归结法是构造证明法
数理逻辑之等值式
等值式的分类
总结词
等值式可以根据不同的标准进行分类。
Hale Waihona Puke 详细描述根据涉及的命题的数量，可以分为一元、二元和多元等值式。根据逻辑运算符 的类型，可以分为简单等值式和复合等值式。根据真值表的特点，可以分为重 写规则和双条件语句等。
02
等值式的推理规则
引入规则
前提引入
在推理过程中，如果前提是等值式， 则可以直接将其引入到推理过程中。
在代数中的应用
等值式在代数中主要用于简化复杂的数学表达式，通过等价变换，将复杂的表达式转化为更易于处理 的形式。
等值式在解决代数方程时也发挥了重要作用，通过等价代换，可以将方程中的复杂项替换为简单项，简 化解题过程。
在证明代数恒等式时，等值式也发挥了关键作用，通过等价变换，可以将复杂的恒等式转化为易于证明 的形式。
总结词
等值式在人工智能领域的知识表示与推 理中具有重要应用价值。通过等值替换 和推理，可以构建更加准确和高效的知 识表示和推理系统。
VS
详细描述
在人工智能领域，知识表示与推理是关键 技术之一。等值式可以用于构建更加准确 和高效的知识表示和推理系统。例如，在 自然语言处理领域，利用等值式可以将复 杂的语义关系转化为简单的等价关系，从 而提高自然语言处理的准确性和效率。
详细描述
直接证明法是一种基础的证明方法，它基于 等值式的定义和已知条件，逐步推导出等值 式两边的等价关系。这种方法需要清晰地理 解等值式的含义和逻辑关系，并能够根据已 知条件逐步推导。
反证法
总结词
通过假设等值式不成立，然后推导出矛盾，从而证明等值式成立。
详细描述
反证法是一种常用的证明方法，它通过假设等值式不成立，然后推导出矛盾，从而证明 等值式成立。这种方法的关键在于找到合适的矛盾，并能够通过逻辑推理排除假设的不
命题逻辑推理理论
9
4.2.2 自然推理系统P
自然推理系统P由下述3部分组成: 1. 字母表 (1) 命题变项符号: p,q,r,…, pi,qi,ri,… (2) 联结词: , , , , (3) 括号与逗号: ( ), , 2. 合式公式 3. 推理规则 (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则：将结论作为后继证明前提 (3) 置换规则：子公式用与之等值的公式置换
26
归结证明法(续)
在自然推理系统P中只需下述推理规则（P70-71）: (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则 (4) 化简规则
(5) 合取引入规则
(6) 归结规则
27
归结证明法的基本步骤
1. 将每一个前提化成等值的合取范式, 设所有合取范式的 全部简单析取式为A1, A2,…, At 2. 将结论化成等值的合取范式B1B2…Bs, 其中每个Bj 是简单析取式 3. 以A1,A2,…,At为前提, 使用归结规则推出每一个Bj, 1js
r:我有课， 前提: (pq)r, s:我备课
r s,
s 结论: pq
15
实例(续)
前提: (pq)r, rs, s 结论: pq 证明 ① r s 前提引入 ② s 前提引入 ③ r ①②拒取式 ④ (pq)r 前提引入 ⑤ (pq) ③④拒取式 ⑥ pq ⑤置换 结论有效, 即明天不是星期一和星期三
23
实例
例5 构造下面推理的证明
前提: (pq)r, rs, s, p
结论: q 证明 用归缪法
①q 结论否定引入 ② r s 前提引入 ③ s 前提引入 ④ r ②③拒取式 ⑤ (pq)r 前提引入 ⑥ (pq) ④⑤析取三段论 ⑦ pq ⑥置换 ⑧ p ①⑦析取三段论 ⑨p 前提引入 ⑩ pp ⑧⑨合取 推理正确, q是有效结论
