福建省莆田第六中学2017届高三下学期第一次模拟(期中)数学(理)试题

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【数学】福建省莆田六中2016-2017学年高一(下)期中试卷(理科)(B卷)(解析版)

福建省莆田六中2016-2017学年高一（下）期中数学试卷（理科）（B卷）一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．（5分）直线经过点（0，2）和点（3，0），则它的斜率为（）A．B．C．﹣D．﹣2．（5分）直线x﹣y+a=0（a为常数）的倾斜角为（）A．30°B．60°C．150°D．120°3．（5分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=04．（5分）与直线3x﹣4y+5=0关于y轴对称的直线方程是（）A．3x+4y﹣5=0 B．3x+4y+5=0 C．3x﹣4y+5=0 D．3x﹣4y﹣5=05．（5分）一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO的面积是（）A．B．C．D．26．（5分）如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且==，则（）A．EF与GH互相平行B．EF与GH异面C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上D．EF与GH的交点M一定在直线AC上7．（5分）设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α8．（5分）经过点P（0，2）的直线l，若直线l与连接A（﹣，﹣1），B（2，0）的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．9．（5分）已知α，β是两个不同的平面，下列四个条件中能推出α∥β的是（）①存在一条直线m，m⊥α，m⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线m，n，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α；④存在两条异面直线m，n，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α．A．①③ B．②④ C．①④ D．②③10．（5分）图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．8﹣πB．8﹣π C．8﹣πD．8﹣π11．（5分）正方形ABCD，沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，则折后的异面直线AB 与CD所成的角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°12．（5分）圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图），则球的半径是（）A．cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm二、填空题：（本大题6小题，每小题5分，共30分）13．（5分）两平行直线3x+4y﹣5=0和mx+8y+10=0的距离为．14．（5分）直线l经过点A（3，﹣1），且在第四象限与两坐标轴围成等腰三角形，则直线l的方程为．15．（5分）已知△ABC的三个顶点A（1，3），B（3，1），C（﹣1，0），则△ABC的面积为．16．（5分）已知圆台的上、下底面半径分别是1cm、3cm，且侧面积等于两底面积之和，则圆台的母线长为cm．17．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1的三个面的对角线长分别是a，b，c，则长方体对角线AC1的长是．18．（5分）如图所示，在四面体VABC木块中，P为△VAC的重心，这点P作截面EFGH，若截面EFGH是平行四边形，则该截面把木块分成两部分体积之比为．（埴体积小与体积大之比）三、解答题：（本大题共5题，满分60分）19．（12分）已知两条直线l1：4x+（a+3）y+（3a﹣5）=0，l2：（a+5）x+2y﹣8=0，问a为何值时，l1与l2：（Ⅰ）平行；（Ⅱ）相交；（Ⅲ）垂直．20．（12分）已知△ABC的顶点A（1，5），AB边上的中线CM所在直线方程为x﹣2y+5=0，AC边上的高BH所在直线方程为2x﹣y+5=0，求：（Ⅰ）顶点C的坐标；（Ⅱ）直线BC的方程．21．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，AB=AC，D、E分别是棱BC、CC'上的点（点D不同于点C），且AD⊥BC，F为B'C'的中点．求证：（Ⅰ）平面ADE⊥平面BCC'B'；（Ⅱ）直线A'F∥平面ADE．22．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E为DD'的中点．（Ⅰ）求证BD'∥平面AEC；（Ⅱ）如图，设F为上底面A'B'C'D'一点，过点F在上底面画一条直线与CF垂直，并说明理由．23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面α，C是圆周上不同于A、B的点．（Ⅰ）求证：平面P AC⊥平面PBC；（Ⅱ）过A作AD⊥PC（D为垂足），过D作DE⊥PB（E为垂足），求证：PB⊥平面ADE．【参考答案】一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1.C【解析】直线经过点（0，2）和点（3，0），则直线l的斜率是k==﹣2．B【解析】设直线x﹣y+a=0的倾斜角是α，则直线的方程可化为y=x+a，直线的斜率k=tanα=，∵0°≤α＜180°，∴α=60°．3．A【解析】设直线方程为x﹣2y+c=0，又经过（1，0），∴1﹣0+c=0故c=﹣1，∴所求方程为x﹣2y﹣1=0；4．A【解析】令x=0，则y=，可得直线3x﹣4y+5=0与y轴的交点．令y=0，可得x=﹣，可得直线3x﹣4y+5=0与x轴的交点，此点关于y轴的对称点为．∴与直线3x﹣4y+5=0关于y轴对称的直线经过两点：，．其方程为：=1，化为：3x+4y﹣5=0．5．C【解析】由题意，直观图的面积为，因为直观图和原图面积之间的关系为，故原△ABO的面积是6．D【解析】因为F、G分别是边BC、CD上的点，且==，所以GF∥BD，并且GF=BD，因为点E、H分别是边AB、AD的中点，所以EH∥BD，并且EH=BD，所以EH∥GF，并且EH≠GF，所以EF与GH相交，设其交点为M，所以M∈面ABC内，同理M∈面ACD，又∵面ABC∩面DAC=AC∴M在直线AC上．7．C【解析】A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故A错误．B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故B错误．C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α，正确．D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故D错误．8．D【解析】k P A=，k PB=﹣1．∵直线l与连接A（﹣，﹣1），B（2，0）的线段总有公共点，∴直线l的斜率的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪．9．C【解析】对于①，由“垂直于同一条直线的两个平面互相平行”可知①正确；对于②，以直三棱柱为例，直三棱柱的任意两个侧面都与底面垂直，但两个侧面不平行，故②不正确；对于③，若α∩β=l，且m∥l，n∥l，显然符合条件，但平面α，β不平行，故③不正确；对于④，假设α与β相交，交线为l，∵m⊂α，α∩β=l，则m∥l，同理可得n∥l，故m∥n，与m，n为异面直线矛盾，故假设错误，故④正确．10．D【解析】根据几何体的三视图知，该几何体是棱长为2的正方体，挖去半个圆锥体，如图所示；结合图中数据，计算它的体积为V=23﹣××π×12×2=8﹣．11．C【解析】取BD中点O，连结AO、CO，设正方形ABCD边长为，∵沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，∴AO⊥BD，CO⊥BD，AO⊥CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，1），B（0，﹣1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），=（0，﹣1，﹣1），=（﹣1，1，0），设折后的异面直线AB与CD所成的角为θ，则cosθ=|cos＜＞|===，∴θ=60°．∴折后的异面直线AB与CD所成的角为60°．12．D【解析】设球的半径为r，则V水=8πr2，V球=4πr3，加入小球后，液面高度为6r，∴πr2•6r=8πr2+4πr3，解得r=4．二、填空题：（本大题6小题，每小题5分，共30分）13．2【解析】两平行直线3x+4y﹣5=0和mx+8y+10=0，可得m=6，则两条平行线之间的距离为：=2．故答案为：2．14．x﹣y﹣4=0【解析】∵直线l经过点A（3，﹣1），设直线l的方程为y+1=k（x﹣3），k＞0，则直线和x轴的交点为（+3，0），和y轴的交点为（0，﹣3k﹣1 ），根据题意可得+3=3k+1，即3k2﹣2k﹣1=0，求得k=1，或k=﹣（舍去），故直线l的方程为y+1=1（x﹣3），即x﹣y﹣4=0，故答案为：x﹣y﹣4=0．15．5【解析】由A（1，3），B（3，1），设AB的直线方程为y=kx+b，则，解得：k=﹣1，b=4．AB的直线方程为x+y﹣4=0．C（﹣1，0）到直线AB的距离h=．AB的距离d==2．则△ABC的面积S=×=5．故答案为：5．16．【解析】S=π，S′=9π，∴π（1+3）l=π+9π=10π，∴l=．故答案为：．17．【解析】设长方体具有公共顶点的棱长分别为x，y，z，则三式相加可得x2+y2+z2=∴长方体对角线AC1的长是=故答案为：18．【解析】如图，∵四边形EFGH为平行四边形，∴EH=FG，且EH∥FG，∴EH∥平面ABC，又EH⊂平面VAC，平面VAC∩平面ABC=AC，∴EH∥AC，则EH∥AC∥FG，∵P为△VAC的中心，∴VH：VC=VE：VA=EH：AC=2：3，而EH=FG，∴BF：BA=BG：BC=FG：AC=2：3．连接VF、VG、AG、AH，则多面体EFGHVB的体积等于四棱锥V﹣EFGH的体积与三棱锥V﹣BFG的体积和，多面体EFGHAC的体积等于四棱锥A﹣EFGH的体积与三棱锥H﹣AGC的体积和．∵四棱锥V﹣EFGH的高是四棱锥A﹣EFGH的高的2倍，底面积相等，∴四棱锥V﹣EFGH的体积是四棱锥A﹣EFGH的体积的2倍；∵三棱锥V﹣BFG的底面积是三棱锥H﹣AGC的底面积的倍，高是3倍，∴三棱锥V﹣BFG的体积是三棱锥H﹣AGC的体积的4倍．设棱锥H﹣AGC的体积为V1，则三棱锥H﹣AFG的体积为，有四棱锥A﹣EFGH的体积是．∴多面体EFGHAC的体积等于，多面体EFGHVB的体积等于，∴多面体EFGHAC的体积与多面体EFGHVB的体积比等于．故答案为：．三、解答题：（本大题共5题，满分60分）19．解：（Ⅰ）直线l1：4x+（a+3）y+（3a﹣5）=0的斜率为﹣，直线l2：（a+5）x+2y﹣8=0的斜率为﹣，∴﹣=﹣，解得a=﹣1，或a=﹣7，当a=﹣1时两条直线重合，舍去，∴a=﹣7时两条直线平行；（Ⅱ）两条直线相交，则两条直线不重合，不平行，∴a∈（﹣∞，﹣7）∪（﹣7，﹣1）∪（﹣1，+∞）；（Ⅲ）两条直线垂直，∴（﹣）（﹣）=﹣1，解得a=﹣．20．解：（Ⅰ）设顶点C的坐标为（m，n），则由点C在直线CM上，可得m﹣2n+5=0 ①．再根据AC⊥BH，可得•2=﹣1 ②，由①②求得，∴C（3，4）．（Ⅱ）设点B的坐标为（e，f），则AB的中点（，）在CM：x﹣2y+5=0上，∴﹣2•+5=0，即e﹣2f﹣4=0 ③．再根据点B的坐标为（e，f）满足BH所在直线方程2x﹣y+5=0，可得2e﹣f+5=0 ④，由③④求得，∴B（﹣，﹣），由两点式求得直线BC的方程为=，即25x﹣23y+17=0．21．证明：（I）∵BB′⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥BB′，∵AD⊥BC，BB′∩BC=B，BB′⊂平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，∴AD⊥平面BCC′B′，又AD⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面BCC'B'．（II）连结DF，∵AB=AC，AD⊥BC，∴D是BC的中点，又F是B′C′的中点，∴B′F BD，∴四边形BDFB′是平行四边形，∴DF BB′，又BB′AA′，∴DF AA′，∴四边形ADF A′是平行四边形，∴A′F∥AD，又A′F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，∴A′F∥平面ADE．22．（I）证明：连接BD交AC于O，连接EO，∵四边形ABCD是正方形，∴O是BD的中点，又E是DD′的中点，∴OE∥BD′，又OE⊂平面AEC，BD′⊄平面AEC，∴BD'∥平面AEC．（II）解：连结C′F，在上底面内过F作直线FM⊥C′F，则直线FM即为所求的直线．证明：∵CC′⊥平面A′B′C′D′，FM⊂平面A′B′C′D′，∴CC′⊥FM，又FM⊥C′F，C′F∩CC′=C′，∴FM⊥平面CC′F，又CF⊂平面CC′F，∴FM⊥CF．23．证明：（I）∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，∵P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC，又P A∩AC=A，P A⊂平面P AC，AC⊂平面P AC，∴BC⊥平面P AC，又BC⊂平面PBC，∴平面P AC⊥平面PBC．（II）由（I）可知BC⊥平面P AC，AD⊂平面P AC，∴BC⊥AD，又AD⊥PC，PC∩BC=C，PC⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AD⊥平面PBC，又PB⊂平面PBC，∴AD⊥PB，又PB⊥DE，AD∩DE=D，AD⊂平面ADE，DE⊂平面ADE，∴PB⊥平面ADE．。

福建省莆田第六中学2017届高三下学期第一次模拟(期中)

