人教版高中数学必修第一册同步讲义第二章 综合测试卷(二)
综合测试(二)一、选择题：本题共12题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内. 1．已知},1|{},1|{22-==-==x y y N x y x M 那么M N= （ ）A ．∅B ．MC ．ND ．R2．若二次函数()()2242221f x x p x p p =----+在区间[－1，1]内至少存在一点()C c,0，使f(c)＞0，则实数p 的取值范围 （ ）A ．121<<-pB ．233<<-pC ．3-≤pD ．213-<<-p3．下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ） A.||2x y x y ==与 B.2lg lg 2x y x y ==与C.23)3)(2(+=--+=x y x x x y 与 D.10==y x y 与4．拟定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由f(m)＝1.06(0.50×[m]＋1)给出，其中m ＞0，[m]是大于或等于m 的最小整数（如[3]＝3，[3.7]＝4， [3.1]＝4），则从甲 地到乙地通话时间为5.5分钟的话费为（ ）A ．3.71B ．3.97C ．4.24D ．4.775．集合}5,4,3,2,1{},1,0,2{=-=N M ，映射N M f →:，使任意M x ∈，都有)()(x xf x f x ++是奇数，则这样的映射共有（ ）A ．60个B ．45个C ．27个D ．11个6．设0<a <1，实数,x y 满足log 0a x y +=，则y 关于x 轴的函数图像大致形状是（ ）A B C D7．若)(a f y =为偶函数，则下列点的坐标在函数图像上的是……………… （ ） A.))(,(a f a -- B. ))(,(a f a - C. ))(,(a f a - D. ))(,(a f a --- 8．关于x 的不等式22log log x x x x +<+的解为（ ）A ．0<x <2B ．0<x <1C ．x <2D ．x >19．已知函数)(x f y =为奇函数，且当0>x 时32)(2+-=x x x f ，则当0<x 时，)(x f 的解析式为 （ ）A. 32)(2-+-=x x x fB. 32)(2---=x x x fC. 32)(2+-=x x x fD. 32)(2+--=x x x f 10．已知()1a x f x x a -=--的反函数．．．f －1（x ）的图像的对称中心是（－1，3），则实数a 等于（ ） A ．2 B ．3 C ．－2 D ．－411．对于函数f (x )，x ∈[a ，b ]及g (x )，x ∈[a ，b ]，若对任意的x ∈[a ，b ]，总有)()()(x f x g x f -≤101,我们称f (x )可被g (x )替代，那么下列给出的函数中能替代 f (x )＝x ,x ∈[4，16]的是 ( )A ．g(x)＝x ＋6，x ∈[4，16]B ．g(x)＝x 2＋6，x ∈[4，16]C ．g(x)＝15，x ∈[4，16] D ．g(x)＝2x ＋6，x ∈[4，16]12．已知定义在实数R 上的函数)(x f y =不恒为零，同时满足),()()(y f x f y x f =+且当x >0时，f (x )>1，那么当x <0时，一定有（ ）A ．1)(-<x fB ．0)(1<<-x fC ．1)(>x fD ．1)(0<<x f二、填空题：本题共4小题，每小题4分，满分16分，请把答案填在题中横线上.13．函数1)(],1,1[,223)(≥-∈--+=x f x a b ax x f 若恒成立，则b 的最小值为 . 14．已知函数)(log )(221a ax x x f --=的值域为R ，且f (x )在（)31,-∞-上是增函数，则a 的范围是 .15．老师给出一个函数y ＝f(x)，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：甲：对于x ∈R ，都有f(1＋x)＝f(1－x)； 乙：在(]0,∞-上函数递减； 丙：在（0，＋∞）上函数递增； 丁：f(0)不是函数的最小值. 如果其中恰有三人说得正确，请写出一个这样的函数 .16．关于函数),0(||1lg )(2R x x x x x f ∈≠+=有下列命题：①函数y=)(x f 的图像关于y 轴对称；②当x >0时)(x f 是增函数，当x <0时)(x f 是减函数； ③函数)(x f 的最小值是lg2； ④当x >1时)(x f 没有反函数.其中正确命题的序号是 （注：把你认为正确的序号都填上）.三、解答题：本题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）解不等式).2()1(log )1(log 2≥+≥+a ax x a a18．（本小题满分12分）设定义在),0(+∞上的函数)(x f 满足：（1）对于任意正实数a 、b ，都有p b f a f b a f -+=⋅)()()(，其中p 是正实常数； （2）1)2(-=p f ；（3）当1>x 时，总有p x f <)(.（Ⅰ）求：)21()1(f f 及的值（写成关于p 的表达式）；（Ⅱ）求证：),0()(+∞在x f 上是减函数.19．（本小题满分12分）某工厂有216名工人接受了生产1000台GH 型高科技产品的总任务，已知每台GH 型产品由4个G 型装置和3个H 型装置配套组成. 每个工人每小时能加工6个G 型装置或3个H 型装置. 现将工人分成两组同时开始．．．．加工，每组分别加工一种装置.设加工G 型装置的工人有x 人，他们加工完G 型装置所需时间为)(x g ，其余工人加工完H 型装置所需时间为)(x h （单位：小时，可不为整数）.（Ⅰ）写出)(),(x h x g 解析式；（Ⅱ）比较)(x g 与)(x h 的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间)(x f 的解析式； （Ⅲ）应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？ 20．（本小题满分12分）设函数()f x =cbx ax ++12(),,a b c Z ∈为奇函数，又()()12,23f f =<，且()f x 在[)+∞,1上递增.⑴求a 、b 、c 的值；⑵当0x <时，讨论()f x 的单调性.21．（本小题满分12分）已知f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数. 当a ， b ∈[－1，1]， 且a +b ≠0时，有()()0f a f b a b+>+.（Ⅰ）判断函f (x )的的单调性，并给以证明；（Ⅱ）若f (1)=1，且f (x )≤m 2－2bm +1对所有x ∈[－1，1]，b ∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围.22．（本小题满分14分）已知二次函数c b a c bx ax x f ,,()(2++=均为实数，满足a －b+c =0, 对于任意实数x 都有.)21()(,)2,0(,0)(2+≤∈≥-x x f x x x f 有时并且当 （Ⅰ）求f (1)的值； （Ⅱ）证明：161≥ac ； （Ⅲ）当x ∈[－2，2]且a+c 取得最小值时，函数F （x ）=f （x ）－mx （m 为实数）是单调的，求证：1322m m ≤-≥或.综合测试(二)参考答案一、选择题：1.C 解析: 22{|1},{|1}[1,),M x y x R N y y x ==-===-=-+∞ M N= N . 2.B 解析:由题意可得()10f ->或()10f >, 解得121<<-p 或233<<-p ,解之得233<<-p . 3.A 解析: ||2x y x y ==与为同一函数,其定义域值域均相同,对应法则也相同.4.C 解析: f (5.5)＝1.06(0.50×[5.5]＋1)=4.24 .5.B 解析: ()()(1)[()1]1x f x xf x x f x ++=++-为奇数, 即得(1)[()1]x f x ++为偶数,即若x 为奇数,()f x 为奇数或偶偶、若x 为偶数,()f x 为奇数,故得映射共有53345⨯⨯=个.6.A 解析: 由log 0a x y +=得1()xy a= (0<a <1) , 其为单调递增的指数函数.7.C 解析: 由)(a f y =为偶函数，可得()()f a f a -=, 此函数图象必过点(,())a f a --,即))(,(a f a -.8.B 解析: 不等式22log log x x x x +<+中绝对值内x 与2log x 必然异号(同号时取等号),即得2log 0x <, 解得0<x <1.9.B 解析:设0<x , 则0x ->, 由函数)(x f y =为奇函数,可得)(x f 22()(23)23f x x x x x =--=-++=---.10.A 解析: ()1a xf x x a -=--的反函数．．．f －1（x ）的图像的对称中心是（－1，3）,则原函数的对称中心为(3, －1), 所以13a +=,解得2a =. 11.C 解析: 执果索因，逆推检验可得答案g(x)＝15，x ∈[4，16]. 12.D 解析: 由),()()(y f x f y x f =+可得当0x y ==时,得(0)0f =或(0)1f =, 由)(x f y =不恒为零可得(0)1f =. 令y x =-可得()()()1f x f x f x x -=-=, 由x >0时，f (x )>1，那么当x <0时，1)(0<<x f . 二、填空题： 13、23解析: 函数()322,[1,1],()1f x ax b a x f x =+--∈-≥若恒成立可得 0a =时, 221b -≥, b ≥23 ; 当0a >时, 3(1)322122f a b a b a -=-+--≥⇒≥+,得32b >; 当0a <时, 3(1)32212f a b a b a =+--≥⇒≥-+, 得32b >;由此可得b 的最小值为23.14、20≤≤a 解析: f (x )在（)31,-∞-上是增函数,则12a≥2(1(10a a --≥,得2(1a ≥且2a ≤, 又)(log )(221a ax x x f --=的值域为R, 得240a a +≥, 即0a ≥或2a ≤-,综上可得20≤≤a .15、()21y x =- 提示;舍去三者中的一个即可,答案不唯一. 16、①③ 解析: 1()lg(||)(0,)||f x x x x R x =+≠∈, 此函数为偶函数, 最小值是lg2 . 三、解答题：17．解：原不等式21,10,110,(1),,(1),(1)1,[(2)]0,x x ax a x a a x ax x x a >-⎧⎧+>⎪⎪⎪⇔+>>⇒>->⎨⎨⎪⎪+≥+⎩--≥⎪⎩⇒1,(1),[(2)]0,(1).x a ax x a a ⎧>->⎪⎨⎪--≥>⎩ ①2a =时，不等式的解为1x a>-； ②2a >时,a －2>0, 故原不等式解为a1-<x ≤0或x ≥a －2.18．解析：（1）取a=b=1，则(1)2(1).(1)f f p f p =-=故.又p f f f f -+=⋅=)21()2()212()1(. 且1)2(-=p f .得：1)1()2()1()21(+=+--=+-=p p p p p f f f .（2）设,021x x <<则：])()([)()()()(112111212p x f x x f x f x x x f x f x f -+=-⋅=-1()f x -21()x f p x =-………8分 依1,01221><<x x x x 可得再依据当1>x 时，总有p x f <)(成立，可得p x x f <)(12. 即0)()(12<-x f x f 成立，故),0()(+∞在x f 上是减函数.19．解析：（Ⅰ）由题意知，需加工G 型装置4000个，加工H 型装置3000个，所用工人分别为x 人，x -216人. .3)216(3000)(,64000)(⋅-==∴x x h xx g即*).,2160(2161000)(,32000)(N x x xx h x x g ∈<<-==. （Ⅱ）.)216(3)5432(1000216100032000)()(x x x xxx h x g --⋅=--=-.0216,2160>-∴<<x x当h(x)g(x)0,h(x)-g(x)0,5x -,432860>>>≤<时x ； 当h(x).g(x)0,h(x)-g(x)0,5x -,43221687<<<<≤时x=∴)(x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈<≤-∈≤<.*,21687,2161000*;,860,32000N x x xN x x x（Ⅲ）完成总任务所用时间最少即求)(x f 的最小值.当860≤<x 时，)(x f 递减，,12910008632000)86()(=⨯=≥∴f x f ),86()(min f x f =∴此时,130216=-x 当21687<≤x 时，)(x f 递增，,1291000872162000)86()(=-=≥∴f x f ),87()(min f x f =∴此时,129216=-x,1291000)87()86()(min ===∴f f x f∴加工G 型装置，H 型装置的人数分别为86，130或87，129. 20．解析：⑴∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=，……2分222211(1)()0.10,0.()()ax ax ax bx c bx c ax c bx c bx cbx c bx c ++++-+∴=-∴=+≠∴=-++-++ 41(1)2,(2)3,123,2a f f a b b+=<∴+=< 又且21:12,b a a a Z =+-<<∈ 将代入上式得∴a =0或a =1.而a =0时b =12，b Z ∈与矛盾. ∴a =1，b =1，c =0； ⑵由⑴设,1)(x x x f +=()1212212112121212212110,()()(),11,10,0()()1,().:10.x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x f x f x x f x x f x -<<-=-<<->->->∴><--<<当时又即当时为增函数同理当时,为减函数21、（Ⅰ）证明：设12,x x ∈[—1，1]，且12x x <，在0)()(>++ba b f a f 中，令a =x 1,b=—x 2， 有2121)()(x x x f x f --+>0，∵x 1<x 2,∴x 1－x 2<0.又∵f(x)是奇数，∴f(－x 2)=－f(x 2)∴2121)()(x x x f x f -->0 ∴f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)< f(x 2).故f(x )在[－1，1]上为增函数.（Ⅱ）解析：∵f(1)=1 且f(x )在[－1，1]上为增函数，对x ∈[－1，1]，有f(x)≤f(1)=1. 由题意，对所有的x ∈[－1，1]，b ∈[—1，1]，有f(x)≤m 2－2bm+1恒成立， 应有m 2－2bm+1≥1⇒m 2－2bm ≥0. 记g(b)=－2mb+m 2， 对所有的b ∈[－1，1]，g(b)≥成立.只需g(b)在[－1，1]上的最小值不小于零.……8分 若m ＞0时，g(b)=－2mb+m 2是减函数， 故在 [－1，1]上，b=1时有最小值，且[g(b)]最小值=g(1)=－2mb+m 2≥0⇒m ≥2； 若m=0时，g(b)=0这时[g(b)]最小值=0满足已知，故m=0；若m<0时，g(b)=－2mb+m 2是增函数，故在[－1，1]上，b=－1时有最小值， 且[g(b)]最小值=g(－1)=2m+m 2≥0⇒m ≤－2.]综上可知，符合条件的m 的取值范围是：m ∈（－∞，－2]∪{0}∪[2，+∞). 22．解析：（Ⅰ）∵对于任意x ∈R ，都有f （x ）—x ≥0，且当x ∈(0,2)时， 有f （x ）≤(21+x )2·令x=1 ∴1≤f (1)≤(211+)2.即f （1）=1. （Ⅱ）由a —b +c =0及f （1）=1.有⎩⎨⎧=++=+-1,0c b a c b a 可得b =a +c=21.又对任意x ，f （x ）—x ≥ 0,即ax 2—21x +c ≥0. ∴a ＞0且△≤0.即41—4ac ≤0.解得ac ≥161. （Ⅲ）由（Ⅱ）可知a ＞0,c ＞0. a +c ≥2ac ≥2·161=21. 当且仅当,1,2a c a c =⎧⎪⎨+=⎪⎩时等号成立.此时a=c =41∴f(x)=41x 2+21x+41, F(x)=f(x)－mx =41[x 2+（2－4m ）x +1]. 当x ∈[－2,2]时,F(x )时单调的,所以F(x )的顶点一定在[－2,2]的外边. ∴|242m -|≥2. 解得m ≤－21或m ≥23.。
人教A版(2019)高中数学 必修第一册第二章一元二次函数同步测试卷【答案】
人教A 版（2019）高中数学课时练 必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质一、选择题（60分）1．若2a ≠-，(21)(2)m a a =-+，(2)(3)n a a =+-，则m 、n 的大小关系是（ ）A ．m n =B ．m n <C ．m n >D ．m 、n 关系不确定 2．如果不等式组9080x a x b -≥⎧⎨-<⎩的整数解有n （*n ∈N ）个，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对(,)a b 共有（ ）个A ．17个B ．64个C ．81个D ．72个3．已知x ，y ，z 为正整数，x y z ≤≤，则方程11112x y z ++=的解得个数为（ ） A ．8 B ．10C ．11D ．12 4．已知函数()22f x x mx n =++，则()1f 、()2f 、()3f 与1的大小关系为（ ）A ．没有一个小于1B ．至多有一个不小于1C ．都不小于1D ．至少有一个不小于15．实数a ，b ，c 满足221a a c b =+--且210a b ++=，则下列关系成立的是（ ）A ．b a c >≥B ．c a b ≥>C ．b c a >≥D ．c b a ≥> 6．已知(),,,x f x e x R a b =∈<记()()()()()()1,2A f b f a B b a f a f b =-=-+，则,A B 的大小关系是（ ）A ．AB > B ．A B ≥C ．A B <D ．A B ≤7．设实数a ，b ，c 满足1a b >>，1c >，则下列不等式中不成立的是（ ）A ．b a bc aa b ac +<<+ B ．1a bc b a b ac +<<+ C ．1a bc c cc b a +<<+ D a bc b ac +<<+8．已知x ，y 是正实数，则下列式子中能使x y >恒成立的是（ ）A ．21x y y x +>+B ．112x y y x +>+C ．21x y y x ->-D ．112x y y x->- 9．已知实数a ，b ，c.A ．若|a 2+b+c|+|a+b 2+c|≤1，则a 2+b 2+c 2＜100B ．若|a 2+b+c|+|a 2+b–c|≤1，则a 2+b 2+c 2＜100C ．若|a+b+c 2|+|a+b–c 2|≤1，则a 2+b 2+c 2＜100D ．若|a 2+b+c|+|a+b 2–c|≤1，则a 2+b 2+c 2＜10010．集合()*{,,|S x y z x y z N =∈、、，且x y z <<、y z x <<、z x y <<恰有一个成立}，若(),,x y z S∈且(),,z w x S ∈,则下列选项正确的是( )A ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∉11．关于x 的不等式()()30x a x -->成立的一个充分不必要条件是11x -<<，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤-B ．0a <C ．2a ≥D ．1a ≥ 12．已知0<a <b <1e ，则下列正确的是（ ）A >>>B >>>C >>>D ．以上均不正确二、填空题（20分）13．设0a b >>，若x =，y =x ，y 的大小关系是________（用“<”号连接）. 14．已知,,a b a m +均为大于0的实数,给出下列五个论断:①a b >,②a b <,③0m >,④0m <,⑤b m b a m a+>+.以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题___________.15．设x ，y 是正实数，记S 为x ，1y x +，1y中的最小值，则S 的最大值为______. 16．如果对于任意的正实数x ，不等式1a x x +≥恒成立，则a 的取值范围是_________． 17．设[]x 表示不超过x 的最大整数（例如：[][]22,1.251==），则方程[]3240x x -+=的解为__.三、解答题（70分）18．设a b c R +∈，，，试证:对任意实数x y 、、z 有222x y z ⎫++≥++⎪⎪⎭19．已知0,0a b >>（1）若22a b +=，且211t a b≤++恒成立，求实数t 的最大值； （2）若函数()2f x x a x b =++-的最小值为1，证明：22a b +=；（3）若22m -<<，且()()2220m a m b ab -++-=，设+a b 的最小值为()g m ，求()g m 的值域. 20．符号[]x 表示不大于x 的最大整数()x R ∈,例如[]1.31=，[]22=，[]1.22-=-（1）已知方程[]0x =的解集为M ，不等式[]1x <-的解集为N ，求M 、N ；（2）设方程13x x ⎡⎤+-=⎣⎦的解集为A ，求A ；21．已知00x y >>，，求证：()()22119x y x y xy ++++.22．若实数x 、y 、m 满足|x ﹣m|＜|y ﹣m|，则称x 比y 接近m ．（1）若2x 比1接近3，求x 的取值范围；（2）已知函数f （x ）定义域D=（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，3）∪（3，+∞），对于任意的x∪D ，f （x ）等于x 2﹣2x 与x 中接近0的那个值，写出函数f （x ）的解析式，若关于x 的方程f （x ）﹣a=0有两个不同的实数根，求出a 的取值范围；（3）已知a ，b∪R ，m ＞0且a≠b ，求证： 比接近0．23．(Ⅰ) (Ⅱ)试比较n n +1与(n +1)n (n ∈N +)的大小，根据(Ⅰ)的结果猜测一个一般性结论，并加以证明.【参考答案】1．C 2．D 3．B 4．D 5．D 6．C 7．D 8．B 9．D 10．B 11．D 12．A13．x y <14．①③推出⑤(答案不唯一还可以①⑤推出③等)1516．解：对于任意的正实数x ，不等式1a x x+恒成立， 即(1)a x x -(0,)x ∈+∞恒成立．令()(1)f x x x =-，只需a 大于等于()f x 的最大值． 1++m mb a 1²++m mb a。