离散数学命题逻辑推理理论
构造性二难
(A®B)Ù(ØA®B) Þ B
构造性二难(特殊形式)
(A®B)Ù(C®D)Ù( ØBÚØD) Þ (ØAÚØC) 破坏性二难
自然推理系统P
自然推理系统P由下述3部分组成:
1、 字母表
命题变项符号: p,q,r,…,
pi,qi,ri,…
联结词:
,
,
,
,
括号与逗号: ( ), , 2、 合式
明天就是5号、 解 设 p: 今天就是1号, q: 明天就是5号 推理得形式结构为 (p®q)Ùp®q 证明 用等值演算法
(p®q)Ùp®q Û Ø((ØpÚq)Ùp)Úq Û ((pÙØq)ÚØp)Úq Û ØpÚØqÚq Û 1
得证推理正确
实例( 续 )
(2) 若今天天冷,小王就穿羽绒服。小王就穿羽绒服。 所以, 今天天冷。
r:我有课,
s:我备课
前提: (pÚq)®r, r®s, Øs
结论: ØpÙØq
实例( 续 )
前提: (pÚq)®r, r®s, Øs
结论: ØpÙØq
证明 ① r®s ② Øs ③ Ør ④ (pÚq)®r
前提引入 前提引入 ①②拒取式 前提引入
Ø(pÚq)
③④拒取式
⑥ ØpÙØq
置换
结论有效, 即明天不就是星期一与星期三
公式
3. 推理规则
前提引入规则
结论引入规则
置换规则
自然推理系统P(续)
(4) 假言推理规则 A®B A
\B (5) 附加规则
A \AÚB (6) 化简规则
AÙB \A
(7) 拒取式规则 A®B ØB
\ØA (8) 假言三段论规则
A®B B®C
演绎推理的证明理论逻辑学教案
演绎推理的证明理论逻辑学教案引言：逻辑学是研究思维和推理规律的一门学科，其中证明理论是逻辑学的重要分支之一。
本教案旨在介绍演绎推理的证明理论，让学生了解并掌握相关概念和方法，从而提高他们的逻辑思维和论证能力。
一、演绎推理的基本概念演绎推理是一种基于前提和规则，通过推理步骤得出结论的形式化推理方法。
在演绎推理中，我们根据逻辑规则对已有的事实或前提进行逻辑连接，以获得新的结论。
二、命题逻辑的证明理论1. 命题逻辑的基本概念命题逻辑是逻辑学中的一种形式化逻辑，它通过对整个推理过程进行符号化表示，研究命题之间的逻辑关系。
2. 归结法归结法是命题逻辑中一种重要的证明方法，它通过迭代应用归结规则，不断简化待证明命题，直到得到不可再简化的命题。
3. 反证法反证法是一种常用的证明方法，它通过假设待证明命题的否定成立，然后推导得出一个矛盾结论，以此证明原命题成立。
三、一阶逻辑的证明理论1. 一阶逻辑的基本概念一阶逻辑是命题逻辑的拓展，它不仅考虑命题之间的逻辑关系，还引入了个体常量、谓词、量词等符号，以便对具体对象和关系进行表达和分析。
2. 归结演算归结演算是一阶逻辑中一种基于归结规则的推理方法，通过对子句集合进行变换和化简，来实现证明过程。
3. 自然演绎系统自然演绎系统是一阶逻辑中一种自然语言形式的推理系统，它通过引入推导规则和谓词逻辑公式，来进行推理和证明。
四、演绎推理的应用演绎推理是逻辑学的核心概念之一，在数学、哲学、计算机科学等领域均有广泛应用。
1. 数学证明在数学中，演绎推理是证明定理和推导结论的主要方法，通过逻辑严谨的推理过程，来确保数学理论的准确性和可靠性。
2. 计算机编程在计算机科学中，演绎推理被广泛应用于人工智能、自动推理系统等领域，通过形式化的逻辑方法，实现计算机的智能推理和决策能力。
结语：演绎推理的证明理论是逻辑学中的重要内容，掌握相关概念和方法对于提高学生的逻辑思维和论证能力至关重要。
