观尺度的力学模型进行耦合，从而得到更加准确的力学行为。
除了在理论研究中的应用，多尺度计算模型在材料力学中的应用还包括材料设计和工程应用。
利用这种模型，我们可以快速筛选出符合特定要求的材料，并优化材料的力学性能。
例如，通过模拟和优化材料的微观结构和组分分布，我们可以设计出更高强度、更轻量的材料。
此外，在材料工程应用中，多尺度计算模型还可以用于预测材料在不同工况下的损伤行为，为工程实践提供可靠的预测和指导。
总之，多尺度计算模型在材料力学中的应用研究是一个深入且具有广阔前景的领域。
它不仅可以为我们解析和解释材料的力学行为提供深入理论研究，还可以为材料设计和工程应用提供强有力的支持。
多尺度模型在材料力学中的应用
多尺度模型在材料力学中的应用材料力学，是研究物质具有的机械性能和变形行为的一门学科。
随着新材料的不断涌现，材料力学的发展也日益深入。
而多尺度模型，作为一种新的材料力学建模方法，已经广泛应用于材料领域。
所谓“多尺度模型”，是指一种利用多个尺度对材料进行分析的方法。
在材料中，不同的结构和尺寸级别会影响材料的力学性质和变形行为，因此设计一个涵盖不同尺度的模型是非常必要的。
多尺度模型主要通过两种方式实现：一是基于微观层面建立宏观力学模型，这种方法主要应用于纳米级别的研究中；二是基于宏观力学模型建立微观模型，这种方法主要适用于宏观领域。
在微观层面，多尺度模型主要是针对材料中的原子和分子。
由于原子和分子属于纳米级别，对于宏观力学来说，非常小，微小的变化都可能对物质的性质产生影响。
因此，在研究这些纳米层次的材料时，多尺度模型可以帮助我们更准确的描述和预测材料的性质。
在宏观层面，多尺度模型同样具有重要意义。
尤其对于复合材料和薄壁材料等，多尺度模型的应用更是发挥了重要作用。
利用多尺度模型，可以将复合材料的性质从微观层面分析，同时也考虑到材料在宏观层面的力学行为。
这样的分析可以更全面的了解材料的性质和破坏机理，为新材料设计提供帮助。
除了上述的应用之外，多尺度模型还可以用于研究复杂材料的力学性能。
比如，目前正在开展的纳米复合材料研究，就需要结合不同尺度的模型进行分析和建模，以更准确的预测这些材料的力学性质和破坏行为。
总之，多尺度模型的应用，已经成为现代材料力学研究中不可或缺的一部分。
在日益复杂的材料结构和力学性质中，构建合适的多尺度模型，将可以为我们提供非常有价值的预测、分析和设计，帮助展开更进一步的材料科学研究。
材料力学行为的多尺度模拟与分析
材料力学行为的多尺度模拟与分析材料力学行为是研究材料在外力作用下的变形、破坏和失效等现象的学科。
多尺度模拟与分析则是一种研究方法，旨在从不同尺度上理解和解释材料力学行为的本质。
本文将介绍多尺度模拟与分析在材料力学领域的应用，并探讨其意义与前景。
一、尺度效应与多尺度模拟材料存在着尺度效应，即材料在不同尺度上具有不同的力学行为。
以纳米材料为例，由于其尺寸接近原子尺度，其力学性质受到原子间作用的影响，具有明显的尺度效应。
随着材料研究的深入，人们逐渐认识到单纯从宏观尺度上研究材料的力学行为是不够全面和准确的，因此出现了多尺度模拟方法。
多尺度模拟是一种将材料力学行为从宏观到微观各个尺度上进行综合建模和仿真的方法。
其核心思想是将材料分为不同层次的子系统，通过子系统间的相互作用来模拟和分析材料的力学行为。
常见的多尺度模拟方法包括分子动力学模拟、有限元方法和连续介质力学模拟等。
二、多尺度模拟的应用多尺度模拟在材料力学领域有着广泛的应用。
首先，多尺度模拟能够帮助人们深入研究材料的本质力学行为。
通过将材料分解为不同尺度的子系统，并建立相应的物理数学模型，可以揭示材料在微观尺度上的内部机制和动力学过程。
这对于理解材料的结构、性能与行为之间的关系具有重要意义。
其次，多尺度模拟能够预测材料的宏观力学性能。
通过模拟材料在不同尺度下的行为，可以得到材料在宏观尺度上的物理性质，如强度、刚度和韧性等。
这将有助于人们设计出更高性能的材料，并指导实际工程中的材料选择和应用。
