2022年湖北武汉中考数学试卷

2022年湖北武汉中考数学试卷1.（2022·真题）实数2022的相反数是( )A．2022B．−2022C．12022D．−120222.（2022·真题）式子√x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )A．x≥0B．x≥−1C．x≥1D．x≤13.（2022·真题）不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是()A．3个球都是黑球B．3个球都是白球C．3个球中有黑球D．3个球中有白球4.（2022·真题）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列美术字是轴对称图形的是( )A．B．C．D．5.（2022·真题）如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的左视图是( )A．B．C．D．6.（2022·真题）“漏壶”是一种中国古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内璧有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间，用x表示漏水时间，y 表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示 y 与 x 的对应关系的是 ( )A ．B ．C ．D ．7. （2022·真题）从 1，2，3，4 四个数中随机选取两个不同的数，分别记为 a ，c ，则关于 x 的一元二次方程 ax 2+4x +c =0 有实数解的概率是 ( )A ． 14B ． 13C ． 12D ． 238. （2022·真题）已知反比例函数 y =k x 的图象分别位于第二、第四象限，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2) 两点在该图象上．下列命题：①过点 A 作 AC ⊥x 轴，C 为垂足，连接 OA ．若 △ACO 的面积是 3，则 k =−6；②若 x 1<0<x 2，则 y 1>y 2；③若 x 1+x 2=0，则 y 1+y 2=0．其中真命题个数是 ( )A ． 0B ． 1C ． 2D ． 39. （2022·真题）如图，AB 是 ⊙O 的直径，M ，N 是 AB⏜（异于 A ，B ）上两点，C 是 MN ⏜ 上一动点，∠ACB 的平分线交 ⊙O 于点 D ，∠BAC 的平分线交 CD 于点 E ．当点 C 从点 M 运动到点 N 时，则 C ，E 两点的运动路径长的比是 ( )A ． √2B ． π2C ． 32D ． √5210. （2022·真题）观察等式：2+22=23−2；2+22+23=24−2；2+22+23+24=25−2；⋯．已知按一定规律排列的一组数：250，251，252，⋯，299，2100．若 250=a ，用含 a 的式子表示这组数的和是 ( )A ． 2a 2−2aB ． 2a 2−2a −2C ． 2a 2−aD ． 2a 2+a11.（2022·真题）计算√16的结果是．12.（2022·真题）武汉市某气象观测点记录了5天的平均气温（单位：∘C），分别是25，20，18，23，27，这组数据的中位数是．13.（2022·真题）计算2aa2−16−1a−4的结果是．14.（2022·真题）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，AE=EF=CD，∠ADF=90∘，∠BCD=63∘，则∠ADE的大小是．15.（2022·真题）抛物线y=ax2+bx+c经过A(−3,0)，B(4,0)两点，则关于x的一元二次方程a(x−1)2+c=b−bx的解是．16.（2022·真题）请回答下列各题：（1）问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60∘得到△ADE，DE与BC交于点P可推出结论：PA+PC=PE．（2）问题解决：如图2，在△MNG中，MN=6，∠M=75∘，MG=4√2．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是．17.（2022·真题）计算：(2x2)3−x2⋅x4．18.（2022·真题）如图，点A，B，C，D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A=∠1，CE∥DF．求证：∠E=∠F．19.