高中数学课件-3.5.1导数的乘法与除法法则

之积，由导数公式表分别得出
f (x) 1,g(x) 1 . x
根据函数乘法的求导法则，可得
(x ln x) 1 ln x x 1 ln x 1. x
练1：求下列函数的导数：
(1)y＝(2x2＋3)(3x－2) (2)y＝2xcos x
(3) y x ln x
例2 求下列函数的导数：
f′(x)＝ ex
f(x)＝logax
1 f′(x)＝xln a (a>0 且 a≠1)
f(x)＝ln x
1 f′(x)＝ x
前面学习了导数的加法与减法法则，下面进行
复习回顾：
[ f (x) g (x)] f ( x) g ( x)
对于导数的乘法与除法法则，我们能否给出这
× × 样的结论呢？
4.2 导数的乘法与除法法则
2.基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c
f′(x)＝ 0
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝ αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝ cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝ －sin x
f(x)＝ax
f′(x)＝ axln a (a>0)
f(x)＝ex
x)
x 2x ln x 2x sin x x2 cos x.
（g(2x）)=函x2数的商y .由co导sx可x数2以公x看式成表是及函差数函f数（的x）求=导c法os则x-分x与别得
出
f ( x) sin x 1, g ( x) 2 x.
由求导的除法法则得
(
cos x x2
x
)
sin
f
(x0 )
lim (x0
x0
x)2 x
x02
2 x0
知 f (x)g (x) 在x2xf0(处x)的导数值为
x02 f ( x0 ) 2 x因0 f此( x，0 ).
x 2f (x) (x 2 )f (x).
的导数x2为f (x)
【抽象概括】
比较与加减 法则的不同
一般地，若两个函数f(x)和g(x)的导数分别
提示： 计算导数的步骤
求导的三个步骤： 求y
求 y x
求 lim y x0 x
解析：给定自变量x0的一个改变量△x，则函数值y的 改变量为
y x0 x2 f (x0 x) x02 f (x0 ),
相应的平均变化率可写成
y (x0 x)2 f (x0 x) x02 f (x0 )
x
x
=lnx之商，根据导数公式表分别得出
f (x) 2x, g(x) 1 . x
由求导的除法法则得
(
x2
)
2x ln x x2 1 x
x(2ln x 1) .
ln x
(ln x)2
ln2 x
练2：求下列函数的导数：
(1)y
ex ex
1 1
x2 (2)y
cos x
例3 求下列函数的导数：
(1)y x2 (ln x sin x);
(2)y
cos x x2
x
.
解：（1）函数y=x2(ln x+sin x)是函数f（x）
=x2与g（x）=ln x+sin x的积，由导数公式表及
和函数的求导法则分别得出
f (x) 2x, g(x) 1 cos x x
由求导的乘法法则得
x 2
ln
x
sin
x
2x
ln
x
sin
x
x2(
1 x
cos
（2）函数 y x s是in函x数
f (x) x与
g(x) 之sin积x，由导数公式表分别得出
f (x) 1 ,g(x) cos x. 2x
根据两个函数之积的求导法则，可得
( x sin x) sin x x cos x. 2x
（3）函数 y x是ln函x数 f (x) x与g (x) ln x
f (x)g(x)
f
(
x) g (x),ຫໍສະໝຸດ f g(x) (x)
f (x) g ( x)
答案是否定的，那么如何求导数的乘法与除法？请
进入本节课的学习！
探究点1 导数乘法公式的推导应用
设函数y f (x)在x0处的导数为f (x0 ),g(x) x2. 我们来求y f (x)g(x) x2f (x)在x0处的导数.
(1)y sin x ; x
(2)y x2 . ln x
解 （1）函数 y si是n 函x 数f（x）=sin x与g（x） x
=x之商，根据导数公式表分别得出
f (x) cos x, g(x) 1.
由求导的除法法则得
( sin x
x
)
cos
x
x x2
sin
x
1
x
cos
x x2
sin
x
.
（2）函数 y 是x2 函数 f（x）=x2和函数g（x） ln x
1．函数y＝(x－a)(x－b)在x＝a处的导数为( D )
A．ab
B．－a(a－b)
C．0
D．a－b
2．设 y＝1＋sincoxsx，－π<x<π，当 y′＝2 时，x 等于( D )
(1)y x2ex;(2)y x sin x;(3)y=xlnx.
解：（1）函数y=x2ex是函数f（x）=x2与g（x ）=ex之积，由导数公式表分别得出
f (x) 2x, g(x) ex .
根据两函数之积的求导法则，可得
(x2ex ) 2xe x x2ex (2x x 2 )ex.
是 f (x)和g (x) ，我们有
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x).
f (x) g(x)
f
(x
)g(x) f (x g2(x)
)g(x
)
.
特别地，若 g( x) k 时，有 kf (x) kf (x) .
例1 求下列函数的导数：
x
1
x2 cos
(x2 )2
x
x
2x
(1
sin
x
)
x
2 x3
cos
x
2x
x sin x
2cos x x3
x.
练 3.求曲线 y＝x22＋x1在点(1，1)处的切线方程.
【解】 y′＝2（x（2＋x21＋）1－）22x·2x＝（2x－2＋21x）2 2， ∴当 x＝1 时，y′＝2－4 2＝0， 即曲线在点(1，1)处的切线斜率 k＝0. 因此，曲线 y＝x22＋x 1在点(1，1)处的切线方程为 y＝1.
(x0 x)2 f (x0 x) f (x0 ) (x0 x)2 x02 f (x0 )
x
(x0 x)2
f (x0 x) x
f (x0 ) (x0 x)2 x02 x
f (x0 )
令x
0由于
lim (
x0
x0
x)2
x02 ,
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )