高考数学压轴专题最新备战高考《计数原理与概率统计》易错题汇编及答案

【最新】数学《计数原理与概率统计》高考知识点(1)

一、选择题

1．河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”．把一到十分成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中．“河图”将一到十分成五行属性分别为金，木，水，火，土的五组，在五行的五种属性中，五行相克的规律为：金克木，木克土，土克水，水克火，火克金；五行相生的规律为：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木．现从这十个数中随机抽取3个数，则这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率为（ ）

A ．

110

B ．

15

C ．

25

D ．

12

【答案】C 【解析】 【分析】

从这十个数中随机抽取3个数，这3个数字的属性互不相克，包含的基本事件个数

11221

52222()20n C C C C C =+=，这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字包含的基本事件个数为：11221

22222()8,m C C C C C =+=，由此能求出这3个数字的属性互不

相克的条件下，取到属性为土的数字的概率． 【详解】

由题意得数字4，9属性为金，3，8属性为木，1，6属性为水， 2，7属性为火，5，10属性为土，

从这十个数中随机抽取3个数，这3个数字的属性互不相克，

包含的基本事件个数11221

52222()20n C C C C C =+=，

这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字包含的基本事件个数为：

11221

22222()8,m C C C C C =+=，

∴这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率82

205

m p n ===． 故选：C ． 【点睛】

此题考查古典概型，关键在于根据计数原理准确求解基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数.

2．如图，是民航部门统计的某年春运期间12个城市出售的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）

A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高.

B ．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降.

C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州.

D ．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门. 【答案】D 【解析】 【分析】

根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可． 【详解】

由图可知，选项A 、B 、C 都正确，对于D ，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，所以错误． 故选D ． 【点睛】

本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题．

3．从1,2,3,4,5中任取三个数，则这三个数能构成三角形的概率为（ ） A ．

15

B ．

310

C ．

25

D ．

12

【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】

从1,2,3,4,5中任取三个数，取法总数为：3510C =

这三个数能构成三角形的情况有：()()()2,3,42,4,53,4,5，， ∴这三个数能构成三角形的概率为：

3

10

故选B

4．已知函数，在区间

内任取一点，使

的概率为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C 【解析】 【分析】 先求出的取值范围，再利用几何概型相关公式即可得到答案. 【详解】 由

得，故

或

，由

，故

或

，故使

的概率为

.

【点睛】

本题主要考查几何概型的相关计算，难度一般.

5．甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布()()

221122,,,N N μδμδ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）

A ．甲类水果的平均质量10.4kg μ=

B ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右

C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小

D ．乙类水果的质量服从正态分布的参数2 1.99δ= 【答案】D 【解析】

由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg ，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg ，故A ，B ，C ，正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2 1.99，故D 不正确．故选D ．

6．已知5929

0129(1)(2)(1)(1)...(1)x x a a x a x a x ++-=+-+-++-，则7a =（ ）

A ．9

B ．36

C ．84

D ．243

【答案】B 【解析】 【分析】

()()59x 1x 2++-等价变形为[()][()()]59x 12x 11-++-+-，然后利用二项式

定理将其拆开，求出含有7

(1)x -的项，便可得到7a ．

【详解】

解：55(1)[(1)2]x x +=-+展开式中不含7(1)x -；

()[()()]99x 2x 11-=-+-展开式中含7(1)x -的系数为()72

9C 136-=

所以，7a 36=，故选B 【点睛】

本题考查二项式定理，解题的关键是要将原来因式的形式转化为目标因式的形式，然后再进行解题．

7．如果一个三位数，各位数字之和等于10，但各位上数字允许重复，则称此三位数为“十全九美三位数”（如235，505等），则这种“十全九美三位数”的个数是（ ） A ．54 B ．50 C ．60 D ．58

【答案】A 【解析】 【分析】

利用分类计数原理，分成有重复数字和无重复数字的情况，即可得答案. 【详解】

利用分类计数原理，分成有重复数字和无重复数字的情况：

（1）无重复数字：109，190，901，910，127，172，271，217，721，712，136，163，316，361，613，631，145，154，451，415，514，541，208，280，802，820，235，253，352，325，523，532，307，370，703，730，406，460，604，640，共40个， （2）有重复数字：118，181，811，226，262，622，334，343，433，442，424，244，550，505，共14个. 故选：A. 【点睛】

本题考查分类计数原理的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不重不漏.