莆田第六中学2017届高三第一次模拟考试数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若集合，，则满足的集合的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】可以是共4个，选D.2. 若复数满足（为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知得，所以，选A.3. “”是“直线的倾斜角大于”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设直线的倾斜角为，则.若，得，可知倾斜角大于；由倾斜角大于得，或，即或，所以“”是“直线的倾斜角大于”的充分而不必要条件，故选A.4. 已知数列是首项为1，公差为（）的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差不可能是（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】由题设，，81是该数列中的一项，即，所以，因为，所以是80的因数，故不可能是3，选B...................... 5. 给出关于双曲线的三个命题：①双曲线的渐近线方程是；②若点在焦距为4的双曲线上，则此双曲线的离心率；③若点、分别是双曲线的一个焦点和虚轴的一个端点，则线段的中点一定不在此双曲线的渐近线上.其中正确的命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】对于①：双曲线的渐近线方程是，故①错误；对于②：双曲线的焦点为，，从而离心率，所以②正确；对于③：的中点坐标均不满足渐近线方程，所以③正确；故选C.6. 记不等式组所表示的平面区域为，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据平面区域，易知当时，由题设得，所以，故选D.7. 将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角（），得到曲线，若对于每一个旋转角，曲线都仍然是一个函数的图象，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数的图象绕坐标原点逆时针方向连续旋转时，当且仅当其任意切线的倾斜角小于等于时，其图象都依然是一个函数图象，因为是是的减函数，且,当且仅当时等号成立，故在函数的图象的切线中，处的切线倾斜角最大，其值为，由此可知，故选D. 8. 在体积为的球内有一个多面体，该多面体的三视图是如图所示的三个斜边都是的等腰直角三角形，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由多面体的三视图知该多面体是如图所示的三棱锥，，且，当球是这个三棱锥的外接球时其体积最小，将这个三棱锥补成正方体，其外接球的直径就是正方体的对角线，所以，故选B.点睛：1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．9. 我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了计算多项式的值的秦九韶算法，即将改写成如下形式：，首先计算最内层一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值.这种算法至今仍是比较先进的算法.将秦九韶算法用程序框图表示如下图，则在空白的执行框内应填入（）A. B. C. D.【答案】A【解析】秦九韶算法的过程是，这个过程用循环结构来实现，应在题图中的空白执行框内填入，选A.10. 已知函数（，），，，若的最小值为，且的图象关于点对称，则函数的单调递增区间是（）A. ， B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】由题设知的周期，所以，又的图象关于点对称，从而，即,因为，所以.故.再由，得，故选B.点睛：已知函数的性质求解析式：(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.11. 过正方体的顶点作平面，使棱、、所在直线与平面所成角都相等，则这样的平面可以作（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】解：第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条．故选D．12. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则对任意，函数的零点个数至多有（）A. 3个B. 4个C. 6个D. 9个【答案】A【解析】当时，，由此可知在上单调递减，在上单调递增，，且,又在上的奇函数，,而时，，所以的图象示意图如图所示，令，则时，方程至多有3个根，当时，方程没有根，而对任意，方程至多有一个根，从而函数的零点个数至多有3个，故选A.点睛：复合函数的零点问题的求解步骤一般是：第一步：现将内层函数换元，将符合函数化为简单函数；第二步：研究换元后简单函数的零点（一般都是数形结合）；第三步：根据第二步得到的零点范围转化为内层函数值域，进而确定的个数.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若，则__________．【答案】3【解析】，所以.14. 若，则__________．【答案】251【解析】，所以.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.15. 已知，，，若向量满足，则的取值范围是__________．【答案】【解析】易知，由得，所以或，由此可得的取值范围是.16. 已知各项都为整数的数列中，，且对任意的，满足，，则__________．【答案】【解析】由，得，两式相加得，又，，所以，从而.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知中，，，.（Ⅰ）求边的长；（Ⅱ）设是边上一点，且的面积为，求的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）由得，展开求得，从而知三角形为等腰三角形；（Ⅱ）根据面积公式求得，在中，由余弦定理可得，再由正弦定理即可求解. 试题解析：（Ⅰ）因为，所以，由得.即，从而，又，所以，，所以.（Ⅱ）由已知得，所以.在中，由余弦定理得，，再由正弦定理得，故.18. 某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表：质量指标值从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图：（Ⅰ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定？（Ⅱ）在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；（Ⅲ）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值近似满足，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？【答案】（1）不能认为（2）（3）17.6【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图，一、二等品所占比例的估计值为，可做出判断.（2）由频率分布直方图的频率分布可知8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，分类讨论各种情况可得.（3）算出“质量提升月”活动前，后产品质量指标值为，可得质量指标值的均值比活动前大约提升了17.6试题解析：（1）根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为，由于该估计值小于0.92，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定. （2）由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为0.375、0.5、0.125，故在样本中用分层抽样方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，再从这8件产品中随机抽取4件，一、二、三等品都有的情况有2种：①一等品2件，二等品1件，三等品1件；②一等品1件，二等品2件，三等品1件，故所求的概率.（3）“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为“质量提升月”活动后，产品质量指标值近似满足，则. 所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了17.619. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，,.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）设是棱上的点，当平面时，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）要证平面平面，只需证平面即可. （Ⅱ）分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图，求平面的一个法向量和平面的一个法向量求解即可.试题解析：（Ⅰ）取的中点，连接，，因为是边长为2的正三角形，所以，，①又，所以，且，于是，从而，②由①②得平面，而平面，所以平面平面.（Ⅱ）连结，设，则为的中点，连结，当平面时，，所以是的中点.由（Ⅰ）知，、、两两垂直，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图，则、、、，由、坐标得，从而，，设是平面的一个法向量，则由得，取，得，易知平面的一个法向量是，所以，由图可知，二面角的平面角为钝角，故所求余弦值为.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20. 已知椭圆：（）的离心率为，、分别是它的左、右焦点，且存在直线，使、关于的对称点恰好是圆：（，）的一条直径的两个端点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与抛物线（）相交于、两点，射线、与椭圆分别相交于点、.试探究：是否存在数集，当且仅当时，总存在，使点在以线段为直径的圆内？若存在，求出数集；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）椭圆的焦距等于圆的直径，所以，根据离心率求出；（Ⅱ）因为、关于的对称点恰好是圆的一条直径的两个端点，所以直线是线段的垂直平分线（是坐标原点），故方程为，与联立得：，点在以线段为直径的圆内韦达定理代入求解即可.试题解析：（Ⅰ）将圆的方程配方得：，所以其圆心为，半径为2.由题设知，椭圆的焦距等于圆的直径，所以，又，所以，从而，故椭圆的方程为.（Ⅱ）因为、关于的对称点恰好是圆的一条直径的两个端点，所以直线是线段的垂直平分线（是坐标原点），故方程为，与联立得：，由其判别式得，①设，，则，.从而，.因为的坐标为，所以，.注意到与同向，与同向，所以点在以线段为直径的圆内，②当且仅当即时，总存在，使②成立.又当时，由韦达定理知方程的两根均为正数，故使②成立的，从而满足①.故存在数集，当且仅当时，总存在，使点在以线段为直径的圆内.21. 已知函数，.（Ⅰ）证明：，直线都不是曲线的切线；（Ⅱ）若，使成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）设出切点，分别用函数的导数值和直线的两点表示斜率，得方程，发现方程的解为，与定义域矛盾；（Ⅱ）原问题转化为，令，, 则，使成立，讨论函数的最小值即可.试题解析：（Ⅰ）的定义域为，，直线过定点，若直线与曲线相切于点（且），则，即，①设，，则，所以在上单调递增，又，从而当且仅当时，①成立，这与矛盾.所以，，直线都不是曲线的切线；（Ⅱ）即，令，，则，使成立，，（1）当时，，在上为减函数，于是，由得，满足，所以符合题意；（2）当时，由及的单调性知在上为增函数，所以，即，①若，即，则，所以在上为增函数，于是，不合题意；②若，即则由，及的单调性知存在唯一，使，且当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以，由得，这与矛盾，不合题意.综上可知，的取值范围是.【方法点睛】利用导数解决不等式有解问题的“两种”常用方法(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆的极坐标方程为.若以极点为原点，极轴所在直线为轴建立平面直角坐标系.（Ⅰ）求圆的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点是圆上动点，试求的最大值，并求出此时点的直角坐标.【答案】（1）为参数（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）利用极坐标与直角坐标互化公式可得直角坐标方程，再利用同角三角函数的平方关系可得圆的参数方程．（Ⅱ）解法一：设，得代入整理得，令。

