高中数学选修2-3：超几何分布(1)

X
3
7
11
P
7 15
7
1
15 15
4．某高二数学兴趣小组有 7 位同学，其中有 4 位同学参加过高
一数学“南方杯”竞赛．若从该小组中任选 3 位同学参加高
二数学“南方杯”竞赛，求这 3 位同学中参加过高一数学“南
方杯”竞赛的人数 X 的分布列． 解：由题意知，随机变量 X 服从超几何分布，其中 N＝7， M＝4，n＝3，则 P(X＝0)＝CC04C37 33＝315，P(X＝1)＝CC14C37 32＝1325， P(X＝2)＝CC24C73 13＝1385，P(X＝3)＝CC34C73 03＝345. 所以随机变量 X 的分布列为
[精解详析] (1)由于从 10 件产品中任取 3 件的结果数为 C310， 从 10 件产品中任取 3 件，其中恰有 m(m≤3)件一等品的结果数为
Cm3 C37－m，
(2 分)
那么从 10 件产品中任取 3 件，其中恰有 m 件一等品的概率
为 P(X＝m)＝Cm3CC31370－m，m＝0,1,2,3.
[例 2] 从一批含有 13 件正品、2 件次品的产品中， 不放回地任取 3 件，求取得的次品数 X 的分布列．
[思路点拨] 在取出的 3 件产品中，次品数 X 服从超几 何分布，其可能取值为 0,1,2，对应的正品数应是 3,2,1.
[精解详析] 由题意知 X 服从超几何分布，其中 N＝15，M
＝2，n＝3.
它的可能的取值为 0,1,2，相应的概率依次为 P(X＝0)＝CC02C135313＝2325， P(X＝1)＝CC12C135213＝1325， P(X＝2)＝CC22C135113＝315. 所以 X 的分布列为
X
0
1
2
P
22 35
12 35
1 35
[一点通] 超几何分布的概率计算方法是： (1)确定所给问题中的变量服从超几何分布； (2)写出超几何分布中的参数 N，M，n 的值； (3)利用超几何分布公式，求出相应问题的概率．
超几何分布
设有总数为 N 件的两类物品，其中一类有 M 件，从所有物品
中任取 n 件(n≤N)，这 n 件中所含这类物品件数 X 是 一个离 CmMCnN－－mM
_散__型__随__机__变__量__，它取值为 m 时的概率为 P(X＝m)＝_____C_nN____
(0≤m≤l，l 为 n 和 M 中较小的一个)称离散型随机变量 X 的这种 形式的概率分布为超几何分布，也称 X 服从参数为 N，M，n 的超 几何分布．
这批产品被接收的条件是 x＝0 或 1，所以被接收的概率为 P(X≤1)＝CC02C550548＋CC12C550448＝224435. 即该批产品被接收的概率是224435.
[一点通] 求超几何分布的分布列的步骤如下： (1)验证随机变量服从超几何分布，并确定参数 N，M，n 的值； (2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每 一个值时的概率； (3)用表格的形式列出分布列．
5．袋中装有 4 个白棋子、3 个黑棋子，从袋中随机地取棋子， 设取到一个白棋子得 2 分，取到一个黑棋子得 1 分，从袋 中任取 4 个棋子． (1)求得分 X 的分布列； (2)求得分大于 6 的概率． 解：(1)袋中共 7 个棋子，以取到白棋子为标准，则取到白棋 子的个数为 1,2,3,4，对应的得分 X 为 5,6,7,8. 由题意知，取到的白棋子数服从参数为 N＝7，M＝4，n＝4 的超几何分布，故得分也服从该超几何分布．
1．在一个口袋中装有 5 个白球和 3 个黑球，这些球除颜色外完全
相同，从中摸出 3 个球，至少摸到 2 个黑球的概率等于( )
2
3
A.7
B.8
3 C.7 解析：C23·C15C＋83 C33C50＝27. 答案：A
9 D.28
2．现有语文、数学课本共 7 本(其中语文课本不少于 2 本)，从中
3．现有 10 张奖券，其中 8 张 1 元的、2 张 5 元的，从中同时任
取 3 张，求所得金额的分布列．
解：设所得金额为 X，X 的可能取值为 3,7,11. P(X＝3)＝CC13380＝175， P(X＝7)＝CC28C13012＝175， P(X＝11)＝CC18C31022＝115.
