湖北省华中师范大学第一附属中学2016-2017学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案
华中师大一附中2016—2017学年度上学期高一期末检测
数学试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.设集合{}
{}2||lg 0M x x x N x x ===≤，则M
N =
A. []0,1
B. (]0,1
C. [)0,1
D.(],1-∞ 2.已知函数()2
1f x x =+，那么()1f a +=
A.22a a +-
B. 21a +
C. 222a a ++
D. 2
21a a ++ 3.454sin
cos tan 363
πππ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
A. C. 4.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos 3y x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图象 A.向右平移
6π个单位长度 B.向右平移3π
个单位长度 C.向左平移3π个单位长度 D. 向左平移6
π
个单位长度
5.设0.1
3592,lg ,log 210
a b c ===，则,,a b c 的大小关系是
A. b c a >>
B. a c b >>
C. b a c >>
D. a b c >>
6.函数cos 2sin 2cos 2sin 2x x
y x x
+=-的最小正周期为
A. 2π
B. π
C.2π
D.4π
7.已知函数()1lg 12ax
f x x
+=-是定义在(),b b -上的奇函数，（,a b R ∈且2a ≠-），则b a 的
取值范围是
A. (
B. (
C. (
D.(
8.若()sin πα-=，且3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 22πα⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
等于
A. 3-
B. 6-
C. 6
D.3
9.函数()f x 的零点与()ln 28g x x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.5，则()f x 可以是 A. ()36f x x =- B. ()2
4x - C.2
1x e
-- D.5ln 2x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
10.定义在R 上的函数()f x 对任意210x x <<都有
()()
1212
1f x f x x x -<-，且函数()f x 的图象
关于原点对称，若()22f =，则不等式()0f x x ->的解集是 A.()
()2,00,2- B.()(),22,-∞-+∞ C.()(),20,2-∞- D.()()2,02,-+∞
11.()()()sin 0,0f x A x A ωωπω=+>>在33,2
4ππ⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦上单调，则ω的最大值为
A.
12 B.34 C. 1 D.4
3
12.已知函数()()2102
x
f x x e x =+-<与()()2ln
g x x x a =++的图象上存在关于y 轴的
对称点，则a 的取值范围是
A.
⎛-∞ ⎝ B. (-∞ C. ⎛ ⎝ D.⎛
⎝
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若函数()f x =
[]0,2，则函数()()
21
f x
g x x =
-的定义域为 .
14.计算：lg 4lg 9++= .
15.已知11,,2sin cos πθπθθ⎛⎫∈+=
⎪⎝⎭，则cos 23πθ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值为 .
16.已知集合()()(){}
|sin 2cos 2log 1a f x x x ϕϕπϕπϕ=-+-<⎡⎤⎣⎦为奇函数，且的子集个数为4，则a 的取值范围为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17.（本题满分10分）已知幂函数()()
()2
m
m
f x x
m N +*
=∈
的图象经过点(.
（1）试求m 的值并写出该幂函数的解+析式；
（2）试求满足(
)(13f a f +>的实数a 的取值范围.
18.（本题满分12分）已知()()()()3sin cos 2sin 2.sin sin 2f ππαπαααπαπα⎛
⎫
---+
⎪⎝⎭=
⎛⎫
+-- ⎪⎝⎭
（1）化简()f
α；
（2）若α是第三象限角，且3cos 35
πα⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭，求()f α的值.
19.（本题满分12分）已知函数()12.2
x
x f x =-
（1）若()2f x =，求x 的值；
（2）若()()220t
f t mf t +≥对于[]1,2t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.
20.（本题满分12分）已知函数(
)()()cos 0,02f x x x πωωωωϕω⎛⎫
=+-+-<<> ⎪⎝⎭
为偶函数，且函数的()y f x =图象相邻的两条对称轴间的距离为2
π. （1）求24f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值； （2）将()y f x =的图象向右平移
6
π
个单位后，再将所得的图象上个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()y g x =的单调区间，并求其在
5,36ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最值.
21.（本题满分12分）现有一圆心角为
2
π
，半径为12cm 的扇形铁皮（如图）.,P Q 是弧AB 上的动点且劣弧PQ 的长为2cm π，过,P Q 分别作与,OA OB 平行或垂直的线，从扇形上裁剪出多边形OHPRQT ，将该多边形面积表示为角α的函数，并求出其最大面积是多少？
22.（本题满分12分）函数()(),,.n
n f x x bx c n Z b c R =++∈∈
（1）若1n =-，且()111142f f --⎛⎫
==
⎪⎝⎭
，试求实数,b c 的值； （2）设2n =，若对任意[]12,1,1x x ∈-有()()21224f x f x -≤恒成立，求b 的取值范围；
（3）当1n =时，已知2
0bx cx a +-=，设()22
11x g x x
-=+，是否存在正数a ，使得对于区间25555⎡-⎢⎣⎦
上的任意三个实数,,m n p ，都存在以()()()()()()111,,f g m f g n f g p 为边长的三角形？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.。
2016-2017学年湖北省武汉市高一(上)期末数学试卷
2016-2017学年湖北省武汉市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5.00分）全集U={﹣1，0，1，2，3，4，5，6 }，A={3，4，5 }，B={1，3，6 }，那么集合{ 2，﹣1，0}是（）A．B．C．∁U A∩∁U B D．2．（5.00分）已知tan60°=m，则cos120゜的值是（）A．B．C．D．﹣3．（5.00分）下列函数是奇函数的是（）A．f（x）=x2+2|x|B．f（x）=x•sinx C．f（x）=2x+2﹣x D．4．（5.00分）在平行四边形ABCD中，A（5，﹣1），B（﹣1，7），C（1，2），则D的坐标是（）A．（7，﹣6）B．（7，6） C．（6，7） D．（﹣7，6）5．（5.00分）下列各命题中不正确的是（）A．函数f（x）=a x+1（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，1）B．函数在[0，+∞）上是增函数C．函数f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上是增函数D．函数f（x）=x2+4x+2在（0，+∞）上是增函数6．（5.00分）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）7．（5.00分）我们生活在不同的场所中对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下的公式计算：（其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度）．设η1=70dB 的声音强度为I1，η2=60dB的声音强度为I2，则I1是I2的（）A．倍 B．10倍C．倍D．倍8．（5.00分）△ABC中，D在AC上，且，P是BD上的点，，则m的值是（）A．B．C．D．19．（5.00分）函数，若f[f（﹣1）]=1，则a的值是（）A．2 B．﹣2 C．D．10．（5.00分）已知函数f（x）=x2•sin（x﹣π），则其在区间[﹣π，π]上的大致图象是（）A．B． C．D．11．（5.00分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）+f（x+1）=0，且在[﹣3，﹣2]上f（x）=2x+5，A、B是三边不等的锐角三角形的两内角，则下列不等式正确的是（）A．f（sinA）＞f（sinB）B．f（cosA）＞f（cosB）C．f（sinA）＞f（cosB）D．f（sinA）＜f（cosB）12．（5.00分）已知函数，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，2） B．（2，+∞）C．（2，4） D．（4，+∞）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5.00分）函数的定义域是．14．（5.00分）已知tanα=2，则=．15．（5.00分）已知，，则tanα的值为．16．（5.00分）矩形ABCD中，|AB|=4，|BC|=3，，，若向量，则x+y=．三、解答题：本大题共6个小题，共70分.其中第17题10分，第18题至第22题每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10.00分）求值：（1）+log318﹣log36+（2）A是△ABC的一个内角，，求cosA﹣sinA．18．（12.00分）（1）已知向量，，，若，试求x与y之间的表达式．（2）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足，求证：A、B、C三点共线，并求的值．19．（12.00分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式．（2）函数y=f（x）的图象可以由y=sinx的图象变换后得到，请写出一种变换过程的步骤（注明每个步骤后得到新的函数解析式）．20．（12.00分）某同学在利用“五点法”作函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）+t（其中A ＞0，）的图象时，列出了如表格中的部分数据．xωx+ϕ0π2πf（x）6﹣2（1）请将表格补充完整，并写出f（x）的解析式．（2）若，求f（x）的最大值与最小值．21．（12.00分）已知函数，θ∈[0，2π）（1）若函数f（x）是偶函数：①求tanθ的值；②求的值．（2）若f（x）在上是单调函数，求θ的取值范围．22．（12.00分）若函数f（x）对于定义域内的任意x都满足，则称f （x）具有性质M．（1）很明显，函数（x∈（0，+∞）具有性质M；请证明（x ∈（0，+∞）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．（2）已知函数g（x）=|lnx|，点A（1，0），直线y=t（t＞0）与g（x）的图象相交于B、C两点（B在左边），验证函数g（x）具有性质M并证明|AB|＜|AC|．（3）已知函数，是否存在正数m，n，k，当h（x）的定义域为[m，n]时，其值域为[km，kn]，若存在，求k的范围，若不存在，请说明理由．2016-2017学年湖北省武汉市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5.00分）全集U={﹣1，0，1，2，3，4，5，6 }，A={3，4，5 }，B={1，3，6 }，那么集合{ 2，﹣1，0}是（）A．B．C．∁U A∩∁U B D．【分析】根据补集与交集的定义，即可得出{﹣1，0，2}=（∁U A）∩（∁U B）．【解答】解：全集U={﹣1，0，1，2，3，4，5，6 }，A={3，4，5 }，B={1，3，6 }，∁U A={﹣1，0，1，2，6}，∁U B={﹣1，0，2，4，5}，∴（∁U A）∩（∁U B）={ 2，﹣1，0}．故选：C．2．（5.00分）已知tan60°=m，则cos120゜的值是（）A．B．C．D．﹣【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式求得cos120゜的值．【解答】解：tan60°=m，则cos120°=cos260°﹣sin260°===，故选：B．3．（5.00分）下列函数是奇函数的是（）A．f（x）=x2+2|x|B．f（x）=x•sinx C．f（x）=2x+2﹣x D．【分析】运用奇偶性的定义，逐一判断即可得到结论．【解答】解：A，f（x）=x2+2|x|，由f（﹣x）=x2+2|﹣x|=f（x），为偶函数；B，f（x）=x•sinx，由f（﹣x）=﹣xsin（﹣x）=xsinx=f（x），为偶函数；C，f（x）=2x+2﹣x，由f（﹣x）=2﹣x+2x=f（x），为偶函数；D，f（x）=，由f（﹣x）==﹣=﹣f（x），为奇函数．故选：D．4．（5.00分）在平行四边形ABCD中，A（5，﹣1），B（﹣1，7），C（1，2），则D的坐标是（）A．（7，﹣6）B．（7，6） C．（6，7） D．（﹣7，6）【分析】根据平行四边形的对边平行且相等，得出向量则=，列出方程求出D点的坐标【解答】解：▱ABCD中，A（5，﹣1），B（﹣1，7），C（1，2），设D点的坐标为（x，y），则=，∴（﹣6，8）=（1﹣x，2﹣y），∴，解得x=7，y=﹣6；∴点D的坐标为（7，﹣6）．故选：A．5．（5.00分）下列各命题中不正确的是（）A．函数f（x）=a x+1（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，1）B．函数在[0，+∞）上是增函数C．函数f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上是增函数D．函数f（x）=x2+4x+2在（0，+∞）上是增函数【分析】A，由a0=1可判定；B，根据幂函数的性质可判定；C，函数f（x）=log a x（a＞1）在（0，+∞）上是增函数；D，由函数f（x）=x2+4x+2的单调增区间为（﹣2，+∞）可判定；【解答】解：对于A，∵a0=1∴函数f（x）=a x+1（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，1），正确；对于B，根据幂函数的性质可判定，函数在[0，+∞）上是增函数，正确；对于C，函数f（x）=log a x（a＞1）在（0，+∞）上是增函数，故错；对于D，函数f（x）=x2+4x+2的单调增区间为（﹣2，+∞），故在（0，+∞）上是增函数，正确；故选：C．6．（5.00分）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案．【解答】解：将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y=2sin2（x+）=2sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z）得：x=+（k∈Z），即平移后的图象的对称轴方程为x=+（k∈Z），故选：B．