第三课时 换底公式及对数运算的应用
高一数学换底公式及对数运算的应用
思考5:通过查表可得任何一个正数的常用
对数，利用换底公式如何求
的值？
思考6:换底公式在对数运算中有什么意 义和作用？
知识探究（二）：换底公式的变式
思考1:
与
有什么关系？
思考2:
与
有什么关系？
思考3:
可变形为什么？
理论迁移
例1 计算：
(1)
;
(2)（log2125＋log425＋log85)· （log52＋log254＋log1258）
例2 20世纪30年代，里克特制订了一种表明 地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量
地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记 录的地震曲线的振幅就越. 这就是我们常说 的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA－lgA0. 其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准 地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测 震仪距实际震中的距离造成的偏差）. （2）5级地震给人的震感已比较明显，计算
例2 20世纪30年代，里克特制订了一种表明 地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量 地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记 录的地震曲线的振幅就越. 这就是我们常说 的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA－lgA0. 其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准 地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测 震仪距实际震中的距离造成的偏差）. （1）假设在一次地震中，一个距离震中100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此 时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震 的震级（精确到0.1）；
知识探究（一）：对数的换底公式
思考1:假设
，则
，从而有
.
进一步可得到什么结论？
思考2:你能用;0，且a≠1；
c>0，且c≠1；b>0，那么 与哪个 对数相等？如何证明这个结论？
221第3课时换底公式
端午节绘制彩蛋7月14日日立2019年发布了第一款轻薄3D影像传送机，(Light Field Display)，重量约为44.1磅，价格为140,000美元，可以提供120度的水平视野和视野到视野（FOV）。
影像传送机内部包括了最多50个距离相机（time-of-flight camera）和3D 传感器，配合专利的缩放技术和特定光学面板，让脱离电脑及其他装置的3D影像传送变成可能。
机器以及每片电子光学面板深度小，使机器有轻便、小而美的特点。
影像传送机有多种用途，包括援助在醫學和手术方面操作时可以观察的3D模型，以及军事，飞行模拟及游戏等领域。
在端午节中，中国传统的技艺是绘制彩蛋。
中国人是迷信的。
端午节被称为“五月节”、“端阳”、“午日”，节日日期在农历的五月初五这一天。
端午节是中华民族的传统节日之一，历史悠久，起源于古代华夏民族的龙舟竞渡和纪念屈原的传统。
随着时间的演进，端午节已经成为了一个欢乐的节日。
在端午节中，我们需要绘制彩蛋以及包粽子。
彩蛋绘画是一个很有趣的活动。
彩蛋的颜色和图案可以自由搭配，彩蛋不仅是一种民间艺术品，也是种展示时代特征的艺术品。
我们可以用不同的颜色和图案创造出不同种类的彩蛋，从而表达出我们的创造与思维。
彩蛋的图案可以是任何形状，可以是小动物，小花朵或者是小星星。
彩蛋的颜色也可以是任何颜色，可以是黑色，白色，红色，蓝色等等，只要是你喜欢的颜色就行了。
彩蛋绘画的步骤很简单，只需用一点点画笔就能创造出一个独一无二的艺术品。
首先，准备好鸡蛋，用针钻穿蛋壳的一端然后用吸管吹空蛋液。
其次，将蛋液用水冲洗干净，晾干铺在桌子上。
之后，根据自己的想象，用彩笔，颜料或是水粉在蛋的表面上画上自己想要的图案。
最后，等画干了，可以涂上一层漆，这样画面可以更加鲜明，保护蛋质也可以更加耐久。
