函数的单调性(解析版)

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2022-2023学年人教版高一数学上学期同步知识点讲义3-2-1 函数的单调性与最值 (解析版)

函数的单调性与最值1 1函数单调性的概念(1)增函数和减函数一般地，设函数y =f(x)的定义域为I ，区间D ∈I :如果∀x 1 ,x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上单调递增(左图).特别地，当函数f(x)在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.如果∀x 1 ,x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上单调递减(右图).特别地，当函数f(x)在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.注 ① y =1x 在(0,+∞)上单调递减，但它不是减函数.② x 1 ,x 2的三个特征一定要予以重视．函数单调性定义中的x 1 ,x 2有三个特征：一是任意性，即任意取x 1 ,x 2，“任意”二字绝对不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x 1<x 2；三是同属一个单调区间，三者缺一不可．【例】若函数f(x)的定义域为(0,+∞)且满足f (1)<f (2)<f(3)，则函数f(x)在(0,+∞)上为 ( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．不能确定解析由于函数单调性的定义突出了x 1,x 2的任意性，所以仅凭区间内几个有限的函数值的关系，是不能做为判断单调性的依据的，也就是说函数单调性定义的三个特征缺一不可．故选D ．1 (2) 单调性如果函数y =f(x)在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y =f(x)在这一区间具有(严格的)单调性．区间D 叫做函数y =f(x)的单调区间．注 ① 这个区间可以是整个定义域也可以是定义域的一部分.② 有的函数无单调性．如函数y ={1, x 为有理数 0, x 为无理数，它的定义域是(−∞,+∞)，但无单调性可言．【例】说下函数y =x 2−2x −3的单调性.解析函数y=x2−2x−3在整个定义域(−∞,+∞)上不具有单调性，但是在(−∞,1]上是减函数，在(1,+∞)上是增函数；【练】函数y=1的单调递减区间是().xA．[0,+∞)B．(−∞,0)C．(−∞,0)和(0,+∞)D．(−∞,0)∪(0,+∞)解析y=1的减区间是(0,+∞),(−∞,0)，不是(0,+∞)∪(−∞,0).x在(−∞,0)上是减函数，在(0,+∞)上也是减函数，函数y=1x(−∞,0)∪(0,+∞)上是减函数．但不能说函数y=1x因为当x1=−1,x2=1时有f(x1)=−1<f(x2)=1，不满足减函数的定义．21单调性概念的拓展①若y=f(x)递增，x2>x1，则f(x2)>f(x1).②若y=f(x)递增，f(x2)≥f(x1)，则x2≥x1.y=f(x)递减，有类似结论！【例】若y=f(x)递增，比较f(a2)与f(0)大小.答案f(a2)≥f(0).【例】若y=f(x)递增 ,f(1−m)≥f(n) , 比较m+n与1大小.答案m+n≤1.31判断函数单调性的方法①1定义法解题步骤(1) 任取x1 ,x2∈D，且x1<x2；(2) 作差f(x1)−f(x2)；(3) 变形(通常是因式分解和配方)；(4) 定号(即判断差f(x1)－f(x2)的正负)；(5) 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)．②1数形结合③1性质法增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数；但增函数×增函数不一定是增函数，比如y=x，y=x−2均是增函数，而y=x(x−2)不是.④1复合函数的单调性(1)如果y=f(u)(u∈M) ,u=g(x)(x∈A) , 则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数；比如：F(x)=1x2+x (f(u)=1u和g(x)=x2+x的复合函数)；F(x)=√1−2x (f(u)=√u和g(x)= 1−2x的复合函数)；F(x)=21x(f(u)=2u和g(x)=1x的复合函数).(2) 同增异减设函数u=g(x)(x∈A)的值域是M，函数y=f(u)(u∈M) ，若y=f(u),u=g(x)在各自区间单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]在区间A上递增；若y=f(u) ,u=g(x)在各自区间单调性不同，则复合函数y=f[g(x)]在区间A上递减.41函数的最值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1) ∀x∈I，都有f(x)≤M；(2) ∃x0∈I，使得f(x0)=M；那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.(最小值类似定义)简单来说，最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值.【例1】下图为函数y=f(x)，x [−4,7]的图象，指出它的最大值、最小值．解析1观察函数图象可以知道，图象上最高点坐标为(3,3)，最低点坐标为(−1.5,−2)，所以当x=3时，函数y=f(x)取得最大值y max=3；当x=−1.5时，取得最小值y min=−2．【例2】求函数f(x)=2x+1在区间[3,6]上的最大值和最小值.解析函数f(x)=2x+1在区间[3,6]上递增，则f(3)≤f(x)≤f(6)，所以最大值f(x)max=f(6)=13，最小值f(x)min=f(3)=7.【练】求函数f(x)=2x在区间[1,2]上的最大值和最小值.解析函数f(x)=2x在区间[1,2]上递减，则f(2)≤f(x)≤f(1)，所以最大值f(x)max=f(1)=2，最小值f(x)min=f(2)=1.【题型1】判断函数单调性的方法方法 1定义法【典题】判断f(x)=x+4x在(0 ,2) ,(2 ,+∞)的单调性.解析1设元1设0<x1<x2，作差则y1−y2=(x1+4x1)−(x2+4x2)=(x1−x2)+(4x1−4x2)变形=(x1−x2)+4(x2−x1)x1x2=(x1−x2)(1−4x1x2)(因式分解判断y1−y2正负)定号(1) 假如0<x1<x2<2 ，则0<x1 x2<4 ⇒4x1x2>1⇒1−4x1x2<0 ,又 x1−x2<0 , 所以y1−y2>0 ⇒y1>y2 , 故函数单调递减；(2) 假如2<x1<x2 , 则x1 x2>4⇒4x1x2<1 ⇒1−4x1x2>0 ,又x1−x2<0 ，所以y1−y2<0⇒y1<y2 , 故函数单调递增；下结论所以函数在(0 ,2)内单调递减，在(2 ,＋∞)内单调递增．点拨1利用定义法证明函数的单调性，注意熟练掌握解题的步骤：设元—作差—变式—定号—下结论.方法21数形结合【典题】求下列函数的单调区间．(1) f(x)=|x2+2x−3|；(2)f(x)=−x2+2|x|+3．解析(1)令g(x)=x2+2x−3=(x+1)2−4．先作出函数g(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到函数f(x)= |x2+2x−3|的图象，如图所示．由图象易得：函数f(x)的递增区间是[ −3,−1]，[1,+∞)；函数f(x)的递减区间是( −∞,−3],[ −1,1]．(2)f(x)=−x2+2|x|+3={−x 2+2x+3,x≥0−x2−2x+3,x<0，图象如图所示．由图象可知，函数f(x)的单调区间为( −∞,−1],( −1,0],(0,1],(1,+∞)，其中单调减区间为( −1,0]和(1,+∞)，单调增区间为( −∞,−1]和(0,1]．点拨1.对于含绝对值的函数，画其图象，可以用|x|={x, x≥0−x,x<0把函数化为分段函数，或用函数的翻转或对称变换；2.利用数形结合易得函数的单调性.方法31复合函数的单调性【典题】函数f(x)=√x2+4 x−12 的单调减区间为.【解析】函数f(x)=√x2+4 x−12是由函数f(u)=√u和u(x)=x2+4 x−12组成的复合函数，∵x2+4 x−12≥0 ，∴函数y=f(x)的定义域是x≤−6或x≥2由二次函数图像易得u(x)=x2+4 x−12在(−∞ ,−6]单调递减，在[2 ,＋∞)单调递增，而f(u)=√u在u≥0是单调递增，由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数f(x)的单调减区间(−∞,−6]．【点拨】①研究函数的基本性质，优先考虑定义域；②研究复合函数，要弄清楚它由什么函数复合而成的.【巩固练习】1.在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是( )A．y=2x+1B．y=3x2+1C．y=2xD．y=2x2+x+1答案C2.函数f(x)=x|x−2|的递减区间为()A．( −∞,1)B．(0,1)C．(1,2)D．(0,2)答案C解析当x≥2时，f(x)=x(x －2)=x2－2x，对称轴为x= 1，此时f(x)为增函数，当x<2时，f(x)=－x(x －2)=－x2+2x，对称轴为x=1，抛物线开口向下，当1<x<2时，f(x)为减函数，即函数f(x)的单调递减区间为(1,2)，故选：C．3.函数f(x)=x1−x的单调增区间是.答案( −∞,1)，(1,+∞)解析f(x)=−(1−x)+11−x =−1+11−x；∴f(x)的图象是由y =−1x的图象沿x 轴向右平移1个单位，然后沿y 轴向下平移一个单位得到；而y =−1x 的单调增区间为( −∞,0)，(0,+∞)； ∴f(x)的单调增区间是( −∞,1)，(1,+∞)． 4.函数y =√x 2−5x +4的单调递增区间是 . 答案 [4,+∞).解析令x 2−5x +4≥0，解得x ≥4或x ≤1，而函数y =x 2 －5x +4的对称轴是x =52，故函数y =√x 2−5x +4的单调递增区间是[4,+∞). 5.试用函数单调性的定义判断函数f(x)=2x x−1在区间(0,1)上的单调性．解析任取x 1,x 2∈(0,1)，且x 1<x 2．则f (x 1)−f (x 2)=2x 1x 1−1−2x 2x 2−1=2(x 2−x 1)(x 1−1)(x 2−1)．由于0<x 1<x 2<1，x 1−1<0，x 2−1<0，x 2−x 1>0，故f (x 1)−f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．所以，函数f(x)=2xx−1在(0,1)上是减函数．【题型2】函数的最值【典题】函数f(x)=2x −√x −1的值域为 .解析1设t =√x −1≥0，则x =t 2+1，∴f (t )=2(t 2+1)−t =2t 2−t +2=2(t −14)2+158(t ≥0)∴值域为[158,∞)．点拨本题采取换元法，注意新变量的取值范围.【典题2】若函数f (x )=x 2−2ax +1−a 在[0,2]上的最小值为−1．则a = . 解析1函数f (x )=x 2−2ax +1−a 图象的对称轴为x =a ，图象开口向上， (1)当a ≤0时，函数f(x)在[0,2]上单调递增．则f (x )min =f(0)=1−a ，由1−a =−1，得a =2，不符合a ≤0；(2)当0<a <2时．则f(x)min =f(a)=a 2−2a 2+1−a =−a 2−a +1，由−a 2−a +1=−1，得a =−2或a =1，∵0<a <2，∴a =1符合； (3)当a ≥2时，函数f(x)=x 2－2ax +1−a 在[0,2]上单调递减， ∴f(x)min =f(2)=4－4a +1−a =5－5a ，由5−5a =−1，得a =65， ∵a ≥2，∴a =65不符合，综上可得a =1．点拨本题属于“二次函数动轴定区间最值问题”，对对称轴与区间之间的相对位置进行分类讨论，结合图像求解. 【巩固练习】1.函数f(x)=x 2+3x +2在区间[ −5,5]上的最大值、最小值分别是( ) A ．12,−14 B ．2,12 C ．42,−14 D ．最小值是−14，无最大值答案 C解析 y =x 2+3x +2=(x +32)2−14，抛物线的开口向上，对称轴为x =−32，∴在区间[ －5,5]上，当x =−32时，y 有最小值−14；x =5时，y 有最大值42，函数f(x)=x 2+3x +2在区间[ −5,5]上的最大值、最小值分别是：42，−14．故选：C ．2.函数f(x)=xx+2在区间[2,4]上的最小值为．答案 12解析 ∵f (x )=xx+2=1−2x+2，∴f(x)在[2,4]上为增函数，∴当x =2时，f(x)=x x+2在区间[2,4]上的最小值为f(2)=12．3.已知函数f(x)=x 2+|x −a|+1,x ∈R,a ∈R ．(1)当a =1时，求函数f(x)的最小值；(2)求函数f(x)的最小值为g(a)．答案 (1) 74 (2) [1,+∞)解析 (1)f(x)=x 2+|x −1|+1={x 2+x,x ≥1x 2−x +2,x <1，由f(x)=x 2+x ⇒f(x)=(x +12)2−14(x ≥1)，可知f(x)≥2; 由f(x)=x 2−x +2⇒f(x)=(x −12)2+74(x <1)，可知f(x)≥74.所以f(x)min =f (12)=74． (2) f(x)={x 2+x −a +1,x ≥ax 2−x +a +1,x <a，1)当a ≥12，f (x )min =f (12)=34+a ； 2)当−12<a <12，f (x )min =f(a)=a 2+1；3)当a ≤−12，f (x )min =f (−12)=34−a ；所以g(a)={ 34+a,a ≥12a 2+1,−12<a <1234−a,a ≤−12．【题型3】参数范围【典题】若f(x)={a x ,x ≥1−x +3a,x <1是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围为．解析1若f(x)={ax ,x ≥1−x +3a,x <1是R 上的单调减函数，得则{a >0a 1≤−1+3a ，解得a ≥12，故答案为：[12,+∞)．【典题2】已知函数f(x)=4x−6x−1的定义域和值域都是[2,b](b >2)，则实数b 的值为．解析 f(x)=4x−6x−1=4(x−1)−2x−1=−2x−1+4，其图象如图，由图可知，函数f(x)=4x−6x−1在[2,b]上为增函数，又函数f(x)=4x−6x−1的定义域和值域都是[2,b](b >2)，∴f(b)=4b−6b−1=b ，解得b =3．【巩固练习】1.已知函数f(x)={x 2+3(x ≥0)ax +b(x <0)是R 上的增函数，则( )A ．a <0,b ≥3B ．a <0,b ≤3C ．a >0,b ≥3D ．a >0,b ≤3答案 D解析 ∵函数f(x)={x 2+3(x ≥0)ax +b(x <0)是R 上的增函数，∴a >0，且 0+3≥0+b ，故选：D ．2.已知函数f(x)={x 2+4x, x ≥04x −x 2, x <0，若f (2−a 2)>f(a)则实数a 的取值范围是( ) A (−∞,−1)∪(2,+∞) B (−1,2) C (−2,1) D (−∞,−2)∪(1,+∞) 答案 C解析由题知f(x)在R 上是增函数，由题得2−a 2>a ，解得−2<a <1.3.函数f(x)=ax2−(3a−1)x+a2在[1,+∞)上是增函数，则a的范围为. 答案[0,1]解析根据题意，函数f(x)=ax2−(3a−1)x+a2在[1,+∞)上是增函数，分2种情况讨论：①若a=0，则f(x)=x，在R上为增函数，符合题意；②若a≠0，则有{a>03a−12a≤1，解可得0<a≤1，综合可得：a的取值范围为[0,1].4.若函数y=x2−5x−1的定义域[0,m]，值域为[−294,−1]，则m的取值范围是.。

