小学数学课件导数运算法则与四则运算
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导数的四则运算法则
x
dy
即
x x (a ) a ln a .
x x 特别地， 有 (e ) e ．
例 13
解
求 y arcsin x 的导数．
y arcsin x 是 x sin y 的反函数， sin y 在 x
dx cos y 0 ． 区间 , 内单调、可导，且 dy 2 2
.
三.导数公式小结
1.基本初等函数的导数公式
C 0(C为常数）； （log a x ) 1 x ln a ;
1 ( x ) x ( 为实数）；
（ln | x |)
x x (e ) e ;
1 x
;
x x ( a ) a ln a;
(sin x ) cos x; (tan x ) 1
2
求 y sin 2 x ln x 的导数.
y 2sin x cos x ln x
y 2cos x cos x ln x 2sin x ( sin x ) ln x
2sin x cos x 1
x 1 2cos 2 x ln x sin 2 x . x
f ( x ) lim
1 1 lim x 0 x y 0 x ( y ) y
y
即 f ( x )
1
( y )
.
反三角函数导数公式的证明(略)
例 12
解
求 y a (a 0, a 1) 的导数．
x
y a 是 x log a y 的反函数， x log a y 在 且 dx 1 0 , (0,) 内单调、可导，又 dy y ln a 1 x y y ln a a ln a , 所以 dx
dy
即
x x (a ) a ln a .
x x 特别地， 有 (e ) e ．
例 13
解
求 y arcsin x 的导数．
y arcsin x 是 x sin y 的反函数， sin y 在 x
dx cos y 0 ． 区间 , 内单调、可导，且 dy 2 2
.
三.导数公式小结
1.基本初等函数的导数公式
C 0(C为常数）； （log a x ) 1 x ln a ;
1 ( x ) x ( 为实数）；
（ln | x |)
x x (e ) e ;
1 x
;
x x ( a ) a ln a;
(sin x ) cos x; (tan x ) 1
2
求 y sin 2 x ln x 的导数.
y 2sin x cos x ln x
y 2cos x cos x ln x 2sin x ( sin x ) ln x
2sin x cos x 1
x 1 2cos 2 x ln x sin 2 x . x
f ( x ) lim
1 1 lim x 0 x y 0 x ( y ) y
y
即 f ( x )
1
( y )
.
反三角函数导数公式的证明(略)
例 12
解
求 y a (a 0, a 1) 的导数．
x
y a 是 x log a y 的反函数， x log a y 在 且 dx 1 0 , (0,) 内单调、可导，又 dy y ln a 1 x y y ln a a ln a , 所以 dx
课件6：3.2.3 导数的四则运算法则
课堂小结
2．曲线y＝f(x)在点M(x0，f(x0))处的切线方程为y－ f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．若没有给出切点，往往先设切 点为M(x0，f(x0))，再利用导数求斜率及切线方程， 最后根据给定的条件求解问题．
∴－ b－b＋ 2c＝a＝0，0， c－1＝0，
解得ab＝ ＝22， ， c＝1.
∴f(x)＝2x2＋2x＋1.
考点3：求曲线的切线方程
例3：求过点(1，－1)与曲线y＝x3－2x相切的直 线方程． 【解析】解答本题可先设出切点坐标，对函数求 导，写出切线方程；再利用切点在曲线上，切线 过点(1，－1)代入求解．
点 A(0,16)在切线上，则有 16－(x30－3x0)＝3(x20－1)(0－x0)． 化简得 x03＝－8，解得 x0＝－2. 所以切点为 M(－2，－2)， 切线方程为 9x－y＋16＝0.
课堂小结
1．利用公式和求导法则求导数是要注意： (1)在求导之前，先对函数式进行化简，然后再 求导，这样既可减少计算量，也可少出差错． (2)在函数中有两个以上因式连乘时，要注意多 次使用积的求导法则．
一点通：求曲线的切线方程有以下两种情况 (1)求曲线在点P处的切线方程． (2)求过点P与曲线相切的直线方程，这时点P 不一定是切点，也不一定在曲线上，求解步骤为：
题组集训
5．设曲线 y＝xx－＋11在点(3,2)处的切线与直线 ax＋y＋1＝0
垂直，则 a 等于
()
A．2
1 B.2
C．－12
D．－2
3.2.3 导数的四则运算法则
已知函数 f(x)＝1x，g(x)＝x2，那么 f′(x)＝－x12， g′(x)＝2x. 问题 1：如何求 h(x)＝f(x)＋g(x)的导数？
导数的四则运算法则 公开课课件
2
五、课堂练习
1 3 4 练习 3 曲线 y x x 在点(1, ) 处的切线与坐标轴围成 3 1 3 的三角形的面积为 . 9 1 x *练习 4 已知 f ( ) ，则 f ( x )等于( D ) x 1 x 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 2 (1 x ) (1 x ) 1 x 1 x *练习 5 1 已知直线 y kx 是曲线 y ln x 的一条切线， 则k的 值为 . e
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 ln x y (3) x2 .
四、典型例题
例题 2 已知直线 l1 为曲线 y = x + x - 2在点 A(1,0)处的切 线， l 2 为该曲线的另一条切线，且 l1 ^ l2 .求直线 l 2 的方程；
y
2
x
o
A(1,0)
2 20 ( , )B 3 9
l1
l2
四、典型例题
p( t ) = p0 (1 + 5%)t p0 = = 51， 其中 p0 为 t = 0时的物价.假定某种商品的 p 那么在第 10 个年 头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到 0.01)？
p(t ) 1.05 解：根据基本初等函数的导数公式表，有 解析： p(t ) = p0 (1 + 5%)t = 5? 1.05t t t ) = 1.05t ln1.05 ¢ p ( 所以 pⅱ ( t ) = (5? 1.05 ) 所以 p¢ (10) = 1.0510 ln1.05 ? 0.08 (元/年) 因此,在第 10 个年,这种商品的价格约以 0.08 元/年的速度上涨.
1 x ln a 1 x .
；
一、复习与自主学习
②自主学习 教材 P83~P84 问题 1 记忆基本初等函数的导数公式; 问题 2 上述公式可以给我们的求导带来很大的便利，那 么为什么还要求导运算法则？ 问题 3 记忆求导运算法则，你发现运算法则有何规律?
五、课堂练习
1 3 4 练习 3 曲线 y x x 在点(1, ) 处的切线与坐标轴围成 3 1 3 的三角形的面积为 . 9 1 x *练习 4 已知 f ( ) ，则 f ( x )等于( D ) x 1 x 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 2 (1 x ) (1 x ) 1 x 1 x *练习 5 1 已知直线 y kx 是曲线 y ln x 的一条切线， 则k的 值为 . e
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 ln x y (3) x2 .
四、典型例题
例题 2 已知直线 l1 为曲线 y = x + x - 2在点 A(1,0)处的切 线， l 2 为该曲线的另一条切线，且 l1 ^ l2 .求直线 l 2 的方程；
y
2
x
o
A(1,0)
2 20 ( , )B 3 9
l1
l2
四、典型例题
p( t ) = p0 (1 + 5%)t p0 = = 51， 其中 p0 为 t = 0时的物价.假定某种商品的 p 那么在第 10 个年 头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到 0.01)？
p(t ) 1.05 解：根据基本初等函数的导数公式表，有 解析： p(t ) = p0 (1 + 5%)t = 5? 1.05t t t ) = 1.05t ln1.05 ¢ p ( 所以 pⅱ ( t ) = (5? 1.05 ) 所以 p¢ (10) = 1.0510 ln1.05 ? 0.08 (元/年) 因此,在第 10 个年,这种商品的价格约以 0.08 元/年的速度上涨.
1 x ln a 1 x .
；
一、复习与自主学习
②自主学习 教材 P83~P84 问题 1 记忆基本初等函数的导数公式; 问题 2 上述公式可以给我们的求导带来很大的便利，那 么为什么还要求导运算法则？ 问题 3 记忆求导运算法则，你发现运算法则有何规律?
522导数的四则运算法则课件共36张PPT
课堂篇·互动学习
类型一
导数的运算法则
[例 1] 求下列函数的导数： (1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (2)y＝x22＋x 1； (3)y＝xsin x－co2s x； (4)y＝3x－lg x. [思路分析] 本题考查导数的运算法则，观察函数的结构特征，可先对函数式 进行合理变形，然后利用导数公式及相应的运算法则求解．
3．已知 f(x)＝xln x＋2 018x，若 f′(x0)＝2 020，则 x0＝__e___.
解析：∵f′(x)＝ln x＋1＋2 018，∴f′(x0)＝ln x0＋2 019＝2 020，∴ln x0＝1，解 得 x0＝e.
4．若曲线 y＝xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x－y＋1＝0，则点 P 的坐标 是___(_e，__e_)___．
5．2 导数的运算
5．2.2 导数的四则运算法则
[课标解读]1.掌握导数的基本运算法则.2.能利用导数的四则运算法则求简单函 数的导数．
[素养目标] 水平一：能应用导数的四则运算法则求简单函数的导数(数学运 算)．
水平二：能利用导数的运算法则求复杂函数的导数(数学运算).
课前篇·自主预习 检测篇·达标小练
[解] (1)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3) ＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′ ＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11. (2)y′＝x22＋x 1′＝2x′x2＋x12＋－122xx2＋1′ ＝2x2x＋2＋11－24x2＝2x－2＋21x22.
[变式训练 1] 求下列函数的导数： (1)y＝( x－2)2；(2)y＝( x＋1) 1x－1.
解：(1)∵y＝( x－2)Байду номын сангаас＝x－4 x＋4，
导数的四则运算法则课件
工具
第三章 变化率与导数
4．求下列函数的导数． (1)y＝x4－x3－x＋3；(2)y＝x22＋x33； (3)y＝x·ax(a>0)；(4)lnxx(x>0)． 解析： (1)y′＝(x4－x3－x＋3)′ ＝(x4)′－(x3)′－(x)′＋3′ ＝4x3－3x2－1.
工具
第三章 变化率与导数
工具
第三章 变化率与导数
4．两函数商的求导法则的特例 gfxx′＝f′xgxg－2xfxg′x(g(x)≠0)， 当 f(x)＝1 时，g1x′＝1′·gxg－2x1·g′x＝－gg′2xx (g(x)≠0)． 这是一个函数倒数的求导法则．
工具
第三章 变化率与导数
2．函数四则运算的求导法则 (1)和(或差)的导数：(u±v)′＝u′±v′， 推广：(u1±u2±…±un)′＝u′1±u′2±…±u′n. (2)积的导数：(u·v)′＝u′v＋uv′， 特别地：(cu)′＝cu′. (3)商的导数：uv′＝u′v－v2 uv′(v≠0)
工具
第三章 变化率与导数
(3)y′＝(x)′·ax＋x·(ax)′＝ax＋x·axlna ＝ax(1＋xlna)． (4)y′＝lnxx′＝lnx′·x－x2 lnx·x′＝1x·x－x2 lnx ＝1－x2lnx.
工具
第三章 变化率与导数
求下列函数的导数 (1)y＝x5－3x3－5x2＋6；(2)y＝x22＋x33； (3)f(x)＝1＋sinsixnx；(4)f(x)＝xlg x.
工具
第三章 变化率与导数
5．两函数积与商求导公式的说明
(1)
类
比
：
(uv)′
＝
u′v
＋
uv′
导数的四则运算法则(第2课时)-课件
3．常数与函数乘积的导数，等于常数与函数的导数 之积．
练习题
1．函数y=sin2x的导数为（ B ）
（A）y’=cos2x
（B）y’=2cos2x （C）y’=2(sin2x－cos2x)
（D）y’=－sin2x
2．设 f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若 f ′(－1)＝4，则 a 的值等于 ( A. 19 3 16 B. 3 D. 10 3 ) )
数，且f(x)，g(x)满足f ’(x)=g’(x)，则f(x)与 g(x)满足（
B
）
（A）f(x)＝g(x) （B）f(x)－g(x)为常数函数
（C）f(x)=g(x)=0
（D）f(x)+g(x)为常数函数
6．已知抛物线y=x2＋bx＋c在点(1，2)处与
直线y=x＋1相切，求b，c的值．
b 1 c2
13 B. C. 3
3．设 f (x )＝x ln x ，若 f ′(x 0)＝2，则 x 0＝( A．e
2
B．e
ln 2 C. 2
D．ln 2
4．下列曲线在点x=0处没有切线的是
（DΒιβλιοθήκη ）（A）y=x3＋sinx
（B）y=x2－cosx （C）y=x x +1 （D）y= x cos x
3
5．若f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函
7．若直线y＝kx与曲线y＝x3－3x2＋2x相 切，试求k的值． 解： ∵ y=x3－3x2＋2x，
∴ y’=3x2－6x+2，y’|x=0=2，
又∵直线与曲线均过原点， ∴ 当直线y=kx与曲线y=x3－3x2＋2x相切
于原点时，k=2．
若直线与曲线切于点(x0，y0)（x0≠0）.
课件13：1.2.3 导数的四则运算法则
x .
题型二 复合函数的求导运算
例 2 求下列函数的导数：
(1)y＝(2x－1)4；
(2)y＝102x＋3；
(3)y＝sin4x＋cos4x.
[解] (1)令 u＝2x－1，则 y＝u4，
因为 yx′＝yu′·ux′＝4u3·(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3.
(2)令 u＝2x＋3，则 y＝10u，所以 yx′＝yu′·ux′＝10u·ln10·(2x＋3)′＝2ln10·102x＋3.
答案：ln x＋1
题型探究
题型一 应用求导法则求导数
例 1 求下列函数的导数：
(1)y＝x4＋3x3－2x－5； (3)y＝sinx x；
(2)y＝xlog3x； (4)y＝x－sin2xcos2x.
[解] (1)y′＝(x4＋3x3－2x－5)′＝(x4)′＋(3x3)′－(2x)′－5′＝4x3＋9x2－2.
2．设 f(x)＝sin x－cos x，则 f(x)在 x＝π4处的导数 f′π4＝(
)
A． 2
B．－ 2
C．0 答案：A
D．
2 2
3．已知 f(x)＝1＋1 x，则 f′(x)等于(
)
A．1＋1 x
B．－1＋1 x
C．（1＋1 x）2
D．－（1＋1 x）2
答案：D
4．函数 y＝xln x 的导数为________．
跟踪训练 若函数 f(x)＝exx在 x＝c 处的导数值与函数值互为相反数， 求 c 的值． 解：由于 f(x)＝exx，所以 f(c)＝ecc， 又 f′(x)＝ex·xx2－ex＝ex（xx－2 1），所以 f′(c)＝ec（cc－2 1）. 依题意知 f(c)＋f′(c)＝0，所以ecc＋ec（cc－2 1）＝0，所以 2c－1＝0 得 c＝12.
