数学苏教版必修4导学案：1.2.3第1课时 三角函数诱导公式一～四

1.2.3三角函数的诱导公式第1课时三角函数诱导公
式一～四
诱导公式一～四
(1)公式一：终边相同的角的同一三角函数值相等．故有：sin(α＋2k π)＝sin_α，cos(α＋2k π)＝cos_α，tan(α＋2k π)＝tan_α(k ∈Z )．
(2)公式二：角α与角－α的终边关于x 轴对称，故有：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tan_α.
(3)公式三：角α与角π－α的终边关于y 轴对称，故有：sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α，tan(π－α)＝－tan_α.
(4)公式四：角π＋α与角α的终边关于原点O 对称，故有：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α.
预习交流1
怎样由公式二、三推导出公式四？
提示：由公式二、三可得：sin(π＋α)＝sin[π－(－α)]＝sin(－α)＝－sin α； cos(π＋α)＝cos[π－(－α)]＝－cos(－α)＝－cos α； tan(π＋α)＝tan[π－(－α)]＝－tan(－α)＝tan α. 预习交流2
以上诱导公式各有什么作用？ 提示：公式一的作用是将任意角转化为0～2π内的角求值；公式二的作用是将负角化为
正角求值；公式三的作用是将角转化为0～π
2
内的角求值；公式四的作用是将0～2π内的角
转化为0～π内的角求值．
一、给角求值问题求下列三角函数值：
(1)sin ⎝⎛⎭⎫－103π；(2)cos 29
6
π；(3)tan(－855°)． 思路分析：对于负角的三角函数可先由公式二化为正角的三角函数，再将大于360°的角利用公式一化到0°～360°内的角，进而利用公式三、四化成锐角的三角函数并求得结果，也可直接利用公式一化为0°～360°内的角的三角函数，再运用公式三、四化成锐角的三角函数求之．
解：(1)方法一：sin ⎝⎛⎭⎫－103π ＝－sin 103π＝－sin ⎝⎛⎭⎫2π＋4π3＝－sin 4π3
＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－⎝⎛⎭⎫－sin π3＝sin π3＝32
； 方法二：sin ⎝⎛⎭⎫－103π＝sin ⎝⎛⎭⎫－4π＋2π3 ＝sin 2π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π3＝sin π3＝32
. (2)cos 296π＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋5π6＝cos 5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝－32
. (3)方法一：tan(－855°)＝－tan 855° ＝－tan(720°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝－(－tan 45°)＝tan 45°＝1. 方法二：tan(－855°)＝tan(－3×360°＋225°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1.
求下列三角函数值：
(1)sin(－1 200°)；(2)cos 47π6
.
解：(1)sin(－1 200°)＝－sin1 200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin 120°＝－sin(180°－60°)
＝－sin 60°＝－3
2
.
(2)cos 47π6＝cos ⎝⎛⎭⎫6π＋11π6＝cos 11π6
＝cos ⎣⎡⎦⎤2π＋⎝⎛⎭⎫－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝cos π6＝32
.
利用诱导公式求任意角的三角函数值
的步骤：
(1)“负化正”——用公式一或二来转化； (2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角； (3)“小化锐”——用公式三或四将大于90°的角转化为锐角； (4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值． 二、给值求值问题
已知cos(α－75°)＝－1
3
，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．
思路分析：确定α－75°所在的象限，利用同角的三角函数基本关系式及诱导公式求解．
解：∵cos(α－75°)＝－1
3
＜0，且α为第四象限角，
∴α－75°为第三象限角．
∴sin(α－75°)＝－1－cos 2(α－75°)＝－1－⎝⎛⎭⎫－132＝－223
. ∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝22
3
.
1．已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝3
3，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝__________. ★答案★：－3
3
解析：∵tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33
， ∴tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33
. 2．若sin(π＋α)＝－1
2，则sin(4π－α)的值是__________．
★答案★：－1
2
解析：∵sin(π＋α)＝－12，∴sin α＝1
2
.
∴sin(4π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝－1
2
.
对于给值求值问题，解题的基本思路是
首先认真找出条件式与待求式之间的差异，主要包括函数名称及角两个方面，然后巧妙地选用公式化异为同，再代入条件式求解．有时还需对条件式或待求式进行适当化简后再作处理．观察已知角与未知角之间的关系，运用诱导公式将不同名的函数化为同名的函数，将不
同的角化为相同的角，这些都是解决问题的关键．
三、三角函数式的化简问题
化简：
(1)sin(－α)cos(－α－π)tan(2π＋α)； (2)sin (180°＋α)cos (－α)tan (－α)
.
思路分析：利用诱导公式一～四进行化简． 解：(1)原式＝－sin αcos(α＋π)tan α
＝－sin α·(－cos α)·sin α
cos a
＝sin 2α.
(2)原式＝－sin α·cos α
－tan α
＝sin α·cos αsin αcos α
＝cos 2α.
1．化简：cos (－α)tan (7π＋α)
sin (π＋α)
＝__________.
★答案★：－1
解析：原式＝cos αtan[6π＋(π＋α)]
－sin α
＝cos αtan (π＋α)－sin α＝cos αtan α－sin α
＝cos α·
sin αcos α
－sin α
＝－1. 2．化简：
sin 2(α－2π)cos (2π＋α)cos (－α－3π)
tan (2π－α)cos 3(－α－4π)
.
解：原式＝sin 2αcos αcos (3π＋α)
tan (－α)cos 3(－α)
＝sin 2αcos αcos (π＋α)－tan αcos 3α
＝sin 2α(－cos α)－tan αcos 2α＝sin 2αcos αsin αcos α
cos 2
α＝sin α.
1．sin 330°＝__________.
★答案★：－1
2
解析：易知sin 330°＝sin(360°－30°)＝sin(－30°)＝－sin 30°＝－1
2
.
2．若tan(π＋α)＝－1
2
，则tan(3π－α)＝__________.
★答案★：1
2
解析：∵tan(π＋α)＝tan α＝－1
2
，
∴tan(3π－α)＝tan[2π＋(π－α)]＝tan(π－α)＝－tan α＝－⎝⎛⎭⎫－12＝12
. 3．已知sin(2π－α)＝4
5，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α＋cos αsin α－cos α
＝__________. ★答案★：1
7
解析：∵sin(2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝4
5
，
∴sin α＝－4
5.
又α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则cos α＝1－sin 2α＝35， ∴原式＝1
7
.
4．化简：sin 2(π＋α)－cos(π－α)cos(－α)－1＝__________. ★答案★：0
解析：原式＝(－sin α)2－(－cos α)cos α－1＝sin 2α＋cos 2α－1＝1－1＝0.
5．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝⎛⎭⎫π
2
<α<π，求sin α－cos α的值． 解：sin(π－α)－cos(π＋α)＝sin α＋cos α＝23，两边平方，得1＋2sin αcos α＝2
9
，
∴2sin αcos α＝－7
9
.
∵π
2
＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0. 故有sin α－cos α＝(sin α－cos α)2
＝1－2sin αcos α＝1＋79＝4
3.。