第21讲利用导数研究函数的单调性(解析版)

第21讲利用导数研究函数的单调性【基础知识回顾】1. 利用导数研究函数的单调性在某个区间(a ，b)内，如果f′(x)≥0且在(a ，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)≤0且在(a ，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递减．2. 判定函数单调性的一般步骤 (1)确定函数y ＝f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0； (4)根据(3)的结果确定函数的单调区间． 3. 已知函数单调性求参数的值或参数的范围 (1)函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上单调递增，可转化为f ′(x)≥0在(a ，b)上恒成立，且在(a ，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a ，b)⊆增区间．函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上单调递减，可转化为f′(x)≤0在(a ，b)上恒成立，且在(a ，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a ，b)⊆减区间．(2)函数y ＝f(x)的增区间是(a ，b)，可转化为(a ，b)＝增区间，也可转化为f′(x)＞0的解集是(a ，b)；函数y ＝f(x)的减区间是(a ，b)，可转化为(a ，b)＝减区间，也可转化为a ，b 是f′(x)＝0的两根．1、.函数f (x )＝3＋x ln x 的单调递减区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫1e ，e B.⎝⎛⎭⎫0，1e C.⎝⎛⎭⎫－∞，1eD.⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞【答案】 B【解析】因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1，令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜1e，故f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1e . 2、函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像如图，则函数y ＝ax 2＋32bx ＋c3的单调递增区间是( )第2题图A . (－∞，－2]B . ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C . [)－2，3 D . ⎣⎡⎭⎫98，＋∞【答案】D【解析】由题图可知d ＝0. 不妨取a ＝1，∵f(x)＝x 3＋bx 2＋cx ，∴f ′(x)＝3x 2＋2bx ＋c. 由图可知f′(－2)＝0，f ′(3)＝0，∴12－4b ＋c ＝0，27＋6b ＋c ＝0，∴b ＝－32，c ＝－18. ∴y ＝x 2－94x －6，y ′＝2x －94. 当x ＞98时，y ′＞0，∴y ＝x 2－94x －6的单调递增区间为[98，＋∞).故选D .3、函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，1a B.⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－∞，1a D ．(－∞，a )【答案】A【解析】由f ′(x )＝1x －a >0，x >0，得0<x <1a .∴f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a . 4、若函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是________. 【答案】 (－∞，2ln 2－2)【解析】 ∵函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，∴f ′(x )＝2x －e x －a ＞0，即a ＜2x －e x 有解.设g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ，令g ′(x )＝0，得x ＝ln 2，则当x ＜ln 2时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，当x ＞ln 2时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，∴当x ＝ln 2时，g (x )取得极大值也是最大值，且g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2，∴a ＜2ln 2－2.考向一求函数的单调区间例1、求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x 3－12x 2－2x ＋3；(2)g(x)＝x 2－2ln x.【解析】 (1)∵f′(x)＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，定义域为R ，∴当f ′(x )>0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪(1，＋∞)；当f ′(x )＜0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1. ∴函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(1，＋∞)，单调减区间为⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)g ′(x )＝2x －2x ＝2（x ＋1）（x －1）x，定义域为(0，＋∞)，令g ′(x )＝0，解得：x ＝1或x ＝－1(舍去)，列表：x (0，1) 1 (1，＋∞) g ′(x ) － 0＋ g (x ) 减极小值增变式1、（1）下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A.f (x )＝sin 2x B.f (x )＝x e x C.f (x )＝x 3－xD.f (x )＝－x ＋ln x【答案】 B【解析】由于x ＞0，对于A ，f ′(x )＝2cos 2x ，f ′⎝⎛⎭⎫π3＝－1＜0，不符合题意；对于B ，f ′(x )＝(x ＋1)e x ＞0，符合题意；对于C ，f ′(x )＝3x 2－1，f ′⎝⎛⎭⎫13＝－23＜0，不符合题意；对于D ，f ′(x )＝－1＋1x ，f ′(2)＝－12＜0，不符合题意.(2)函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调递减区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，12 B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 【答案】 C【解析】 ∵函数f (x )＝2x 2－ln x ，∴f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x＝4⎝⎛⎭⎫x －12⎝⎛⎭⎫x ＋12x.由f ′(x )＜0，解得0＜x ＜12，∴函数的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，12. （3）.已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的递增区间是________. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2 【解析】 f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝⎛⎭⎫－π，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2.变式2、（1）函数f(x)＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为__ __．（2）函数f(x)＝1＋x －sin x 在(0，2π)上的单调情况是__ __．（3）已知a<0，函数f(x)＝x 3＋ax 2－a 2x ＋2的单调递减区间是__ ．【解析】（1）由f(x)＝x 3－15x 2－33x ＋6得f ′(x)＝3x 2－30x －33，令f′(x)<0，即3(x －11)(x ＋1)＜0，解得－1<x<11，∴函数f(x)的单调减区间为(－1，11)．（2） f′(x)＝1－cos x>0在(0，2π)上恒成立，∴f(x)单调递增．（3）f′(x)＝3x 2＋2ax －a 2＝(3x －a)(x ＋a)，令f′(x)<0，得a3<x<－a ，∴减区间为⎝⎛⎭⎫a3，－a . 方法总结：1. 利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导函数f ′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间． 2. 利用导数求函数单调性，在对函数求导以后要对导函数进行整理并因式分解，方便后面求根和判断导函数的符号．考向二给定区间求参数的范围例2、设函数()32132a f x x x bx c =-++，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =. (1)求,bc 的值；(2)若0a >，求函数()f x 的单调区间；(3)设函数()()2g x f x x =+，且()g x 在区间(2,1)--内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．【解析】：(1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f 0＝1，f ′0＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0.(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a >0)，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )． (3)g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)，使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立，即x ∈(－2，－1)时，a <(x ＋2x )max ＝－22，当且仅当x ＝2x 即x ＝－2时等号成立．所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22)．变式1、已知g (x )＝2x ＋ln x －ax .(1)若函数g (x )在区间[1，2]内单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若g (x )在区间[1，2]上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围.【解析】(1)g (x )＝2x ＋ln x －ax (x >0)，g ′(x )＝2＋1x ＋ax2(x >0).∵函数g (x )在[1，2]上单调递增， ∴g ′(x )≥0在[1，2]上恒成立，即2＋1x ＋ax 2≥0在[1，2]上恒成立，∴a ≥－2x 2－x 在[1，2]上恒成立， ∴a ≥(－2x 2－x )max ，x ∈[1，2]. 在[1，2]上，(－2x 2－x )max ＝－3，所以a ≥－3.∴实数a 的取值范围是[－3，＋∞). (2)g (x )在[1，2]上存在单调递增区间，则g ′(x )＞0在[1，2]上有解，即a ＞－2x 2－x 在[1，2]上有解， ∴a ＞(－2x 2－x )min ，又(－2x 2－x )min ＝－10，∴a ＞－10.变式2、若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A.[－1，1]B.⎣⎡⎦⎤－1，13C.⎣⎡⎦⎤－13，13D.⎣⎡⎦⎤－1，－13 【答案】 C【解析】 ∵f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x ，∴f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53.由f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立. 令t ＝cos x ，t ∈[－1，1]，则－43t 2＋at ＋53≥0，在t ∈[－1，1]上恒成立.∴4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1，1]上恒成立. 令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＝－3a －1≤0，g （－1）＝3a －1≤0.解之得－13≤a ≤13方法总结： 1.明晰导数概念及其几何意义在解题中的应用，强化方程的思想，培养基本运算能力．2. 辨析区间上单调和区间上存在单调区间的本质区别和处理策略的不同，提升参变分离和构造函数等解决问题的方法和技巧，感悟数学解题背后的思维和内涵．考向三函数单调区间的讨论例3、已知函数．当时，讨论的单调性；【解析】函数的定义域为.，因为，所以， ①当，即时，由得或，由得，所以在，上是增函数，在上是减函数； ②当，即时，所以在上是增函数；③当，即时，由得或，由得，所以在，.上是增函数，在.上是减函综上可知：当时在，上是单调递增，在上是单调递减；当时，在.上是单调递增；当时在，上是单调递增，在上是单调递减. 变式1、讨论下列函数的单调性． (1)f (x )＝x －a ln x ； (2)g (x )＝13x 3＋ax 2－3a 2x .【解析】 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1－a x ＝x －ax ，令f ′(x )＝0，得x ＝a ，①当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当a >0时，x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，()()11ln f x x m x m R x x ⎛⎫=+-+∈ ⎪⎝⎭1m ()f x ()f x (0,)+∞'21()1m m f x x x -=+-2221(1)[(1)]x mx m x x m x x -+----==1m 10m ->011m <-<12m <<()0f x '>1x >1x m <-()0f x '<11m x -<<()f x ()0,1m -()1,+∞()1,1m -11m -=2m =()0f x '≥()f x ()0,∞+11m ->2m >()0f x '>1x m >-1x <()0f x '<11x m <<-()f x ()0,1()1,m -+∞()1,1m -12m <<()f x ()0,1m -()1,+∞()1,1m -2m =()f x ()0,∞+2m >()f x ()0,1()1,m -+∞()1,1m -x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >0时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增． (2)g (x )的定义域为R ，g ′(x )＝x 2＋2ax －3a 2＝(x ＋3a )(x －a )，当a ＝0时，g ′(x )≥0， ∴g (x )在R 上单调递增．当a >0时，x ∈(－∞，－3a )∪(a ，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， x ∈(－3a ，a )时，g ′(x )<0，g (x )单调递减．当a <0时，x ∈(－∞，a )∪(－3a ，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， x ∈(a ，－3a )时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，综上有a ＝0时，g (x )在R 上单调递增；a <0时，g (x )在(－∞，a )，(－3a ，＋∞)上单调递增，在(a ，－3a )上单调递减； a >0时，g (x )在(－∞，－3a )，(a ，＋∞)上单调递增，在(－3a ，a )上单调递减．变式2、已知函数f (x )＝x －2x ＋a (2－ln x )，a >0.讨论f (x )的单调性．【解析】由题知，f (x )的定义域是(0，＋∞)， f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2，设g (x )＝x 2－ax ＋2， g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8.①当Δ<0，即0<a <22时，对一切x >0都有f ′(x )>0.