通过本教案的学习，相信学生们能够深入理解演绎推理的基本原理，并能够灵活运用于实际问题的解决和论证过程中。
中学数学中常用的七类构造法
1.构造法概述1.1 一个简单例子证明存在两个无理数y x ,，使y x z =是有理数[1]传统证明方法是，假设对于任何两个无理数y x ,，都有y x z =是无理数。
那么就有()22一定是无理数，进而()222⎥⎦⎤⎢⎣⎡也是无理数，而()2)2(2222==⎥⎦⎤⎢⎣⎡是有理数，所以假设不成立 而我们如果令9log ,22==y x ，我们已知2和9log 2都是无理数，此时 32)2(3log 9log 22===y x 是有理数，问题得证。
上面这个问题中我们用到的第二种方法就是中学中常用的构造法。
1.2构造法的发展历史到底什么是构造法呢？构造法就是按照固定方式，经过有限步骤能够实现的方法。
引用韦尔（H.Weyl ）在《数学的思维方式》一文中的一句话“当数学家们转向抽象时，有一件最为门外汉所不能理解的事情，那就是直觉的图像必须被转化为一种符号构造。
”[2]这表明构造法从数学产生时就已经存在，因为数学发展所必须具备的数学符号就是用来构造对象的。
除此之外，数学最初的定义有很多都是构造性的定义，比如：将线段绕其一个端点在平面内旋转一周，它的另一端点所画出的图形叫圆。
构造法起源于数学之初，但它的发展是在19世纪末。
19世纪末，克罗内克和庞加莱基于数学的可信性，提出了“存在必须是被构造的”观点，创立了早期的直观数学学派。
但是他们把直观数学推崇到极致，反对一切非构造性数学内容，搞得数学复杂难懂。
随后马尔科夫提出算法数学，把一切数学概念归结为一个基本概念——算法的构造性方法。
但是算法数学以递归函数为基础，大部分人同样难以理解。
直到1867年美国数学家比肖泊发表《构造性分析》一书，摆脱了算法数学对递归函数的依赖，宣告现代构造数学的形成。
时至今日，构造法不仅开创了组合数学、计算机科学等新领域，而且在数值分析，拓扑学领域也大有用武之地。
[3]1.3 中学数学需要数学构造法除了高等数学，现在的中学阶段对于构造法也是相当重视的。
数理逻辑中的可满足性与推理算法
数理逻辑中的可满足性与推理算法数理逻辑是一门研究形式系统、推理和证明的学科，它在数学、计算机科学和哲学等领域都有广泛的应用。
在数理逻辑中，可满足性是一个重要的概念，它与推理算法密切相关。
本文将探讨数理逻辑中的可满足性和推理算法的关系。
一、可满足性可满足性（Satisfiability）是指一个命题逻辑公式是否具有满足解。
在数理逻辑中，我们常以字母和运算符来表示不同的命题，并通过逻辑连接诸如合取、析取、否定等来建立命题间的关系。
一组赋值给各个命题变元的真值使整个复合命题为真时，我们称之为该赋值使命题公式满足。
判断一个给定的命题逻辑公式是否可满足是一个重要的问题，它在计算机科学、人工智能等领域有广泛的应用。
许多问题，如自动推理、形式验证等，都可以归约到可满足性问题。
因此，寻找高效的可满足性算法一直是研究的重点。
二、推理算法推理算法是为了从已知事实或前提中推出结论而设计的过程。
在数理逻辑中，推理算法的目标是确定一个命题逻辑公式的可满足性。
为了实现这个目标，数理逻辑中产生了许多经典的推理算法，其中应用最广泛的算法包括真值表、归结法和Davis–Putnam算法等。
1. 真值表真值表是一种通过枚举所有可能的赋值情况来判断一个命题逻辑公式是否可满足的经典方法。
通过逐行填写真值表并计算复合命题的真值，我们可以找到一组使公式为真的赋值。
如果找到了满足解，则公式可满足；反之，则公式不可满足。