此外，多尺度模拟还可以研究材料的破坏与失效机制。
在材料受到外界载荷作用下，通过模拟和分析材料在不同尺度下的破坏模式和损伤演化过程，可以识别材料的弱点，并提出相应的改进措施，以提高材料的破坏韧性和可靠性。
三、多尺度模拟的挑战与前景多尺度模拟虽然在材料力学领域有着广泛的应用，但仍然面临着一些挑战。
首先，多尺度模拟的建模和计算过程较为复杂，需要耗费大量的时间和计算资源。
材料力学中的多尺度建模与仿真技术研究
材料力学中的多尺度建模与仿真技术研究材料力学是一个研究材料力学性能与结构之间关系的学科。
在材料力学研究中，多尺度建模与仿真技术的应用已经成为一种重要的手段。
本文将探讨材料力学中的多尺度建模与仿真技术研究的背景、方法和应用。
1. 背景材料力学研究的目标之一是理解材料的组织结构与力学性能之间的关系。
然而，材料的力学性能往往受到多个尺度影响，从原子层面到宏观尺度。
传统的宏观力学模型无法完全描述这种多尺度关系，因此需要采用多尺度建模与仿真技术。
2. 多尺度建模方法多尺度建模方法包括从原子/分子尺度到连续介质尺度的过程。
常用的多尺度建模方法包括分子动力学模拟、离散位错模拟、有限元法等。
这些方法可以从不同尺度上描述材料的结构和行为，并将这些描述与实验结果相匹配。
2.1 分子动力学模拟分子动力学模拟是一种计算方法，可以模拟材料在原子层面上的结构和行为。
通过追踪每个原子的位置和速度，可以模拟材料的力学性能。
分子动力学模拟可以用于揭示材料的纳米尺度力学行为，如材料的强度、韧性和断裂特性等。
2.2 离散位错模拟离散位错模拟是一种模拟材料中位错行为的方法。
位错是材料中晶体缺陷的一种形式，对材料的力学性能有很大影响。
离散位错模拟方法通过模拟位错的生成、移动和相互作用过程，可以研究材料的塑性行为、强化机制等。
2.3 有限元法有限元法是一种常用的宏观力学建模方法，可以将复杂的结构划分为有限大小的元素，通过求解微分方程来模拟材料的力学行为。
有限元法在材料力学中的应用广泛，可以用于分析材料的变形、应力分布等。
3. 多尺度模拟与实验验证多尺度模拟与实验验证是多尺度建模与仿真技术的重要一个环节。
通过对不同尺度模拟结果的比对，可以验证模型的准确性，并进一步优化模型的参数。
同时，实验数据也可以为模拟提供更准确的边界条件和材料参数。
4. 应用与展望多尺度建模与仿真技术在材料力学研究中有着广泛的应用。
它可以用于研究材料的力学性能、材料的失效机理等。
多尺度模拟方法对材料力学性能预测
多尺度模拟方法对材料力学性能预测材料的力学性能预测对于工程设计和材料研究具有重要的意义。
传统的材料实验方法通常是耗时且昂贵的，而且无法直观地揭示材料内部的微观机制。
因此，多尺度模拟方法逐渐成为预测材料力学性能的有效工具。
多尺度模拟方法基于不同尺度下的模拟技术，可以从宏观到微观的多个尺度对材料进行全面且精确的力学性能预测。
首先，宏观力学性能是材料力学性能预测的重要指标之一。
宏观力学性能通常指材料的强度、韧性和刚度等性能。
传统的有限元法是一种常用的宏观力学性能预测方法，但其在材料细观结构和组成上的模拟能力有限。
近年来，通过多尺度模拟方法，结合原子层面的模拟技术，可以更准确地预测材料的宏观力学性能。
其次，微观尺度的模拟是多尺度模拟方法中的关键环节。
微观尺度的模拟通常以原子和分子为基本单元，用来描述材料的内部结构和原子间的相互作用。
分子动力学模拟是一种常用的微观尺度模拟方法，它可以模拟材料的原子运动和力学行为。
通过分子动力学模拟，可以获得材料的应力、应变和力学性质等重要参数，进而预测材料的力学性能。
进一步，多尺度模拟方法还可以将宏观尺度和微观尺度的模拟结果进行耦合。
通过耦合模拟，可以将微观结构的信息融入宏观模拟，提高材料力学性能的预测精度。
例如，通过计算得到的原子间力场参数，可以在宏观有限元模拟中使用。
这种耦合模拟方法可以准确地揭示材料的本质特性，为材料设计和工程应用提供重要参考。