人教版高中数学选择性必修第一册第二章测试题及答案解析
人教版高中数学选择性必修第一册第二章测试题及答案解析一、测试题1. 解方程：$3(x+1)-2(x-2) = 4(x-1)+6$解：首先，将方程两边的括号展开，得到：$3x+3-2x+4 = 4x-4+6$然后，合并同类项，得到：$x+7=4x+2$接下来，移项，将未知数x的项移到等式的一边：$x-4x = 2-7$化简得：$-3x = -5$最后，将方程两边同时除以-3，得到最终结果：$x = \frac{-5}{-3} = \frac{5}{3}$2. 计算：$\sqrt{24} \cdot \sqrt{\frac{8}{3}}$解：首先，对根号内的数进行因式分解，得到：$\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{1 \cdot 3}}$然后，利用根号乘法法则，将两个根号内的因子合并，得到：$2 \sqrt{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$接下来，化简分数并移动根号，得到：$2\sqrt{6} \cdot\frac{2}{\sqrt{3}} = 2 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}$化简根号内的分数，得到最终结果：$4\sqrt{2}$3. 求函数$f(x)=2x^2-5$的图像在坐标系上关于x轴对称的点的坐标。
解：首先，关于x轴对称的点的特点是，其横坐标不变，纵坐标相反。
即，对于点P(x,y)，其关于x轴对称的点为P'(x,-y)。
对于函数$f(x)=2x^2-5$来说，我们需要求出函数图像上的点，然后对其进行关于x轴的对称操作。
例如，当$x=1$时，$f(1) = 2(1)^2-5 = -3$，即点P(1,-3)。
在坐标系上，找到点P(1,-3)，将其关于x轴对称，得到点P'(1,3)。
因此，函数$f(x)=2x^2-5$的图像在坐标系上关于x轴对称的点的坐标为P'(1,3)。
人教版数学高一第二章点,直线,平面之间的位置关系单元测试精选(含答案)2
【答案】A
15．如图，在三棱柱 ABC－A′B′C′中，点 E、F、H、K 分别为 AC′、CB′、A′B、B′C′
的中点，G 为△ABC 的重心，从 K、H、G、B′中取一点作为 P，使得该三棱柱恰有 2
条棱与平面 PEF 平行，则点 P 为 ( )
A．K
B．H
C．G
D．B′
【来源】人教 A 版高中数学必修二第 2 章 章末综合测评 3
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
【来源】人教 A 版高中数学必修二第二章 章末检测卷
【答案】C
19．如图，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，A、B 到 l 的距离分别是 a 和 b，AB 与α、β
试卷第 5页，总 17页
所成的角分别是θ和φ，AB 在α、β内的射影长分别是 m 和 n，若 a＞b，则 ( )
【来源】2013-2014 学年福建省清流一中高一下学期第二次阶段考数学试卷（带解析) 【答案】①②
30．如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， M，N 分别是棱 AA1 和 AB 上的点， 若 B1MN 是直角，则 C1MN ________.
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【来源】人教 A 版 2017-2018 学年必修二第 2 章 章末综合测评 1 数学试题 【答案】90°
29．如图，将边长为1的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使得平面 ADC 平面 ABC ， 在折起后形成的三棱锥 D ABC 中，给出下列三个命题： ① DBC 是等边三角形； ② AC BD ； ③三棱锥 D ABC 的体积是 2 .
6
其中正确命题的序号是* * * ．（写出所有正确命题的序号）
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人教版高中数学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试题(有答案解析)(2)
一、选择题1．若对(0,)t ∀∈+∞，都有22(1)3x t x t+<+成立，则x 的取值范围是（ ） A ．()2,6-B ．(,3)(2,6)-∞--C ．(,3)(2,)-∞-⋃-+∞D ．(,3)(2,)-∞-⋃-+∞2．现有以下结论： ①函数1y x x=+的最小值是2； ②若a 、b R ∈且0ab >，则2b aa b+≥；③y =2；④函数()4230y x x x=-->的最小值为2-. 其中，正确的有（ ）个A ．0B ．1C ．2D ．33．已知a ，b 均为正数，且20a b ab +-=，则22124b a a b -+-的最大值为（ ）A ．9-B ．8-C ．7-D ．6-4．已知(1,0),(1,0)A B -，点M 是曲线x =上异于B 的任意一点，令,MAB MBA αβ∠=∠=，则下列式子中最大的是（ ）A ．|tan tan |αβ⋅B ．|tan tan |αβ+C ．|tan tan |αβ-D ．tan tan αβ5．小明从甲地到乙地前后半程的速度分别为a 和()b a b <，其全程的平均速度为v ，则下列不正确的是（ ）A ．a v <<B ．v <C 2a bv +<<D ．2abv a b=+ 6．若正数a ，b 满足1a >，1b >，且3a b +=，则1411a b +--的最小值为（ ） A ．4B ．6C ．9D ．167．若直线220ax by +-=(),a b R +∈平分圆222460xy x y +---=，则21a b+的最小值是（ ）.A ．1B ．5C ．D ．3+8．若对于任意的x ＞0，不等式231xa x x ≤++恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥15B ．a ＞15 C ．a ＜15 D ．a ≤159．不等式28610x x -+<的解集为（ ） A ．11(,)42B ．11(,)(,)42-∞+∞ C ．11(,)34--D ．11(,)(,)34-∞--+∞ 10．已知1x >，则41x x +-的最小值为 A ．3B ．4C ．5D ．611．已知01a <<，1b >，则下列不等式中成立的是（ ）A ．4aba b a b+<+ B 2aba b<+C <D ．a b +12．已知3x >，13y x x =+-，则y 的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题13．若对(,1]x ∈-∞-时，不等式21()2()12xxm m --<恒成立，则实数m 的取值范围是____________.. 14．已知,x y R +∈，且1112x y+=，则x y +的最小值为________ 15．已知向量()2,1a y =-，(),3b x =，且a b ⊥，若x ，y 均为正数，则32x y+的最小值是______．16．已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4a +9b ，则a +b +c 的最小值为_____．17．已知实数0a >，0b >是8a 与2b 的等比中项，则62a b+的最小值是_________. 18．已知向量1a =，向量b 满足4a b a b -++=，则b 的最小值为______.19．函数()2436x x f x x ++=-的值域为__________．20．已知正实数,x y 满足3x+y+=xy ，则x y +的最小值为__________．三、解答题21．已知0,0x y >>，且440x y +=. （1）求xy 的最大值；（2）求11x y+的最小值.22．已知不等式()()2330,ax a x b a b R +--<∈的解集为{}31A x x =-<<．（1）求实数a ，b 的值；（2）设()22()2ax bx f x x A x +-=∈-，当x 为何值时()f x 取得最大值，并求出其最大值．23．已知命题p ：方程240x mx ++=无实数根：命题q ：不等式()2310x m x +-+>在x ∈R 上恒成立.（1）如果命题p 是假命题，请求出实数m 的取值范围；（2）如果命题p q ∨为真命题，且命题p q ∧为假命题，请求出实数m 的取值范围.24．设m ∈R ，不等式()()231210mx m x m -+++>的解集记为集合P .（1）若{}12P x x =-<<，求m 的值； （2）当0m >时，求集合P .25．（理）已知关于x 的不等式2320ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >. （1）求实数a ，b 的值；（2）解关于x 的不等式()()0ax b x c -->（c 为常数）.26．已知正数,,a b c 满足3a b c ++=. （Ⅰ）若221a b +=，求c 的取值范围； （Ⅱ）求证：3bc ac aba b c++≥.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】首先利用基本不等式得到2(1)4t t +≥，再根据题意得到243x x <+，解不等式即可.【详解】令()2(1)t t t f +=，()0,t ∈+∞，()2)2(11t t f t t t==+++，因为()0,t ∈+∞，所以()1224f t t t=++≥=， 当1t t=即1t =时取等号，又因为(0,)t ∀∈+∞，都有22(1)3x t x t +<+，所以243x x <+即可.由243x x <+得()243033x x x x +-<++，即241203x x x --<+， ()()241230xx x --+<，所以()()()6230x x x -++<，解得3x <-或26x -<<. 故选：B. 【点睛】易错点点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2．B解析：B 【分析】取0x <，可判断①的正误；利用基本不等式可判断②③④的正误. 【详解】对于①，当0x <时，10y x x=+<，①错误；对于②，若a ，b R ∈且0ab >，说明0b a >，0a b >，则2b a a b +≥=，当且仅当22a b =时取等号，显然成立，②正确；对于③，2y =≥=，=231x +=，显然这样的x 不存在，所以结论不正确，③错误；对于④，因为0x >，所以43x x+≥ 函数()4230y x x x=-->的最大值为2-，所以结论不正确，④错误. 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．C解析：C 【分析】先利用条件化简222212144b b a a a b +⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，巧用“1”的代换证明42b a +≥，再证明222242b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥+，即得到2214b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+的取值范围，根据等号条件成立得到最值. 【详解】依题意，0,0a b >>，20a b ab +-=可知121a b+=，则222212144b b a a a b +⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，122224222b b b a a a a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当22b a a b=时，即2ba =时等号成立.22242b ba a ab ≥⋅⋅=+，当且仅当2b a =时，等号成立，则左右同时加上224b a +得，则222222442b b b a a ab a ⎛⎫≥+=⎛⎫+++ ⎪⎝⎝⎭⎭ ⎪，即222242b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥+，当且仅当2b a =时等号成立， 故2222428422b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥≥=+，当且仅当2b a =时，即2,4a b ==时等号成立， 故2222121744b b a a a b ⎛⎫-+-=-≤- ⎪⎝⎭+当且仅当2b a =时，即2,4a b ==时等号成立. 即22124b a a b -+-的最大值为7-. 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：本题解题关键在于利用基本不等式证明的常用方法证明42b a +≥和222242b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥+，进而突破难点，取最值时要保证取等号条件成立.4．C解析：C 【分析】化简曲线为221(1)x y x -=≥，易知该曲线为双曲线，分别计算选项的取值范围，即可得答案； 【详解】设直线MA ，MB 的斜率分别为12,k k ，11(,)M x y ，则12tan ,tan k k αβ==-， 对A ，1111|tan tan |||111y yx x αβ⋅=⋅=+-； 对B ，C ，tan 0,tan 0αβ><，∴|tan tan |αβ->|tan tan |αβ+，1|tan tan ||tan |2tan αβαα-=+≥， 对D ，1k 小于双曲线渐近线的斜率，∴2tan tan 1tan ααβ=<， ∴|tan tan |αβ-最大，故选：C. 【点睛】通过将斜率转化为直线倾斜角的正切值，再结合基本不等式是求解的关键.5．C解析：C根据题意，求得v ，结合基本不等式即可比较大小. 【详解】设甲、乙两地之间的距离为2s ，则全程所需的时间为s s a b+， 22s abv s s a b a b∴==++，故D 正确；0b a >>2a b+<，2ab v a b ∴=<=+C 错误；又22222a b ab a b v a b a b +⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭=<=<++B 正确； 22220ab ab a a a v a a a b a b a b---=-=>=+++，v a ∴>，则a v <<A 正确.故选：C 【点睛】关键点点睛：由基本不等式可得22ab a b a b +≤≤≤+等式比较大小，属中档题.6．C解析：C 【分析】由等式3a b +=可以得到111a b -+-=，由1411a b +--乘以111a b -+-=所求得式子和基本不等式进行求解即可. 【详解】由3a b +=，可得111a b -+-=，10,10a b ->->，所以()141414(1)511111111a b a a b b a b a b --⎛⎫+=+=++ ⎪------⎝⎭-+-59≥+= 当且仅当12(1)b a -=-，即54,33b a ==时等号成立. 故选：C关键点点睛：本题注意观察待求式的分母，1,1a b --，结合已知条件，可变形为关于分母的式子111a b -+-=，这样就转化为“1”的常规技巧的应用.7．D解析：D 【分析】根据条件可知直线过圆心，求解出,a b 的关系式，利用常数代换法以及基本不等式求解出21a b +的最小值. 【详解】因为直线220ax by +-=(),a b R+∈平分圆222460xy x y +---=，所以直线220ax by +-=过圆心，又因为圆的方程()()221211x y -+-=，所以圆心为()1,2，所以222a b +=，即1a b +=，所以()21212333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=+⋅+=++≥+=+ ⎪⎝⎭ 取等号时222a b =即a =，此时21a b ==，故选：D. 【点睛】本题考查圆的对称性与基本不等式的综合应用，其中涉及到利用常数代换法求解最小值，对学生的理解与计算能力要求较高，难度一般.利用基本不等式求解最值时注意说明取等号的条件.8．A解析：A 【分析】由于x ＞0，对不等式左侧分子分母同时除以x ，再求出左侧最大值即可求解. 【详解】由题：对于任意的x ＞0，不等式231xa x x ≤++恒成立，即对于任意的x ＞0，不等式113ax x≤++恒成立，根据基本不等式：10,335x x x >++≥+=，当且仅当1x =时，取得等号， 所以113x x++的最大值为15，所以15a ≥. 故选：A【点睛】此题考查不等式恒成立求参数范围，通过转化成求解函数的最值问题，结合已学过的函数模型进行求解，平常学习中积累常见函数处理办法可以事半功倍.9．A解析：A 【分析】运用因式分解法，化为一元一次不等式组，解不等式，求并集即可得到所求解集． 【详解】解：28610x x -+<即为(21)(41)0x x --<，即有210410x x ->⎧⎨-<⎩或210410x x -<⎧⎨->⎩，可得x ∈∅或1142x <<， 即解集为1(4，1)2，故选A ． 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．10．C解析：C 【分析】由1x >，得10x ->，则441111x x x x +=-++--，利用基本不等式，即可求解． 【详解】由题意，因为1x >，则10x ->，所以44111511x x x x +=-++≥=--， 当且仅当411x x -=-时，即3x =时取等号，所以41x x +-的最小值为5，故选C ． 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理构造是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11．D解析：D【分析】本题先根据完全平方公式与基本不等式得到()22224a b a ab b ab +=++>，所以排除选项A2211aba b a b>=++，所以排除选项B ；接着根据基本>=，所以排除选项C ；最后根据基本不等式得到选项D 正确. 【详解】解：对于选项A ：因为01a <<，1b >，所以()22224a b a ab b ab +=++>，故选项A 错误；对于选项B 2211aba b a b>=++，故选项B 错误；对于选项C>=C 错误；对于选项D ：()22222222a b a ab b a b +>++=+， 所以a b +<，故选项D 正确. 故选：D . 