在现代科技中，彩蛋的绘画也可以有不同的形态。
比如利用3D技术绘制彩蛋。
首先，我们需要利用3D建模软件来设计出我们想要画的彩蛋。
对数的运算及换底公式2012.10.27
关系： １．关系： a b = N
指数式
b = log a N
对数式
a
指数式 a b = N 对数式 log a N = b 底数 对数的底数
N
幂 真数
b
指数 对数
2.特殊对数：1）常用对数 — 以10为底的对数；lg N 特殊对数： ） 为底的对数； 特殊对数 为底的对数 2）自然对数— 以 e 为底的对数；ln N ）自然对数 为底的对数； 3.重要结论：1）log a a = 1；2）log a 1 = 0 重要结论： ） 重要结论 ； ） 4.对数恒等式：a log a N = N 对数恒等式： 对数恒等式
n N = log a N m
n
(a, c ∈ (0,1) U (1,+∞), N > 0) a, b ∈ (0,1) U (1,+∞)
1、计算： (1) log 5 35 －2log 5 、计算：
7 + log 5 7 －log 5 1. 8 3
(2) lg 2 5 + lg 2 lg 5 + lg 2
解法一： 解法一： 解法二： 解法二：
7 7 lg 14 − 2 lg + lg 7 − lg 18 lg 14 − 2 lg + lg 7 − lg 18 3 3 7 7 2 = lg 14 − lg( ) + lg 7 − lg 18 = lg(2 × 7) − 2 lg 3 3 2 + lg 7 − lg(2 × 3 ) 14 × 7 = lg 7 2 = lg 2 + lg 7 − 2(lg 7 − lg 3) ( ) × 18 3 + lg 7 − (lg 2 + 2 lg 3) = lg 1 = 0 =0
对数运算时换底公式课件
在某些情况下，使用换底公式可能会导致数值计算的精度损失。因此，在进行 数值计算时，需要谨慎使用换底公式，并注意检查计算结果的精度。
避免使用换底公式的场景
需要精确计算时
在需要精确计算的情况下，尽量避免使用换底公式。因为换底公式可能导致数值 计算的精度损失，从而影响结果的准确性。
对数底数难以确定时
在数学算过程。
换底公式在物理中的应用
换底公式在热力学中的应用
在热力学中，温度、压力等物理量常常用对数表示，换底 公式可以用来推导热力学中的一些重要公式，如理想气体 状态方程等。
换底公式在电磁学中的应用 在电磁学中，电流、电压等物理量常常用对数表示，换底 公式可以用来推导电磁学中的一些重要公式，如欧姆定律 等。
对数的基本性质
总结词
对数具有一些基本的数学性质，这些 性质在对数运算中非常重要。
详细描述
对数具有一些基本的数学性质，如对 数的乘积性质、对数的除法性质、对 数的指数性质等。这些性质可以帮助 我们更方便地进行对数运算。
对数的换底公式
总结词
换底公式是一种重要的对数运算公式， 它允许我们在不同的底数之间进行转换。
换底公式的应用场景
换底公式在解决实际问题时具有广泛的应用，如科学计算、工程技术和 金融等领域。
在不同领域中，换底公式可以用于转换不同底数的对数，以便更好地处 理数据和计算结果。
通过以上扩展，我们详细介绍了换底公式的推导过程、证明和应用场景。 在数学学习和实际应用中，掌握换底公式对于处理对数运算和解决实际 问题具有重要的意义。
换底公式在天文学中的应用
在天文学中，星体的距离、质量等物理量常常用对数表示， 换底公式可以用来推导天文学中的一些重要公式，如哈勃 定律等。
高中数学教学 换底公式及对数运算的应用4课件 新人教A版必修1
P
o
x
思考4:一般地，对数函数的图象可分为
几类？其大致形状如何？ y a>1 y
0<a<1
1 1
01
x
01
x
思考5:函数 y | log2 x | 与 y log2 | x |
4
一般地，什么叫对数函数？
思考4:为什么在对数函数中要求a＞0， 且a≠l？
思考5:对数函数的定义域、值域分别是 什么？
思考6:函数 y log3 x2 与 y 2log3 x 相同吗？ 为什么？
知识探究（二）：对数函数的图象
思考1:研究对数函数的基本特性应先研 究其图象.你有什么方法作对数函数的图 象？
2. y log 1 x（x>0）是函数吗？若
4
是，这是什么类型的函数？
知识探究（一）：对数函数的概念
思考1:在上面的问题中，若要使残留的 污垢为原来的 1 ，则要漂洗几次？
64
思考2:在关系式y log 1 x中，取 x a(a 0)
4
对应的y的值存在吗？怎样计算？
思考3:函数 y log 1 x 称为对数函数，
（3）aloga N N .
