河北省衡水中学2021届上学期期中考试高三数学(含答案)
C． f(x) 在区间 − π4 ,π4 上的最大值与最小值的和为 21
D．将 f(x) 图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，再向左平移 π6 个单位得到 y =
g(x) 的图象，则 g(x) =− cosx
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
<
4 3
.
甲同学记得缺少的条件是首项 a1 的值，乙同学记得缺少的条件是公比 q 的值，并且他俩都记得第(1)
问的答案是 S1,S3,S2 成等差数列．
如果甲、乙两名同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题．
22．(12 分)
定义可导函数
y
=
f(x)
在
x
处的弹性函数为
f'(x)
⋅
x f(x)
，其中
f'(x)
为
f(x)
的导函数.
在区间
D
上，若函数 f(x) 的弹性函数值大于 1，则称 f(x) 在区间 D 上具有弹性，相应的区间 D 也称作 f(x) 的弹性
区间． (1)若 r(x) = ex − x + 1，求 r(x) 的弹性函数及弹性函数的零点； (2)对于函数 f(x) = (x − 1)ex + lnx − tx (其中 e 为自然对数的底数)．
f(x) 的顶点坐标为(1，0). 由 f(x) = x2 − ax + b =
x
−
a 2
2
+
b
−
a2 4
,
得
解得
4．C【解析】设公差为 d，由题意知
解得
或
当 a1 = 0,
d = 1 时，S4 = 6，当 a1 =− 8, d = 5 时，S4 = 4 × ( − 8) + 4 ×2 3 × 5 =− 2.
⋯⋯
−
a99
=
21100 ,a100
=
1 2100
，所以
−
a99
+
a100
=
2
×
1 2100
=
2199 .
因为 S1 + S2 + S3 +⋯+S100 = ( − a1 + a2) + ( − a3 + a4) + ( − a5 + a6) +⋯+( − a99 + a100) −
5
21
注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分．
3
20．(12 分)
设函数 f(x) = x3 − 3x2 + ax, g(x) =− 3ax2 +
a2 2
+
3
x
−
3a2 2
,a
∈
R
.
(1)求函数 f(x) 的单调区间； (2)若函数 φ(x) = a2 f(x) − g(x) − 23 x2(x ∈ [0,2]) 在 x = 0 处取得最大值，求 a 的取值范围．
19．(12 分)
从①
ABNN
=
3
，②
SΔAMN
=
4 3
，③
AC
=
AM
这三个条件中任选一个
，补充在下面问题中
，并进行
求解.
问题：在 △ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,B = π3 ,c = 8，点 M,N 是 BC 边上的两个三等
分点，BC = 3BM ，
，求 AM 的长和 △ABC 外接圆的半径．
)
A．
1 3
1 2
100 − 1
B．
1 3
1 2
98 − 1
C．
1 3
1 2
50 − 1
D．
1 3
1 2
49 − 1
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。
9．已知等差数列 {an} 是递增数列，其前 n 项和为 Sn，且满足 a7 = 3a5，则下列结论正确的是 (
21
x
+a
的“稳定区间” ，则实数 a 的可能取值
是(
)
A．
−
3 2
B．
−
5 6
C．0
D．
1 32
11．已知函数 f(x) = sin ωx + π4 (0 < ω ≤ 3) 的图象的一条对称轴为直线 x = π8 ，函数 g(x) = f(x) +
2cos 2x + π4 ，则下列关于函数 g(x) 的说法错误的是 (
=−
21n (n
≥
2)，所以
an
=−
1 2n+1
，当
n
为奇数时
，an−1
=−
2an
+
21n
=
(ห้องสมุดไป่ตู้
−
2)
−
1 2n+1
+
21n
=
1 2n−1
，所以
an
=
21n
，所以
−
a1
=
1 22
,
a2
=
1 22
，所以
−
a1
+
a2
=
2
×
1 22
=
21
,
−
a3
=
1 24
,
a4
=
1 24
，所以
−
a3
+
a4
=
2
×
1 24
=
1 23
m,n
中的较小数
，若函数
f(x)
=
min{3
+
log41 x,log2x}
，
当 0 < a < b 时，有 f(a) = f(b)，则 a b 的值为 (
)
A．6
B．8
C．9
D．16
8．设 Sn 为数列 {an} 的前 n 项和，Sn = ( − 1)nan − 21n ,n ∈ N*，则 S1 + S2 +⋯+S100 = (
D．2 或 6
D．
−
1 3
6．已知函数 y = f(x) 的部分图象如图，则 f(x) 的解析式可能是 (
)
A． f(x) = x − 21 sin2x C． f(x) = x + tanx
B． f(x) = x + sin2x D． f(x) = x − 21 cosx
7．已知
min
{m,n}
表示实数
21．(12 分)
甲、乙两名同学在复习时发现他们曾经做过的一道数列题目因纸张被破坏，导致一个条件看不清，
具体如下：
等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，已知
，
(1)判断 S1,S2,S3 的关系并给出证明．
(2)若
a1
−
a3
=
3
，设
bn
=
1n2 |an|,
{bn}
的前
n
项和为
Tn，证明
：Tn
x < 4},所以 (A ∪ B) ∩ C = {0,2}.
2．A【解析】因为 y = 2 cosx = 2 sin x + π2 ，所以由函数 y = 2 sin x + π4 的图象得到函数 y =
2 sin
x
+
π 2
的图象，只需向左平移
π 4
个单位．
3．C【解析】因为 y = f(x + 1) 为偶函数，所以 y = f(x) 的对称轴为 x =− 1．又因为 f(1) = 0，所以 y =
求的。 1．已知集合 A = {x|x2 − 2x ≤ 0}, B = {x|1 < 3x < 81}, C = {x|x = 2n,n ∈ N } ，则 (A ∪ B) ∩ C =
(
)
A． {2}
B． {0,2}
C． {2,4}
D． {0,2,4}
2．要得到函数 y = 2cosx 的图象，只需将函数 y = 2sin x + π4 的图象 (
2cos2x，则 f'(0) = 3，不满足原点处切线斜率为 0，排除 B 选项；A 选项中，f'(x) = 1 − cos2x，则 f'(0) =
0 符合题意．
7．B【解析】作出函数 f(x) 的图象，如图中实线所示，由 f(a) = f(b) 可知，
log2a = log41 b+ 3，所以 log2a + log4b = 3，即 log2a + log2 b = log2(a b )
f(x1)f(x2) = 1，且 f(x) 在区间 − π3 , 1π2 上具有单调性，点 − π6 ,0 和直线 x = 71π2 分别为 f(x) 图
象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是 (
)
A． f(x) 在区间 π6 ,π2 上的单调性无法判断
B． f(x) 图象的一个对称中心为 596π ,0
河北省衡水中学 2021 届上学期高三年级二调考试
数学
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共 4 页，总分 150 分，考试时间 120 分钟。
第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
河北省衡水中学高三(上)期中数学试卷(理科)
7.【答案】D
【解析】解： ∵ 푓(푥) = |12−4푠푖푛푥푐표푠푥| = |12−2푠푖푛2푥| ∴ 푓(푥)的最小正周期为푇 = 휋； 又 ∵ 푓(푥−푎) = −푓(푥 + 푎)恒成立， ∴ 푓(푥) = −푓(푥 + 2푎)⇒−푓(푥) = 푓(푥 + 2푎)， 而−푓(푥) = 푓(푥−2푎)， ∴ 푓(푥 + 2푎) = 푓(푥−2푎)⇒푓(푥) = 푓(푥 + 4푎)，
第 3 页，共 21 页
18. 已知等差数列{푎푛}前 n 项和푆푛，等比数列{푏푛}前 n 项和为푇푛，푎1 = 1，푏1 = 1，푎 +
2
푏2 = 4．
(1)若푎3 + 푏3 = 7，求数列{푏푛}的通项公式；
(2)若푇3 = 13，求푆5．
19.
已知圆
D：(푥−2)2
+(푦−1)2
=
1 ，点
显然 PM 最小时，四边形面积最小，此时 PC 最小． ∵ 푃是直线푦 = 2 2푥−4上的动点，
∴
푃퐶最小值
=
|0−1−4| 8+1
=
53，
∴ 푃푀最小值 = ( 53)2−12 = 43，
∴
四边形
PMCN
面积的最小值为：2
×
1 2
×
4 3
×
1
=
43．
故选：A．
6.【答案】C
【解析】解：由函数푓(푥) = 퐴푠푖푛(휔푥 + 휑)(퐴 > 0,휔 > 0,0 < 휑 < 휋2)的部分图象，
在定点 P，使得以弦 AB 为直径的圆恒过 P 点？若存在，求出 P 点的坐标和 △ 푃퐴퐵
河北省衡水中学2021届高三上学期期中考试数学试卷(文科)
D. 2
6、在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 b2＋c2＝a2＋bc，若 sinB·sinC＝sin2A，
则△ABC 的形状是（ ）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
衡水中学高三期中数学（文科） 第 1 页（共 4 页）
7、如图直角坐标系中，角α(0<α< )、角β(－ <β<0)的终边分别交单位圆于 A，B 两点，若 B 点
e 的点，则实数 m 的取值范围是_____________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、(本小题满分 10 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 a1＝1，S9＝81．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求 1 1
1
的值．
S1 1 S2 2
B.[ ， ]
63
C.[ ， ]
12 3
）
D.[ ， ] 62
11、已知函数 f(x)＝x2－ax，g(x)＝lnx－ex。在其共同的定义域内，g(x)的图像不可能在 f(x)的上
方，则求 a 的取值范围（ ）
A.0<a<
e
1
1
B.a>0
C.a≤e＋1
D.a≤0
12、已知函数 g(x)满足 g(x)＝g'(1)ex－1－g(0)x＋ 1 x2，且存在实数 x0 与使得不等式 2m－1≥g(x0)成 2
绝密★启用前
河北省衡水中学 2021 届高三上学期期中考试
文科数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试
河北省衡水中学2021届高三上学期期中考试文科数学试题及参考答案
衡水中学高三上学期期中考试 文科数学试题 第１页 共６页
衡水中学高三上学期期中考试 文科数学试题 第２页 共６页
衡水中学高三上学期期中考试 文科数学试题 第３页 共６页
衡水中学高三上学期期中考试 文科数学试题 第４页 共６页
衡水中学高三上学期期中考试 文科数学试题 第５页 共６页
衡水中学高三上学期期中考试 文科数学试题 第６页 共６页
衡水中学高三上学期期中考试 文科数学试题参考答案 第１页 共５页
衡水中学高三上学期期中考试 文科数学试题参考答案 第５页 共５页。
2021届河北省衡水中学高三上学期期中数学(理)试题(解析版)
2021届河北省衡水中学高三上学期期中数学（理）试题一、单选题1．集合{}2210M x x x =--<，{}20N x x a =+>，U =R ，若UM N =∅，则a 的取值范围是（ ） A ．1a > B ．1a ≥ C ．1a < D ．1a ≤【答案】B【分析】求出集合M ，N 的等价条件，结合条件UM N =∅，建立不等式关系进行求解即可．【详解】由题得1{|1},C {|}222U a a M x x N x x N x x ⎧⎫=-<<=>-∴=≤-⎨⎬⎩⎭，， 因为U M N =∅，所以1,122a a -≤-∴≥. 故选：B.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．2．若直线y kx =与双曲线22194x y-=相交，则k 的取值范围是( )A ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．22,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【分析】联立直线和双曲线的方程得到2236049x k =>-，即得k 的取值范围.【详解】联立直线和双曲线的方程得222224936,49)36,x k x k x -=∴-=（ 当2490-=k ，即23k =±时，直线和双曲线的渐近线重合， 所以直线与双曲线没有公共点. 当2490k -≠，即23k ≠±时，2236049x k =>-， 解之得2233k -<<. 故选：C.【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.3．在ABC 中，3AB =，2AC =，12BD BC =，则AD BD ⋅=（ ） A ．52-B ．52C ．54-D ．54【答案】C【分析】用,AB AC 表示出,AD BD ，利用数量积定义，即可容易求得结果. 【详解】如图所示，∵1()2BD AC AB =-， ∴1()2AD AC AB =+，∴AD BD ⋅=()2211()()2344AC AB AC AB -⋅+=-=﹣54. 故选：C .【点睛】本题考查利用数量积定义求数量积，属简单题.4．已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-，正项等比数列{}n b 中，23b a = ，()23142,n n n b b b n n N +-+=≥∈，则2log n b =( )A ．1n -B ．21n -C ．2n -D ．n【答案】D【分析】数列{a n }的前n 项和S n =n 2﹣n ，a 1=S 1=0，n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，可得a n ．设正项等比数列{b n }的公比为q ＞0，b 2=a 3=4．b n +3b n ﹣1=4b n 2（n ≥2，n ∈N +），化为q 2=4，解得q ，可得b n ．【详解】数列{a n }的前n 项和S n =n 2﹣n ，∴a 1=S 1=0，n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2n ﹣2，n=1时也成立． ∴a n =2n ﹣2．设正项等比数列{b n }的公比为q ＞0，b 2=a 3=4． b n +3b n ﹣1=4b n 2（n ≥2，n ∈N +），∴2211n n b qb q +-⋅=4121()n b q -，化为q 2=4，解得q=2．∴b 1×2=4，解得b 1=2． ∴b n =2n ． 则log 2b n =n ． 故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查数列通项的求法，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 若在已知数列中存在：()()n n n S f a S f n ==或的关系，可以利用项和公式11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求数列的通项.5．已知直线10ax y +-=与圆()()22:11C x y a -++=相交于A ，B ，且ABC 为等腰直角三角形，则实数a 的值为( ) A ．17或1- B ．1- C ．1 D ．1或1-【答案】D【分析】由三角形ABC 为等腰直角三角形，得到圆心C 到直线的距离d=rsin45°，利用点到直线的距离公式列出方程，求出方程的解即可得到a 的值． 【详解】∵由题意得到△ABC 为等腰直角三角形，∴圆心C （1，﹣a ）到直线ax +y ﹣1=0的距离d=rsin45°2， 整理得：1+a 2=2，即a 2=1， 解得：a=﹣1或1， 故答案为D【点睛】此题考查了直角与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，等腰直角三角形的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．6．在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222014a b c +=，则()2tan tan tan tan tan A BC A B ⋅+的值为( )A ．2013B ．1C ．0D ．2014【答案】A【分析】由a 2+b 2=2014c 2，利用余弦定理可得a 2+b 2﹣c 2=2013c 2=2abcosC ．利用三角函数基本关系式和两角和的正弦公式、正弦定理可得()2tanA tanB tanC tanA tanB ⋅+=2sinA sinBcosA cosBsinC sinA sinB cosC cosA cosB ⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭=()2sinAsinBcosC sinCsin A B +=22abcosC c 即可得出．【详解】∵a 2+b 2=2014c 2， ∴a 2+b 2﹣c 2=2013c 2=2abcosC ．∴()2tanA tanB tanC tanA tanB ⋅+=2sinA sinBcosA cosBsinC sinA sinB cosC cosA cosB ⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭=()2sinAsinBcosC sinCsin A B +=22abcosC c =2013． 故答案为：A【点睛】本题考查了三角函数基本关系式和两角和的正弦公式、正弦定理、余弦定理等基础知识与基 本技能方法，属于难题．7．已知点()(),0M a b ab ≠是圆222:C x y r +=内一点，直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线m 的方程为2bx ay r -=，那么( )A ．l m ⊥且m 与圆C 相切B ．l m 且m 与圆C 相切 C ．l m ⊥且m 与圆C 相离D ．l m 且m 与圆C 相离【答案】C【分析】求圆心到直线的距离，然后与a 2+b 2＜r 2比较，可以判断直线与圆的位置关系，易得两直线的关系．【详解】以点M 为中点的弦所在的直线的斜率是﹣a b ，直线m 的斜率为ba，∴直线l ⊥m ，∵点M （a ，b ）是圆x 2+y 2=r 2内一点，∴a 2+b 2＜r 2， ∴圆心到bx ﹣ay=r 22r ，故相离．故答案为：C【点睛】本题主要考查直线的位置关系，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.8．若圆22210x y ax y +-++=和圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点(),C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程是( )A ．24480y x y -++=B ．22220y x y +-+=C ．24480y x y +-+=D ．2210y x y --+=【答案】C【分析】求出两个圆的圆心坐标，两个半径，利用两个圆关于直线的对称知识，求出a 的值，然后求出过点C （﹣a ，a ）的圆P 与y 轴相切，就是圆心到C 的距离等于圆心到y 轴的距离，即可求出圆心P 的轨迹方程．【详解】圆x 2+y 2﹣ax +2y +1=0的圆心（12a-，），因为圆x 2+y 2﹣ax +2y +1=0与圆x 2+y 2=1关于直线y=x ﹣1对称，设圆心（12a -，）和（0,0）的中点为（142a -，）， 所以（142a -，）满足直线y=x ﹣1方程，解得a=2， 过点C （﹣2，2）的圆P 与y 轴相切，圆心P 的坐标为（x ，y ）x = 解得：y 2+4x ﹣4y +8=0，所以圆心P 的轨迹方程是y 2+4x ﹣4y +8=0， 故答案为：C【点睛】（1）本题主要考查圆关于直线的对称问题，考查动点的轨迹方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求轨迹方程的四种主要方法 ： ①待定系数法：通过对已知条件的分析，发现动点满足某个曲线（圆、圆锥曲线）的定义，然后设出曲线的方程，求出其中的待定系数，从而得到动点的轨迹方程.②代入法：如果点M 的运动是由于点P 的运动引起的，可以先用点M 的坐标表示点P 的坐标，然后代入点P 满足的方程，即得动点M 的轨迹方程.③直接法：直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程.④参数法：动点(,)M x y 的运动主要是由于某个参数ϕ的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即()()x f y g ϕϕ=⎧⎨=⎩，再消参.9．平行四边形ABCD 中，2AB =，AD 1,?1AB AD =⋅=-，点M 在边CD 上，则MA MB ⋅的最大值为( )A 1B 1C ．0D ．2【答案】D【分析】根据向量的数量积的运算，求出A=120°，再建立坐标系，得到MA •MB =x （x ﹣2）+34=x 2﹣ 2x +34=（x ﹣1）2﹣14，设f （x ）=（x ﹣1）2﹣14，利用函数的单调性求出函数的最值，问题得 以解决．【详解】∵平行四边形ABCD 中，AB=2，AD=1，AB •AD =﹣1，点M 在边CD 上，∴|AB |•|AD |•cos ∠A=﹣1， ∴cosA=﹣12，∴A=120°， 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂线为y 轴，建立如图所示的坐标系，∴A （0，0），B （2，0），D （﹣12设M （x ，则﹣12≤x ≤32，∴MA =（﹣x MB =（2﹣x ∴MA •MB =x （x ﹣2）+34=x 2﹣2x +34=（x ﹣1）2﹣14， 设f （x ）=（x ﹣1）2﹣14，则f （x ）在[﹣12，1）上单调递减，在[1，32]上单调递增，∴f （x ）min =f （1）=﹣14，f （x ）max =f （﹣12）=2， 则MA •MB 的最大值是2， 故答案为：D【点睛】本题考查了向量的数量积定义和向量数量积的坐标表示和函数的最值问题，关键是建立坐标系，属于中档题．10．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A ．2⎤⎥⎣⎦B ．231⎤⎥⎣⎦ C ．23⎣⎦ D ．36⎣⎦【答案】B【分析】设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为：1F ,根据AF BF ⊥，得到四边形为1AF BF 为矩形，再由ABF α∠=，结合椭圆的定义得到22sin 2cos a c c αα=+，然后由1sin cos c e a αα==+求解. 【详解】设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为：1F ,因为AF BF ⊥，所以四边形为1AF BF 为矩形， 所以12AB FF c == 因为ABF α∠=，所以2sin ,2cos ,AF c BF c αα==由椭圆的定义得：22sin 2cos a c c αα=+，所以11sin cos 24c e a πααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以5,4122πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 4πα⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，142πα⎡⎛⎫+∈⎢⎪⎝⎭⎣，所以12e ⎤∈⎥⎣⎦，故选：B【点睛】方法点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF 1|·|PF 2|；通过整体代入可求其面积等．11．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以A 、B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A ．12B 1C D 1【答案】B【分析】根据题目可知，过P 作准线的垂线，垂足为N ，则由抛物线的定义，结合PA m PB =，可得1PN PAm=，设PA 的倾斜角为α，当m 取得最大值时，sin α最小，此时直线PA 与抛物线相切，即可求出的P 的坐标，再利用双曲线的定义，即可求得双曲线得离心率．【详解】由题意知，由对称性不妨设P 点在y 轴的右侧，过P 作准线的垂线，垂足为N ，则根据则抛物线的定义，可得PN PB =，PA m PB =1PN PAm∴=设PA 的倾斜角为α，当m 取得最大值时，sin α最小，此时直线PA 与抛物线相切，设直线PA 的方程为1y kx =-，与24x y =联立，得2440x kx -+=， 令216160k ∆=-=，解得1k =± 可得(2,1)P ， 又此时点P 恰好在以A 、B 为焦点的双曲线上∴双曲线的实轴21)a PA PB =-=1,1a c ∴==1e ∴=故答案选B ．【点睛】本题主要考查了双曲线与抛物线的性质的应用，在解决圆锥曲线相关问题时常用到方程思想以及数形结合思想．12．已知在R 上的函数()f x 满足如下条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意R x ∈，()()220f x f x +--=；③当[]0,2x ∈时，()f x x =；④函数()()()12n n f x f x -=⋅，*n N ∈，若过点()1,0-的直线l 与函数()()4f x 的图象在[]0,2x ∈上恰有8个交点，在直线l 斜率k 的取值范围是（ ） A ．80,11⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．110,8⎛⎫⎪⎝⎭C ．80,19⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．190,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】先由条件①②，得到函数()f x 是周期为4的周期函数；根据③求出函数()f x 在一个周期[]22-,上的表达式为(),02,20x x f x x x ≤≤⎧=⎨--≤<⎩，根据④得到()()4f x 的周期为12，其图象可由()f x 的图象压缩为原来的18得到，作出()()4f x 的图象，结合图象，即可求出结果.【详解】因为函数()f x 是偶函数，由()()220f x f x +--=得()()()222f x f x f x +=-=-，即()()4f x f x +=，所以函数()f x 是周期为4的周期函数； 若[]2,0x ∈-，则[]0,2x ∈；因为当[]0,2x ∈时，()f x x =， 所以[]0,2x -∈时，()f x x -=-，因为函数()f x 是偶函数，所以()()f x x f x -=-=， 即()f x x =-，[]2,0x ∈-，则函数()f x 在一个周期[]22-,上的表达式为(),02,20x x f x x x ≤≤⎧=⎨--≤<⎩，因为()()()12n n f x f x -=⋅，*n N ∈，所以函数()()()48f x f x =，*n N ∈，故()()4f x 的周期为12，其图象可由()f x 的图象压缩为原来的18得到，作出()()4f x 的图象如图：易知过()1,0M -的直线l 斜率存在，设过点()1,0-的直线l 的方程为()1y k x =+， 则要使直线l 与()()4f x 的图象在[]0,2x ∈上恰有8个交点，则0MA k k <<，因为7,24A ⎛⎫⎪⎝⎭，所以20871114MA k -==+，故8011k <<. 故选：A.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于，根据条件，由函数基本性质，得到()()4f x 的图象，再由函数交点个数，利用数形结合的方法，即可求解.二、填空题13．在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，1b =，ABC sin sin b c B C ++的值为_______________.【答案】2【分析】根据1262sin A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭解出A=3π，利用三角形的面积公式算出c=2．根据余弦定理a 2=b 2+c 2﹣2bccosA 的式子算出 【详解】∵1262sin A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，A ∈（0，π） ∴2A +6π=56π，可得A =3π∵b=1，△ABC∴S =12112c sinA ⨯⨯⨯=，解之得c =2 由余弦定理，得a 2=b 2+c 2﹣2bc cosA=1+4﹣2×123cos π⨯=3∴a根据正弦定理，得b c sinB sinC ++=asinA 3sin故答案为2【点睛】本题着重考查了特殊角的三角函数值、三角形的面积公式、正余弦定理解三角形等知识，属 于中档题．14．已知平面上有四点,,,O A B C ，向量OA ，OB ，OC 满足：0OA OB OC ++=，1OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅=-，则ABC 的周长是_______________.【答案】【分析】先判断三角形为正三角形，再根据正弦定理，问题得以解决． 【详解】平面上有四点O ，A ，B ，C ，满足OA +OB +OC =0， ∴O 是△ABC 的重心，∵OA •OB =OB •OC ，∴OB •（OA ﹣OC ）=OB •CA =0， 即：OB ⊥CA ，同理可得：OC ⊥BA ，OA ⊥BC ， 即O 是垂心， 故△ABC 是正三角形，∵OA •OB =OB •OC =OC •OA =﹣1， 令外接圆半径R ，则：R 2cos （∠AOB ）=R 2cos （23π）=﹣1 即：R即：a sinA =3a sinπ， 即：a， 故周长：3a=， 故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的有关知识以及正弦定理解三角形等有关知识，属于中档题．15．已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___.【分析】设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，|F 1F 2|=2c ，椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2, 由余弦定理可得4c 2=（r 1）2+（r 2）2﹣2r 1r 2cos 3π，①在椭圆中，①化简为即4c 2=4a 2﹣3r 1r 2…②，在双曲线中，化简为即4c 2=4a 12+r 1r 2…③，2212134e e +=所以，再利用柯西不等式求椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值.【详解】设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为a 1，（a ＞a 1），半焦距为c ， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，|F 1F 2|=2c ， 椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2, ∵∠F 1PF 2=3π，则∴由余弦定理可得4c 2=（r 1）2+（r 2）2﹣2r 1r 2cos 3π，① 在椭圆中，①化简为即4c 2=4a 2﹣3r 1r 2…②， 在双曲线中，①化简为即4c 2=4a 12+r 1r 2…③，2212134e e +=所以， 由柯西不等式得（1+13）（221213e e +）≥（121e e +）212113e e +≤所以【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关 键．属于难题．16．已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-，若不等式223(5)n n n a λ--<-，对n N +∀∈恒成立，则整数λ的最大值为______．【答案】4【详解】当1n =时，21122S a =-，得14a =，当2n ≥时，122nn n S a -=-， 又122n n n S a +=-，两式相减得1222nn n n a a a -=--，得122nn n a a -=+，所以11122n n nn a a ---=． 又1122a =，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列， 12nn a n =+，即(1)2n n a n =+⋅．因为0n a >，所以不等式223(5)n n n a λ--<-，等价于2352nn λ-->． 记122311,,224n nn b b b -==-=， 2n ≥时，112121223462n n nnn b n n b n ++--==--． 所以3n ≥时，11,n nb b +< 综上，max 33()8n b b ==，所以33375,5888λλ-><-=，所以整数λ的最大值为4． 【解析】1．数列的通项公式；2．解不等式．三、解答题17．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知向量33cos,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且满足3m n +=.(1)求角A 的大小；(2)若3b c a +=，试判断ABC 的形状. 【答案】(1)(2)直角三角形【分析】(1)直接化简3m n +=得1cos 2A =，60A =︒.（2）联立222122b c a bc --=①，3b c a +=②，化简得2b c =或2c b =，当b=2c 时，可以推理得到ABC 为直角三角形，同理，若2c b =，则ABC 也为直角三角形. 【详解】(1)∵()()2223m n m n ++⋅=，代入33cos,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，有33112cos cos sin sin 32222A A A A ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，∴331coscos sin sin 22222A A A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即31cos 222A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴1cos 2A =，60A =︒.(2)∵1cos 2A =，∴222122b c a bc +-=①又∵b c +=②联立①②有，222bc b c =+-，即222520b bc c --=，解得2b c =或2c b =，又∵b c +=，若2b c =，则a =，∴)2222224a c c c b +=+==，ABC 为直角三角形，同理，若2c b =，则ABC 也为直角三角形.【点睛】（1）本题主要考查三角恒等变换，考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解题的关键是推理得到2b c =或2c b =. 18．已知圆C 经过原点()0,0O 且与直线28y x =-相切于点()4,0P （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）在圆C 上是否存在两点,M N 关于直线1y kx =-对称，且以线段MN 为直径的圆经过原点？若存在,写出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由 【答案】（Ⅰ）()()22215x y -+-=. （Ⅱ）见解析.【分析】（Ⅰ）由已知得圆心经过点P （4，0）、且与y=2x ﹣8垂直的直线122y x =-+上，它又在线段OP 的中垂线x=2上，求得圆心C （2，1）C 的方程．（Ⅱ）假设存在两点M ，N 关于直线y=kx ﹣1对称，则y=kx ﹣1通过圆心C （2，1），求得k=1，设直线MN 为y=﹣x+b ，代入圆的方程，利用韦达定理及 OM •ON =0，求得b 的值，可得结论．【详解】（Ⅰ）法一：由已知，得圆心在经过点()4,0P 且与28y x =-垂直的直线122y x =-+上，它又在线段OP 的中垂线2x =上，所以求得圆心()2,1C ，半径为所以圆C 的方程为()()22215x y -+-=. (细则：法一中圆心3分，半径1分，方程2分)法二：设圆C 的方程为()()22200x x y y r -+-=，可得()222000022200,1,424x y r y x x y r r ⎧⎪+=⎪⎪⎪=-⎨-⎪⎪⎛⎫⎪-+== ⎪⎪⎝⎭⎩解得002,1,x y r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩,所以圆C 的方程为()()22215x y -+-= (细则：方程组中一个方程1分)（Ⅱ）假设存在两点,M N 关于直线1y kx =-对称，则1y kx =-通过圆心()2,1C ，求得1k =，所以设直线MN 为y x b =-+代入圆的方程得()2222220x b x b b -++-=，设()11,M x x b -+，()22,N x x b -+，则()221212230OM ON x x b x x b b b ⋅=-++=-=解得0b =或3b =这时0∆>，符合题意，所以存在直线MN 为y x =-或3y x =-+符合条件 (细则：未判断0∆>的扣1分).【点睛】本题主要考查了圆锥曲线的综合应用问题，其中解答中涉及到圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，向量的坐标运算等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中把直线的方程和椭圆方程联立，转化为方程的根与系数的关系、韦达定理的应用是解答问题的关键19．各项均为正数的数列{}n a 中，11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意*n N ∈，有()222n n n S pa pa p p R =+-∈.(1)求常数p 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式；(3)记423nn n S b n =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）1p =（2）12n n a +=（3） ()1122n n T n +=-⋅+ 【分析】(1)令()222n n n S pa pa p p R =+-∈中n=1即得p 的值.(2)利用项和公式求数列{}n a 的通项公式.(3)先求出4223nn n n S b n n =⋅=⋅+，再利用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n T .【详解】解：(1)由11a =及()2*22n n n S pa pa p n N =+-∈，得：22p p p =+-，∴1p =.(2)由2221n n n S a a =+-①，得2111221n n n S a a +++=+-②由②－①，得()()2211122n n n n n a a a a a +++=-+-，即：()()()11120n n n n n n a a a a a a ++++--+=， ∴()()112210n n n n a a a a +++--=，由于数列{}n a 各项均为正数，∴1221n n a a +-=，即112n n a a +-=， ∴数列{}n a 是首项为1，公差为12的等差数列， ∴数列{}n a 的通项公式是()111122n n a n +=+-⨯=.(3)由12n n a +=，得：()34n n n S +=，∴4223n n n n S b n n =⋅=⋅+， ∴231222322nn T n =⨯+⨯+⨯+⋯+⋅()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯，()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=+++⋯+-⋅=-⨯=--⋅--()1122n n T n +=-⋅+.【点睛】（1）本题主要考查项和公式求数列的通项，考查等差数列的通项和求和公式，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 数列{}·n n b c ，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是等比数列，则采用错位相减法.20．已知椭圆()2222 :?10x y C a b a b +=>>的离心率2e =，原点到过点(),0A a ，()0,B b -.（1）求椭圆C 的方程； （2）如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点E ，F ，且E ，F 都在以B为圆心的圆上，求k 的值.【答案】（1）221164x y +=；（2）4k =±【分析】（1）由离心率e =2a b =，再求出直线1:B x a A y b -=，从而得5d ==，解方程组可求出,a b 的值，进而可得椭圆C 的方程； （2）设()22,E x y ，()33,F x y ，EF 的中点是(),M M M x y ，再将直线()10y kx k =+≠与椭圆方程联立成方程组，消元后利用根与系数的关系可得2234214M x x k x k +-==+，21114M My kx k =+=+，再由E ，F 都在以B 为圆心的圆上，可得20M M x ky k ++=，从而可求出k 的值 【详解】解：（1）因为c a =222a c b -=，所以2a b =. 因为原点到直线1:B x a A y b -=的距离d ==，解得4a =，2b =.故所求椭圆C 的方程为221164x y +=.（2）由题意2211164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()22148120k x kx ++-=.可知0∆>.设()22,E x y ，()33,F x y ，EF 的中点是(),M M M x y ，则2234214M x x kx k +-==+，21114M M y kx k=+=+， 因为E ，F 都在以B 为圆心的圆上，且()0,2B -，所以21M My k x +⋅=-， 所以20M M x ky k ++=.即224201414k kk k k-++=++. 又因为0k ≠，所以218k =.所以4k =±【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是将EF 的中点(),M M M x y 坐标用含k 的式子表示，再由E ，F 都在以B 为圆心的圆上，得20M M x ky k ++=，将点M 的坐标代入可求出k 的值，考查计算能力，属于中档题21．已知定点()0,1F ，定直线:1l y =-，动圆M 过点F ，且与直线l 相切. （1）求动圆M 的圆心轨迹C 的方程；（2）过点F 的直线与曲线C 相交于,A B 两点，分别过点,A B 作曲线C 的切线12,l l ，两条切线相交于点P ，求PAB ∆外接圆面积的最小值.【答案】（Ⅰ）24x y =；（Ⅱ）当0k =时线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.【解析】试题分析：（Ⅰ）设(),M x y=1y +化简即可得结论；（Ⅱ）由题意PAB △的外接圆直径是线段AB ，设AB l ：1y kx =+，与 24x y =联立得2440x kx --=，从而得()241AB k =+，0k =时线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.试题解析：（Ⅰ）设点M 到直线l 的距离为d ，依题意MF d =. 设(),M xy = 1y +.化简得24x y =.所以点M 的轨迹C 的方程为24x y =. （Ⅱ）设AB l ：1y kx =+，代入24x y =中，得2440x kx --=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x ⋅=-.所以AB = ()21241x x k ⋅-=+.因为C ：24x y =，即24x y =，所以2x y '=.所以直线1l 的斜率为112x k =，直线2l 的斜率为222xk =. 因为121214x x k k ==-， 所以PA PB ⊥，即PAB 为直角三角形.所以PAB 的外接圆的圆心为线段AB 的中点，线段AB 是直径. 因为()241AB k =+，所以当0k =时线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π. 【方法点晴】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把,x y 分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将()()00x g x y h x =⎧⎪⎨=⎪⎩代入()00,0=f x y .本题（Ⅰ）就是利用方法①求圆心轨迹方程的. 22．设函数()21ln 2f x x ax bx =--． （1）当12a b ==时，求函数()f x 的最大值； （2）令()()212a F x f x ax bx x=+++，（03x <≤）其图象上任意一点()00,P x y 处切线的斜率12k恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当0a =，1b =-，方程()22mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值． 【答案】（1）34-；（2）12a ≥；（3）12m =. 【分析】（1）对函数求导，根据导数大于0或小于0，确定函数的单调区间，进而求出函数的最大值.（2）求出()(]ln ,0,3a F x x x x=+∈，根据()012'=≤k F x ，列不等式，分离参数可得200max12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭，进而求出结果. （3）22ln 20x m x mx --=有唯一正实数解,构造函数()22ln 2g x x m x mx =--，对函数求导，确定函数的单调区间，进而求出函数的最小值为0，进而求出m 值.【详解】（1）依题意，知()f x 的定义城为()0,∞+， 当12a b ==时，()211ln 42f x x x x =--， ()()()21111222x x f x x x x-+-'=--=，令()0f x '=，解得1x =. 当01x <<时，()0f x '>，此时()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，此时()f x 单调递减，所以()f x 的极大值为()314f =-，此即为最大值. （2）()(]ln ,0,3a F x x x x =+∈，则有()002012x a k F x x -'==≤，在(]00,3x ≤上恒成立， 所以200max12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭，(]00,3x ∈. 当01x =时，22000111(1)+222-+=--x x x 取得最大值12，所以12a ≥. （3）因为方程()22mf x x =有唯一实数解，所以22ln 20x m x mx --=有唯一正实数解，设()22ln 2g x x m x mx =--，则()2222x mx m g x x --'=，令()0g x '=，20x mx m --=，因为0m >，0x >，所以10x =<（舍去），20x =>， 当()20,x x ∈时，()0g x '<，()g x 在()20,x 上单调递减；当()2,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在()2,x +∞上单调递增；故2x x =时，()20g x '=，()g x 取最小值()2g x因为()0g x =有唯一正实数解，所以()20g x =，则()()220,0,g x g x ⎧=⎪⎨='⎪⎩即22222222ln 20,0,x m x mx x mx m ⎧--=⎨--=⎩ 所以222ln +0-=m x mx m ，因为0m >，所以()222ln 10x x +-=*.设函数()2ln 1h x x x =+-，因为当0x >时，()h x 是增函数，所以()0h x =至多有一解，因为()10h =，所以方程（）的解为21x =1=，解得12m =. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于难题.。
河北省衡水中学2021届高三数学上学期期中试题 理 替(1)
20212021学年度上学期高三年级期中考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的）一、设集合{|1},{|1}A x x B x x =>-=≥，那么“x A ∈且x B ∉”成立的充要条件是（ ）A ．11x -<≤B ．1x ≤C ．1x >-D ．11x -<<二、已知实数1,,9m 成等比数列，那么圆锥曲线221x y m-=的离心率为（ ） A 6 B ．2 C 6 2 D ．223 3、已知,m n 为不同的直线，,αβ为不同的平面，那么以下说法正确的选项是（ ）A ．,////m n m n αα⊂⇒B ．,m n m n αα⊂⊥⇒⊥C ．,,////m n n m αβαβ⊂⊂⇒D ．,n n βααβ⊂⊥⇒⊥4、一个锥体的正视图和侧视图如下图，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（ ）A B C D五、要取得函数()cos(2)3f x x π=+的图象，只需将函数()sin(2)3g x x π=+的图象（ ） A ．向左平移2π个单位长度 B ．向右平移2π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度 六、若是把直角三角形的三边都增加一样的长度，那么取得的那个新三角形的形状为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定7、如下图，医用输液瓶能够视为两个圆柱的组合体，开始输液时，滴管内匀速淌下液体（滴管内液体忽略不计），设输液开始后x 分钟，瓶内液面与进气管的距离为h 厘米，已知当0x =时，13h =，若是瓶内的药液恰好156分钟滴完，那么函数()h f x =的图象为（ ）八、已知直线0(0)x y k k +-=>与圆224x y +=交于不同的两点,,A B O 是坐标点， 且有33OA OB AB +≥，那么k 的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．C ．)+∞D ． 九、函数()32423100x x x x f x ex ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，在[]2,2-上的最大值为2，那么a 的取值范围是（ ） A ．1ln 2,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．10,ln 22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．(),0-∞ D ．1,ln 22⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦10、抛物线的弦与过弦的断点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：假设抛物线的弦过核心，那么过弦的断点的来两条切线的交点在其准线上，设抛物线22(0)y px x =>，弦AB 过核心，ABQ ∆且其阿基米德三角形，那么ABQ ∆的面积的最小值为（ ）A ．22p B ．2p C ．22p D ．24p 1一、四面体ABCD 的四个极点都在球O 的表面上，AB ⊥平面,ABCD BCD ∆是边长为3的等边三角形，假设2AB =，那么球O 的表面积为（ ）A ．4πB ．12πC ．16πD ．32π1二、假设概念在R 上的函数()f x 知足()()()(),2f x f x f x f x -=-=，且当[]0,1x ∈时，()f x =，那么函数()2()H x xe f x =-在区间[]5,1-上的零点个数为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：每题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
河北省衡水市衡水中学2021届高三数学上学期期中试题 文(含解析)
河北省衡水市衡水中学2021届高三数学上学期期中试题 文（含解析）一、选择题1.下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是( ) A. ln y x =B. 2y x =-C. xy e =D.cos y x =【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的定义，可得A ，B ，D 是偶函数，再利用函数单调性的性质，即可得出结论． 【详解】根据偶函数的定义()()f x f x =-，可得A ，B ，D 是偶函数，B 在()0,+∞上单调递减，D 在()0,+∞上有增有减，A 在()0,+∞上单调递增， 故选A ．【点睛】本题考查函数单调性的性质，考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．2.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知175100,5770a S S =--=.则101S 等于（ ） A. 100 B. 50C. 0D. 50-【答案】C 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，又1100a =-，所以757654575(700)7(500)7022S S d d ⨯⨯-=-+--+=，解得2d =， 所以101101100101(100)202S ⨯=⨯-+⨯=，故选C. 3.已知曲线()cos 3f x x x x =+在点()()0,0f 处的切线与直线410ax y ++=垂直，则实数a 的值为（ ） A. -4 B. -1 C. 1 D. 4【答案】C【分析】先求出()f x 在点()()0,0f 处的切线斜率，然后利用两直线垂直的条件可求出a 的值. 【详解】由题意，()cos sin 3f x x x x '=-+，()0cos034f '=+=，则曲线()f x 在点()()0,0f 处的切线斜率为4，由于切线与直线410ax y ++=垂直，则414a -⨯=-，解得1a =.故选C.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了两直线垂直的性质，考查了计算能力，属于基础题.4.在ABC ∆中，D 是AB 边上一点，2AD DB =，且23CD AC CB λ=+，则λ的值为（ ） A.14B. 14-C.13D. 13-【答案】D 【解析】 【分析】根据2AD DB =，用基向量,AC CB 表示CD ，然后与题目条件对照，即可求出． 【详解】由在ABC ∆中，D 是AB 边上一点，2AD DB =， 则1112()3333CD CB BD CB BA CB CA CB AC CB =+=+=+-=-+， 即13λ=-，故选D ．【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用及向量的线性运算．5.已知双曲线离心率2e =,与椭圆221248x y +=有相同的焦点,则该双曲线渐近线方程是()A. 13y x =±B. 3y x =±C. y =D.y =±【答案】C 【解析】先求出椭圆221248x y +=的焦点()4,0和()4,0-，所以双曲线方程可设为22221x y a b-=，所以其渐近线方程为by x a=±，由题意得双曲线的4c =，再根据其离心率2e =，求出a ，根据222c a b =+，得到b ，从而得到双曲线的渐近线方程，求出答案.【详解】因为椭圆221248x y +=，其焦点为()4,0和()4,0-，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以设双曲线的方程为22221x y a b-=，则其渐近线方程为b y x a =±，且双曲线中4c = 因为双曲线的离心率2ce a==，所以2a =， 又因双曲线中222c a b =+所以22212b c a =-=，即b =所以双曲线的渐近线方程为y = 故选C 项.【点睛】本题考查根据双曲线的离心率和焦点求,,a b c ，双曲线的渐近线，属于简单题. 6.已知角α满足1cos()63πα+=，则sin(2)6πα-=（ ）A. C. 79-D.79【答案】D 【解析】 【分析】由已知利用诱导公式可求133sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，sin 2263cos ππαα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由二倍角公式化简，即可得结果． 【详解】162633cos sin sin ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，2sin 2cos 2cos 2262633cos πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦22171212()339sin πα⎛⎫=--=-⨯= ⎪⎝⎭．故选D ．【点睛】本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．三角函数求值有三类，(1)“给角求值”；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种系；(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．7.已知函数()sin()(0,0,0)2f x A wx A πϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则3()4f π=（ ）A. 22-B. 12-C. 1-D.22【答案】C 【解析】 【分析】根据图像最低点求得A ，根据函数图像上两个特殊点求得,ωϕ的值，由此求得函数()f x 解析式，进而求得3π4f ⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】根据图像可知，函数图像最低点为7π,212⎛⎫-⎪⎝⎭，故2A =，所以()2sin()f x x ωϕ=+，将点(7π,,212⎛⎫- ⎪⎝⎭代入()f x解析式得2sin 7π2sin 212ϕωϕ⎧=⎪⎨⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得2π3ωϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，故()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以3π3ππ2sin 21443f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C.【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，并求三角函数值，属于中档题.8.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2578220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列且77b a =，则212b b 等于（ ）A.49B.32C.94D.23【答案】C 【解析】由题意可得：()()2225787777722222320a a a a d a a d a a -+=--++=-=，7730,2a a ≠∴=，则：222127794b b b a ===. 本题选择C 选项.9.已知点P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点，点F 1，F 2分别为双曲线的左右焦点，点I 是△PF 1F 2的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有12122IPF IPF IF F S SS -≥成立，则双曲线的离心率取值范围是（） A. （1） B. （1，） C. （1，] D. （1]【答案】D 【解析】 【分析】根据条件和三角形的面积公式，求得,a c 的关系式，从而得出离心率的取值范围，得到答案． 【详解】设12PF F ∆的内切圆的半径为r，则12121212111,,222IPF IPF IF F S PF r S PF r S F F r ∆∆∆=⋅=⋅=⋅，因为12122IPF IPF IF F S S S ∆∆∆-≥，所以1212PF PF F -≥, 由双曲线的定义可知12122,2PF PF a F F c -==， 所以2a ≥，即c a ≤，又由1ce a=>，所以双曲线的离心率的取值范围是， 故选D ．【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)． 10.函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭向右平移()0ϕϕπ≤≤个单位后得到函数()g x ，若()g x 在,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ϕ的取值范围是（） A. 0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πB. 20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】首先求函数()g x ，再求函数的单调递增区间，区间,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数单调递增区间的子集，建立不等关系求ϕ的取值范围. 