数模：运输问题
数学建模之运输问题
数学建模之运输问题1. 引言运输问题是指在给定产地到销售地之间有若干个供应点和需求点的情况下，如何安排运输使得总运输成本最低。
这是一个经济管理中的经典问题，也是数学建模中常见的一个研究方向。
2. 问题描述假设有n个供应点和m个需求点，其中每个供应点的供应量和每个需求点的需求量已知，并且每个供应点到每个需求点的运输成本也已知。
我们的目标是确定供应点到需求点的运输量，使得总运输成本最小。
3. 模型建立为了建立数学模型，我们可以引入一个矩阵来表示供应点和需求点之间的运输成本。
设C为一个n行m列的矩阵，其中Cij表示供应点i到需求点j的运输成本。
我们需要引入决策变量X，其中Xij表示从供应点i到需求点j的运输量。
那么，目标函数可以定义为最小化总运输成本，即$$\min \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} C_{ij} X_{ij}$$同时，我们需要保证供应点和需求点的供需平衡，即满足每个供应点的供应量和每个需求点的需求量。
这可以表示为以下约束条件：1. 对于每个供应点i，有 $\sum_{j=1}^{m} X_{ij} = s_i$，其中$s_i$ 表示供应点i的供应量。
2. 对于每个需求点j，有 $\sum_{i=1}^{n} X_{ij} = d_j$，其中$d_j$ 表示需求点j的需求量。
进一步地，我们需要确保运输量的非负性，即$X_{ij} \geq 0$。
4. 求解方法对于较小规模的问题，我们可以使用线性规划方法求解运输问题。
线性规划是一种数学优化方法，可以在满足一定约束条件的前提下，使得目标函数达到最小值。
对于大规模的问题，我们可以使用近似算法或启发式算法进行求解。
这些算法可以快速找到较好的解，但不能保证找到最优解。
常用的算法包括模拟退火算法、遗传算法等。
5. 应用领域运输问题在许多实际应用中都有广泛的应用。
例如，在物流管理中，优化运输方案可以减少运输成本、提高运输效率；在生产计划中，合理安排运输可以确保供应链的稳定性和高效性。
2023国赛数学建模赛题
1. 问题描述：某城市的交通网络由多个路口和道路组成。
每个路口都有一个繁忙程度指标，表示该路口的交通流量。
现在需要选取一个路口作为交通枢纽，使得离该路口最近的其他路口的平均距离最短。
请设计一个数学模型，并找出最佳的交通枢纽路口。
2. 问题描述：某公司有多个产品线，每个产品线的市场需求量不同，并且不断变化。
公司想要确定产量的分配策略，使得总成本最小。
已知每个产品线的生产成本和市场需求，以及各个产品线的最大产能。
请设计一个数学模型，并确定最优的产量分配方案。
3. 问题描述：一家快递公司需要设计一个最优的快递路线，以便在规定时间内完成所有快递的派送任务。
已知快递员的工作时间、快递的数量和派送地点之间的距离。
请建立一个数学模型，确定最佳的快递路线，使得总路程最短。
4. 问题描述：某公司的生产线上有多个工序，每个工序的加工时间和工人数量都不同。
公司想要确定每个工序的工人数量，以保证整个生产线的产量最大。
请设计一个数学模型，并找出最佳的工人分配方案。
5. 问题描述：某城市的垃圾处理中心需要合理安排垃圾运输车辆的路线，以最小化运输成本。
已知垃圾产生的位置、垃圾处理中心的位置、路网的拓扑结构以及各路段的运输成本。
请建立一个数学模型，确定最佳的垃圾运输车辆路线，使得总运输成本最小。
【研究生数模竞赛优秀论文】构建分层优化的城市地下物流系统网络_F10703002
关键字：城市地下物流；APH-PCA 多目标系统；节点重要度；最短路径；网络优化
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一、问题重述
地下物流系统是城市内部及城市间通过地下管道或隧道运输货物的运输和供应系 统，我们需要通过选择节点和规划路线完成两个最直接的目标是缓解交通拥堵和降低物 力成本。地下物流系统的节点建设面临的最大挑战就是在满足完全覆盖的条件下，需要 巨额的投资，所以一味地考虑覆盖率和拥堵率是不合理的。而且，其主要工作场所处于 地下，所以在进行线路设计时，必须考虑隧道建设成本，确定合适的网络布局和轨道方 案。长远考虑，地下物流系统造价高，改建困难，所以本文需要根据时间序列做好扩容 处理，提高此系统的长期使用价值。
图 1.1 地下物流系统结构图