在多尺度模拟方法中，还有一些特殊的方法和技术，用于处理一些特定的力学性能预测问题。
例如，纳米材料的力学性能预测需要考虑原子的尺寸效应和表面效应，因此需要采用适合的纳米尺度模拟方法；对于复合材料，需要同时考虑不同相的界面效应和相互作用，所以需要采用复合界面模拟方法。
这些特殊的多尺度模拟方法可以更全面地揭示各种材料的力学性能特性。
最后，多尺度模拟方法对材料力学性能预测具有广泛的应用前景。
通过合理地选择适合的模拟方法和参数，可以预测材料的强度、韧性、刚度等力学性能指标，以及材料的断裂、疲劳和变形特性等重要信息。
多尺度方法在力学中的应用
多尺度方法在力学中的应用1. 背景概述多尺度科学是一门研究各种不同长度或者时间尺度相互耦合现 象的一门科学。
多尺度科学的研究领域十分宽广， 涵盖的学科之多难 以一一罗列。
在诸如流体动力学、复合材料力学、生物力学、环境科 学、化学、地质学、气象学和高能物理之类的各门科学中，多尺度科 学及其相应的方法发挥着相当重要的作用。
正如同随机现象和非线性 科学受到了广泛的重视一样， 多尺度科学因其处于当代科学的许多极 富挑战性问题的核心地位，未来的发展前途不可限量。
在材料科学领域中， 材料的动态特性就是多尺度的问题。
金属的 塑性变形问题是从位错流动着手研究的， 但是位错理论本身并不能预 测塑性流动率和屈服强度——位错与晶界、 点缺陷以及原子振动之间 的相互作用才是导致诸如应变强化和材料强度特性动态变化等现象 的主导因素。
所以将固体的微观结构与原子层次的组成成分相结合来 预测固体材料的宏观特性， 就是材料科学的宏伟理想， 并可期望达到 人工设计材料的终极目标。
在气象学领域中，在大气环流模拟中计算尺度的典型数量级为 100km ，但是局部降水量、水汽含量以及某些风暴系统的数量级则要 小得多，因而必须在较小尺度层次上进行模拟， 这也是典型的多尺度 问题，应该用多尺度方法来处理。
作者 杨陶令 指导老师张鹏 苏先樾必须说明的是，正是因为多尺度科学广泛的应用背景，多尺度方法作为一种研究的手段和方法，在各种截然不同的研究领域的应用过程中，往往与该研究领域的具体背景相结合，具有一定的特殊性。
从算法的角度来说，与线性方程组的解法等常规算法不同的是，目前多尺度方法本身没有固定的算法格式，它所体现的更多的是一种研究的需求和应用的思想，在程序上的实现必须结合具体的研究模型，这将在下文中得到充分的体现。
2.多尺度的力学分析方法在多尺度的分析方法中已经发展了若干力学分析的方法，目前比较典型算法有：宏观－细观平均化计算方法、材料强度的统计计算方法等。
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18
计算
1.通过以上的分析，得到六个线性方程和两个复杂 的非线性方程。但问题中引进了以下九个未知量： a1, a2 , a3 , b2 , c2 , c3 , d1, d 2 , 23 。
2.结合具体问题，利用能量原理给出第三个非线性 方程，这样就得到了由九个未知量构成的九个方 程。
1.胞元模型； 2.广义自洽方法。
5
胞元模型
胞元是材料的一个基本结构，它嵌含材料 的细观几何的要素；
就复合材料来说，胞元应包含颗粒形状、 体积百分数、颗粒分布几何、基本结构、 界面状况等相关要素的信息。
6
广义自洽方法
考虑宏观和细观的交互作用,具体来 说，就是在平均化的小尺度的胞元 与大尺度度的补充说明
实际操作中，常把宏观－细观平均化计算 方法在多尺度思想上作进一步的推广，即 往往并不要求胞元达到细观尺度，而是相 对于宏观大尺度来说，胞元尺寸构成相对 较小的尺度。两者在尺度上已经形成了很 大幅度的跳跃。
8
在不同尺度之间的连接
1.分别考虑较小尺度的胞元内的物理量 和胞元周围较大尺度的等效均匀介质 中的物理量；
21
第一部分结束
谢谢大家！
(
1)
b r
a3
b3 r3
c3 ]sin 2
15
在胞元基体相中的物理场
u rm
b
4m
[( m
r3 3)
b3
a2
r b
d2
( m
b 1) r c3
b3 r3
b2 ]cos2
um
b
4m
[( m
3)
r3 b3
a2
r b
d2
( m
1) b r
c2
b3 r3
b2 ]sin 2
16
在胞元增强相即纤维中的物理场
u rf
b
4 f
[( f
3)
r3 b3
a1
r b
d1 ]cos2
uf
b
4 f
[( f
3)
r3 b3
a1
r b
d1 ]sin
2
其中
3 4 23 m 3 4 m f 3 4 f
17
连接小尺度的胞元和大尺度的宏观 等效均匀介质的条件
1. 这一条件在不同的问题中可能不尽相同； 2. 在我们以上考虑的这个问题中，这一条
多尺度方法在力学 中的应用
指导老师 苏先樾 作者 杨陶令
背景概述
1. 应用的领域非常广泛
例如：a.将固体的微观结构与原子层次的组成分
相结合来预测固体材料的宏观特性
b.气象学中对大气环流的多尺度模拟
c.等等
2. 未来发展不可限量
1
对多尺度方法的说明（一）
1.多尺度方法之所以能够适用于如此广泛地
2b 2a
12
胞元所包含的信息
基体相和增强相即纤维各自的K氏常数 m
和 f 、剪切模量 m 和 f 、泊松比 m 和 f 以及它们各自的体积分数 Vm 和 Vf 。
需要注意，胞元本身可能并没有达到细观尺 度，但是胞元的尺寸与周围的宏观等效均匀 介质相比起来，在尺度上已经有很大的跳跃。
4.正因为多尺度方法自身的特殊性，所以我 们要介绍的是，如何结合具体的研究模型的 需要，来运用多尺度的方法。
3
多尺度的力学分析方法
在多尺度的力学分析方法中，比较典型的 算法有： 1.宏观－细观平均化计算方法 2.材料强度的统计计算方法
4
典型的宏观－细观平均化算法 的内容
利用材料的细观周期性的胞元模型和 强调宏观与细观之间相连接的广义自 洽模型相结合来进行计算 ：
2.通过一定条件将平均化的小尺度的胞 元与大尺度的宏观等效均匀介质进行 自洽连接。
9
算例
复合材料等效模量计算中常用的复合 圆柱模型
图示（见下页）
10
复合圆柱模型的坐标图
1
3
2
图１.复合圆柱模型（坐标图）
11
复合圆柱模型的横截面图
胞元内的纤维束
宏观等效均匀介质
胞元基体
图２.复合圆柱模型（横截面图）
连接宏观尺度与细 观尺度（或相对较 小尺度）的广义自
洽模型
将具体的力学问题 数学化，给出程序
并计算
图３. 宏观－细观平均化算法的流程图
20
第一部分结束语
需要强调的是，正如我们前文所说，多尺度 方法是迎合研究过程中的具体需要而产生的 一种计算思想，它本身没有固定的计算格式， 不论是在力学方面，还是在其他领域，多尺 度方法的应用都必须结合其具体的研究模型 来展开。
应用于各种研究领域，就在于能够与具体的 研究背景相结合。 2.从算法的角度来说，多尺度方法本身没有 固定的算法格式，它所体现的更多的是一种 研究的需求和应用的思想，在程序上的实现 必须结合具体的研究模型。可能会应用非线 性方程组的解法，也有可能是统计计算。
2
对多尺度方法的说明（二）
3.考虑到多尺度方法中算法对具体研究模型 的依赖性，在安排具体问题数值计算的过程 中，应当灵活地运用具体问题中的合适条件， 把计算过程加以简化。
3.不要立刻求解这一看起来似乎非常复杂的方程组， 由于九个未知量中只有 23 是我们关心的，所以 先考虑方程组是否可以做一定的简化，以减少计 算量。原问题最后可以化为关于 23 的一个非线 性方程。
19
宏观－细观平均化算法的流程图
细观（或相对较小 尺度下）周期性的
胞元模型
宏观（或较大尺度 下）的力学模型
13
问题
需要计算的是该复合材料的有效材料 常数。这里以2－3平面内的有效剪切 模量为例：
23 ?
14
在宏观等效均匀介质中的物理场
在无限远场的剪切变形条件下，利用圆柱坐 标系求解的位移场是：
u re
b
4 23
[ 2r b
(
1) b r
a3
b3 r3
c3 ]cos2
ue
b
4 23
[ 2r b