（2022·真题）为弘扬中华传统文化，某校开展“汉剧进课堂”的活动．该校随机抽取部分学生，按四个类别：A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，调查他们对汉剧的喜爱情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题．(1) 这次共抽取名学生进行调查统计，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小是．(2) 将条形统计图补充完整．(3) 该校共有1500名学生，估计该校表示“喜欢”的B类的学生大约有多少人？20.（2022·真题）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的顶点在格点上，点E是边DC与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．(1) 如图1，过点A画线段AF，使AF∥DC，且AF=DC．(2) 如图1，在边AB上画一点G，使∠AGD=∠BGC．(3) 如图2，过点E画线段EM，使EM∥AB，且EM=AB．21.（2022·真题）已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM，BN于D，C两点．(1) 如图1，求证：AB2=4AD⋅BC．(2) 如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE=2∠OFC，AD=1，求图中阴影部分的面积．22.（2022·真题）某商店销售一种商品，经市场调查发现，该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价，周销售量，周销售利润w（元）的三组对应值如下表：售价x(元/件)506080注：周销售利润=周销售量×（售价−进价）周销售量y(件)1008040周销售利润w(元)100016001600(1) ① 求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；②该商品进价是元/件；当售价是元/件时，周销售利润最大，最大利润是元．(2) 由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m>0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值．=n，M是BC边上一点，连接23.（2022·湖北武汉市·真题）在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，ABBCAM．(1) 如图1，若n=1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直．求证：BM=BN．(2) 过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q．①如图2，若n=1，求证：CPPQ =BMBQ．②如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值（用含n的式子表示）．24.（2022·真题）已知抛物线C1:y=(x−1)2−4和C2:y=x2．(1) 如何将抛物线C1平移得到抛物线C2(2) 如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线y=−43x+b过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ．①若AP=AQ，求点P的横坐标．②若PA=PQ，直接写出点P的横坐标．(3) 如图2，△MNE的顶点M，N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME，NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME，NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M，N两点的横坐标分别为m，n，求m与n的数量关系．答案1. 【答案】B【解析】B选项符合相反数的定义．【知识点】相反数的定义2. 【答案】C【解析】要使√x−1有意义，∴x−1≥0，x≥1．【知识点】二次根式有意义的条件3. 【答案】B【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．