【详解】()()sin 23g x x πϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦,令2222232k x k ππππϕπ-+≤-+≤+解得51212k x k ππϕπϕπ-++≤≤++ ，k Z ∈ 若()g x ,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增， 126{5126k k ππϕπππϕπ++≥-++≤- ,解得：124k k πππϕπ-≤≤- ()0,ϕπ∈0k ∴=时，124ππϕ≤≤.故选D.【点睛】本题考查了三角函数的性质和平移变换，属于中档题型. 11.已知函数21()(2)e x f x x x -=-，若当1x > 时，()10f x mx m -++≤有解，则m 的取值范围为（ ） A. 1m B. 1m <- C. 1m >- D. m 1≥【答案】C 【解析】 【分析】求得函数的导数21()(2)ex f x x -'=-，得到函数()f x 的单调性，以及()()1,2f f f 的取值，再由导数的几何意义，即可求解． 【详解】由题意，函数21()(2)ex f x x x -=-，则导数21()(2)ex f x x -'=-，所以函数()f x在上递减，在)+∞上递增，当2x >时，()0f x >，又由(1)1f =-，1f <-，(2)0f =，当1x > 时，()10f x mx m -++≤有解，即函数()y f x =和(1)1y m x =--的图象有交点，如图所示，又因为在点(1,(1))f 的切线的斜率为(1)1f '=-，所以1m >-．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及方程的有解问题，着重考查了转化与化归思想、数形结合思想和推理、运算能力，对于方程的有解问题，通常转化为两个函数图象的交点个数，结合图象求解．12.在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：224x y +=，圆2C ：226x y +=，点(1,0)M ，动点A ，B 分别在圆1C 和圆2C 上，且MA MB ⊥，N 为线段AB 的中点，则MN 的最小值为 A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】由MA MB ⊥得0MA MB ⋅=，根据向量的运算和两点间的距离公式，求得点N 的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系，即可求解MN 的最小值，得到答案． 【详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)N x y ， 由MA MB ⊥得0MA MB ⋅=，即1212121x x y y x x +=+-， 由题意可知，MN 为Rt △AMB 斜边上的中线，所以12MN AB =,则2222222121211221122()()22AB x x y y x x x x y y y y =-+-=-++-+222211221212120()()2()102(1)124x y x y x x y y x x x =+++-+=-+-=-又由12MN AB =，则224AB MN =，可得220001244[(1)]x x y -=-+，化简得220019()24x y -+=， ∴点00(,)N x y 的轨迹是以1(,0)2为圆心、半径等于32的圆C 3， ∵M 在圆C 3内，∴ MN 的最小值即是半径减去M 到圆心1(,0)2的距离，即min 31122MN r d =-=-=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了圆的方程及性质的应用，以及点圆的最值问题，其中解答中根据圆的性质，求得N 点的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 二、填空题13.已知向量(3,1)a =-，(3,1)b =，则a 在b 方向上的投影为___________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据||||cos a b a b a ⋅=<，b >，得a 在b 上的投影为||cos a a <，||a bb b ⋅>=，求出a b ⋅，代入投影的公式计算即可． 【详解】向量(3a =，1)-，(3b =，1)，∴312a b ⋅=-=，||2b =，∴a 在b 方向上的投影为||cos a a <，212||a b b b ⋅>===． 故答案为：1．【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算及几何意义，属于基础题．14.若函数321()(3)3x f x e x kx kx =--+只有一个极值点，则k 的取值范围为___________.【答案】[0,]e 【解析】 【分析】利用函数求导函数2()(2)2(2)()xxf x e x kx kx x e kx '=--+=--，只有一个极值点时()0f x '=只有一个实数解有0x e kx -≥，设新函数设()x u x e =，()h x kx =，等价转化数形结合法即可得出结论，【详解】函数321()(3)3x f x e x kx kx =--+只有一个极值点，2()(2)2(2)()x x f x e x kx kx x e kx '=--+=--，若函数321()(3)3x f x e x kx kx =--+只有一个极值点，()0f x '=只有一个实数解，则：0x e kx -≥， 从而得到：x e kx ≥， 当0k = 时，成立．当0k ≠时，设()xu x e =，()h x kx =，当两函数相切时，k e =，此时得到k 的最大值，但k 0<时不成立． 故k 的取值范围为：(0，]e 综上：k 的取值范围为：[0,]e . 故答案为：[0,]e ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点、不等式问题的等价转化方法，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．15.已知抛物线E ：212y x ＝的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线m 与E 交于A ，B 两点，过A 作AM l ⊥，垂足为M ，AM 的中点为N ，若AM FN ⊥，则AB ＝___________. 【答案】16 【解析】 【分析】由题意画出图形，得到直线AB 的斜率，进一步求得直线AB 的方程，与抛物线方程联立求解即可得答案． 【详解】AF AM =，N 为AM 的中点，且FN AM ⊥，30AFN ∴∠=︒，则直线AB 的倾斜角为60︒，斜率为3．由抛物线212y x =，得(3,0)F ，则直线AB 的方程为3(3)y x =-．联立23(3)12y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得21090x x -+=．则10A B x x +=， ||16A B AB x x p ∴=++=．故答案为：16．【点睛】本题考查抛物线的简单性质、直线与抛物线位置关系及抛物线过焦点弦公式的应用，属于中档题．16.数列{}n a 为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出11a =，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是21a =，32a =，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是41a =，51a =，62a =，73a =，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则2019a =______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据数列构造方法可知：21n a n -=，即()21121n nk k a a k -+=≤<-；根据变化规律可得20192a a =，从而得到结果.【详解】由数列{}n a 的构造方法可知11a =，32a =，73a =，154a =，可得：21n a n -= 即：()21121n nk k a a k -+=≤<-201999648523010340921a a a a a a a a ∴========本题正确结果：1【点睛】本题考查根据数列的构造规律求解数列中的项，关键是能够根据构造特点得到数列各项之间的关系，考查学生的归纳总结能力. 三、解答题17.已知ABC ∆的面积为32，且1AB AC ⋅=-且AB AC >. (1)求角A 的大小；(2)设M 为BC 的中点，且32AM =，BAC ∠的平分线交BC 于N ，求线段AN 的长度. 【答案】（1）23π；（2）23. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出角的正切值，再结合角的范围即可求解；（2）先根据条件求出b ，c ，a ；再借助于面积之间的关系求出CN ，BN 之间的比例关系，结合题中条件即可求解．【详解】（1）1AB AC ⋅=-||||cos cos 1AB AC A bc A ⇒⋅⋅==-， 又13sin 2ABC S bc A ∆==，即sin 3bc A =， ∴sin sin tan 3cos cos bc A A A bc A A===-，又(0,)A π∈，∴23A π=.（2）如下图所示：在ABC ∆中，AM 为中线，∴2AM AB AC =+，∴2222224||()||2||AM AB AC AB AB AC AC c b =+=+⋅+=+∴225b c +=.由（1）知：sin bc A =2bc ⇒=，又c b >， ∴2c =，1b =，由余弦定理可得：2222cos 527a b c bc A =+-=+=⇒a =11sin sin 22ANC S AN b CAN AN CAN =⋅∠=⨯∠， 1csin sin 2BANS AN BAN AN BAN =⨯∠=⨯∠， 又CAN BAN ∠=∠，∴12BAN ANC S CN S BN ==，又CN BN a +==，∴3CN =， 在ACN ∆中，有：2222cos AN b CN b CN ACB =+-⨯⨯∠712193=+-⨯⨯7441939=+-=， 所以23AN =. 【点睛】本题考查向量的数量积的应用、正余弦定理的应用，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查运算求解能力，属于中档题．18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且11a =，11b =，224a b +=.（1）若337a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若313T =，求5S【答案】（1）12n n b -=；（2）5或75.【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为()0q q ≠，由已知条件求出q ，再写出通项公式；（2）由1313T =，求出q 的值，再求出d 的值，求出5S .【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为()0q q ≠有()14d q ++=，即3d q +=.（1）∵()2127d q ++=，结合3d q +=得2q =，∴12n n b -=.（2）∵23113T q q =++=，解得4q =-或3，当4q =-时，7d =，此时55457752S ⨯=+⨯=； 当3q =时，0d =，此时5155S a ==.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a d n a S 一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.19.已知点F 为抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，点(2,)A m 在抛物线E 上，且3AF =．（Ⅰ）求抛物线E方程；（Ⅱ）已知点(1,0)G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．【答案】（Ⅰ）24y x =；（Ⅱ）详见解析．【解析】解法一：（Ⅰ）由抛物线的定义得F 22pA =+． 因为F 3A =，即232p+=，解得2p =，所以抛物线E 的方程为24y x =． （Ⅱ）因为点()2,m A 在抛物线:E 24y x =上，所以m =±(A ．由(A ，()F 1,0可得直线F A的方程为)1y x =-．由)21{4y x y x=-=，得22520x x -+=，解得2x =或12x =，从而1,2⎛B ⎝． 又()G 1,0-，所以()G 0213k A==--，()G 01312k B ==---，所以G G 0k k A B +=，从而GF GF ∠A =∠B ，这表明点F 到直线G A ，G B 的距离相等， 故以F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切． 解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆的半径为r ． 因为点()2,m A 在抛物线:E 24y x =上，所以m =±(A ．由(A ，()F 1,0可得直线F A的方程为)1y x =-．由)21{4y x y x=-=，得22520x x -+=，解得2x =或12x =，从而1,2⎛B ⎝． 又()G 1,0-，故直线G A的方程为30y -+=，从而r ==．又直线G B 的方程为30y ++=，所以点F 到直线G B 的距离d r ===． 这表明以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切． 考点：1、抛物线标准方程；2、直线和圆的位置关系． 【此处有视频，请去附件查看】20.已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意*n ∈N ，它的前n 项和n S 满足()()1126n n n S a a =++，并且2a ，4a ，9a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()111n n n n b a a ++=-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T .【答案】（1）32n a n =-，*n ∈N （2）2186n n -- 【解析】 【分析】（1）根据n a 与n S 的关系，利用临差法得到13n n a a --=，知公差为3；再由1n =代入递推关系求1a ；（2）观察数列{}n b 的通项公式，相邻两项的和有规律，故采用并项求和法，求其前2n 项和. 【详解】（1）对任意*n ∈N ，有()()1126n n n S a a =++，① ∴当1a =时，有()()11111126S a a a ==++，解得11a =或2. 当2n ≥时，有()()1111126n n n S a a ---=++.② ①-②并整理得()()1130n n n n a a a a --+--=. 而数列{}n a 的各项均为正数，13n n a a -∴-=.当11a =时，()13132n a n n =+-=-， 此时2429a a a =成立；当12a =时，()23131n a n n =+-=-，此时2429a a a =，不成立，舍去.32n a n ∴=-，*n ∈N .（2）2122n n T b b b =+++=12233445221n n a a a a a a a a a a +-+-+-()()()21343522121n n n a a a a a a a a a -+=-+-++-242666n a a a =----()2426n a a a =-+++()246261862n n n n +-=-⨯=--.