福建省莆田市高考一模数学(理科)试卷有答案

A B=（D．817449248=90，AD∥若DE1EC=，BE⊥则DA DC的值为（．2-17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n kn =+，其中k 为常数，1a ，4a ，13a 成等比数列．（1）求k 的值及数列{}n a 的通项公式； 18．（12分）某企业有甲乙两个分厂生产某种产品，按规定该产品的某项质量指标值落在[45,75)的为优质品，从两个分厂生产的产品中个随机抽取500件，测量这些产品的该项质量指标值，结果如表：（1）根据以上统计数据完成下面22⨯列联表，并回答是否有99%的把握认为：“两个分厂生产的产品的质量有差异”？（2）求优质品率较高的分厂的500件产品质量指标值的样本平均数x （同一组数据用该区间的中点值作代表）（3）经计算，甲分厂的500件产品质量指标值的样本方差2142s =，乙分厂的500件差评质量指标值的样本方差2162s =，可认为优质品率较高的分厂的产品质量指标值X 服从正态分布2)(,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ，由优质品率较高的厂的抽样数据，能够认为该分厂生产的产品中，质量指标值不低于71.92的产品至少占全部产品的18%？附注：11.9212.73≈参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d +=++++19．（12分）如图，在圆柱1OO 中，矩形11ABB A 是过1OO 的截面1CC 是圆柱1OO 的母线，2AB =，13AA =，π3CAB ∠=．（1）证明：1AC ∥平面1COB ；（2）在圆O 所在的平面上，点C 关于直线AB 的对称点为D ，求二面角1D B C B --的余弦值．20．（12分）已知曲线222:1(,1)x E y a b a a+=>≠上两点11)(,A x y ，2212,)(()B x y x x ≠．（1）若点A ，B 均在直线21y x =+上，且线段AB 中点的横坐标为1-，求a 的值；）记1(,x m y =，2(,)xn y =，若m n ⊥为坐标原点，试探求21．（12分）已知函数32()231f x x x -=+，()1ln g x kx x =+-．（1）若过点(,4)P a -恰有两条直线与曲线()y f x =相切，求a 的值；（2）用min{},p q 表示p ，q 中的最小值，设函数()min (),()0}){(h x f x g x x =>，若()h x 恰有三个零点，求实数k 的取值范围． [选修4—4坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为πsin()4ρθ+=（1）写出圆C 的参数方程和直线l 的普通方程；（2）设点P 为圆C 上的任一点，求点P 到直线l 距离的取值范围． [选修4—5不等式选讲]23．（10分）已知函数()4|||2|f x x x +=--．（1）求不等式()2f x >的解集；（2）设()f x 的最小值为M ，若2x a M +≥的解集包含[0,1]，求a 的取值范围．17．（1）解：由2n S n kn =+，有121(2)n n n a S S n k n -==+-≥-，又111a S k ==+， ∴21n a n k =+-．∵1a ，4a ，13a 成等比数列，∴24113a a a =，即2(241)(211)(2131)k k k ⨯+-=⨯+-⨯+-，解得2k =．∴21n a n =-；（2）证明：∵1441(1)(3)(22)(26)(1)(3)n n n b a a n n n n +===++++++．∴111()213n b n n =-++．∴12n n T b b b =+++，1111111111111[()()()()()()]1n +-+-+=-+-+---+18．解：（1）由以上统计数据填写22⨯列联表，如下；计算21000(400140360100)8.772 6.635760240500500K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，对照临界值表得出，有99%的把握认为：“两个分厂生产的产品的质量有差异”；（2）计算甲厂优秀率为4000.8500=，乙厂优秀率为3600.72500=，所以甲厂的优秀品率高，计算甲厂数据的平均值为：1(301040405011560165701208045905)60500x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，（3）根据（2）知，60μ=，2142σ=，且甲厂产品的质量指标值X 服从正态分布X ～(60,142)N ，又11.92σ=，则(6011.926011.92)(48.0871.92)0.6826P X P X -<<+=<<=，1(48.0871.92)10.6826(71.92)0.15870.1822P X P X -<<->===<，故不能够认为该分厂生产的产品中，质量指标值不低于71.92的产品至少占全部产品的18%． 19．证明：（1）连结11B C 、1BC ，设11BC B C M =，∵11BB CC ∥， ∴四边形11BB C C 为平行四边形， ∴M 为1BC 的中点，在1ABC △中，O 为AB 的中点， ∴1MO AC ∥，又1AC ⊄平面1B CD ，MO ⊂平面1B CD ， ∴11AC COB ∥平面．解：（2）如图，∵AB 是圆O 的直径， ∴AC BC ⊥， ∵1C C ABC ⊥平面， ∴11,C C AC C C BC ⊥⊥，又60BAC ︒∠=，2AB =，∴1AC =，BC ，13AA =，以点C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，1OC 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)C ，(1,0,0)A，B ，10,(0,3)C，1(2O，1(B ，在圆O 上，C ，D 关于直线AB 对称，AOC △为正三角形，且1OA =，∴CD 30ACD ∠=，过点D 作DP x ⊥轴，DQ y ⊥轴，垂足分别为P ，Q ，则3cos 2CP CD ACD =∠==，1sin 2CQ CD ACD =∠==∴3(2D ，∴3(2CD =，设平面1CDB 的一个法向量(,,)n x y z =，则30330n CDx n CB y z ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩，取y =(1,3,1)n =-，平面1B BC 的一个法向量(1,0,0)n =，设二面角1D B C B --的二面角为θ，则cos ||||5||m m nn θ===．故二面角1D B C B --．20．解：（1）由题意可知：2211221x y a b +=①，2222221x y a b+=②，两式相减得：121212122()()()0)(x x x x y y y y a +-+-+=，由12x x ≠，则121211222()()()()x x x x y y y a y +-=-+-，由A ，B 在直线21y x =+，则12122y y k x x -==-，A ，B 中点横坐标为13-，则中点的纵坐标为13，∴2213223a -=-，解得：212a =，又0a>，则a =（2）直线AB 的方程为y kx m =+，则2221y kx m x y a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，222222(12)1)(0a k x kma x a m +-++=， 0∆>，即222222(241)(1)()0kma a m a k +-->，则2221m a k +<，由韦达定理可知：则2122221kma x x a k +=-+，221222(1)1a m x x a k -=+，由m n ⊥，则0m n =，212120x x a y y +=，从而222221212(10)()a k x x kma x x a m ++++=，代入并整理得22221m a k =+，由原点O 到直线AB 的距离d =，则OAB △的面积212211||1||221S d AB k x x k ==+-+，121||()2m x x =+，221(1||2kma a m =-+ 222||(11m a m a k =-+ 22||2m a m m=，a =， 21．解：（1）设切点(,())Q t f t ，由直线32()231f x x x -=+，求导，2()66f x x x '=-，则()f x 在Q 点的切线的斜率266k t t =-，则切线方程为2()(66)()y f t t t x t -=--，由切线过点(,4)P a -，则24()(66)()f t t t a t ---=-，整理得：32436)650(t a t at ++-=-，又由曲线恰有两条切线，即方程恰有两个不同的解，令32(()436)65H t t a t at =++--，求导2()126(612)6H t t a t a '=++-，令()0H t '=，解得：12t =，2t =，当12a =时，()0H t '≥，函数()H t 在R 上单调递增，没有两个零点，不符合题意，当12a >时，且1(,)(,)2t a ∈-∞+∞时，()0H t '>，当1(,)2t a ∈时，()0H t '<，∴()H t 在1(,)2-∞，(,)a +∞单调递增，在1(,)2a 单调递减；要使()H t 在R 上有两个零点，则1()02()H H a a ⎧=⎪⎨⎪<⎩，或1()02()0H H a ⎧>⎪⎨⎪=⎩，由113337()35()224222H a a a =--+-=-， 322(()436)65H a a a a a =++--2(1)(255)a a a -=-++2515(1)[2()8]4a a =-+-+，∴70210a a ⎧-=⎪⎨⎪+>⎩或70210a a ⎧->⎪⎨⎪+=⎩，则72a =，当12a <时，同理可知：10702a a +=⎧⎪⎨-<⎪⎩或10702a a +<⎧⎪⎨-=⎪⎩，则1a =-，综上可知：1a =-或72a =；（2）322()231(1)21)(f x x x xx -=+=+﹣， ∴()f x 在(0,)+∞上只有一个零点1x =，1()g x k x'=-，当0k ≤时，()0g x '<，则()g x 在(0,)+∞上单调递减，()g x 在(0,)+∞上至多只有一个零点，故0k ≤不符合题意；当0k >，1()0g x k x '=-=，解得：1x k=， ∴当1(0,)x k ∈时，()0g x '<，当1(,)x k ∈+∞时，()0g x '>，∴()g x 在1(0,)k 上单调递减，在1(,)k+∞上单调递增；∴()g x 有最小值1()2ln g k k=+，①当21e k =时，1()0g k =，()g x 只有一个零点，不满题意；②当21e k >时，1()0g k>，()g x 在(0,)+∞上无零点，不满足题意；③当21e k <时，1()0g k<，由1()(1)(2ln )(1)0g g k k k =++<，∴()g x 在1(1,)k 上有一个零点，设为1x ，若11()(e )0k g g k<，()g x 在1(,)k +∞上有一个零点，设为2x ，易证1211e ()e k k k>>，下面证明：1(e )0k g >，令2()e x F x x =-，(2)x >，求导()e 2x F x x '=-，2()e 2e 20x F x -=>-''>，∴()(2,)F x +∞在上单调递增；∴2()(2)e 40F x F ->=>，∴22e 0x ->，即22e x >，(2)x >，现在去1e k x =，由20e k -<<， ∴2e 2x >>，则111(e )e 1lne kkkg k =+-，11e 1kk k =+-，由21e 2k >>，则121e k k >， ∴1211(e )110k g k k k>+-=>，∴12()()0g x g x ==，∴由(1)10g k =+>，1()0f x >，2()0f x >，故(1)(1)0h f >=，11()()0h x g x ==，22()()0h x g x ==，故()h x 有三个零点，22．解：（1）∵圆C 的方程为22(1)(1)2x y-+-=，∴圆C 的参数方程为11x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），∵直线l的极坐标方程为πsin()4ρθ+=∴()22ρθθ+=sin cos 40ρθρθ+-=，∴直线l 的普通方程是40xy +-=；（2）由题意设(1,1)P αα++，∴点P 到直线l 距离d =π|2sin()2|α+-=πsin()1|4α=+-，∵π1sin()14α-≤+≤，∴π0sin()1|4α≤+-≤即0d≤≤，[选修4—5不等式选讲]23．解：（1）62,2()4||22,242|6|,4x xf x x x xx x-≤⎧⎪=-+-=<<⎨⎪-≥⎩．∴当2x≤时，()2f x>，622x->，解得2x<；当24x<<时，()2f x>得22>，无解；当4x≥时，()2f x>得262x->，解得4x>．所以不等式()2f x>的解集为(,2)(4,)-∞+∞．（2））∵4||22||x x-+-≥，∴2M=，∵2x a M+≥的解集包含[0,1]，∴022a+≥，122a+≥，∴1a≥．故a的取值范围为：[1,)+∞．福建省莆田市2017年高考一模数学（理科）试卷解析一、选择题1．【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣1）（x﹣5）≤0，解得：1≤x≤5，即A=[1，5]，由B中y=log2（x﹣2），得到x﹣2＞0，解得：x＞2，即B=（2，+∞），则A∩B=（2，5]，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的意义即可得出．【解答】解：∵（1﹣i）z=3+i，∴（1+i）（1﹣i）z=（3+i）（1+i），化为：2z=2+4i，即z=1+2i．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义，结合直线平行的性质及判定分别进行判断即可．【解答】解：l1∥l2”得到：a2﹣1=0，解得：a=﹣1或a=1，所以应是充分不必要条件．故选：A【点评】本题考查了充分必要条件，考查直线平行的充要条件，是一道基础题．4．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】依题意首先把x＜0时，函数的解析式求出．再把x=﹣2代入函数式得出答案．【解答】解：设x＜0，因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f[﹣（﹣x）]=﹣2﹣（﹣x）∴当x＜0时，函数的解析式为f（x）=﹣2﹣x∴f（﹣2）=﹣2﹣（﹣2）=﹣4故选B．【点评】本题主要考查函数的奇偶性问题．此类问题通常先求出函数的解析式．5．【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S，a的值，当a=40时，不满足条件a≤32，退出循环，输出S的值为81，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=1，S=0，n=1满足条件a≤32，执行循环体，S=1，n=2，a=8满足条件a≤32，执行循环体，S=9，n=3，a=16满足条件a≤32，执行循环体，S=25，n=4，a=24满足条件a≤32，执行循环体，S=49，n=5，a=32满足条件a≤32，执行循环体，S=81，n=6，a=40不满足条件a≤32，退出循环，输出S的值为81．故选：B．【点评】本题考查了求程序框图运行结果的问题，解题时应模拟程序框图运行过程，总结规律，得出结论，属于基础题．6．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n=24=16，再求出正面不连续出现包含的基本事件个数m=1+=8，由此能求出抛掷一枚均匀的硬币4次，正面不连续出现的概率．【解答】解：抛掷一枚均匀的硬币4次，基本事件总数n=24=16，正面不连续出现包含的基本事件个数m=1+=8，∴抛掷一枚均匀的硬币4次，正面不连续出现的概率：p==．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，以及化简整理的运算能力，属于基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．7．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该几何体为：多面体DE﹣ABC．CE⊥底面ABC，DA⊥底面ABC．ADEC为矩形．△ABC 为等腰直角三角形，BC=2，AC⊥AB．连接AE，该几何体的体积V=V E﹣ABC+V B﹣ADE，即可得出．【解答】解：如图所示，该几何体为：多面体DE﹣ABC．CE⊥底面ABC，DA⊥底面ABC．ADEC为矩形．△ABC为等腰直角三角形，BC=2，AC⊥AB．连接AE，该几何体的体积V=V E﹣ABC+V B﹣ADE=+=．故选：B．【点评】本题考查了三棱锥的三视图与体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．【考点】正弦函数的单调性．【分析】由题意可得+=42，求得ω的值，再根据对称中心求得φ的值，可得函数f（x）的解析式，利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递增区间．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜），A（，0）为f（x）图象的对称中心，B，C是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC=4，∴+=42，即12+=16，求得ω=．再根据•+φ=kπ，k∈Z，可得φ=﹣，∴f（x）=sin（x﹣）．令2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，求得4kπ﹣π≤x≤4kπ+π，故f（x）的单调递增区间为（4kπ﹣π，4kπ+π），k∈Z，故选：D．【点评】本题主要考查正弦函数的周期性、最值以及单调性，属于中档题．9．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可知：四边形PFQF1为平行四边，利用双曲线的定义及性质，求得∠OPF1=90°，在△QPF1中，利用勾股定理即可求得a和b的关系，根据双曲线的离心率公式即可求得离心率e．【解答】解：由题意可知：双曲线的右焦点F1，由P关于原点的对称点为Q，则丨OP丨=丨OQ丨，∴四边形PFQF1为平行四边，则丨PF1丨=丨FQ丨，丨PF丨=丨QF1丨，由|PF|=3|FQ|，根据椭圆的定义丨PF丨﹣丨PF1丨=2a，∴丨PF1丨=a，|OP|=b，丨OF1丨=c，∴∠OPF1=90°，在△QPF1中，丨PQ丨=2b，丨QF1丨=3a，丨PF1丨=a，∴则（2b）2+a2=（3a）2，整理得：b2=2a2，则双曲线的离心率e===，故选B．【点评】本题考查双曲线的简单几何性质简单几何性质，考查数形结合思想，属于中档题．10．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图建立平面直角坐标系，设AD=m，则AD=，由BE⊥DC，∴，⇒m即可．【解答】解：如图建立平面直角坐标系，设AD=m，则AD=，∴A（0，），D（m，），C（2m，0），，=（）'∵BE⊥DC，∴，⇒m=．∴，，则的值为﹣×+02×=﹣2．故选：A．【点评】本题考查了，向量的坐标运算，属于基础题．11．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知得到几何体为平放的三棱柱，根据图中数据计算表面积．【解答】解：由已知得到几何体如图：三棱柱的表面积为=3+2；故答案为：3+2【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】先根据抛物线方程求出p的值，再由抛物线的性质求出AB的垂直平分线方程，可得到答案．【解答】解：∵抛物线y2=4x，∴p=2，设经过点F的直线y=k（x﹣1）与抛物线相交于A、B两点，A（x1，y1），B（x2，y2），直线y=k（x﹣1）代入y2=4x，整理可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，∴x1+x2=2+利用抛物线定义，AB中点横坐标为x1+x2=|AB|﹣p=6﹣2=4．AB中点横坐标为2∴2+=4，∴k=±AB中点纵坐标为k，AB的垂直平分线方程为y﹣k=﹣（x﹣2），令y=0，可得x=4，∴|FM|=3．故选：D．【点评】本题主要考查了抛物线的性质．属中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用，确定AB的垂直平分线方程是关键．12．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】构造函数：g（x）=，g（0）==﹣1．对任意x∈R，都有f（x）＞f'（x）+1，可得g′（x）=＜0，函数g（x）在R单调递减，利用其单调性即可得出．【解答】解：构造函数：g（x）=，g（0）==﹣1．∵对任意x∈R，都有f（x）＞f'（x）+1，∴g′（x）==＜0，∴函数g（x）在R单调递减，由f（x）+e x＜1化为：g（x）=＜﹣1=g（0），∴x＞0．∴使得f（x）+e x＜1成立的x的取值范围为（0，+∞）．故选：A．【点评】本题考查了构造函数法、利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题13．【考点】二项式定理的应用．【分析】把（x+y）5 按照二项式定理展开，可得（x﹣2y）（x+y）5的展开式中x3y3的系数．【解答】解：根据根据（x+y）5 =（•x5+•x4y+•x3y2+x2y3+•xy4+•y5），可得（2x﹣1）（x+y）5的展开式中，x3y3的系数为2=20，故答案为：20．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．14．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x﹣2y为，由图可知，当直线过点A（2，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2．故答案为：2．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．【考点】余弦定理．【分析】由已知整理可得：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=，结合范围A∈（0，π），可求A，由三角形内角和定理可求C=﹣B，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得=2sin（B+），由B∈（0，），利用正弦函数的性质可求sin（B+）∈（，1]，即可得解．【解答】解：∵=，可得：（a﹣b+c）（a+b﹣c）=bc，∴整理可得：b2+c2﹣a2=bc，∴由余弦定理可得：cosA===，∵A∈（0，π），∴A=，可得：C=﹣B，∴====2sin（B+），∵B∈（0，），B+∈（，），可得：sin（B+）∈（，1]，∴=2sin（B+）∈（1，2]．故答案为：（1，2]．【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形内角和定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16．【考点】直线与平面所成的角．【分析】求出球半径为，根据图形找出直线C1M与平面ABD所成角，解三角形即可．【解答】解：如图所示，设O为球心，E、F分别为△ABD、△C1BD的外接圆圆心，则有OE⊥面ABD，OF⊥面C1BD，∵菱形ABCD中，∠BAD=，AB=3∴△ABD、△C1BD为等边△，故E、F分别为△ABD、△C1BD的中心．∵球O的表面积为16π，∴球半径为2．在直角△AOM中，OA=2，AE=，⇒QE=1．tan∠OME=，∵C1M⊥DB，AM⊥DB，∴DB⊥面AMC1，∴∠C1MA（或其补角）就是直线C1M与平面ABD所成角．∠C1MA=2∠OME，tan∠C1MA=tan（2∠OME）=，sin∠C1MA=，直线C1M与平面ABD所成角的正弦值为，故答案为：．【点评】本题考查了棱锥与外接球的关系，找出线面角是解题关键．属于中档题．三、解答题17．【考点】数列的求和．【分析】（1）由已知数列的前n项和求得a n=S n﹣S n﹣1=2n+k﹣1（n≥2），再求得首项，验证首项成立可得数列通项公式，结合a1，a4，a13成等比数列求得k，则通项公式可求；（2）把（1）中求得的通项公式代入，整理后利用裂项相消法求得数列{b n}的前n 项和为T n，放缩可得．【点评】本题考查数列递推式，考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的前n项和，属中档题．18．【考点】独立性检验．【分析】（1）根据统计数据填写2×2列联表，计算K2，对照临界值表得出结论；（2）计算甲厂、乙厂优秀率，得出甲厂优秀品率高，计算甲厂的平均值；（3）根据（2）知甲厂产品的质量指标值X～N（60，142），计算对应的概率值即可．【点评】本题主要考查了独立性检验与正态分布的特点及概率求解问题，也考查了推理与运算能力．19．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结B1C1、BC1，设BC1∩B1C=M，推导出四边形BB1C1C为平行四边形，从而MO∥AC1，由此能证明AC1∥平面COB1．（2）以点C为坐标原点，分别以CA，CB，OC1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣B1C﹣B的二面角的余弦值．【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及二面角、空间向量等基础知识；考查学生的空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力；考查了化归与转化及数形结合的数学思想．20．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用点差法求得直线的斜率公式，k==2，根据中点坐标公式，即可求得a的值；（2）设直线y=kx+m代入椭圆方程，利用韦达定理及由向量数量积的坐标运算，根据弦长公式，点到直线的距离公式，根据三角的面积公式即可求得△OAB的面积为定值．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆位置关系，考查韦达定理，弦长公式，点到直线的距离公式，考查向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．21．【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求导，利用导数求得f（x）在Q的切线方程，构造辅助函数，利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可求得a的值；（2）根据函数定义，求h（x），根据函数的单调性及函数零点的判断，采用分类讨论法，求得函数h（x）零点的个数，即可求得h（x）恰有三个零点时，实数k的取值范围．【点评】本题考查导数及其应用等基础知识，考查抽象概括能力、推理能力句函数和方程思想、分类和整合思想，是一道综合题，属于难题．22．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由题意求出圆C的参数方程和直线l的普通方程；（2）由题意设P（，），由点到直线的距离公式表示出点P到直线l距离，利用两角和的正弦公式化简后，由正弦函数的值域求出答案．【点评】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程法转化，点到直线的距离公式，两角和的正弦公式，以及正弦函数的值域等，考查化归与转化思想，化简、计算能力．23．【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）f（x）=|x﹣4|+|x﹣2|=．分x≤2时，；2＜x＜4，x≥4，解f（x）＞2．（2））由|x﹣4|+|x﹣2|≥2，得M=2，由2x+a≥M的解集包含[0，1]，得20+a≥2，21+a≥2．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，及恒成立问题，属于中档题．。