【点评】本题考查基本不等式的应用、学生的运算能力和转换能力，是基础题.12．D解析：D 【分析】由3x >，得到30x ->，化简113333y x x x x =+=-++--，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为3x >，所以30x ->，则11333533y x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当133x x -=-，即4x =时取等号， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”的条件，合理运算是解得的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．【分析】运用换元法参变分离法来求解不等式恒成立问题【详解】不等式转化为化简为令又则即恒成立令又当时取最小值所以恒成立化简得解不等式得故答案为：【点睛】方法点晴：本题考查了不等式恒成立问题在求解过程中 解析：()2,3-【分析】运用换元法,参变分离法来求解不等式恒成立问题.【详解】不等式()21212x xm m ⎛⎫--< ⎪⎝⎭转化为2214x x m m +-<,化简为2211()22x x m m -<+， 令12xt =,又(],1x ∈-∞-,则[)2,t ∈+∞, 即22m m t t -<+恒成立，令2()f t t t =+，又[)2,t ∈+∞， 当2t =时，()f t 取最小值min ()(2)6f t f ==，所以，26m m -<恒成立,化简得260m m --<，解不等式得23m -<<.故答案为：()2,3-【点睛】方法点晴：本题考查了不等式恒成立问题,在求解过程中运用了参变分离法,注意题目中变量的取值范围.14．【分析】由条件可得利用均值不等式可得答案【详解】当且仅当即也即时取等号故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一正就是各项必须为正数；（2）【分析】由条件可得()2112112x y x y x y x y y x ⎛⎫+=+=++⎪⎭+⎝+，利用均值不等式可得答案. 【详解】 ()11332122212x y x y y x x y x y ⎛⎫+=+=+++++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当2x y y x =，即x =，也即x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号.故答案为：32+ 【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方15．8【分析】由题意利用两个向量垂直的性质基本不等式求得的最大值可得要求式子的最小值【详解】解：向量且若均为正数则当且仅当时取等号则故答案为：8【点睛】本题主要考查两个向量垂直的性质基本不等式的应用属于 解析：8【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，基本不等式，求得xy 的最大值，可得要求式子的最小值．【详解】 解：向量(2,1)a y =-，(,3)b x =，且a b ⊥，∴23(1)0a b x y =+-=．若x ，y 均为正数，则23326x y xy +=，38xy∴，当且仅当3232x y ==时，取等号． 则32233838y x x y xy ++==，故答案为：8．【点睛】本题主要考查两个向量垂直的性质，基本不等式的应用，属于中档题．16．10【分析】由得出利用基本不等式即可得出答案【详解】（当且仅当时取等号）故答案为：10【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用属于中档题 解析：10【分析】由49abc a b =+得出94c a b=+，利用基本不等式即可得出答案. 【详解】 49abc a b =+4994a b c ab ab +∴==+9410a b c a b a b ++=+++≥=（当且仅当3,2a b ==时，取等号）故答案为：10【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题.17．32【分析】由是与的等比中项求得化简结合基本不等式即可求解【详解】由题意实数是与的等比中项可得解得所以当且仅当时即时等号成立所以的最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值以及等比 解析：32【分析】8a 与2b 的等比中项，求得31a b +=，化简626266()(3)20b a a b a b a b a b+=++=++，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，实数0a >，0b >8a 与2b 的等比中项，可得23228a b a b +=⨯=，解得31a b +=，所以626266()(3)202032b a a b a b a b a b +=++=++≥+=， 当且仅当66b a a b +时，即14a b ==时，等号成立， 所以62a b+的最小值是32. 故答案为：32.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，以及等比中项公式的应用，其中解答中熟记等比中项公式，合理利用“1”的代换，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.18．【分析】根据平行四边形性质可得再结合基本不等式即可求出的最小值【详解】由平行四边形性质可得：由基本不等式可得：当且仅当时等号成立所以即所以所以的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的数量积的【分析】 根据平行四边形性质可得()22222a b a b a b++-=+，再结合基本不等式即可求出b 的最小值.【详解】 由平行四边形性质可得：()22222a b a b a b ++-=+，由基本不等式可得：()2222a b a b a b a b ++-++-≥，当且仅当a b a b +=-时等号成立， 所以()()22222a b ab a b ++-+≥，即()224212b +≥， 所以3b ≥，所以b 的最小值为.【点睛】 本题主要考查了向量的数量积的运算及基本不等式的应用，属于中档题.19．【分析】设将关于的函数利用基本不等式即可求出值域【详解】设当时当且仅当时等号成立；同理当时当且仅当时等号成立；所以函数的值域为故答案为:【点睛】本题考查函数的值域注意基本不等式的应用属于基础题解析：(),161667,⎡-∞-++∞⎣ 【分析】设6x t -=，将()f x 关于t 的函数，利用基本不等式，即可求出值域.【详解】设21663636,6,()16t t x t x t g t t t t++-==+==++， 当0t >时，()16g t ≥，当且仅当6t x ==时等号成立；同理当0t <时，()16g t ≤-，当且仅当6t x =-=-时等号成立；所以函数的值域为(),161667,⎡-∞-++∞⎣. 故答案为: (),161667,⎡-∞-++∞⎣. 【点睛】本题考查函数的值域，注意基本不等式的应用，属于基础题. 20．6【分析】由题得解不等式即得x+y 的最小值【详解】由题得所以所以所以x+y≥6或x+y≤-2(舍去)所以x+y 的最小值为6当且仅当x=y=3时取等故答案为6【点睛】本题主要考查基本不等式求最值意在考解析：6【分析】由题得2)34x y x+y+=xy +≤（，解不等式即得x+y 的最小值.【详解】 由题得2)34x y x+y+=xy +≤（, 所以2)4(x y x y +-+≥（）-120， 所以6)(2)0x y x y +-++≥（， 所以x+y≥6或x+y≤-2(舍去)，所以x+y 的最小值为6.当且仅当x=y=3时取等.故答案为6【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无。
人教版高中数学必修第一册同步讲义第二章 2.8 对数函数
2.8对数函数 ①课文三点专讲重点:(1)对数函数的定义. ○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．○2 对数函数对底数的限制0(>a ，且)1≠a ． (2)对数函数的图象和性质.(1)底数对对数函数图象的影响. (2)对数函数与指数函数.指数函数)1,0(≠>=a a a y x与对数函数)1,0(log ≠>=a a x ya 互为反函数，它们的图象关于直线x y =对称，其图象性质见下表：(1)利用对数式与指数式的关系,求反函数.(2)关于图象的判断问题.此类问题多以选择题、填空题的形式出现,其关键要抓住对数函数图象的特点,掌握图象的规律,进行观察比较,数形结合求解.(3)求函数的定义域及单调性问题.灵活掌握与对数函数复合的函数的单调性及单调区间的求解.(4)有关对数函数的综合问题.此类问题求解应注意审题,抓住已知条件中的相关联系及涉及的知识点,挖掘隐含条件.②练功篇典型试题分析例1. 比较下列各组中两个值的大小.(1)ｌｏｇ0.52.7、ｌｏｇ0.52.8 （２）ｌｏｇ3４、ｌｏｇ6５.分析：(1)是利用对数函数的增减性比较两个数的大小的，对底数与1的大小关系来明确指定时，要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小，例如比较ｌｏｇa 3和ｌｏｇa 2的大小，要讨论a ＞1和0＜ａ＜１两种情况.(2)对于(2)就不能直接利用对数函数的增减性比较大小，这时可在两个数中间插入一个已知数(如1或0等)间接比较上述两个对数的大小.解析：(1)考查函数y=ｌｏｇ0.5ｘ，因为它的底数０.５＜１，所以它在（０，＋∞）上是减函数，于是：ｌｏｇ0.5２.７＞ｌｏｇ0.5２.８. （２）∵ｌｏｇ34＞ｌｏｇ33＝１，ｌｏｇ6５＜ｌｏｇ66＝１. ∴ｌｏｇ34＞ｌｏｇ6５.例2. 已知)1,0(11log )(≠>--=a a x mxx f a 且是奇函数 （1）求m 的值；（2）根据（1）的结果，判断)(x f 在),1(+∞上的单调性，并加以证明； 解析：（1）由f (x)f (x)-=-得222aa 1mx 1mxlog log 1m x 1x x 1x 1+-=-⇔-=----对一切实数x 都成立 ∴2m 1=检验知m 1=- （2）设x 12g(x)1x 1x 1+==+--,并设任意的1212x 1,x 1,x x >><且，则 211212122(x x )22g(x )g(x )0x 1x 1(x 1)(x 1)--=-=>----所以g(x)在),1(+∞上是减函数，从而a>1时，12f (x )f (x )>，f(x)在),1(+∞上是减函数. 0<a<1时，12f (x )f (x )<，f(x)在),1(+∞上是增函数.基础知识巩固1.(2005江苏) 函数123()x y x R -=+∈的反函数的解析表达式为A. 22log 3y x =- B. 23log 2x y -= C. 23log 2x y -= D. 22log 3y x=-2.将y =2x 的图象_____，再作关于直线y =x 对称的图象，可得到y =lo g 2（x +1）的图象（ ） A.先向左平行移动1个单位 B.先向右平行移动1个单位 C.先向上平行移动1个单位 D.先向下平行移动1个单位 3.函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为（ ）A ．（1，2）∪（2，3）B ．(,1)(3,)-∞+∞C ．（1，3）D ．[1，3]4.下面四个图形中，与函数()22log 1y x x =+…的图象关于直线y x =对称的是（ ）2图xoy图15.（2002上海春，5）设a ＞0，a ≠1，函数y =lo g a x 的反函数和y =lo g a x1的反函数的图象关于（ ） A.x 轴对称B.y 轴对称C.y =x 对称D.原点对称6. (2005上海) 函数)1(log )(4+=x x f 的反函数)(1x f -=__________.7.求下列函数的单调区间 （1）2x2x 3y 2-++=（2）20.5y log (x 2x 3)=-++8. (2005江西) 若函数)2(log )(22a x x x f n ++=是奇函数，则a = .9. 已知定义域为R 的函数f (x )满足f (x +2)=－f (x )，f (x )=－f (－x ), 当x ∈［0，1)时， f (x )=2x －1.求f (21log 24).10. 已知函数2a y log (x 2x)(a 0,a 1)=->≠且（1）求函数的单调区间；（2）当0<a<1时，在区间（2,3]上求其反函数.③升级篇典型试题分析例3：设2f (x)log x =，构造一个定义在实数集上的奇函数g(x)，使得当x 0>时，g(x)f (x)=，（1）求函数g(x)的表达式，并作出g(x)的草图（2）作出函数y |g(x)|=的草图；解析：（1）x>0时，g(x)=log 2x ，设x<0，则-x>0,g(-x)=log 2(-x)又因为g(x)是奇函数，所以-g(x)=log 2(-x)，即有g(x)=-log 2(-x)，所以22log xx 0g(x)0x 0log (x)x 0>⎧⎪==⎨⎪--<⎩，其草图如图1.(2)函数y |g(x)|=的草图如图2所示.例4. 已知y ＝log a （2－ax ）在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ）A.（0，1）B.（1，2）C.（0，2）D.［2，＋∞）分析：本题主要考查对数函数的单调性和逻辑思维能力.入手思路宽.由常规的具体函数判定其单调性，换为由函数的单调性反过来确定函数中底数a 的范围，提高了思维层次，同时要求对对数函数的概念和性质有较深刻全面地理解并熟练掌握..解法一：先求函数的定义域，由2－ax ＞0，有ax ＜2，因为a 是对数的底，故有a ＞0，于是得函数的定义域x ≤a2，又函数的递减区间［0，1］必须在函数的定义域内，故有1＜a2，从而a ＜2. 若1＜a ＜2，当x 在［0，1］上增大时，2－ax 减小，从而log a （2－ax ）减小，即函数y =log a （2－ax ）在［0，1］上是单调递减的；若0＜a ＜1，当x 在［0，1］上增大时，2－ax 减小，从而log a （2－ax ）增大，即函数y ＝log a （2－ax ）在［0，1］上是单调递增的.所以a 的取值范围应是（1，2），故选择B.解法二：因a 是对数函数的底数，故a ＞0，且a ≠1，排除C ；当0≤x ≤1时，真数2－ax ＞0，取x =1，得a ＜2，排除D.取a ＝21时，函数y ＝log 21（2－2x ），在区间［0，1］上，（2－2x）是x 的减函数，故y 是x 的增函数，排除A ，得B. 解法三：当a ∈（0，1）时，若0≤x 1＜x 2≤1，则2－ax 1＞2－ax 2＞0，故log a （2－ax 1）＜log a （2－ax 2），即y ＝log a （2－ax ）在［0，1］上是x 的增函数，排除A 、C.当a ＞2时，函数y 在x =1处无定义，排除D ，得B.解法四：取a =21，x 1＝0，x 2＝1，则有log a （2－ax 1）＝log 212，log a （2－ax 2）＝log 2123，可排除A 、C ；取a =3，x =1，则2－ax ＝2－3＜0，又y 在x =1处有意义，故a ≠3，排除D ，得B.解法五：因为a 是对数的底．故有a ＞0，∴u ＝2－ax 是减函数又∵y ＝log a （2－ax ）是减函数，由复合函数的增减性可知y ＝log a u 是增函数， ∴a ＞1又∵0≤x ≤1，∴0≤ax ≤a ，0≥－ax ≥－a ，2≥2－ax ≥2－a 又∵2－ax ＞0，∴2－a ＞0，∴a ＜2，∴1＜a ＜2．解法六：因为a 是对数的底数，故有a ＞0，∴u =2－ax 是减函数，又y =lo g a （2－ax ）是减函数，由复合函数的增减性，可知y =lo g a u 是增函数，∴a ＞1，又2－ax ＞0，ax ＜2， x ∈［0，1］当x ≠0时，a ＜xa，而对x ∈（0，1］中每一值不等式都成立，a 只需要小于其最小值即可，故a ＜2，∴1＜a ＜2，∴u =2－ax 是减函数，∴y =lo g a （2－ax ）是减函数.．知识应用与提升11. (2005湖北) 函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是（ ）A. B. C. D.12.若定义在区间（－1，0）内的函数f （x ）=log 2a （x ＋1）满足f （x ）＞0，则a 的取值范围是（ ） A.（0，21） B.（0，21] C.（21，＋∞） D.（0，＋∞）13. 设函数f （x ）＝|l gx |，若0＜a ＜b ，且f （a ）＞f （b ），证明：ab ＜1． 14. 若x 1是方程x +2x =2的实数解，x 2是方程x +log 2x =2的实数根，则x 1+x 2=______. 15.已知函数f （x ）＝a log （x ＋1），a ＞0且a ≠1．（1）若在区间（－1，0）上有f （x ）≤0，试判断f （x ）的单调性； （2）在（1）的条件下，求证21［f （x 1－1）＋f （x 2－1）］≤f 2221－＋x x ． 16. 若p ∈R ,且当|log 2p |<2时，不等式px +1>2x －p 恒成立,试求x 的取值范围.④闯关篇典型试题分析例5：若函数]41)1([log 22+-+=x a ax y 的定义域为R ，求实数a 的取值范围. 分析: 已知定义域为全体实数，是在041)1()(2+-+=x a ax x u 的情况下恒成立，即该一元二次不等式的解为全体实数，特别注意，a ≠０.当a ＝０时041)( +-=x x u 对x 来说是有限制范围的，并根据二次函数图象判定条件为：a ＞0且Δ＜０.解析：函数]41)1([log 22+-+=x a ax y 的定义域为R ， 即041)1(2+-+x a ax 恒成立， 此时不等式左边若不是二次函数， 即a =0时，显然041+-x 不能恒成立. 因此，左边一定是二次函数，即a ＞0且Δ＜0，进而可求得a 的取值范围为,0414)1( a a ⨯⨯-- 解得：).253,253(+-∈a 例6. 已知定义在R 上的函数f (x )对任意实数x 、y ，恒有f (x )+f (y )=f (x +y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，又f (1) = - 23．（1）求证：f (x )为奇函数； （2）求证：f (x )在R 上是减函数； （3）求f (x )在[-3，6]上的最大值与最小值．分析 因等式f (x )+f (y )=f (x +y )对任意实数x 、y 均成立，故可从取特值法进行入手． （1）证明 令x =y =0，可得 f (0)+f (0)=f (0+0)，从而，f (0) = 0．令y = -x ，可得 f (x )+f (-x )=f (x -x )=0，即f (-x ) = - f (x )， 故f (x )为奇函数． （2）证明 设x 1、x 2∈R ，且x 1＞x 2，则x 1-x 2＞0，于是f (x 1-x 2) ＜0．从而 f (x 1)-f (x 2)=f [(x 1 – x 2)+x 2] – f (x 2) = f (x 1 – x 2) +f (x 2) – f (x 2) = f (x 1 – x 2) ＜0． 所以，f (x )为减函数．（3）解析: 由（2）知，所求函数的最大值为f (-3)，最小值为f (6)． f (-3) = - f (3) = - [f (2)+f (1)] = - 2f (1) – f (1) = -3f (1) = 2， f (6) = - f (-6) = - [f (-3)+f (-3)] = -4．于是，f (x )在[-3，6]上的最大值为2，最小值为 -4．知识拔高与创新17.(2005辽宁) 若011log 22<++aa a，则a 的取值范围是A.),21(∞+ B.),1(∞+ C. )1,21(D.)21,0(18.定义在（－∞，＋∞）上的任意函数f （x ）都可以表示成一个奇函数g （x ）和一个偶函数h （x ）之和，如果f （x ）=lg （10x ＋1），x ∈（－∞，＋∞），那么( )A.g （x ）=x ，h （x ）=lg （10x ＋10－x ＋2） B.g （x ）=21lg ［（10x ＋1）＋x ］，h （x ）＝21lg ［（10x ＋1）－x ］ C.g （x ）＝2x ，h （x ）＝lg （10x ＋1）－2x D.g （x ）＝－2x ，h （x ）＝lg （10x ＋1）＋2x19. (2005福建) 把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数x x f 2log 3)(+=的图象与)(x g 的图象关于 对称，则函数)(x g = .（注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形）. 