7．（5.00分）我们生活在不同的场所中对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下的公式计算：（其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度）．设η1=70dB 的声音强度为I1，η2=60dB的声音强度为I2，则I1是I2的（）A．倍 B．10倍C．倍D．倍【分析】由题设中的定义，将音量值代入，计算出声音强度I1与声音强度I2的值，再计算出即可求出倍数【解答】解：由题意，令70=10lg，解得，I1=I0×107，令60=10lg，解得，I2=I0×106，所以=10故选：B．8．（5.00分）△ABC中，D在AC上，且，P是BD上的点，，则m的值是（）A．B．C．D．1【分析】由已知可得，进而可得=，由P是BD 上的点，可得m+=1，即可得到m．【解答】解：∵，∴，∴=，∵P是BD上的点，∴m+=1．∴m=．故选：A．9．（5.00分）函数，若f[f（﹣1）]=1，则a的值是（）A．2 B．﹣2 C．D．【分析】由已知中函数，将x=﹣1代入，构造关于a的方程，解得答案．【解答】解：∵函数，∴f（﹣1）=2，∴f[f（﹣1）]===1，解得：a=﹣2，故选：B．10．（5.00分）已知函数f（x）=x2•sin（x﹣π），则其在区间[﹣π，π]上的大致图象是（）A．B． C．D．【分析】先判断函数的奇偶性和，再令x=时，f（）=﹣＜0，问题得以解决．【解答】解：f（x）=x2•sin（x﹣π）=﹣x2•sinx，∴f（﹣x）=﹣（﹣x）2•sin（﹣x）=x2•sinx=﹣f（x），∴f（x）奇函数，∵当x=时，f（）=﹣＜0，故选：D．11．（5.00分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）+f（x+1）=0，且在[﹣3，﹣2]上f（x）=2x+5，A、B是三边不等的锐角三角形的两内角，则下列不等式正确的是（）A．f（sinA）＞f（sinB）B．f（cosA）＞f（cosB）C．f（sinA）＞f（cosB）D．f（sinA）＜f（cosB）【分析】由题意可知：函数的周期为2，根据偶函数的对称轴及单调性即可求得f（x）在[0，1]上为单调减函数，由A，B是锐角三角形的两个内角，求得A，B 的取值范围，根据函数的单调性即可求得答案．【解答】解：由f（x）+f（x+1）=0，∴f（x+2）=f（x），∴函数的周期为2，∵f（x）在[﹣3，﹣2]上为增函数，∴f（x）在[﹣1，0]上为增函数，∵f（x）为偶函数，∴f（x）在[0，1]上为单调减函数．∵在锐角三角形中，π﹣A﹣B＜，∴A+B＞，∴﹣B＜A，∵A，B是锐角，∴0＜﹣B＜A＜，∴sinA＞sin（﹣B）=cosB，∴f（x）在[0，1]上为单调减函数．∴f（sinA）＜f（cosB），故选：D．12．（5.00分）已知函数，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，2） B．（2，+∞）C．（2，4） D．（4，+∞）【分析】由g（x）=f（x）﹣b有两个零点可得f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围．【解答】解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，由于y=x2在[0，a）递增，y=2x在[a，+∞）递增，要使函数f（x）在[0，+∞）不单调，即有a2＞2a，由g（a）=a2﹣2a，g（2）=g（4）=0，可得2＜a＜4．即a∈（2，4），故选：C．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5.00分）函数的定义域是（﹣1，3）∪（3，+∞）．【分析】由x+1＞0且x﹣3≠0，解不等式即可得到所求定义域．【解答】解：由x+1＞0且x﹣3≠0，可得x＞﹣1且x≠3，则定义域为（﹣1，3）∪（3，+∞），故答案为：（﹣1，3）∪（3，+∞），14．（5.00分）已知tanα=2，则=．【分析】利用诱导公式对所求的关系式进行化简，再弦化切即可得答案．【解答】解：∵tanα=2，∴==．故答案为：．15．（5.00分）已知，，则tanα的值为．【分析】根据诱导公式，可得cosα=，进而利用同角三角函数的基本关系公式，可得答案．【解答】解：∵，∴cosα=，∵，∴sinα=﹣=﹣，∴tanα==，故答案为：．16．（5.00分）矩形ABCD中，|AB|=4，|BC|=3，，，若向量，则x+y=．【分析】以B为坐标原点建立坐标系，求出各个向量的坐标，进而构造关于x，y的方程组，解得答案．【解答】解：以B为坐标原点建立如下图所示的坐标系：∵|AB|=4，|BC|=3，，，∴=（4，1），=（2，3），=（4，3），∵，∴，两式相加得：5（x+y）=7，故x+y=，故答案为：．三、解答题：本大题共6个小题，共70分.其中第17题10分，第18题至第22题每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10.00分）求值：（1）+log318﹣log36+（2）A是△ABC的一个内角，，求cosA﹣sinA．【分析】（1）利用分数指数幂的运算法则，诱导公式求得所给式子的值．（2）利用同角三角函数的基本关系，求得cosA﹣sinA的值．【解答】解：（1）+log318﹣log36+=3﹣2+log3+（tan）•（﹣cos）=3﹣2+1﹣sin=3﹣2+1﹣=．（2）解：∵A是△ABC的一个内角，，∴cosA＜0，∴=．18．（12.00分）（1）已知向量，，，若，试求x与y之间的表达式．（2）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足，求证：A、B、C三点共线，并求的值．【分析】（1）由可得已知，结合，可得x（y﹣2）=（x+4）y，整理可得答案；（2）由已知可得：，结合有公共点C，可得：A、B、C三点共线，进而可得的值．【解答】（1）解：∵向量，，，∴∵，∴x（y﹣2）=（x+4）y，∴x=﹣2y；（2）证明：∵．∴，∴，∴，∵有公共点C，∴A、B、C三点共线且=2．19．（12.00分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式．（2）函数y=f（x）的图象可以由y=sinx的图象变换后得到，请写出一种变换过程的步骤（注明每个步骤后得到新的函数解析式）．【分析】（1）由函数图象得A=2，，结合范围，可求ϕ，由，结合，可求ω，即可得解函数解析式．（2）由题意利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：（1）由函数图象可得：A=2，f（0）=﹣1，∴，∵，∴，∵，∴，…（3分）∴，∵，∴k=1，ω=3，…（5分）∴．…（6分）（2）把y=sinx（x∈R）的图象向右平移个单位，可得y=sin（x﹣）的图象；把所得图象上各点的横坐标变为原来的倍，可得y=sin（3x+）的图象；再把所得图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，可得y=2sin（3x+）的图象．（三步每步表述及解析式正确各2分，前面的步骤错误，后面的正确步骤分值减半）．20．（12.00分）某同学在利用“五点法”作函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）+t（其中A＞0，）的图象时，列出了如表格中的部分数据．xωx+ϕπ2πf（x）262﹣22（1）请将表格补充完整，并写出f（x）的解析式．（2）若，求f（x）的最大值与最小值．【分析】（1）由表中数据列关于ω、φ的二元一次方程组，求得A、ω、φ的值，从而可求函数解析式．（2）由，可求，利用正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】解：（1）将表格补充完整如下：xωx+ϕ0π2πf（x）262﹣22f（x）的解析式为：．…（6分）（2）∵，∴，…（8分）∴时，即时，f（x）最小值为，∴时，即时，f（x）最大值为6…（12分）21．（12.00分）已知函数，θ∈[0，2π）（1）若函数f（x）是偶函数：①求tanθ的值；②求的值．（2）若f（x）在上是单调函数，求θ的取值范围．【分析】（1）运用偶函数的图形关于y轴对称，可得，求得θ，即可得到tanθ；再由同角的基本关系式，化为tanθ的式子，即可得到所求值；（2）由题意可得或，结合正弦函数的图形和性质，计算即可得到所求范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）是偶函数，∴∴（1分）①tanθ=（4分）②=（7分）（2）f（x）的对称轴为，或，或（9分），∵θ∈[0，2π），∴，∴，∴，∴，，∴（12分）22．（12.00分）若函数f（x）对于定义域内的任意x都满足，则称f （x）具有性质M．（1）很明显，函数（x∈（0，+∞）具有性质M；请证明（x ∈（0，+∞）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．（2）已知函数g（x）=|lnx|，点A（1，0），直线y=t（t＞0）与g（x）的图象相交于B、C两点（B在左边），验证函数g（x）具有性质M并证明|AB|＜|AC|．（3）已知函数，是否存在正数m，n，k，当h（x）的定义域为[m，n]时，其值域为[km，kn]，若存在，求k的范围，若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据函数单调性的定义进行证明即可，（2）根据函数的性质利用作差法进行判断即可，（3）根据函数定义域和值域的关系建立方程，进行求解即可．【解答】解：（1）∵f（）=+=x+=f（x），∴函数f（x）具有性质M．任取x1、x2且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（x1+）﹣（x2+）=（x1﹣x2）+（﹣）=（x1﹣x2）•，若x1、x2∈（0，1），则0＜x1x2＜1，x1x2＞0，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，1）上是减函数．若x1、x2∈（1，+∞），则x1x2＞1，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（1，+∞）上是增函数．（2）∵，∴g（x）具有性质M （4分）由|lnx|=t得，lnx=﹣t或lnx=t，x=e﹣t或x=e t，∵t＞0，∴e﹣t＜e t，∴，∴，∴，∴|AB|2﹣|AC|2=（1﹣e﹣t）2﹣（1﹣e t）2=[2﹣（e﹣t+e t）]（e t﹣e﹣t）由（1）知，在x∈（0，+∞）上的最小值为1（其中x=1时）而，故2﹣（e﹣t+e t）＜0，e t﹣e﹣t＞0，|AB |＜|AC |（7分）（3）∵h （1）=0，m ，n ，k 均为正数， ∴0＜m ＜n ＜1或1＜m ＜n （8分） 当0＜m ＜n ＜1时，0＜x ＜1，=是减函数，值域为（h （n ），h （m ）），h （n ）=km ，h （m ）=kn ，∴，∴，∴1﹣n 2=1﹣m 2故不存在 （10分） 当1＜m ＜n 时，x ＞1，=是增函数，∴h （m ）=km ，h （n ）=kn ，∴， ∴（1﹣k ）m 2=1，（1﹣k ）n 2=1，，不存在综合得，若不存在正数m ，n ，k 满足条件． （12分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mn m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数 名称 对数函数定义 函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理
华中师大一附中2015—2016学年度第一学期期末检测高二年级数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的 1．方程052422=+-++m y mx y x 表示圆，则实数m 的取值范围是A ．141<<mB ．1>mC ．41<mD ．41<m 或1>m2．双曲线13622=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则=r A ．3B ．2C ．3D ．63．我校某高一学生为了获得华师一附中荣誉毕业证书，在“体音美2+1+1项目”中学习游泳。
他每次游泳测试达标的概率都为60%，现采用随机模拟的方法估计该同学三次测试恰有两次 达标的概率：先由计算器产生0到9之间的整数随机数，指定1，2，3，4表示未达标，5，6， 7，8，9，0表示达标；再以每三个随机数为一组，代表三次测试的结果，经随机模拟产生 了如下20组随机数：917 966 891 925 271 932 872 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 507 989 据此估计，该同学三次测试恰有两次达标的概率为A ．0.50B ．0.40C ．0.43D ．0.484．如图给出的是计算20161614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，则 判断框内应填入的条件是A ．1007≤iB ．1008≤iC ．1008>iD ．1007>i5．学校在高二年级开设选修课程，其中数学开设了三个不同的班， 选课结束后，有四名选修英语的同学要求改修数学，但数学选修 班每班至多可接收两名同学，那么安排好这四名同学的方案有 A ．72种 B ．54种 C ．36种 D ．18种 6．10101010310321021109090)1(9090901C C C C C k k k ++-++-+- 除以88的 余数是A ．1-B ．1C ．87-D ．877. 设函数2()2f x x x m =-+，m ∈R ．若在区间[]2,4-上随机取一个数x ，()0f x <的概率为23，则m 的值为 A ．2B ．2-C ．3D ．3-8．下面茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为A ．107 B ．103 C ．51 D ．549．若83)(x ax +（0>a ）的展开式中当且仅当第6项系数最大，则实数a 的取值范围是A ．245<<aB ．245≤≤aC ．272≤≤aD ．272<<a10．正四面体的四个面上分别写有数字0,1,2,3，把两个这样的四面体抛在桌面上，露在外面的 6个数字为2，0，1，3，0，3的概率为A ．91 B ．641 C ．81D ．16111．袋中有白球和红球共6个，若从这只袋中任取3个球，则取出的3个球全为同色球的概率的 最小值为A ．31B ．519C ．101D ．20112．点A 是椭圆)1(1222>=+a y ax 的上顶点，B 、C 是该椭圆的另外两点，且△ABC 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形，若满足条件的△ABC 只有一个，则椭圆的离心率e 的范围是A ．133<≤e B ．330≤<e C ．360≤<e D ．136<≤e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．=)2(1101011 )5(．14．某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，统计了某4天的用电量与当天气温，数由表中数据可得线性回归方程a bx y+=ˆ中的2-=b ，预测当气温为5℃时，该单位用电 量的度数约为 度．15．华师一“长飞班”由m 位同学组成，学校专门安排n 位老师作为指导老师，在该班级的一次 活动中，每两位同学之间相互向对方提一个问题，每位同学又向每位指导老师各提出一个问 题，并且每位指导老师也向全班提出一个问题，以上所有问题互不相同，这样共提出了51 个问题，则=+n m ．16．设椭圆11216:221=+y x C 与抛物线x y C 8:22=的一个交点为P (x 0, y 0)，定义⎪⎩⎪⎨⎧>-<<=)(1623)0(22)(020x x x x x x x f ，若直线a y =与)(x f y =的图象交于A 、B 两点，且已知定点N (2, 0)，则△ABN 的周长的范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，其中第17题10分，18至22题每题12分。