故 X 的分布列为
2.1
离
散 2.1.3 型
随
超
第机
几
二变
何
章量
分
及
布
其
分
布
列
理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练
考点一 考点二 考点三
2．1
离散型随机变量及其分布列
2.1.3 超几何分布
从含有 5 件次品的 100 件产品中任取 3 件． 问题 1：这 100 件产品可分几类？ 提示：两类：次品和非次品
问题 2：取到的次品数 X 的取值有哪些？ 提示：0、1、2、3. 问题 3：求次品数 X＝2 的概率． 提示：P(X＝2)＝CC25C3100195.
为13210.
(12 分)
[一点通] 1．在超几何分布中，随机变量 X 取每个值的概率是用古 典概型计算的，明确每一个事件的意义是正确解答此类问题的 关键． 2．超几何分布具有广泛的应用，它可以用来描述产品抽 样中的次品数的分布规律，也可用来研究我们熟悉的抽奖或摸 球游戏中的某些概率问题．在其概率的表达式中，各个字母的 含义在不同的背景下会有所不同．
由于事件 A1，A2，A3 彼此互斥，且 A＝A1∪A2∪A3， (8 分)
因为 P(A1)＝CC13C31023＝430，P(A2)＝P(X＝2)＝470，P(A3)＝P(X＝ 3)＝1210，
所以 P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝430＋470＋1120＝13210.
即取出的 3 件产品中一等品的件数多于二等品的件数的概率
6．现有来自甲、乙两班学生共 7 名，从中任选 2 名都是甲班的
概率为17.
(1)求 7 名学生中甲班的学生数；
(2)设所选 2 名学生中甲班的学生数为 X，求 X 的分布列，并
求所选 2 人中甲班学生数不少于 1 人的概率．
解：(1)设甲班的学生数为 M，
由题意得
MM－1
17＝CC2M27 ＝
P(X＝5)＝CC14C74 33＝345；P(X＝6)＝CC24C47 23＝1385； P(X＝7)＝CC34C74 13＝1325；P(X＝8)＝CC4447＝315. 所以 X 的分布列为
X5
6
7
8
P
4 35
18 35
12 35
1 35
(2)根据 X 的分布列，可得到得分大于 6 的概率为 P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝1325＋315＝1335.
1．超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字 母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能 机械的记忆公式，应在理解的前提下记忆．
2．超几何分布概率公式有一个显著的特点：分子两个组合数 的下标之和等于分母组合数的下标，分子两个组合数的上标之和 等于分母组合数的上标．
3．凡类似“在含有次品的产品中取部分产品，求所取出的产 品中次品件数的概率”的问题，都属于超几何分布的模型．
超几何分布的概率计算
[例 1] 生产方提供 50 箱的一批产品，其中有 2 箱不合格产 品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取 5 箱产品进行 检测，若至多有一箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被 接收的概率是多少？
[思路点拨] 先找出计算公式中的 N，M，n 再代入计算．
[精解详析] 50 箱的一批产品，从中随机抽取 5 箱，用 X 表示“5 箱中的不合格品的箱数”，则 X 服从超几何分布，其 中参数 N＝50，M＝2，n＝5.
X0 1
2
3
P
1 35
12 35
18 35
4 35
超几何分布的综合问题
[例 3] (12 分)在 10 件产品中，有 3 件一等品，4 件二 等品，3 件三等品．从这 10 件产品中任取 3 件．求：
(1)取出的 3 件产品中一等品件数 X 的分布列； (2)取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概 率． [思路点拨] 先确定 X 的取值情况，再求概率，列表写 出分布列．
所以 X 的分布列为
X
0
P
2 7
1
2
4
1
7
7
由分布列知 P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝47＋17＝57. 即所选两人中甲班学生数不少于 1 人的概率为57.
解决超几何分布问题的关注点： 超几何分布中，只要知道 M，N，n，就可以利用公式求出 X 取不同 m 时的概率 P(X＝m)，从而求出 X 的分布列．
2 7×6
＝M7M×－6 1整理得 M2－M－6＝0，
2
解得 M＝3 或 M＝－2(舍去)． 即 7 个学生中，甲班有 3 人． (2)由题意知 X 服从参数 N＝7，M＝3，n＝2 的超几何分布， 其中 X 的所有可能取值为 0,1,2. P(X＝k)＝Ck3CC2724－k(k＝0,1,2)． 即 P(X＝0)＝CC03C27 42＝261＝27， P(X＝1)＝CC13C72 14＝1221＝47， P(X＝2)＝CC23C72 04＝231＝17.
任取 2 本，至多有 1 本语文课本的概率是57，则语文课本共有
A．2 本
B．3 本

()
C．4 本
D．5 本
解析：设语文书 n 本，则数学书有 7－n 本(n≥2)．
则 2 本都是语文书的概率为C2nCC2707－n＝27， 由组合数公式得 n2－n－12＝0，解得 n＝4.
答案：C