真值表的优点在于其简单易懂，但其缺点也十分明显：当命题变元的数量增加时，真值表的大小会呈指数级增长，导致计算量非常大。
因此，在实际应用中，真值表通常用于判断命题逻辑公式的可满足性的小规模问题。
2. 归结法归结法是通过使用逻辑推理规则来进行推理的一种方法，其中最著名的规则就是归结原则。
归结原则说的是：如果两个子句中存在互补的文字，则可以通过将它们合并为一个新的子句来进行推导。
归结法的思想是通过重复地应用归结原则来简化命题逻辑公式，直到得到一个空子句。
离散数学--第二章 命题逻辑的推理理论
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(4)构造证明法 构造证明法 当前提与结论中命题变项较多时，前几种方法 的工作量太大，不方便，而构造证明法较为方 便。构造证明法必须在给定的推理规则下进行。 常用的推理规则有以下11条： (1)前提引入规则：在证明的任何步骤上，都可 以引入前提。 (2)结论引入规则：在证明的任何步骤上，所得 中间结果都可以作为后继证明的前提。 (3)置换规则：在证明的任何步骤上的公式中的 子公式均可用与之等值的公式置换。
离散数学
Discrete Mathematics
Chen Guangxi
School of Mathematics and Computing Science
第二章 命题逻辑的推理理论
目标:
掌握推理形式结构 熟练运用构造推理方法 了解命题逻辑归结证明
学习建议:
与初中平面几何证明进行对比 勤做练习
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(8)假言三段论 ：
A→B B→C ∴A→C
(9)析取三段论规则： A∨ B A∨ B ¬A ¬B 或者 ∴B ∴A
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(10)构造性二难推理规则：
A → B C → D A∨C ∴B∨ D
(11)合取引入规则：
A B ∴A∧ B
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
是重言式类似， 与用 A ⇔ B 表示 A ↔ B是重言式类似，用 A ⇒ B表示A → B 是重言式， 不是联结词 是重言式， ⇒ 符。 推出B的推理正确 的推理正确， 若 A , A ,⋯, A 推出 的推理正确，则记作 ( A1 ∧ A2 ∧ ⋯ ∧ Ak ) ⇒ B 为蕴涵式。 称A⇒B为蕴涵式。 ⇒ 为蕴涵式
命题逻辑推理理论
三、归谬法(反证法)
欲证明 前提：A1, A2, … , Ak 结论：B 将B加入前提, 若推出矛盾, 则得证推理正确. 理由: A1A2…AkB (A1A2…Ak)B (A1A2…AkB) 括号内部为矛盾式当且仅当 (A1A2…AkB)为重言式
4
实例
例1 判断下面推理是否正确: (1) 若今天是1号, 则明天是5号. 今天是1号. 所以, 明天是5号. 解 设 p: 今天是1号, q: 明天是5号 推理的形式结构为 (pq)pq 证明 用等值演算法 (pq)pq ((pq)p)q ((pq)p)q pqq 1 得证推理正确
思考：格式中应包含哪些？ 1) 步骤号 2) 给定前提或得出的结论 3) 推理时所用规则 4) 此结论是从哪几步得到 的及所用公式
14
实例
例3 构造推理的证明: 若明天是星期一或星期三, 我就有 课. 若有课, 今天必需备课. 我今天下午没备课. 所以, 明天 不是星期一和星期三.