3.同底数的两个对数可以进行加、减 运算，可以进行乘、除运算吗？
4.由 1.01x
18 得
13
x
18 log1.01 13
，但这只
是一种表示，如何求得x的值？
知识探究（一）：对数的换底公式
思考1:假设 log2 5 x ，则
log2
5
log2 3
x log2 3
log2
3x，从而有 3x
5.
进一步可得到什么结论？
思考2:你能用lg2和lg3表示log23吗？
对数换底公式及其应用
对数换底公式及其应用logₐ(b) = logₓ(b) / logₓ(a)其中，logₐ(b) 表示以 a 为底数的 b 的对数，logₓ(b) 表示以 x 为底数的 b 的对数，logₓ(a) 表示以 x 为底数的 a 的对数。
1.计算不同底数的对数之间的关系使用对数换底公式，可以将一个底数为 a 的对数转化为底数为 x 的对数，以便计算或进行比较。
例如，要计算 log₃(2) 的值，可以使用对数换底公式将其转化为以 10 为底数的对数：log₃(2) = log₁₀(2) / log₁₀(3)2.化简复杂的对数表达式有时候，对数表达式可能比较复杂，难以计算或分析。
在这种情况下，对数换底公式可以帮助我们将其转化为更简单的形式，以便进行进一步的计算。
例如，对于表达式 log₉(27)，我们可以使用对数换底公式将其转化为以 10 为底数的对数：log₉(27) = log₁₀(27) / log₁₀(9)= log₁₀(3³) / log₁₀(3²)= 3 * log₁₀(3) / 2 * log₁₀(3)=3/23.解决指数方程x = log₂(16) = log₁₀(16) / log₁₀(2) = 4 / log₁₀(2)4.求解连续复利问题连续复利是一种常见的复利计算方法，其中利息不断累积，而不是离散计算。
对数换底公式可以用于求解连续复利问题的相关计算。
例如，如果我们正在计算以年利率为8%的连续复利的总金额，我们可以使用对数换底公式将其转化为以自然对数e为底数的对数：F = P * (1 + r/n)^(nt)=P*(1+8%/1)^(1*1)=P*(1+0.08)^1= P * e^(ln(1 + 0.08))5.编程中的应用综上所述，对数换底公式是一种非常有用的数学工具，可以应用于许多不同的场景，包括计算不同底数的对数之间的关系、化简复杂的对数表达式、解决指数方程、求解连续复利问题以及在编程中的应用。
高一数学换底公式及对数运算的应用
Hale Waihona Puke 365备用登陆 池塘里的水位上涨了很多，青蛙涌出来了，赖蛤蟆也涌出来了，此刻正叽叽呱呱地叫个不停，抢占了夜的阵地。 轰隆隆的雷雨声，又在窗前响起，玻璃上一道道深深浅浅的划痕，天空在哭泣，泪眼婆娑。 高楼的窗户里透出点点灯光，水面上波光鳞鳞，宁静被雨声惊扰。 我想睡去，在梦里翻山越岭，撑着伞，披着雨衣，与你走在田间地头，薅一把水田里的稻苗，摘一把地里的青菜，在漫长的岁月里燃起炊烟。 你说，到那时，我们都老了。 我们必定会老去，就像现在我们的父母，所以不敢远离。怕有一天父母找不见我们会着急，还有孩子，我们不能丢下他们老去。所以我们必须年轻，父母需要我们，孩子需要我们，我们需要钱。 你不得不走，离乡背井，跋山涉水，去到远方，却不是为了寻找诗和梦想。那些对于我们太过奢侈，只能放在心中，眼下，我们需要活下去，活下去，就得有钱。我们存着诗和远方的梦想，却又被
数学人教B版必修1素材：教师锦囊 3-2-1对数及其运算第3课时换底公式与自然对数 含解析 精品
教学建议1.让学生准确理解换底公式:log a b=ab c c log log (a>0,且a≠1,b>0,c>0,且c≠1). 教学过程中我们除了要切实把握好公式中各字母的取值范围外,最关键的是要读懂公式右边的“底数c”,事实上公式右边的“底数c”是开放不定的,它可以取任何一个不为1的正数,这一点非常重要,否则我们就不能够在解题中灵活运用.在公式的运用问题上,一定要注重它的“双向性”,即要注意它的正向运用和逆向应用,以达到灵活运用公式解题的目的.2.讲清换底公式的意义是把一个对数式的底数换成另一个数,它在对数的恒等变形和计算求值中有重要作用.换底公式还可以用对数恒等式来证.要证log b N=bN a a log log ,只要证log b N·log a b=log a N,据运算性质,只要证log a N b b log =log a N.