此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当Δ＝0，即a ＝22时，仅对x ＝2，有f ′(x )＝0，对其余的x >0都有f ′(x )>0. 此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增．③当Δ>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根， x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0，x 1) x 1 (x 1，x 2) x 2 (x 2，＋∞)f ′(x )＋－＋f (x )单调递增极大值单调递减极小值单调递增此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增．方法总结：对含参函数的合理分类，关键是找到引起分类讨论的原因．2. 会对函数进行准确求导，求导以后进行整理并因式分解，其中能否因式分解、每个因式系数的正负、根的大小等都是引起分类讨论的原因．考向四构造函数研究单调性例4、(1)设函数f (x )在R 上的导函数为f ′(x )，且2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则下列不等式在R 上恒成立的是( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )>xD ．f (x )<x(2)已知定义域为{x |x ≠0}的偶函数f (x )，其导函数为f ′(x )，对任意正实数x 满足xf ′(x )>－2f (x )，若g (x )＝x 2f (x )，则不等式g (x )<g (1)的解集是( )A ．(－∞，1)B ．(－1,1)C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．(－1,0)∪(0,1)【答案】 (1)A (2)D【解析】(1)法一：令g (x )＝x 2f (x )－14x 4，则g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )－x 3＝x [2f (x )＋xf ′(x )－x 2]，当x >0时，g ′(x )>0，∴g (x )>g (0)，即x 2f (x )－14x 4>0，从而f (x )>14x 2>0；当x <0时，g ′(x )<0，∴g (x )>g (0)，即x 2f (x )－14x 4>0，从而f (x )>14x 2>0；当x ＝0时，由题意可得2f (0)>0，∴f (0)>0. 综上可知，f (x )>0.法二：∵2f (x )＋xf ′(x )>x 2，∴令x ＝0，则f (0)>0，故可排除B 、D ，不妨令f (x )＝x 2＋0.1，则已知条件2f (x )＋xf ′(x )>x 2成立，但f (x )>x 不一定成立，故C 也是错误的，故选A.(2)∵f (x )是定义域为{x |x ≠0}的偶函数， ∴f (－x )＝f (x )．对任意正实数x 满足xf ′(x )>－2f (x )， ∴xf ′(x )＋2f (x )>0. ∵g (x )＝x 2f (x )，∴g (x )也是偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )>0. ∵g (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴g (x )在(－∞，0)递减．若g (x )<g (1)，则|x |<1(x ≠0)，解得0<x <1或－1<x <0.故g (x )<g (1)的解集是(－1,0)∪(0,1)．变式1、已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】CD 【解析】令，，则，因为，所以在上恒成立，因此函数在上单调递减，因此，即，即，故A 错；又，所以，所以在上恒成立， 0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭()f x ()f x '()00f =()cos ()sin 0f x x f x x '+<6624f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ln 03f π⎛⎫> ⎪⎝⎭363f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭243f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()cos f x g x x =0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2()cos ()sin ()cos f x x f x x g x x '+'=()cos ()sin 0f x x f x x '+<2()cos ()sin ()0cos f x x f x x g x x '+'=<0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭()()cos f x g x x =0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭64g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭64cos cos64f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>664f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()00f =(0)(0)0cos0f g ==()()0cos f x g x x =≤0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭因为，所以，故B 错；又，所以，即，故C 正确；又，所以，即，故D 正确；故选：CD.变式2、设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是________. 【答案】 (－∞，－1)∪(0，1)【解析】因为f (x )(x ∈R )为奇函数，f (－1)＝0，所以f (1)＝－f (－1)＝0. 当x ≠0时，令g (x )＝f （x ）x ，则g (x )为偶函数，g (1)＝g (－1)＝0. 则当x ＞0时，g ′(x )＝⎣⎡⎦⎤f （x ）x ′＝xf ′（x ）－f （x ）x 2＜0，故g (x )在(0，＋∞)上单减，在(－∞，0)上单增.所以在(0，＋∞)上，当0＜x ＜1时，g (x )＞g (1)＝0，得f （x ）x ＞0，所以f (x )＞0；在(－∞，0)上，当x ＜－1时，由g (x )＜g (－1)＝0，得f （x ）x＜0，所以f (x )＞0. 综上知，使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1).变式3、设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＞0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )＜0的解集为________. 【答案】 (－∞，－3)∪(0，3) 【解析】 f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＞0⇔ [f (x )g (x )]′＞0，所以函数y ＝f (x )g (x )在(－∞，0)上单调递增. 又由题意知函数y ＝f (x )g (x )为奇函数，所以其图象关于原点对称，且过点(－3，0)，(3，0).ln0,32ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ln 03f π⎛⎫< ⎪⎝⎭63g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭63cos cos 63f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>363f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos43f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>243f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭数形结合可求得不等式f (x )g (x )＜0的解集为(－∞，－3)∪(0，3).方法总结：(1)对于不等式f ′(x )＋g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )＋g (x )；(2)对于不等式f ′(x )－g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )－g (x )；特别地，对于不等式f ′(x )>k (或<k )(k ≠0)，构造函数F (x )＝f (x )－kx . (3)对于不等式f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )g (x )； (4)对于不等式f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f xg x(g (x )≠0)；(5)对于不等式xf ′(x )＋f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝xf (x )； (6)对于不等式xf ′(x )－f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f xx(x ≠0)．1、函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．2、设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．【答案】(]1,0--∞【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e xxf x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()ee e e xx x x a a --+=-+，即()()1e e0xxa -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-.若函数()e e xxf x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x xf x a -'=-≥在R 上恒成立，即2e x a ≤在R 上恒成立，又2e 0x >，则0a ≤，即实数a 的取值范围是(],0-∞.3、（2021·深圳市龙岗区龙城高级中学高三月考）已知函数()ln f x x =，()g x x =，则当120x x >>时（） A ．1122|()()||()()|f x g x f x g x -<-|B ．1122|()()||()()|f x g x f x g x ->-C ．1221|()()||()()|f x g x f x g x -<- D ．1221|()()||()()|f x g x f x g x ->-【答案】C【解析】令()ln h x x x =-，则()111xh x x x-'=-=，当()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，则()()110h x h ≤=-<，则()h x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，∴()1h x 和()2h x 的大小不确定，故AB 错误；由()0h x <可知221ln x x x <<，即()()210f x g x -<，令1221|()()||()()|W f x g x f x g x =---，则1221|()()|()()W f x g x f x g x =-+-，当()()12f x g x ≥时，[][]12211122()()()()()()()()0W f x g x f x g x f x g x f x g x =-+-=-+-<；当()()12f x g x <，[][]21212211()()()()()()()()W g x f x f x g x f x g x f x g x =-+-=+-+，()()ln y f x g x x x =+=+单调递增，0W ∴<，综上，1221|()()||()()|f x g x f x g x -<-，故C 正确，D 错误.故选：C.4、（2021·广东高三月考）已知函数()ln f x x ax =+在函数()22g x x x b =-+的递增区间上也单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．(],1-∞- B ．[)0,+∞C ．(][),10,-∞-+∞ D ．(]1,0-【答案】B【解析】因为()g x 的单调递增区间为[)1,+∞，则由题意()f x 在[)1,+∞递增，而()1axf x x+'=，所以当0a ≥时，()0f x '>在 [)1,+∞恒成立，()f x 在区间[)1,+∞单调递增，符合题意；当0a <时，由()10ax f x x +'=>，解得10x a<<- ()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，不合题意.综上，0a ≥. 故选：B5、（2021·广东高三月考）若对任意的1x ，()2,x m ∈+∞，且12x x <，都有122121ln ln 2x x x x x x -<-，则m 的最小值是（）（注： 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数） A ．1eB ．eC ．1D ．3e【答案】A【解析】由题意知210x x >>，可得210x x ->，则122121ln ln 2x x x x x x -<-等价于()122121ln ln 2x x x x x x -<-，即121212ln 2ln 2x x x x x x +<+，所以()()1221ln 2ln 2x x x x +<+，所以2121ln 2ln 2x x x x ++<，令()ln 2x f x x+=，可得21f x f x ，又由21x x m >>，所以()f x 在(),m +∞上是减函数，所以()2ln 10x f x x--'=≤，解得1x e ≥，则1m e ≥，即m 的最小值为1e . 故选：A.6、（2021·深圳市第七高级中学高三月考）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()0,6f x f x f x f x +-=+=-，且对[]12,3,0x x ∀∈-，当12x x ≠时，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+，则以下判断正确的是（）A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 在[]9,6--单调递增C ．3x =是函数()f x 的对称轴D ．函数()f x 的最小正周期是12【答案】BCD【解析】由定义域为R ， ()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-，则函数为奇函数，故A 错误；因为()()6f x f x +=-，而()()f x f x -=-，所以()()6f x f x +=-，所以函数的对称轴为6032x +==，故C 选项正确；因为()()6f x f x +=-，所以()()()126f x f x f x +=-+=，所以()f x 的最小正周期是12，故D 选项正确；因为[]12,3,0x x ∀∈-，当12x x ≠时，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+，则()()()()12120x x f x f x --<，所以[]3,0x ∈-时，()f x 为减函数. 因为函数为奇函数，所以[]0,3x ∈时，()f x 为减函数，又因为函数()f x 关于3x =对称，所以[]3,6x ∈时，()f x 为增函数.因为()f x 的最小正周期是12，所以[]9,6x ∈--的单调性与[]3,6x ∈时的单调性相同. 故，[]9,6x ∈--时，()f x 单调递增，故B 选项正确. 故选：BCD. 7、()3211232f x x x ax =-++，若()f x 在2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上存在单调递增区间，则a 的取值范围是_______ 【答案】19a >- 【解析】：()'22fx x x a =-++，有已知条件可得：2,+3x ⎛⎫∃∈∞ ⎪⎝⎭，使得()'0f x ≥，即()212a x x ≥-，只需()2min12a x x ⎡⎤≥-⎢⎥⎣⎦，而()221122122339y x x ⎡⎤⎛⎫=->-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以19a >-。

考点04 函数单调性的5种判断方法及3个应用方向(解析版)