20. (2005上海) 设定义域为R 的函数⎩⎨⎧=≠-=1,01||,1|lg |)(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是（ ）A ．0<b 且0>cB ．0>b 且0<cC ．0<b 且0=cD ．0≥b 且0=c⑤行侠篇高考试题点击21.(2005全国1) 设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（）A. )0,(-∞B.),0(∞+C.)3log ,(a -∞D.),3(log ∞+a22. (2005北京)对于函数)(x f 定义域中任意的)(,2121x x x x ≠，有如下结论：①)()()(2121x f x f x x f ⋅=+；②)()()(2121x f x f x x f +=⋅；③;0)()(2121>--x x x f x f④.2)()()2(2121x f x f x x f +<+ 当x x f lg )(=时，上述结论中正确结论的序号是 .⑥娱乐广场开阔视野、趣味学习指数增长的威力科学家们提取这种癌细胞加以培养，发现这些癌细胞竟以y=A 0·2x这样的指数曲线疯狂地生长！每24小时便增加一倍（上式中A 0为原始数量，X 为天数）.这种新发现的癌细胞被命名“海拉”，并被严格控制于实验室.尼尔森芮斯博士撰文向全世界敲起了警钟：“如果听任‘海拉’细胞在最适宜的情况下毫无抑制地生长，那么到现在为止，它们很可能已经占领整个世界！”这是危言耸听吗？不！这是科学的结论！如果任其疯狂生长，那么按理论计算，一年后将达到y=A 0·2365现在，我们已经有了对数工具，让我们计算一下，这个数字究竟有多大∵ lgy=lgA 0+lg2365=lgA 0+365×lg2 =lgA 0+365×0.3010 ,从而 y=7.328×10109A 0 这样多的细胞，不必说占领整个地球，就是占领整个宇宙也不算过分！好在人类已经学会了对生物的有效控制，才制止了这种有害生物指数般的繁殖和生长.具有讽刺意味的是：人类虽然很早就注意控制生物，却迟迟才注意控制人类自己，世界人口依然按一条可怕的指数曲线在增长着！科学家们告诫说：我们这个赖以生存的地球，最多只能养活80～100亿人类.然而，按目前世界人口的增长速度，公元2000年，世界人口将达65亿，而公元2025年将突破100亿！再下去地球将无法承担这一负荷，人类将最终毁灭自己！这是危言耸听吗？不！这是科学向人类提出的警告！公元1987年7月11日，生活在这个星球上的第50亿个人，在南斯拉夫的萨格勒布市诞生了！这一天联合国人口活动基金会组织，向世界各国首脑，分别赠送一台特制的“人口钟”.这是一种奇异的计时器，除通常钟表功能外，还能显示该时刻该世界总人口的预测数，及每分钟各国人口的变化，它将随时提醒各国首脑重视人口问题.参考答案: 2.8对数函数1. A 解析:由,321+=-x y 得321-=-y x ,则)3(log 12-=-y x , 所以其反函数为:)3(log 12--=x y ,即32log 2-=x y . 2. D 解析：函数y =lo g 2（x +1）的图象与y =2x 的图象当然不同，但两个函数是有内在联系的，y =lo g 2（x +1）的反函数是y =2x －1.我们只须把y =2x 的图象向下平移一个单位，即可获得y =2x －1的图象，再作y =2x －1关于直线y =x 对称的图象即可获得y =lo g 2（x +1）的图象.3. A 解析:由题意可知，222log (43)02,1 3.430x x x x x x ⎧-+-≠≠⎧⎪⇒⎨⎨<<-+->⎪⎩⎩4. B 解析: 函数()22log 1y x x =+…的图象过定义(1,2) 且为增函数, 故其关于直线y x =对称的图象必过点(2,1),且为增函数.5. B 解法一：y =lo g a x 的反函数为y =a x ，而y =lo g a x1的反函数为y =a －x ，因此，它们关于y 轴对称.解法二：因为两个原函数的图象关于x 轴对称，而互为反函数的图象关于直线y =x 对称，因此y =lo g a x 的反函数和y =lo g a x1的反函数的图象关于y 轴对称. 6. )(1x f-=14-x 解答：1441)1(log )()()(4-=⇒=+⇒+=x f x f x x x x f反函数)(1x f-=14-x7. 解析:（1）增区间：(,1]-∞，减区间：[1,)+∞ ;（2）增区间：[1,3)，减区间：(1,1]-8. 2±解法1：由题意可知，()()f x f x =--，即x =，因此221a =，a =. 解法2：函数的定义域为R,又f(x)为奇函数,故其图象必过原点即f(0)=0,所以(0log 0n =,1=即||2a =2a =±. 9. 解析: 设x 0＝21log 24，则x 0∈(－5，－4)∴－(x 0＋4)∈(0，1) , ∴f (－x 0－4)＝2－x 0－4－1∵f (x )=－f (x +2) , ∴f (－x 0－4)＝－f (－x 0－2)＝f (－x 0)∵f (x )=－f (－x ),∴f (x 0)=－f (－x 0)=－f (－x 0－4)=－2－x 0－4+1 ∵x 0=21log 24,∴－(x 0+4)=log 224－4=log 21624=log 223 ∴2－(x 0+4)=23log 22 =23, ∴f (x 0)=－2－x 0－4+1=－23+1=－0.5 . 10. 解析：（1）0<a<1时，函数2a y log (x 2x)=-的增区间是(,0)-∞，减区间是(2,)+∞. a>1时，函数2a y log (x 2x)=-的增区间是(2,)+∞，减区间是(,0)-∞.（2）0<a<1时，由函数2a y log (x 2x)=-区间（2,3]上是减函数得a y log 3>解关于x 的方程2a y log (x 2x)=-得x 1=故反函数为a y 1log 3)=>.11. D 解析: 试探x=1是否有意义，再分别取x=2和x=0.5快速得到答案.12. A 解析：∵－1＜x ＜0，∴0＜x ＋1＜1，又∵f （x ）＞0，∴0＜2a ＜1，∴0＜a ＜21（可结合函数图象观察）．13. 证法一：如图，当0＜a ＜b 时，f （a ）＞f （b ），∴a 、b 不同在f （x ）的递增区间上． ∴0＜a ，b ＜1，或0＜a ＜1，b ≥1．当a ，b ∈（0，1）时，显然ab ＜1成立． 当0＜a ＜1，b ≥1时，则|lg a |＝l ga1，|l gb |＝l g B ． 由|l ga |＞|l gb |得l g a 1＞l gb ， ∴a 1＞B ．∴ab ＜1． 证法二：由已知得|l ga |＞|1gb |， ∴1g 2a ＞1g 2b ，即（l ga ＋l gb ）（l ga －l gb ）＞0． ∴l g （ab ）l g b a ＞0．∵0＜b a ＜1，∴l g ba ＜0． ∴l g （ab ）＜0，∴ab ＜1．14. 解析: ∵x +2x =2 , x +log 2x =2 , ∴2x =2－x , log 2x =2－x令y 1=2x , y 2=2－x , y 3=log 2x ，图象如图∵x 1是x +2x =2的解 ，x 2是y =log 2x 的解 .∴x 1、x 2分别对应图中A 、B 两点横坐标又∵y =2x 与y =log 2x 关于直线y =x 对称∴线段AB 的中点应在直线y =x 上又∵直线y =x 与y =2－x 垂直（倾斜角α1＝45°,α2＝135°)∴P 为直线y =x 与y =2－x 的交点（1，1） ∴x 1+x 2=2 .15. 解析：（1）∵－1＜x ＜0，∴0＜x ＋1＜1．又al o g （x ＋1）≤0，∴a ＞1．∴f （x ）＝a log （x ＋1）在（－1，＋∞）上是增函数．（2）原不等式即为21（a log x 1＋a log x 2）≤a log 221x x ＋． ∵左边＝21a log （x 1x 2）＝a log 21x x ≤a log 221x x ＋＝右边，得证.16. 解析: 由|log 2p |<2得－2<log 2p <2,则41<p <4由不等式px +1>2x －p ,得p (x +1)>2x －1①当x >－1时，112+-x x <p ,即⎪⎩⎪⎨⎧<-≤+-x x x 141112,解得－1<x ≤75②当x <－1时，112+-x x >p ,即⎪⎩⎪⎨⎧-<≥+-14112x x x ,解得－25≤x <－1∴x 的取值范围为（－1，⎥⎦⎤75∪［－25,－)1.17. C 解法一：代特殊值验证解法二：①当⎪⎩⎪⎨⎧<++<<011log 12022a a a a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++<<1112102aa a 时，无解； ②当⎪⎩⎪⎨⎧<++>011log 1222a a a a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++<>1110212a a a 时，121<<a ． 18. C 解法一：注意观察四个选项中的每两个函数，容易发现C 中g （x ）＝2x 为奇函数，且h （－x ）=lg （10-x＋1）＋2x ＝lg x x 10101+＋2x ＝lg （10x ＋1）－2x ＝h （x ）为偶函数，又g （x ）+h （x ）=lg （10x ＋1）＝f （x ）.解法二：由已知有f （x ）=g （x ）+h （x ），则f （－x ）=g （－x ）+h （－x ）=－g （x ）+h （x ），所以g （x ）=21［f （x ）－f （－x ）］＝21lg 110110++-x x ＝21lg10x ＝2x . 19. x 轴，23log x -- 解析: 函数y=f(x)关于x 轴对称则为y=-f(x)本题为开放题，答案不唯一，如 ①x 轴，－3－log 2x ②y 轴，3+log 2(－x )③原点，－3－log 2(x ) ④直线y=x , 2x －3 , 主要考查函数关于线对称的相关性质.20. C 解析：()f x a =(1)0,4(2)0,3a a >=不同实数解有个;不同实数解有个;(3)0,a <没有实数解. 0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是方程02=++c bx x 有两个根，一个等于0，一个大于0.此时应0<b 且0=c .21. C 解析: ∵10<<a ，0)(<x f ，∴1222>--x x a a ，解得3>x a 或1-<x a （舍去），∴3log a a <．22. ②③解析: 对于①②可以用()lg f x x =直接验证即可②满足题意对于③④如右图所示：对于()lg f x x =图象上任意不同两点1122(,())(,())A x f x B x f x 1212()()0AB f x f x k x x -=>-显然成立（可以用1'()0(0)ln10f x x x =>>）故③正确 再有AB 中点C （1212()(),)22x x f x f x ++过C 作DC x ⊥轴交()f x 于 D （12,)2D x x y + ,D 在()f x 上有：1212()()()22D C x x f x f x y f y ++=>=故④不正确.。
(人教版A版)高中数学必修第一册 第二章综合测试试卷01及答案
第二章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列结论正确的是（ ）A .若ac bc ＞，则a b＞B .若22a b ＞，则a b ＞C .若a b ＞，0c ＜，则a c b c++＜D .a b＜2.若++，则a ，b 必须满足的条件是（ ）A .0a b ＞＞B .0a b ＜＜C .a b＞D .0a ≥，0b ≥，且a b≠3.已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ÎR 恒成立，则k 的取值范围是（ ）A .01k ≤≤B .01k ＜≤C .0k ＜或1k ＞D .0k ≤或1k ≥4.已知“x k ＞”是“311x +”的充分不必要条件，则k 的取值范围是（ ）A .2k ≥B .1k ≥C .2k ＞D .1k -≤5.如果关于x 的不等式2x ax b +＜的解集是{}|13x x ＜＜，那么a b 等于（ ）A .81-B .81C .64-D .646.若a ，b ，c 为实数，且0a b ＜＜，则下列命题正确的是（ ）A .22ac bc ＜B .11a b＜C .baab＞D .22a ab b ＞＞7.关于x 的不等式210x a x a -++（）＜的解集中恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ）A .45a ＜＜B .32a --＜＜或45a ＜＜C .45a ＜≤D .32a --≤＜或45a ＜≤8.若不等式210x ax ++≥对一切02x ＜＜恒成立，则实数a 的最小值是（ ）A .0B .2-C .52-D .3-9.已知全集=U R ，则下列能正确表示集合{}=012M ，，和{}2=|+2=0N x x x 关系的Venn 图是（ ）A BCD10.若函数1=22y x x x +-（＞）在=x a 处取最小值，则a 等于（ ）A .1+B .1或3C .3D .411.已知ABC △的三边长分别为a ，b ，c ，且满足3b c a +≤，则ca 的取值范围为（ ）A .1c a＞B .02c a＜C .13c a ＜＜D .03c a＜12.已知a b ＞，二次三项式220ax x b ++≥对一切实数x 恒成立，又0x $ÎR ，使202=0ax x b ++成立，则22a b a b+-的最小值为（ ）A .1B C .2D .二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13.已经1a ＜，则11a+与1a -的大小关系为________.14.若不等式22210x ax -+≥对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是________.15.已知三个不等式：①0ab ＞，②c da b--＜，③bc ad ＞.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成________个正确命题.16.若不等式2162a bx x b a++＜的对任意0a ＞，0b ＞恒成立，则实数x 的取值范围是________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知集合{2=|31=0A x ax x ++，}x ÎR ，（1）若A 中只有一个元素，求实数a 的值；（2）若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围.18.（本小题满分12分）解下列不等式.（1）2560x x --+＜；（2）20a x a x --()()＞.19.（本小题满分12分）已知集合23=|=12A y y x x ì-+íî，324x üýþ≤≤，{}2=|1B x x m +≥.p x A Î:，q x B Î:，并且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围.20.（本小题满分12分）已知集合{}2=|30A x x x -≤，{=|23B x a x a +≤≤，}a ÎR .（1）当=1a 时，求A B I ；（2）若=A B A U ，求实数a 的取值范围.21.（本小题满分12分）设a 、b 为正实数，且11a b+.（1）求22a b +的最小值；（2）若234a b ab -（）≥（），求ab 的值.22.（本小题满分12分）已知函数=1y ax a -+（）.（1）求关于x 的不等式0y ＜的解集；（2）若当0x ＞时，2y x x a --≤恒成立，求a 的取值范围.第二章综合测试答案解析一、1.【答案】D【解析】当0c ＜时，A 选项不正确；当0a ＜时，B 选项不正确；两边同时加上一个数，不等号方向不改变，故C 选项错误.故选D .2.【答案】D【解析】2=()=a b +-+-（(.++Q a \，b 必须满足的条件是0a ≥，0b ≥，且a b ≠.故选D .3.【答案】A【解析】当=0k 时，不等式2680kx kx k -++≥化为80≥，恒成立，当0k ＜时，不等式2680kx kx k -++≥不能恒成立，当0k ＞时，要使不等式2680kx kx k -++≥对任意x ÎR 恒成立，需22=36480k k k D -+（）≤，解得01k ≤≤，故01k ＜≤.综上，k 的取值范围是01k ≤≤.故选A .4.【答案】A【解析】由311x +＜，得3101x -+＜，201x x -++＜，解得1x -＜或2x ＞.因为“x k ＞”是“311x +”的充分不必要条件，所以2k ≥.5.【答案】B【解析】不等式2x ax b +＜可化为20x ax b --＜，其解集是{}|13x x ＜＜，那么由根与系数的关系得13=13=a b +ìí-î´，，解得=4=3a b ìí-î，，所以4=3=81a b -（）.故选B .6.【答案】D【解析】选项A ，c Q 为实数，\取=0c ，此时22=ac bc ，故选项A 不成立；选项B ，11=b aa b ab--，0a b Q ＜＜，0b a \-＞，0ab ＞，0b a ab -\，即11a b＞，故选项B 不成立；选项C ，0a b Q ＜＜，\取=2a -，=1b -，则11==22b a --，2==21a b --，\此时b aa b＜，故选项C 不成立；选项D ，0a b Q ＜＜，2=0a ab a a b \--（）＞，2=0ab b b a b --（）＞，22a ab b \＞＞，故选项D 正确.7.【答案】D【解析】210x a x a -++Q （）＜，10x x a \--（）（）＜，当1a ＞时，1x a ＜＜，此时解集中的整数为2，3，4，故45a ＜≤.当1a ＜时，1a x ＜＜，此时解集中的整数为2-，1-，0，故32a --≤＜.故a 的取值范围是32a --≤＜或45a ＜≤.故选D .8.【答案】B【解析】不等式210x ax ++≥对一切02x ＜＜恒成立，1a x x\--≥在02x ＜＜时恒成立.11=2x x x x ---+--Q （）≤（当且仅当=1x 时取等号），2a \-≥，\实数a 的最小值是2-.故选B .9.【答案】A【解析】由题知{}=20N -，，则{}=0M N I .故选A .10.【答案】C【解析】2x Q ＞，20x \-＞.11==222=422y x x x x \+-+++--（）≥，当且仅当12=2x x --，即=3x 时等号成立.=3a \.11.【答案】B【解析】由已知及三角形三边关系得3a b c a a b c a c b +ìï+íï+î＜≤，＞，＞，即1311b ca abc a a c b a aì+ïïï+íïï+ïî＜≤，＞，＞，1311b c a ac b a a ì+ïï\íï--ïî＜≤，＜＜，两式相加得024c a ´＜.c a \的取值范围为02ca＜.12.【答案】D【解析】Q 二次三项式220ax x b ++≥对一切实数x 恒成立，0a \＞，且=440ab D -≤，1ab \≥.又0x $ÎR ，使2002=0ax x b ++成立，则=0D ，=1ab \，又a b ＞，0a b \-＞.22222==a b a b ab a b a b a b a b +-+\-+---（）（）当且仅当a b -时等号成立.22a b a b+\-的最小值为故选D .二、13.【答案】111a a-+【解析】由1a ＜，得11a -＜＜.10a \+＞，10a -＞.2111=11a a a +--.2011a -Q ＜≤，2111a \-，111a a\-+≥.14.【答案】a【解析】不等式22210x ax -+≥对一切实数x 都成立，则2=44210a D -´´≤，解得a ，\实数a 的取值范围是a .15.【答案】3【解析】若①②成立，则c dab ab a b--（）＜（），即bc ad --＜，bc ad \＞，即③成立；若①③成立，则bc ad ab ab ，即c d a b ＞，c d a b \--＜，即②成立；若②③成立，则由②得c d a b ＞，即0bc ad ab -，Q ③成立，0bc ad \-＞，0ab \＞，即①成立.故可组成3个正确命题.16.【答案】42x -＜＜【解析】不等式2162a b x x ba ++＜对任意0a ＞，0b ＞恒成立，等价于2162a bx x b a++m i n ＜（）.因为16a b b a +≥（当且仅当=4a b 时等号成立）.所以228x x +＜，解得42x -＜＜.三、17.【答案】（1）当=0a 时，31=0x +只有一解，满足题意；当0a ≠时，=94=0a D -，9=4a .所以满足题意的实数a 的值为0或94.（5分）（2）若A 中只有一个元素，则由（1）知实数a 的值为0或94.若=A Æ，则=940a D -＜，解得94a ＞.所以满足题意的实数a 的取值范围为=0a 或94a ≥.（10分）18.【答案】（1）2560x x --+Q ＜，2560x x \+-＞，160x x \-+()()＞，解得6x -＜或1x ＞，\不等式2560x x --+＜的解集是{|6x x -＜或}1x ＞.