导数的四则运算法则 课件)
②[cf (x)]′＝__c_f_′_(x_)__．
(3)商的导数gfxx′＝
f′xgx－fxg′x [gx]2
(g(x)≠0)．
3．(1)2xx′＝________；(2)(xex)′＝________．
1－xln 2 (1) 2x
(2)(1＋x)ex
[(1)2xx′＝2x－x2·x22xln 2＝1－2xxln 2；
(2)y′＝(xtan
x)′＝xcsoisn
x′
x
＝xsin
x′cos
x－xsin cos2x
xcos
x′
＝sin
x＋xcos xcos cos2x
x＋xsin2x
＝sin xccooss2xx＋x．
类型 3 导数计算的综合应用 【 例 3 】 (1) 曲 线 y ＝ 3(x2 ＋ x)ex 在 (0 ， 0) 处 的 切 线 方 程 为 ________． (2)设 f (x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，试确定常数 a，b，c，d， 使得 f ′(x)＝xcos x．
又∵f ′(x)＝xcos x，
a－d＝0， ∴aa－x＋cxb－＋dc＝＝0x，， 即－ a＝c＝1，0，
b＋c＝0，
解得 a＝d＝1，b＝c＝0．
含参数的函数的求导问题 (1)求导是对自变量的求导，要分清解析式中的自变量和参变量． (2)函数 f (x)中含有 f ′(a)时，通常将导数 f ′(x)中的 x 取 a，求出 f ′(a) 的具体值，代入函数 f (x)中，从而确定函数的解析式． (3)函数式中含有参数的，一般利用待定系数法、导数的运算法 则确定参数的值即可．
[跟进训练]
1．求下列函数的导数：
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[f(x ) g (x ) ]' f'(x ) g '(x )
函数和（差）的导于数它等们导数的和（。
（可以推广到求有限个函数的和（差）的导数.）
[f(x)g(x)]'f'(x)g(x)f(x)g(x)'(轮流求导之和) [gf((xx))]' f'(x)g([xg)(x)f]2(x)g(x)'...(g(x)0)
(上导乘下,下导乘上,差比下方)
三、例题分析
例1 求函数 yx32x3的 导 数
例2.求下列函数的导数:
(1)yx3sinxcosx
(2)ytanx
(3)y(x1 )x (2)
(4)y x1 x 1
(5)yx5
xsinx x2
课本p15 例3
例3.求下列函数的导数:
(1y)2sixn coxs2x21 22
(2)ysin2 xco2sx 44
(3)ysin x(12co2xs)
2
4
对于函数求导，一般要遵ຫໍສະໝຸດ 先化简再求导的基本原则。四、复合函数及求导法则：
一般地，对于两个函数y=f（u）和u=g（x），如果 通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为 函数y=f（u）和u=g（x）的复合函数，记为
解: (1 )y f(x 2 )(x 2 ) 2 x f(x 2 );
(2 )y f(1 x 2) 2 x x f(1 x 2); 21 x 2 1 x 2
(3) y[f(sin2 x)f(cos2 x)]
[f(sin2 x)][f(cos2 x)]
f(sin2 x)(sin2 x)f(cos2 x)(cos2 x)
yf(g(x))
复合函数的导数：
复合函数 yf(g(x))的导数和函数 y f(u)
ug(x)的导数间的关系为
yx' yu' ux'
y对x的导数=y对u的导数与u对x的导数的乘积
例4 求下列函数的导数
（ 1） ..y(2x3)2; (2)..ye0.05x1;
(3)..ysin(x)..(其中，均为常数）.
f(sin2 x)2sinxcosxf(cos2 x)2cosx(sinx)
sin2x[f(sin2 x)f(cos2 x)]. 说明:对于抽象函数的求导,一方面要从其形式是把握其 结构特征,另一方面要充分运用复合关系的求导法则.