【点睛】已知n S 与n a 的递推关系，利用临差法求n a 时，要注意对下标与n 分两种情况，即1,2n n =≥；数列求和时要先观察通项特点，再决定采用什么方法.21.已知函数()(1)ln f x x x =-,3()ln eg x x x =--. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）令()()()(0)h x mf x g x m =+>两个零点1212,()x x x x <，证明：121ex e x +>+. 【答案】（Ⅰ）()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增.（Ⅱ）见证明 【解析】 【分析】（Ⅰ）求得函数的导数1()ln 1f x x x=+-'，且()01f '=，进而利用导数的符号，即可求得函数单调区间；（Ⅱ）由3()(1)ln ln h x m x x x x e=-+--有两个零点，利用导数求得函数()h x 的单调性与最值，结合图象，即可得出证明．【详解】（Ⅰ）由题意，函数()(1)ln f x x x =-，则1()ln 1f x x x=+-'，且()01f '=， 当01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当1x ≥时，()0f x '≥，函数()f x 单调递增；所以函数()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增. （Ⅱ）由3()(1)ln ln h x m x x x x e=-+--有两个零点可知 由11()(1ln )1h x m x x x-'=++-且0m >可知， 当01x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减； 当1x ≥时，()0h x '≥，函数()h x 单调增；即()h x 的最小值为3(1)10h e=-<， 因此当1x e=时，1113(1)2()(1)(1)(1)0m e e h m e e e e e -+-=--+---=>， 可知()h x 在1(,1)e上存在一个零点；当x e =时，3()(1)10h e m e e e=-+-->， 可知()h x 在(1,)e 上也存在一个零点， 因此211x x e e -<-，即121x e x e+>+. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为4，且过点．（1）求椭圆C 的方程（2）设椭圆C 的上顶点为B ，右焦点为F ，直线l 与椭圆交于M 、N 两点，问是否存在直线l ，使得F 为BMN ∆的垂心，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】（1）22184x y +=；（2）存在直线8:3l y x =-满足题设条件,详见解析 【解析】【分析】（1）由已知列出关于a ，b ，c 的方程组，解得a ，b ，c ，写出结果即可；（2）由已知可得，(0,2)B ，(2,0)F ．所以1BF k =-，因为BF l ⊥，所以可设直线l 的方程为y x m =+，代入椭圆方程整理，得2234280x mx m ++-=．设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由根与系数的关系写出两根之和和两根之积的表达式，再由垂心的性质列出方程求解即可．【详解】（1）由已知可得，2222224421c a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩ 解得28a =，24b =，2c =，所以椭圆C 的方程为22184x y +=．（2）由已知可得，(02)(20)B F ，，，，∴1BF k =-.∵BF l ⊥， ∴可设直线l 的方程为y x m =+，代入椭圆方程整理，得2234280x mx m ++-=.设()()1122M x y N x y ，，，， 则2121242833m m x x x x -+=-=，，∵1212212y y BN MF x x -⊥∴⋅=--，. 即121212220y y x x y x +--=∵()()()1122121212,220y x m y x m x m x m x x x m x =+=+∴+++-+-=，即()212122(2)20x x m x x m m +-++-=，∵222842(2)2033m mm m m --⋅+-⋅+-=∴28321603m m m +-=∴=-，或2m =. 由()222(4)12289680m m m ∆=--=->，得212m < 又2m =时，直线l 过B 点，不合要求，∴83m =-，故存在直线8:3l y x=-满足题设条件.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系应用，以及垂心的定义应用．意在考查学生的数学运算能力．。
2021届河北省衡水中学高三上学期期中考试数学(文)试题(解析版)
2021届河北省衡水中学高三上学期期中考试数学（文）试题（解析版）一､选择题1. 设集合{}210A x x =-<，{}2,xB y y x A ==∈，则A B =（ ）A. ()0,1B. ()1,2-C. ()1,+∞D. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】先由一元二次不等式的解法求得集合A ，再根据指数函数的值域求得集合B ，利用集合的交集运算可得选项.【详解】因为{}()(){}()210+1101,1A x x x x x =-<=-<=-，又11x -<<时，1112222x -=<<，所以{}12,22xB y y x A ⎛⎫==∈= ⎪⎝⎭，， 所以AB =1,12⎛⎫⎪⎝⎭，故选：D.2. 已知复数z 满足：()()312z i i i -+=(其中i 为虚数单位)，复数z 的虚部等于( )A. 15- B. 25-C.45D.35【答案】C 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则求出241255i z i i i -=+=-++，由此能求出复数z 的虚部． 【详解】∵复数z 满足：()()312z i i i -+=(其中i 为虚数单位)， ∴()()()122412121255i i i z i i i i i i ---=+=+=-+++-． ∴复数z 的虚部等于45，故选C. 【点睛】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数代数形式的乘除运算法则的合理运用．3. 命题:p 若α为第一象限角，则sin αα<；命题q ：函数()22x f x x =-有两个零点，则( )A. p q ∧为真命题B. p q ∨为真命题C. p q ⌝∨⌝为真命题D. p q ⌝∧为真命题【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的性质，对于命题p 可以举出反例1112πα=-，可得其为假，对于命题q ，根据零点存在定理可得其至少有三个零点，即q 为假，结合复合命题的真假性可得结果. 【详解】对于命题p ，当取第一象限角1112πα=-时，显然sin αα<不成立，故p 为假命题， 对于命题q ∵()10f -<，()00f >，∴函数()f x 在()1,0-上有一个零点， 又∵()()240f f ==，∴函数()f x 至少有三个零点，故q 为假， 由复合命题的真值表可得p q ⌝∨⌝为真命题，故选C.【点睛】本题主要借助考查复合命题的真假，考查三角函数的性质，零点存在定理的应用，属于中档题．若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，作出判断即可． 4. 正项等比数列{}n a 中的14031,a a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，则2061a =（ ） A. 1 B. 2D. 1-【答案】A 【解析】【详解】试题分析：由()3214633f x x x x =-+-，则()22860f x x x =+'-=，因为14031,a a 是函数 ()3214633f x x x x =-+-的极值点，所以140316a a ⋅=，又0n a >，所以2016a ==2061a =1，故选A ．考点：对比数列与函数的综合应用．【方法点晴】本题主要考查了数列与函数的综合应用，其中解答中涉及到等比数列的通项公式、等比中项公式、利用导数研究函数的极值点和对数的运算等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及知识点的灵活应用，试题涉及知识点多，应用灵活，属于中档试题，其中解答中根据函数极值点的概念，得到140316a a ⋅=是解答关键．5. O 是正方形ABCD 的中心．若DO ＝λAB ＋μAC ，其中λ，μ∈R ，则λμ＝（ ）A. －2B. －12C. －2D. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形几何特点，结合向量的线性运算，用,AB AC 表示目标向量，即可求得结果. 【详解】根据题意，作图如下：DO ＝DA ＋AO ＝CB ＋AO ＝AB －AC ＋12AC ＝AB －12AC ， 所以λ＝1，μ＝－12，因此λμ＝－2.故选：A .【点睛】本题考查平面向量的线性运算，属基础题.6. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC ∆的形状是（） A. 等腰三角形 B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】C 【解析】 【分析】直接利用余弦定理的应用求出A 的值，进一步利用正弦定理得到：b ＝c ，最后判断出三角形的形状． 【详解】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， 且b 2+c 2＝a 2+bc ．则：2221222b c a bc cosA bc bc +-===，由于：0＜A ＜π， 故：A 3π=．由于：sin B sin C ＝sin 2A ， 利用正弦定理得：bc ＝a 2， 所以：b 2+c 2﹣2bc ＝0， 故：b ＝c ，所以：△ABC 为等边三角形． 故选C ．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7. 如图直角坐标系中，角02παα⎛⎫<<⎪⎝⎭、角02πββ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的终边分别交单位圆于A 、B 两点，若B 点的纵坐标为513-，且满足3AOB S =△，则1sin 3cos sin 2222ααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的值为( )A. 513-B. 1213-C.1213D.513【答案】C 【解析】 【分析】 由AOBS，可得()3sin αβ-=，结合β范围可得3παβ-=，化简1sin3cos sin cos 2222αααβ⎫-+=⎪⎭，利用点B 的坐标即可得解. 【详解】由()13sin 24AOBSOA OB αβ=-=，得()3sin 2αβ-=.根据题意可知125B(,1313-)，所以512sin ,cos 1313ββ=-=， 可知06πβ-<<，203παβ<-<. 所以3παβ-=.11112sinsin sin sin sin cos 222222636213cos ααααππππααβββ-⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+=+=++=+==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选C.【点睛】本题主要考查了任意角三角函数的定义及二倍角公式和诱导公式，属于中档题. 8. 已知公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足258,2,3a a a 成等差数列，则363S S =（） A.134B.1312C.94D.1112【答案】C 【解析】258,2,3a a a 成等差数列，52843a a a ∴=+，即476311143,3410a q a q a q q q =+-+=，解得313q =或31q =（舍去），()()313661113313913141191a q S qS a q q-⎛⎫⨯- ⎪-⎝⎭===---，故选C.9. 已知函数()51cos 1242f x x x ⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭，若函数()242g x x x =-+-与()f x 图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，则1mi i x ==∑( )A. 2mB. 3mC. 4mD. m【答案】A 【解析】 【分析】结合函数的解析式可得()()4f x f x -=，求出()f x 的对称轴为2x =，根据两图象的对称关系分为m 为奇数和偶数即可得出答案． 【详解】∵()51cos 1242f x x x ⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭，∴()()()51514cos 41cos 12422244f x x x x x ⎡⎤⎛⎫-=+--=+- ⎪⎢⎥---⎣⎦⎝⎭()f x =∴()f x 的图象关于直线2x =对称， 又242x x -+-的图象关于直线2x =对称，当m 为偶数时，两图象的交点两两关于直线2x =对称， ∴1 422mi i mx m ==⨯=∑， 当m 为奇数时，两图象的交点有1m -个两两对称，另一个交点在对称轴上， ∴114222mi i m x m =-=⨯+=∑，故选A ． 【点睛】本题函数考查了函数的图象对称关系，分类讨论的思想，解题的关键是根据函数的性质得到()()4f x f x -=，属于中档题．10. 将函数()2sin 0y x =>ωω的图象向左平移02φπφω⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度得到函数()y g x =的图象，且()y g x =的图象与直线1y =相邻两个交点的距离为π，若()1g x >-对任意,123x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭恒成立，则φ的取值范围是( )A. ,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. ,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. ,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】由已知求得()()2sin 1g x x ωϕ=+-，再由已知得函数()g x 的最小正周期为π，求得2ω=，结合()1g x >-对任意,123x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭恒成立列关于ϕ的不等式组求解．【详解】将函数()2sin 0y x =>ωω的图象向左平移 (0)2ϕπϕω<≤个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度，得()()2sin 12sin 1g x x x ϕωωϕω⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，又()y g x =的图象与直线1y =相邻两个交点的距离为π，得T π=，即22πωπ==．