湖北省华中师范大学第一附属中学2016-2017学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
华中师大附中2016—2017学年度上学期高二期末检测数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.设{}{},x Z A B ∈==奇数偶数，若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则其否定为A. ,2x A x B ∃∈∉B. ,2x A x B ∀∉∉C. ,2x A x B ∃∉∈D. ,2x A x B ∃∈∉2.在华中师大一附中首届数学节的演讲比赛中，七位评委为某参赛教师打出的分数的茎叶图如图所示，去掉最高分和最低分后，这位老师得分的方差为A. 1.14B. 1.6C. 2.56D. 33.对于给定的样本点所建立的模型A 和模型B ，它们的残差平方和分别是212,,a a R 的值分别为12,b b ，下列说法正确的是A. 若12a a <，则12b b <，A 的拟合效果更好B.若12a a <，则12b b <，B 的拟合效果更好C. 若12a a <，则12b b >，A 的拟合效果更好D.若12a a <，则12b b >，B 的拟合效果更好4.圆229x y +=，以()2,1M 为中点的弦所在的直线方程为A. 240x y +-=B. 490x y +-=C. 230x y --=D. 250x y +-=5.如图，程序运行后输出的结果是 A. 16 B. 32 C. 64 D. 1286.如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，过点A 作平面1A BD 的垂线，垂足为点H ，给出以下命题：①H 是1A BD ∆的垂心;②AH 垂直于平面11CB D ；③AH 的延长线过点1C ；④直线AH 和1BB 所成角的大小为45 ，其中正确的命题个数为A. 1B. 2C. 3D. 47.甲乙丙三人之间相互传球，球从一个人手中随机传到另外一个人手中，若开始时球在甲手中，则经过三次传球后，球传回甲手中的概率为 A. 14 B. 13 C. 38 D.128.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 2π+4π+23π+ D. 43π+9.如果程序框图中输入2,0.5x h =-=，那么输出的各个数的和等于A. 3B. 3.5C. 4D. 4.510.若[]0,5A ∈，则方程22320x ax a ++-=有两个负根的概率为 A. 14 B. 34 C. 13 D. 2311.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为A. 1B.12.已知ABC ∆的边长为,,a b c ，定义它的等腰判别式为{}{}max ,,min ,,D a b b c c a a b b c c a =---+---，则“0D =”是ABC ∆为等腰三角形的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.李明和李华同时到公交站等1路车和2路车回家，若李明的1路车8分钟一班，李华的2路车10分钟一班，则李明先李华上车的概率为 .14.在把()21111化为十进制数的程序框图（见第2页），判断框内应填入的内容为 .15.设()1,0,A B -是圆()22:116F x y -+=上的动点，AB 垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程是 .16.给出以下命题：①若方程220x x m ++=有实根，则2m ≤；②若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线斜率为2ABC ∆中，一定sin cos A B >成立；④秦九韶算法的特点在于把求一个n 次多项式的值转化为求n 个一次多项式的值；⑤随机模拟方法的奠基人是蒙特卡罗.其中正确的命题序号为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分10分）某城市100户居民的月平均用水量（单位：吨），按[)[)[)[)[)[)[)[)0.5,1,1,1.5,1.5,2,2,2.5,2.5,3,3,3.5,3.5,4,4,4.5分组的频率分布直方图如图.（1）求月平均用水量的众数和中位数；（2）在月平均用水量为[)[)[)1.5,2,2,2.5,2.5,3的三组用户中，用分层抽样的方法抽取12户居民参加用水价格听证会，则月平均用水量在[)2,2.5的用户中应抽取多少户？18.（本题满分10分）同时投掷两个骰子，记向上的点数分别为,a b ，设函数()()2 1.f x a b x bx =-++（1）求()f x 为偶函数的概率；（2）求()f x 在1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增的概率.19.（本题满分12分）设()()1,0,2,1,A B C 是抛物线24y x =上的动点.（1）求ABC ∆周长的最小值；（2）若C 位于直线AB 左上方，求ABC ∆面积的最大值.20.（本题满分12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，2,,AB M N =分别是1,CC AB 的中点.（1）求证：//CN 平面1AMB ；（2）若二面角1A MB C --的大小为45 ，求三棱柱111ABC A B C -的高.21.（本题满分12分）设命题()()()11:,1212n n p n N a n +*-∀∈-⋅+<+，命题:q 当()()20,,sin cos 2x x a x a a π⎛⎫∃∈--= ⎪⎝⎭. （1）当1a =-时，分别判断命题p 和q 的真假；（2）如果p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数a 的取值范围.22.（本题满分12分）已知圆222:O x y r +=的任意一条切线l 与椭圆22:163x y M +=都有两个不同的交点A,B.（1）求圆O 半径r 的取值范围；（2）是否存在圆O ，满足OA OB ⊥恒成立？若存在，求出圆O 的方程及OA OB ⋅ 的最大值；若不存在，说明理由.。
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高一数学上学期期末模拟试题带答案
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高一数学上学期期末模拟试题带答案一、选择题1．已知全集{0,1,2,3}U =，{1,3}A =，则集合UA =（ ）A ．{}0B ．{}1,2C ．{}0,2D ．{}0,1,22．函数()f x ）A ．[20]-，B ．(20)-，C ．(]20-，D ．()2-+∞，3．若sin cos 0αα⋅>，则角α的终边在（ ）A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限4．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()2,a -，若120α︒=，则a 的值为（ ）A ．-B ．±C ．D 5．函数2()ln 8f x x x =+-的零点所在区间是（ ）A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)6．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数1()0x y D x x ⎧==⎨⎩为有理数为无理数，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题： ①()()0D D x =； ②对任意x ∈R ，恒有()()D x D x =-成立； ③任取一个不为零的有理数T ，()()D x T D x +=对任意实数x 均成立；④存在三个点()()11,A x D x 、()()22,B x D x 、()()33,C x D x ，使得ABC 为等边三角形；其中真命题的序号为（ ） A ．①③④B ．②④C ．②③④D ．①②③7．已知函数()(3lg f x x x =+，若当0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()2sin 4sin 0f t f t θθ+->恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭8．对于函数()y f x =，若存在0x ，使()()00f x f x =--，则称点()()00,x f x 与点()()00,x f x --是函数()f x 的一对“隐对称点”．若函数()22,02,0x x x f x mx x ⎧+<=⎨+≥⎩的图象存在“隐对称点”，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．)2⎡-⎣ B ．(,2-∞-C ．(,2-∞+D ．(0,2+二、填空题9．狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷函数()1,0,x Q f x x Q ∈⎧=⎨∉⎩（Q 是有理数集）的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，从研究“算”到研究更抽象的“概念、性质、结构”．关于()f x 的性质，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 是周期函数C ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=D ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x ⋅= 10．下列说法正确的有（ ） A ．不等式21131x x ->+的解集是1(2,)3-- B ．“1,1a b >>”是“1ab >”成立的充分条件 C ．命题2:,0p x R x ∀∈>，，则2:,0⌝∃∈<p x R x D ．“5a <”是“3a <”的必要条件 11．下列说法中，正确的有（ ） A ．若0a b <<，则2ab b > B ．若0a b >>，则b aa b> C ．若对(0,)x ∀∈+∞，1x m x+≥恒成立，则实数m 的最大值为2 D ．若0a >，0b >， 1a b +=，则11a b+的最小值为4 12．若函数()f x 同时满足：①对于定义域内的x ∀，都有()()0f x f x +-=；②对于定义域内的1x ∀，2x ，当12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x -<-，则称函数()f x 为“颜值函数”.下列函数中，是“颜值函数”的有（ ） A ．()sin f x x =B ．()2f x x=C ．()224,04,0x x x f x x x x ⎧-≤=⎨-->⎩D ．()3f x x =-三、多选题13．设(){1,2,3}n X n n N *=∈，对n X 的任意非空子集A ，定义(A)f 为A 中的最大元素，当A 取遍n X 的所有非空子集时，对应的(A)f 的和为n S ，则5S =_________． 14．已知1b a >>，若3log log 2a b b a -=，b a a b =，则a b -=____________.15．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅（1470—1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为______cm 2.16．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙．研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v （单位：m/s ）与其耗氧量Q 之间的关系为2log 10Qv a =+（其中a 是实数）．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为20个单位，若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，其耗氧量至少需要______个单位．四、解答题17．已知集合{}{}|321,|53A x a x a B x x =-≤≤+=-≤≤，全集U =R . （1）当1a =时，求()U A B ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围.18．已知函数()2sin(2)6f x x π=+，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）求函数()y f x =的最大值以及取最大值时对应的x 的值． 19．已知函数()4xf x =，12xg x.（1）求不等式()()222f x g -<的解集；（2）若()()12f x g x =，且12x x ≠，求211x x +的最小值； 20．对于等式b a c =（0a >，1a ≠），如果将a 视为自变量x ，b 视为常数，c 为关于a （即x ）的函数，记为y ，那么b y x =是幂函数；如果将a 视为常数，b 视为自变量x ，c 为关于b （即x ）的函数，记为y ，那么x y a =是指数函数；如果将a 视为常数，c 视为自变量x ，b 为关于c （即x ）的函数，记为y ，那么log a y x =是对数函数.事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型.如果c 为常数e （e 为自然对数的底），将a 视为自变量x （0x >，1x ≠），则b 为x 的函数，记为y ，那么y x e =，记将y 表示成x 的函数为()f x .（1）求函数()f x 的解析式，并作出其图象；（2）若0m n >>且均不等于1，且满足()()f m f n =，求证：243m n +≥. 21．已知函数()212sin sin 2cos 32f x x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）当,64x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，函数()()()221216g x f x mf x m =-+-有四个零点，求实数m 的取值范围.22．已知函数,01()1sin ,12a bx x xf x x x a π⎧+<<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩(0a >，0b >).（1）若1b =，且()f x 是减函数，求a 的取值范围；（2）若1a =，关于x 的方程3|()2|(1)2f x b x -=--有三个互不相等的实根，求b 的取值范围.【参考答案】一、选择题 1．C 【分析】 根据补集定义求出UA .【详解】因为{0,1,2,3}U =，{1,3}A = 根据补集定义可得{}U0,2A =，故选：C. 【点睛】集合基本运算的方法技巧：（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn 图运算；（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验. 2．C 【分析】根据题意求出使对数和根式有意义的x 的范围. 【详解】由题意可得：21log (2)020x x -+≥⎧⎨+>⎩ 即022x <+≤， 解得：20x -<≤，所以原函数的定义域为(]20-，， 故选：C. 3．B 【分析】由sin cos 0αα⋅>可得sin α>0,cos α>0⎧⎨⎩ 或sin α<0,cos α<0⎧⎨⎩由三角函数在各个象限的符号可求角α的终边所在象限. 【详解】由sin cos 0αα⋅>可得sin α>0,cos α>0⎧⎨⎩ 或sin α<0,cos α<0⎧⎨⎩当sin α>0cos α>0⎧⎨⎩时，角α的终边位于第一象限，当sin α<0cos α<0⎧⎨⎩时，角α的终边位于第三象限. 故选：B. 【点睛】本题考查角函数在各个象限的符号，属基础题. 4．