专题二函数考点4 函数单调性的5种判断方法及3个应用方向【方法点拨】一、函数单调性的判断及解决应用问题的方法1.判断函数单调性的常用方法(1)定义法；（2）图象法；(3)利用函数的性质“增+增=增，减+减=减”判断；(4)复合函数的单调性根据“同增异减”判断；(5)导数法2.求函数的单调区间先定定义域，在定义域内求单调区间.单调区间不连续时，要用“和”或“，“连接，不能用“U”连接.3.单调性的应用的三个方向(1)比较大小：将自变量转化到同一个单调区间内，利用函数的单调性比较大小；(2)解函数型不等式：利用函数单调性，由条件脱去“f”；(3)求参数值或取值范围：利用函数的单调性构建参数满足的方程(组)、不等式(组).【高考模拟】1．函数()||1f x x =-与()()2g x x x =-的单调递增区间分别为（） A ．[1，+∞)，[1，+∞) B ．(﹣∞，1]，[1，+∞) C ．(1，+∞)，(﹣∞，1] D ．(﹣∞，+∞)，[1，+∞)【答案】A 【分析】先对()f x ，()g x 进行化简，再求单调区间即可. 【解析】解：()1,111,1x x f x x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，()f x ∴在[)1,+∞上单调递增，()()222()211g x x x x x x -=-==--， ()g x ∴在[)1,+∞上单调递增，故选：A.2．函数y =）A ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)0,+∞D ．(],3-∞-【答案】D 【分析】求出函数y =y =.【解析】由题意，230x x +≥，可得3x ≤-或0x ≥，函数y =(][),30,-∞-⋃+∞，令23t x x =+，则外层函数y =[)0,+∞上单调递增，内层函数23t x x =+在上(],3-∞-单调递减，在[)0,+∞上单调递增，所以，函数y =(],3-∞-.故选：D. 【点睛】方法点睛：求解函数的单调区间一般有以下几种方法：一是图象法，主要适用与基本初等函数及其在基本初等函数的基础上进行简单变化后的函数以及分段函数，可以借助图像来得到函数的单调区间；二是复合函数法，主要适用于函数结构较为复杂的函数，采用换元的思想将函数解析式分解为多层，利用同增异减的原理来求解；三是导数法，对于可导函数，可以解相应的导数不等式来求解函数的单调区间.3．函数()f x 在区间()4,7-上是增函数，则使得()3=-y f x 为增函数的区间为（） A ．()2,3- B ．()1,7-C ．()1,10-D ．()10,4--【答案】C 【分析】先将函数()3=-y f x 看作函数()f x 向右平移3个单位所得到，再判断增区间即可. 【解析】函数()3=-y f x 可以看作函数()f x 向右平移3个单位所得到，故由函数()f x 在区间()4,7-上是增函数，得()3=-y f x 在区间()1,10-上是增函数. 故选：C.4．函数()2f x x x =-的单调减区间是（） A ．[]1,2 B ．[]1,0-C ．[]0,2D ．[2,)+∞【答案】A 【分析】将函数写成分段函数的形式，即()(2),2,(2),2,x x x f x x x x -⋅≥⎧=⎨-⋅<⎩再根据解析式得到函数的单调区间；【解析】()(2),2,(2),2,x x x f x x x x -⋅≥⎧=⎨-⋅<⎩∴直接通过解析式，结合二次函数图象得：(,1),(2,)-∞+∞递增，在[]1,2递减，故选：A.5．函数f (x )=x 2+2(a -1)x +2在区间(-∞，4)上递减，则a 的取值范围是（） A ．[3,)-+∞ B ．(,3]-∞- C ．(,5)-∞ D ．[3,)+∞【答案】B 【分析】利用二次函数的性质，比较对称轴和区间端点的大小，列不等式可得a 的取值范围．【解析】函数f(x)的对称轴是1x a =-，开口向上，则14a -≥，解得3a ≤- 故选：B6．若函数2()()f x ax a -=∈R 在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为（）． A ．(1,)+∞ B ．(,1)-∞ C ．(0,)+∞ D ．(,0)-∞【答案】D 【分析】直接由单调性的定义求解即可【解析】解：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，因为函数2()()f x ax a -=∈R 在(0,)+∞上单调递增，所以12()()f x f x <，即22120ax ax ---<，所以221211()0a x x -<，21212212()()0x x x x a x x +-⋅<⋅，因为120x x <<，所以210x x +>，210x x ->，22120x x ⋅>，所以0a <．故选：D7．如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上单调递减，那么实数a 的取值范围是（） A ．3a ≤- B ．3a ≥-C ．5a ≤D ．5a ≥【答案】A【分析】求出二次函数的对称轴，根据单调区间与对称轴之间的关系建立条件，即可求出a 的取值范围．【解析】解：二次函数2()2(1)2f x x a x =+-+的对称轴为2(1)(1)12a x a a -=-=--=-，抛物线开口向上，∴函数在(-∞，1]a -上单调递减，要使()f x 在区间(-∞，4]上单调递减，则对称轴14a -，解得3a-．故选：A ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，根据二次函数单调性与对称轴之间的关系是解决本题的关键． 8．“1m ”是“函数1()2ln f x x mx x=-+单调递减”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】求出()y f x =的导函数，利用()y f x =单调递减，则()0f x '≤恒成立，求出m 的范围，比较所求范围和条件中给定范围的关系，得出结论. 【解析】由221()f x m x x '=--，若函数()y f x =单调递减，必有当(0,)x ∈+∞时，2210m x x--≤恒成立，可化为2111m x ⎛⎫≥--+ ⎪⎝⎭，可得m 1≥．故“1m ”是“函数1()2ln f x x mx x =-+单调递减”的充分不必要条件. 故选：A. 9．若函数2()1f x x =-的定义域是(﹣∞，1)∪[2，5)，则其值域为（） A ．(﹣∞，0)B ．(﹣∞，2]C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1(,0),22⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦【答案】D 【分析】分x<1和x ∈[2，5)两种情况，利用反比例函数的性质得出函数的值域．【解析】由题意可得：当x<1时，则x ﹣1<0所以y ∈(﹣∞，0) 当x ∈[2，5)时，则x ﹣1∈[1，4)，所以y ∈1,22⎛⎤⎥⎝⎦所以函数的值域为1(,0),22⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦.故选：D.10．若关于x 的不等式342xx a+-在[0x ∈，1]2上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(-∞，1]2-B ．(0，1]C ．1[2-，1]D ．[1，)+∞【答案】D 【分析】利用参数分离法进行转化，构造函数求函数的最大值即可得到结论. 【解析】解：由题意知，342xx a +-在(0x ∈，1]2上恒成立，设3()42x f x x =+-，则函数在102⎛⎤ ⎥⎝⎦，上为增函数，∴当12x =时，()12max 113()4211222f x f ==+-=-=，则1a ，故选：D . 【点睛】关键点睛：本题的关键是将已知不等式恒成立问题，通过参变分离得到参数的恒成立问题，结合函数的单调性求出最值.11．若01m n <<<且1mn =，则2m n +的取值范围是（）A．)+∞ B ．[3,)+∞C．)+∞D ．(3,)+∞【答案】D 【分析】先利用已知条件构造函数()2(),01f m m m m+<<=，再求其值域即得结果. 【解析】由01m n <<<且1mn =知，22m n m m +=+，故设()2(),01f m m m m+<<=，设1201m m <<<，则()1212121212222()()1f m f m m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 12120,01m m m m -<<<，即1222m m >，故()1212210m m m m ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，即12()()f m f m >，函数2()f m m m =+在()0,1上单调递减，2(1)131f =+=，故函数的值域为(3,)+∞. 故选：D. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设12,x x 是该区间内的任意两个值，且12x x <；（2）作差变形：即作差，即作差12()()f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差12()()f x f x -的符号；（4）下结论：判断，根据定义作出结论. 即取值---作差----变形----定号----下结论. 12．函数()()2404xf x x x x x =++>+的最小值为（） A ．2 B ．103C ．174D ．265【答案】C 【分析】令4t x x =+，利用基本不等式求得4t ≥，构造函数()1g t t t=+，证明出函数()g t 在[)4,+∞上为增函数，由此可求得函数()f x 的最小值. 【解析】令4t x x =+，则21144x x t x x==++，因为0x >，所以44t x x =+≥=，又2414x y x t x x t =++=++，令()1g t t t=+，其中4t ≥，任取1t 、[)24,t ∈+∞且12t t >，即124t t >≥，则()()()()()121221121212121212111t t t t t t g t g t t t t t t t t t t t --⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 124t t >≥，120t t ∴->，121t t >，()()120g t g t ∴->，即()()12g t g t >，所以，函数()g t 在[)4,+∞上为增函数，因此，()()min 1174444f xg ==+=. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.13．若函数1y ax =+在区间[]1,3上的最大值是4，则实数a 的值为（） A ．-1 B ．1C ．3D ．1或3【答案】B 【分析】分0a >和0a <两种情况求解，0a >时，1y ax =+在区间[]1,3上为增函数，从而可求出其最大值，当0a <时，1y ax =+在区间[]1,3上为减函数，从而可求出其最大值，进而可得答案【解析】解：当0a >时，1y ax =+在区间[]1,3上为增函数，则当3x =时，y 取得最大值，即314a +=，解得1a =；当0a <时，1y ax =+在区间[]1,3上为减函数，则当1x =时，y 取得最大值，即14a +=，解得3a =舍去，所以1a =，故选：B14．函数2y ax =+在[1，2]上的最大值与最小值的差为3，则实数a 为（） A ．3 B ．-3 C ．0 D ．3或-3【答案】D 【分析】讨论a 的取值，判断函数的单调性，求出函数的最值，作差即可求解. 【解析】解：①当0a =时，2=2y ax =+，不符合题意；②当0a >时，2y ax =+在[]1,2上递增，则()()2223a a +-+=，解得3a =； ③当0a <时，2y ax =+在[]1,2上递减，则()()2223a a +-+=，解得3a =-．综上，得3a =±，故选：D ．15．已知函数24()2tx t f x x --+=+在区间[1,2]-上的最大值为2，则实数t 的值为（）A ．2或3B ．1或3C ．2D ．3【答案】A 【分析】函数()24422tx t f x t x x --+==-+++，4[1,2],[1,4]2x t t t x ∈--+∈--+，根据绝对值的最大值为2进行分类讨论检验即可. 【解析】由题函数()24422tx t f x t x x --+==-+++，4[1,2],[1,4]2x t t t x ∈--+∈--+ ()24422tx t f x t x x --+==-+++的最大值为4t -或1t -当41t t -≥-时，即52t ≤时，最大值42t -=解得：2t =；当41t t -<-时，即52t >时，最大值12t -=解得：3t = 综上所述：t 的值等于2或3. 故选：A 【点睛】解决本题的关键是利用单调性求出42t x -++的范围，再结合绝对值的性质进行求解. 16．若函数12,02()(21)3,2log x x f x a x a x <<⎧⎪=⎨⎪-+⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围为（） A ．1[2，1)B ．1(0,)7C ．1[7，1)2D ．1[2，1]【答案】C 【分析】根据分段函数的值域为R ，具有连续性，由12log y x =是减函数，可得(21)3y a x a =-+也是减函数，故得210a -<，(21)231a a -⨯+-，可得答案. 【解析】解：函数12,02()(21)3,2log x x f x a x a x <<⎧⎪=⎨⎪-+⎩的值域为R ，由12log y x =是减函数，(21)3y a x a ∴=-+也是减函数，故得210a -<，解得：12a <，函数()f x 的值域为R ，12(21)23log 21a a -⨯+=-，解得：17a. ∴实数a 的取值范围是1[7，1)2.故选：C .17．若函数()f x 是R 上的减函数，0a >，则下列不等式一定成立的是（） A ．2()()f a f a < B ．1()f a f a ⎛⎫<⎪⎝⎭C ．()(2)f a f a <D ．2()(1)f a f a <-【答案】D 【分析】根据函数单调性，以及题中条件，逐项判断，即可得出结果. 