∵b N b log =N 成立,∴换底公式成立.3.使学生记住由换底公式推出的几个结论:log a b·log b c·log c d=log a d;log a b=ab log 1;log n a b m =m n log a b(这里0<a≠1,0<b≠1,0<c≠1,m 、n 均为有理数). 备用习题1.已知2a =5b =10,则a 1+b1等于( ) A.1 B.2 C.21 D.41 解析：由已知得a=log 210,b=log 510.∴a 1=lg2,b 1=lg5.∴a 1+b 1=lg2+lg5=1.故选A. 答案：A2.已知log 89=a,log 25=b,则lg3等于( ) A.1-b a B.)1(23-b a C.)1(23+b a D.b b a 2)(3- 解析：∵a=log 89=32log 23, ∴lg3=10log 3log 22=5log 13log 22+=)1(23+b a .故选C. 答案：C 3.已知a>b>0,ab=105,a lgb =106,则b a =________. 解析：∵ab=105,∴lga+lgb=5.∵a lgb =106,∴lga·lgb=6.又a>b,∴lga=3,lgb=2.∴lg b a =lga-lgb=1.∴ba =10.4.已知log 567=a,用a 表示log 562. 解析：log 562=31log 568=31log 56756=31(1-a).。
高一数学人教B版必修1课件3.2.1 第3课时《换底公式与自然对数》
第三章
3.2
3.2.1
第3课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修1
2．log89· log32 的值为( 2 A. 3 3 C． 2
[答案] A
[解析]
) B．1 D．2
lg9 lg2 2lg3 lg2 2 原式＝lg8· lg3＝3lg2· lg3＝3.
第三章
3.2
3.2.1
第3课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修1
3．已知 log72＝p，log75＝q，则 lg5 用 p，q 表示为( A．pq 1＋pq C. p＋q
[答案] B
)
q B． p＋q pq D． 1＋pq
1 [解析] ∵p＋q＝log72＋log75＝log710＝lg7， lg5 q lg5 q＝log75＝lg7，∴ ＝ · lg7＝lg5. p＋q lg7
第三章
3.2
3.2.1
第3课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修1
知能自主梳理 1.换底公式
logaN logab 一般地，logbN＝__________ ，其中b＞0，b≠1，N＞0，a
＞0，a≠1，这个公式称为对数的换底公式． 2．自然对数 以 ______________ e＝2.71828… 为底的对数叫做自然对数， logeN 通常 lnN ． 记作________
成才之路· 数学
人教B版 ·必修1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修1
第三章
基本初等函数(Ⅰ)
第三章
基本初等函数(Ⅰ)
高一数学换底公式及对数运算的应用
第二天来到了著名景区金丝峡，它位于群山之中，下了高速还要经过几十里难行的山道才可以到达。这里是丹江的源头，下游修建的丹江口水库，是亚洲第一大人工淡水湖，也是南水北调中线工程 的水源地，多年来一直对国家经济建设发挥着非常重要的作用。
步行在峡谷里，我随着人流拾级而上，向丹江的源头走去。一路上清风拂面，空气格外清新。峡谷间时不时有粉色的、红色的、紫色的花朵从一片翠绿中跃然而出，在迎接着游人的到来。
Hale Waihona Puke 金丝大峡谷的水让我记忆最为深刻，丹江那涓涓细流蜿蜒穿行于峡谷之中，非常清澈，看上去像碧玉一般。沿途山的缝隙中不断有泉水涌出，在跌宕的地形作用下，形成了各种形态的瀑布，有的飞 流直下，声如奔雷；有的水气蒙蒙，珠玑四溅；有的奋力撞击着山石，激起千万朵水花，在阳光下幻变为五彩缤纷的水珠，耀眼夺目。峡谷瀑布虽没有庐山瀑布“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”的 气概，但也展现出个性十足的奇妙。