C 【分析】根据终边经过点()2,a -，且120α︒=，利用三角函数的定义求解. 【详解】因为终边经过点()2,a -，且120α︒=，所以tan 1202a︒==-解得a = 故选：C 5．B 【分析】先判断()f x 的单调性，然后根据零点存在性定理判断出正确答案. 【详解】()f x 的定义域为()0,∞+，且为定义域上的增函数，()()()170,2ln 240,3ln310f f f =-<=-<=+>， ()()230f f ⋅<，故零点所在区间是()2,3.故选：B 6．C 【分析】命题①：根据狄利克雷函数的定义分别验证x 为无理数和x 为有理数时()()D D x 的值； 命题②和命题③：分x 为无理数和x 为有理数两种情况进行验证； 命题④：结合狄利克雷函数的定义找特殊点进行验证.【详解】当x 为无理数时，()0D x =，所以()()()01D D x D ==； 当x 为有理数时，()1D x =，所以()()()11D D x D ==， 所以对任意x ∈R ，恒有()()1D D x =，①错误； 当x 为无理数时，x -也为无理数，所以()()0D x D x =-=；当x 为有理数时，x -也为有理数，所以()()1D x D x =-=，②正确；对任意实数x ，任取一个不为零的有理数T ，若x 为无理数时，则x T +也为无理数， 所以()()0D x D x T =+=；当x 为有理数时，x T +也为有理数，所以()()1D x D x T =+=， 所以任取一个不为零的有理数T ，()()D x T D x +=对任意实数x 均成立，③正确；取1230,x x x ===()()()1310,1,0D x D x D x ===，此时(),0,1,A B C ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，三点恰好构成等边三角形，④正确. 故选：C. 7．D 【分析】先判断()f x 是奇函数且在R 上为增函数，所以由()()2sin 4sin 0f t f t θθ+->可得2sin sin 40t t θθ-+>，由当0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，得sin [0,1]θ∈，构造函数2()4g x tx x t =-+，[0,1]x ∈，然后分1012t <<，102t <和112t≥三种情况求解即可 【详解】解：()f x 的定义域为R ，因为33()()lg(lg(lg10f x f x x x x x +-=+-+-==， 所以()f x 为奇函数，因为函数3,lg(y x y x ==在[0,)+∞上均为增函数， 所以()f x 在[0,)+∞上为增函数，所以()f x 在R 上为增函数，由()()2sin 4sin 0f t f t θθ+->得()()2sin 4sin f t f t θθ>--， 所以()()2sin 4sin f t f t θθ>-+，所以2sin 4sin t t θθ>-+，即2sin sin 40t t θθ-+>， 当0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin [0,1]θ∈，令2()4g x tx x t =-+，[0,1]x ∈ 当0t =时，()0g x x =-≤，舍去，当0t ≠时，对称轴为12x t=， 当1012t <<时，即12t >，则有11()4024g t t t =->，解得14t >，所以12t >， 当102t <时，即0t <，有(1)140g t t =-+>，得15t >，所以t ∈∅， 当112t ≥时，即102t <≤，有(1)140g t t =-+>，得15t >，所以1152t <≤， 综上，1(,)5t ∈+∞，故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查奇函数性质的应用，考查函数单调性的应用，考查转化思想和分类思想，解题的关键是利用函数在R 上为增函数且为奇函数，将()()2sin 4sin 0f t f t θθ+->恒成立转化为2sin sin 40t t θθ-+>恒成立，然后构造函数，利用二次函数的性质讨论求解即可，属于中档题 8．B 【分析】根据“隐对称点"的定义可知()f x 图象上存在关于原点对称的点，转化为求2()2,0f x x x x =+<关于原点的对称函数与()2,0f x mx x =+≥ 有交点即可.【详解】由“隐对称点"的定义可知, ()22,02,0x x x f x mx x ⎧+<=⎨+≥⎩的图象上存在关 于原点对称的点,设函数g (x )的图象与函数22,0y x x x =+<的图象关 于原点对称.令0x >，则220,()()2()2,x f x x x x x -<-=-+-=- 所以2()2g x x x =-+，故原题意等价于方程222(0)mx x x x +=-+>有实根, 故22m x x=--+，而222()222x x x x --+=-++≤-=-当且仅当x ,取得等号,所以2m ≤-故实数m 的取值范围是(,2-∞-, 故选：B 【点睛】关键点点睛：求出函数在0x <时关于原点对称的函数解析式2()2g x x x =-+，转化为2()2g x x x =-+与()2,0f x mx x =+≥相交是关键.二、填空题9．ABC 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；验证()()1f x f x +=，可判断B 选项的正误；分1x Q ∈、1x Q ∉两种情况讨论，结合函数()f x 的定义可判断C 选项的正误；取20x =，1x Q ∉可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，任取x Q ∈，则x Q -∈，()()1f x f x ==-； 任取x Q ∉，则x Q -∉，()()0f x f x ==-.所以，对任意的x ∈R ，()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数，A 选项正确； 对于B 选项，任取x Q ∈，则1x Q +∈，则()()11f x f x +==； 任取x Q ∉，则1x Q +∉，则()()10f x f x +==.所以，对任意的x ∈R ，()()1f x f x +=，即函数()f x 为周期函数，B 选项正确； 对于C 选项，对任意1x Q ∈，2x ∈Q ，则12x Q x +∈，()()1211f x x f x +==； 对任意的1x Q ∉，2x ∈Q ，则12x x Q +∉，()()1210f x x f x +==. 综上，对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=，C 选项正确； 对于D 选项，取20x =，若1x Q ∉，则()()()12101f x x f f x ⋅==≠，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于根据已知函数的定义依次讨论各选项，分自变量为无理数和有理数两种情况讨论，对于D 选项，可取1x Q ∉，20x =验证. 10．ABD 【分析】解分式不等式可知A 正确；由充分条件和必要条件的定义，可得B ，D 正确；含有全称量词命题得否定，2:,0p x R x ⌝∃∈≤，故C 错误. 【详解】 由212103131--->⇒>++x x x x ，(2)(31)0x x ++<，123x -<<-，A 正确； 1,1a b >>时一定有1ab >，但1ab >时不一定有1,1a b >>成立,因此“1,1a b >>”是“1ab >”成立的充分条件，B 正确；命题2:,0p x R x ∀∈>，则2:,0p x R x ⌝∃∈≤，C 错误；5a <不能推出3a <，但3a <时一定有5a <成立，所以“5a <”是“3a <”的必要条件，D 正确． 故选：ABD ． 【点睛】本题考查了分式不等式的解法、充分条件和必要条件的定义、含有量词的命题的否定形式等基本数学知识，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于一般题目. 11．ACD 【分析】利用不等式的性质可判断选项A 、B 的正误；求出1y x x=+的最小值可得实数m 的范围，可判断选项C ；利用基本不等式求最值可判断选项D ，即可得正确选项. 【详解】对于选项A ：若0a b <<，则2ab b >，故选项A 正确； 对于选项B ：若0a b >>，则1b aa b<<，故选项B 不正确； 对于选项C ：若对(0,)x ∀∈+∞，1x m x +≥恒成立，则min 1m x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，因为0x >，所以12y x x =+≥当且仅当1x =时1y x x =+的最小值为2，所以2m ≤，所以实数m 的最大值为2，故选项C 正确； 对于选项D ：若0a >，0b >，1a b +=，则()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当1b aa b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩即12a b ==时等号成立，所以11a b +的最小值为4，故选项D 正确，故选：ACD 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 12．CD 【分析】由条件得出“颜值函数”在定义域内为奇函数、减函数，再对选项进行逐一判断即可. 【详解】由题意知，函数()f x 是定义域上单调递减的奇函数， A 选项，()sin f x x =在是定义域上不是单调递减，故错误；B 选项，()2f x x =不是奇函数，故错误；C 选项. 作出函数()224,04,0x x x f x x x x ⎧-≤=⎨-->⎩的图象，如下根据图象，函数()f x 在定义域内为奇函数且为减函数，所以是“颜值函数”.则C 正确. D 选项, ()2f x x =-在定义域内为奇函数且为减函数, 所以是“颜值函数”，则D 正确. 故选: CD.三、多选题 13．129【分析】由题意分析得：n X 的任意非空子集A 共有21n -个，其中最大值为n 的有12n -，最大值为1n -的有22n -个，…，最大值为1的有021=个，利用错位相减法求和即可.【详解】 由(){1,2,3}n X n n N *=∈，n X 的任意非空子集A 共有21n -个，其中最大值为n 的有12n -，最大值为1n -的有22n -个，…，最大值为1的有021=个，故()01212122212n n n S n n --=⨯+⨯++⨯-+⨯， ∴()12122122212n n n S n n -=⨯+⨯++⨯-+⨯，两式相减得12112222n n n S n --=++++-⨯，所以12221212nn n n n S n n --=-⨯=--⨯-， 故()121nn S n =-⋅+， 所以()555121129S =-⨯+=.故答案为：129. 【点睛】关键点睛：本题是集合和数列结合的题.分析出“n X 的任意非空子集A 共有21n -个，其中最大值为n 的有12n -，最大值为1n -的有22n -个，…，最大值为1的有021=个.”是解题的关键.14．2-【分析】解方程求得log a b ，再利用指数运算求解 【详解】313log log log 2log 2a b a a b a b b -=∴-=，因为1b a >>，故log a b =22,a b a ∴==，则22bb a a a b b b b a ⇒=∴==，解得2,4a b == ，则2a b -=-故答案为：2- 【点睛】本题考查对数与指数的运算，考查方程思想，意在考查计算能力，是基础题15．704【分析】设AOB θ∠=，OA OB r ==，由题意可得：2464(16)r r θθ=⎧⎨=+⎩，解得r ，进而根据扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，设AOB θ∠=，OA OB r ==，由题意可得：2464(16)r r θθ=⎧⎨=+⎩，解得：485r =， 所以，21481486416247042525OCD OAB S S S cm ⎛⎫=-=⨯⨯+-⨯⨯=⎪⎝⎭．故答案为：704．【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查扇形的面积，考查数形结合思想的应用，属于中档题． 16．80 【分析】由初始值求得a ，然后再由2v ≥求得Q 的最小值． 【详解】 由题意220log 010a +=，1a =-，即21log 10Q v =-+， 由21log 210Q-+≥，解得80Q ≥． 故答案为：80 【点睛】本题考查函数的应用，已知函数模型，只要根据已知数据求出参数值，再根据要求列式求解即可．四、解答题17．（1）{}|52x x -≤<-；（2）4a 或21a -≤≤.【分析】（1）求出集合A 从而求UA ，再与集合B 取交集即可；（2）分A φ=和A φ≠两种情况讨论根据A B ⊆列出不等式（组）求a 的取值范围.【详解】（1）依题意，当1a =时，{}|23A x x =-≤≤，则|2UA x x =<-｛或3}x >，又{}|53B x x =-≤≤， 则()|2U A B x x =<-｛或{}{}|53|3}52x x x x x -≤≤->=≤<-.（2）若A B ⊆，则有{}{}|321|53x a x a x x -≤≤+⊆-≤≤，于是有： 当A φ=时，A B ⊆显然成立，此时只需321a a ->+，即4a ；当A φ≠时，若A B ⊆，则35221313214a a a a a a a -≥-≥-⎧⎧⎪⎪+≤⇒≤⎨⎨⎪⎪-≤+≥-⎩⎩，所以：21a -≤≤ 综上所述，a 的取值范围为：4a 或21a -≤≤.【点睛】易错点点睛：在利用集合的包含关系求参数时注意以下两点：（1）已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解；（2）在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式（或方程）时，要对参数进行讨论. 18．(1)π，[,]()36k k k Z ππππ-+∈；(2)max ()2f x =，此时,6=+∈x k k Z ππ.【分析】(1)利用正弦型函数周期公式求得，再利用正弦函数的性质即可求出增区间； (2)利用正弦函数的性质，分析计算作答. 【详解】(1)因函数()2sin(2)6f x x π=+，x ∈R ，则()f x 最小正周期22T ππ==， 由222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得：,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调增区间是[,]()36k k k Z ππππ-+∈；(2)依题意，当sin(2)16x π+=时，max ()2f x =，此时，22,62x k k Z πππ+=+∈，即,6=+∈x k k Z ππ，所以max ()2f x =，此时,6=+∈x k k Z ππ.19．（1）{}|11x x -<<；（2） 【分析】（1）先根据已知条件表示出所解不等式，化为同底的，再利用指数函数的单调性即可求解 （2）由()()12f x g x =得出12,x x 之间的关系，且10x ≠，将211x x +用同一个变量表示，再利用函数的单调性求最值即可求解. 【详解】（1）由题意可得：22211442x --⎛⎫<= ⎪⎝⎭， 因为4x y =在R 上单调递增，所以221x -<-，即21x <， 解得：11x -<<，所以原不等式的解集为：{}|11x x -<<，（2）若()()12f x g x =，则21142x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭即12222x x -=，所以122x x =-，所以221212x x x x +=+， 令20x t =>，则()2f t t t=+，任取()12,0,t t ∈+∞且12t t <，则()()()()121212121212121222222t t t t f t f t t t t t t t t t t t --⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当1t，2t 120t t -<，1220t t -<，此时()()120f t f t ->，()()12>f t f t ()2f t t t=+在(上单调递减，当1t，2t >120t t -<，1220t t ->，此时()()120f t f t -<，()()12<f t f t ()2f t t t=+在)+∞上单调递增，所以t 时，()min f t == 所以211x x +的最小值为 20．（1）1()ln f x x=，作图见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）对y x e =两边取对数，并化简即得到1ln y x =，即得到函数1()ln f x x=及图象； （2）结合图象化简关系得到ln ln n m -=，即1mn =，22144m n n n+=+，再构造函数21()4(01)g x x x x=+<<，结合单调性求其最小值为3，即得证，或者拼凑22211144422m n n n n n n+=+=++，利用三项的基本不等式证明结果即可. 【详解】（1）解：由(0,1)y x e x x =>≠两侧取以e 为底的对数，得ln ln y x e =，即1ln y x=， 所以1()ln f x x=，其图象如图所示.（2）证明：因为|()||()|f m f n =，且0m n >>， 所以(0,1),(1,)n m ∈∈+∞，且ln ln n m -=， 即ln ln 0,ln()0m n mn +==，故1mn =，则22144m n n n+=+. 法一：记21()4(01)g x x x x=+<<.任取12,x x ，且1201x x ，因为()()()2222121212121211114444g x g x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()1212211212211212144x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=+-+=-⋅， 因为1201x x ，所以21120,0x x x x ->>. 当12102x x ≤<<时，()121241x x x x +<，所以()()120g x g x ->，即()()12g x g x >； 当12112x x ≤<<时，()121241x x x x +>，所以()()120g x g x -<，即()()12g x g x <. 所以21()4(01)g x x x x =+<<在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上为减函数，在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为增函数，所以当12x =时，min ()3g x =，所以243m n +≥. 法二：22223111114443432222m n n n n n n n n n+=+=++⋅⋅=≥（当且仅当2142n n =即12n =时取“=”），所以243m n +≥.21．（1）5[,]1212k k ππππ-+，k Z ∈（2m << 【分析】（1）化简()f x 的解析式，根据正弦函数的增区间可得结果；（2）转化为221()216h t t mt m =-+-在内有两个零点，根据二次函数列式可得结果. 【详解】（1）()212sin sin 2cos 32f x x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭12sin sin cos cos sin 1cos 2332x x x x ππ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭21cos sin 1cos 22x x x x =-++-212cos cos 22x x x =++-1cos 212cos 222x x x +=++-32cos 22x x =+)3x π=+，由222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈， 所以函数()f x 的单调增区间为5[,]1212k k ππππ-+，k Z ∈.（2）当,64x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，52(0,)36x ππ+∈，())3f x x π+∈，因为函数()()()221216g x f x mf x m =-+-有四个零点，令()t f x =，则(t ∈且221()216h t t mt m =-+-在内有两个零点，所以2214401600m m m h h ⎧⎛⎫∆=--> ⎪⎪⎝⎭<⎨⎪>⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，即22316043160m m m <<⎪⎪+->⎨⎪⎪-+->⎪⎩，解得m <<⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩m <<， 所以实数mm <<. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 22．（1）4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）150,,22⎛⎤⎛⎫⋃+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭.【分析】(1)先根据()f x 是减函数,需要ay x x =+在0<x<1上是减函数和1sin x y aπ=+在[]1,2上是减函数,且11sina aπ+>+,解方程即可;(2)分别作出12,01,()()21sin ,12bx x g x f x x x x π⎧+-<<⎪=-=⎨⎪-≤≤⎩和3()(1)(02)2h x b x x =--<≤的图像,根据交点个数判断. 【详解】解：（1）,01()1sin ,12a x x xf x x x a π⎧+<<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩，当0a >时，函数ay x x=+在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增， 所以1a ≥，所以1a ≥. 函数1sinx y aπ=+的周期22T a =≥，且3,22a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减， 所以12322a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解得423a ≤≤.当423a ≤≤时，满足11sina aπ+>+，所以a 的取值范围是4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）设12,01,()()21sin ,12bx x g x f x x x x π⎧+-<<⎪=-=⎨⎪-≤≤⎩， 3()(1)(02)2h x b x x =--<≤， 由题意，()g x 与()h x 的图象有三个不同的交点.①当1b >时，12,01()1sin ,12bx x g x x x x π⎧+-<<⎪=⎨⎪-≤≤⎩， 则()g x 在0,b b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和3,22⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，在,1b b ⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭和31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()h x 在(0,2]上单调递减，如图1所示.当b x ⎛∈ ⎝⎭时，因为113(1)044h g b b b ⎛⎫⎛⎫-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，25342h g⎫-=+>⎪⎭⎝⎭⎝⎭，所以()g x与()h x的图象在⎛⎝⎭上存在一个交点；当31,2x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，因为1(1)(1)02h g-=>，331222bh g+⎛⎫⎛⎫-=-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()g x与()h x的图象在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在一个交点；当3,22x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，33()1222bh x h⎛⎫<=-<⎪⎝⎭，()(2)1g x g≥=，所以()g x与()h x的图象在3,22⎛⎤⎥⎝⎦上不存在交点.因此，要满足题意，()g x与()h x的图象在⎫⎪⎪⎣⎭上必存在一个交点，所以13212b+->，即52b>，所以，当52b>时，()g x与()h x的图象有三个不同的交点.②当1b=时，()g x与()h x的图象有两个不同的交点，不合题意，舍去.③当01b<<时，设关于x的方程120bxx+-=在(0,1)内的根为m，1,12m⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则12,0()12,11sin,12bx x mxg xbx m xxx xπ⎧+-<≤⎪⎪=⎨--+<<⎪⎪-≤≤⎩，所以()g x在(0,]m和3,22⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，在(,1)m和31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()h x在(0,2]上单调递减，如图2所示.当(0,]x m ∈时，因为3()()(1)02h m g m b m -=-->， 1110442b h g -⎛⎫⎛⎫-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()g x 与()h x 的图象在(0,]m 上存在一个交点，当(,1)x m ∈时，因为3()(1)2h x h >=， 13()2112g x b b <--+=-<， 所以()g x 与()h x 的图象在(,1)m 上不存在交点； 当31,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，因为1(1)(1)02h g -=>， 3310222b h g +⎛⎫⎛⎫-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()g x 与()h x 的图象在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在一个交点. 因此，要满足题意，()g x 与()h x 的图象在3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦上必存在一个交点， 所以(2)(2)h g ≥，即102b <≤. 所以，当102b <≤时，()g x 与()h x 的图象有三个不同的交点， 综上，b 的取值范围是150,,22⎛⎤⎛⎫⋃+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭. 【点睛】已知函数零点个数(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．。
2016-2017学年湖北省武汉市高一(上)期末数学试卷
第1页（共18页）2016-2017学年湖北省武汉市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的■—C.1+IT T的坐标是（ ）A. (7,- 6)B. (7, 6)C. (6, 7)D. (- 7, 6)5. （5分）下列各命题中不正确的是（ ）A. 函数 f （X ） =a +1 （a >0, a ^ 1）的图象过定点（-1, 1）B. 函数：，_「在［0, +x ）上是增函数C. 函数 f （X ） =log a x （a >0, a ^ 1）在（0, +x ）上是增函数D. 函数f （X ） =X ?+4X +2在（0, +x ）上是增函数6. （5分）若将函数y=2sin2x 的图象向左平移=个单位长度，则平移后的图象 的对称轴为( )A . x= -——(k € Z )B . x= +——(k € Z )C . X = 2 6 2 6 2D. x= ；* . (k € Z)7. （5分）我们生活在不同的场所中对声音的音量会有不同的要求.单位是分贝（dB ）,对于一个强度为I 的声波，其音量的大小n 可由如下的公式1. (5 分)全集 U={ - 1, 0, 1,2, 3, 4, 5, 6 } , A={3, 4, 那么集合{ 2,- 1, 0}是( —B. 3 5 5 }，B={1, 3, 6 }, A . C. ?u A G ?u B2. (5分)已知tan60 =m ,则 )D. 5cos120 的值是（ ）A . 3. （5分）下列函数是奇函数的是（A . f (x ) =X 2+2| x| B. f (x ) =x?sinx C. f ( X ) =2X +2- X D ・4. （5分）在平行四边形 ABCD 中，A (5，- 1)，B (- 1, 7)，C (1, 2)，则 D音量大小的计算：•-（其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度）.设n=70dB10第3页（共18页） 的声音强度为I i , n =60dB 的声音强度为12,则I i 是I 2的（） 8 （5分）△ ABC 中，D 在AC 上，且厂一 -,P 是BD 上的点，叮.「：, 则m 的值是（） 10. （5分）已知函数f （x ） =x ?sin （X - n ）,则其在区间［-n, n 上的大致图象11. （5分）定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x ） +f （x+1） =0,且在［-3,- 2］上f （x ） =2x+5. A 、B 是三边不等的锐角三角形的两内角，则下列不等式正确 的是（ ）A . f (sinA )>f (sinB )B . f (cosA )>f (cosE ) C. f (sinA ) >f (cosE ) D. f (sinA )v f (cosB )…f x 2 CO^zC a)12. (5分)已知函数f(£二壬、、 ，若存在实数b ，使函数g(x ) =f 2X (x )- b 有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A .B. 10 倍 C •-；倍 D. . 倍 b 9. (5 分）函数f(x)-a p sin( 是（)A . 2B. -2C. - D .号亡）（Qo ）若 ） 仗＜0）,若 T ［T （ 1） ］=1,则a 的值 A B •二 C D . 1C第2页(共18页)A. (0, 2)B. (2, +x)C. (2, 4)D. (4, +^)二•填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. _______________________________________ （5分）函数的定义域是.x-3sin（ CL4-^-）+cos（Cl14. --------------------------------------------- （5 分）已知tan a =,则____ = .3sin（— Ct） -cns （_）15. ____________________________________________________________ （5 分）已知■. -1 . I ，匚.：,则tan a的值为 ______________________________ .J 5 216. （5 分）矩形ABCD中, | AB| =4, | BC| =3屁斗环，耶#厉,若向量BD=z BE+y BF,贝U x+y= ___ .三、解答题：本大题共6个小题，共70分■其中第仃题10分，第18题至第22 题每题12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.z17. （10分）求值：（1）；：疋，；+log318-log36+- —（2） A 是厶ABC 的一个内角，’•：-::- ，求cosA- sinA.818. （12分）（1）已知向量;、」：•.■ ：', n •，-、、，若二j J,试求x与y之间的表达式.（2）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足JI；-ii | ,求证：A、B、C三点共线，并求一的值.|CB|19. （12 分）函数f （x）=Asin（3X?）| ）的部分图象如图所示.（1）求函数f （x）的解析式.第5页（共18页）（2）函数y=f （x）的图象可以由y=sinx的图象变换后得到，请写出一种变换过程的步骤（注明每个步骤后得到新的函数解析式）.。