【解析】因为函数()f x 是R 上的减函数，0a >，A 选项，()21a a a a -=-，当1a >时，2a a >，所以2()()f a f a <；当01a <<时，2a a <，所以2()()f a f a >，即B 不一定成立； B 选项，当1a >时，1a a >，所以1()f a f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭；当01a <<时，1a a <，所以1()f a f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即B 不一定成立；C 选项，0a >时，2a a >，则()(2)f a f a >，所以C 不成立；D 选项，()2221311024a a a a a ⎛⎫--=-+=-+> ⎪⎝⎭，则21a a >-；所以2()(1)f a f a <-，即D一定成立. 故选：D.18．已知函数2()f x x bx c =++，且(2)()f x f x +=-，则下列不等式中成立的是（） A ．(4)(0)(4)f f f -<< B ．(0)(4)(4)f f f <-< C ．(0)(4)(4)f f f <<- D ．(4)(0)(4)f f f <<-【答案】C 【分析】由(2)()f x f x +=-，即可得到()f x 图象的对称轴为1x =，所以根据图象上的点离对称轴的距离即可比较出(0),(4),(4)f f f -的大小关系. 【解析】由(2)()f x f x +=-得()f x 图象的对称轴为1x =，所以()f x 在(,1]-∞上单调递减，在[1,)+∞上单调递增，且(4)(2)f f =-，所以(0)(2)(4)(4)f f f f <-=<-，故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数值的比较大小的问题，解题方法如下：（1）首先根据题中所给的函数解析式，判断函数类型，根据题中所给的条件，判断出函数图象的对称轴；（2）利用对称性，将自变量所对应的函数值进行转换；（3）根据函数的单调性求得结果.19．若定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上是减函数，则下列各式一定成立的是（） A ．()()06f f < B ．()()32f f -> C ．()()13f f -> D ．()()58f f -<-【答案】C 【分析】由偶函数及在[)0,+∞上是减函数，知在(,0]-∞上是增函数，即可判断各项的正误. 【解析】A ：在[)0,+∞上是减函数，即()()06f f >，错误；B ：(3)(3)f f -=，()f x 在[)0,+∞上是减函数，有()()32f f <，即()()32f f -<，错误； C ：(1)(1)f f -=，()f x 在[)0,+∞上是减函数，有()()31f f <，即()()13f f ->，正确； D ：由题意，()f x 在(,0]-∞上是增函数，()()58f f ->-，错误；故选：C20．设函数()f x 是(),-∞+∞上的减函数，又若a R ∈，则（） A ．()()2f a f a >B ．()()2f a f a < C ．()()2f a a f a +<D ．()()211f a f +≤【答案】D 【分析】利用特殊值法可判断ABC 选项的正误，利用函数的单调性可判断D 选项的正误. 【解析】对于A 选项，取0a =，则2a a =，()()2f a f a ∴=，A 选项错误；对于B 选项，取0a =，则2a a =，所以，()()2f af a =，B 选项错误；对于C 选项，取0a =，则2a a a +=，所以，()()2f a a f a +=，C 选项错误；对于D 选项，对任意的a R ∈，211a +≥，所以，()()211f a f +≤，D 选项正确.故选：D.21．函数()f x 的定义域为,(1)0,()f f x '=R 为()f x 的导函数，且()0f x '>，则不等式()()20x f x ->的解集是（）A ．(,1)(2,)-∞⋃+∞B ．(,1)(1,)-∞⋃+∞C ．(0,1)(2,)+∞D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】A 【分析】依题意可得()f x 再定义域上单调递增，又()10f =，即可得到1x <时，()0f x <；1 x >时，()0f x >；再分类讨论分别计算最后取并集即可；【解析】解：由题意可知()f x 在(),-∞+∞单调递增，又()10f =，1x <时，()0f x <；1 x >时，()0f x >；对于()()2 0x f x ->，当2x >时，不等式成立，当12x <<时，()20, 0x f x -<>，不等式不成立；当1x <时，20x -<，且()0f x <，不等式成立不等式的解集(,1)(2,)-∞⋃+∞ 故选：A .22．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足'()()0f x f x ->，()20212021f e =，则不等式1ln 3f x ⎛⎫<⎪⎝⎭）A ．()6063,e +∞B ．()20210,eC ．()2021,e +∞D ．()60630,e【答案】D 【分析】由题意构造新函数()()xf x F x e =，得到函数的单调性，对问题进行变形，由单调性转化为求解不等式问题，即可得到结果【解析】由题可设()()x f x F x e=，'()()0f x f x ->，则2'()()'()()'()0x x x xf x e f x e f x f x F x e e--==>，所以函数()F x 在R 上单调递增，2021(2021)(2021)1f F e==，将不等式1ln 3f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭1ln 311ln ln 3311ln ln 33x x x f x f x e e e ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅=，可得1ln 13F x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即1ln (2021)3F x F ⎛⎫< ⎪⎝⎭，有1ln 20213x <，故得60630x e <<，所以不等式1ln 3f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭()60630,e ，故选：D. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键是构造新函数，然后运用函数单调性求解不等式，通常情况构造新函数的形式如：()()xf x F x e =、()()F x xf x =或者()()f x F x x =等，需要结合条件或者问题出发进行构造.23．已知函数2()121xf x =-+，且()41(3)xf f ->，则实数x 的取值范围是（）． A ．(2,)+∞ B ．(,2)-∞C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞【答案】D 【分析】用导数判断函数()f x 的单调性，再解不等式即可. 【解析】因为()()22ln 2021x xf x -=<+'，所以函数2()121x f x =-+在R 上单调递减，由于()41(3)xf f ->所以413x-<，得1x <故选：D 【点睛】关键点点晴：判断函数()f x 的单调性是解题的关键.24．已知定义在R 上的函数()f x 满足()13f =，对x ∀∈R 恒有()2f x '<，则()21f x x ≥+的解集为（） A ．[)1,+∞ B ．(],1-∞C ．()1,+∞D ．(),1-∞【答案】B 【分析】构造新函数()()21F x f x x =--，利用导数判断()F x 单减，又(1)0F =可解1x ≤. 【解析】令()()21F x f x x =--，则()()2F x f x ''=-，又因为对x ∀∈R 恒有()2f x '< 所以()()20F x f x ''=-<恒成立，所以()()21F x f x x =--在R 上单减. 又(1)(1)210F f =--=，所以()0F x ≥的解集为(],1-∞ 故选：B 【点睛】利用单调性解不等式通常用于： (1)分段函数型不等式； (2)复合函数型不等式；(3)抽象函数型不等式； (4)解析式较复杂的不等式；25．已知函数f (x ) f (2a 2－5a ＋4)<f (a 2＋a ＋4) ，则实数a 的取值范围是（） A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭∪(2,＋∞)B ．[2,6)C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦∪[2,6)D ．(0,6)【答案】C 【分析】由解析式知()f x 在定义域上递增，由已知函数不等式有2222544a a a a ≤-+<++，即可求解a 的取值范围. 【解析】由题意，()f x 在[2,)+∞上单调递增，∵22(254)(4)f a a f a a -+<++，即2222544a a a a ≤-+<++， ∴260a a -<或22520a a -+≥，可得26a ≤<或102a <≤. 故选：C 【点睛】关键点点睛：利用函数的单调性，列不等式求参数的范围.易错点是定义域容易被忽略.26．已知函数()f x 的图象关于y 轴对称，当0x ≥时，()f x 单调递增，则不等式(2)(1)f x f x >-的解集为__________．【答案】1(,1)(,)3-∞-⋃+∞ 【分析】由题意可得()f x 为偶函数，再由偶函数的性质可将(2)(1)f x f x >-，转化为(2)(1)f x f x >-，再由当0x ≥时，()f x 单调递增，可得21x x >-，从而可求出x 的范围【解析】解：依题意，()f x 为偶函数，当0x ≥时，()f x 单调递增，要满足(2)(1)f x f x >-，则要求21x x >-，两边平方得22412x x x >-+，即23210x x +->，即(1)(31)0x x +->，解得1(,1)(,)3x ∈-∞-⋃+∞．故答案为：1(,1)(,)3-∞-⋃+∞．27．设()xf x a x =+，若()36f =，则不等式()()21f x f x ->的解集为____________.【答案】()1,+∞ 【分析】先由()36f =，解出a ，讨论()xf x a x =+的单调性，利用函数单调性解不等式即可.【解析】因为()xf x a x =+，且()36f =，，所以33a =，解得1a =>.()(),ln 1x x f x f a x a x a =+∴=+' ln 0,ln 111,x x a a a a a >∴>∴>+，()x f x a x ∴=+在R 上单增.()()21f x f x ->可化为：21x x ->解得：1x >.不等式()()21f x f x ->的解集为()1,+∞ 故答案为：()1,+∞ 【点睛】利用单调性解不等式通常用于： (1)分段函数型不等式；(2)复合函数型不等式；(3)抽象函数型不等式；(4)解析式较复杂的不等式；28．已知定义域为R 的奇函数()f x 在区间(0,)+∞上为严格减函数，且()20f =，则不等式(1)01f x x +≥-的解集为___________.【答案】[]3,1-- 【分析】先由定义域为R 的奇函数()f x 在区间(0,)+∞上为严格减函数，且()20f =，画出()f x 的草图，结合图像对(1)01f x x +≥-进行等价转化，解不等式即可.【解析】()f x 是定义域为R 的奇函数，且在区间(0,)+∞上为严格减函数，有()20f =，∴()f x 在区间(,0)-∞上为严格减函数且()20f =，可作出()f x 的草图：不等式(1)01f x x +≥-可化为：()1010x f x ->⎧⎨+≥⎩或()1010x f x -<⎧⎨+≤⎩对于()1010x f x ->⎧⎨+≥⎩，当1x >时()12,10x f x +>+<，无解；对于()1010x f x -<⎧⎨+≤⎩，当1x <时()12,10x f x +<+≤，由图像观察，210x -≤+≤解得：31x -≤≤- 所以不等式(1)01f x x +≥-的解集为[]3,1--.故答案为：[]3,1-- 【点睛】常见解不等式的类型：(1)解一元二次不等式用图像法或因式分解法； (2)分式不等式化为标准型后利用商的符号法则； (3)高次不等式用穿针引线法； (4)含参数的不等式需要分类讨论．29．已知函数()()23log 440f x ax x =-+>在x ∈R 上恒成立，则a 的取值范围是_________.【答案】4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】由题意，把函数()()23log 440f x ax x =-+>在x ∈R 上恒成立转化为2430ax x -+>对x ∈R上恒成立，列不等式解得a 的范围. 【解析】()()23log 440f x x x α=-+>恒成立，即()2233log 44log 1430ax x ax x -+>⇔-+>恒成立，所以0a =时显然不成立.当0a ≠时()0Δ16120a a >⎧⎨=-<⎩得43a <，所以4,3a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【点睛】（1）求参数的范围是常见题型之一，处理的方法有两种：①不分离参数，直接求最大值或最小值，解不等式；②分离参数法.（2）解指、对数型的不等式，通常化为同底的结构，利用函数的单调性解不等式.30．设函数3,1()1+1,1x x f x x x x ≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则不等式()26()f x f x ->的解集为_________．【答案】()3,2- 【分析】先判断函数的单调性，再解抽象不等式. 【解析】当1x >时，31+1y x x=-是增函数，此时1y >；当1x ≤时， y x =是增函数，此时1y ≤，所以函数()f x 是单调递增函数，()()2266f x f x x x ->⇔->，解得：32x -<<，所以不等式的解集是()3,2-. 故答案为：()3,2-。