我们需要建立数学模型来解决以下问题： （1）根据所给中心点的位置及当前拥堵率、OD 矩阵表，以缓解拥堵率为最终目 标（使每个位置的交通至少为基本畅通），充分考虑完全覆盖条件，建立一个模型，找 出最少的节点数目，并确定出一级节点和二级节点，给出一级节点的转运率和各节点货 运量。 （2）根据题目所给隧道和节点建设成本和上题中所算出的节点信息，以地下物流 网络建设成本最低为目标，设计或采用一个方法，规划出合理的地下物流网络系统，给 出新的节点（若有节点变动）和通道位置、在此系统中各节点实际货运量和通道实际流 量，并将规划的地下物流网络系统进行仿真。 （3）综合上述两步结果，根据上题仿真结果考虑地下系统的全局性，整体考虑此 系统覆盖率、拥堵率、建设费用和抗风险能力，以整个系统最优为目标，建立模型，修 改节点位置和路径修改。 （4）由于地下物流系统主体在地下，造价高、风险大、改建困难，所以上题所设 计的地下物流系统网络满足应该市 30 年内的交通需求。我们将考虑随着地下物流系统 的建设，接下来每年的交通拥堵率变化，建立模型，确定地下物流系统更路线建设时序 和演进过程仿真，比较出与上题确定的系统网络的优劣。
数学建模运输问题
数学建模运输问题公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]运输问题摘要本文主要研究的是货物运输的最短路径问题，利用图论中的Floyd 算法、Kruskal算法，以及整数规划的方法建立相关问题的模型，通过matlab，lingo编程求解出最终结果。
关于问题一，是一个两客户间最短路程的问题，因此本文利用Floyd 算法对其进行分析。
考虑到计算的方便性，首先，我们将两客户之间的距离输入到网络权矩阵中；然后，逐步分析出两客户间的最短距离；最后，利用Matlab软件对其进行编程求解，运行得到结果：2-3-8-9-10总路程为85公里。
关于问题二，运输公司分别要对10个客户供货，必须访问每个客户，实际上是一个旅行商问题。
首先，不考虑送货员返回提货点的情形，本文利用最小生成树问题中的Kruskal算法，结合题中所给的邻接矩阵，很快可以得到回路的最短路线：-9-10-2；然后利用问题一的Floyd算法编程，能求得从客户2到客户1（提货点）的最短路线是：2-1，路程为50公里。
即最短路线为：-9-10-2-1。
但考虑到最小生成树法局限于顶点数较少的情形，不宜进一步推广，因此本文建立以路程最短为目标函数的整数规划模型；最后，利用LINGO软件对其进行编程求解，求解出的回路与Kruskal算法求出的回路一致。
关于问题三，是在每个客户所需固定货物量的情况下，使得行程之和最短。
这样只要找出两条尽可能短的回路，并保证每条线路客户总需求量在50个单位以内即可。
因此我们在问题二模型的基础上进行改进，以货车容量为限定条件，建立相应的规划模型并设计一个简单的寻路算法，对于模型求解出来的结果，本文利用Kruskal算法结合题中所给的邻接矩阵进行优化。
得到优化结果为：第一辆车：-1，第二辆车：，总路程为280公里。
关于问题四，在问题一的基础上我们首先用Matlab软件编程确定提货点到每个客户点间的最短路线，然后结合一些限定条件建立一个目标模型，设计一个较好的解决方案进行求解可得到一种很理想的运输方案。
2022年数模国赛论文B题-2
2022年数模国赛论文B题-2“互联网+”时代的出租车资源配置摘要关键词：主成分分析法、供求平衡阀法、对比比值法一、问题的重述二、问题分析三、模型的假设与符号说明1、模型假设2、符号说明四、模型建立与求解2.2.1指标体系的建立城市出租车合理运力规模万人拥有量里程利用率空载率居民出行量居民出行量乘客平均等乘客平均车时间等车时间1）万人拥有量:该项指标反映了城市出租车的客观需求。
依据国内外各大城市的经验,城市出租车万人拥有量应介于20-30辆之间,此时能表现出较好的市场接受度。
2）里程利用率:指出租车正常运营过程中一定时间内载客行驶里程占总行驶里程的百分比,其计算公式为:里程利用率=营运载客里程100%总行驶里程3）出租车空载率:是反映出租车营运状况的一个重要指标,其计算公式为:出租车空载率=出租车空车数量100%行驶中的出租车总量4）乘客平均等车时间:指乘客在选择出租车出行的时候等候出租车辆的平均时间,单位为min,其计算公式为:乘客平均等车时间=等车时间总候车次数5）居民出行量：指居民在单位时间内出行人数主成分分析法也称主分量分析，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。