湖北省华中师范大学第一附属中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题(含解析)
华中师大一附中2021—2021学年度第一学期期中检测高一年级数学试题一、选择题：(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．设全集{1,2,3,4,5,6}U=，集合{2,3,4}A=，{3,4,5}B=，那么()UA B =〔〕．A．{1,2}B．{3,4}C．{1,2,3,4}D．{1,2,5,6}【答案】D【解析】∵{2,3,4}A=，{3,4,5}B=，应选D．2．以下对应不是映射的是〔〕．A． B． C．D．【答案】D【解析】映射的定义，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一确定的一个元素与之对应．D选项中，1在N中有a，b两个元素与之对应．故不是映射．应选D．3．函数1,1()3,1x xf xx x<⎧=⎨-⎩≥++，那么52f f⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦等于〔〕．A．12B．32C．52D．92【答案】B【解析】∵1,1()3,1x xf xx x<⎧=⎨-⎩≥++，应选B．4．函数()25xg x x=+的零点0x所在一个区间是〔〕．A ．(2,1)--B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,2) 【答案】B【解析】∵函数()25x g x x =+单调递增， 且1(1)250g --=-<，(0)10g =>，∴函数()g x 在(1,0)-内存在唯一的零点． 应选B ． 5．函数2lg(2)()||x x f x x x-=-+的定义域为〔 〕．A ．(2,0)-B ．(1,0)-C ．(1,2)-D ．(1,0)(0,2)-【答案】B 【解析】∵2lg(2)()||x x f x x x-=-+∴解得120x x -<<⎧⎨<⎩，∴综上(1,0)x ∈-． 应选B ． 6．函数||x y x x=+的图象是〔 〕． A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】当0x >时，1y x =+．当0x <时，1y x =-+． ∴图像如下图： 应选C ．7．假设关于x 的不等式|3||4|x x a ---<无解，那么实数a 的取值范围是〔 〕．A ．1a -≤B ．1a <-C ．1a -≥D ．1a >- 【答案】A【解析】关于x 的不等式|3||4|x x a ---<无解，而a 需要不超过|3||4|x x ---的最小值．|3|x -表示到数轴上3的距离．|4|x -表示x 到4的距离．∴|3||4|x x ---的最小值为1-． 应选A ．8．2log 3.45a =，4log 3.65b =，3log 0.315c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么〔 〕．A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >> 【答案】A【解析】2log 3.45a =，4log 3.65b =，33log 0.3log 0.3155c -⎛⎫== ⎪⎝⎭．应选A ．9．假设定义在R 上的函数()f x 满足，对任意的1x ，2x ∈R ，都有1212()()()f x x f x f x =++，且当0x >时，()0f x <，那么〔 〕．A ．()f x 是奇函数，且在R 上是增函数B ．()f x 是奇函数，且在R 上是减函数C ．()f x 是奇函数，但在R 上不是单调函数D ．无法确定()f x 的单调性和奇偶性 【答案】B【解析】∵1212()()()f x x f x f x =++，∴令120x x ==，可得(0)0f =，令12x x =-，那么11()()(0)0f x f x f -==+， ∴()f x 为奇函数．令210x x >>，那么210x x ->． ∴()f x 为减函数．10．定义域为R 的函数()f x 满足(3)(1)f x f x -=+，当2x ≥时，()f x 单调递减，且()(0)f a f ≥，那么实数a 的取值范围是〔 〕．A ．[2,)∞+B ．[0,4]C ．(,0)-∞D ．(,0)[4,)-∞∞+【答案】B【解析】由(3)(1)f x f x -=+可知()f x 关于2x =对称，那么(0)(4)f f =． ∵2x ≥时，()f x 单调递减， ∴2x <时，()f x 单调递增． 又()f x 定义域为R ， ∴()(0)f a f ≥可得[0,4]a ∈． 应选B ． 11．函数224()3f x x x =-+，()2g x kx =+，假设对任意的1[1,2]x ∈-，总存在2x ∈，使得12()()g x f x >，那么实数k 的取值范围是〔 〕．A ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．12,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．以上都不对【答案】A 【解析】∵x ∈，∴2[1,3]x ∈，当0k >时，()[2,22]g x k k ∈-++，12k <-+，得1k <．当0k =时，()2g x =．满足题意． 当0k <时，()[22,2]g x k k ∈-++122k <+得12k >-． 应选A ．12．函数()f x 的定义域为D ，假设对于任意的1x ，2D x ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤，那么称函数()f x 在D 上为非减函数．设函数()f x 在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①(0)0f =；②1()32x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③(1)1()f x f x -=-，那么12017f ⎛⎫⎪⎝⎭等于〔 〕． A ．116 B ．132 C ．164 D ．1128 【答案】D【解析】由③得(10)1(0)1f f -=-= ∵由②11113232n n nf f -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭．且6111231458128f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭ 又()f x 在[0,1]上非减函数， 应选D ．二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕13．函数3x y a =+〔0a >且1a ≠〕的图象恒过定点_____________． 【答案】(0,4)【解析】∵3x y a =+，当0x =时，4y =， ∴图像恒过定点(0,4)． 故答案为(0,4)．14．假设2()lg ()1xf x a a x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭R ++是奇函数，那么常数a 的值为___________． 【答案】1 【解析】∵2()lg ()1x f x a a x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭R ++化解得22(43)1a a x a -=-++，∴243010a a a ⎧=⎨-=⎩++，解得11a =，23a =，解得1a =． ∴综上所述1a =． 故答案为1．15．某同学在研究函数()()1||xf x x x =∈R +时，给出下面几个结论： ①等式()()0f x f x -=+对任意的x ∈R 恒成立； ②函数的值域为(1,1)-； ③假设12x x ≠，那么一定12()()f x f x ≠；④函数()()g x f x x =-在R 上有三个零点．其中正确的结论的序号是___________〔写出所有正确结论的序号〕． 【答案】①②③ 【解析】①项，()()01||1||x xf x f x x x --==++++，故①正确． ②项，当0x ≥时，1()111x f x x x ==-++，那么0()1f x <≤， 当0x <时，1()111x f x x x ==---，那么1()0f x -<<． ∴()f x 值域为(1,1)-，故②正确． ③项，当0x ≥时，21()0(1)f x x '=>+． 当0x ≤时，21()0(1)f x x '=>-，故()f x 在R 上严格单调递增．∴假设12x x ≠，那么一定有12()()f x f x ≠，故③正确．④项，当0x ≥时，21()10(1)g x x '=-≤+．当0x ≤时，21()10(1)g x x '=--≤，故()g x 在R 上单调递减． ∴函数()()g x f x x =-在R 上只有一个零点，故④错误．16．设定义域为R的函数2|lg |,0()2,x x f x x x x >⎧=⎨--⎩≤0，假设关于x的函数22()2()1y f x bf x =++有8个不同的零点，那么实数b 的取值范围是____________．【答案】32b -<<【解析】令()t f x =，222y t bt t =++，作出()f x 图像如下图： 如图可知：当01t <<时，()t f x =有四个交点，要使关于x 的函数22()2()1y f x bf x =++有8个不同零点． 那么2221y t bt =++有两个根1t ，2t 且101t <<，201t <<． 令2()221g t t bt =++，由根的分布可得解得32b -<<三、解答题〔本大题共6小题，共70分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．〕17．〔本小题总分值10分〕计算： 【答案】〔1〕3-；〔2〕12- 【解析】〔1〕原式410.54=--⨯+〔2〕原式191031lg5lg2lg log 2=--+18．〔本小题总分值12分〕设函数22()1xf x x =+，函数()52(0)g x ax a a =->+． 〔1〕求函数22()1xf x x =+的值域．〔2〕假设对于任意的1x ∈R ，总存在2[0,1]x ∈，使得21()()g x f x =成立，求实数a 的取值范围．【答案】〔1〕[1,1]-；〔2〕[3,4] 【解析】〔1〕2()(0)1f x x x x=≠+．当0x =时，()0f x =，∴2[0,1]x ∈时，2[1,1]{()}y y g x -∈=，19．〔本小题总分值12分〕函数2()log ()a f x ax x =-． 〔1〕假设12a =，求()f x 的单调区间．〔2〕假设()f x 在区间[2,4]上是增函数，求实数a 的取值范围． 【答案】〔1〕()f x 在(,0)-∞上单调递增，在(2,)∞+上单调递减． 【解析】〔1〕∵12a =， ∵212x x -的对称轴为1x =，∴212x x -在(,0)-∞上单调递减，在(2,)∞+上单调递减． 〔2〕令2()g x ax x =-的对称轴为12x a =． 又∵()f x 在[2,4]上是增函数． 又∵()g x 在[2,4]恒大于0， 又∵()g x 在[2,4]上恒大于0． ∴可得12a ≥〔舍〕， ∴综上，1a >．20．〔本小题总分值12分〕一片森林原面积为a ，方案从某年开场，每年砍伐一些树林，且每年砍伐面积的百分比相等，并方案砍伐到原面积的一半时，所用时间是10年．为保护生态环境，森林面积至少要保存原面积的14．到．〔1〕求每年砍伐面积的百分比．〔2〕到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ 〔3〕为保护生态环境，今后最多复原砍伐所少年？【答案】〔1〕11012--；〔2〕5；〔3〕15 【解析】〔1〕设每年砍伐的百分比为a ， 〔2〕设砍伐了x 年， 〔3〕设共砍伐了x 年， ∴最多还能砍伐15年．21．〔本小题总分值12分〕函数22()x af x x=+，且(1)3f =．〔1〕求函数()f x 在(,0)-∞上的单调区间，并给出证明．〔2〕设关于x 的方程()f x x b =+的两根为1x ，2x ，试问是否存在实数m ，使得不等式2121|m tm x x -≥|++对任意的b ∈及[1,1]t ∈-恒成立？假设存在，求出m 的取值范围；假设不存在，说明理由．【答案】〔1〕见解析；〔2〕2m ≥或2m -≤ 【解析】〔1〕2(1)31af ==+， 令12x x =，解得x =在(,0)-∞上任取1x ，2x 且12x x >， 那么221212122121()()x x f x f x x x -=-++当210x x <<<时，12210x x -<， ()f x在⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，当21x x <<时，12210x x ->∴()f x在,⎛-∞ ⎝⎭上单调递增． 〔2〕()f x x b =+，那么221x x b x=++，整理得210x bx -=+． ∵对于任意的b ∈，[1,1]t ∈-，2121||m tm x x -≥++恒成立，∴213m tm ≥++对于任意的[1,1]t ∈-恒成立． 即220mt m -≥+对于任意的[1,1]t ∈-恒成立． 解得2m ≥或2m -≤．22．〔此题总分值12分〕幂函数231222()(33)p p f x p p x --=-+，满足(2)(4)f f <．〔1〕求函数()f x 的解析式．〔2〕假设函数2()()()g x f x mf x =+，[1,9]x ∈，是否存在实数m 使得()g x 的最小值为0？假设存在，求出m 的值；假设不存在，说明理由．〔3〕假设函数()(3)h x n f x =-+，是否存在实数a ，()b a b <，使函数()h x 在[,]a b 上的值域为[,]a b ？假设存在，求出实数n 的取值范围；假设不存在，说明理由．【答案】〔1〕()f x 〔2〕1m =-；〔3〕9,24n ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦【解析】〔1〕∵()f x 为幂函数， ∴1p =或2p =．当1p =时，1()f x x -=在(0,)∞+上单调递减， 故(2)(4)f f >不符合题意．当2p =时，12()f x x ==(0,)∞+上单调递增， 故(2)(4)f f <，符合题意． 令t①当12m-≤时，1t =时，()g x 有最小值， ②当132m <-<时，2m t =-时，()g x 有最小值．0m =〔舍〕．③当32m-≥时，3t =时，()g x 有最小值，第 11 页 3m =-〔舍〕． ∴综上1m =-． 易知()h x 在定义域上单调递减，即n b h a ⎧⎪⎨⎪⎩，S =t =， 那么23a S =-，23b t =-，。
2021-2022学年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高一上学期期末考试数学试卷含详解
7.“函数 在 上是增函数”是：“实数 ”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
8.已知实数 满足 ，函数 有两个零点 ，则关于函数 的零点 的下列关系式一定正确的是（）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
19.如图， 是半圆的直径， 是半圆上的两点， ，设 ，四边形 的周长为 .