函数的单调性例题解析

2．3．1 函数的单调性·例题解析【例1】求下列函数的增区间与减区间(1)y ＝|x 2＋2x －3|(2)y (3)y ＝＝x x x x x 2221123-----+||解 (1)令f(x)＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4．先作出f(x)的图像，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图像翻到x 轴就得到y ＝|x 2＋2x －3|的图像，如图2．3－1所示．由图像易得：递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)递减区间是(－∞，－3]，[－1，1](2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间．解当x －1≥0且x －1≠1时，得x ≥1且x ≠2，则函数y ＝－x ．当x －1＜0且x －1≠－1时，得x ＜1且x ≠0时，则函数y ＝x －2． ∴增区间是(－∞，0)和(0，1)减区间是[1，2)和(2，＋∞)(3)解：由－x 2－2x ＋3≥0，得－3≤x ≤1．令u ＝＝g(x)＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4．在x ∈[－3，－1]上是在x∈[－1，1]上是．而＝在≥上是增函数．y u 0u∴函数y 的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．【例2】函数f(x)＝ax 2－(3a －1)x ＋a 2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数a 的取值范围．解当a ＝0时，f(x)＝x 在区间[1，＋∞)上是增函数．当≠时，对称轴＝，若＞时，由＞≤，得＜≤．a 0x a 0a 0 3a 10a 131212a aa--⎧⎨⎪⎩⎪ 若a ＜0时，无解．∴a 的取值范围是0≤a ≤1．【例3】已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为x ＝3的抛物线，试比较大小：(1)f(6)与f(4)(2)f(2)f(15)与解 (1)∵y ＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是x ＝3，∴x ≥3时，f(x)为减函数，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4)(2)x 3f(2)f(4)34f(x)x 3∵对称轴＝，∴＝，而＜＜，函数在≥15 时为减函数．∴＞，即＞．f(15)f(4)f(15)f(2)【例4】判断函数＝≠在区间－，上的单调性．f(x)(a 0)(11)ax x 21- 解任取两个值x 1、x 2∈(－1，1)，且x 1＜x 2．∵－＝∵－＜＜＜，＋＞，－＞，－＜，－＜．∴＞f(x )f(x )1x x 1x x 10x x 0x 10x 10012121221a x x x x x x x x x x x x ()()()()()()()()12211222121212211222111111+---+---当a ＞0时，f(x)在(－1，1)上是减函数．当a ＜0时，f(x)在(－1，1)上是增函数．【例5】利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．证取任意两个值x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2．∵－＝－＋＋这里有三种证法：当＜时，＋＋＝＋－＞当≥时，＋＋＞f(x )f(x )(x x )(x x x x )()x x 0x x x x (x x )x x 0x x 0x x x x 02112221212121212221221212121222证法一又∵x 1－x 2＜0，∴f(x 2)＜f(x 1)故f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．证法二()x x x x (x x )x x x x 0x x 0x 0x 0x x x x x x 012122212222122122112121222∵＋＋＝＋＋，这里＋与不会同时为，否则若＋＝且＝，则＝这与＜矛盾，∴＋＋＞．12341212得f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．证法三()t x x x x x 4x 3x 00x 0x 0t x 03x 0t 0x x x x 0f(x )f(x )f(x)(22121212121212221222121221令＝＋＋，其判别式Δ＝－＝－≤，若Δ＝时，则＝，那么≠，∴＝＞，若Δ＝－＜，则＞，即＋＋＞，从而＜，∴在－∞，＋∞上是减函数．)【例6】讨论函数＝＋的单调性，并画出它的大致图像．f(x)x 1x解定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，任取定义域内两个值x 1、x 2，且x 1＜x 2．∵－＝－，又－＜，f(x )f(x )(x x )x x x x 012121112x x 221 ∴当0＜x 1＜x 2≤1或－1≤x 1＜x 2＜0时，有x 1x 2－1＜0，x 1x 2＞0，f(x 1)＞f(x 2)∴f(x)在(0，1]，[－1，0)上为减函数．当1≤x 1＜x 2或x 1＜x 2≤－1时，有x 1x 2－1＞0，x 1x 2＞0，f(x 1)＞f(x 2)，∴f(x)在(－∞，－1]，[1，＋∞)上为增函数．根据上面讨论的单调区间的结果，又x ＞0时，f(x)min ＝f(1)＝2，当x ＜0时，f(x)max ＝f(－1)＝－2．由上述的单调区间及最值可大致画出＝＋的图像如图．－．y x 2321x说明 1°要掌握利用单调性比较两个数的大小．2°注意对参数的讨论(如例4)．3°在证明函数的单调性时，要灵活运用配方法、判别式法及讨论方法等．(如例5)4°例6是分层讨论，要逐步培养．。

高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题2.2 函数的单调性(解析版)

第二讲函数的单调性1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值【套路秘籍】---千里之行始于足下考向一单调区间求解【例1】（1）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )A.y ＝2－xB.y ＝xC.y ＝log 2xD.y ＝－1x(2)函数f (x )＝ln (x 2－2x －8) 的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞) (3)求函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|的单调区间． (4)求函数f (x )＝x －ln x 的单调区间．(5)函数33y x x =-的单调增区间为__________．【答案】见解析【解析】（1）只有y ＝2－x与y ＝x 的定义域为R ，且y ＝2－x是减函数，y ＝x 是增函数.选B （2）由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2.设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 为增函数．要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间．∵函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间为(4，＋∞)，∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D. （3）先作出函数y ＝x 2－4x ＋3的图象，由于绝对值的作用，把x 轴下方的部分翻折到上方，可得函数y ＝|x 2－4x ＋3|的图象．如图所示．由图可知f (x )在(－∞，1]和[2,3]上为减函数，在[1,2]和[3，＋∞)上为增函数，故f (x )的增区间为[1,2]，[3，＋∞)，减区间为(－∞，1]，[2,3]．（4）由题意，得x >0.y ′＝1－1x ＝x －1x.由y ′＝0解得x ＝1.【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始列表如下：由上表可知，函数的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．（5）21119033y x x '=->∴-<< ，即单调增区间为11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【举一反三】1．下列函数中，在(0,+∞)上单调递减的是( )A ． f(x)=lnxB ． f(x)=(x −1)2C ． f(x)=2−xD ． f(x)=x 3 【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，函数f(x)=lnx 为对数函数，在(0,+∞)上为增函数，不符合题意．【套路总结】一．函数单调性的判断方法有 ①定义法； ②图象法；③利用已知函数的单调性； ④导数法.二．复合函数y ＝f (g (x ))的单调性应根据外层函数y ＝f (t )和内层函数t ＝g (x )的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.对于B ，函数f(x)=(x −1)2为二次函数，在(−∞,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数，不符合题意．对于C ，函数f(x)=2−x =(12)x 为指数函数，在(0,+∞)上单调递减，符合题意．对于D ，函数y =x 3为幂函数，在(0,+∞)上为增函数，不符合题意．故选C ． 2．函数f (x )=log 2(4+3x −x 2)的单调递减区间是（） A ． (−∞,32] B ． [32,+∞) C ． (−1,32] D ． [32,4) 【答案】D【解析】函数f （x ）=log 2（4+3x-x 2），令t=4+3x-x 2＞0，求得-1＜x ＜4，即函数的定义域为（-1，4），且f （x ）=log 2t ，即求函数t 在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得t=4+3x-x 2在定义域内的减区间为[32,4).故选D ． 3．函数()| g x x =的单调递增区间是 ( )A ． [)0+∞，B ． (]0-∞，C ． (]2-∞-，D ． [)2+-∞，【答案】A【解析】任取120,x x >> 则120,x x -> ()()()()121212120,g x g x x x x x g x g x ->-=->> ，所以函数()| g x x =的单调递增区间是[)0+∞，，故选A.考向二单调性的运用一---比较大小【例2】定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)(x 1≠x 2)，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0.则下列结论正确的是( )A ．f (0.32)<f (20.3)<f (log 25) B ．f (log 25)<f (20.3)<f (0.32) C ．f (log 25)<f (0.32)<f (20.3) D ．f (0.32)<f (log 25)<f (20.3) 【答案】A【解析】 ∵对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，∴f (x )在(－∞，0)上是减函数，又∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∵0<0.32<20.3<log 25，∴f (0.32)<f (20.3)<f (log 25)．故选A.【举一反三】1.已知f (x )＝2x－2－x，117459279,,log 97a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则f (a )，f (b )，f (c )的大小顺序为( ) A.f (b )<f (a )<f (c ) B.f (c )<f (b )<f (a ) C.f (c )<f (a )<f (b ) D.f (b )<f (c )<f (a )【答案】B【解析】易知f (x )＝2x －2－x在(－∞，＋∞)上是增函数，又a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79－14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9714>⎝ ⎛⎭⎪⎫9715＝b >0，c ＝log 279<0，∴f (a )>f (b )>f (c ).2.已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c【套路总结】(1)比较大小：县判断出函数的单调性，再根据自变量的大小判断出函数值的大小关系。

第3讲函数的单调性和最值的处理途径(解析版)

第3讲函数的单调性和最值的处理途径【高考地位】函数的单调性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明单调性、求单调区间、利用单调性比较大小、求值域、最值或解不等式．方法一定义法例1 已知函数()log (2)log (4)a a f x x a a x =-+-（0a >且1a ≠）. （1）当1a >时，写出函数()f x 的单调区间，并用定义法证明；（2）当01a <<时，若11()log 48a f x a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围.【来源】辽宁省辽西联合校2020-2021学年高三（上）期中数学试题【答案】（1）增区间为()2,3a a ，减区间为()3,4a a ；证明见解析；（2）10,2⎛⎤⎥⎝⎦.【解析】（1）求得()f x 的定义域，运用复合函数的单调性，结合对数函数和二次函数的单调性，可得所求单调区间，再由单调性的定义证明；（2）由二次函数的值域和对数函数的单调性，求得()f x 的最小值，解不等式112log 48a a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，可得所求范围. 【详解】（1）由2040x a a x ->⎧⎨->⎩可得24a x a <<，则()f x 的定义域为()2,4a a ，()log (2)log (4)log (2)(4)a a a f x x a a x x a a x =-+-=--22log (3)a x a a ⎡⎤=--+⎣⎦，当1a >时，()f x 的增区间为()2,3a a ，减区间为()3,4a a .证明：设()22()3g x x a a =--+，()g x 的增区间为(),3a -∞，减区间为()3,a +∞，当1a >时，设1223a x x a <<<，可得()()12g x g x <，()()12log log []a a g x g x <⎡⎤⎣⎦，即()()12f x f x <，可得()f x 在()2,3a a 递增；设1234a x x a <<<，可得()()12g x g x >，()()12log log []a a g x g x >⎡⎤⎣⎦，即()()12f x f x >，可得()f x 在()3,4a a 递减.（2）由01a <<，()2223x a a a --+≤，可得2()log 2a f x a ≥=，所以112log 48a a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，即为211048a a --≤，解得102a <≤，即a 的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设12,x x 是该区间内的任意两个值，且12x x <；（2）作差变形：即作差，即作差12()()f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差12()()f x f x -的符号；（4）下结论：判断，根据定义作出结论. 即取值---作差----变形----定号----下结论.例2 已知定义域为R 的函数12()12xxf x -=+. （1）试判断函数12()12xxf x -=+在R 上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）若对于任意t ∈R ，不等式22(2)()0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围. 【来源】上海市金山区2021届高三上学期一模（期末教学质量检测）数学试题【答案】（1）函数()f x 在R 上单调递减，证明见解析；（2）1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【解析】（1）利用证明函数单调性的步骤，取值、作差、变形、等号、下结论即可证明()f x 在R 上的单调性；（2）首先利用定义证明()f x 的奇偶性，再根据奇偶性和单调性脱掉f ，转化为关于t 的一元二次不等式恒成立，分离t 转化为最值问题即可求解. 【详解】（1）函数12()12xx f x -=+在R 上单调递减.证明如下：任取12,x x ∈R ，且12x x <，122112*********(22)()()1212(12)(12)x x x x x x x x f x f x ----=-=++++，因为12x x <，所以1222x x <，1120x +>，2120x +>，即12()()f x f x >，故函数12()12xx f x -=+在R 上单调递减.（2）因为1221()()1221x x x x f x f x -----===-++，故12()12xxf x -=+为奇函数，所以222(2)()()f t t f t k f k t -<--=-，由（1）知，函数()f x 在R 上单调递减，故222t t k t ->-，即2220t t k -->对于任意t ∈R 恒成立，所以222k t t <-，令()222g t t t =-，则()min k g t <，因为()22111222222g t t t t ⎛⎫=-=--≥- ⎪⎝⎭，所以()min 12g t =-，所以12k <-，即实数k 的取值范围是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：定义法判定函数()f x 在区间D 上的单调性的一般步骤 1.取值：任取1x ，2x D ∈，规定12x x <， 2.作差：计算()()12f x f x -， 3.定号：确定()()12f x f x -的正负， 4.得出结论：根据同增异减得出结论.【变式演练1】（多选）【海南省2021届高三年级第二次模拟考试】下列函数中是偶函数，且在区间(0,1)上单调递增的是（） A ．22y x =-B ．2y x=C ．1||||y x x =+D ．2||x y x =【答案】AD 【解析】利用函数的奇偶性的定义判断奇偶性，根据函数解析式判断单调性. 【详解】A ，因为()()()2222f x x x f x -=--=-=，22y x =-是偶函数，在区间(0,1)上为增函数，符合题意； B ，因为()()22x x f x f x =--=--=，2y x=是奇函数，且在区间(0,1)上为减函数，不符合题意； C ，因为()()11||||||||f x x x f x x x -=-+=+=-，1||(0)||y x x x =+≠是偶函数，当(0,1)x ∈时，1y x x=+单调递减，不符合题意；D ，因为()()22||||x x f x f x x x -===-，2(0)||x y x x =≠是偶函数，且在区间(0,1)上为增函数，符合题意. 故选：AD例3 定义在[1,1]-上的奇函数()f x ，对任意,0m n ≠时，恒有()()0f m f n m n+>+.（1）比较1()2f 与1()3f 大小；（2）判断()f x 在[1,1]-上的单调性，并用定义证明；（3）若810a x -+>对满足不等式11()(2)024f x f x -+-<的任意x 恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）11()()23f f >；（2）函数()f x 在[1,1]-上为单调递增函数，证明见解析；（3）4a >. 【解析】试题解析：（1）利用作差法，即可比较1()2f 与1()3f 大小；（2）利用单调性定义证明步骤，即可得出结论；（3）先确定x 的范围，再分离参数求最值，即可求a 的取值范围.试题解析：（1）第一步，由()()0f m f n m n+>+得出031213121>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ：∵11()023+-≠，031213121>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ， ∵03121>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ，第二步，由奇偶性得出结论： ∵11()()23f f >--∵11()()23f f >. （2）第一步，取值、作差：任取12[1,1]x x ∈-，且12x x <，21212121212121()()()()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x x x -+--=-=--+-.第二步，判断符号： ∵2121()()0()f x f x x x +->+-，210x x ->，∵21()()0f x f x ->，第三步，下结论：∵函数()f x 在[1,1]-上为单调递增函数. （3）4a >.考点：函数奇偶性与单调性的综合问题. 【变式演练2】已知函数()21xf x x =+. （1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）判断当()1,1x ∈-时函数()f x 的单调性，并用定义证明；（3）若()f x 定义域为()1,1-，解不等式()()210f x f x -+<. 【答案】（1）奇函数（2）增函数（3）1{|0}3x x <<【解析】试题解析：（1）判断与证明函数的奇偶性，首先要确定函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)的关系，如果对定义域上的任意x ，都满足f(-x)=f(x)就是偶函数，如果f(-x)=-f(x)就是奇函数，否则是非奇非偶函数。