小结：
1、导数的四则运算法则：
[f(x ) g (x ) ]' f'(x ) g '(x )
[f(x)g(x)]'f'(x)g(x)f(x)g(x)' [gf((xx))]' f'(x)g([xg)(x)f]2(x)g(x)'...(g(x)0)
2、复合函数及求导法则： yx' yu' ux'
y对x的导数=y对u的导数与u对x的导数的乘积 （灵活选取中间变量，勿忘中间变量对自变量的求导）
补充:
例 1、 求 下 列 函 数 的 导 数 ：
(1) y ( 2 x 1) 5
(2) y
1 (1 3 x ) 4
(3) y tan 3 x
(4) y 5 x 1 x
(5) y cos(x ) 4
(6) y sin x 2
(7) y sin 2 x 2 sin x 3
例2:设f(x)可导,求下列函数的导数: （1）f(x2);（2）f( 1 x2 );（3）f(sin2x)+f(cos2x)
导数的运算法则 复合函数的导数
一、复习:
C'0C为常 (数 xn)'n(x)n1(nQ)
(sixn )coxs (cxo)ssixn
(ax)' axlna.............(ex)' ex
(loga
x)'
1 .........(lnx)' xlna
1 x
二、导数的运算法则:(和差积商的导数)
函数和（差）的导于数它等们导数的和（。
（可以推广到求有限个函数的和（差）的导数.）
[f(x)g(x)]'f'(x)g(x)f(x)g(x)'(轮流求导之和) [gf((xx))]' f'(x)g([xg)(x)f]2(x)g(x)'...(g(x)0)
(上导乘下,下导乘上,差比下方)
三、例题分析
例1 求函数 yx32x3的 导 数
例2.求下列函数的导数:
(1)yx3sinxcosx
(2)ytanx
(3)y(x1 )x (2)
(4)y x1 x 1
(5)yx5
xsinx x2
课本p15 例3
例3.求下列函数的导数:
(1y)2sixn coxs2x21 22
(2)ysin2 xco2sx 44
(3)ysin x(12co2xs)
2
4
对于函数求导，一般要遵ຫໍສະໝຸດ 先化简再求导的基本原则。四、复合函数及求导法则：
一般地，对于两个函数y=f（u）和u=g（x），如果 通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为 函数y=f（u）和u=g（x）的复合函数，记为
解: (1 )y f(x 2 )(x 2 ) 2 x f(x 2 );
(2 )y f(1 x 2) 2 x x f(1 x 2); 21 x 2 1 x 2
(3) y[f(sin2 x)f(cos2 x)]
[f(sin2 x)][f(cos2 x)]
f(sin2 x)(sin2 x)f(cos2 x)(cos2 x)
yf(g(x))
复合函数的导数：
复合函数 yf(g(x))的导数和函数 y f(u)
ug(x)的导数间的关系为
yx' yu' ux'
y对x的导数=y对u的导数与u对x的导数的乘积
例4 求下列函数的导数
（ 1） ..y(2x3)2; (2)..ye0.05x1;
(3)..ysin(x)..(其中，均为常数）.
f(sin2 x)2sinxcosxf(cos2 x)2cosx(sinx)
sin2x[f(sin2 x)f(cos2 x)]. 说明:对于抽象函数的求导,一方面要从其形式是把握其 结构特征,另一方面要充分运用复合关系的求导法则.
小结：
1、导数的四则运算法则：
[f(x ) g (x ) ]' f'(x ) g '(x )
[f(x)g(x)]'f'(x)g(x)f(x)g(x)' [gf((xx))]' f'(x)g([xg)(x)f]2(x)g(x)'...(g(x)0)
2、复合函数及求导法则： yx' yu' ux'
y对x的导数=y对u的导数与u对x的导数的乘积 （灵活选取中间变量，勿忘中间变量对自变量的求导）
补充:
例 1、 求 下 列 函 数 的 导 数 ：
(1) y ( 2 x 1) 5
(2) y
1 (1 3 x ) 4
(3) y tan 3 x
(4) y 5 x 1 x
(5) y cos(x ) 4
(6) y sin x 2
(7) y sin 2 x 2 sin x 3
例2:设f(x)可导,求下列函数的导数: （1）f(x2);（2）f( 1 x2 );（3）f(sin2x)+f(cos2x)
导数的运算法则 复合函数的导数
一、复习:
C'0C为常 (数 xn)'n(x)n1(nQ)
(sixn )coxs (cxo)ssixn
(ax)' axlna.............(ex)' ex
(loga
x)'
1 .........(lnx)' xlna
1 x
二、导数的运算法则:(和差积商的导数)