对数求导法
3.3特殊函数的求导法则
2) 有些显函数 连乘除 用对数求导法求导很方便 . 有些显函数(连乘除 连乘除)用对数求导法求导很方便 例如, 例如 两边取对数 a ln y = xln + a[ lnb − ln x ] +b[ ln x − ln a ] b 两边对 x 求导 a a b y′ = ln − + b x x y
3.3 几类特殊函数的求导方法
一、对数求导法
观察函数 方法: 方法:
( x + 1)3 x − 1 y= , 2 x ( x + 4) e
y = x sin x .
先在方程两边取对数, 先在方程两边取对数 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. 方法求出导数 --------对数求导法 对数求导法 适用范围: 适用范围:
即 y = x + a( 2 − ) 2
π
π
例.
x = a cos t π 求椭圆 ，在t = 时的切线方程。 2 y = b sin t
解：椭圆上任意一点x处的切线的斜率 椭圆上任意一点 处的切线的斜率 为
d y (b sin t )′ b cos t b k= = = = − cot t d x (a cos t )′ − a sin t a
解
dy e x − y 解得 , = y dx x + e
dy ∴ dx
x=0
由原方程知 x = 0, y = 0,
= 1.
ex − y = x+ey
x=0 y=0
例2 设曲线 C的方程为 x 3 + y 3 = 3 xy , 求过C上
3 3 点( , )的切线方程 , 并证明曲线 C在该点的法 2 2 线通过原点 .
d y (a sin 3 t )′ 解： = d x (a cos3 t )′
对数求导
对数求导法观察函数3sin 2(1,.(4)x x x x y y x x e+−==+方法:先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导--------对数求导法方法求出导数.——目的是利用对数的性质简化求导运算。
1.ln ln ln ab a b=+ 2.ln ln ln a a b b =−3.ln ln ba b a =切记：ln()a b ±≠ln ln a b±由于对y =f (x )两端取对数时要求y >0.这限制了对数求导法的应用范围. 应想办法去掉这种限制.两边取绝对值, 再取对数.|)(|ln |)(|ln |)()(|ln ||ln x g x f x g x f y +==设y = f (x )g (x ). 其中f (x ),g (x )均非0且在点x 处可导。
(i) 当y > 0时, y yy y x x ′⋅=′=′1)(ln )||(ln (ii) 当y < 0时,y y y yy y x x ′=′−⋅−=′−=′1)(1))(ln()||(ln y yy y x ′=′≠1)||(ln ,0,有时当即同理, 当f (x ), g (x )不等于0时,)()(1)|)(|(ln ),()(1)|)(|(ln x g x g x g x f x f x f ′⋅=′′⋅=′.|)(|ln |)(|ln ||ln 两边求导从而对x g x f y +=得)()(1)()(11x g x g x f x f y y ′+′=′即⎟⎠⎞⎜⎝⎛′+′=′)()(1)()(1x g x g x f x f y y 注意:对数求导法只能求使y ≠0的x 处的导数. 若要求使y =0的x 处的导数, 则须另想办法.(1) 多个函数乘、除、乘方、开方构成函数的导数适用范围:1212()()()()()()n m u x u x u x v x v x v x 注：对幂指函数，没有求导公式例如(2) 幂指函数()()x y f x ϕ⎡⎤=⎣⎦的导数：§3－3高阶导数设y = f (x), 若y =f (x)可导, 则f '(x)是x的函数.若f '(x)仍可导, 则可求f '(x)的导数.记作(f'(x))'=f ''(x).称为f (x)的二阶导数.若f ''(x)仍可导, 则又可求f ''(x)的导数,….一般, 设y = f (x )的导数y ' = f '(x )存在且仍可导, 记f '(x )的导数为).(,d d 22x f y xy ′′′′或,))(()(d d ,22′′=′′=′′=x f x f y xy 即))(()(d d ,)3()3(33′′′===′′x f x f y x y y 记仍可导若称为f (x )的三阶导数.导数.称为f (x )的二阶))(()(d d ,,)1()()()1(′===−−x f x f y x y y n n n n nn 记仍可导若一般称为f (x )的n 阶导数.二阶以上的导数都称为高阶导数.记C m (I)为区间I 上所有具有m 阶连续导数的函数所成集合. 为统一符号, 有时记y (0)=y , y (1)=y', y (2)=y''.例.设物体作变速运动. 在[0, t ]这段时间内所走路程为S = S (t ), 指出S''(t )的物理意义.解:我们知道, S'=V (t ).而S''=V'(t )注意到, ΔV = V ( t +Δt )−V (t )表示在[t , t +Δt ]这段时间内速度V (t )的增量(改变量).从而. 度这段时间内的平均加速表示在t a V Δ=Δ故).( lim 0t a tV t =ΔΔ→Δ即, S'' = V'(t ) = a (t )为物体在时刻t 的加速度.例..)1()(2432y y y x x y ′′−=′−−=满足验证解:43−−=x x y 411−+=x .)4(12−−=′x y 4)4()4(2−−−−=′′x x y 从而3222)4(241)4(12)1()(2−⋅−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⋅=′′−−′x x x y y y = 03)4(2−=x。
对数函数的导数
对数函数的导数(Inx)'=1/x（ln为自然对数），(logax)'=x^(-1)/lna(a>0且a不等于1)。
什么是对数函数？一般地，对数函数以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。
对数函数是6类基本初等函数之一、其中对数的定义：如果a^x=N （a>0，且a≠1），那么数x叫作以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫作对数的底数，N叫作真数。
一般地，函数y=logax（a>0，且a≠1）叫作对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。
其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x>0。
它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。
因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
什么是导数？导数:是用来反映函数局部性质的工具。
一个函数在其中一点的导数描述了这个函数在这-点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在-点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
图像：一般地，说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。
对数函数的图像为对数曲线。
性质：具有值域，定点，单调性，奇偶性，周期性，对称性，在定义域上为单调增函数。
奇偶性：非奇非偶函数。
周期性：不是周期函数。
对称性：无。
最值：无。
零点：x=1注意：负数和0没有对数。
注意：如何记忆？底真同对数正,底真异对数负。
对数函数与其他函数与反函数之间图像关系相同，对数函数和指数函数的图像关于直线对称。
导数的运算法则：减法法则：f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x）加法法则：f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)乘法法则：f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)除法法则：g(x)/f(x))'=(g'(x)f(x)-f'(x)g(x))/(f(x))^2。
对数求导法
求函数导数的方法
01 定义
03 适用性 05 应用举例
目录
02 原理 04 求导举例
对数求导法是一种求函数导数的方法。 取对数的运算可将幂函数、指数函数及幂指函数运算降格成为乘法运算，可将乘法运算或除法运算降格为加 法或减法运算，使求导运算计算量大为减少。 对数求导法应用相当广泛。
定义
求导举例
（1）设，求。 解取对数得，求导得，所以。 （2）设，求。 解取对数得， 求导得， 所以。 （3）设函数由方程所确定，且已知，求。 解方程两边对求导，得，，，求得 将代入得。 注这里由于整体上是个减法，所以先取对数没有用。如果写为，那是错的，对数没有这样的运算性质。
应用举例
求函数在区间上的最小值，函数在区间上的最大值 。 解和在区间上连续且可导， （1）取对数得，求导得，所以， 函数在区间上的最小值为 （2）取对数得，求导得，所以， 函数在区间上的最大值为。
对求导的函数其两边先取对数，再同求导，就得到求导结果。这里需要补充说明，(ln f(x))'=f'(x)/f(x)。 因为，ln(x)的导数是1/x。
这种求导方法就称为取对数求导法 。简称对数求导法。
原理
对数求导法的原理就是 （1）换底，即； （2）复合式、商的形式、根式、幂的形式、指数形式或幂指函数形式的情况，求导时比较适用对数求导 法，这是因为：取对数可将乘法运算或除法运算降格为加法或减法运算，取对数的运算可将根式、幂函数、指数 函数及幂指函数运算降格成为乘除运算。
谢谢观看
对数求导基本公式
对数求导基本公式好的，以下是为您生成的关于“对数求导基本公式”的文章：在数学的奇妙世界里，对数求导可是个相当有趣又实用的工具。
就像我们在探险时手里的一把锋利宝剑，能帮我们轻松地解决很多复杂的问题。
先来说说对数求导的基本公式吧。
对于一个函数 y = f(x)，如果我们对它取自然对数，也就是 ln y = ln f(x) ，然后对等式两边求导，就会得到：(1/y) * y' = f'(x) / f(x) 。
最后再把 y 乘过去，就能得到 y' = y * [f'(x) / f(x)] 。
这看起来有点复杂，对吧？但别担心，咱们通过实际的例子来看看它到底怎么用。
还记得我之前教过的一个学生小明吗？有一次，我们在课堂上遇到了一个求导的难题：求函数 y = x^x 的导数。
这可把好多同学都难住了。
这时候，对数求导法就派上用场啦！我们先对等式两边取自然对数，得到 ln y = x ln x 。
然后对等式两边求导，左边是 (1/y) * y' ，右边是 1 * ln x + x * (1/x) ，也就是 ln x + 1 。
整理一下，就得到 (1/y) * y' = ln x + 1 。
最后把 y 乘过去，因为 y = x^x ，所以 y' = x^x * (ln x + 1) 。
小明一开始怎么都搞不明白，皱着眉头苦思冥想。
我就一步一步地给他讲解，让他自己动手算，终于，他的眼睛亮了起来，兴奋地说：“老师，我懂啦！”看着他那开心的样子，我心里也充满了成就感。
其实啊，对数求导法在很多函数求导中都能大显身手。
比如一些复杂的幂指函数、乘积形式的函数等等。
再比如说，求函数 y = (x + 1)^(x - 1) * (x - 2)^(x + 2) 的导数。
这看起来是不是超级复杂？但是别怕，咱们还是老办法，先取对数：ln y = (x - 1) ln(x + 1) + (x + 2) ln(x - 2) 。
对数求导法探析-V1
对数求导法探析-V1对数求导法是微积分中常用的一种求导方法，它常常被用于计算含有指数和对数函数的复杂表达式的导数。
在本篇文章中，我们将对对数求导法进行探析，从而更加深入地理解该方法的本质。
一、对数的定义和性质在进入对数求导法的具体讲解之前，我们需要首先了解对数的基本定义和性质。
对数的定义为：对于任意正数a和正数b，若满足b = a^x，则x称为以a为底b的对数，记作loga(b)。
对数中最常见的底数是e和10，其中以e为底的对数称为自然对数，记作ln。
对数有以下几个常用性质：（1）对数的底数必须是一个正实数且不等于1；（2）loga(MN) = loga(M) + loga(N)；（3）loga(M/N) =loga(M) - loga(N)；（4）loga(M^p) = ploga(M)；（5）loga(1) = 0；（6）loga(a) = 1。
这些性质是在后续的计算中必须掌握和灵活使用的基本工具。
二、对数求导法的基本思路在求导中，我们经常会遇到含有指数和对数函数的复杂表达式，例如y = e^(2x+3) * ln(sin(x))。
此时，我们往往需要运用一些特殊的求导法则来对其进行求导。
对数求导法便是其中一种常用的方法。
对数求导法的基本思路是将含有指数和对数函数的表达式化为对数函数的形式，然后再利用导数的链式法则来求出其导数。
具体地，假设我们需要对函数y = f(g(x))进行求导，其中g(x)为一个含有指数和对数函数的表达式，则我们可以将g(x)表示为h(x)的形式，即g(x) =loga(h(x))。
然后，我们可以运用链式法则来计算y的导数，即：dy/dx = f'(g(x)) * g'(x) = f'(loga(h(x))) * (d/dx)[loga(h(x))](d/dx)[loga(h(x))]可以通过对数的性质和导数的链式法则来进行计算。
具体来说，我们可以有以下公式：(d/dx)[loga(h(x))] = (1/ln(a)) * (d/dx)[ln(h(x))] = (1/ln(a))* (h'(x)/h(x))其中，h'(x)/h(x)是对数函数ln(h(x))的导数。
4.对数求导法 参数方程的求导法则
例4.设y ( x 2 1)sin x , 求y.
解: ln y sin x ln( x 2 1),
d d (ln y ) [sin x ln( x 2 1)], dx dx
1 2x 2 y cos x ln( x 1) sin x 2 , y x 1
dy t dy . d t dx ( t 1 )( 1 cos y ) dx dt
2 t x cos y 0 d y 例8.设 ,求 2 . x dx x te 1 0
解:
因为 x 和 y 都是关于 t 的可微函数, 则
dx dy 1 sin y 0 dt dt dx e x te x dx 0 dt dt
2.1.12 参数方程确定函数的导数
分段函数的求导法 内容小结 课堂思考与练习
一、对数求导法
方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的
求导方法求出导数.