2、主成分分析法的算法步骤2.1原始指标数据的标准化设有n个样本,p项指标,可得数据矩阵某(某ij)n某p,i1,2,...,n 表示n个样本,j=1,2,...,p表示p个指标,某ij表示第i个样本的第j 项指标值.用Zcore法对数据进行标准化变换:Zij(某ij某j)/Sj式中,某j(某)/niji1nSj(某ij某j)21/(n1)2i1ni1,2,...,nj1,2,...,p2.2求指标数据的相关矩阵R(rjk)p某pj1,2,...,pk1,2,...,prjk为指标j与指标k的相关系数.1nrjk[(某ij某j)/Sj][(某ik某k)2/Sk]n1i11n即rjkZijZjk有rij1，rjkrkjn1i1i1,2,...,nj1,2,...,pk1,2,...,p2.3求相关矩阵R的特征根特征向量,确定主成分由特征方程式Ip,可求得的p个特征根g(g1,2,...,p),1将其按大小顺序排列为12p,它是主成分的方差,它的大小描述了各个主成分在描述对象上所起作用的大小。
数模竞赛最优化题目
3考虑到部分县与县交界地带的支局，其邮件由邻县县局负责运送可能会降低全区的运行成本，带来可观的经济效益。若允许在一定程度上打破行政区域的限制，你能否给出更好的邮路规划和邮车调度方案（在此同样不必考虑邮车的运载能力的限制，每条邮路的运行成本为3元/公里）
4县局选址的合理与否对构建经济、快速的邮政运输网络起到决定性的作用。假设图2中县局X1，……，X5均允许迁址到本县内任一支局处，同时原来的县局弱化为普通支局。设想你是该地区网运部门负责人，请你重新为各个县局选址，陈述你的迁址理由并以书面材料形式提交省局网运处。
3如果调度室在列车到达前两小时能够获取列车的相关信息，请利用这些信息制定可行的列车编组调度方案，使每班的中时尽量少，发出的车辆尽量多。
4如果因自然灾害导致S3以南的铁路中断，需要将有关的车辆转向东方向经E4向南绕行，请你们给出相应的调度方案，并计பைடு நூலகம்相应每班的中时。
5假设编组完成的列车都能及时发出，按照你们的编组调度方案分析研究该编组站一天24小时最多能编组完成多少车辆，相应每班的中时是多少即根据所建立模型进一步分析该编组站能否再提高资源的利用率和运行效率。
2008
C
货运列车的编组调度问题
经济类
（规划设计类）
1试设计快速自动实现车辆编组调度方案的优化模型或算法，并给出附件2中车辆可行的编组方案（包括解体程序、轨道编号、车辆数量、集结程序、新列车的组成等），主要使每班的中时尽量地少。
全国大学生数学建模竞赛——运输问题(参考答案)
2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛B 题参考答案注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。
各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。
问题分析：本题目与典型的运输问题明显有以下不同： 1． 运输矿石与岩石两种物资； 2． 产量大于销量的不平衡运输； 3． 在品位约束下矿石要搭配运输； 4． 产地、销地均有单位时间的流量限制； 5． 运输车辆每次都是满载，154吨/车次； 6． 铲位数多于铲车数意味着最优的选择不多于7个产地； 7． 最后求出各条路线上的派出车辆数及安排。
运输问题对应着线性规划，以上第1、2、3、4条可通过变量设计、调整约束条件实现；第5条使其变为整数线性规划；第6条用线性模型实现的一种办法，是从120710 C 个整数规划中取最优的即得到最佳物流；对第7条由最佳物流算出各条路线上的最少派出车辆数（整数），再给出具体安排即完成全部计算。
对于这个实际问题，要求快速算法，计算含50个变量的整数规划比较困难。
另外，这是一个二层规划，第二层是组合优化，如果求最优解计算量较大，现成的各种算法都无能为力。
于是问题变为找一个寻求近优解的近似解法，例如可用启发式方法求解。
调用120次整数规划可用三种方法避免：（1）先不考虑电铲数量约束运行整数线性规划，再对解中运量最少的几个铲位进行筛选；（2）在整数线性规划的铲车约束中调用sign 函数来实现；（3）增加10个0－1变量来标志各个铲位是否有产量。