解 设 p:明天是星期一, q:明天是星期三，
1. A (AB) 附加律 2. (AB) A 化简律 3. (AB)A B 假言推理 4. (AB)B A 拒取式 5. (AB)B A 析取三段论 6. (AB)(BC) (AC) 假言三段论 7. (AB)(BC) (AC) 等价三段论 8. (AB)(CD)(AC) (BD) 构造性二难 9. (AB)(AB) B 构造性二难(特殊形式) 10. (AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
8
实例(续)
(6)某女子在某日晚归家途中被杀害，据多方调查确证， 凶手必为王某或陈某，但后又查证，作案之晚王某在 工厂值夜班，没有外出，根据上述案情可得 前提： 1.凶手为王某或陈某。 P∨Q 2.如果王某是凶手，则他在作案当晚必外出 P→R 3.王某案发之晚并未外出。 ┐R 结论：陈某是凶手。 Q 则可描述为： (P→R)┐R┐P (拒取式) (P∨Q)┐PQ (析取三段论)
不等式的证明方法
几个简单的证明方法一、比较法：a b>等价于0a b ->；而0a b >>等价于1a b>.即a 与b 的比较转化为与0或1的比较.使用比较发时，关键是要作适当的变形，如因式分解、拆项、加减项、通分等，这是第一章中许多代数不等式的证明及其他各章初等不等式的证明所常用的证明技巧.二、综合法与分析法：综合法是由因导果，即是由已知条件和已知的不等式出发，推导出所要证明的不等式；分析法是执果索因，即是要逐步找出使结论成立的充分条件或者充要条件，最后归结为已知的不等式或已知条件.对于条件简单而结论复杂的不等式，往往要通过分析法或分析法与综合法交替使用来寻找证明的途径.还要注意：第一，要熟悉掌握第一章的基本不等式和后面各章中著名的各种不等式；第二，要善于利用题中的隐含条件；第三，不等式的各种变性技巧.三、反证法：正难则反.设所要证的不等式不成立，从原不等式的结论的反面出发，通过合理的逻辑推理导出矛盾，从而断定所要证的不等式成立.要注意对所有可能的反面结果都要逐一进行讨论.四、放缩法：要证a b <，又已知(或易证)a c <，则只要证c b <，这是利用不等式的传递性，将原不等式里的某些项适当的放大或缩小，或舍去若干项等以达证题目的.放缩法的方法有：①添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1(； ②将分子或分母放大（或缩小）； ③利用基本不等式，如：4lg 16lg15lg )25lg 3lg (5lg 3log 2=<=+<⋅；2)1()1(++<+n n n n ；④利用常用结论：kk k k k 21111<++=-+；kk k k k111)1(112--=-<；111)1(112+-=+>k kk k k（程度大）)1111(21)1)(1(111122+--=+-=-<k k k k kk； （程度小）五、换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元.如：已知222a y x =+，可设θθsin ,cos a y a x ==；已知122≤+y x ，可设θθsin ,cos r y r x ==(10≤≤r )； 已知12222=+b y a x ，可设θθsin ,cos b y a x ==；已知12222=-by ax ，可设θθtan ,sec b y a x ==；六、数学归纳法法：与自然数n 有关的许多不等式，可考虑用数学归纳法证明，数学归纳法法证明不等式在数学归纳法中有专门的研究.但运用数学归纳法时要注意：第一，数学归纳法有多种形式.李大元就证明了下述七种等价的形式：设P(n)是与n 有关的命题，则(1)、设0()P n 成立，且对于任意的0k n >，从()P k 成立可推出(1)P k +成立，则()P n 对所有大于0n 的n 都成立.(2)、设m 是任给的自然数，若(1)P 成立，且从()(1)P k k m ≤<成立可推出(1)P k +成立，则()P n 对所有不超过m的n 都成立.(3)、(反向归纳法)设有无穷多个自然数n (例如2m n =)，使得()P n 成立，且从(1)P k +成立可推出()P k 成立，则()P n 对所有n 成立.(4)、若(1)P 成立，且()P n 对所有满足1n k ≤≤的n 成立可推出(1)P k +成立，则()P n 对所有n 成立.(5)、(最小数原理)自然数集的非空子集中必有一个最小数.(6)、若(1)P ,(2)P 成立，且若()P k ,(1)P k +成立可推出(2)P k +成立，则()P n 对所有n 成立.(7)、(无穷递降法)若()P n 对某个n 成立可推出存在1n n <，使得1()P n 成立，则()P n 对所有n 成立.此外，还有螺旋归纳法(又叫翘翘板归纳法)：设有两个命题()P n ,()Q n ，若(1)P 成立，又从()P k 成立可推出()Q k 成立，并且从()Q k 成立可推出(1)P k +成立，其中k 为任给自然数，则()P n ,()Q n 对所有n 都成立，它可以推广到两个以上的命题.这些形式虽然等价，但在不同情形中使用各有方便之处.在使用它们时，若能注意运用变形和放缩等技巧，往往可收到化难为易的奇效.