（1）求函数 的解析式；
（2）关于 的方程 在区间 上有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围.
20.函数 .
（1）若 ，求 ；
（2）若函数 的图象在区间 有且仅有一条经过最高点的对称轴，求 的取值范围（不需要证明唯一性）.
9.下列计算结果为有理数的有（）
A. B.
C. D.
ACD
【分析】由对数的运算法则和性质可判断A,C选项；选项B.求出 的值可判断；选项D. ，由正弦的二倍角公式可判断.
【详解】选项A. ,是有理数.
选项B. ,不是有理数.
选项C. ，是有理数.
选项D. 是有理数.
故选：ACD
10.已知角 是锐角，若 是关于 的方程 的两个实数根，则下列关于实数 的判断正确的是（）
四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.已知 ，且 .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
18.已知函数 图象过点 ，且图象上与 点最近的一个最低点坐标为 .
（1）求函数 的解析式；（2）若将函数 的图象向左平移 个单位长度后，再向下平移2个单位长度得到 的图象，写出函数 在区间 上的单调递增区间（不需要写过程）；并求出函数 在区间 上的值域.
湖北省华中师范大学第一附属中学2016-2017学年高一上学期期末考试数学试题 Word版
华中师大一附中2016—2017学年度上学期高一期末检测数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.设集合{}{}2||lg 0M x x x N x x ===≤，则M N = A. []0,1 B. (]0,1 C. [)0,1 D.(],1-∞2.已知函数()21f x x =+，那么()1f a += A.22a a +- B. 21a + C. 222a a ++ D. 221a a ++ 3.454sin cos tan 363πππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A. 4.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象 A.向右平移6π个单位长度 B.向右平移3π个单位长度 C.向左平移3π个单位长度 D. 向左平移6π个单位长度 5.设0.13592,lg ,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A. b c a >> B. a c b >> C. b a c >> D. a b c >>6.函数cos 2sin 2cos 2sin 2x x y x x+=-的最小正周期为 A. 2π B. π C.2π D.4π 7.已知函数()1lg12ax f x x+=-是定义在(),b b -上的奇函数，（,a b R ∈且2a ≠-），则b a 的取值范围是A. (B. (C. (D.(8.若()sin 3πα-=-，且3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 22πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于A. 3-B. 6-C. 639.函数()f x 的零点与()ln 28g x x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.5，则()f x 可以是A. ()36f x x =-B. ()24x -C.21x e --D.5ln 2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 10.定义在R 上的函数()f x 对任意210x x <<都有()()12121f x f x x x -<-，且函数()f x 的图象关于原点对称，若()22f =，则不等式()0f x x ->的解集是A.()()2,00,2-B.()(),22,-∞-+∞C.()(),20,2-∞-D.()()2,02,-+∞11.()()()sin 0,0f x A x A ωωπω=+>>在33,24ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调，则ω的最大值为 A. 12 B.34 C. 1 D.4312.已知函数()()2102x f x x e x =+-<与()()2ln g x x x a =++的图象上存在关于y 轴的对称点，则a 的取值范围是A.⎛-∞ ⎝ B. (-∞ C. ⎛ ⎝ D.⎛ ⎝第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数()f x =的定义域为[]0,2，则函数()()21f xg x x =-的定义域为 .14.计算：lg 4lg9++= .15.已知11,,2sin cos πθπθθ⎛⎫∈+= ⎪⎝⎭，则cos 23πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 . 16.已知集合()()(){}|sin 2cos 2log 1a f x x x ϕϕπϕπϕ=-+-<⎡⎤⎣⎦为奇函数，且的子集个数为4，则a 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分10分）已知幂函数()()()2m m f x x m N +*=∈的图象经过点(. （1）试求m 的值并写出该幂函数的解析式；（2）试求满足()(13f a f +>的实数a 的取值范围.18.（本题满分12分）已知()()()()3sin cos 2sin 2.sin sin 2f ππαπαααπαπα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+-- ⎪⎝⎭（1）化简()f α；（2）若α是第三象限角，且3cos 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()f α的值.19.（本题满分12分）已知函数()12.2x x f x =- （1）若()2f x =，求x 的值；（2）若()()220tf t mf t +≥对于[]1,2t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.20.（本题满分12分）已知函数()()()cos 0,02f x x x πωωωωϕω⎛⎫=+-+-<<> ⎪⎝⎭为偶函数，且函数的()y f x =图象相邻的两条对称轴间的距离为2π. （1）求24f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （2）将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，再将所得的图象上个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()y g x =的单调区间，并求其在5,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值.21.（本题满分12分）现有一圆心角为2π，半径为12cm 的扇形铁皮（如图）.,P Q 是弧AB 上的动点且劣弧 PQ的长为2cm π，过,P Q 分别作与,OA OB 平行或垂直的线，从扇形上裁剪出多边形OHPRQT ，将该多边形面积表示为角α的函数，并求出其最大面积是多少？22.（本题满分12分）函数()(),,.nn f x x bx c n Z b c R =++∈∈ （1）若1n =-，且()111142f f --⎛⎫== ⎪⎝⎭，试求实数,b c 的值；（2）设2n =，若对任意[]12,1,1x x ∈-有()()21224f x f x -≤恒成立，求b 的取值范围；（3）当1n =时，已知20bx cx a +-=，设()g x =，是否存在正数a ，使得对于区间⎡⎢⎣⎦上的任意三个实数,,m n p ，都存在以()()()()()()111,,f g m f g n f g p 为边长的三角形？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.。
2016-2017学年湖北省武汉市华中师大一附中高一(上)期末数学试卷
2016-2017 学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求 .1．（5分）设集合 M={ x| x2=x} ， N={ x| lgx≤ 0} ，则 M ∪ N=（）A．[ 0，1]B．（0，1]C．[ 0， 1） D．（﹣∞， 1]．（分）已知函数2+1，那么 f（ a+1）的值为（）2 5f（ x） =xA．a2+a+2B．a2+1 C． a2+2a+2 D． a2+2a+13．（5分）的值是（）A．B．C．D．4．（ 5 分）要得到函数 y=sinx 的图象，只需将函数 y=cos（ x﹣）的图象（）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向左平移个单位．（分）设0.1， b=lg ，c=log3，则 a，b，c 的大小关系是（）5 5a=2A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c6．（5 分）函数 y=的最小正周期为（）A．2π B．πC．D．7．（ 5 分）已知函数是定义在（﹣ b，b）上的奇函数，（ a，b∈R 且 a≠﹣ 2），则 a b的取值范围是（）A．B．C．D．8．（ 5 分）若 sin（π﹣α）=﹣，且 a∈（π，），则 sin（ +）=（）A．﹣B．﹣C．D．9．（5 分）若函数 f（x）的零点与 g（ x） =lnx+2x﹣8 的零点之差的绝对值不超过0.5，则 f（ x）可以是（）A ．B ． f （x ）=（x ﹣4）2C ． f （x ）=e x ﹣2﹣1D ．f （ x ）=3x ﹣610．（5 分）定义在 R 上的函数 f （x ）对任意 0＜x 2 ＜x 1 都有 ＜ 1．且函数 y=f （x ）的图象关于原点对称，若f （2）=2，则不等式 f （x ）﹣ x ＞0 的解集是（）A ．（﹣ 2，0）∪（ 0，2）B ．（﹣∞，﹣ 2）∪（ 2，+∞）C ．（﹣∞，﹣ 2）∪（ 0， 2） D ．（﹣ 2，0）∪（ 2，+∞）11．（ 5 分）f （ x ） =Asin （ωx +ωπ）（A ＞ 0，ω＞ 0）在 上单调，则ω的最大值为（）A ．B ．C ．1D ．12．（ 5 分）若函数 f （x ）=x 2+e x ﹣（x ＜0）与 g （x ）=x 2+ln （x+a ）图象上存在关于 y 轴对称的点，则 a 的取值范围是（）A ．（﹣ ）B ．（ ）C ．（）D ．（）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13．（ 5 分）若函数 f （x ）= 的定义域为 [ 0，2] ，则函数 g （x ）= 的定义域为．14．（ 5 分）计算：= ．15．（5 分）已知 θ∈（ ，π），+=2，则 cos（2θ+ ）的值为．16．（ 5 分）已知集合 { φ| f （ x ）=sin[ （ x ﹣2φ）π]+ cos[ （x ﹣2φ） π] 为奇函数， 且 | log a φ ＜ 1}的子集个数为 ，则 的取值范围为． | 4a三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程 .17．（ 10 分）已知幂函数f （x ）=x第2页（共 17页）（ 1）试求 m 的值并写出该幂函数的解析式；（ 2）试求满足 f （1+a）＞ f （3﹣）的实数a的取值范围．18．（ 12 分）已知．（ 1）化简 f（α）；（ 2）若α是第三象限角，且，求f（α）的值．19．（ 12 分）已知函数 f （x）=2x﹣．（Ⅰ）若 f（ x）=2，求 x 的值；（Ⅱ）若 2t f（ 2t）+mf（t ）≥ 0 对于 t ∈[ 1， 2] 恒成立，求实数m 的取值范围．