这是一个多目标规划，第一问的目标有两层：第一层是总运量（吨公里）最小，第二层是出动卡车数最少，从而实现运输成本最小。
第二问的目标有：岩石产量最大；矿石产量最大；运量最小，三者的重要性应按此序。
合理的假设主要有：1. 卡车在一个班次中不应发生等待或熄火后再启动的情况；2. 在铲位或卸点处因两条路线（及以上）造成的冲突时，只要平均时间能完成任务即可，不进行排时讨论；3. 空载与重载的速度都是28km/h ，耗油相差却很大，因此总运量只考虑重载运量；4. 卡车可提前退出系统。
运输问题数学建模
例3.1
某公司从三个产地A1、A2、A3 将物品运往四个
销地B1、B2、B3、B4，各产地的产量、各销地的销量和各产 地运往各销地每件物品的运费如下表3-4所示
销地 产地 A1 A2 A3 销量 B1 3 1 7 3 B2 11 9 4 6 B3 3 2 10 5 B4 10 8 5 6 产量 7 4 9 20（产销平 衡）
a i ( i 1,2 , , m )
；销地Bj的销
b j ( j 1 , 2 , , n )。从第i个产地向第j个销地运输每单位物资
题。问如何调运这些物资才能使总运费达到最小。
单位运价表
销地 产地 A1 A2 ┇ Am 销量
B1 c11 c21 ┇ cm1 b1
B2 … Bn c12 … c1n c22 … c2n ┇ ┇ ┇
③当所有空格检验数
ij 0
则当前方案是最优的，若 尚有空格检验数小于零， 表明当前方案尚有待调整。 A1
B1
B2
B3 4
B4 3
A2
A3
3 6
1 3
σ ij 具有确切的经济意义，它表示由Ai往Bj增运1单位 时，引起的总运输成本的变化数。 若所有的空格检验数都大于等于零，表明任何一 个空格处调运1单位都会引起总成本的上升，这表明 当前方案不能再改进，即定为最优方案。 闭回路法的主要缺点是：当变量个数较多时，寻找闭回 路以及计算都会产生困难。
（2）位势法（对偶变量法）
对于一个调运方案的每列赋予一个值，称为列位 势，记 v 1 , v 2 , , v n ，对于每行赋予一个值，称为行位 势，记为 u 1 , u 2 , , u m 它们的值由下列方程组决定：
u i v j c ij
物质调运问题---空车运输
……………………装……………………订……………………线………………………… 商丘师范学院2013-2014学年度第二学期期终考试 数学与信息科学学院 数学与应用数学、信息与计算科学专业 12级（数本12-1班、数本12-2班、信计12-1班）《数学建模》答卷A 题：物质调运问题摘 要本文主要介绍物资的调运及其车辆的调度问题.随着经济的快速发展，物流部门承接的运输任务越来越多，需运输的物资种类达到千万种，并往往是几十种物资同时调运.所以调度人员要在满足物资需求和装载条件下安排从各供应点到各需求点的运量和路线，使运输总费用最低.但怎样安排货车的运输路线，才能使运输路线最短，才能使运费最省呢？怎样才能更好更快地完成运输任务呢？考虑到需运输多种不同物资，那么只有一种物资需要运输的数学模型求最优调运的方案方法，就不能适用了.原因是：在需要运输多种不同的物质的情况下，调度货车去完成运输任务时，免不了要出现空驶现象，即货车在路上行驶时车上没有装载任何货物.这样一来，在考虑运输路线时，就不能忽略空驶现象了.本模型采用数学规划与线性规划中的最优解问题的方案方法，把货车空车运载时的情况看成是货车在运载一批物资，把车辆调度问题转化为物资调运问题，利用LINGO 软件进行模型求解与模型分析.关键词数学规划模型；线性规划模型；最优解问题；LINGO 软件求解1、问题的重述例如现有物流公司的车队一天要完成的运输任务如下表1，各地间的距离（千米）如下表2.1、请问如何安排汽车去完成任务才能做到最省？2、如果因为施工原因导致从粮油公司到学校的距离增加到3千米，是否影响到原来的运输计划？2、问题的分析由于要运输多种物资，则空驶现象不能忽略.显然，满车的路线和方向是固定的，但空车的路线、方向却没有办法固定.例如把木材从火车站运到工地卸下后，空车即可去车站装煤，也可去粮油公司装大米.空车的走法不同，空缺的t*km （人力运输单位）数当然不同，这就产生了车辆调度问题.车辆调度问题主要解决的是：怎样安排车辆去完成所有的运输任务并使空缺的t*km数最少.