【解析】解：A、3个球都是黑球是随机事件；B、3个球都是白球是不可能事件；C、3个球中有黑球是必然事件；D、3个球中有白球是随机事件；故选：B．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．【知识点】事件的分类4. 【答案】D【解析】根据轴对称图形的概念，能找到一条直线，沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，如图所示．【知识点】轴对称图形5. 【答案】A【解析】从左面看易得下面一层有2个正方形，上面一层左边有1个正方形，如图所示：故选A．【知识点】由立体图形到视图6. 【答案】A【解析】∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，t表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，∴随t的增大而减小，符合一次函数图象【知识点】其他实际问题7. 【答案】C【解析】画树状图得：由树形图可知：一共有12种等可能的结果，其中使ac≤4的有6种结果，．故选C∴关于x的一元二次方程ax2+4x+c=0有实数解的概率为12【知识点】树状图法求概率8. 【答案】D【解析】①过点A作AC⊥x轴，C为垂足，连接OA．∵△ACO的面积为3，∴∣k∣=6，的图象分别位于第二、第四象限，∵反比例函数y=kx∴k<0，∴k=−6，正确，是真命题；② ∵反比例函数y=k的图象分别位于第二、第四象限，x∴在所在的毎一个象限y随着x的增大而增大，若x1<0<x2，则y1>0>y2，正确，是真命题；③当A，B两点关于原点对称时，x1+x2=0，则y1+y2=0，正确，是真命题，真命题有3个．【知识点】k对反比例函数的图象及性质的影响、命题的真假9. 【答案】A【解析】方法一：如图，连接EB．设OA=r．∵AB 是直径，∴∠ACB =90∘，∵E 是 △ACB 的内心，∴∠AEB =135∘，∵∠ACD =∠BCD ，∴AD =DB ，∴AD⏜=DB ⏜， ∴∠ADB =90∘，易知点 E 在以 D 为圆心 DA 为半径的圆上，运动轨迹是 GF⏜，点 C 的运动轨迹是 MN ⏜， ∵∠MON =2∠GDF ，设 ∠GDF =α，则 ∠MON =2α，∴MN⏜GF ⏜=2α⋅π⋅r 180α⋅π⋅√2r180=√2．方法二：如图所示，连接 AD ，BD ，∵ 点 E 是 ∠ACB 的平分线与 ∠BAC 的平分线的交点，∴∠ACD =∠BCD ，∠CAE =∠BAE ．∵∠BAD =∠BCD ，∴∠BAD +∠BAE =∠ACD +∠CAE ，即 ∠DAE =∠AED ，∴AD =ED ，∴ 点 E 在以 D 为圆心，以 AD 为半径的圆上．又 ∵AB 是 ⊙O 的直径，CD 是 ∠ACB 的平分线，∴AD =BD ，∴AD =BD ．设 ⊙ 的半径为 r ，∴AD =√2r ，∴ 点 E 的运动路径长是 90π⋅√2r 180=√22πr ． ∵ 点 C 是 MN 上一动点，∴ 点 C 的运动路径长是 πr ，∴C ，E 两点的运动路径长的比是 πr:√22πr =√2:1．【知识点】弧长的计算10. 【答案】C【解析】∵2+22=23−2；2+22+23=24−2；2+22+23+24=25−2；⋯∴2+22+23+⋯+2n=2n+1−2，∴250+251+252+⋯+299+2100=(2+22+23+⋯+2100)−(2+22+23+⋯+249)=(2101−2)−(250−2),∵250=a，∴2101=(250)2⋅2=2a2，∴原式=2a2−a．【知识点】用代数式表示规律11. 【答案】4【解析】√16=4．【知识点】算术平方根的运算12. 【答案】23℃【解析】将数据重新排列为18，20，23，25，27，所以这组数据的中位数为23∘C．【知识点】中位数13. 【答案】1a+4【解析】原式=2a(a+4)(a−4)−a+4(a+4)(a−4) =2a−a+4(a+4)(a−4)=a−4(a+4)(a−4)=1a+4.【知识点】分式的加减14. 【答案】21°【解析】设∠ADE=x，∵AE=EF，∠ADF=90∘，∴∠DAE=∠ADE=x，DE=12AF=AE=EF，∵AE=EF=CD，∴DE=CD，∴∠DCE=∠DEC=2x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠BCA=x，∴∠DCE=∠BCD−∠BCA=63∘−x，∴2x=63∘−x，解得：x=21∘，即∠ADE=21∘．故答案为：21∘．【知识点】平行四边形及其性质15. 