2017年福建省莆田六中高考一模数学试卷(理科)【解析版】

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19．（12 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形，AB＝BD＝（1）求证：平面 PAD⊥平面 ABCD；（2）设 Q 是棱 PC 上的点，当 PA∥平面 BDQ 时，求二面角 A﹣BD﹣Q 的余弦值．，PB＝3．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（12 分）已知△ABC 中，AC＝2，A＝120°，cosB＝（1）求边 AB 的长；（2）设 D 是 BC 边上的一点，且△ACD 的面积为，求∠ADC 的正弦值． sinC．
18．（12 分）某种产品的质量以其质量指标衡量，并依据质量指标值划分等级如表：质量指标值 m m＜185 185≤m＜ M≥205 205 等级分）给出关于双曲线的三个命题： ①双曲线 ﹣ ＝1 的渐近线方程是 y＝± x；
②若点（2， 3）在焦距为 4 的双曲线
﹣
＝1 上，则此双曲线的离心率 e＝2；
③若点 F，B 分别是双曲线
﹣
＝1 的一个焦点和虚轴的一个端点，则线段
FB 的中点一定不在此双曲线的渐近线上．其中正确命题的个数是（ A．0 6．（5 分）记不等式 B．1 ） C．2 D．3
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A．v＝vx+ai 10 ．（
B．v＝v（x+ai） 5 分
C．v＝aix+v ）已
D．v＝ai（x+v）知函数
，若 |α ﹣ β| 的最小值为，且 f（x）的图象关于点） B． D．对称，则函数 f（x）的单
调递增区间是（ A． C．