函数的单调性与最值(含解析)

函数单调性与最值一、知识要点1．函数的单调性(1)增函数与减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：①如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是．②如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是．(2)单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) ，区间D叫做y＝f(x)的．2．函数的最值(1)最大值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有；②存在x0∈I，使得．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．(2)最小值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有；②存在x0∈I，使得．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值．自查自纠：1．(1)①任意两个增函数②任意两个减函数(2)单调性单调区间2．(1)①f(x)≤M②f(x0)＝M (2)①f(x)≥N②f(x0)＝N二、题型训练题组一1．定义在R 上的偶函数在[)0+∞，上是减函数则 ( ) ． A ． B ． C ． D ．2．如果偶函数)(x f 在上]3,7[--是增函数且最小值是2，那么)(x f 在]7,3[上是（） A ．减函数且最小值是2 B ．减函数且最大值是2 C ．增函数且最小值是2 D ．增函数且最大值是2．3．已知)(x f 是偶函数，它在[)+∞,0上是减函数，若)1()(lg f x f >，则x 的取值范围是（）A ．⎪⎭⎫⎝⎛1,101 B ．()+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛,1101,0 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛10,101 D ．()()+∞⋃,101,0 4．函数的图像关于直线对称，且在单调递减，(0)0f =，则的解集为（）A ．(1,)+∞B ．C ．D ．5．设奇函数()f x 在（0，＋∞）上是增函数，且(1)0f =，则不等式[()()]0x f x f x --<的解集为（） A ．{|10x x -<<或}1x > B ．{|1x x <-或}01x << C ．{|1x x <-或}1x > D ．{|10x x -<<或}01x <<6．已知偶函数f （x ）在区间（0，＋∞）单调增加，则满足f （x －1）<f ⎪⎭⎫⎝⎛31的x 取值范围是（）A ．B ．C ．24(,)33D ．7．已知定义在R 上的偶函数，在时，，若，则a 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．8．若函数)(x f 为奇函数，且在),0(+∞上是增函数，又0)2(=f ，则0)()(<--xx f x f 的解集为（）A ．)2,0()0,2(⋃-B ．)2,0()2,(⋃--∞C ．),2()2,(+∞⋃--∞D ．),2()0,2(+∞⋃-9．若函数)x (f y =是定义在R 上的增函数，且满足1)b a (f )b (f )a (f ,0)1(f -+=+=，那么=)2(f ，关()f x (3)(2)(1)f f f <-<(1)(2)(3)f f f <-<(2)(1)(3)f f f -<<(3)(1)(2)f f f <<-()y f x =1x =[)1,+∞(1)0f x +>(1,1)-(,1)-∞-(,1)(1,)-∞-⋃+∞11(,)33-11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦24,33⎢⎥⎢⎥⎣⎦()f x 0x >()ln xf x e x =+()()1f a f a <-(),1-∞1(,)2-∞1(,1)2()1,+∞于x 的不等式0)x 1(f )1x (f 2>-+-的解集是。

(完整版)函数的单调性与最值(含例题详解)

函数的单调性与最值一、知识梳理1．增函数、减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2，则有：(1)f (x )在区间D 上是增函数⇔f (x 1)<f (x 2)； (2)f (x )在区间D 上是减函数⇔f (x 1)>f (x 2)． 2．单调区间的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 3．函数的最值注意：1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．2．两函数f (x )，g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但 f (x )·g (x )，()1f x 等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比． [试一试]1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．y ＝x ＋1x解析：选A 选项A 的函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．函数f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为______；f (x )max ＝________. 解析：函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为[1,4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 答案：[1,4] 8二、方法归纳1．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数； (3)图像法：如果f (x )是以图像形式给出的，或者f (x )的图像易作出，可由图像的直观性判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 2．求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． (4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．提醒：在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域． [练一练]1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －x C ．y ＝－x 2＋1 D. y ＝lg|x |答案：C2．函数f (x )＝1x 2＋1在区间[2,3]上的最大值是________，最小值是________．答案：15 110三、考点精练考点一求函数的单调区间1、函数()()5log 21f x x =+的单调增区间是________．解析：要使()5log 21y x =+有意义，则210x +>，即12x >-，而5log y u =为()0,+∞ 上的增函数，当12x >-时，u ＝2x ＋1也为R 上的增函数，故原函数的单调增区间是 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.答案：1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭2．函数y ＝x －|1－x |的单调增区间为________．解析：y ＝x －|1－x |＝1,121,1x x x ≥⎧⎨-<⎩作出该函数的图像如图所示．由图像可知，该函数的单调增区间是(－∞，1]．答案：(－∞，1]3．设函数y ＝f (x )在(),-∞+∞内有定义．对于给定的正数k ，定义函数()()()(),,k f x f x k f x k f x k⎧≤⎪=⎨>⎪⎩取函数()2xf x -=，当k ＝12时，函数()k f x 的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析：选C 由f (x )>12，得－1<x <1.由f (x )≤12，得x ≤－1或x ≥1.所以()122,11,1122,1x x x f x x x -⎧≥⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≤-⎩，故()12f x 的单调递增区间为(－∞，－1)．[解题通法]求函数单调区间的方法与判断函数单调性的方法相同即： (1)定义法；(2)复合法；(3)图像法；(4)导数法．考点二函数单调性的判断 [典例] 试讨论函数()()0kf x x k x=+>的单调性． [解] 法一：由解析式可知，函数的定义域是()(),00,-∞⋃+∞．在(0，＋∞)内任取1x ，2x ，令12x x <，那么()()()()122121212121211211x x k k k f x f x x x x x k x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为120x x <<，所以210x x ->，120x x >.故当)12,x x ∈+∞时，()()12f x f x <，即函数在)+∞上单调递增．当(12,x x ∈时，()()12f x f x >，即函数在(上单调递减．考虑到函数()()0kf x x k x=+>是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(,-∞单调递增，在()上单调递减．综上，函数f (x )在(,-∞和)+∞上单调递增，在()和(上单调递减． [解题通法]1．利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后要注意差式的分解变形彻底． 2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确． [针对训练]判断函数g (x )＝－2xx －1在 (1，＋∞)上的单调性．解：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则()()()()()12121212122221111x x x x g x g x x x x x ----=-=----，由于1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0，因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)．故g (x )在(1，＋∞)上是增函数．考点三函数单调性的应用角度一求函数的值域或最值1．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0， f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．解：(1)证明：∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，∴令x ＝y ＝0，得f (0)＝0. 再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )．在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0， f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵当x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．因此f (x )在R 上是减函数．(2)∵f (x )在R 上是减函数，∴f (x )在[－3,3]上也是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)．而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 角度二比较两个函数值或两个自变量的大小2．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0，当x 2∈(2，＋∞) 时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0. 角度三解函数不等式3．已知函数()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)解析：选B 作出函数f (x )的图像，如图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，所以不等式的解集为(－1,4)．角度四求参数的取值范围或值4．已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B.13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(－∞，2]D.13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：选B 函数f (x )是R 上的减函数，于是有()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-⨯≤- ⎪⎪⎝⎭⎩，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. [解题通法]1．含“f ”不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．2．比较函数值大小的思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解．巩固练习一、选择题1．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A 解析：f (x )对称轴x ＝a ，当a ≤1时f (x )在[1，＋∞)上单调递增．∴“a ＝1”为 f (x )在[1，＋∞)上递增的充分不必要条件．2．已知函数()224,04,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案：C 解析：由题知f (x )在R 上是增函数，由题得2－a 2>a ，解得－2<a <1. 3．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为 ( ) A ．4B ．5C ．6D ．7答案：C解析：由题意知函数f (x )是三个函数y 1＝2x ，y 2＝x ＋2，y 3＝10－x 中的较小者，作出三个函数在同一坐标系之下的图象(如图中实线部分为f (x )的图象)可知A (4,6)为函数f (x )图象的最高点．4．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－1,0)∪(0,1] C ．(0,1)D ．(0,1]答案：D 解析:f (x )在[a ，＋∞)上是减函数，对于g (x )，只有当a >0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可，则a 的取值范围是0<a ≤1.5．已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值 ( ) A ．一定大于0 B ．一定小于0 C ．等于0D ．正负都有可能答案：A 解析：∵f (－x )＋f (x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )．又∵x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，∴x 1>－x 2，x 2>－x 3，x 3>－x 1. 又∵f (x 1)>f (－x 2)＝－f (x 2)，f (x 2)>f (－x 3)＝－f (x 3)，f (x 3)>f (－x 1)＝－f (x 1)， ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>－f (x 2)－f (x 3)－f (x 1)． ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0.] 二、填空题6．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．7．设f (x )是增函数，则下列结论一定正确的是________(填序号)． ①y ＝[f (x )]2是增函数；②y ＝1f (x )是减函数；③y ＝－f (x )是减函数；④y ＝|f (x )|是增函数．答案：[0，32]解析：()()()()3030x x x y x x x ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩画图象如图所示：可知递增区间为[0，32]．8．设0<x <1，则函数y ＝1x ＋11－x 的最小值是________．答案：4解析 y ＝1x ＋11－x ＝1x (1－x )，当0<x <1时，x (1－x )＝－(x －12)2＋14≤14，∴y ≥4.三、解答题9．已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． (1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x ，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0.f (x 1)－f (x 2)＝(a －1x 1)－(a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2<0.∴f (x 1)<f (x 2)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)解：由题意a －1x <2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x ，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立．∵h ′(x )＝2－1x 2，x ∈(1，＋∞)，∴2－1x 2>0，∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增．故a ≤h (1)，即a ≤3. ∴a 的取值范围为(－∞，3]．10．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．解：设f (x )的最小值为g (a )，则只需g (a )≥0，由题意知，f (x )的对称轴为－a2.(1)当－a 2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73.又a >4，故此时的a 不存在．(2)当－a 2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f (－a 2)＝3－a －a 24≥0得－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2.(3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0得a ≥－7.又a <－4，故－7≤a <－4.综上得所求a 的取值范围是－7≤a ≤2.11．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有()()0f a f b a b+>+成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明它； (2)解不等式：f (x ＋12)<f (1x －1)；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2，则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数， ∴()()()()()()()()1212121212f x f x f x f x f x f x x x x x +--=+-=-+-由已知得()()()12120f x f x x x +->+-，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在[－1,1]上单调递增． (2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增，∴112111121111x x x x ⎧+<⎪-⎪⎪-≤+≤⎨⎪⎪-≤<⎪-⎩∴－32≤x <－1.(3)∵f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增． ∴在[－1,1]上，f (x )≤1.问题转化为m2－2am＋1≥1，即m2－2am≥0，对a∈[－1,1]成立．下面来求m的取值范围．设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.①若m＝0，则g(a)＝0≥0，自然对a∈[－1,1]恒成立．②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1,1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0，∴m≤－2，或m≥2.∴m的取值范围是m＝0或|m|≥2.。