8．如图所示，将四棱锥S-ABCD 的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种色可供使用，则不同的染色方法种数为（ ）

A ．240

B ．360

C ．420

D ．960

【答案】C 【解析】 【分析】

可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论. 【详解】

由题设，四棱锥S-ABCD 的顶点S 、A 、B 所染的颜色互不相同，它们共有54360??=种染色方法.

设5种颜色为1，2，3，4，5，当S 、A 、B 染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3， 若C 染2，则D 可染3或4或5，有3种染法；

若C 染4，则D 可染3或5，有2种染法，若C 染5，则D 可染3或4，有2种染法. 可见，当S 、A 、B 已染好时，C 、D 还有7种染法，故不同的染色方法有607420?=（种）. 故选：C 【点睛】

本题考查分类加法原理、分步乘法原理的综合应用，考查学生的分类讨论的思想、逻辑推理能力，是一道中档题.

9．某城市有3 个演习点同时进行消防演习，现将5 个消防队分配到这3 个演习点，若每个演习点至少安排1 个消防队，则不同的分配方案种数为（ ） A ．150 B ．240 C ．360 D ．540

【答案】A 【解析】

试题分析：由题意得，把5个消防队分成三组，可分为1,1,3，1,2,2两类方法，（1）分为

1,1,3，共有1135432210C C C A =种不同的分组方法；（2）分为1,2,2，共有122542

2

215C C C A =种不同的分组方法；所以分配到三个演习点，共有3

3(1015)150A +?=种不同的分配方案，故

选A ．

考点：排列、组合的应用．

【方法点晴】本题主要考查了以分配为背景的排列与组合的综合应用，解答的关键是根据“每个演习点至少要安排1个消防队”的要求，明确要将5个消防队分为1,1,3，1,2,2的三组是解得关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中，先将5个消防队分为三组，则分配到三个演习点，然后根据分步计数原理，即可得到答案．

10．某地区甲、乙、丙三所单位进行招聘，其中甲单位招聘2名，乙单位招聘2名，丙单位招聘1名，并且甲单位要至少招聘一名男生，现有3男3女参加三所单位的招聘，则不同的录取方案种数为（ ） A ．36 B ．72 C ．108 D ．144

【答案】D 【解析】 【分析】

按三步分步进行，先考虑甲单位招聘，利用间接法，因为至少招聘一名男生，将只招女生

的情况去掉，录取方案数为22

63C C -，然后剩余四人依次分配给乙单位和丙单位，分别为

24C 、2

2C ，然后根据分步乘法计数原理将三个数相乘可得出答案。

【详解】

根据题意，分3步进行分析：

①单位甲在6人中任选2人招聘，要求至少招聘一名男生，有226312C C -=种情况， ②单位乙在剩下的4人中任选2人招聘，有246C =种情况，

③单位丙在剩下的2人中任选1人招聘，有1

2

2C =种情况， 则有1262144??=种不同的录取方案； 故选：D ． 【点睛】

本题考查排列组合问题，将问题分步骤处理和分类别讨论，是两种最基本的求解排列组合问题的方法，在解题的时候要审清题意，选择合适的方法是解题的关键，着重考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中等题。

11．概率论起源于博弈游戏．17世纪，曾有一个“赌金分配“的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定，各出赌金48枚金币，先赢3局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局．向这96枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率“的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（ ） A ．甲48枚，乙48枚 B ．甲64枚，乙32枚 C ．甲72枚，乙24枚 D ．甲80枚，乙16枚

【答案】C 【解析】 【分析】

根据题意，计算甲乙两人获得96枚金币的概率，据此分析可得答案． 【详解】

根据题意，甲、乙两人每局获胜的概率均为

12

，

假设两人继续进行比赛，甲获取96枚金币的概率11113

2224

P =+?=， 乙获取96枚金币的概率2111224

P =?=， 则甲应该获得396724?=枚金币；乙应该获得1

96244

?=枚金币； 故选：C ． 【点睛】

本题主要考查概率在实际问题中的应用，涉及到独立事件的概率，考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题.

12．已知a c ≠，随机变量ξ，η的分布列如表所示.

命题p ：=E E ξη，命题q ：D D ξη=，则( ) A ．p 真q 真 B ．p 真q 假

C ．p 假q 真

D ．p 假q 假

【答案】C 【解析】 【分析】

首先分别求E ξ和E η，然后比较，利用公式()()2

2

D E E ξξ

ξ=-，利用公式

1a b c ++=，计算D D ξη-的值.

【详解】

12323E a b c a b c ξ=?+?+?=++

12332E c b a a b c η=?+?+?=++ ，

()2E E c a ξη-=- a c ≠Q ，

E E ξη∴≠，所以命题p 是假命题，

()249E a b c ξ=++，()()2

223E a b c ξ=++，

所以()()2

4923D a b c a b c ξ=++-++

()294E a b c η=++，()()2

232E a b c η=++，

()()()()2

229432D E E a b c a b c ηηη=-=++-++ ，

()()()()()22

83223D D c a a b c a b c ξη-=-+++-++

()()()822444c a a c a b c =-+-++ ， 1a b c ++=Q ，

所以()()()()880D D c a a c ξη-=-+-=， 即()()D D ξη=,所以命题q 是真命题. 综上可知p 假q 真. 故选：C 【点睛】

本题考查离散型分布列的期望方差，属于重点题型，本题使用的关键公式是

()()22D E E ξξξ=-，比较大小的关键是利用1a b c ++=.

13．已知()8

12x +展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则b

a

的值（ ） A ．

126

5

B ．

128

5

C ．

125

3

D ．26

【答案】B 【解析】 【分析】

根据二项式系数的性质求得a ，系数的最大值为b 求得b ，从而求得b

a

的值． 【详解】

由题意可得4870a C ==，又展开式的通项公式为182r r

r r T C x +=，

设第1r +项的系数最大，则118811

8

8·2?2·2?2r r r r r r r r C C C C ++--???……，即56r r ???…

?， 求得=5r 或6，此时，872b =?，∴128

5

b a =， 故选：B ． 【点睛】

本题主要考查二项式系数的性质，第n 项的二项式系数与第n 项的系数之间的关系，属于中档题．

14．高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为

123100,,,,x x x x L ，它们的平均数为x ，方差为2s ；其中扫码支付使用的人数分别为

132x +，232x +，332x +，L ，10032x +，它们的平均数为x '，方差为2s '，则x '，

2s '分别为（ ）

A ．32x +，232s +

B ．3x ，23s

C ．32x +，29s

D ．32x +，292s +

【答案】C 【解析】 【分析】

由样本数据的平均数和方差的公式，化简、运算，即可求解，得到答案. 【详解】

由平均数的计算公式，可得数据12100,,,x x x L 的平均数为1231001

()100

x x x x x =++++L 数据1210032,32,,32x x x +++L 的平均数为：

121001210011[(32)(32)(32)][3()2100]32100100

x x x x x x x ++++++=++++?=+L L ， 数据12100,,,x x x L 的方差为2222121001

[()()()]100

s x x x x x x =

-+-++-L ， 数据1210032,32,,32x x x +++L 的方差为：

222121001

{[(32)(32)[(32(32)][(32)(32)]}100x x x x x x +-+++-++++-+L 2222121001

[9()9()9()]9100

x x x x x x s =

-+-++-=L 故选C. 【点睛】

本题主要考查了样本数据的平均数和方差的计算与应用，其中解答中熟记样本数据的平均数和方差的计算公式，合理化简与计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

15．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，其中a 、b 、c ∈{0,1,2,3,4}，则不同的二次函数的个数共有( ) A ．125个 B ．60个 C ．100个 D ．48个

【答案】C 【解析】

由题意得，0a ≠，a 的选择一共有1

4C =4，b 的选择一共有155C =，c 的选择共155

C =种，根据分步计数原理，不同的二次函数共有N=455??=100种。选C.

16．口袋中有相同的黑色小球n 个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n ＝3时取出黑球的数目，η表示当n ＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（ ）

A ．E （ξ）＜E （η），D （ξ）＜D （η）

B ．E （ξ）＞E （η），D （ξ）＜D （η）

C ．E （ξ）＜E （η），

D （ξ）＞D （η） D ．

E （ξ）＞E （η），D （ξ）＞D （η）

【答案】A 【解析】 【分析】

当3n =时，ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出()2E ξ=，

()2

5D ξ=

；当4n =时，η可取1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出()167E η=， ()24

49

D η=，即可得解．

【详解】

当3n =时，ξ的可能取值为1，2，3， ()134336115C C P C ξ?===，()342236325C C P C ξ?===，()34

31361

35

C C P C ξ?===， ∴()131232555E ξ=

+?+?=，()112555

D ξ=+=； 当4n =时，η可取1，2，3，4，

()1434374

135C C P C η?===，()224374

18235C P C C η==?=， ()31437412335C P C C η==?=，()4

404375

1

43C C P C η?===， ∴()41812116234353535357

E η=

+?+?+?=， ()2

2

2

2

416181612161161234357357357549

4

372D η????????=-+-+-+-=

? ? ? ?????????； ∴()()E E ξη<，()()D D ξη<．

故选：A ． 【点睛】

本题考查了超几何分布概率公式的应用，考查了离散型随机变量期望和方差的求解，属于中档题.