适用范围: 多个函数相乘和幂指函 数 u( x )
v( x )
v( x)
的情形.
dy 设 y u( x ) , 求 . dx 解: 首先, 两边取对数 ln y v( x ) ln u( x ),
高等数学A
第2章 一元函数微分学
2.1 导数及微分
2.1.11 对数求导法 2.1.12 参数方程所确定的函数的导数
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
2.1 导数及微分
对数求导法
2.1.11 对数求导法
对数求导法习例1-5 参数方程确定函 数的导数 参数方程确定函数 的导数习例6-9
导 数 及 微 分
例2.设 y x sin x ( x 0), 求y.
第二章 4节 隐函数与对数求导
dy dy dy dt dy 1 ( t ) dy dt dx dt dx dt dx ( t ) 即 dx dx dt dt
10
故，若参数方程 关系, 可导, 且
可确定一个 y 与 x 之间的函数
则
d y d y d t d y 1 (t ) dx d t dx d t dx (t ) dt (t ) 0 时, 有 dx dx d t dx 1 (t ) d y d t d y d t d y (t ) d t (此时看成 x 是 y 的函数 )
又
x 1时y 1. 因此 y x1 1
21
例5.
x y 1, 求 y
2 2
解: 2 x 2 y y 0 x y y
(1)
y ( x ) xy xy 2
y y
x y x( ) 2 2 y x y பைடு நூலகம்1 3 3 2 y y y
16
机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以
100 m／min 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?
500 提示: tan x 对 t 求导
2
500
x d 500 dx sec 2 dt x dt dx d 100 m min , x 500 m , 求 . 已知 dt dt
相应的点处的切线方程.
2 a 2b 相应的点为: M , 2 2
dy ( b sin t ) b cos t b b dy cot t , k a dx ( a cos t ) a sin t a dx t
对数求导法例题详解
对数求导法例题详解
求对数求导法例题详解
求对数求导法是一种求函数导数的方法，也叫换元法、变量法或算术变换法，它要求将函数表达式中的变量换成其对数，而变量乘法式换成多项式，用它来求导可将一些复杂的函数转化为求导可提供的表达式，从而实现求导的目的。
以求导y=Ax^n（A、n为常数）为例，这时我们将变量x换成其自然对数，令y=Ae^(nlnx)，求对变量x的导数，有：
$$\frac {dy}{dx}=Ane^{nlnx}·\frac {1}{x}=Anx^{n-1}$$
可见，用求对数求导法求出的函数导数与原式一致。
再以一元二次函数
y=ax^2+bx+c求导为例，我们一般写作：
$$\frac {dy}{dx}=2ax+b$$
用求对数求导法求导，将变量x换为x=e^lambda，则y=ae^{2λ}+be^λ+c，接着求对λ的导数：
$$\frac {dy}{dλ}=2ae^{2λ}+be^λ$$
将λ换回x，由e^λ=x得
$$\frac {dy}{dx}=2ax+b$$
可见，用求对数求导法求出来的函数导数结果同样正确。
以上就是关于求对数求导法的详细说明，使用求对数求导法求函数导数可以大大简化过程，获得函数导数的正确结果，帮助我们更好地理解函数特征。
对数函数求导
对数函数求导在数学中，对数函数是常见的一种函数类型。
当需要求解这种函数导数时，需要用到一些特定的技巧和公式。
在本文中，我们将介绍如何对对数函数进行求导，以及一些相关的应用和例子。
一、对数函数的定义和性质对数函数是一种常见的函数类型，通常用符号“log”表示。
对于一个正实数x，我们用log(x)表示以e为底数的x的对数，即：log(x) = ln(x)其中，e是一个自然常数，约等于2.71828。
对数函数具有以下一些基本性质：•对于任意的正实数a和b，有以下三个基本公式：①log(ab) = log(a) + log(b)②log(a/b) = log(a) - log(b)③log(a^b) = b log(a)•对于任意的正实数a，有以下两个特殊公式：④log(1) = 0⑤log(e) = 1这些基本公式和性质是对数函数求导的基础。