∴()()2sin 1g x x ωϕ=+-，当,123x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，22,63x ππϕϕϕ⎛⎫+∈-++ ⎪⎝⎭， ∵()1g x >-，02πϕ<≤，∴06 23πϕπϕπ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得 63ππϕ≤≤，∴ϕ的取值范围是[]63ππ，，故选B ．【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换与性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键，是中档题．11. 已知函数()2f x x ax =-，()ln xg x x e =-，在其共同的定义域内，()g x 的图象不可能在()f x 的上方，则求a 的取值范围( ) A. 101a e <<+ B. 0a > C. 1a e ≤+ D. 0a ≤【答案】C 【解析】 【分析】利用已知条件转化为：不等式恒成立，分离参数ln x e xa x x x≤-+，然后构造函数利用导数，求解函数的最值即可．【详解】函数()2f x x ax =-，()ln xg x x e =-，在其共同的定义域内，()g x 的图象不可能在()f x 的上方，当0x >时，∴2ln x x ax x e -≥-恒成立，化为：2ln xe x x ax -+>，即ln x e xa x x x≤-+，0x >；令()ln x e xh x x x x =-+，（0x >），()()2211ln 'x e x x x h x x-+-+=． 令()()211ln xt x ex x x =-+-+，()1'20x t x e x x x=⋅++>， 函数()t x 在()0,+∞单调递增，10t =（），∴()0,1x ∈时，()0t x <，()'0h x <，函数单调减函数，()1x ∈+∞，时，()0t x >，()'0h x >，函数单调增函数，所以()()11h x h e ≥=+，∴1a e ≤+，故选C.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值以及恒成立问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题. 考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为()a h x >或()a h x <恒成立，即()max a h x >或()min a h x <即可，利用导数知识结合单调性求出()max h x 或()min h x 即得解.12. 已知函数()g x 满足121()'(1)(0)2x g x g e g x x -=-+，且存在实数0x 使得不等式021()m g x -≥成立，则m 的取值范围为（ ） A. [1,)+∞ B. (,3]-∞ C. (,2]-∞ D. [0,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】先求()()0'1g g ，，再利用导数求()g x 最小值，最后解不等式的结果. 【详解】因为121()(1)(0)2x g x g e g x x '-=-+， 所以1()(1)(0)(1)(1)(0)1(0)1x g x g eg x g g g g '-'''=-+∴=-+∴=因为1(0)(1)(1)g g e g e '-'∴==， 因此21()2xg x e x x =-+，()1()10x x g x e x g x e '''=-+∴=+>， 当0x >时()(0)0,()(0)1g x g g x g ''>=>=； 当0x <时()(0)0,()(0)1g x g g x g ''<=>=； 因此()g x 最小值为1，从而2111m m ，-≥≥，选A.【点睛】本题考查利用导数求函数最值，考查基本分析求解能力，属中档题.二､填空题13. 平面向量a 与b 的夹角为60︒，()2,0,1a b ==，则2+a b 等于____【答案】【解析】 【分析】根据()2,0a =求出2a = ，利用2222(2)44cos60a b a b a b a b +=+=++⋅，即得结果.【详解】因为||2,||1a b ==，a 与b 的夹角为60︒，故||||cos 601a b a b ⋅=⋅=，则2222(2)44cos60a b a b a b a b +=+=++⋅244423a b +=++=，故答案为：23【点睛】本题主要考查了向量的数量积以及模的计算，属于基础题.14. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且B 为锐角，若sin sin A B ＝52c b ，sin B ＝74，S △ABC＝57，则b 的值为________． 【答案】14 【解析】 【分析】利用正弦定理将角化边，可得,a c 等量关系；再利用面积公式，再得,a c 的另一个等量关系，据此求得,a c 由sin B 求得cos B ，利用余弦定理即可求得b .【详解】由sin sin A B ＝52cb ，可得a b ＝52c b ，故a ＝52c ，① 由S △ABC ＝12ac sin B 57且sin B 7得12ac ＝5，② 联立①，②得a ＝5，且c ＝2. 由sin B 7且B 为锐角知cos B ＝34，由余弦定理知b 2＝25＋4－2×5×2×34＝14，b 1414.【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，涉及利用正弦定理实现边角互化，属综合基础题.15. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11a =，22a =，()*211n n n S a a n +++=-∈N ，则n S =______.【答案】21n - 【解析】 【分析】由n S 与n a 的递推式可证得{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，再利用等比数列前n 项和公式运算即可.【详解】因为()*211n n n S a a n +++=-∈N ，所以()*1112,n n n S a a n n N -++=-≥∈两式相减，得212n n n n a a a a ++=-+，即212n n a a ++=， 又当1n =时，113211a S a a +=+=-，11a =，22a =， 所以34a =，满足322a a =，212a a =， 所以{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以1(12)12n n S ⨯-==-21n -故答案为：21n -【点睛】关键点睛：本题主要考查了n a 与n S 的关系，熟练掌握11,1,2*n nn a n a S S n n N -=⎧=⎨-≥∈⎩且是解题关键.16. 已知函数()212ln x x f x e e ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，()1g x mx =+，若()f x 与()g x 的图象上存在关于直线1y =对称的点，则实数m 的取值范围是_____________.【答案】322,3e e -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】求出函数()g x 关于直线1y =的对称函数()h x ，令()f x 与()h x 的图象有交点得出m 的范围即可． 【详解】()1g x mx =+关于直线1y =对称直线为()1y h x mx ==-，∴直线1y mx =-与2ln y x =在21[,]e e上有交点，作出1y mx =-与2ln y x =的函数图象，如图所示：若直线1y mx =-经过点12e-（，），则3m e =，若直线1y mx =-与2ln y x =相切，设切点为(),x y ，则1 22y mx y lnx m x⎧⎪=-⎪=⎨⎪⎪=-⎩，解得3232 32x e y m e -⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩． ∴322?3e m e --≤≤，故答案为322,3e e -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了函数的对称问题解法，注意运用转化思想，以及零点与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题．三､解答题17. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =， 981S =. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求122017111122017S S S ++++++的值.【答案】（1）21n a n =-（2）20172018【解析】 【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式；（2）根据数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由981S =，得5981a =， 则有59a =，所以51912514a a d --===-，故()12121n a n n =+-=- ()*n N ∈.(2)由(1)知，()213521n S n n =+++⋯+-=，则()111111n S n n n n n ==-+++，所以12201711111111112201722320172018S S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12017120182018=-=. 【点睛】本题主要考查了等差数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n n c a b =+，其中{}n a 和{}n b 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11n a n n =+，错位相减法类似于n n n c a b =⋅，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列等.18. 在ABC ∆中, 内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且22cos c a B b -=. （1）求角A 的大小； （2）若ABC ∆且22cos 4c ab C a ++=,求a . 【答案】（1）3A π=；（2）a ． 【解析】试题分析：（1）首先利用正弦定理、三角形内角和定理以及两角和的正弦函数公式化简已知条件式，由此求得cos A 的值，从而求得角A 的大小；（2）首先根据条件等式结合余弦定理得到,,a b c 的关系式，然后根据三角形面积公式求得bc 的值，从而求得a 的值． 试题解析：（1）由22cos c a B b -=及正弦定理可得2sin 2sin cos sin C A B B -=,()sin sin sin sin cos cos sin ,cos sin 2BC A B A B A B A B =+=+∴=,1sin 0,cos 2B A ≠∴=,又因为0,3A A ππ<<∴=.（2）22cos 4c ab C a ++=①,又由余弦定理得222cos 2a b c ab C +-=,代入①式得22283b c a +=-, 由余弦定理222222cos a b c b A b c bc =+-=+-．221sin 1,8312ABC S bc A bc a a ∆==∴=∴=--,得a .考点：1、正弦定理与余弦定理；2、两角和的正弦函数公式；3、三角形面积公式． 19. 已知数列{}n a 中，11a =，()*13nn n a a n N a +=∈+. （1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）数列{}n b 满足的()312nn n n n b a =-⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式()112nnn n T λ--<+对一切*n N ∈恒成立，求λ的取值范围. 【答案】（1）231n n a =-；（2）23λ-<<. 【解析】 【分析】 （1）将()*13n n n a a n N a +=∈+，变形为1131n na a +=+，再利用等比数列的定义求解. （2）由（1）得12n n nb -=，然后利用错位相减法求得1242n n n T -+=-，将不等式()112nn n n T λ--<+对一切*n N ∈恒成立，转化为()12142nn λ--<-，对一切*n N ∈恒成立，分n 为偶数和奇数讨论求解.【详解】（1）由()*13nn n a a n N a +=∈+， 得13131n n n na a a a ++==+， ∴11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 所以数列112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以3为公比，以111322a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭为首项的等比数列，所以1113322n n a -+=⨯，即231n na =-. （2）12n n nb -=()0122111111123122222n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯ ()121111112122222n n n T n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯， 两式相减得:012111111222222222n n n n T n n -+=+++⋅⋅⋅+-⨯=-，∴1242n n n T -+=-， 因不等式()112nn n nT λ--<+对一切*n N ∈恒成立， 所以()12142nn λ--<-，对一切*n N ∈恒成立， 因为1242n t -=-单调递增， 若n 为偶数，则1242n λ-<-，对一切*n N ∈恒成立，∴3λ<；若n 为奇数，则1242n λ--<-，对一切*n N ∈恒成立，∴2λ-<，∴2λ>-综上：23λ-<<.【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．20. 已知ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且203SBA AC ⋅+=，其中S 是ABC 的面积，4Cπ.(1)求cos B 的值； (2)若24S =，求a 的值. 【答案】（1； （2）【解析】 【分析】（1）首先利用向量的数量积和三角形的面积公式求出结果sin 3cos A A =，，进一步建立等量关系求出结果；（2）利用三角形的面积公式和正弦定理建立方程组，进一步求出结果．【详解】∵203S BA AC ⋅+=，得13cos 2sin 2bc A bc A =⨯，得sin 3cos A A =， 即()222sin 9cos 91sin A A A ==-，所以29sin 10A =，又30,4A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin 0A >，故sin A =，cos A = ()cos cos cos cos sin sin B A C A C A C =-+=-+===. (2)24S =，所以sin 48bc A =，得bc =①，由(1)得cos B =，所以sin B =在ABC 中，由正弦定理，得sin sin b cB C==②， 联立①②，解得8b =，c =2222cos 72a b c bc A =+-=，所以a =【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，向量数量积的应用，正弦定理的应用，三角形面积公式的应用，方程组的解法，属于基础题型． 21. 