物资调运问题是“怎样才能使物资运输的t*km数最小”；这就是说把空车看成是一批货物（卸几吨货物就看成是几吨空车），则把车辆调度问题转化成物资调运问题.我们把空车看成是货物，其发、收（产、销）点及发、收（产、销）量按如下的方法决定：（1）若某点的卸货总量大于装货总量，则该点是空车的发点，其发量等于卸货总量与装货总量之差.如钢厂的卸货总量为2，装货为0，则钢厂是空车的发点，发量是2.（2）若某点装货总量大于卸货总量，则该点是空车的收点，其收量等于装货总量与卸货总量之差.如车站装货总量为6，卸货为0，则车站是空车的收点，收量是6.（3）若某点的卸货总量等于装货总量，则此点不存在空驶现象，不予于考虑。
数学建模运输问题
数学建模运输问题1. 引言运输问题是数学建模中的经典问题之一，其目的是优化物流调度和资源利用，以降低运输成本和提高运输效率。
在这篇文档中，我们将介绍运输问题的定义、常见的建模方法以及求解运输问题的优化算法。
2. 运输问题的定义运输问题的一般形式是在给定的供应地和需求地之间，通过运输网络将一种货物从供应地运送到需求地，以满足一定的需求量。
运输问题的主要目标是确定如何分配供应地的货物到需求地，并最小化总的运输成本。
运输问题通常基于以下几个假设进行建模：•每个供应地和需求地之间的运输成本是已知的。
•每个供应地和需求地的供应量和需求量是已知的。
•货物在运输过程中没有损耗或浪费。
•每个供应地的供应量等于通过该供应地输出的货物总量。
•每个需求地的需求量等于通过该需求地输入的货物总量。
基于以上假设，我们可以将运输问题抽象为一个线性规划问题，通过求解线性规划问题的最优解，得到最佳的货物分配方案。
3. 运输问题的建模方法运输问题的建模方法可以分为两种：3.1 列生成法列生成法是一种迭代求解运输问题的方法，它从一个初始解开始，逐步地添加新的变量（列）来改善当前解，并最终得到最优解。
具体步骤如下：1.初始化一个基本可行解，即满足供应量和需求量约束的初始解。
2.利用这个基本可行解计算每个可能的新变量的代价，即将某个供应地与某个需求地之间的货物分配量作为新的变量。
3.找到一个具有最小代价的新变量，并将它添加到当前解中。
如果不存在新的变量可以添加，那么当前解就是最优解，算法终止。
4.更新当前解，重新计算供应量和需求量，并返回第2步。
列生成法通过逐步添加新的变量来改善当前解，从而降低运输成本，并且由于每次只添加一个变量，可以减少计算的时间复杂度。
3.2 转运算法转运算法是一种常用的直接求解运输问题的方法，它将运输问题转化为一个线性规划问题，并通过求解线性规划问题的最优解得到最佳的货物分配方案。
具体步骤如下：1.定义决策变量，即每个供应地与需求地之间的货物分配量。
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2.运输问题求解
—表上作业法
即从 Ai 向 Bj 运最大量(使行或列在 允许的范围内尽量饱和，即使一个约 束方程得以满足),填入 xij 的相应位 置； (2)从 ai 或 bj 中分别减去 xij 的值，即调整 Ai 的拥有量及 Bj 的需 求量；
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2.运输问题求解
—表上作业法
(3)若 ai = 0，则划去对应的行 （把拥有的量全部运走），若 bj = 0 则划去对应的列（把需要的量全部运 来），且每次只划去一行或一列（即 每次要去掉且只去掉一个约束）； (4)若运输平衡表中所有的行与列 均被划去，则得到了一个初始基本可 行解。否则在剩下的运输平衡表中选 下一个变量，转(4)。
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1.运输问题模型及有关概念
运输问题是一种特殊的线性规划 问题，在求解时依然可以采用单纯形法 的思路，如图4-1所示。由于运输规划 系数矩阵的特殊性，如果直接使用线性 规划单纯形法求解计算，则无法利用这 些有利条件。人们在分析运输规划系数 矩阵特征的基础上建立了针对运输问题 的表上作业法。在这里需要讨论基本可 行解、检验数以及基的转换等问题。
19
1.运输问题模型及有关概念