（4分）（2）当0a ＜时，=2y a x a x --()()的图象开口向下，与x 轴的交点的横坐标为1=x a ，2=2x ，且2a ＜，20a x a x \--()()＞的解集为{}|2x a x ＜＜.（6分）当=0a 时，2=0a x a x --()()，20a x a x \--()()＞无解.（8分）当0a ＞时，抛物线=2y a x a x --()()的图象开口向上，与x 轴的交点的横坐标为=x a ，=2x .当=2a 时，原不等式化为2220x -（）＞，解得2x ≠.当2a ＞时，解得2x ＜或x a ＞.当2a ＜时，解得x a ＜或2x ＞.（10分）综上，当0a ＜时，原不等式的解集是{}|2x a x ＜＜；当=0a 时，原不等式的解集是Æ；当02a ＜＜时，原不等式的解集是{|x x a ＜或}2x ＞；当=2a 时，原不等式的解集是{}|2x x ≠；当2a ＞时，原不等式的解集是{|2x x ＜或}x a ＞.（12分）19.【答案】23=12y x x -+，配方得237=416y x -+（）.因为324x ≤≤，所以min 7=16y ，max =2y .所以7216y ≤.所以7=|216A y y ìüíýîþ≤≤.（6分）由21x m +≥，得21x m -≥，所以{}2=|1B x x m -≥.（8分）因为p 是q 的充分条件，所以A B Í.所以27116m -≤，（10分）解得实数m 的取值范围是34m ≥或34m -≤.（12分）20.【答案】（1）由题意知{}=|03A x x ≤≤，{}=|24B x x ≤≤，则{}=|23A B x x I ≤≤.（3分）（2）因为=A B A U ，所以B A Í.①当=B Æ，即23a a +＞，3a ＞时，B A Í成立，符合题意.（8分）②当=B Æ，即23a a +≤，3a ≤时，由B A Í，有0233a a ìí+î≤，≤，解得=0a .综上，实数a 的取值范围为=0a 或3a ＞.（12分）21.【答案】（1）a Q 、b 为正实数，且11a b+.11a b \+=a b 时等号成立），即12ab ≥.（3分）2221122=a b ab +´Q ≥≥（当且仅当=a b 时等号成立），22a b \+的最小值为1.（6分）（2）11a b+Q，a b \+.234a b ab -Q （）≥（），2344a b ab ab \+-（）≥（），即2344ab ab -（）≥（），2210ab ab -+（）≤，210ab -（）≤，a Q 、b 为正实数，=1ab \.（12分）22.【答案】（1）当=0a 时，原不等式可化为10-＜，所以x ÎR .当0a ＜时，解得1a x a +＞.当0a ＞时，解得1a x a+＜.综上，当=0a 时，原不等式的解集为R ；当0a ＜时，原不等式的解集为1|a x x a +ìüíýîþ＞；当0a ＞时，原不等式的解集为1|a x x a +ìüíýîþ＜.（6分）（2）由21ax a x x a -+--（）≤，得21ax x x -+≤.因为0x ＞，所以211=1x x a x x x-++-≤，因为2y x x a --≤在0+¥（，）上恒成立，所以11a x x+-≤在0+¥（，）上恒成立.令1=1t x x+-，只需min a t ≤，因为0x ＞，所以1=11=1t x x +-≥，当且仅当=1x 时等式成立.所以a 的取值范围是1a ≤.（12分）。
2.1等式性质与不等式性质-人教A版(2021)高中数学必修第一册同步讲义
第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质【课程标准】1.会用不等式表示不等关系；掌握等式性质和不等式性质.2.会利用不等式性质比较大小【知识要点归纳】1．作差法比较两个实数大小基本事实：a>b⇔，a＝b⇔，a<b⇔.从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．2．等式的基本性质性质1如果a＝b，那么b＝a；性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4如果a＝b，那么ac＝bc；性质5如果a＝b，c≠0，那么ac＝bc.3．不等式的性质(1)对称性：如果a>b，那么；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔.(2)传递性：如果a>b，b>c，那么.即a>b，b>c⇒。
(3)加法法则：如果a>b，那么.(4)乘法法则：如果a >b ，c >0，那么 ；如果a >b ，c <0，那么 .(5)同向相加法则：如果a >b ，c >d ，那么 .(6)异向相减法则：如果,a b c d >>,那么 _____________.(7)同向正不等式相乘法则：如果a >b >0，c >d >0，那么 .(8)乘方法则：如果a >b >0，那么 (n ∈N ，n ≥2)．(9)开方法则：如果a >b >0，那么 (n ∈N ，n ≥2)[反证法]．(10)取倒法则：如果a >b >0，那么____________【经典例题】例1．如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a ，b (a ≠b )的不等式表示为________．例2 已知a >b ，e >f ，c >0，求证：f －ac <e －bc .[跟踪训练]1 已知x ，y 均为正数，设m ＝1x ＋1y ，n ＝4x ＋y，比较m 和n 的大小．[跟踪训练] 2已知a ，b 均为正数，且a ≠b ，比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小．例3 0,0,0,,,,a b b m a n a b m n b a a m b n++>>>>++则的由大到小的顺序为__________ 例4 下列命题为真命题的是（ ）222222.0,.,11.0,.0A a b ac bc B a b a b C a b a ab b D a b a b >>>>><<<<<<>若则 若则若则 若，则例5（多选）330,0,11.a b d c A ac bc ac bc a b d c>><<>>>若则下列不等式成立的是（ ）B. C.< D.例4 已知1<a <4,2<b <8.试求2a ＋3b 与a －b 的取值范围．[变式] 在本例条件下，求a b 的取值范围．[跟踪训练] 3 已知1≤a ＋b ≤5，－1≤a －b ≤3，求3a －2b 的范围．（整体待定系数法）例5 13,42,αβαβ<<-<<-若则的取值范围是________.【当堂检测】一．选择题（共4小题）1．设231M x x =-+，21N x x =+-，则( )A ．M N >B ．M N <C ．M N =D ．M 与N 的大小关系与x 有关2．若a b >，c d >，则下列不等关系中不一定成立的是( )A ．a b c d ->-B ．a c b d +>+C ．a c b c ->-D ．a c a d -<-3．已知a =4b =，c =a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．b c a >>4．若a ，b ，c R ∈且a b >，则下列不等式中一定成立的是() A ．ac bc > B ．2()0a b c -> C ．11a b < D ．22a b -<-二．填空题（共2小题）5．已知122s t -<+<，34s t <-<，则5s t +的取值范围 （用区间表示）． 6．a 克糖水中含有b 克塘(0)a b >>，若在糖水中加入x 克糖，则糖水变甜了．试根据这个事实提炼出一个不等式： ．三．解答题（共1小题）7．（1）已知a ，b 均为正实数．试比较33a b +与22a b ab +的大小；1 1a -与1a+的大小．（2）已知1a≠且a R∈，试比较当堂检测答案一．选择题（共4小题）1．设231M x x =-+，21N x x =+-，则( )A ．M N >B ．M N <C ．M N =D ．M 与N 的大小关系与x 有关【分析】作差，配方，即可比较大小．【解答】解：2231(1)M N x x x x -=-+-+-2222x x =-+2132()022x =-+>， 故M N >．故选：A ．【点评】本题主要考查利用作差法比较大小，属于基础题．2．若a b >，c d >，则下列不等关系中不一定成立的是( )A ．a b c d ->-B ．a c b d +>+C ．a c b c ->-D ．a c a d -<-【分析】根据a b >，c d >即可判断选项B ，C ，D 都成立，而选项A 显然不一定成立，从而得出正确的选项．【解答】解：a b >，c d >，a cb d ∴+>+，ac b c ->-，cd -<-，a c a d -<-，a b c d ->-不一定成立．故选：A ．【点评】本题考查了不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．3．已知a =4b =，c =a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．b c a >>【分析】可得出222816,8a b c =+==+，然后可比较2a ，2b 和2c 的大小关系，从而可得出a ，b ，c 的大小关系．【解答】解：222816,8a b c =+==+8>，222b c a ∴>>，b c a ∴>>．故选：D ．【点评】本题考查了平方后比较大小的方法，考查了计算能力，属于基础题．4．若a ，b ，c R ∈且a b >，则下列不等式中一定成立的是( )A ．ac bc >B ．2()0a b c ->C ．11a b <D ．22a b -<-【分析】根据不等式的基本性质，结合特殊值，可判断选项正误．【解答】解：a ，b ，c R ∈且a b >，∴取0c =，可排除A ，B ；取1a =，1b =-可排除C ．由不等式的性质知当a b >时，22a b -<-，故D 正确．故选：D ．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．二．填空题（共2小题）5．已知122s t -<+<，34s t <-<，则5s t +的取值范围 (1,8) （用区间表示）．【分析】设5(2)()s t m s t n s t +=++-，根据条件求出m 和n 的值，再求出5s t +的范围．【解答】解：设5(2)()s t m s t n s t +=++-，则5(2)()s t m n s m n t +=++-，则251m n m n +=⎧⎨-=⎩，解得21m n =⎧⎨=⎩， 则52(2)()s t s t s t +=++-，122s t -<+<，22(2)4s t ∴-<+<，又34s t <-<，12(2)()8s t s t ∴<++-<，即158s t <+<，5s t ∴+ 的取值范围是(1,8)．故答案为：(1,8)．【点评】本题考查了不等式的基本性质和不等关系与不等式，考查了整体思想，方程思想和转化思想，属基础题．6．a 克糖水中含有b 克塘(0)a b >>，若在糖水中加入x 克糖，则糖水变甜了．试根据这个事实提炼出一个不等式： (0)x b b a b a x a+>>>+ ． 【分析】利用糖水的浓度可得(0)x b b a b a x a +>>>+即可． 【解答】解：由a 克糖水中含有b 克塘(0)a b >>可得糖水的浓度为100%b a⨯； 在糖水中加入x 克糖，可得糖水的浓度为100%x b a x +⨯+．糖水变甜了，于是可得100%100%x bba x a +⨯>⨯+； 化为(0)xb ba b a x a +>>>+． 故答案为(0)x bba b a x a +>>>+．【点评】本题考查了溶液的浓度，属于基础题．三．解答题（共1小题）7．（1）已知a ，b 均为正实数．试比较33a b +与22a b ab +的大小；（2）已知1a ≠且a R ∈，试比较11a -与1a +的大小．【分析】（1）利用“作差法”，可得2()()0a b a b -+，（2）利用“作差法”，通过对a 分类讨论即可得出．【解答】解：（1）a ，b 均为正实数，332222222()()()()()()0a b a b ab a a b b a b a b a b a b a b ∴+--=---=--=-+， 即3322a b a b ab +>+，（2）21(1)11aa a a -+=--．①当0a =时，201a a =-，∴111a a =+-．②当1a <且0a ≠时，201a a >-，∴111a a >+-．③当1a >时，201a a <-，∴111a a <+-．综上所述，当0a =时，111a a =+-；当1a <且0a ≠时，111a a >+-；当1a>时，111aa<+-．【点评】本题考查了“作差法”比较两个数的大小、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于中档题．11。
人教版高中数学选择性必修第一册-第2章-直线和圆的方程-章末测试卷(含解析)
第二章直线和圆的方程章末测试卷（原卷版）[时间：120分钟 满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知过点M(－2，a)，N(a，4)的直线的斜率为－12，则|MN|＝( )A．10 B．180C．63D．652．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为( )A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．(x－2)2＋(y－3)2＝13．过点P(2，3)，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于12的直线的方程是( )A．3x－2y＋12＝0 B．3x＋2y－12＝0C．2x＋3y－13＝0 D．2x－3y＋13＝04．若点P(3，－1)为圆(x－2)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )A．x＋y－2＝0 B．2x－y－7＝0C．2x＋y－5＝0 D．x－y－4＝05．已知直线l过点(－2，0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是( )A．(－22，22) B．(－2，2)C.(－24，24)D.(－18，18)6．已知圆C1：x2＋y2－kx－y＝0和圆C2：x2＋y2－2ky－1＝0的公共弦所在的直线恒过定点M，且点M在直线mx＋ny＝2上，则m2＋n2的最小值为( )A.15B.55C.255D.457．已知P，Q分别为圆M：(x－6)2＋(y－3)2＝4与圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1上的动点，A 为x轴上的动点，则|AP|＋|AQ|的最小值为( )A．55－3 B.101－3C．75－3 D．53－38．我国魏晋时期的数学家刘徽创立的“割圆术”，也就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长．先作出圆x2＋y2＝2的一个内接正八边形，使该八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该八边形的一条边所在直线的为( )A．x＋(2－1)y－2＝0 B．(1－2)x－y＋2＝0C．x－(2＋1)y＋2＝0 D．(2－1)x－y＋2＝0二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．若直线过点(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为( ) A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0C．2x－y＝0 D．x－y－1＝010．已知点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4，过点M的圆C的切线方程可能为( ) A．x－3＝0 B．x－2＝0C．3x－4y－5＝0 D．3x＋4y－5＝011．已知圆C1：x2＋y2＝r2(r>0)，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列结论正确的是( )A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0B．2ax1＋2by1＝a2＋b2C．x1＋x2＝a D．y1＋y2＝2b12．(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则( ) A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当∠PBA最小时，|PB|＝32D．当∠PBA最大时，|PB|＝32三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．若直线(a＋1)x＋2y＋1＝0与直线(a2－1)x－ay－1＝0平行，则a的值为________．14．已知圆C：(x＋5)2＋y2＝r2(r>0)和直线l：3x＋y＋5＝0.若圆C与直线l没有公共点，则r的取值范围是__________．15．已知直线l：y＝k(x＋4)与圆(x＋2)2＋y2＝4相交于A，B两点，M是线段AB的中点，则点M的轨迹方程为________；点M到直线3x＋4y－6＝0的距离的最小值为________．(本题第一空2分，第二空3分)16.2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图，Q(0，－3)是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O，点L，S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O.若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d＝________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．(1)若点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；(2)求点A(5，0)到直线l的距离的最大值．18．(12分)已知①经过直线l1：x－2y＝0与直线l2：2x＋y－1＝0的交点；②圆心在直线2x －y＝0上；③被y轴截得弦长|CD|＝22.从上面这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的圆存在，求圆的方程；若问题中圆不存在，请说明理由．问：是否存在满足条件的圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上？19．(12分)求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆的方程．20．(12分)已知圆心为C的圆经过点A(0，2)和B(1，1)，且圆心C在直线l：x＋y＋5＝0上．(1)求圆C的标准方程；(2)若P (x ，y )是圆C 上的动点，求3x －4y 的最大值与最小值．21．(12分)为更好地了解鲸的生活习性，某动物保护组织在某头鲸身上安装了电子监测设备，从海岸线放归点O 处把它放归大海，并沿海岸线由西到东不停地对其进行跟踪观测．在放归点O 的正东方向有一观测站C ，可以对鲸的生活习性进行详细观测．已知OC ＝15 km ，观测站C 的观测半径为5 km.现以点O 为坐标原点，以由西向东的海岸线所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，测得鲸的行进路线近似满足曲线y ＝k x (k >0)．(1)若测得鲸的行进路线上一点A (1，1)，求k 的值；(2)在(1)问的条件下，则：①当鲸运动到何处时，开始进入观测站C 的观测区域内？(计算结果精确到0.1)②当鲸运动到何处时，离观测站C 最近(观测最便利)？(计算结果精确到0.1)(参考数据：41≈6.4，11.3≈3.4，58≈7.6)22．(12分)已知圆C ：x 2＋(y －4)2＝4，直线l ：(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0.(1)求直线l 所过定点A 的坐标；(2)求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值及最短弦长；(3)如图，已知点M (－3，4)，在直线MC 上(C 为圆心)，存在一定点N (异于点M )，满足对于圆C 上任一点P ，都有|PM ||PN |为一常数，试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数．1．已知A (－2，1)，B (1，2)，点C 为直线x －3y ＝0上的动点，则|AC |＋|BC |的最小值为( )A ．