二、对数函数求导的公式对于对数函数log(x)，我们可以通过求导公式来计算其导数。
具体来说，我们可以使用以下公式：d/dx log(x) = 1/x这个公式表示对数函数的导数等于其自变量的倒数。
因此，如果我们要求解log(x)在某个点x=a的导数，那么可以将x=a代入公式中，即：d/dx log(x) |x=a = 1/a有了这个公式，我们就可以在实际问题中应用对数函数的导数了。
三、对数函数求导的应用举例1. 如何求解指数函数的导数？指数函数是另一种常见的函数类型，通常用符号“exp”表示。
对于一个实数x，我们用exp(x)表示e的x次幂，即：exp(x) = e^x我们可以使用对数函数求导公式来计算指数函数的导数。
具体来说，我们可以使用以下公式：d/dx exp(x) = exp(x)这个公式表示指数函数的导数等于函数本身。
我们可以使用对数函数的性质③来证明这个公式。
假设y=exp(x)，那么我们可以写出：log(y) = x对两边求导，得到：1/y * dy/dx = 1因此，dy/dx = y = exp(x)，从而得到了指数函数的导数公式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
即
f ( x) 为 型不定式，结论也成立。 g ( x)
0
lim 将条件（2）改为 x x
f ( x) lim g ( x)
x x0
型不定式：通分
0
a, b
• 推论 2 如果函数 f ( x)、g ( x)在开区间
a, b 内恒有 f ( x) g ( x) ，则在开区间 a, b 内 f ( x)、g ( x) 相差一个常数，即
f ( x) g ( x) C ，其中 C 为常数。
• 定理3（柯西（Cauchy）中值定理）
( x)在闭区间 a, b 上连续，在开 区间 a , b 内可导 。则在 a , b 内至少存在一点
如果函数 f
，使得
f (b) f (a) f ( ) 。 ba
• 推论 1 如果函数 f
( x)在开区间 a, b
内的导数恒为零，则函数在开区间 内为常函数。
第三节 高阶导数 第四节 导数的应用
一 中值定理 洛必达法则
• 定理1（罗尔（Rolle）中值定理）
如果函数 f
区间
( x)在闭区间 a, b 上连续，在开
a, b 内可导，且 f (a) f (b) 。则在 a, b 内至少存在一点 ，使得f ( ) 0。
• 定理2（拉格朗日（Lagrange）中值定理）
五、对数求导法
• 例3 求指数函数 y 的导数。 例4 求幂函数 y
a ， 0, a 1) (a
x
x
a
的导数
x 0
( x 1)( x 2) 的导数 例5 求函数 y ( x 3)( x 4)
例6 求函数 同理可得
y arcsin x 的导数 1 (arccos x) 2 1 x 1 (arctan x) 2 1 x 1 (arc cot x) 2 1 x
0
ห้องสมุดไป่ตู้
e 1 例7 求lim 。 x 0 3x
2x
在使用洛必达法则时，应注意以下几点： （1）洛必达法则的条件是充分条件，而不是必 要条件。
x sin x 例如 lim x x
（2） 洛必达法则可重复使用至非不定式为止。 （3）洛必达法则经常配合其它求极限的方法一起 使用。 （4）洛必达法则有时会失效。
f ( x)、g ( x) 满足以下条件：
（1）在点 0的某个邻域（点 ，可除外） 0 ； 内可导，且 g ( x) 0
x
x
（） 2 lim f ( x) lim g ( x) 0； x x0 x x0 f ( x) （） 3 lim 存在。 x x0 g ( x )
f ( x) f ( x) f ( x) 。 lim 则 lim 存在，且 lim x x0 g ( x ) x x g ( x) x x0 g ( x )
0
0
型不定式：转化
0 或 0 0 或 0
型； 型；
型不定式
先取对数 型不定式 型不定式
1
0
再转化
0 或 型。 0
0 型，
( x)、g( 在闭区间 a, b x) 上连续，在开区间 a , b 内可导 ，且 g ( x) 0
如果函数 f
。则在开区间
a, b 内至少存在一点 ，使得
f ( ) f (b) f (a) 。 g ( ) g (b) g (a)
• 洛必达（L’Hospital）法则 如果函数