其实，在我们的生活中，总要去面对许多复杂的事物，有内在的，也有外在的；有喜怒哀乐的，也有烦恼琐碎的，越在意，就越变得庸碌；若全不在意，又难以生存。因此，竞彩推荐进球网
人有时太需要给自己一点时间，去享受下心中的宁静，找一方完全属于自己的天地，静心去感受一下心灵的空寂，这不需要很久，可能是一盏茶的工夫、一场深夜田野里的蛙鸣，也可能是一次开心 的旅游就够了。这样会使你有了一种不惧岁月的坦然，时光也会在这样心态中减缓了脚步，让你感觉到人生脚步也会走的从容。
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2.2.1 对数与对数运算
第三课时 换底公式及对数运算的应用
一．教学目标：
1．知识与技能：
（1）掌握对数的换底公式
（2）准确地运用对数运算性质进行对数运算，求值、化简
2. 过程与方法
学生经历并推理出对数的换底公式
3. 情感态度与价值观
让学生体会到对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性.
二．教学重点、难点：
重点：对数运算的性质及换底公式的应用
难点：灵活运用对数的运算性质和换底公式化简求值。
三．学法和教学用具
学法：学生自主推理、讨论和概括.
四．教学过程：
（一）回归前两节知识
1.对数运算恒等式
（1） （2） （3） 2.对数运算有哪三条基本性质？
如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：
（1） （2）log log log a a a M M N N
=- （3）log log ()n a a M n M
n R =∈
（二）问题提出：
计算?3log 2log 23=∙（学生先自己动手算，发现用前面的知识无法解决） log 1
a a =log 10
a =log a N a N
=M
N M N a a a log log )(log +=∙
x =3log 2 转化成指数式 32=x 32=x 两边取3为底的对数 3log 2log 33=x 12log 3=x
12log 3log 32=∙即：
（二）知识探究
1.一般地
b x a log = 转化成指数式 b a x =
b a x = 两边取
c 为底的对数 b a c x l o g l o g c =
b a x
c log log c =
a b
b c c a log log log =
即： ）（0,0,0,1,0>≠>≠>b c c a a 对数换底公式 文字描述：一个对数可以用同底数的两个对数的商来表示
例1 利用对数的换底公式化简下列各式
a c c a log log 1∙）（ 2l o g 5l o g 4l o g 3l o g 25432∙∙∙）（
）
（））（（2log 2log 3log 3log 39384+∙+ 2.几个特殊的换底公式
思考：有什么关系？与a b a b log log
?log =n a b n ?log =n a b m
（1）
a b b log 1log a = （2）
b b og a n a n log l = （3）
b m n b a n a m log log =
（三)对数运算的运用
例2 求下列各式的值
例3.24log ,3log ,2log 555求已知b a ==. 例4.的值求已知
设m b a m b a ,211,53=+==. （四）小结
对数运算四条基本性质
如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：
（1） （2）log log log a a a M M N N
=- （3）log log ()n a a M n M
n R =∈
（4） 2lg5)lg 2lg50
+⋅(4)（lg 27lg83lg 10
(5)
lg1.2+-41
291(3)log 8log 3log 4-+1
27(2)log 81
M
N M N a a a log log )(log +=∙55(1)2log 10log 0.25+log log log c a c b b a =。