22B ．23C ．25D ．272．圆心在曲线y ＝3x(x >0)上，且与直线3x ＋4y ＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为( )A ．(x －3)2＋(y －3)2＝9B ．(x －3)2＋(y －1)2＝(165)2C ．(x －1)2＋(y －3)2＝(185)2D ．(x －2)2＋(y －32)2 ＝93．已知直线l 经过两条直线l 1：x ＋y ＝2，l 2：2x －y ＝1的交点，且直线l 的一个方向向量ν＝(－3，2)，则直线l 的方程为( )A ．－3x ＋2y ＋1＝0B ．3x －2y ＋1＝0C ．2x ＋3y －5＝0D ．2x －3y ＋1＝04．已知圆C 1：(x ＋a )2＋(y －2)2＝1与圆C 2：(x －b )2＋(y －2)2＝4外切，a ，b 为正实数，则ab 的最大值为( )A ．23 B.94C.32D.625．若过定点M (－1，0)且斜率为k 的直线与圆C ：x 2＋4x ＋y 2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，5)B ．(－5，0)C ．(0，13)D ．(0，5)6．已知在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别是A (0，3)，B (3，3)，C (2，0)，若直线x ＝a 将△ABC 分割成面积相等的两部分，则实数a 的值是( )A.3B ．1＋22C ．1＋33D ．2－227．【多选题】已知两圆方程为x 2＋y 2＝16与(x －4)2＋(y ＋3)2＝r 2(r >0)，则下列说法正确的是( )A ．若两圆外切，则r ＝1B ．若两圆公共弦所在的直线方程为8x －6y －37＝0，则r ＝2C ．若两圆在交点处的切线互相垂直，则r ＝3D ．若两圆有三条公切线，则r ＝28．【多选题】已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－2，3)，B (－2，－1)，C (6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝37C ．x 2＋y 2＝4D ．x 2＋y 2＝1659．已知过点P (4，1)的直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积最小时，直线l 的方程为________．10．曲线y ＝1＋9－x 2与直线y ＝k (x －3)＋5有两个交点，则实数k 的取值范围是________．11．在平面直角坐标系Oxy 中，已知点A (－1，0)，B (5，0)．若圆M ：(x －4)2＋(y －m )2＝4上存在唯一的点P ，使得直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为________．12．已知圆C 的圆心在直线l ：x ＋y ＋1＝0上且经过点A (－1，2)，B (1，0)．(1)求圆C 的方程；(2)若过点D (0，3)的直线l 1被圆C 截得的弦长为23，求直线l 1的方程．13．如图，在平面直角坐标系Oxy 中，过点P (0，1)且互相垂直的两条直线分别与圆O ：x 2＋y 2＝4交于点A ，B ，与圆M ：(x －2)2＋(y －1)2＝1交于点C ，D .(1)若|AB |＝372，求CD 的长；(2)若线段CD 的中点为E ，求△ABE 面积的取值范围．14．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋m＝0与y轴相切，O为坐标原点，动点P在圆外，过P作圆C的切线，切点为M.(1)求圆C的圆心坐标及半径；(2)求满足|PM|＝2|PO|的点P的轨迹方程．15．已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，点P是直线l：x－2y＝0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别为A，B.(1)当切线PA的长度为23时，求点P的坐标；(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有定点的坐标；若不过定点，请说明理由．(3)求线段AB长度的最小值．第二章直线和圆的方程章末测试卷（解析版）[时间：120分钟 满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知过点M(－2，a)，N(a，4)的直线的斜率为－12，则|MN|＝( )A．10 B．180 C．63D．65答案 D解析 k MN＝a－4－2－a＝－12，解得a＝10，即M(－2，10)，N(10，4)，所以|MN|＝（－2－10）2＋（10－4）2＝65.故选D.2．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为( )A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．(x－2)2＋(y－3)2＝1答案 A解析 方法一(直接法)：设圆心坐标为(0，b)，则由题意知（0－1）2＋（b－2）2＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.故选A.方法二(数形结合法)：根据点(1，2)到圆心的距离为1，作图易知圆心为(0，2)，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.故选A.方法三(验证法)：将点(1，2)代入四个选项中，可排除B、D，又圆心在y轴上，所以排除C.故选A.3．过点P(2，3)，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于12的直线的方程是( )A．3x－2y＋12＝0 B．3x＋2y－12＝0C．2x＋3y－13＝0 D．2x－3y＋13＝0答案 B解析 本题主要考查直线的截距式方程及三角形面积的计算．依题意，设直线方程为xa＋yb＝1(a>0，b>0)，所以{12ab＝12，2a＋3b＝1，所以{a＝4，b＝6，于是所求直线的方程为x4＋y6＝1，即3x＋2y－12＝0.故选B.4．若点P(3，－1)为圆(x－2)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )A．x＋y－2＝0 B．2x－y－7＝0C．2x＋y－5＝0 D．x－y－4＝0答案 D解析 设圆心为C(2，0)，所以k PC＝0＋12－3＝－1，所以k AB＝1，所以l AB：x－y－4＝0.故选D.5．已知直线l过点(－2，0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是( )A ．(－22，22)B ．(－2，2)C.(－24，24)D.(－18，18)答案 C解析 易知圆心坐标是(1，0)，半径是1，直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，由点到直线的距离公式，得|k ＋2k |k 2＋1<1，即k 2<18，解得－24<k <24.6．已知圆C 1：x 2＋y 2－kx －y ＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2ky －1＝0的公共弦所在的直线恒过定点M ，且点M 在直线mx ＋ny ＝2上，则m 2＋n 2的最小值为( )A.15 B.55C.255 D.45答案 C解析 由圆C 1：x 2＋y 2－kx －y ＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2ky －1＝0，可得圆C 1和C 2的公共弦所在的直线方程为k (x －2y )＋(y －1)＝0，联立{x －2y ＝0，y －1＝0，解得{x ＝2，y ＝1.即点M (2，1)，又因为点M 在直线mx ＋ny ＝2上，即2m ＋n ＝2，又由原点到直线2x ＋y ＝2的距离为d ＝222＋12＝255，即m 2＋n 2的最小值为255.7．已知P ，Q 分别为圆M ：(x －6)2＋(y －3)2＝4与圆N ：(x ＋4)2＋(y －2)2＝1上的动点，A 为x 轴上的动点，则|AP |＋|AQ |的最小值为( )A ．55－3 B.101－3C ．75－3D ．53－3答案 A解析 圆N ：(x ＋4)2＋(y －2)2＝1关于x 轴对称的圆N ′：(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝1，则|AP |＋|AQ |的最小值为|MN ′|－1－2＝102＋52－3＝55－3.故选A.8．我国魏晋时期的数学家刘徽创立的“割圆术”，也就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长．先作出圆x 2＋y 2＝2的一个内接正八边形，使该八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该八边形的一条边所在直线的为( )A ．x ＋(2－1)y －2＝0 B ．(1－2)x －y ＋2＝0C ．x －(2＋1)y ＋2＝0 D ．(2－1)x －y ＋2＝0答案 C解析 本题在数学文化背景下考查直线方程．如图所示，可知A (2，0)，B (1，1)，C (0，2)，D (－1，1)，E (－2，0)，所以AB ，BC ，CD ，DE 所在直线的方程分别为y ＝1－01－2(x －2)，y ＝(1－2)x ＋2，y ＝(2－1)x ＋2，y ＝12－1(x ＋2)，整理为一般式即x ＋(2－1)y －2＝0，(1－2)x －y ＋2＝0，(2－1)x －y ＋2＝0，x －(2－1)y ＋2＝0.故选C.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．若直线过点(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．2x －y ＝0D ．x －y －1＝0答案 ABC解析 当直线过原点时，设直线的方程为y ＝kx ，把点(1，2)代入，得k ＝2，所以此时直线的方程为2x －y ＝0；当直线斜率k ＝1时，设直线的方程为y ＝x ＋b ，把点(1，2)代入，得b ＝1，所以此时直线的方程为x －y ＋1＝0；当直线斜率k ＝－1时，设直线的方程为y ＝－x ＋b ，把点(1，2)代入，得b ＝3，所以此时直线的方程为x ＋y －3＝0.10．已知点M (3，1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4，过点M 的圆C 的切线方程可能为( )A ．x －3＝0B ．x －2＝0C ．3x －4y －5＝0D ．3x ＋4y －5＝0答案 AC解析 由题意得圆心为C (1，2)，半径r ＝2.∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴点M 在圆C 外部．当过点M 的直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝3，即x －3＝0.又点C (1，2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ，∴直线x －3＝0是圆C 的切线；当过点M 的圆C 的切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0，则圆心C 到切线的距离d ＝|k －2＋1－3k |k 2＋12＝2，解得k ＝34，∴切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0.故选AC.11．已知圆C 1：x 2＋y 2＝r 2(r >0)，圆C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2交于不同的A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则下列结论正确的是( )A ．a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0B ．2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2C ．x 1＋x 2＝aD ．y 1＋y 2＝2b答案 ABC解析 因为圆C 1：x 2＋y 2＝r 2①，圆C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2②，交于不同的A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，所以①－②得到直线AB 的方程为2ax ＋2by ＝a 2＋b 2，分别把A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点代入直线AB 的方程可得2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2③，2ax 2＋2by 2＝a 2＋b 2④，故B 正确；③－④得到2a (x 1－x 2)＋2b (y 1－y 2)＝0，即a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0，故A 正确；由圆的性质可知，线段AB 与线段C 1C 2互相平分，所以x 1＋x 22＝0＋a 2，y 1＋y 22＝0＋b2，即x 1＋x 2＝a ，y 1＋y 2＝b ，故C 正确，D 错误．故选ABC.12．(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P 在圆(x －5)2＋(y －5)2＝16上，点A (4，0)，B (0，2)，则( )A ．点P 到直线AB 的距离小于10B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当∠PBA 最小时，|PB |＝32D ．当∠PBA 最大时，|PB |＝32答案 ACD解析 设圆(x －5)2＋(y －5)2＝16的圆心为M (5，5)，由题易知直线AB 的方程为x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0，则圆心M 到直线AB 的距离d ＝|5＋2×5－4|5＝115>4，所以直线AB 与圆M 相离，所以点P 到直线AB 的距离的最大值为4＋d ＝4＋115，而4＋115<5＋1255＝10，故A 正确．易知点P 到直线AB 的距离的最小值为d －4＝115－4，而115－4<1255－4＝1，故B 不正确．过点B 作圆M 的两条切线，切点分别为N ，Q ，如图所示，连接MB ，MN ，MQ ，则当∠PBA 最小时，点P 与N 重合，此时|PB |＝|MB |2－|MN |2＝52＋（5－2）2－42＝32，当∠PBA 最大时，点P 与Q 重合，此时|PB |＝32，故C 、D 都正确．综上，选ACD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．若直线(a ＋1)x ＋2y ＋1＝0与直线(a 2－1)x －ay －1＝0平行，则a 的值为________．答案 23或－1解析 本题主要考查两直线的平行关系．当a ＝－1时，两直线方程分别为2y ＋1＝0，y －1＝0，显然两直线平行；当a ≠－1时，由a 2－1a ＋1＝－a 2≠－11，得a ＝23.故a 的值为23或－1.14．已知圆C ：(x ＋5)2＋y 2＝r 2(r >0)和直线l ：3x ＋y ＋5＝0.若圆C 与直线l 没有公共点，则r 的取值范围是__________．答案 0<r <10解析 因为圆心C (－5，0)到直线l ：3x ＋y ＋5＝0的距离为|－15＋5|32＋12＝1010＝10，所以要使圆C 与直线l 没有公共点，则r 的取值范围是0<r <10.15．已知直线l ：y ＝k (x ＋4)与圆(x ＋2)2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，则点M 的轨迹方程为________；点M 到直线3x ＋4y －6＝0的距离的最小值为________．(本题第一空2分，第二空3分)答案 (x ＋3)2＋y 2＝1(x ≠－4) 2解析 直线l ：y ＝k (x ＋4)过定点(－4，0)，且点(－4，0)在圆(x ＋2)2＋y 2＝4上，不妨设A (－4，0)，M (x ，y )(x ≠－4)，B (x 1，y 1)，则{x 1＝2x ＋4，y 1＝2y ，将(2x ＋4，2y )代入(x ＋2)2＋y 2＝4，得(x ＋3)2＋y 2＝1(x ≠－4)，所以点M 的轨迹是以(－3，0)为圆心，以1为半径的圆(除去点A (－4，0))，则点M 到直线3x ＋4y －6＝0的距离的最小值为|－3×3－6|5－1＝2.16.2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图，Q (0，－3)是圆Q 的圆心，圆Q 过坐标原点O ，点L ，S 均在x 轴上，圆L 与圆S 的半径都等于2，圆S 、圆L 均与圆Q 外切．已知直线l 过点O .若直线l 截圆L 、圆S 、圆Q 所得弦长均等于d ，则d ＝________．答案 125解析 由题意圆L 与圆S 关于原点对称，设S (a ，0)，a >0，则a 2＋32＝2＋3，解得a ＝4，即S (4，0)，所以L (－4，0)．由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx (k ≠0)，则三个圆心到该直线的距离分别为：d 1＝|－4k |1＋k 2，d 2＝|4k |1＋k 2，d 3＝|3|1＋k2，则d 2＝4(4－d 12)＝4(4－d 22)＝4(9－d 32)，即有4－(－4k 1＋k 2)2 ＝4－(4k 1＋k 2)2 ＝9－(31＋k 2)2，解得k 2＝421.则d 2＝4(4－16×4211＋421)＝14425，即d ＝125.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点．(1)若点A (5，0)到直线l 的距离为3，求直线l 的方程；(2)求点A (5，0)到直线l 的距离的最大值．解析 (1)由{2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0得{x ＝2，y ＝1，所以交点坐标为(2，1)．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)，即kx －y ＋1－2k ＝0，则点A 到直线l 的距离为|5k ＋1－2k |k 2＋1＝3，解得k ＝43，所以l 的方程为4x －3y －5＝0；当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，符合题意．故直线l 的方程为4x －3y －5＝0或x ＝2.(2)设直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点为P ，由(1)可知P (2，1)，过点P 任意作直线l (如图所示)，设d 为点A 到直线l 的距离，则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时，等号成立)，由两点间的距离公式可知|PA |＝10.即所求的距离的最大值为10.18．(12分)已知①经过直线l 1：x －2y ＝0与直线l 2：2x ＋y －1＝0的交点；②圆心在直线2x－y ＝0上；③被y 轴截得弦长|CD |＝22.从上面这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的圆存在，求圆的方程；若问题中圆不存在，请说明理由．问：是否存在满足条件的圆Q ，使得点A (－2，－1)，B (1，－1)均在圆上？思路分析 由点A (－2，－1)，B (1，－1)均在圆上，可知圆心在线段AB 的垂直平分线x ＝－12上，设圆心坐标为(－12，b )，半径为r ，若选①，求出直线l 1和l 2的交点为(25，15)，再利用两点之间的距离公式求出半径，即可求得圆的方程；若选②，由已知圆心(－12，－1)，再利用两点之间的距离公式求出半径，即可求得圆的方程；若选③，由弦长|CD |＝22，可得半径及圆心，即可求出圆的方程．解析 因为点A (－2，－1)，B (1，－1)均在圆上，所以圆心在线段AB 的垂直平分线上，又线段AB 的垂直平分线所在直线方程为x ＝－2＋12＝－12，则可设圆心坐标为(－12，b )，圆的半径为r ，若选①，存在圆Q ，使得点A (－2，－1)，B (1，－1)均在圆上．由{x －2y ＝0，2x ＋y －1＝0，解得{x ＝25，y ＝15.即直线l 1和l 2的交点为(25，15)，则圆Q 过点(25，15)，所以r 2＝(－12－25)2 ＋(b －15)2＝(－12－1)2＋(b ＋1)2，解得b ＝－1，则r 2＝94.