【答案】x1=−2，x2=5【解析】方法一：关于x的一元二次方程a(x−1)2+c=b−bx变形为a(x−1)2+b(x−1)+c=0，把抛物线y=ax2+bx+c沿x轴向右平移1个单位得到y=a(x−1)2+b(x−1)+c，∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(−3,0)，B(4,0)，∴抛物线y=a(x−1)2+b(x−1)+c与x轴的两交点坐标为(−2,0)，(5,0)，∴一元二方程a(x−1)2+b(x−1)+c=0的解为x1=−2，x2=5．方法二：∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(−3,0)，B(4,0)两点，∴方程ax2+bx+c=0的两个解分别是x1=−3，x2=4，∴关于x的一元二次方程a(x−1)2+c=b−bx，即a(x−1)2+b(x−1)+c=0中，x−1=−3或x−1=4，∴x1=−2，x2=5．【知识点】二次函数与方程16. 【答案】2√29【解析】（1）如图1，在BC上截取BG=PD，在△ABG和△ADP中，{AB=AD,∠B=∠D, BG=PD,∴△ABG≌△ADP(SAS)，∴AG=AP，BG=DP，∴GC=PE．∵∠GAP=∠BAD=60∘，∴△AGP是等边三角形，∴AP=GP，∴PA+PC=GP+PC=GC=PE，∴PA+PC=PE．（2）如图2：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME，连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F．∵△MGD和△OME是等边三角形，∴OE=OM=ME，∠DMG=∠OME=60∘，MG=MD，∴∠GMO=∠DME，在△GMO和△DME中，{OM=ME,∠GMO=∠DME, MG=MD,∴△GMO≌△DME(SAS)，∴OG=DE，∴NO+GO+MO=DE+OE+NO，∴当D，E，O，M四点共线时，NO+GO+MO值最小，∵∠NMG=75∘，∠GMD=60∘，∴∠NMD=135∘，∴∠DMF=45∘，∵MG=4√2，∴MF=DF=4，∴NF=MN+MF=6+4=10，∴ND=√NF2+DF2=√102+42=2√29，∴MO+NO+GO最小值为2√29．【知识点】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形17. 【答案】(2x2)3−x2⋅x4 =8x6−x6=7x6.【知识点】积的乘方18. 【答案】∵CE∥DF，∴∠ACE=∠D，∵∠A=∠1，∴180∘−∠ACE−∠A=180∘−∠D=∠1，又∵∠E=180∘−∠ACE−∠A，∠F=180∘−∠D−∠1，∴∠E=∠F．【知识点】同位角相等19. 【答案】(1) 50；72∘(2) A类学生：50−23−12−10=5（人），条形统计图补充如下：(3) 该校表示“喜欢”的B类的学生大约有1500×2350=690（人），答：该校表示“喜欢”的B类的学生大约有690人．【解析】(1) 这次共抽取：12÷24%=50（人），D类所对应的扇形圆心角的大小360∘×1050=72∘．【知识点】扇形统计图、用样本估算总体、条形统计图20. 【答案】(1) 如图所示，线段AF即为所求．(2) 如图所示，点G即为所求．(3) 画图如图（2）所示．【知识点】勾股定理、垂直于同一直线的两直线平行、平行线的定义、等腰三角形“三线合一”21. 【答案】(1) 连接OC，OD，如图3所示，∵AM和BN是它的两条切线，∴AM⊥AB，BN⊥AB，∵AM∥BN，∴∠ADE+∠BCE=180∘，∵DC切⊙O于E，∴∠ODE=12∠ADE，∠OCE=12∠BCE，∴∠ODE+∠OCE=90∘，∴∠DOC=90∘，∴∠AOD+∠COB=90∘，∵∠AOD+∠ADO=90∘，∴∠AOD=∠OCB，∵∠OAD=∠OBC=90∘，∴△AOD∽△BCO，∴ADBO =OABC，∴OA2=AD⋅BC，∴(12AB)2=AD⋅BC，∴AB2=4AD⋅BC．(2) 连接OD，OC，如图4所示，∵∠ADE =2∠OFC ，∴∠ADO =∠OFC ，∵∠ADO =∠BOC ，∠BOC =∠FOC ，∴∠OFC =∠FOC ，∴CF =OC ，∴CD 垂直平分 OF ，∴OD =DF ，在 △COD 和 △CFD 中，{OC =CF,OD =DF,CD =CD,∴△COD ≌△CFD (SSS )，∴∠CDO =∠CDF ，∵∠ODA +∠CDO +∠CDF =180∘，∴∠ODA =60∘=∠BOC ，∴∠BOE =120∘，在 Rt △DAO ，AD =√33OA ， Rt △BOC 中，BC =√3OB ，∴AD:BC =1:3，∵AD =1，∴BC =3，OB =√3，∴ 图中阴影部分的面积 =2S △OBC −S △OBE =2×12×√3×3−120π×(√3)2360=3√3−π．