2017年福建省莆田市高考数学一模试卷(理科) 有答案

2017年福建省莆田市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x2﹣6x+5≤0}，B={x|y=log2（x﹣2）}，则A∩B=（）A．（1，2）B．[1，2）C．（2，5]D．[2，5]2．设复数z满足（1﹣i）z=3+i，则z=（）A．1+2i B．2+2i C．2﹣i D．1+i3．设a为实数，直线l1：ax+y=1，l2：x+ay=2a，则“a=﹣1”是“l1∥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也必要条件4．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x，则f（﹣2）=（）A．B．﹣4 C．﹣D．45．我国古代数学著作《孙子算经》中有如下的问题：“今有方物一束，外周有三十二枚，问积几何？”设每层外周枚数为a，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为（）A．121 B．81 C．74 D．496．抛掷一枚均匀的硬币4次，正面不连续出现的概率是（）A．B．C．D．7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．2 D．8．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜），A（，0）为f（x）图象的对称中心，B，C是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC=4，则f（x）的单调递增区间是（）A．（2k﹣，2k+），k∈Z B．（2kπ﹣π，2kπ+π），k∈ZC．（4k﹣，4k+），k∈Z D．（4kπ﹣π，4kπ+π），k∈Z9．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），点F为E的左焦点，点P为E上位于第一象限内的点，P关于原点的对称点为Q，且满足|PF|=3|FQ|，若|OP|=b，则E的离心率为（）A．B．C．2 D．10．在直角梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，BC=2AD，△ABD的面积为2，若=，BE⊥DC，则的值为（）A．﹣2 B．﹣2C．2 D．211．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F的直线l与C相交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，若|AB|=6，则|FM|的长为（）A．B．C．2 D．312．定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），f（0）=0若对任意x∈R，都有f（x）＞f'（x）+1，则使得f（x）+e x＜1成立的x的取值范围为（）A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13．（x+y）5的展开式中，x3y3的系数为．14．若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为．15．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若=，则的取值范围是．16．如图，在菱形ABCD 中，M 为AC 与BD 的交点，∠BAD=，AB=3，将△CBD 沿BD 折起到△C 1BD 的位置，若点A ，B ，D ，C 1都在球O 的球面上，且球O 的表面积为16π，则直线C 1M 与平面ABD 所成角的正弦值为．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（12分）已知数列{a n }的前n项和，其中k 为常数，a 1，a 4，a 13成等比数列．（1）求k 的值及数列{a n }的通项公式；（2）设，数列{b n }的前n 项和为T n，证明：．18．（12分）某企业有甲乙两个分厂生产某种产品，按规定该产品的某项质量指标值落在[45，75）的为优质品，从两个分厂生产的产品中个随机抽取500件，测量这些产品的该项质量指标值，结果如表：品的质量有差异”？（2）求优质品率较高的分厂的500件产品质量指标值的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）（3）经计算，甲分厂的500件产品质量指标值的样本方差s 2=142，乙分厂的500件差评质量指标值的样本方差s 2=162，可认为优质品率较高的分厂的产品质量指标值X 服从正态分布N （μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s 2，由优质品率较高的厂的抽样数据，能够认为该分厂生产的产品的产品中，质量指标值不低于71.92的产品至少占全部产品的18%？附注：参考数据：≈11.92，≈12.73参考公式：k2=P（μ﹣2σ＜x＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜x＜μ+3σ）=0.9974．≥k）0.050.010.001的母线，AB=2，111111AA1=3，∠CAB=．（1）证明：AC1∥平面COB1；（2）在圆O所在的平面上，点C关于直线AB的对称点为D，求二面角D﹣B1C﹣B的余弦值．20．（12分）已知曲线E：=1（a＞b，a≠1）上两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2）．（1）若点A，B均在直线y=2x+1上，且线段AB中点的横坐标为﹣，求a的值；（2）记，若为坐标原点，试探求△OAB的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=2x3﹣3x2+1，g（x）=kx+1﹣lnx．（1）若过点P（a，﹣4）恰有两条直线与曲线y=f（x）相切，求a的值；（2）用min{p，q}表示p，q中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），若h（x）恰有三个零点，求实数k的取值范围．[选修4-4坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）写出圆C的参数方程和直线l的普通方程；（2）设点P为圆C上的任一点，求点P到直线l距离的取值范围．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）设f（x）的最小值为M，若2x+a≥M的解集包含[0，1]，求a的取值范围．2017年福建省莆田市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x2﹣6x+5≤0}，B={x|y=log2（x﹣2）}，则A∩B=（）A．（1，2）B．[1，2）C．（2，5]D．[2，5]【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣1）（x﹣5）≤0，解得：1≤x≤5，即A=[1，5]，由B中y=log2（x﹣2），得到x﹣2＞0，解得：x＞2，即B=（2，+∞），则A∩B=（2，5]，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．设复数z满足（1﹣i）z=3+i，则z=（）A．1+2i B．2+2i C．2﹣i D．1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的意义即可得出．【解答】解：∵（1﹣i）z=3+i，∴（1+i）（1﹣i）z=（3+i）（1+i），化为：2z=2+4i，即z=1+2i．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．设a为实数，直线l1：ax+y=1，l2：x+ay=2a，则“a=﹣1”是“l1∥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义，结合直线平行的性质及判定分别进行判断即可．【解答】解：l1∥l2”得到：a2﹣1=0，解得：a=﹣1或a=1，所以应是充分不必要条件．故选：A【点评】本题考查了充分必要条件，考查直线平行的充要条件，是一道基础题．4．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x，则f（﹣2）=（）A．B．﹣4 C．﹣D．4【考点】函数奇偶性的性质．【分析】依题意首先把x＜0时，函数的解析式求出．再把x=﹣2代入函数式得出答案．【解答】解：设x＜0，因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f[﹣（﹣x）]=﹣2﹣（﹣x）∴当x＜0时，函数的解析式为f（x）=﹣2﹣x∴f（﹣2）=﹣2﹣（﹣2）=﹣4故选B．【点评】本题主要考查函数的奇偶性问题．此类问题通常先求出函数的解析式．5．我国古代数学著作《孙子算经》中有如下的问题：“今有方物一束，外周有三十二枚，问积几何？”设每层外周枚数为a，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为（）A．121 B．81 C．74 D．49【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S，a的值，当a=40时，不满足条件a≤32，退出循环，输出S的值为81，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=1，S=0，n=1满足条件a≤32，执行循环体，S=1，n=2，a=8满足条件a≤32，执行循环体，S=9，n=3，a=16满足条件a≤32，执行循环体，S=25，n=4，a=24满足条件a≤32，执行循环体，S=49，n=5，a=32满足条件a≤32，执行循环体，S=81，n=6，a=40不满足条件a≤32，退出循环，输出S的值为81．故选：B．【点评】本题考查了求程序框图运行结果的问题，解题时应模拟程序框图运行过程，总结规律，得出结论，属于基础题．6．抛掷一枚均匀的硬币4次，正面不连续出现的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n=24=16，再求出正面不连续出现包含的基本事件个数m=1+=8，由此能求出抛掷一枚均匀的硬币4次，正面不连续出现的概率．【解答】解：抛掷一枚均匀的硬币4次，基本事件总数n=24=16，正面不连续出现包含的基本事件个数m=1+=8，∴抛掷一枚均匀的硬币4次，正面不连续出现的概率：p==．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，以及化简整理的运算能力，属于基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．2 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该几何体为：多面体DE﹣ABC．CE⊥底面ABC，DA⊥底面ABC．ADEC为矩形．△ABC为等腰直角三角形，BC=2，AC⊥AB．连接AE，该几何体的体积V=V E﹣ABC +V B﹣ADE，即可得出．【解答】解：如图所示，该几何体为：多面体DE﹣ABC．CE⊥底面ABC，DA⊥底面ABC．ADEC 为矩形．△ABC为等腰直角三角形，BC=2，AC⊥AB．连接AE，该几何体的体积V=V E﹣ABC +V B﹣ADE=+=．故选：B．【点评】本题考查了三棱锥的三视图与体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜），A（，0）为f（x）图象的对称中心，B，C是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC=4，则f（x）的单调递增区间是（）A．（2k﹣，2k+），k∈Z B．（2kπ﹣π，2kπ+π），k∈ZC．（4k﹣，4k+），k∈Z D．（4kπ﹣π，4kπ+π），k∈Z【考点】正弦函数的单调性．【分析】由题意可得+=42，求得ω的值，再根据对称中心求得φ的值，可得函数f（x）的解析式，利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递增区间．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜），A（，0）为f（x）图象的对称中心，B，C是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC=4，∴+=42，即12+=16，求得ω=．再根据•+φ=kπ，k∈Z，可得φ=﹣，∴f（x）=sin（x﹣）．令2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，求得4kπ﹣π≤x≤4kπ+π，故f（x）的单调递增区间为（4kπ﹣π，4kπ+π），k∈Z，故选：D．【点评】本题主要考查正弦函数的周期性、最值以及单调性，属于中档题．9．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），点F为E的左焦点，点P为E上位于第一象限内的点，P关于原点的对称点为Q，且满足|PF|=3|FQ|，若|OP|=b，则E的离心率为（）A．B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可知：四边形PFQF1为平行四边，利用双曲线的定义及性质，求得∠OPF1=90°，在△QPF1中，利用勾股定理即可求得a和b的关系，根据双曲线的离心率公式即可求得离心率e．【解答】解：由题意可知：双曲线的右焦点F1，由P关于原点的对称点为Q，则丨OP丨=丨OQ丨，∴四边形PFQF1为平行四边，则丨PF1丨=丨FQ丨，丨PF丨=丨QF1丨，由|PF|=3|FQ|，根据椭圆的定义丨PF丨﹣丨PF1丨=2a，∴丨PF1丨=a，|OP|=b，丨OF1丨=c，∴∠OPF1=90°，在△QPF1中，丨PQ丨=2b，丨QF1丨=3a，丨PF1丨=a，∴则（2b）2+a2=（3a）2，整理得：b2=2a2，则双曲线的离心率e===，故选B．【点评】本题考查双曲线的简单几何性质简单几何性质，考查数形结合思想，属于中档题．10．在直角梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，BC=2AD，△ABD的面积为2，若=，BE⊥DC，则的值为（）A．﹣2 B．﹣2C．2 D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图建立平面直角坐标系，设AD=m，则AD=，由BE⊥DC，∴，⇒m即可．【解答】解：如图建立平面直角坐标系，设AD=m，则AD=，∴A（0，），D（m，），C（2m，0），，=（）'∵BE⊥DC，∴，⇒m=．∴，，则的值为﹣×+02×=﹣2．故选：A．【点评】本题考查了，向量的坐标运算，属于基础题．11．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F的直线l与C相交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，若|AB|=6，则|FM|的长为（）A．B．C．2 D．3【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】先根据抛物线方程求出p的值，再由抛物线的性质求出AB的垂直平分线方程，可得到答案．【解答】解：∵抛物线y2=4x，∴p=2，设经过点F的直线y=k（x﹣1）与抛物线相交于A、B两点，A（x1，y1），B（x2，y2），直线y=k（x﹣1）代入y2=4x，整理可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，∴x1+x2=2+利用抛物线定义，AB中点横坐标为x1+x2=|AB|﹣p=6﹣2=4．AB中点横坐标为2∴2+=4，∴k=±AB中点纵坐标为k，AB的垂直平分线方程为y﹣k=﹣（x﹣2），令y=0，可得x=4，∴|FM|=3．故选：D．【点评】本题主要考查了抛物线的性质．属中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用，确定AB的垂直平分线方程是关键．12．定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），f（0）=0若对任意x∈R，都有f（x）＞f'（x）+1，则使得f（x）+e x＜1成立的x的取值范围为（）A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，1）【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】构造函数：g（x）=，g（0）==﹣1．对任意x∈R，都有f（x）＞f'（x）+1，可得g′（x）=＜0，函数g（x）在R单调递减，利用其单调性即可得出．【解答】解：构造函数：g（x）=，g（0）==﹣1．∵对任意x∈R，都有f（x）＞f'（x）+1，∴g′（x）==＜0，∴函数g（x）在R单调递减，由f（x）+e x＜1化为：g（x）=＜﹣1=g（0），∴x＞0．∴使得f（x）+e x＜1成立的x的取值范围为（0，+∞）．故选：A．【点评】本题考查了构造函数法、利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13．（2x﹣1）（x+y）5的展开式中，x3y3的系数为20．【考点】二项式定理的应用．【分析】把（x+y）5 按照二项式定理展开，可得（x﹣2y）（x+y）5的展开式中x3y3的系数．【解答】解：根据根据（x+y）5 =（•x5+•x4y+•x3y2+x2y3+•xy4+•y5），可得（2x﹣1）（x+y）5的展开式中，x3y3的系数为2=20，故答案为：20．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题14．若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为2．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x﹣2y为，由图可知，当直线过点A（2，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2．故答案为：2．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=，则的取值范围是（1，2] ．【考点】余弦定理．【分析】由已知整理可得：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=，结合范围A∈（0，π），可求A，由三角形内角和定理可求C=﹣B，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得=2sin（B+），由B∈（0，），利用正弦函数的性质可求sin（B+）∈（，1]，即可得解．【解答】解：∵=，可得：（a﹣b+c）（a+b﹣c）=bc，∴整理可得：b2+c2﹣a2=bc，∴由余弦定理可得：cosA===，∵A∈（0，π），∴A=，可得：C=﹣B，∴====2sin（B+），∵B∈（0，），B+∈（，），可得：sin（B+）∈（，1]，∴=2sin（B+）∈（1，2]．故答案为：（1，2]．【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形内角和定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16．如图，在菱形ABCD中，M为AC与BD的交点，∠BAD=，AB=3，将△CBD沿BD折起到△C1BD的位置，若点A，B，D，C1都在球O的球面上，且球O的表面积为16π，则直线C1M与平面ABD所成角的正弦值为．【考点】直线与平面所成的角．【分析】求出球半径为，根据图形找出直线C1M与平面ABD所成角，解三角形即可．【解答】解：如图所示，设O为球心，E、F分别为△ABD、△C1BD的外接圆圆心，则有OE⊥面ABD，OF⊥面C1BD，∵菱形ABCD中，∠BAD=，AB=3∴△ABD、△C1BD为等边△，故E、F分别为△ABD、△C1BD的中心．∵球O的表面积为16π，∴球半径为2．在直角△AOM中，OA=2，AE=，⇒QE=1．tan∠OME=，∵C1M⊥DB，AM⊥DB，∴DB⊥面AMC1，∴∠C1MA（或其补角）就是直线C1M与平面ABD所成角．∠C1MA=2∠OME，tan∠C1MA=tan（2∠OME）=，sin∠C1MA=，直线C1M与平面ABD所成角的正弦值为，故答案为：．【点评】本题考查了棱锥与外接球的关系，找出线面角是解题关键．属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）（2017•莆田一模）已知数列{a n}的前n项和，其中k为常数，a1，a4，a13成等比数列．（1）求k的值及数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，证明：．【考点】数列的求和．=2n+k﹣1（n≥2），再求得首项，验证首项成【分析】（1）由已知数列的前n项和求得a n=S n﹣S n﹣1立可得数列通项公式，结合a1，a4，a13成等比数列求得k，则通项公式可求；（2）把（1）中求得的通项公式代入，整理后利用裂项相消法求得数列{b n}的前n项和为T n，放缩可得．【解答】（1）解：由，有=2n+k﹣1（n≥2），a n=S n﹣S n﹣1又a1=S1=k+1，∴a n=2n+k﹣1．∵a1，a4，a13成等比数列，∴，即（2×4+k﹣1）2=（2×1+k﹣1）（2×13+k﹣1），解得k=2．∴a n=2n﹣1；（2）证明：∵=．∴．∴T n=b1+b2+…+b n===．【点评】本题考查数列递推式，考查了由数列的前n 项和求数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的前n 项和，属中档题．18．（12分）（2017•莆田一模）某企业有甲乙两个分厂生产某种产品，按规定该产品的某项质量指标值落在[45，75）的为优质品，从两个分厂生产的产品中个随机抽取500件，测量这些产品的该项质量指标值，结果如表：品的质量有差异”？（2）求优质品率较高的分厂的500件产品质量指标值的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）（3）经计算，甲分厂的500件产品质量指标值的样本方差s 2=142，乙分厂的500件差评质量指标值的样本方差s 2=162，可认为优质品率较高的分厂的产品质量指标值X 服从正态分布N （μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s 2，由优质品率较高的厂的抽样数据，能够认为该分厂生产的产品的产品中，质量指标值不低于71.92的产品至少占全部产品的18%？附注：参考数据：≈11.92，≈12.73参考公式：k 2=P （μ﹣2σ＜x ＜μ+2σ）=0.9544，P （μ﹣3σ＜x ＜μ+3σ）=0.9974．【分析】（1）根据统计数据填写2×2列联表，计算K 2，对照临界值表得出结论；（2）计算甲厂、乙厂优秀率，得出甲厂优秀品率高，计算甲厂的平均值；（3）根据（2）知甲厂产品的质量指标值X ～N （60，142），计算对应的概率值即可．【解答】解：（1）由以上统计数据填写2×2列联表，如下；计算K2=≈8.772＞6.635，对照临界值表得出，有99%的把握认为：“两个分厂生产的产品的质量有差异”；（2）计算甲厂优秀率为=0.8，乙厂优秀率为=0.72所以甲厂的优秀品率高，计算甲厂数据的平均值为：=×（30×10+40×40+50×115+60×165+70×120+80×45+90×5）=60，（3）根据（2）知，μ=60，σ2=142，且甲厂产品的质量指标值X服从正态分布X～N（60，142），又σ=≈11.92，则P（60﹣11.92＜X＜60+11.92）=P（48.08＜X＜71.92）=0.6826，P（X＞71.92）===0.1587＜0.18，故不能够认为该分厂生产的产品的产品中，质量指标值不低于71.92的产品至少占全部产品的18%．【点评】本题主要考查了独立性检验与正态分布的特点及概率求解问题，也考查了推理与运算能力．19．（12分）（2017•莆田一模）如图，在圆柱OO1中，矩形ABB1A1是过OO1的截面CC1是圆柱OO1的母线，AB=2，AA1=3，∠CAB=．（1）证明：AC1∥平面COB1；（2）在圆O所在的平面上，点C关于直线AB的对称点为D，求二面角D﹣B1C﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结B1C1、BC1，设BC1∩B1C=M，推导出四边形BB1C1C为平行四边形，从而MO ∥AC1，由此能证明AC1∥平面COB1．（2）以点C为坐标原点，分别以CA，CB，OC1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣B1C﹣B的二面角的余弦值．【解答】证明：（1）连结B1C1、BC1，设BC1∩B1C=M，∵BB1CC1，∴四边形BB1C1C为平行四边形，∴M为BC1的中点，在△ABC1中，O为AB的中点，∴MO∥AC1，又AC1⊄平面B1CD，MO⊂平面B1CD，∴AC1∥平面COB1．解：（2）如图，∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，∵C1C⊥平面ABC，∴C1C⊥AC，C1C⊥BC，又∠BAC=60°，AB=2，∴AC=1，BC=，AA1=3，以点C为坐标原点，分别以CA，CB，OC1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，，0），C1（0，0，3），O（，0），B1（0，），在圆O上，C，D关于直线AB对称，△AOC为正三角形，且OA=1，∴CD=，∠ACD=30°，过点D作DP⊥x轴，DQ⊥y轴，垂足分别为P，Q，则CP=CD•cos=，CQ=CD•sin，∴D（，0），∴=（，0），设平面CDB1的一个法向量=（x，y，z），则，取y=﹣，得=（1，﹣，1），平面B1BC的一个法向量=（1，0，0），设二面角D﹣B1C﹣B的二面角为θ，则cosθ==．故二面角D﹣B1C﹣B的余弦值为．【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及二面角、空间向量等基础知识；考查学生的空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力；考查了化归与转化及数形结合的数学思想．20．（12分）（2017•莆田一模）已知曲线E：=1（a＞b，a≠1）上两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2）．（1）若点A，B均在直线y=2x+1上，且线段AB中点的横坐标为﹣，求a的值；（2）记，若为坐标原点，试探求△OAB的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用点差法求得直线的斜率公式，k==2，根据中点坐标公式，即可求得a的值；（2）设直线y=kx+m代入椭圆方程，利用韦达定理及由向量数量积的坐标运算，根据弦长公式，点到直线的距离公式，根据三角的面积公式即可求得△OAB的面积为定值．【解答】解：（1）由题意可知：①，②，两式相减得： +（y1+y2）（y1﹣y2）=0，由x1≠x2，则=﹣a2，由A，B在直线y=2x+1，则k==2，A，B中点横坐标为﹣，则中点的纵坐标为，∴﹣=2•，解得：a2=，又a＞0，则a=，（2）直线AB的方程为y=kx+m，则，（1+a2k2）x2+2kma2x+a2（m2﹣1）=0，△＞0，即（2kma2）2﹣4a2（m2﹣1）（1+a2k2）＞0，则m2＜1+a2k2，由韦达定理可知：则x1+x2=﹣，x1x2=，由m⊥n，则•=0，x1x2+a2y1y2=0，从而（1+a2k2）x1x2+kma2（x1+x2）+a2m2=0，代入并整理得2m2=1+a2k2，由原点O到直线AB的距离d=，则△OAB的面积S=•d•丨AB丨=•••丨x1﹣x2丨，=丨m丨•，=丨m丨•，=•，=•=，从而可得△OAB的面积，为定值．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆位置关系，考查韦达定理，弦长公式，点到直线的距离公式，考查向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．21．（12分）（2017•莆田一模）已知函数f（x）=2x3﹣3x2+1，g（x）=kx+1﹣lnx．（1）若过点P（a，﹣4）恰有两条直线与曲线y=f（x）相切，求a的值；（2）用min{p，q}表示p，q中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），若h（x）恰有三个零点，求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求导，利用导数求得f（x）在Q的切线方程，构造辅助函数，利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可求得a的值；（2）根据函数定义，求h（x），根据函数的单调性及函数零点的判断，采用分类讨论法，求得函数h（x）零点的个数，即可求得h（x）恰有三个零点时，实数k的取值范围．【解答】解：（1）设切点Q（t，f（t）），由直线f（x）=2x3﹣3x2+1，求导，f′（x）=6x2﹣6x，则f（x）在Q点的切线的斜率k=6t2﹣6t，则切线方程为y﹣f（t）=（6t2﹣6t）（x﹣t），由切线过点P（a，﹣4），则﹣4﹣f（t）=（6t2﹣6t）（a﹣t），整理得：4t3﹣（3+6a）t2+6at﹣5=0，又由曲线恰有两条切线，即方程恰有两个不同的解，令H（t）=4t3﹣（3+6a）t2+6at﹣5，求导H′（t）=12t2﹣6（6+12a）t+6a，令H′（t）=0，解得：t=，t=2，当a=时，H′（t）≥0，函数H（t）在R上单调递增，没有两个零点，不符合题意，当a＞时，且t∈（﹣∞，）∪（a，+∞）时，H′（t）＞0，当t∈（，a）时，H′（t）＜0，∴H（t）在（﹣∞，），（a，+∞）单调递增，在（，a）单调递减；要使H（t）在R上有两个零点，则，或，由H（）=﹣﹣a+3a﹣5=（a﹣），H（a）=4a3﹣（3+6a）a2+6a2﹣5=﹣（a+1）（2a2﹣5a+5），=﹣（a+1）[2（a﹣）2+]，∴或，则a=，当a＜时，同理可知：或，则a=﹣1，综上可知：a=﹣1或a=；（2）f（x）=2x3﹣3x2+1=（x﹣1）2（2x+1），∴f（x）在（0，+∞）上只有一个零点x=1，g′（x）=k﹣，当k≤0时，g′（x）＜0，则g（x）在（0，+∞）上单调递减，g（x）在（0，+∞）上至多只有一个零点，故k≤0不符合题意；当k＞0，g′（x）=k﹣=0，解得：x=，∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；∴g（x）有最小值g（）=2+lnk，①当k=时，g（）=0，g（x）只有一个零点，不满足题意；②当k＞时，g（）＞0，g（x）在（0，+∞）上无零点，不满足题意；③当＜k＜时，g（）＜0，由g（）•g（1）=（2+lnk）（k+1）＜0，∴g（x）在（1，）上有一个零点，设为x1，若g（）•g（）＜0，g（x）在（，+∞）上有一个零点，设为x2，易证＞（＞e2），下面证明：g（）＞0，令F（x）=e x﹣x2，（x＞2），求导F′（x）=e x﹣2x，F′′（x）=e x﹣2＞e2﹣2＞0，∴F（x）在（2，+∞）上单调递增；∴F（x）＞F（2）=e2﹣4＞0，∴e2﹣x2＞0，即e2＞x2，（x＞2），现在去x=，由0＜k＜e﹣2，∴x＞e2＞2，则g（）=k•+1﹣ln，=k•+1﹣，由＞e2＞2，则＞，∴g（）＞k•+1﹣=1＞0，∴g（x1）=g（x2）=0∴由g（1）=k+1＞0，f（x1）＞0，f（x2）＞0，故h（1）＞f（1）=0，h（x1）=g（x1）=0，h（x2）=g（x2）=0，故h（x）有三个零点，综上可知：满足题意的k的取值范围为（0，）．【点评】本题考查导数及其应用等基础知识，考查抽象概括能力、推理能力句函数和方程思想、分类和整合思想，是一道综合题，属于难题．[选修4-4坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•莆田一模）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）写出圆C的参数方程和直线l的普通方程；（2）设点P为圆C上的任一点，求点P到直线l距离的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由题意求出圆C的参数方程和直线l的普通方程；（2）由题意设P（，），由点到直线的距离公式表示出点P到直线l距离，利用两角和的正弦公式化简后，由正弦函数的值域求出答案．【解答】解：（1）∵圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，∴圆C的参数方程为（α为参数），∵直线l的极坐标方程为，∴，即ρsinθ+ρcosθ﹣4=0，∴直线l的普通方程是x+y﹣4=0；（2）由题意设P（，），∴点P到直线l距离d===，∵，∴，即，∴点P到直线l距离的取值范围是[0，]．【点评】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程法转化，点到直线的距离公式，两角和的正弦公式，以及正弦函数的值域等，考查化归与转化思想，化简、计算能力．[选修4-5不等式选讲]23．（2017•莆田一模）已知函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）设f（x）的最小值为M，若2x+a≥M的解集包含[0，1]，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）f（x）=|x﹣4|+|x﹣2|=．分x≤2时，；2＜x＜4，x≥4，解f（x）＞2．（2））由|x﹣4|+|x﹣2|≥2，得M=2，由2x+a≥M的解集包含[0，1]，得20+a≥2，21+a≥2【解答】解：（1）f（x）=|x﹣4|+|x﹣2|=．∴当x≤2时，f（x）＞2，6﹣2x＞2，解得x＜2；当2＜x＜4时，f（x）＞2得2＞2，无解；当x≥4时，f（x）＞2得2x﹣6＞2，解得＞4．所以不等式f（x）＞2的解集为（﹣∞，2）∪（4，+∞）．（2））∵|x﹣4|+|x﹣2|≥2，∴M=2，∵2x+a≥M的解集包含[0，1]，∴20+a≥2，21+a≥2，∴a≥1．故a的取值范围为：[1，+∞）【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，及恒成立问题，属于中档题．。