即存在圆Q ，且圆Q 的方程为(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝94.若选②，存在圆Q ，使得点A (－2，－1)，B (1，－1)均在圆上．由圆心在直线2x －y ＝0上可得2×(－12)－b ＝0，则b ＝－1，所以r 2＝(－12－1)2 ＋(－1＋1)2＝94，即存在圆Q ，且圆Q 的方程为(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝94.若选③，存在圆Q ，使得点A (－2，－1)，B (1，－1)均在圆上．若圆被y 轴截得弦长|CD |＝22，根据圆的性质可得，r 2＝(12)2＋(|CD |2)2 ＝94，由r 2＝(－12－1)2 ＋(b ＋1)2＝94，解得b ＝－1.即存在圆Q ，且圆Q 的方程为(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝94.19．(12分)求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆的方程．解析 因为圆C 1可化为(x －6)2＋(y －1)2＝50，所以C 1的坐标为(6，1)，半径r 1＝52，同理可得C 2的坐标为(－6，－8)，半径r 2＝55.所以C 1，C 2所在的直线方程为3x －4y －14＝0.又因为公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －2＝0，由{3x －4y －14＝0，4x ＋3y －2＝0，得{x ＝2，y ＝－2，即所求圆的圆心为C (2，－2)，半径r ＝（52）2－|C 1C |2＝5.所以圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.20．(12分)已知圆心为C 的圆经过点A (0，2)和B (1，1)，且圆心C 在直线l ：x ＋y ＋5＝0上．(1)求圆C 的标准方程；(2)若P (x ，y )是圆C 上的动点，求3x －4y 的最大值与最小值．解析 (1)线段AB 的中点为(12，32)，又k AB ＝－1，所以线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝1×(x －12)，即x －y ＋1＝0.由{x －y ＋1＝0，x ＋y ＋5＝0解得{x ＝－3，y ＝－2，所以圆心C (－3，－2)．圆C 的半径r ＝|AC |＝（0＋3）2＋（2＋2）2＝5，故圆C 的标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25.(2)令z ＝3x －4y ，即3x －4y －z ＝0.当直线3x －4y －z ＝0与圆C 相切于点P 时，z 取得最值，圆心C (－3，－2)到直线3x －4y －z ＝0的距离d ＝|－9＋8－z |32＋（－4）2＝5，解得z ＝－26或z ＝24.故3x －4y 的最大值为24，最小值为－26.21．(12分)为更好地了解鲸的生活习性，某动物保护组织在某头鲸身上安装了电子监测设备，从海岸线放归点O 处把它放归大海，并沿海岸线由西到东不停地对其进行跟踪观测．在放归点O 的正东方向有一观测站C ，可以对鲸的生活习性进行详细观测．已知OC ＝15 km ，观测站C 的观测半径为5 km.现以点O 为坐标原点，以由西向东的海岸线所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，测得鲸的行进路线近似满足曲线y ＝k x (k >0)．(1)若测得鲸的行进路线上一点A (1，1)，求k 的值；(2)在(1)问的条件下，则：①当鲸运动到何处时，开始进入观测站C 的观测区域内？(计算结果精确到0.1)②当鲸运动到何处时，离观测站C 最近(观测最便利)？(计算结果精确到0.1)(参考数据：41≈6.4，11.3≈3.4，58≈7.6)解析 (1)将A (1，1)代入y ＝k x ，可得k ＝1.(2)①以C 为圆心，5为半径的圆的方程为(x －15)2＋y 2＝25，由{y ＝x ，（x －15）2＋y 2＝25，得x 2－29x ＋200＝0，∴x ＝29±412，∴x 1≈11.3，x 2≈17.7，∴当鲸运动到点(11.3，11.3)即(11.3，3.4)处时，开始进入观测站C 的观测区域内．②鲸与点C 的距离为：d ＝（x －15）2＋y 2＝（x －15）2＋x＝x 2－29x ＋225＝(x －292)2＋225－(292)2，∴当x ＝292时d 最小．故当鲸运动到点(292，582)即(14.5，3.8)处时，鲸离观测站C 最近．22．(12分)已知圆C ：x 2＋(y －4)2＝4，直线l ：(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0.(1)求直线l 所过定点A 的坐标；(2)求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值及最短弦长；(3)如图，已知点M (－3，4)，在直线MC 上(C 为圆心)，存在一定点N (异于点M )，满足对于圆C 上任一点P ，都有|PM ||PN |为一常数，试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数．解析 (1)依题意，得m (3x －y )＋(x ＋y －4)＝0，令{3x －y ＝0，x ＋y －4＝0，解得{x ＝1，y ＝3，∴直线l 过定点A (1，3)．(2)当AC ⊥l 时，所截得的弦长最短．由题知C (0，4)，圆C 的半径r ＝2，∴k AC ＝4－30－1＝－1，∴k l ＝1，∴3m ＋1m －1＝1，∴m ＝－1.∵圆心C 到直线l 的距离为d ＝|AC |＝2，∴最短弦长为2r 2－d 2＝22.(3)由题意知直线MC 的方程为y ＝4.设定点N (t ，4)(t ≠－3)，P (x ，y )，|PM ||PN |＝λ(λ>0)，则|PM |2＝λ2|PN |2，∴(x ＋3)2＋(y －4)2＝λ2(x －t )2＋λ2(y －4)2，∴(x ＋3)2＋4－x 2＝λ2(x －t )2＋λ2(4－x 2)，整理得(6＋2tλ2)x －(λ2t 2＋4λ2－13)＝0，此式对任意的x ∈[－2，2]恒成立，∴{6＋2t λ2＝0，λ2t 2＋4λ2－13＝0，∴{t＝－43，λ＝32或{t ＝－43，λ＝－32(舍去)或{t ＝－3，λ＝±1(舍去)．综上，满足条件的点N 的坐标为(－43，4)，且|PM ||PN |为常数32.1．已知A (－2，1)，B (1，2)，点C 为直线x －3y ＝0上的动点，则|AC |＋|BC |的最小值为( )A ．22B ．23C ．25D ．27答案 C解析 设点A (－2，1)关于直线x －3y ＝0的对称点为D (a ，b )，则{b －1a ＋2＝－3，a －22－3×b ＋12＝0，解得{a ＝－1，b ＝－2，所以D (－1，－2)，所以|AC |＋|BC |＝|DC |＋|BC |，当B ，D ，C 共线时，|AC |＋|BC |取最小值，最小值为|DB |＝（1＋1）2＋（2＋2）2＝25.2．圆心在曲线y ＝3x(x >0)上，且与直线3x ＋4y ＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为( )A ．(x －3)2＋(y －3)2＝9B ．(x －3)2＋(y －1)2＝(165)2C ．(x －1)2＋(y －3)2＝(185)2D ．(x －2)2＋(y －32)2＝9答案 D解析 设圆心为(a ，b )，半径为r ，则满足条件的圆面积最小即r 最小，r ＝|3a ＋4b ＋3|32＋42＝|3a ＋4b ＋3|5≥23a ×4b ＋35，因为圆心(a ，b )在y ＝3x (x >0)上，所以b ＝3a ，即ab ＝3，所以r min ＝212×3＋35＝3，当且仅当3a ＝4b ，即a ＝2，b ＝32时取等号，所以此时圆的方程为(x－2)2＋(y －32)2＝9.3．已知直线l 经过两条直线l 1：x ＋y ＝2，l 2：2x －y ＝1的交点，且直线l 的一个方向向量ν＝(－3，2)，则直线l 的方程为( )A ．－3x ＋2y ＋1＝0 B ．3x －2y ＋1＝0C ．2x ＋3y －5＝0 D ．2x －3y ＋1＝0答案 C解析 方法一：由{x ＋y ＝2，2x －y ＝1，得{x ＝1，y ＝1，由题意，知直线l 的斜率k ＝－23，所以直线l 的方程为y －1＝－23(x －1)，即2x ＋3y －5＝0.故选C.方法二：由题意设直线l ：x ＋y －2＋λ(2x －y －1)＝0(λ∈R )，即(1＋2λ)x ＋(1－λ)y －2－λ＝0，又直线l 的一个方向向量ν＝(－3，2)，所以3(1＋2λ)＝2(1－λ)，解得λ＝－18，所以直线l的方程为2x ＋3y －5＝0.故选C.4．已知圆C 1：(x ＋a )2＋(y －2)2＝1与圆C 2：(x －b )2＋(y －2)2＝4外切，a ，b 为正实数，则ab 的最大值为( )A ．23 B.94C.32D.62答案 B解析 因为圆C 1：(x ＋a )2＋(y －2)2＝1的圆心为C 1(－a ，2)，半径r 1＝1，圆C 2：(x －b )2＋(y －2)2＝4的圆心为C 2(b ，2)，半径r 2＝2，所以|C 1C 2|＝（－a －b ）2＋（2－2）2＝|a ＋b |＝1＋2，所以a 2＋b 2＋2ab ＝9，所以(a －b )2＋4ab ＝9，所以ab ＝94－（a －b ）24≤94，即当a ＝b 时，ab 取得最大值，最大值为94.5．若过定点M (－1，0)且斜率为k 的直线与圆C ：x 2＋4x ＋y 2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，5) B ．(－5，0)C ．(0，13) D ．(0，5)答案 A解析 圆C 的方程x 2＋4x ＋y 2－5＝0可化为(x ＋2)2＋y 2＝9，则圆C 与x 轴正半轴交于点A (1，0)，与y 轴正半轴交于点B (0，5)，如图所示，因为过定点M (－1，0)且斜率为k 的直线与圆C ：x 2＋4x ＋y 2－5＝0在第一象限内的部分有交点，所以k MA <k <k MB ，所以0<k <5.6．已知在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别是A (0，3)，B (3，3)，C (2，0)，若直线x ＝a 将△ABC 分割成面积相等的两部分，则实数a 的值是( )A.3 B ．1＋22C ．1＋33D ．2－22答案 A解析 如图所示，易知直线AB 的方程是y ＝3，直线AC 的方程是x2＋y3＝1，即3x ＋2y －6＝0，且直线x ＝a 只与边AB ，AC 相交．设直线x ＝a 与AB 交于点D ，与AC 交于点E ，则点D ，E 的坐标分别为(a ，3)，(a ，6－3a2)，从而|DE |＝3－6－3a 2＝32a ，S △ADE ＝12|AD ||DE |＝12a ×32a ＝34a 2①.又S △ABC ＝12×3×3＝92，所以S △ADE ＝12S △ABC＝94②，由①②得34a 2＝94，解得a ＝3或a ＝－3(舍去)．故选A.7．【多选题】已知两圆方程为x 2＋y 2＝16与(x －4)2＋(y ＋3)2＝r 2(r >0)，则下列说法正确的是( )A ．若两圆外切，则r ＝1B ．若两圆公共弦所在的直线方程为8x －6y －37＝0，则r ＝2C ．若两圆在交点处的切线互相垂直，则r ＝3D ．若两圆有三条公切线，则r ＝2答案 ABC解析 由圆的方程可知，两圆圆心分别为(0，0)，(4，－3)，半径分别为4，r ，所以圆心距为5，若两圆外切，则4＋r ＝5，即r ＝1，故A 正确；此时两圆有三条公切线，故D 错误；当两圆相交时，两圆公共弦所在的直线方程可由两圆方程相减得到，所以公共弦所在的直线方程为8x －6y －41＋r 2＝0，所以－41＋r 2＝－37，解得r ＝2，故B 正确；因为两圆在交点处的切线互相垂直，则一个圆的切线必过另一个圆的圆心，所以两圆圆心距与两圆半径必构成一个直角三角形，故52＝42＋r 2，解得r ＝3，故C 正确．8．【多选题】已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－2，3)，B (－2，－1)，C (6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝37C ．x 2＋y 2＝4 D ．x 2＋y 2＝165答案 AB解析 过点A ，C 的直线方程为y ＋13＋1＝x －6－2－6，化为一般式为x ＋2y －4＝0，过点A ，B 的直线方程为x ＝－2，过点B ，C 的直线方程为y ＝－1，所以原点O 到直线x ＋2y －4＝0的距离d AC ＝455，原点O 到直线x ＝－2的距离d AB ＝2，原点O 到直线y ＝－1的距离d BC ＝1，所以d AB >d AC >d BC ，又|OA |＝（－2）2＋32＝13，|OB |＝（－2）2＋（－1）2＝5，且|OC |＝62＋（－1）2＝37.结合图形可知，若以原点为圆心的圆与△ABC 有唯一公共点，则公共点为(0，－1)或(6，－1)，所以圆的半径为1或37.故选AB.9．已知过点P (4，1)的直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积最小时，直线l 的方程为________．答案 x ＋4y －8＝0解析 设直线l ：x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，因为直线l 过点P (4，1)，所以4a ＋1b ＝1≥24a ×1b ＝4ab，所以ab ≥16，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立．所以当a ＝8，b ＝2时，△AOB 的面积S ＝12ab 取得最小值，此时直线l 的方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0.10．曲线y ＝1＋9－x 2与直线y ＝k (x －3)＋5有两个交点，则实数k 的取值范围是________．答案 (724，23]解析 由题可知，y ＝1＋9－x 2，即x 2＋(y －1)2＝9(y ≥1)，其图象如图所示：又直线y ＝k (x －3)＋5即kx －y －3k ＋5＝0过定点A (3，5)．当直线与半圆相切时，则|－1－3k ＋5|k 2＋1＝3，解得k ＝724.当直线过点B (－3，1)时，k ＝5－13－（－3）＝23.所以k ∈(724，23].11．在平面直角坐标系Oxy 中，已知点A (－1，0)，B (5，0)．若圆M ：(x －4)2＋(y －m )2＝4上存在唯一的点P ，使得直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为________．答案 ±21解析 根据题意，设点P 的坐标为(a ，b )，则直线PA 的方程为y ＝b a ＋1(x ＋1)，其在y 轴上的截距为b a ＋1，直线PB 的方程为y ＝b a －5(x －5)，其在y 轴上的截距为－5ba －5.若点P 满足使直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则有ba ＋1×(－5ba －5)＝5，变形可得b 2＋(a －2)2＝9，则点P 在圆(x －2)2＋y 2＝9上．若圆M ：(x －4)2＋(y －m )2＝4上存在唯一的点P 满足题意，则圆M 与圆(x －2)2＋y 2＝9有且只有一个公共点，即两圆内切或外切．又两圆的圆心距为（4－2）2＋m 2≥2，所以两圆外切，所以4＋m 2＝25，解得m ＝±21.12．已知圆C 的圆心在直线l ：x ＋y ＋1＝0上且经过点A (－1，2)，B (1，0)．(1)求圆C 的方程；(2)若过点D (0，3)的直线l 1被圆C 截得的弦长为23，求直线l 1的方程．解析 (1)由题意得，圆心C 一定在线段AB 的垂直平分线上，k AB ＝0－21－（－1）＝－1，线段AB 中点为(0，1)，所以直线AB 的垂直平分线为x －y ＋1＝0.所以直线l ：x ＋y ＋1＝0与x －y ＋1＝0的交点即为圆心C ，即C 的坐标为(－1，0)，半径r ＝|CA |＝2.所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)当直线l 1斜率不存在时，方程为x ＝0，此时圆心到l 1距离为1，截得的弦长为23，满足题意；当直线l 1斜率存在时，设为k ，则l 1：kx －y ＋3＝0，圆心(－1，0)到l 1的距离d ＝|－k ＋3|k 2＋1＝4－(232)2＝1，所以k ＝43，则直线l 1的方程为4x －3y ＋9＝0.综上，直线l 1的方程为x ＝0或4x －3y ＋9＝0.13．如图，在平面直角坐标系Oxy 中，过点P (0，1)且互相垂直的两条直线分别与圆O ：x 2＋y 2＝4交于点A ，B ，与圆M ：(x －2)2＋(y －1)2＝1交于点C ，D .(1)若|AB |＝372，求CD 的长；(2)若线段CD 的中点为E ，求△ABE 面积的取值范围．解析 (1)直线AB 的斜率显然存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.因为(|AB |2)2 ＋(1k 2＋1)2＝4，所以|AB |＝24k 2＋3k 2＋1，由24k 2＋3k 2＋1＝372，得k 2＝15，因为直线CD 的方程为y ＝－1kx ＋1，所以(|CD |2)2＝1－(－2k＋1－11＋(－1k)2)2，所以|CD |＝21－4k 2＋1＝21－415＋1＝3.(2)当直线AB 的斜率不存在时，△ABE 的面积S ＝12×4×2＝4；当直线AB 的斜率存在时，设其斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，显然k ≠0，则直线CD 的方程为y ＝－1kx ＋1，由|－1k·2－1＋1|(－1k )2＋1<1，得k 2>3，因为(|AB |2)2＋(1k 2＋1)2＝4，所以|AB |＝24k 2＋3k 2＋1，易知E 到直线AB 的距离即M 到AB 的距离，设为d ，则d ＝|2k －1＋1|k 2＋1＝|2k |k 2＋1，所以△ABE 的面积S ＝12|AB |·d ＝2（4k 2＋3）k 2（k 2＋1）2，令k 2＋1＝t >4，则S ＝2（4t －1）（t －1）t 2＝21t 2－5t ＋4＝2(1t －52)2－94，易知1t ∈(0，14)，所以S∈(352，4).综上，△ABE面积的取值范围为(352，4].14．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋m＝0与y轴相切，O为坐标原点，动点P在圆外，过P作圆C的切线，切点为M.(1)求圆C的圆心坐标及半径；(2)求满足|PM|＝2|PO|的点P的轨迹方程．解析 (1)圆C：x2＋y2＋2x－4y＋m＝0可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，所以圆C的圆心坐标为(－1，2)．又圆C与y轴相切，所以5－m＝1，即m＝4，故圆C的半径为1.(2)设P(x，y)，则|PM|2＝|PC|2－|MC|2＝(x＋1)2＋(y－2)2－1，|PO|2＝x2＋y2.由于|PM|＝2|PO|，则(x＋1)2＋(y－2)2－1＝4(x2＋y2)，整理得点P的轨迹方程为(x－13)2＋(y＋23)2＝179.15．已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，点P是直线l：x－2y＝0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别为A，B.(1)当切线PA的长度为23时，求点P的坐标；(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有定点的坐标；若不过定点，请说明理由．(3)求线段AB长度的最小值．解析 由题意知，圆M的半径r＝2，M(0，4)，设P(2b，b)．(1)∵PA是圆M的一条切线，∴∠MAP＝90°，∴|MP|＝（0－2b）2＋（4－b）2＝|AM|2＋|AP|2＝22＋（23）2＝4，解得b＝0或8 5，∴点P的坐标为(0，0)或(165，85).(2)圆N过定点(0，4)，(85，45).理由如下：∵∠MAP＝90°，∴经过A，P，M三点的圆N 以MP为直径，其方程为(x－b)2＋(y－b＋42)2＝4b2＋（b－4）24，即(2x＋y－4)b－(x2＋y2－4y)＝0.由{2x＋y－4＝0，x2＋y2－4y＝0，解得{x＝0，y＝4或{x＝85，y＝45.∴圆N过定点(0，4)，(85，45).(3)由(2)得圆N的方程为(x－b)2＋(y－b＋42)2＝4b2＋（b－4）24，即x2＋y2－2bx－(b＋4)y＋4b＝0，①又圆M：x2＋(y－4)2＝4，即x2＋y2－8y＋12＝0，②②－①，得圆M与圆N的相交弦AB所在直线的方程为2bx＋(b－4)y＋12－4b＝0，∴点M到直线AB的距离d＝45b2－8b＋16，∴|AB|＝24－d2＝41－45b2－8b＋16＝41－45(b－45)2＋645，∴当b＝45时，|AB|有最小值，为11.。