已知函数()()()1ln 42f x m x m x m R x=+-+∈. (1)当4m ≥时，求函数()f x 的单调区间；(2)设[],1,3t s ∈，不等式()()()()ln322ln3f t f s a m -<+--对任意的()4,6m ∈恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当4m =时，()f x 在定义域()0,∞+单调递减；当4m >时，函数()f x 的单调递增区间为11,22m ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，递减区间为10,2m ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； （2）13,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，分为4m =和4m >两种情形，求出函数的单调区间即可；（2）问题等价于对任意的()4,6m ∈，恒有()()1ln 322ln 352ln 31263a m m m m +-->----+成立，即()()22423m a m ->--，根据2m >，分离a ，从而求出a 的范围即可． 【详解】(1)函数定义域为()0,+∞，且()()()2221211'42x m x m f x m x x x ⎡⎤--+⎣⎦=-+-=，令()'0f x =，得112x =，212x m=--， 当4m =时，()'0f x ≤，函数()f x 在定义域()0,+∞单调递减； 当4m >时，由()'0f x >，得1122x m -<<-；由()'0f x <，得102x m <<--或12x >， 所以函数()f x 的单调递增区间为11,22m ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，递减区间为10,2m ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 综上所述，当4m =时，()f x 在定义域()0,+∞单调递减； 当4m >时，函数()f x 的单调递增区间为11,22m ⎛⎫-⎪-⎝⎭，递减区间为10,2m ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. (2)由(1)知当()4,6m ∈时，函数()f x 在区间[]1,3单调递减，所以当[]1,3x ∈时，()()max 152f x f m ==-，()()min 13ln31263f x f m m ==++-.问题等价于：对任意的()4,6m ∈，恒有()()1ln322ln352ln31263a m m m m +-->----+成立，即()()22423m a m ->--. 因为2m >，则()2432a m <--，∴()min2432a m ⎛⎫<- ⎪⎪-⎝⎭，设[)4,6m ∈，则当4m =时，()2432m --取得最小值133-， 所以，实数a 的取值范围是13,3⎛⎤-∞-⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了函数单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是一道综合题．22. 已知函数()2xf x ke x =-(其中k ∈R ，e 是自然对数的底数).(1)若2k =，当()0,x ∈+∞时，试比较()f x 与2的大小；(2)若函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，求k 的取值范围，并证明：()101f x <<.【答案】（1）() 2.f x >（2）2(0,).e见解析 【解析】试题分析：()1求()f x 的导数()'f x ，利用()'f x 判定()f x 的单调性，从而求出()f x 的单调区间，可比较()f x 与2的大小；()2先求导数()'f x ，根据题意知12,x x 是()'20x f x ke x =-=的两个根，令()2xx x e ϕ=，利用导数得到函数()x ϕ的单调区间，继而得到k 的取值范围，知()111'20xf x ke x =-=，则112x x k e =，又由()()21111f x x =--+，()10,1x ∈，即可得到()101f x <<解析：（1）当2k =时，()22xf x e x =-，则()'22xf x e x =-，令()()22,'22xxh x e x h x e =-=-，由于()0,x ∈+∞故()'220xh x e =->，于是()22xh x e x =-在()0,+∞为增函数，所以()()22020x h x e x h =->=>，即()'220x f x e x =->在()0,+∞恒成立，从而()22xf x e x =-在()0,+∞为增函数，故()()220 2.xf x e x f =->=（2）函数()f x 有两个极值点12,x x ，则12,x x 是()'20xf x ke x =-=的两个根，即方程2xxk e =有两个根， 设()2x x x e ϕ=，则()22'xxx eϕ-=， 当0x <时，()'0x ϕ>，函数()x ϕ单调递增且()0x ϕ<； 当01x <<时，()'0x ϕ>，函数()x ϕ单调递增且()0x ϕ>； 当1x >时，()'0x ϕ<，函数()x ϕ单调递增且()0x ϕ>； 要使方程2x x k e =有两个根，只需()201k eϕ<<=，如图所示故实数k 的取值范围是20,.e ⎛⎫⎪⎝⎭又由上可知函数()f x 的两个极值点12,x x 满足1201x x <<<，由()111'20xf x ke x =-=得112x x k e=.()()111222211111112211x x x x f x ke x e x x x x e ∴=-=-=-+=--+ 由于()10,1x ∈，故()210111x <--+<，所以()10 1.f x <<。
河北省衡水中学2021届高三上学期期中考试 数学(文)含答案
2
2
点的纵坐标为 5 ，且满足 S△AOB＝
3
，则
sin
(
3 cos
－sin
)＋ 1
的值
13
4
2
2
22
A. 5 13
12
B.
13
C.－ 12 13
5
D.
13
-1-
8.已知公比不为 1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 a2，2a5，3a8 成等差数列，则 3S3 S6
13
13
对称的点，则实数 m 的取值范围是
。
三、解答题(本大题共 6 题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
17.(本小题满分 10 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 a1＝1，S9＝81。
(I)求{an}的通项公式；
(II)求 1 1
1
的值。
S1 1 S2 2
方，则求 a 的取值范围
1 A.0<a< e 1
B.a>0
C.a≤e＋1
D.a≤0
12.已知函数 g(x)满足 g(x)＝g'(1)ex－1－g(0)x＋ 1 x2，且存在实数 x0 与使得不等式 2m－1≥g(x0) 2
成立，则 m 的取值范围为
A.(－∞，2] B.(－∞，3] C.[0，＋∞) D.[1，＋∞)
数学(文)试卷
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。共 150 分，时间 120 分钟。
I卷
一、选择题(本题共 12 个小题，每小题均只有一个正确选项，每小题 5 分，共 60 分。)
1.设集合 A＝{x|x2－1<0}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则 A∩B＝
河北省衡水中学2021届高三第一学期中考试数学试卷(理科)
第1页（共1页）2020-2021学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题均只有一个正确选项，每小题5分，共60分。
1．（5分）集合M ＝{x |2x 2﹣x ﹣1＜0}，N ＝{x |2x +a ＞0}，U ＝R ，若M ∩∁U N ＝∅，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞1B ．a ≥1C ．a ＜1D ．a ≤12．（5分）若直线y ＝kx 与双曲线x 29−y 24=1相交，则k 的取值范围是（ ）A ．(0，23)B ．(−23，0)C ．(−23，23)D ．(−∞，−23)∪(23，+∞)3．（5分）在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BD →=12BC →，则AD →•BD →的值为（ ） A ．−52B ．52C ．−54D ．544．（5分）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2﹣n ，正项等比数列{b n }中，b 2＝a 3，b n +3b n ﹣1＝4b n 2（n ≥2）n ∈N +，则log 2b n ＝（ ） A ．n ﹣1B ．2n ﹣1C ．n ﹣2D ．n5．（5分）已知直线ax +y ﹣1＝0与圆C ：（x ﹣1）2+（y +a ）2＝1相交于A ，B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a 的值为（ ）A ．17或−1 B ．﹣1 C ．1或﹣1 D ．16．（5分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若a 2+b 2＝2014c 2，则2tanA⋅tanBtanC(tanA+tanB)的值为（ ） A ．0B ．1C ．2013D ．2014第1页（共1页）7．（5分）已知点M （a ，b ）（ab ≠0）是圆C ：x 2+y 2＝r 2内一点，直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线m 的方程为bx ﹣ay ＝r 2，那么（ ） A ．l ⊥m 且m 与圆C 相切 B ．l ∥m 且m 与圆C 相切C ．l ⊥m 且m 与圆C 相离D ．l ∥m 且m 与圆C 相离8．（5分）若圆x 2+y 2﹣ax +2y +1＝0与圆x 2+y 2＝1关于直线y ＝x ﹣1对称，过点C （﹣a ，a ）的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（ ） A ．y 2﹣4x +4y +8＝0 B ．y 2﹣2x ﹣2y +2＝0 C ．y 2+4x ﹣4y +8＝0D ．y 2﹣2x ﹣y ﹣1＝09．（5分）平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，AB →•AD →=−1，点M 在边CD 上，则MA →•MB →的最大值为（ ） A ．2B ．2√2−1C ．5D ．√3−110．（5分）已知椭圆x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈[π6，π4]，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ）A ．[√22，√32] B ．[√22，1） C ．[√22，√3−1] D ．[√33，√63] 11．（5分）已知点A 是抛物线x 2＝4y 的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足|P A |＝m |PB |，当m 取最大值时，点P 恰好在以A ，B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A ．√5−12B ．√2+12C ．√2+1D ．√5−112．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）满足如下条件：①函数f （x ）的图象关于y 轴对称；②对任意x ∈R ，f （2+x ）﹣f （2﹣x ）＝0；③当x ∈[0，2]时．f （x ）＝x ；④函数f（n ）（x ）＝f （2n ﹣1•x ），n ∈N *，若过点（﹣1，0）的直线l 与函数f （4）（x ）的图象在[0，第1页（共1页）2]上恰有8个交点．则直线l 斜率k 的取值范围是（ ）A ．（0，811） B ．（0，118） C ．（0，819） D ．（0，198）二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。
2021届河北省衡水中学高三年级上学期期中质量检测数学(理)试题及答案
绝密★启用前河北省衡水中学2021届高三年级上学期期中质量检测数学(理)试题本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
共150分，时间120分钟。
I卷一、选择题：本题共12个小题，每小题均只有一个正确选项，每小题5分，共60分。
1、集合M＝{x|2x2－x－1<0}，N＝{x|2x＋a>0}，U＝R，若M∩UN＝φ，则a的取值范围是A.a>1B.a≥1C.a<1D.a≤12、若直线y＝kx与双曲线2294x y-＝1相交，则k的取值范围是A.(0,23) B.(－23,0) C.(－23,23) D.(－∞,－23)∪(23,＋∞)3、在△ABC中,AB＝3,AC＝2,1BD BC2=,则AD BD⋅＝A.－52B.52C.－54D.544、已知数列{an }的前n项和Sn＝n2－n,正项等比数列{bn}中,b2＝a3,bn＋3bn－1＝4bn2(n≥2,n∈N＋),则log2bn＝A.n－1B.2n－1C.n－2D.n5、已知直线ax＋y－1＝0与圆C：(x－1)2＋(y＋a)2＝1相交于A,B,且△ABC为等腰直角三角形,则实数a的值为A.17或－1 B.－1 C.1 D.1或－16、在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a2＋b2＝2014c2,则()2tanA tanB tanC tanA tanB ⋅+的值为 A.2013 B.1 C.0 D.20147、已知点M(a,b)(ab ≠0)是圆C ：x 2＋y 2＝r 2内一点,直线l 是以M 为中点的弦所在的直线,直线m 的方程为bx －ay ＝r 2,那么A.l ⊥m 且m 与圆C 相切B.l //m 且/W 与圆C 相切C.l ⊥m 且m 与圆C 相离D.l //m 且w 与圆C 相离8、若圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0和圆x 2＋y 2＝1关于直线y ＝x －1对称,过点C(－a,a)的圆P 与y 轴相切,则圆心P 的轨迹方程是A.y 2－4x ＋4y ＋8＝0B.y 2＋2x －2y ＋2＝0C.y 2＋4x －4y ＋8＝0D.y 2－2x －y ＋1＝09、平行四边形ABCD 中,AB ＝2,AD ＝1,AB AD ⋅＝－1,点M 在边CD 上,则MA MB ⋅的最大值为－－1 C.0 D.210、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B,F 为其右焦点,若AF ⊥BF,设∠ABF ＝α,且α∈[6π,4π],则该椭圆的离心率e 的取值范围是A.[2,1]B.[21]C.[2,2]D.[3,311、已知点A 是抛物线x 2＝4y 的对称轴与准线的交点,点B 为抛物线的焦点,P 在抛物线上且满足|PA|＝m|PB|,当m 取最大值时,点P 恰好在以A,B 为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为＋ 1 12、已知在R 上的函数f(x)满足如下条件：①函数f(x)的图象关于y 轴对称；②对于任意x ∈R,f(2＋x)－f(2－x)＝0；③当x ∈[0,2]时,f(x)＝x ；④函数f (n)(x)＝f(2n －1·x),n ∈N *,若过点(－1,0)的直线l 与函数f (4)(x)的图象在x ∈[0,2]上恰。