福建省莆田第六中学高三下学期第二次模拟——数学理数

福建省莆田第六中学2017届高三下学期第二次模拟数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分） 2017-05-13一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合，则( )（A）（B）（C）（D）2.设命题，，则为（）（）A.，B.，C.，D.，3.已知复数，，若复数，则实数的值为（）A. B.6 C. D.4.已知双曲线，焦点在轴上，若焦距为，则等于（）A. B. C.7 D.5.已知，则的值等于（）A. B. C. D.6.如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A. B.C. D.7．某学校需从3名男生和2名女生中选出4人，分派到甲、乙、丙三地参加义工活动，其中甲地需要选派2人且至少有1名女生，乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法的种数是( ) （A）18 （B）24 （C）36 （D）428．设非负实数和满足20240440x yx yx y+-≤⎧⎪+-≤⎨⎪+-≤⎩，则的最大值为（）A.2B.C.6D.129.已知等比数列，且，则的值为（）A.2B.4C.8D.1610.若实数、、，且26a ab bc ca +++=- ） A.B.C.D.11.四面体中，，，，则四面体外接球的表面积为（） A.B.C.D.12.设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为( ) （A ）（B ）（C ）（D ）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则算筹式表示的数字为．14. 下面的程序框图中，若输入，则输出的结果为．15.已知双曲线的右焦点为，过点向双曲线的一条渐进线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的离心率为．16.在中，，为平面内一点，且，为劣弧上一动点，且，则的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.数列是公差为的等差数列，为其前n项和，成等比数列．（Ⅰ）证明成等比数列；（Ⅱ）设，求的值。

福建省莆田市2017届高三下学期质量检查考试(理)(word版,附答案)

福建省莆田市2017届高三下学期质量检查考试（理）第I 卷（选择题，共60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）： 1．()⎰=-21dx x （）A ．1-B ．1C ．0D ．2 2．复数ii 4334-+()为虚数单位i 的共轭复数对应的点位于复平面内（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．如果复数222(32)z a a a a i =+-+-+为纯虚数，那么实数a 的值为（） A ．2- B ．1 C ．2 D ．21-或4．函数23)(23++=x ax x f ，若4)1(=-'f ，则a 的值等于( )A ．193B ．163C ．133D ．1035．下列函数求导运算正确的个数为( ) ①()e xx3log 33='；②()2ln 1log 2x x ='③()x x e e ='；④x x ='⎪⎭⎫ ⎝⎛ln 1；⑤1)(+='⋅xx e e xA ．1B ．2C ．3D ．46．设函数()y fx =的图像如图，则导函数'()y f x =的图像可能是下图中的( )7．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（）B.C.D.8．若直线kx y =与曲线3232y x x x =-+相切，则k 的值为（）A ．23 B ．230或 C ．2或41- D ．2 9．若函数1ln 21)(2+-=x x x f 在其定义域内的一个子区间)1,1(+-k k 内不是单调函数，则实数k 的取值范围（）A ．[)+∞,1 B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,1 C ．[)2,1+ D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,23 10．若12()2(),f x x f x dx =+⎰则1()f x dx =⎰（）A. 1-B.13- C.13D.1 11．平面几何中，若△ABC 的内切圆半径为r ，其三边长分别为,,,c b a 则△ABC 的面积r c b a S ⋅++=)(21。

福建省莆田第六中学2017届高三1月月考数学(理)试题 Word版含答案

莆田六中2017届高三1月月考理科数学2017年1月6日命题人：莆田六中高三备课组审核人：祁国伟满分：150分考试时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题有且只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U =R ，集合{|21}xA x =<，3{|log 0}B x x =>，则()U AC B = （） A ．{|0}x x < B ．{|0}x x > C ．{|01}x x <<D ．{|1}x x > 2．设复数113z i =-，232z i =-，则21z z 在复平面内对应的点在（A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若,x y 满足不等式2620x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则22z x y =+的最小值是（ A. 24 D. 54则不同的排法共有( ) A ．192种 B ．216种 C ．240种 D ．288种5.割圆术是公元三世纪我国古代数学家刘徽创造的一种求圆的周长和面积的方法：随着圆内正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆的周长和面积.“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.刘徽就是大胆地应用了直代曲，无限趋近的思想方法求出了圆周率.某同学利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个计算圆周率的近似值的程序图.如上图所示，则输出的S 的值为（）（参考数据：sin150.2588,sin7.50.1305== ） A.2.598 B. 3.106 C. 3.132 D.3.142 6.已知1cos 33x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5cos 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为 A. 19-B.19C. 79D. 79-7.将函数()sin 2f x x =的图像向左平移6π个单位得到函数()g x 的图像，设函数()g x 在(0,)+∞内的最小零点为0x ，则函数()g x 的图像与x 轴、y 轴及直线0x x =所围成的图形的面积为( ) A. 14 B. 34 C. 12D. 18.在直三棱柱111ABC A B C -中，平面α与棱AB 、AC 、11AC 、11A B 分别交于点E 、F 、G 、H ，且直线1AA ∥平面α。