【知识点】切线的性质、两角分别相等、扇形面积的计算22. 【答案】(1) ① 设 y 与 x 的函数关系式为 y =kx +b (k ≠0)，依题意有 {50k +b =100,60k +b =80,解得 {k =−2,b =200,所以 y 与 x 的函数关系式是 y =−2x +200．② 40；70；1800．(2) 依题意有w =(−2x +200)(x −40−m )=−2x 2+(2m +280)x −8000−200m =−2(x −m+1402)2+12m 2−60m +1800, 因为 m >0，所以对称轴 x =m+1402>70，因为−2<0，所以抛物线开口向下，因为x≤65，所以w随x的增大而增大，所以当x=65时，w有最大值(−2×65+200)(65−40−m)，所以(−2×65+200)(65−40−m)=1400，所以m=5．【解析】(1) ②设该商品进价为a元，则根据表格可列(50−a)×100=1000元，解得a=40，因为w=(x−40)(−2x+200)=−2(x−70)2+1800，故当售价为70元/件时，最大利润为1800元．【知识点】利润问题23. 【答案】(1) 如图1中，延长AM交CN于点H．∵AM⊥CN，∴∠AHC=90∘，∵∠ABC=90∘，∴∠BAM+∠AMB=90∘，∠BCN+∠CMH=90∘，∵∠AMB=∠CMH，∴∠BAM=∠BCN，∵BA=BC，∠ABM=∠CBN=90∘，∴△ABM≌△CBN(ASA)，∴BM=BN．(2) ①如图2中，作CH∥AB交BP的延长线于H．∵BP⊥AM，∴∠BPM=∠ABM=90∘，∵∠BAM+∠AMB=90∘，∠CBH+∠BMP=90∘，∴∠BAM=∠CBH，∵CH∥AB，∴∠HCB+∠ABC=90∘，∵∠ABC=90∘，∴∠ABM=∠BCH=90∘，∵AB=BC，∴△ABM≌△BCH(ASA)，∴BM=CH，∵CH∥BQ，∴PCPQ =CHBQ=BMBQ．② 1n．【解析】(2) ②如图3中，作CH∥AB交BP的延长线于H，作CN⊥BH于N．不妨设BC=2m，则AB=2mn．则BM=CM=m，CH=mn ，BH=mn√1+4n2，AM=m√1+4n2，∵12⋅AM⋅BP=12⋅AB⋅BM，∴PB=√1+4n2，∵12⋅BH⋅CN=12⋅CH⋅BC，∴CN=√1+4n2，∵CN⊥BH，PM⊥BH，∴MP∥CN，∵CM=BM，∴PN=BP=√1+4n2，∵∠BPQ=∠CPN，∴tan∠BPQ=tan∠CPN=NCPN =√1+4n22mn√1+4n2=1n．【知识点】平行线分线段成比例定理、正切、角边角24. 【答案】(1) y=(x−1)2−4向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到y=x2．(2) ① y=(x−1)2−4与x轴正半轴的交点A(3,0)，∵直线y=−43x+b经过点A，∴b=4，∴y=−43x+4，y =−43x +4 与 y =(x −1)2−4 的交点为 −43x +4=(x −1)2−4 的解，∴x =3 或 x =−73，∴B (−73,649)，设 P (t,−43t +4)，且 −73<t <3，∵PQ ∥y 轴，∴Q (t,t 2−2t −3)，当 AP =AQ 时，∣∣4−43t ∣∣=∣t 2−2t −3∣， 则有 −4+43t =t 2−2t −3，∴t =13，∴P 点横坐标为 13． ② −23．(3) 设经过 M 与 N 的直线解析式为 y =k (x −m )+m 2，∴{y =x 2,y =k (x −m )+m 2,则有 x 2−kx +km −m 2=0，Δ=k 2−4km +4m 2=(k −2m )2=0，∴k =2m ，直线 ME 的解析式为 y =2mx −m 2，直线 NE 的解析式为 y =2nx −n 2，∴E (m+n 2,mn)，∴12[(n 2−mn )+(m 2−mn )]×(m −n )−12(n 2−mn )×(m+n 2−n)−12(m 2−mn )×(m −m+n 2)=2，∴(m −n )2−(m−n )22=4，∴(m −n )3=8，∴m −n =2．【解析】(2) ②当 AP =PQ 时，PQ =t 2+23t +7，PA =53(3−t )，∴t2+23t+7=53(3−t)，∴t=−23，∴P点横坐标为−23．【知识点】二次函数与方程、二次函数的图象变换。