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考点10 函数的单调性【命题解读】考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；【基础知识回顾】1. 函数单调性的定义(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x 1、x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)(或都有f(x 1)>f(x 2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)．(2)如果函数y ＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间．2. 函数单调性的图像特征对于给定区间上的函数f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减．3. 复合函数的单调性对于函数y ＝f(u)和u ＝g(x)，如果当x ∈(a ，b)时，u ∈(m ，n)，且u ＝g(x)在区间(a ，b)上和y ＝f(u)在区间(m ，n)上同时具有单调性，则复合函数y ＝f(g(x))在区间(a ，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．4. 函数单调性的常用结论(1)对∀x 1，x 2∈D(x 1≠x 2)，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0⇔f(x)在D 上是增函数； f ()x 1－f ()x 2x 1－x 2<0⇔f(x)在D 上是减函数．(2)对勾函数y ＝x ＋ax (a>0)的增区间为(－∞，－a]和[a ，＋∞)，减区间为(－a ，0)和(0，a)． (3)在区间D 上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数．(4)函数f(g(x))的单调性与函数y ＝f(u)和u ＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”5.常用结论1．若函数f (x )，g (x )在区间I 上具有单调性，则在区间I 上具有以下性质： (1)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，f (x )＋g (x )是增(减)函数；(2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (3)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反； (4)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”． 2．增函数与减函数形式的等价变形：∀x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，则(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．1、函数y ＝x 2－5x －6在区间[2，4]上是( )A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增函数D ．先递增再递减函数【答案】C【解析】作出函数y ＝x 2－5x －6的图象(图略)知开口向上，且对称轴为x ＝52，在[2，4]上先减后增．故选C.2、函数y ＝1x －1在[2，3]上的最小值为( )A ．2 B.12 C.13 D ．－12【答案】B【解析】因为y ＝1x －1在[2，3]上单调递减，所以y min ＝13－1＝12. 故选B.3、已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23B.⎣⎡⎭⎫13，23C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23【答案】D【解析】因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13.所以0≤2x －1<13，解得12≤x <23.故选D.4、设函数f(x)在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是(D )A. y ＝1f （x ）在R 上为减函数 B. y ＝|f (x )|在R 上为增函数C. y ＝－1f （x ）在R 上为增函数 D. y ＝－f (x )在R 上为减函数【答案】D.【解析】如f (x )＝x 3，则y ＝1f （x ）的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在x ＝0时无意义，A 、C 错；y ＝|f (x )|是偶函数，在R 上无单调性，B 错．故选D.5、对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图象不可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】BD ．【解析】：若1a >，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递增，二次函数2(1)y a x x =--开口向上，对称轴102(1)x a =>-，经过原点，可能为A ，不可能为B ．若01a <<，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，二次函数2(1)y a x x =--开口向下，对称轴102(1)x a =<-，经过原点，可能为C ，不可能为D ．故选：BD ．6、函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|；单调递减区间是．【答案】(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；(，(1，1＋2)．【解析】作出函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图像如图所示．由图像可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调增区间为(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1－2)，(1，1＋2)．故应分别考向一函数单调性的证明与判断例1、判断函数f(x)＝x1＋x 2在区间[1，＋∞)上的单调性并证明你的结论．【解析】函数f （x ）＝21xx +在区间[1，＋∞）上是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈[1，＋∞），且x 1<x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝1211x x +－2221x x +＝2212212212(1)(1)1)(1)x x x x x x +-+++（＝11122212()(1)1)(1)x x x x x x -++（.∵x 1、x 2∈[1，＋∞），且x 1<x 2，∴ x 1－x 2<0，1－x 1x 2<0. 又（1＋x 21）（1＋x 22）>0，∴ f （x 1）－f （x 2）>0，即f （x 1）>f （x 2）.∴ f （x ）＝21xx +在[1，＋∞）上为减函数. 变式1、试讨论函数f (x )＝x ＋kx (k >0)的单调性．【解析】．法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x 1，x 2，令x 1<x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫x 2＋k x 2－⎝⎛⎭⎫x 1＋k x 1＝(x 2－x 1)＋k ⎝⎛⎭⎫1x 2－1x 1＝(x 2－x 1)x 1x 2－k x 1x 2．因为0<x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，x 1x 2>0．故当x 1，x 2∈(k ，＋∞)时，f (x 1)<f (x 2)，即函数在(k ，＋∞)上单调递增．当x 1，x 2∈(0，k )时，f (x 1)>f (x 2)，即函数在(0，k )上单调递减．考虑到函数f (x )＝x ＋kx (k >0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k )上单调递增，在(－k ，0)上单调递减．综上，函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减．法二：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． f ′(x )＝1－kx 2．令f ′(x )>0得x 2>k ，即x ∈(－∞，－k )或x ∈(k ，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞)．令f ′(x )<0得x 2<k ，即x ∈(－k ，0)或x ∈(0，k )，故函数的单调减区间为(－k ，0)和(0，k )．故函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减．变式2、试讨论函数f(x)＝axx 2＋1(a ＞0)在(0，＋∞)上的单调性，并证明你的结论．【解析】 (方法1)设x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1＜x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝ax 1x 21＋1－ax 2x 22＋1＝ax 1（x 22＋1）－ax 2（x 21＋1）（x 21＋1）（x 22＋1）＝a[x 1x 22＋x 1－x 2x 21－x 2]（x 21＋1）（x 22＋1）＝a （x 2－x 1）（x 1x 2－1）（x 21＋1）（x 22＋1）. ∵x 1＜x 2，x 2－x 1>0，又a>0，(x 21＋1)(x 22＋1)>0. ∴当x 1，x 2∈(0，1)时，x 1x 2－1<0，从而a （x 2－x 1）（x 1x 2－1）（x 21＋1）（x 22＋1）<0，即f(x 1)－f(x 2)<0⇒f(x 1)<f(x 2)，此时f(x)＝axx 2＋1 (a ＞0)单调递增；当x 1，x 2∈(1，＋∞)时，x 1x 2－1>0，从而a （x 2－x 1）（x 1x 2－1）（x 21＋1）（x 22＋1）>0，即f(x 1)－f(x 2)>0⇒f(x 1)>f(x 2)，此时f(x)＝axx 2＋1 (a ＞0)单调递减． ∴函数f(x)在(0，1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数．方法总结： 1. 判断函数的单调性，通常的方法有：（1）定义法；（2）图像法；（3）利用常见函数的单调性；（4）导数法.而要证明一个函数的单调性，基本方法是利用单调性定义或导数法.2. 应用函数单调性的定义证明函数的单调性，其基本步骤如下：取值→作差→变形→确定符号→得出结论其中，变形是十分重要的一步，其目的是使得变形后的式子易于判断符号，常用的方法是(1)分解因式；(2)配方；(3)通分约分等．考向二函数的单调区间例1、求下列函数的单调区间（1）y ＝－x 2＋2|x|＋1；（2）、.函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间是________.【解析】（1）由2221,0-x 21,0x x x x x ⎧-++⎪⎨-+⎪⎩≥，＜，即22(1)2,0-1)2,0.x x y x x ⎧--+⎪=⎨++⎪⎩≥（＜画出函数图像如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调减区间为[－1，0]，[1，＋∞)．（2）y ＝|x |(1－x )＝⎩⎨⎧x （1－x ），x ≥0，－x （1－x ），x <0 ＝⎩⎨⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x<0，函数的大致图象如图所示.由图易知函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.变式1、（2019·河北石家庄二中模拟）函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)C ．(－∞，1]和⎣⎡⎦⎤32，2D.⎝⎛⎦⎤－∞，32和[2，＋∞)【答案】B【解析】y ＝|x 2－3x ＋2|=⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，－x 2－3x ＋2，1＜x ＜2.如图所示，函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)．变式2、函数f(x)＝x ＋12x ＋1的单调减区间为________________．【答案】 ⎝⎛⎭⎫－∞，－12，⎝⎛⎭⎫－12，＋∞【解析】因为f(x)＝x ＋12x ＋1＝x ＋12＋122x ＋1＝12＋14⎝⎛⎭⎫x ＋12，且定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≠－12，所以函数f(x)的单调减区间为(－∞，－12)，(－12，＋∞)．方法总结：求函数的单调区间的常用方法与判断函数的单调性的方法类似，有定义法、图像法、利用常见函数的单调性、导数法等．值得引起高度重视的是：(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求单调区间，必须先求出定义域； (2)对于基本初等函数的单调区间，可以直接利用已知结论求解考向三复合函数的单调区间例3、求下列函数的单调区间(1)f(x)＝x 2－2x －3；（2）212log (32)y x x =-+ 【解析】(2)f(x)＝x 2－2x －3的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．令t ＝x 2－2x －3，∵t ＝x 2－12x －3在x ∈(－∞，－1]上是减函数，在x ∈[3，＋∞)为增函数，又y ＝t 在t ∈(0，＋∞)上是增函数，∴函数f(x)＝x 2－2x －3的单调减区间是(－∞，－1]，单调递增区间是[3，＋∞)．(2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看成12log y u =与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．由x 2－3x ＋2＞0，解得x ＜1或x ＞2.∴函数的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上．∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．而12log y u =在(0，＋∞)上是减函数，∴的单调减区间为(2，＋∞)，单调增区间为(－∞，1)．变式1、函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为（）A ．(),0-∞B ．()2,+∞C ．()0,+∞D ．(),2-∞- 【答案】 D【解析】根据复合函数的单调性判断．因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．变式2、函数f (x )＝2x －x 2的单调递增区间为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1【答案】B【解析】令t ＝x －x 2，由x －x 2≥0，得0≤x ≤1，故函数的定义域为[0，1]．因为g (t )＝2t 是增函数，所以f (x )的单调递增区间即t ＝x －x 2的单调递增区间．利用二次函数的性质，得t ＝x －x 2的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，即原函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.故选B.方法总结：求复合函数的单调性，首先要注意复合函数的定义域，其次要确定函数是有哪些基本函数复合而成，根据同增异减的性质确定复合函数的单调性。