福建省莆田市莆田四中、六中高三数学下学期第一次模拟考试试题理

莆田六中2018届高三第一次模拟考试理科数学卷试题（时间120分钟，满分150分）一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确（每小题5分，共60分）．1．已知集合{}220A x x x =+≤,){}10B x =+>,则=⋂B A ( )A ．∅B ．()1,0-C ．(]1,0-D ．(]1,2-2．欧拉（Leonhard Euler,国籍瑞士）是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他发明的公式cos sin ixe x i x =+（i 为虚数单位），将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式在复变函数理论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可知，表示的复数54i eπ-在复平面内位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D.第四象限3．已知△ABC 中，点D 为BC 中点，若向量()()1,2,2,3AB AC ==，则AD DC ⋅=( )A ．2B ．4C ．2-D ．4-4．若直线0bx ay -=()0,0a b >>的倾斜角为60，则双曲线22221x y a b-=的离心率为( )A ．2B ．2 5．若[],2,2x y ∈-,则224x y +≤的概率为 ( )A ．14 B.12 C ．π8 D.π46．若函数ππ()sin()(0,0,,)22f x A x A x =+>>-<<∈R ωϕωϕ的部分图象如图所示,则π3f ⎛⎫- ⎪⎝⎭=( ) A ．1 B.1- C D.7．如图所示,棱长为1的正方形网格中画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱长的和为( )A ．12B ．C ．．8．若01a b <<<,则1,,log ,log ba b aa b a b 的大小关系为( )A ．1log log ba b aab a b >>> B ．1log log a b b ab a b a >>>C ．1log log ba b aa ab b >>> D ．1log log a b b aa b a b >>>9．如图所示，若程序框图输出的所有实数对(x ,y )所对应的点都在函数()bf x ax c x=++的图象上，则实数,,a b c 的值依次为( ) A ．1,2,2- B ．2,3-,2 C ．59,3,22- D ．311,,22- 10．已知直线()0y t t =≠与曲线()220y p x p =>交于N M ,两点，若x 轴上存在关于原点对称的两点B A ,(A M ,均在y 轴右侧)，使得MN NB MA -+恒为定值2，则p =( )A ．1B ．2C ．3D ．411．在三棱锥A BCD -中，1,AB AC ==2DB DC ==，AD BC ==，则三棱锥A BCD -的外接球表面积为( ) A ．πB ．7π4C ．4πD ．7π 12. 定义在R 上的函数()f x ，当[]0,2x ∈时，()()411fx x =--，且对任意实数()122,22,2n n x n N n +*⎡⎤∈--∈≥⎣⎦，都有()1122x f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.若()()log a g x f x x =-有且仅有三个零点，则a 的取值范围是( ) A. []2,10 B. C. ()2,10D.[)2,10二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分) 13．若()()2ln 1e4xaf x x =+-是偶函数，则数据3，6，8，a 的中位数是 . 14．成书于公元前1世纪左右的中国古代数学名著《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用现代数学符号表示就是222a b c +=，可见当时就已经知道勾股定理.如果正整数,,a b c 满足222a b c +=，我们就把正整数,,a b c 叫做勾股数，下面给出几组勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41，这几组勾股数有如下规律：第一个数是奇数m ,且第二个、第三个数都可以用含m 的代数式来表示，依此规律,当13m =时，得到的一组勾股数是．15．已知不等式组1010330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为D ,若存在()00,x y D ∈，使得()0011y k x +=+，则实数k 的取值范围是 . 16．四边形ABCD 中22AD AB ==,CB CD ⊥，BC CD +≥，则四边形ABCD 面积的取值范围为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）(一)必考题：共60分17．（本小题满分12分）已知()12112n n n S na n a a a -=+-+++.(1)若{}n a 是等差数列,且15S =,218S =,求n a ； (2)若{}n a 是等比数列,且123,15S S ==,求n S .18．（本小题满分12分）如图，直三棱柱-'''ABC ABC ，=90BAC ∠︒，=='AB AC AA λ，点,M N 分别为'AB 和''BC的中点. （Ⅰ）证明：//''MN AACC平面；（Ⅱ）若二面角'--A MN C 为直二面角，求λ的值.19．（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％，将频率视为概率. （Ⅰ）确定,x y 的值，并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率.20．(本题满分12分) 已知圆2220x y x +-=关于椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的一个焦点对称，且经过椭圆的一个顶点． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：1y kx =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，已知O 为坐标原点，以线段OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB ，若点P 在椭圆C 上，求k 的值及平行四边形OAPB 的面积. 21．（本小题满分12分）已知函数()()22ln f x x a x a x =-++,其中常数0a>．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）已知1a =,()f x 在()0x t t =>处的切线为()y g x =,求证：当()0x t t ⎛-> ⎝⎭时,()()()0xt f x g x -->⎡⎤⎣⎦恒成立. (二)选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为222cos24sin 3ρθρθ+=.(1)求出直线l 的普通方程及曲线1C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线1C 交于A ，B 两点，点C 是曲线1C 上与A ，B 不重合的一点，求∆ABC 面积的最大值.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|3||2|f x x x =-++．(Ⅰ)若不等式()|1|f x m ≥+恒成立，求实数m 的最大值M ； (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若正数,,a b c 满足2a b c M ++=，求证：111a b b c+≥++．2017-2018年度莆田六中高三第一次模拟考文科数学试卷班级：姓名：座号：第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,3,9,27A =，{}3log ,B y y x x A ==∈，则AB = ( )A ．{}13，B ．{}139，，C ．{}3927，，D ．{}13927，，， 2. 已知复数z 满足2zi i =--（i 为虚数单位），则z = ( ) A．．2 D3. 已知等差数列{}n a 的首项1a 和公差d 均不为零，且2a ，4a ，8a 成等比数列，则15923+++a a a a a = ( ) A ．6 B ． 5 C ． 4 D ．34. 折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心”活动中，会产生如右上图所示的几何图形，其中四边形ABCD 为正方形，G 为线段BC 的中点，四边形AEFG 与四边形DGHI 也为正方形，连接EB 、CI ，则向多边形AEFGHID 中投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为 ( ) A ．112 B ． 18C ．16D ．524 5. 已知直线m ⊥平面α，则“直线n m ⊥”是“n α∥”的( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6. 已知圆C ：223x y +=，点(0,A -，(,B a ．从点A 观察点B ，要使视线不被圆C 挡住，则实数a 的取值范围为( ) A．(,(23,)-∞-+∞ B ．(,4)(4,)-∞-+∞ C ． (,2)(2,)-∞-+∞ D ．(4,4)-7.将函数()2cos f x x x =-的图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则ϕ的最小值为 ( ) A ．6π B ． 3π C ．23π D ．56π8. 某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于( )A ．13 B ．23 C ．12 D ．349.定义123nnp p p p ++++为n 个正数123,,,,n p p p p 的“均倒数”．若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则12233410111111b b b b b b b b ++++=( ) A ．111B ．109C ．1110 D ．1211 10.已知向量a ，b 满足+3a b =，2a b -=，则+a b 的取值范围是 () A ．[2,3] B ．[3,4]C ．D ． 11.已知MOD 函数是一个求余函数，记(,)MOD m n 表示m 除以 n 的余数，例如(8,3)2MOD =．右图是某个算法的程序框图，若输入m 的值为56，则输出的值为 ( ) A ．6 B ． 7 C ．8 D ．9 12.已知2,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则关于x 的方程(())f f x t =，给出下列五个命题：①存在实数t ，使得该方程没有实根； ②存在实数t ，使得该方程恰有1个实根；③存在实数t ，使得该方程恰有2个不同实根； ④存在实数t ，使得该方程恰有3个不同实根； ⑤存在实数t ，使得该方程恰有4个不同实根．其中正确的命题的个数是( )A ．4B ． 3C ．2D ．1 二、填空题（本题共 4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.设0.63.152,0.5,sin6a b cπ-===，则a ，b ，c 的大小关系是________(用“<”连接)14.若变量x 、y 满足约束条件2020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =-的最大值为；15.设1F 、2F 分别是双曲线()222210,0 x y a b a b -=>>的左、右焦点，点P 在双曲线上，若120PF PF ⋅=，12PF F ∆的面积为9，且7a b +=，则该双曲线的离心率为；16.已知函数11()3sin()22f x x x =+-+，则12()()20192019f f +2018()2019f +⋅⋅⋅+= ；三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (一)必考题：共60分.17. (本小题满分12分)已知函数23())sin()cos 12f x x x x π-+-+． (Ⅰ)求函数() f x 的递增区间；(Ⅱ)若ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，角A 的平分线交BC 于D ，3()2f A =，2AD ==，求cos C ．18. (本小题满分12分)交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为950元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表（其中浮动比率是在基准保费上上下浮动）：年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：(Ⅰ)求这60辆车普通6座以下私家车在第四年续保时保费的平均值（精确到0.1元） (Ⅱ)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元，且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致．试完成下列问题：①若该销售商店内有六辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在该店内随机挑选3辆车，求这3辆车恰好有一辆为事故车的概率；②若该销售商一次购进120辆车（车龄已满三年）该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值．19. (本小题满分12分)如图，在三棱锥P ABC -中，PA AB ⊥，4PA AB BC ===，90ABC ∠=，PC =D 为线段AC 的中点，E 是线段PC上一动点．（1）当DE AC ⊥时，求证：PA ∥面DEB ；（2）当BDE ∆的面积最小时，求三棱锥E BCD -的体积．20. (本小题满分12分)已知一定点(0,1)F ，及一定直线l ：1y =-，以动点M 为圆心的圆M 过点F ，且与直线l 相切．(Ⅰ)求动点M 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)设P 在直线l 上，直线PA ，PB 分别与曲线C 相切于A ，B ，N 为线段AB 的中点．求证： 2AB NP =，且直线AB 恒过定点．21. (本小题满分12分) 已知函数()sin cos f x x x x =+.(Ⅰ)若(0,2)x π∈，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)若0x >，记i x 为()f x 的从小到大的第i （i N *∈）个极值点，证明：222223411111+9n x x x x +++<（2n n N *≥∈，）．(二)选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.[选修4—4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)已知直线l的参数方程为1x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为24cos sin 4ρρθθ=+-．(Ⅰ) 求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； (Ⅱ) 设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求OA OB ⋅的值．23.选修4-5：不等式选讲 (本小题满分10分)设函数()1f x x x a =++-．(Ⅰ)当2a =时，求不等式()5f x >的解集；(Ⅱ)对任意实数x ，都有()3f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．2017-2018年度莆田六中高三第一次模拟考文科数学试卷参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）{}1,3B =A ．2. D 【解析】：∵2zi i =--，∴12z i =-+，∴z =D ．3. D 【解析】：∵2a ，4a ，8a 成等比数列，∴2428a a a =，∴2111(3)()(7)a d a d a d +=++，∴21d a d =，又0d ≠，10a ≠，∴1d a =，∴11(1)0n a a n d na =+-=≠，∴1591112311+++5+93+2+3a a a a a a a a a a ==，故应选D ．4. C 【解析】：设2AB =，则1BG =，AG ，故多边形AEFGHID 的面积1222122S+⨯⨯=，∵sin cosABEAB GABAG∠=∠==，∴11sin2222S AE AB EAB=⨯⨯⨯∠==阴影部分，故所求概率为21126P==．故应选C．5.B 【解析】：由m⊥α，n m⊥推不出nα∥（可能nα⊂），由m⊥α，nα∥能推出n m⊥；6. B 【解析】：点B在直线y=(0,A-作圆的切线，设该切线的斜率为k，则该切线的方程为y kx=-，即0kx y--．由圆心到切线的距离等于半径得：，∴k=∴该切线的方程为y=-，它和直线y=(4,2)-、(4,2)．故要使视线不被圆C挡住，则实数a的取值范围为(,4)(4,)-∞-+∞，故应选B．（或作出图形，利用平几法，求相关线段）7.C 【解析】：∵()2cos4cos()3f x x x xπ=-=+向左平移ϕ（0ϕ>）单位后得到函数()g x=4cos()3xπϕ++，又()g x为偶函数，故3kπϕπ+=，k Z∈，故3kπϕπ=-+，k Z∈，故min23πϕ=，故应选C．8.A 【解析】：抠点法:在长方体1111ABCD A B C D-中抠点，①由正视图可知：11C D上没有点；②由侧视图可知：11B C上没有点；③由俯视图可知：1CC上没有点；④由正（俯）视图可知：,D E处有点，由虚线可知,B F处有点，A点排除．由上述可还原出四棱锥1A BEDF-，如右上图所示，∴111BEDFS=⨯=，∴1111133A BEDFV-=⨯⨯=．故选A.9.C 【解析】：依题意得：121nnS n=+，∴22nS n n=+，故可得41na n=-，∴14nnab n+==，11111(1)1n n b b n n n n +==-++，再由裂项求和法，可得1223341011111111011111b b b b b b b b ++++=-=，故应选C ．10. D 【解析】：∵+3a b =，2a b -=，∴2(+)9a b =，2()4a b -=，∴22(+)()13a b a b +-=，∴2213+2a b =，∴2213+2a b =，∴2213+22a b a b =≥，（当且仅当13a b ==时，等号成立），∴2222(+)13()a b a b =≥+，∴13a b +≤，又a b a b +≥±，∴3a b +≥，故应选D ． 11. B 【解析】：此框图的功能是求56大于1的约数的个数，其约数有2，4，7，8，14，28，56，共有7个，故应选B ．12. B 【解析】：设()m f x =，则()f m t =，先作出2,0(),0m m f m m m ⎧≥=⎨-<⎩的图象，及直线y t =，结合图象可以看出：①当0t <时，m 不存在，从而x 不存在；②当0t =时，0m =，则0x =，原方程有唯一根；③当01t <<时，则存在唯一负数m 与之对应，再作出2,0()0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，的图象，及直线y m =，结合图象，可以看出：x 不存在；④当1t ≥时，则存在一个负数1m 或一个非负数2m 与之对应，再作出2,0()0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，的图象，及直线i y m =（1,2i =），结合图象，可以看出：⑴对于负数1m ，没有x 与之对应，⑵当21m ≥时，则有两个不同的x 与之对应，⑶当201m <<时，则有唯一的x 与之对应，综上所述：原方程的根的情况有：无实根，恰有1实根，恰有2实根，从而可得①、②、③正确．故应选B ．二、填空题：（本题共 4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. b c a << 【解析】∵0.63.13.1152,0.52,s i n 26a b c π---=====， 3.110.6-<-<-，∴b c a <<；14.3 【解析】：画出可行域后可得最优解为(1,1)P -，故max 3z =；15.54【解析】：由1212222121824PF PF PF PF a PF PF c ⎧⋅=⎪⎪-=⎨⎪⎪+=⎩得：29b =，故3b =，又7a b +=，∴4a =，∴5c =，∴54e =； 16.2018【解析】：∵11()3sin()22f x x x =+-+，∴1111(1)13s i n ()13s in()2222f x x x x x -=-+-+=---+， ∴()(1)2f x f x +-=，又设1232018()()()()2019201920192019S f f f f =+++⋅⋅⋅+，则20183()()20192019S f f =+⋅⋅⋅+21()()20192019f f ++，∴1201822017320162[()()][()()][()()]201920192019201920192019S f f f f f f =++++++⋅⋅⋅ 20181[()()]22222201820192019f f ++=++++=⨯，∴2018S =．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (一)必考题：共60分. 17. (本小题满分12分) 解：(Ⅰ)∵23())sin()cos 12f x x x x π=-+-+=21cos2cos sin 22x x x x x -⋅+=+ 1sin(2)62x π=-+，………3分，令222262k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈，∴63k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，∴函数() f x 的递增区间为[,]63k k ππππ-+，k Z ∈，………6分；(Ⅱ) ∵3()2f A =，∴13sin(2)622A π-+=，∴sin(2)16A π-=，又0A π<<，∴112666A πππ-<-<，∴262A ππ-=，∴3A π=，又AD 平分BAC ∠，∴6BAD π∠=，……8分；又2AD ==，又由正弦定理得：sin sin BD ADBAD B =∠，2sin sin 6B =，∴sin B ，又203B π<<，∴=4B π；……10分∴()34C πππ=-+，∴1cos cos()(342C ππ=-+=-．……12分18. (本小题满分12分)解：(Ⅰ)这60辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高的平均值为105520155119(0.9+0.8+0.7+1+ 1.1+ 1.3)950950942.1606060606060120⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯≈元；…5分 (Ⅱ) ①由统计数据可知，该销售商店内的6辆该品牌车龄已满三年的二手车中有2辆事故车，设为a ，b ，4辆非事故车，设为1，2，3，4．从这6辆车中随机挑选3辆车的情况有(,,1)a b ，(,,2)a b ，(,,3)a b ，(,,4)a b ，(,1,2)a ，(,1,3)a ，(,1,4)a ，(,2,3)a ，(,2,4)a ，(,3,4)a ，(,1,2)b ，(,1,3)b ， (,1,4)b ，(,2,3)b ，(,2,4)b ，(,3,4)b ，(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)，共20种情况．…6分其中3辆车中恰好有一辆为事故车的情况有：(,1,2)a ，(,1,3)a ，(,1,4)a ，(,2,3)a ，(,2,4)a ，(,3,4)a ，(,1,2)b ，(,1,3)b ，(,1,4)b ，(,2,3)b ，(,2,4)b ，(,3,4)b ，共12种．…7分，故该顾客在店内随机挑选3辆车，这3辆车中恰好有一辆事故车的概率为123=205.…9分， ②由统计数据可知，该销售商一次购进120辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车40辆，非事故车80辆，所以一辆车盈利的平均值为1[(5000)401000080]5000120-⨯+⨯=(元)．…12分19. (本小题满分12分)解：(Ⅰ)在直角ABC ∆中，90ABC ∠=，4AB BC ==，∴AC =又∵ 在PAC ∆中，4PA =，AC =PC =222PC PA AC =+，∴PA AC ⊥…3分，又D E AC ⊥，∴PA DE ∥，又PA ⊄面DEB ，DE ⊂ 面DEB ，∴PA ∥面DEB …6分 (Ⅱ)∵PA AC ⊥，PA AB ⊥，AB AC A =，∴PA ⊥面ABC ，又DB ⊂面ABC ，∴PA DB ⊥，又∵AB BC =，AD DC =，∴DB AC ⊥，又PA AC A =，∴DB ⊥面PAC ，又DE ⊂面PAC ，∴DB DE ⊥，…9分，又12DB AC ==DE 最小时，BDE ∆的面积最小，又当DE PC ⊥时，DE 最小，故此时1sin23PA DE DC PCA AC PC ==⨯==，∴cos ACEC DC PCAPC =⨯=3==，∴112233DEC S DE EC ∆=⨯==，又DB ⊥面PAC ，∴11163339E BCD B CDE CDE V V S BD --∆==⨯=⨯= ……12分．20. (本小题满分12分)解：(Ⅰ) ∵圆M 过点F ，且与直线l 相切，∴点M 到点F 的距离等于点M 到直线l 的距离，∴点M 的轨迹是以(0,1)F 为焦点，以直线l ：1y =-为准线的一抛物线，∴12p=即2p =，∴动点M 的轨迹C 的方程为24x y =；…4分(Ⅱ)依题意可设0(,1)P x -，2111(,)4A x x ，2221(,)4B x x ，…5分，又24x y =，∴214y x =，∴12y x '=， ∴切线PA 的斜率1112k x =，∴切线PA ：211111()42y x x x x -=-，即211240x x y x --=，…6分，同理可得：切线PB 的斜率2212k x =，PB ：222240x x y x --=，…7分，又0(,1)P x -，∴21012+40x x x -=且22022+40x x x -=，故方程202+40x x x -=即20240x x x --=有两根1x ，2x ，∴124x x =-，…8分， ∴1212121111224k k x x x x =⨯==-，∴PA PB ⊥，…9分，又N 为线段AB 的中点，∴2AB NP =…10分，又由21012+40x x x -=得：21101+1024x x x -=，即1011+102x x y -=，同理可得：2021+102x x y -=，故直线AB 的方程为01+102x x y -=…11分，故直线AB 恒过定点(0,1)F ．…12分．21. (本小题满分12分)解：(Ⅰ) ∵()sin cos f x x x x =+，02x π<<，∴()s i n c o s s i n c o s f x x x x x x x'=+-=，02x π<<…1分令()0f x '=，则2x π=或32x π=，…2分，∴当02x π<<或322x ππ<<时，()0f x '>，当322x ππ<<时，()0f x '<，∴()f x 在(0,)2π上递增，在3(,)22ππ上递减，()f x 在3(,2)2ππ上递增，∴当2x π=时，()f x取得极大值，()()22f x f ππ==极大值，当32x π=时，()f x 取得极小值，33()()22f x f ππ==-极小值；…5分(Ⅱ)∵i x 为()f x 的从小到大的第i （i N *∈）个极值点，又令()0f x '=，0x >，则(21)2i i x π-=， i N *∈，…6分，∴222221441(21)(21)1i x i i ππ=<⨯---2222(22)i i π=⨯-2111()1i iπ=⨯--，2i ≥，i N *∈，…9分， ∴22222341111+n x x x x +++22111111111111[()()()()]()12233411n n n ππ<-+-+-++-=⨯--2119π<<．…12分．22. (本小题满分10分)解：(Ⅰ)∵直线l 的参数方程为1x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），∴直线l 的普通方程为1)y x -，即y =，∴直线l 的极坐标方程：=3πθ…2分；又∵曲线C 的极坐标方程为24cos sin 4ρρθθ=+-，cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴2244x y x +=+-，即22(2)(3x y -+=，∴曲线C 的直角坐标方程为22(2)(3x y -+=，…5分；(Ⅱ)∵将直线l ：=3πθ代入曲线C 的极坐标方程：24cos sin 4ρρθθ=+-得：2540ρρ-+=，…7分；设直线l 与曲线C 的两交点,A B 的极坐标分别为11(,)A ρθ，22(,)B ρθ，∴124ρρ=，…8分；∴12124OA OB ρρρρ⋅=⋅==的值．…10分．23．解：(Ⅰ)∵()1f x x x a =++-，∴当2a =时，21,1()123,1221,2x x f x x x x x x -+<-⎧⎪=++-=-≤≤⎨⎪->⎩，…2分；又()5f x >，∴1215x x <-⎧⎨-+>⎩或1235x -≤≤⎧⎨>⎩或2215x x >⎧⎨->⎩，…3分；∴12x x <-⎧⎨<-⎩或x ∈∅或23x x >⎧⎨>⎩， ∴2x <-或3x >，…4分；∴()5f x >的解集为(,2)(3,)-∞-+∞；…5分；(Ⅱ) ∵()11f x x x a a =++-≥+（当且仅当(1)()0x x a +-≤时，等号成立），…6分； ∴min ()1f x a =+…7分；又对任意实数x ，都有()3f x ≥恒成立，∴min ()3f x ≥，…8分；∴13a +≥，∴13a +≥或13a +≤-，∴2a ≥或4a ≤-．…9分；故实数a 的取值范围为2a ≥或4a ≤-．…10分．。