为了说明这个特征，我们不加证明的给 出一些概念和结论。下面的讨论建立在表4-5 中决策变量格的基础上。 定义4.1 在表4-5的决策变量格中，凡是 能够排列成下列形式的 xab ,xac ,xdc ,xde ,…,xst ,xsb (4-7) 或 xab ,xcb ,xcd ,xed ,…,xst ,xat (4-8) 其中， a,d,…,s 各不相同； b,c,…,t 各不 相同，我们称之为变量集合的一个闭回路， 并将式（4-7）、式（4-8）中的变量称为这 个闭回路的顶点。 20
23
1.运输问题模型及有关概念
定理4.1 变量组 xab , xcd , xef ,…, xst 所 对 应 的 系 数 列 向 量 pab , pcd , pef ,…, pst 线性无关的充分必要条件是 这个变量组中不包含闭回路。 推论 产销平衡运输问题的 m + n -1 个变量构成基变量的充分必要条件是它不 含闭回路。 这个推论给出了运输问题基本解的重 要性质，也为寻求基本可行解提供了依据。
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2.运输问题求解
—表上作业法
上一节已经分析了，对于产销平 衡问题，我们关心的量均可以表示在 表4-5中。因此可以建立基于表4-5的 求解运输问题的方法——表上作业法。 这里求解运输问题的思想和单纯形法 完全类似，即首先确定一个初始基本 可行解，然后根据最优性判别准则来 检查这个基本可行解是不是最优的。 如果是则计算结束；如果不是，则进 行换基，直至求出最优解为止。
31
2.运输问题求解
—表上作业法
1、初始基本可行解的确定 （1）西北角法：从西北角（左上 角）格开始，在格内的右下角标上允 许取得的最大数。然后按行（列）标 下一格的数。若某行（列）的产量 （销量）已满足，则把该行（列）的 其他格划去。如此进行下去，直至得 到一个基本可行解。
32
2.运输问题求解
2
1.运输问题模型及有关概念
例4.1:某公司从两个产地A1、 A2将物品运往三个销地B1、B2、B3， 各产地的产量、各销地的销量和 各产地运往各销地每件物品的运 费如下表所示，问：应如何调运 可使总运输费用最小？
3
1.运输问题模型及有关概念
解： 产销平衡问题： 总产量 = 总销量 设 xij 为从产地Ai运往销地Bj 的运输量，得到下列运输量表：
12
1.运输问题模型及有关概念
在产销平衡问题中，仔细观察式（4-2）、 （4-3）分别变为（4-5）、（4-6），约束条件成 为等式。 在实际问题建模时，还会出现如下一 些变化： （1）有时目标函数求最大，如求利润最 大或营业额最大等； （2）当某些运输线路上的能力有限制时， 模型中可直接加入（等式或不等式） 约束；
n m
i=1 j=1
cij xij
n
（4-1） （4-2）
s.t. xij si i = 1,2,…,m
j=1 m i=1
xij (=,)dj j = 1,2,…,n （4-3）
xij 0 (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)（4-4）
在模型（4-1）—（4-4）中，式（4-2）为 m 个 产地的产量约束；式（4-3）为 n 个销地的销量约 11 束。
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2.运输问题求解
—表上作业法
一、初始基本可行解的确定 根据上面的讨论，要求得运输问 题的初始基本可行解，必须保证找到 m + n – 1 个不构成闭回路的基变量。 一般的方法步骤如下： (1)在运输问题求解作业数据表中 任选一个单元格 xij ( Ai 行 Bj 列交 叉位置上的格),令 xij = min { ai , bj }
13
1.运输问题模型及有关概念
(3)产销不平衡的情况。当销量 大于产量时可加入一个虚设的产地 去生产不足的物资，这相当于在式 （4-2）每一式中加上 1 个松弛变 量，共 m 个；当产量大于销量时 可加入一个虚设的销地去消化多余 的物资，这相当于在式（4-3）每 一式中加上 1 个松弛变量，共 n 个。
4
1.运输问题模型及有关概念
Min f = 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23 s.t. x11+ x12 + x13 = 200
+ x22+ x23 = 300 + x21 = 150 + x22 = 150 + x23 = 200 xij≥0(i=1,2；j=1,2,3）