对于有些不等式与两个独立的自然数m ,n 有关，可考虑用二重数学归纳法，即若要证命题(,)P m n 对所有m ,n 成立，可分两步：①先证(1,)P n ,(,1)P m 对所有m ,n 成立；②设(1,)P m n +,(,1)P m n +成立，证明(1,1)P m n ++也成立. 第二，数学归纳法与其它方法的综合运用，例如，证明11sin 0nk kx k=>∑,(0x π<<)就要综合运用数学归纳法，反证法与极值法；有时可将n 换成连续量x ，用微分法或积分法.第三，并不是所有含n 的不等式都能用数学归纳法证明的.七、构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．笔者将在第三章中详细地介绍构造法.八、利用基本不等式：善于利用已知不等式，特别是基本不等式去发现和证明新的不等式，是广泛应用的基本技巧.这种方法往往要与其它方法结合一起运用.例1 已知b R a ∈，，且b 1a +=. 求证：()()2252222≥+++b a .证法一：(比较法) ,,1a b R a b ∈+=1b a∴=-()()2222259224()22a b a b a b ∴+++-=+++-2222911(1)4222()0222a a a a a =+-+-=-+=-≥即()()2252222≥+++b a (当且仅当21==b a 时，取等号).证法二：(分析法)()()2258)(4225222222≥++++⇐≥+++b a b a B a⎪⎩⎪⎨⎧≥-⇐≥++-+-=⇐0)21(22584)1(1222a a a a b 显然成立，所以原不等式成立.点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件.证法三：(综合法)由上分析法逆推获证(略).证法四：(反证法)假设225)2()2(22<+++b a ，则 2258)(422<++++b a b a .由b 1a +=，得a b -=1，于是有22512)1(22<+-+a a .所以0)21(2<-a ，这与0212≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 矛盾.所以()()2252222≥+++b a .证法五：(放缩法)∵1a b +=∴左边＝()()()()222222222a b a b +++⎡⎤+++≥⎢⎥⎣⎦()2125422a b =++=⎡⎤⎣⎦＝右边.点评：根据不等式左边是平方和及b 1a +=这个特点，选用基本不等式22222a b a b +⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭.证法六：(均值换元法)∵1a b +=，所以可设ta +=21，t b -=21， ∴左边＝()()22221122(2)(2)22a b t t +++=+++-+22255252522222t t t ⎛⎫⎛⎫=++-=+≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝右边. 当且仅当t 0=时，等号成立.点评：形如b 1a +=结构式的条件，一般可以采用均值换元.证法七：(利用一元二次方程根的判别式法)设()()22y 2b 2a =+++，由b 1a +=，有1322)3()2(222+-=-++=a a a a y ， 所以013222=-+-y a a ，因为R a ∈，所以0)13(244≥-⋅⋅-=∆y ，即225≥y .故()()2252222≥+++b a .下面，笔者将运用数学归纳法证明第一章中的AG 不等式.在证明之前，笔者先来证明一个引理.引理：设A 0≥，B 0≥，则()-1++()n n n A B A nA B ≥，其中n N +∈. 证明：由二项式定理可知-0(1)()+=+nnn n i i n i A B A nA B A B -=≥∑∴()-1++()n n n A B A nAB≥。
第四章 归结法原理
• • • •
x(R(x) Q(x))， x(R(x) Q(x))， R(b) Q(b) {R(b), Q(b)}
计算机学院
计算机学院
21 21
(4) 构造子句集S= SA∪SB∪SC (5) 构造以下反驳： • C1 = P(c) • C2 = R(x) S(c, x) • C3 = P(y) Q(z) S(y, z) • C4 = R(b), • C5 = Q(b) • C6= Q(z) S(c, z) C1, C3 ├res C6 计算机学院 • C7= S(c, b) C2, C4 ├res C7 • C8= Q(b) C6, C7 ├res C8 • C9= □ C5, C8 ├res □ 证毕。
归结子句不唯一
计算机学院 1Leabharlann 10反驳 定义：设S是子句集合，如果子句序列C1, …, Cn满足
如下条件，则称子句序列C1,…,Cn为子句集合S的一
个反驳。 (1) 对于每个1≤k<n， • CkS，或者 • Ck是Ci和Cj的归结子句，i<k，j<k。
(2) Cn是□。
计算机学院
计算机学院
计算机学院
计算机学院
5 5
定义
子句集：子句的有限集合称为子句集.