人教版高中数学必修第一册第2章 一元二次函数、方程和不等式综合检测基础卷(含详细解析)
第2章一元二次函数、方程和不等式（原卷版）本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．下列命题是真命题的是A ．若ac bc >．则a b >B ．若22a b >，则a b>C ．若a b >，则11a b<D ．若c d >，a c b d ->-，则a b>2．已知242,65,M x x N x x R =+-=-∈，下列关系正确的是A ．M N ≤B ．M N <C ．M N=D ．M N>3．已知正数a，b ，满足2a b +=A ．最小值1BC D ．最大值14．已知关于x 的不等式220ax ax -+>在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是A ．()(),08,-∞+∞B ．(][),08,-∞+∞C ．[)0,8D ．()0,85．已知0a >，0b >，且228a b ab ++=，则2+a b 的最小值为A ．2B ．C ．4D ．66．不等式()4421m m >-，则实数m 的取值范围是A ．(),1-∞B ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭7．已知0x >，0y >且141x y+=，若不等式246x y m m +≥-对任意正数x ，y 恒成立，则实数m 的取值集合为A ．{|28}m m -≤≤B ．{|82}m m -≤≤C ．{|8m m ≤-或2}m ≥D ．{|2m m ≤-或8}m ≥8．若关于x 的不等式22840x x a --->在[1,4]内有解，则实数a 的取值范围是A ．(4,)-+∞B ．(,4)-∞-C ．(12,)-+∞D ．(,12)-∞-二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知23x <<，23y <<，则下列说法正确的是A ．2x y +的取值范围为(6,9)B ．2x y -的取值范围为(2,3)C ．x y的取值范围为23(,)32D ．xy 的取值范围为(4,9)10．不等式20ax bx c ++≥的解集是122x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭，对于系数a ，b ，c ，下列结论正确的是A ．0a b c -+>B ．0b >C ．0c >D ．0a b c ++>11．现有以下结论①函数1y x x=+的最小值是2②若,a b ∈R 且0ab >，则2b a a b+≥③y =2④函数423(0)y x x x =-->的最小值为2-其中，不正确的是A ．①B ．②C ．③D ．④12．关于x 的一元二次不等式x 2-6x +a ≤0(a ∈Z)的解集中有且仅有3个整数，则a 的取值可以是A ．6B ．7C ．8D ．9三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若方程()200ax bx c a ++=>有唯一的实数根－2，则不等式20ax bx c ++>的解集为________．14．已知正实数a ，b 满足196a b+=，则()()19a b ++的最小值是________．15．若关于x 的不等式223x x a -≥-+无解，则实数a 的取值范围是________．16．已知λ∈R ，函数24,()43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式()0f x <的解集是________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）试比较()()15x x ++与()23x +的大小；（2）已知a b >，11a b<，求证：0ab >．18．（12分）已知二次函数2()3f x ax bx =++，且1,3-是函数()f x 的零点．（1）求()f x 的解析式；（2）解不等式()3f x ≤．19．（12分）求解下列各题：（1）求()23402x x y x x ++=<的最大值；（2）求()2811x y x x +=>-的最小值．20．（12分）今年10月份，学校从某厂家购进了A 、B 型电脑共250台，A 、B 两种型号电脑的单价分别为7000元、9000元，其中购进A 型、B 型电脑的总金额和为205万元．（1）求学校10月份购进A 、B 型电脑各多少台？（2）为推进学校设备更新进程，学校决定11月份在同一厂家再次购进A 、B 两种型号的电脑，在此次采购中，比起10月份进购的同类型电脑，A 型电脑的单价下降了a %，A 型电脑数量增加了4%5a ，B 型电脑的单价上升了503a 元，B 型电脑数量下降了4%5a ，这次采购A 、B 两种型号电脑的总金额为205万元，求a 的值．21．（12分）已知实数0,0x y >>，且()()222,,R xy x y a x y b a b =++++∈．（1）当0,0a b ==时，求4x y +的最小值，并指出取最小值时x ，y 的值：（2）当0,3a b ==时，求x y +的最小值，并指出取最小值时x ，y 的值（3）当1,02a b ==时，求x y +的最小值，并指出取最小值时x ，y 的值．22．（12分）若()0,a b ∈+∞，则2223a b a b a b +≤++．（1）若存在常数M ，使得不等式2222a b a bM a b a b a b a b+++≤≤+++对任意正数a ，b 恒成立，试求常数M 的值，并证明不等式：22a bM a b a b++≤+；（2）证明不等式：32232332a b a ba b a b a b a b≤++++++．第2章一元二次函数、方程和不等式（解析版）本卷满分150分，考试时间120分钟。
综合复习 第2章一元二次函数、方程和不等式(2)-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册
第二章综合题一1．已知集合A＝{－1，0，1，2，3}，集合B＝{x∈Z|－2<x≤2}，则A∩B＝() A．{－1，0，1}B．{－1，0，1，2}C．{－1，1} D．{－1，1，2}2．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是()A．A≤B B．A≥BC．A<B或A>B D．A>B3．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件4．已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是()A．命题p是真命题B．命题p是存在量词命题C．命题p是全称量词命题D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题5．不等式(x－1)x＋2≥0的解集是()A．{x|x>1} B．{x|x≥1}C．{x|x≥1或x＝－2} D．{x|x≤－2或x＝1}6．下列选项中，使不等式x＜1x＜x2成立的x的取值范围是()A．{x|x＜－1} B．{x|－1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}7．已知x>1，则x2＋2x－1的最小值是()A．23＋2 B．23－2C．2 3 D．28．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b ＜0的解集是A∩B，那么a＋b等于()A．－3 B．1C．－1 D．39．（多选）如果a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列不等式中一定成立的是()A．ab>ac B．c(b－a)>0C．cb2<ab2D．ac(a－c)<010．（多选）设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是()A．a＋b＋1ab≥2 2 B．2aba＋b≥abC．a2＋b2ab≥a＋b D．(a＋b)⎝⎛⎭⎫1a＋1b≥411．（多选）已知关于x的不等式ax2＋bx＋3>0，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是()A．不等式ax2＋bx＋3>0的解集可以是{x|x>3}B．不等式ax2＋bx＋3>0的解集可以是RC．不等式ax2＋bx＋3>0的解集可以是∅高一年级数学学科寒假作业使用日期：寒假编辑：校对：审核：D ．不等式ax 2＋bx ＋3>0的解集可以是{x |－1<x <3}12．（多选）已知关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0，下列结论正确的是( ) A ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有实数根的充要条件是m ∈{m |m <1或m >9} B ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有一正一负根的充要条件是m ∈{m |m <0} C ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有两正实数根的充要条件是m ∈{m |0<m ≤1} D ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0无实数根的必要条件是m ∈{m |m >1}13．命题“∀k >0，方程x 2＋x －k ＝0有实根”的否定为________________．14．(一题两空)已知12<a <60，15<b ＜36，则a －b 的取值范围为________，ab 的取值范围为________．15．若正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则13a ＋2＋13b ＋2的最小值为________．16．若命题“∃x ∈R ，x 2＋2mx ＋m ＋2<0”为假命题，则m 的取值范围是________． 17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋c 的图象经过原点． (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )<0.18．(本小题满分12分)当p ，q 都为正数且p ＋q ＝1时，试比较代数式(px ＋qy )2与px 2＋qy 2的大小．19．(本小题满分12分)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2x x －2<1，集合B ＝{x |x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m <0}．(1)求集合A ，B ；(2)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．20．(本小题满分12分)解下列不等式(组)：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋2）>0，x 2<1；(2)6－2x ≤x 2－3x <18.21．(本小题满分12分)已知a >0，b >0且1a ＋2b ＝1.(1)求ab 的最小值；(2)求a ＋b 的最小值．22．(本小题满分12分)某镇计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？第二章综合题一答案1.解析：选B ∵集合A ＝{－1，0，1，2，3}， 集合B ＝{x ∈Z|－2<x ≤2}＝{－1，0，1，2}，∴A ∩B ＝{－1，0，1，2}，故选B.2.解析：选B ∵A －B ＝a 2＋3ab －(4ab －b 2)＝⎝⎛⎭⎫a －b 22＋34b 2≥0，∴A ≥B . 3.解析：选C 由x >y 推不出x >|y |，由x >|y |能推出x >y ，所以“x >y ”是“x >|y |”的必要不充分条件．4解析：选C 命题p ：实数的平方是非负数，是全称量词命题，且是真命题，故綈p 是假命题．5解析：选C 当x ＝－2时，0≥0成立；当x >－2时，原不等式变为x －1≥0，即x ≥1.∴不等式的解集为{x |x ≥1或x ＝－2}．6解析：选A 法一：取x ＝－2，知符合x ＜1x ＜x 2，即－2是此不等式的解集中的一个元素，所以可排除选项B 、C 、D.法二：由题知，不等式等价于⎩⎨⎧x －1x ＜0，1x －x 2＜0，解得x ＜－1，选A.7解析：选A ∵x ＞1，∴x －1＞0.∴x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2（x －1）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥23＋2⎝⎛⎭⎫当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时等号成立.8解析：选A 由题意：A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，则A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，故a ＋b ＝－3.9解析：选ABD 由c <b <a 且ac <0，知a >0，c <0，而b 的取值不确定，当b ＝0时，C 不成立．根据不等式的性质可知A 、B 、D 均正确．10解析：选ACD 因为a >0，b >0，所以a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab ≥22，当且仅当a ＝b 且2ab ＝1ab即a ＝b ＝22时取等号，故A 一定成立．因为a ＋b ≥2ab >0，所以2ab a ＋b ≤2ab2ab ＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，所以2ab a ＋b≥ab 不一定成立．故B 不成立．因为a 2＋b 2a ＋b ＝（a ＋b ）2－2ab a ＋b ＝a ＋b －2ab a ＋b ≥2ab －ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，所以a 2＋b 2a ＋b≥ab ，所以a 2＋b 2ab≥a ＋b ，故C 一定成立．因为(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥4，当且仅当a ＝b 时取等号，故D 一定成立．故选A 、C 、D. 11.解析：选ABD 在A 中，依题意得a ＝0，得bx ＋3>0，当x >3时，b >－3x >－1.即当b >－1时，x >3可使bx ＋3>0成立，故A 正确；在B 中，取a ＝1，b ＝2，得x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2>0，解集为R ，故B 正确；在C 中，当x ＝0时，ax 2＋bx ＋3＝3>0，知其解集不为∅，当a <0，Δ>0，知其解集也不为∅，故C 错误；在D 中，依题意得a <0，且⎩⎨⎧－1＋3＝－ba ，－1×3＝3a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.符合题意，故D 正确．12.解析：选BCD 在A 中，由Δ＝(m －3)2－4m ≥0得m ≤1或m ≥9，故A 错误；在B 中，当x ＝0时，函数y ＝x 2＋(m －3)x ＋m 的值为m ，由二次函数的图象知，方程有一正一负根的充要条件是m ∈{m |m <0}，故B 正确；在C 中，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（m －3）2－4m ≥0，3－m >0，m >0，解得0<m ≤1，故C 正确；在D 中，由Δ＝(m －3)2－4m <0得1<m <9，又{m |1<m <9}⊆{m |m >1}，故D 正确．13.答案：∃k >0，方程x 2＋x －k ＝0没有实根 14.解析：由15<b <36得－36<－b <－15. 又因为12<a <60，所以－24<a －b <45. 由15<b <36得136<1b <115.又因为12<a <60，所以13<ab <4.答案：－24<a －b <45 13<ab<415.解析：由a ＋b ＝1，知13a ＋2＋13b ＋2＝3b ＋2＋3a ＋2（3a ＋2）（3b ＋2）＝79ab ＋10，又ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立.∴9ab ＋10≤494，∴79ab ＋10≥47.答案：4716．解析：命题“∃x ∈R ，x 2＋2mx ＋m ＋2<0”为假命题， 则命题“∀x ∈R ，使得x 2＋2mx ＋m ＋2≥0”是真命题． 故4m 2－4(m ＋2)≤0，解得－1≤m ≤2. 答案：{m |－1≤m ≤2}17. 解：(1)∵f (x )＝x 2＋2x ＋c 的图象经过原点， ∴f (0)＝0，即c ＝0. 从而f (x )＝x 2＋2x .(2)f (x )<0即x 2＋2x <0，x (x ＋2)<0，解得－2<x <0，即不等式f (x )<0的解集为{x |－2<x <0}． 18.解：(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2)＝p (p －1)x 2＋q (q －1)y 2＋2pqxy . 因为p ＋q ＝1，所以p －1＝－q ，q －1＝－p ，所以(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2)＝－pq (x 2＋y 2－2xy )＝－pq (x －y )2.因为p ，q 都为正数，所以－pq (x －y )2≤0，因此(px ＋qy )2≤px 2＋qy 2，当且仅当x ＝y 时等号成立．19.解：(1)2xx －2<1⇔x ＋2x －2<0⇔－2<x <2，所以A ＝{x |－2<x <2}．x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m <0⇔(x －m )[x －(m ＋1)]<0⇔m <x <m ＋1，所以B ＝{x |m <x <m ＋1}．(2)B ⊆A ⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－2，m ＋1≤2⇒－2≤m ≤1.故实数m 的取值范围为{m |－2≤m ≤1}．20.解：(1)原不等式组可化为⎩⎪⎨⎪⎧x <－2或x >0，－1<x <1，即0<x <1，所以原不等式组的解集为{x |0<x <1}．(2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧6－2x ≤x 2－3x ，x 2－3x <18，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≥0，x 2－3x －18<0，因式分解，得⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）（x ＋2）≥0，（x －6）（x ＋3）<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2或x ≥3，－3<x <6， 所以－3<x ≤－2或3≤x <6.所以不等式的解集为{x |－3<x ≤－2或3≤x <6}．21.解：(1)因为a >0，b >0且1a ＋2b ＝1，所以1a ＋2b≥21a ·2b＝22ab，则22ab≤1， 即ab ≥8，当且仅当⎩⎨⎧1a ＋2b＝1，1a ＝2b，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4时取等号，所以ab 的最小值是8. (2)因为a >0，b >0且1a ＋2b ＝1，所以a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b (a ＋b ) ＝3＋b a ＋2ab≥3＋2b a ·2ab＝3＋22， 当且仅当⎩⎨⎧1a ＋2b ＝1，b a ＝2a b，即⎩⎨⎧a ＝1＋2，b ＝2＋2时取等号，所以a ＋b 的最小值是3＋2 2.22.解：设矩形温室的左侧边长为a m ，后侧边长为b m ，蔬菜的种植面积为S m 2，则ab ＝800. 所以S ＝(a －4)(b －2)＝ab －4b －2a ＋8＝808－2(a ＋2b )≤808－42ab ＝648， 当且仅当a ＝2b ，即a ＝40，b ＝20时等号成立，则S 最大值＝648.故当矩形温室的左侧边长为40 m ，后侧边长为20 m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648 m 2.。