8
1.运输问题模型及有关概念
表4-3 运输问题数据表
销地 产地
B1 c11 c21
B2 … Bn c12 … c1n c22 … c2n
产量
┇
A1 A2
┇
┇
Am
销量
cm1 d1
cm2 d2
┇ ┇ … cmn
┇
s1 s2
sm
… dn
设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运 输量，根据这个运输问题的要求，可以建立 9 运输变量表（表 4-4）。
2.运输问题求解
—表上作业法
按照上述方法所产生的一组变量的 取值将满足下面条件： (1)所得的变量均为非负，且变量总 数恰好为 m + n – 1 个； (2)所有的约束条件均得到满足； (3)所得的变量不构成闭回路。
30
2.运输问题求解
—表上作业法
因此，根据定理4.1及其推论， 所得的解一定是运输问题的基本可 行解。 在上面的方法中，xij 的选取方 法并没有给予限制，若采取不同的 规则来选取 xij ，则得到不同的方 法，较常用的方法有西北角法和最 小元素法。下面分别举例予以说明。
15
1.运输问题模型及有关概念
基本可行解 是否最优解
是
结束
否
换基
图4-1 运输问题的求解思路
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1.运输问题模型及有关概念
运输问题求解的有关概念 考虑产销平衡问题，由于我们关心的 量均在表4-3与表4-4中，因此考虑把表4-3 与表4-4合成一个表, 如下表4-5 表4-5 运输问题求解作业数据表 (下页）
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x21 x11 x12 x13
1.运输问题模型及有关概念
系数矩阵 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1
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1.运输问题模型及有关概念
模型系数矩阵特征 1.共有m+n行，分别表示各 产地和销地；mn列，分别表示 各决策变量； 2.每列只有两个 1，其余 为 0，分别表示只有一个产地和 一个销地被使用。
1.运输问题模型及有关概念
例如，x13, x16, x36, x34, x24, x23 ； x23, x53, x55, x45, x41, x21 ； x11, x14, x34, x31等都是闭回路。 若把闭回路的各变量格看作节点， 在表中可以画出如下形式的闭回路：
闭回路示意图
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1.运输问题模型及有关概念
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1.运输问题模型及有关概念
销地
产地
B1 c11
B2 c12
… …
Bn c1n
产量
A1
x11 x21
x12
…
x1n x2n
a1
A2
┇
c21
c22
x22
┇ …
c2n
a2
┇
┇
┇
┇
Am
销量
cm1
xm1
cm2
xm2
…
cmn
xmn
am
b1
b2
bn
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1.运输问题模型及有关概念
运输问题基变量的 特点
运输问题的基变量共有 m + n -1 个，A的秩为 m + n -1。 运输问题的 m + n -1 个变量构成基 变量的充分必要条件是不含闭回路。 重要概念: 闭回路、闭回路的顶点
第三章 运输问题
本章内容重点
运输问题与有关概念 运输问题的求解—表上作业法 运输问题应用—建模
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1.运输问题模型及有关概念
问题的提出 一般的运输问题就是要解决把 某种产品从若干个产地调运到若干个 销地，在每个产地的供应量与每个销 地的需求量已知，并知道各地之间的 运输单价的前提下，如何确定一个使 得总的运输费用最小的方案。
1.运输问题模型及有关概念
对于产销平衡问题，可得到下列运输 问题的模型：
m n
Min f =
s.t.
n
i=1 j=1
cij xij