福建省莆田市莆田四中、六中高三数学下学期第一次模拟考试试题文(2021年整理)

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2017-2018年度莆田六中高三第一次模拟考文科数学试卷班级：姓名：座号：第Ⅰ卷(共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}1,3,9,27A =，{}3log ,B y y x x A ==∈，则A B =( )A ．{}13，B ．{}139，，C ．{}3927，，D ．{}13927，，， 2. 已知复数z 满足2zi i =--（i 为虚数单位），则z = （）A ．2B ． 3C ．2D ．53. 已知等差数列{}n a 的首项1a 和公差d 均不为零，且2a ，4a ，8a 成等比数列，则15923+++a a a a a = ( ） A ．6 B ． 5 C ． 4 D ．3 4。

折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心”活动中，会产生如右上图所示的几何图形，其中四边形ABCD 为正方形，G 为线段BC 的中点，四边形AEFG 与四边形DGHI 也为正方形，连接EB 、CI ，则向多边形AEFGHID 中投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为（ ) A ．112 B ． 18 C ．16 D ．5245。

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绝密★启用前福建省莆田第六中学2017届高三下学期第一次模拟（期中）数学（理）试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：69分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、过正方体的顶点作平面，使棱、、所在直线与平面所成角都相等，则这样的平面可以作（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2、已知函数（，），，，若的最小值为，且的图象关于点对称，则函数的单调递增区间是（）A ．，B ．，C ．，D ．，3、在体积为的球内有一个多面体，该多面体的三视图是如图所示的三个斜边都是的等腰直角三角形，则的最小值是（）A ．B ．C ．D ．4、将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角（），得到曲线，若对于每一个旋转角，曲线都仍然是一个函数的图象，则的最大值为（）A ．B ．C ．D ．5、记不等式组所表示的平面区域为，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．6、给出关于双曲线的三个命题：①双曲线的渐近线方程是；②若点在焦距为4的双曲线上，则此双曲线的离心率；③若点、分别是双曲线的一个焦点和虚轴的一个端点，则线段的中点一定不在此双曲线的渐近线上. 其中正确的命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．37、已知数列是首项为1，公差为（）的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差不可能是（）A ．2B ．3C ．4D ．58、“”是“直线的倾斜角大于”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9、若复数满足（为虚数单位），则（） A ．B ．C ．D ．10、若集合，，则满足的集合的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．411、已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则对任意，函数的零点个数至多有（）A ．3个B ．4个C ．6个D ．9个12、我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了计算多项式的值的秦九韶算法，即将改写成如下形式：，首先计算最内层一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值.这种算法至今仍是比较先进的算法.将秦九韶算法用程序框图表示如下图，则在空白的执行框内应填入（）ArrayA． B． C． D．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、已知各项都为整数的数列中，，且对任意的，满足，，则__________．14、已知，，，若向量满足，则的取值范围是__________．15、若，则__________．16、若，则__________．三、解答题（题型注释）17、选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆的极坐标方程为.若以极点为原点，极轴所在直线为轴建立平面直角坐标系. （Ⅰ）求圆的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点是圆上动点，试求的最大值，并求出此时点的直角坐标.18、选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，求的取值范围.19、已知函数，. （Ⅰ）证明：，直线都不是曲线的切线；（Ⅱ）若，使成立，求实数的取值范围.20、已知椭圆：（）的离心率为，、分别是它的左、右焦点，且存在直线，使、关于的对称点恰好是圆：（，）的一条直径的两个端点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与抛物线（）相交于、两点，射线、与椭圆分别相交于点、.试探究：是否存在数集，当且仅当时，总存在，使点在以线段为直径的圆内？若存在，求出数集；若不存在，请说明理由.21、如图，四棱锥的底面是平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，,.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）设是棱上的点，当平面时，求二面角的余弦值.22、某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表：质量指标值从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图：（Ⅰ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定？（Ⅱ）在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；（Ⅲ）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值近似满足，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？23、已知中，，，.（Ⅰ）求边的长；（Ⅱ）设是边上一点，且的面积为，求的正弦值.参考答案1、D2、B3、B4、D5、D6、C7、B8、A9、A10、D11、A12、A13、14、15、25116、317、（1）为参数（2）18、（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）.19、（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）.20、（Ⅰ）; （Ⅱ）见解析.21、（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）.22、（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）；（Ⅲ）大约提升了17.623、（Ⅰ）; （Ⅱ）.【解析】1、解：第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条．故选D．2、由题设知的周期，所以，又的图象关于点对称，从而，即,因为，所以.故.再由，得，故选B.点睛：已知函数的性质求解析式：(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.3、由多面体的三视图知该多面体是如图所示的三棱锥，，且，当球是这个三棱锥的外接球时其体积最小，将这个三棱锥补成正方体，其外接球的直径就是正方体的对角线，所以，故选B.点睛：1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．4、函数的图象绕坐标原点逆时针方向连续旋转时，当且仅当其任意切线的倾斜角小于等于时，其图象都依然是一个函数图象，因为是是的减函数，且,当且仅当时等号成立，故在函数的图象的切线中，处的切线倾斜角最大，其值为，由此可知，故选D.5、根据平面区域，易知当时，由题设得，所以，故选D.6、对于①：双曲线的渐近线方程是，故①错误；对于②：双曲线的焦点为，，从而离心率，所以②正确；对于③：的中点坐标均不满足渐近线方程，所以③正确；故选C.7、由题设，，81是该数列中的一项，即，所以，因为，所以是80的因数，故不可能是3，选B.8、设直线的倾斜角为，则.若，得，可知倾斜角大于；由倾斜角大于得，或，即或，所以“”是“直线的倾斜角大于”的充分而不必要条件，故选A.9、由已知得，所以，选A.10、可以是共4个，选D.11、当时，，由此可知在上单调递减，在上单调递增，，且,又在上的奇函数，,而时，，所以的图象示意图如图所示，令，则时，方程至多有3个根，当时，方程没有根，而对任意，方程至多有一个根，从而函数的零点个数至多有3个，故选A.点睛：复合函数的零点问题的求解步骤一般是：第一步：现将内层函数换元，将符合函数化为简单函数；第二步：研究换元后简单函数的零点（一般都是数形结合）；第三步：根据第二步得到的零点范围转化为内层函数值域，进而确定的个数.12、秦九韶算法的过程是，这个过程用循环结构来实现，应在题图中的空白执行框内填入，选A.13、由，得，两式相加得，又，，所以，从而.14、易知，由得，所以或，由此可得的取值范围是.15、，所以.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.16、，所以.17、试题分析：（Ⅰ）利用极坐标与直角坐标互化公式可得直角坐标方程，再利用同角三角函数的平方关系可得圆的参数方程．（Ⅱ）解法一：设，得代入整理得，令。

则问题得解解法二：由（Ⅰ）可得，设点可得，可得，再利用三角函数的单调性与值域即可得出最大值．试题解析：（Ⅰ）因为，所以，即为圆C的普通方程．所以所求的圆C的参数方程为(为参数)（Ⅱ）解法一：设，得代入整理得(*)，则关于方程必有实数根∴，化简得解得，即的最大值为11.将代入方程(*)得，解得，代入得故的最大值为11时，点的直角坐标为.解法二：由（Ⅰ）可得，设点,, 其中，，当时，，此时，,即，所以，点的直角坐标为.18、试题分析：（Ⅰ）利用绝对值三角不等式得到，进而证明即可；（Ⅱ）讨论去绝对值求解即可.试题解析：（Ⅰ）（Ⅱ）因为，所以，或，解之得，即的取值范围是.19、试题分析：（Ⅰ）设出切点，分别用函数的导数值和直线的两点表示斜率，得方程，发现方程的解为，与定义域矛盾；（Ⅱ）原问题转化为，令，, 则，使成立，讨论函数的最小值即可.试题解析：（Ⅰ）的定义域为，，直线过定点，若直线与曲线相切于点（且），则，即，①设，，则，所以在上单调递增，又，从而当且仅当时，①成立，这与矛盾.所以，，直线都不是曲线的切线；（Ⅱ）即，令，，则，使成立，，（1）当时，，在上为减函数，于是，由得，满足，所以符合题意；（2）当时，由及的单调性知在上为增函数，所以，即，①若，即，则，所以在上为增函数，于是，不合题意；②若，即则由，及的单调性知存在唯一，使，且当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以，由得，这与矛盾，不合题意.综上可知，的取值范围是.【方法点睛】利用导数解决不等式有解问题的“两种”常用方法(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.20、试题分析：（Ⅰ）椭圆的焦距等于圆的直径，所以，根据离心率求出；（Ⅱ）因为、关于的对称点恰好是圆的一条直径的两个端点，所以直线是线段的垂直平分线（是坐标原点），故方程为，与联立得：，点在以线段为直径的圆内韦达定理代入求解即可.试题解析：（Ⅰ）将圆的方程配方得：，所以其圆心为，半径为2.由题设知，椭圆的焦距等于圆的直径，所以，又，所以，从而，故椭圆的方程为. （Ⅱ）因为、关于的对称点恰好是圆的一条直径的两个端点，所以直线是线段的垂直平分线（是坐标原点），故方程为，与联立得：，由其判别式得，①设，，则，.从而，.因为的坐标为，所以，.注意到与同向，与同向，所以点在以线段为直径的圆内，②当且仅当即时，总存在，使②成立.又当时，由韦达定理知方程的两根均为正数，故使②成立的，从而满足①.故存在数集，当且仅当时，总存在，使点在以线段为直径的圆内.21、试题分析：（Ⅰ）要证平面平面，只需证平面即可. （Ⅱ）分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图，求平面的一个法向量和平面的一个法向量求解即可.试题解析：（Ⅰ）取的中点，连接，，因为是边长为2的正三角形，所以，，①又，所以，且，于是，从而，②由①②得平面，而平面，所以平面平面.（Ⅱ）连结，设，则为的中点，连结，当平面时，，所以是的中点.由（Ⅰ）知，、、两两垂直，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图，则、、、，由、坐标得，从而，，设是平面的一个法向量，则由得，取，得，易知平面的一个法向量是，所以，由图可知，二面角的平面角为钝角，故所求余弦值为.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.22、试题分析：（1）根据频率分布直方图，一、二等品所占比例的估计值为，可做出判断.（2）由频率分布直方图的频率分布可知8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，分类讨论各种情况可得.（3）算出“质量提升月”活动前，后产品质量指标值为，可得质量指标值的均值比活动前大约提升了17.6试题解析：（1）根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为，由于该估计值小于0.92，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定.（2）由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为0.375、0.5、0.125，故在样本中用分层抽样方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，再从这8件产品中随机抽取4件，一、二、三等品都有的情况有2种：①一等品2件，二等品1件，三等品1件；②一等品1件，二等品2件，三等品1件，故所求的概率.（3）“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为“质量提升月”活动后，产品质量指标值近似满足，则. 所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了17.623、试题分析：（Ⅰ）由得，展开求得，从而知三角形为等腰三角形；（Ⅱ）根据面积公式求得，在中，由余弦定理可得，再由正弦定理即可求解.试题解析：（Ⅰ）因为，所以，由得.即，从而，又，所以，，所以.（Ⅱ）由已知得，所以.在中，由余弦定理得，，再由正弦定理得，故.。