• 子句集{{P1,1, …, P1,m}, … , {Pn,1, …, Pn,m}}，
表示公式(P1,1 … P1,m) … (Pn,1 … Pn,m)的 闭包 • 子句集合{{P(x), Q(y)}, {P(c),计算机学院 Q(z)}}表示Skolem 范式xyz((P(x)Q(y)) (P(c) Q(z)))
• yz(P(y) R(z) L(y,z)) • {P(y) R(z) L(y,z)}
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归结法是构造证明法
归结法是一种常用的构造证明法，它通过逻辑推理和归纳思维，将待
证明的命题转化为一系列子命题，并通过证明这些子命题的真假来推
导出原命题的真假。
归结法在数学、逻辑学和人工智能等领域都有广
泛的应用。
一、归结法的基本原理
归结法基于以下两个基本原理：
1. 反证法：假设待证明的命题为假，然后通过逻辑推理得出矛盾，从
而推导出该命题为真。
2. 归纳思维：将待证明的命题分解为一系列子命题，并逐个证明这些
子命题，最终得到原命题的证明。
二、归结法的步骤
归结法通常包括以下步骤：
1. 将待证明的命题转化为合取范式（Conjunctive Normal Form, CNF）或析取范式（Disjunctive Normal Form, DNF）。
这样可以将复杂的逻辑表达式转化为简单的合取或析取形式，方便进行后续操作。
2. 对于合取范式，使用反演律将其转化为析取范式；对于析取范式，
使用德摩根定律将其转化为合取范式。
这样可以将待证明的命题转化
为一系列子命题的析取或合取形式。
3. 对于每个子命题，进行归结操作。
归结操作通过将两个子命题进行
归结，得到一个新的子命题。
归结操作的规则包括反演、消解、合一
等。
4. 重复进行归结操作，直到得到一个空子句（empty clause），即一个不包含任何文字的子句。
如果能够得到空子句，则原命题为真；如果无法得到空子句，则原命题为假。
三、归结法的应用举例
以下是一个简单的例子来说明归结法的应用：
假设有以下两个前提：
1. 所有人都是动物。
2. 所有猫都是动物。
我们要证明的命题是：所有猫都是人。
将前提转化为合取范式：
1. (¬人(x) ∨ 动物(x))
2. (¬猫(x) ∨ 动物(x))
使用反演律将合取范式转化为析取范式：
1. (¬人(x) ∨ 动物(x))
2. (¬猫(x) ∨ 动物(x))
接下来，我们进行归结操作。
根据第1个前提和第2个前提中的第2个子句，我们可以得到一个新的子命题：
3. ¬人(x) ∨ 动物(x)
我们再次进行归结操作。
根据第2个前提中的第1个子句和第3个子命题，我们可以得到一个空子句：
4. 动物(x)
由于得到了空子句，我们可以推断出原命题为真：所有猫都是人。
四、归结法的优缺点
归结法作为一种构造证明法具有以下优点：
1. 可自动化：归结法可以通过计算机程序来实现自动化证明，减少人
工推理的复杂性。
2. 适用范围广：归结法不仅适用于数学领域的证明，还适用于逻辑学、人工智能等领域。
3. 简单直观：相对于其他复杂的证明方法，归结法具有简单直观的特点。
然而，归结法也存在一些缺点：
1. 需要转化为合取范式或析取范式：在应用归结法之前，需要将待证
明的命题转化为合取范式或析取范式，这可能会增加一定的复杂性。
2. 可能存在无穷逻辑回溯：在某些情况下，归结法可能会陷入无穷逻
辑回溯的情况，导致无法得出结论。
3. 对于复杂问题的效率较低：对于一些复杂的问题，归结法可能需要
大量的计算和推理步骤，导致效率较低。
归结法作为一种常用的构造证明法，在数学、逻辑学和人工智能等领
域都有广泛的应用。
通过逻辑推理和归纳思维，将待证明的命题转化
为一系列子命题，并通过证明这些子命题的真假来推导出原命题的真假。
虽然归结法具有一定的优点和缺点，但在合适的应用场景下，它
仍然是一种有效且简单直观的证明方法。