17．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对

应的散点图，并求得其回归方程为 1.160.5?37y

x =-，以下结论中不正确的为（ ）

A．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差

B．15名志愿者身高和臂展成正相关关系，

C．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米

D．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米，

【答案】D

【解析】

【分析】

根据散点图和回归方程的表达式，得到两个变量的关系，A根据散点图可求得两个量的极差，进而得到结果；B，根据回归方程可判断正相关；C将190代入回归方程可得到的是估计值，不是准确值，故不正确；D，根据回归方程x的系数可得到增量为11.6厘米，但是回归方程上的点并不都是准确的样本点，故不正确.

【详解】

A，身高极差大约为25，臂展极差大于等于30，故正确；

B，很明显根据散点图像以及回归直线得到，身高矮臂展就会短一些，身高高一些，臂展就长一些，故正确；

C，身高为190厘米，代入回归方程可得到臂展估计值等于189.65厘米，但是不是准确值，故正确；

D，身高相差10厘米的两人臂展的估计值相差11.6厘米，但并不是准确值，回归方程上的点并不都是准确的样本点,故说法不正确.

故答案为D.

【点睛】

本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.

18．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为()

A．280 B．320 C．400 D．1000

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意知这是一个分层抽样问题，根据青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本，得到要从该单位青年职员中抽取的人数，根据每人被抽取的概率为0.2，得到要求的结果 【详解】

由题意知这是一个分层抽样问题，

Q 青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本，

∴要从该单位青年职员中抽取的人数为：10

200801087

?=++

Q 每人被抽取的概率为0.2，

∴该单位青年职员共有

80

4000.2

= 故选C 【点睛】

本题主要考查了分层抽样问题，运用计算方法求出结果即可，较为简单，属于基础题。

19．已知变量y 关于x 的回归方程为0.5?bx y

e -=，其一组数据如下表所示：

若5x =，则预测y 的值可能为（ ） A ．5e B ．

11

2e

C ．7e

D ．15

2e

【答案】D 【解析】 【分析】

将式子两边取对数，得到$ln 0.5y bx =-，令ln z y $=，得到0.5z bx =-，根据题中所给的表格，列出,x z 的取值对应的表格，求得,x z ，利用回归直线过样本中心点，列出等量关系式，求得 1.6b =，得到 1.60.5z x =-，进而得到$ 1.60.5x y e -=，将5x =代入，求得结果. 【详解】

由$0.5bx y e -=，得$ln 0.5y bx =-，令ln z y $=，则0.5z bx =-.

1234

2.54x +++=

=，1346 3.54

z +++==， ∵(,)x z 满足0.5z bx =-，∴3.5 2.50.5b =?-， 解得 1.6b =，∴ 1.60.5z x =-，∴ 1.60.5

x y e -=，

当5x =时，$15

1.650.52y e e ?-==， 故选D. 【点睛】

该题考查的是有关回归分析的问题，涉及到的知识点将对数型回归关系转化为线性回归关系，根据回归直线过样本中心点求参数，属于简单题目.

20．若随机变量X 的分布列为（ ）

且()1E X =，则随机变量X 的方差()D X 等于（ ） A ．

13

B ．0

C ．1

D ．

23

【答案】D 【解析】

分析：先根据已知求出a,b 的值，再利用方差公式求随机变量X 的方差()D X .

详解：由题得1

113

,,13021

3

a b a b a b ?++=??∴==?

??++=?? 所以2

2

2

1112()(01)(11)(21).3

3

33

D X =-?+-?+-?= 故答案为D.

点睛：（1）本题主要考查分布列的性质和方差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值

的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，那么D ξ＝211()x E p ξ-?＋2

22()x E p ξ-?＋…＋

2()n n x E p ξ-?,称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的E ξ是随机变量ξ的期

望．