20．（12 分）已知函数为偶函数，且函数的y=f（x）图象相邻的两条对称轴间的距离为．（ 1）求的值；（ 2）将 y=f（x）的图象向右平移个单位后，再将所得的图象上个点的横坐标伸长为原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）的单调区间，并求其在上的最值．21．（ 12 分）现有一圆心角为，半径为12cm的扇形铁皮（如图）．P，Q是弧AB 上的动点且劣弧的长为2π cm，过P，Q分别作与OA，OB平行或垂直的线，从扇形上裁剪出多边形OHPRQT，将该多边形面积表示为角α的函数，并求出其最大面积是多少？22．（ 12 分）函数 f n（x）=x n +bx+c（n∈Z，b，c∈ R）．（1）若 n=﹣1，且 f ﹣1（1）=f﹣1（）=4，试求实数 b，c 的值；（2）设 n=2，若对任意 x1，x2∈ [ ﹣ 1，1] 有| f2（x1）﹣ f2（x2）| ≤4 恒成立，求b的取值范围；（ 3）当 n=1 时，已知 bx2+cx﹣a=0，设 g（x） =，是否存在正数a，使得对于区间上的任意三个实数m，n，p，都存在以 f 1（g（m）），f1（g（ n）），f1（g（p））为边长的三角形？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由．2016-2017 学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5 分）设集合 M={ x| x2=x} ， N={ x| lgx≤ 0} ，则 M ∪ N=（）A．[ 0，1] B．（0，1] C．[ 0， 1） D．（﹣∞， 1]【解答】解：由 M={ x| x2=x} ={ 0， 1} ，N={ x| lgx≤0} =（ 0， 1] ，得 M∪N={ 0，1} ∪（0，1] =[ 0，1] ．故选： A．2．（5 分）已知函数 f （）2+1，那么 f（ a+1）的值为（）x=xA．a2+a+2B．a2+1 C． a2+2a+2 D． a2+2a+1【解答】解：∵函数 f （x）=x2+1，∴f（a+1） =（ a+1）2+1=a2+2a+2．故选： C．3．（5 分）的值是（）A．B．C．D．【解答】解：原式 =sin（π+）?cos（π﹣）?tan（﹣π﹣）=﹣sin?（﹣cos ）?（﹣ tan）=﹣×（﹣）×（﹣）=﹣．故选 A4．（ 5 分）要得到函数 y=sinx 的图象，只需将函数 y=cos（ x﹣）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：由于函数 y=sinx=cos（x﹣），故只需将函数的图象象右平移可得函数 y=cos（ x﹣）的图象，故选 A．5．（5 分）设 a=20.1， b=lg ，c=log3，则 a，b，c 的大小关系是（）A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c【解答】解：∵ 20.1＞ 20＞＞＞log3，=1=lg10 lg0∴ a＞ b＞ c，故选： D．6．（5 分）函数 y=的最小正周期为（）A．2π B．πC．D．【解答】解：∵ y===tan（ 2x+），∴T=．故选 C．7．（ 5 分）已知函数是定义在（﹣b，b）上的奇函数，（a，b∈R 且 a≠﹣ 2），则 a b的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），解得 a=2∴f（x）=lg，其定义域是（﹣，）∴0＜ b≤，∴1＜ a b≤，故选： A8．（ 5 分）若 sin（π﹣α）=﹣，且a∈（π，），则sin（+）=（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：∵ sin（π﹣α）=sin α=﹣，且α∈（π，），∴ cosα=﹣=﹣=﹣，2∵ cosα=2cos ﹣ 1，∈（，），∴ cos =﹣=﹣=﹣，则 sin（+）=cos=﹣．故选 B9．（5 分）若函数 f（x）的零点与 g（ x） =lnx+2x﹣8 的零点之差的绝对值不超过0.5，则 f（ x）可以是（）．．（）（﹣）2x﹣2﹣1 D．f（ x）=3x﹣A B f x= x4C． f（x）=e6【解答】解：由于 g（x）=lnx+2x﹣8 为（ 0，+∞）上的增函数，且 g（3）=ln3﹣2＜0，g（4）=ln4＞0，故函数 g（x）的零点在区间（ 3，4）内．由于函数y=ln（x﹣）的零点为x=3.5，故函数 g（x）的零点与函数y=ln（x﹣）的零点差的绝对值不超过0.5，故 f（ x）可以是 ln（x﹣），另外三个均不符合，故选： A．10．（5 分）定义在 R 上的函数（）对任意 2 ＜x1 都有＜1．且f x0＜x函数 y=f（x）的图象关于原点对称，若 f （2）=2，则不等式 f （x）﹣ x＞0 的解集是（）A．（﹣ 2，0）∪（ 0，2）B．（﹣∞，﹣ 2）∪（ 2，+∞） C．（﹣∞，﹣ 2）∪（0， 2） D．（﹣ 2，0）∪（ 2，+∞）【解答】解：令 x1=x＞2，x2=2，则 0＜ x2＜x1，则有==＜1，即 f（ x）﹣ 2＜x﹣ 2，即 x＞2 时， f （x）﹣ x＜0，令 0＜x=x2＜2，x1=2，则 0＜ x2＜x1，则有==＜1，即 f（ x）﹣ 2＞x﹣ 2，即 0＜x＜ 2 时， f（x）﹣ x＞0，又由函数 y=f（x）的图象关于原点对称，∴﹣ 2＜x＜ 0 时， f （x）﹣ x＜0，x＜﹣ 2 时， f （x）﹣ x＞0，综上可得：不等式 f （x）﹣ x＞0 的解集（﹣∞，﹣ 2）∪（ 0，2），故选： C11．（ 5 分）f（ x） =Asin（ωx+ωπ）（A＞ 0，ω＞ 0）在上单调，则ω的最大值为（）A．B．C．1D．【解答】解：画出函数 f（x）=Asin（ωx+ωπ）（ A＞ 0，ω＞ 0）的图象，如图所示；令 Asin（ωx+ωπ） =﹣ A，得ωx+ωπ=﹣，解得 x=﹣π﹣；∵函数 f（x）=Asin（ωx+ωπ）（A＞0，ω＞0）在 [ ﹣，﹣] 上单调，故﹣π﹣≤﹣，∴ω≤1，∴ω的最大值是ωmax=1．故选： C．．（分）若函数2+e x﹣（x＜0）与 g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在12 5f（x）=x关于 y 轴对称的点，则 a 的取值范围是（）A．（﹣）B．（）C．（） D．（）【解答】解：由题意可得：存在 x0∈（﹣∞， 0），满足 x02 +e x0﹣=（﹣ x0）2+ln（﹣ x0+a），即 e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，∵当 x 趋近于负无穷大时， e x0﹣﹣ln（﹣ x0+a）也趋近于负无穷大，且函数 h（ x）=e x﹣﹣ ln（﹣ x+a）为增函数，∴h（ 0） =e0﹣﹣lna＞0，∴lna＜ ln ，∴a＜，∴a 的取值范围是（﹣∞，），故选： A二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13．（ 5 分）若函数 f（x）=的定义域为[ 0，2]，则函数g（x）=的定义域为[ 0，1）．【解答】解：∵函数 f （x）的定义域为 [ 0，2] ，∴函数 y=f（ 2x）的定义域为 2x∈[ 0，2] ，解得 0≤ x≤ 1，因此函数 g（ x） =的定义域满足：，可得0≤x＜1．∴函数 g（x）=的定义域为：[ 0，1）．故答案为： [ 0， 1）．14．（ 5 分）计算：= 2 ．【解答】解：原式 =lg4+lg9+2（1﹣lg6）=+2=2．故答案为： 2．15．（ 5 分）已知θ∈（，π），+=2，则cos（2θ+）的值为．【解答】解：∵，∴ sinθ＞0，cosθ＜0，∴=2，即sinθ+cosθ=2 sinθcos＜θ0，∴θ∈（，π），2θ∈（，2π）．再根据 sin θ+cosθ=﹣=﹣，即 sin2 θ=﹣，∴ 2θ=，∴ cos2θ==．则=cos2θcos ﹣sin2 θsin =﹣（﹣）=，故答案为：．16．（ 5 分）已知集合 { φ| f（ x）=sin[ （ x﹣2φ）π]+ cos[ （x﹣2φ）π]为奇函数，且 | log φ＜1}的子集个数为，则a的取值范围为（）∪（）．a |4【解答】解：∵集合 { φ| f （x）=sin[ （x﹣2φ）π]+ cos[ （x﹣2φ）π] 为奇函数，∴f（0）=sin（﹣ 2φπ） +cos（﹣ 2φπ）=cos2φπ﹣sin2 φπ，=0∴cos2φπ =sin2 ，φπ即 tan2 φπ =1，∴ 2φπ =k+π，则φ= + ，k∈Z．验证φ= +，k∈ Z时，f（x）=sin[（x﹣2φ）π]+ cos[（x﹣2φ）π]=sin[（x﹣k﹣）π]+ cos[（x﹣k﹣）π] =sin（πx﹣）+cos（）=为奇函数．∴φ=+ ，k∈Z．∵集合 { φ| f （x）=sin[ （x﹣2φ）π]+ cos[ （ x﹣ 2φ）π] 为奇函数，且 | log aφ＜1}|的子集个数为4，∴满足 | log φ＜1的φ有2个，即满足﹣＜φ＜1的φ有2个．a |1log a分别取 k=0， 1， 2， 3，得到φ=，，，，若 0＜a＜1，可得 a∈（）时，满足﹣ 1＜log aφ＜1 的φ有 2 个；若 a＞1，可得 a∈（）时，满足﹣ 1＜log aφ＜1 的φ有 2 个．则 a 的取值范围为（）∪（）．故答案为：（）∪（）．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程 .17．（ 10 分）已知幂函数f（x）=x第 11 页（共 17 页）（ 1）试求 m 的值并写出该幂函数的解析式；（ 2）试求满足 f （1+a）＞ f （3﹣）的实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵幂函数 f （x）的图象经过点，∴=，即m2+m=2，解得：m=1或m=﹣2，∵m∈N*，故 m=1，故 f（ x）= ，x∈[ 0， +∞）；（ 2）∵ f（ x）在 [ 0，+∞）递增，由 f（ 1+a）＞ f （3﹣），得，解得： 1＜a≤9，故 a 的范围是（ 1，9] ．18．（ 12 分）已知．（ 1）化简 f（α）；（ 2）若α是第三象限角，且，求f（α）的值．【解答】解：（1）∵== ﹣cos α．（ 2）若α是第三象限角，且＞0，∴α+为第四象限角，∴ sin（α+）=﹣=﹣，∴ f（α）=﹣cosα=﹣cos[ （α+）﹣] =﹣ cos（α+）cos] ﹣ sin（α+）sin =．19．（ 12 分）已知函数 f （x）=2x﹣．（Ⅰ）若 f（ x）=2，求 x 的值；（Ⅱ）若 2tf （2t）+mf（）≥对于t∈，2]恒成立，求实数m的取值范围．t[ 1【解答】解：（Ⅰ）当 x≤0 时 f（x）=0，当 x＞0 时，，有条件可得，，即 22x﹣ 2× 2x﹣1=0，解得，∵2x＞0，∴，∴．（Ⅱ）当 t∈ [ 1，2]时，，即 m（22t﹣1）≥﹣（ 24t﹣ 1）．∵ 22t﹣1＞0，∴ m≥﹣（ 22t+1）．∵ t∈[ 1，2] ，∴﹣（ 1+22t）∈ [ ﹣17，﹣ 5] ，故 m 的取值范围是 [ ﹣5，+∞）．20．（12 分）已知函数为偶函数，且函数的y=f（x）图象相邻的两条对称轴间的距离为．（ 1）求的值；（ 2）将 y=f（x）的图象向右平移个单位后，再将所得的图象上个点的横坐标伸长为原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）的单调区间，并求其在上的最值．【解答】（本题满分为 12 分）解：（ 1）函数 f （x）= sin（ωx+φ）﹣ cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ﹣）， 1分因为函数是偶函数，所以φ﹣=kπ+，k∈ Z，解得：φ=kπ+，k∈ Z，∵﹣＜φ＜0，∴φ=﹣．函数 y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为，所以 T=π， T==π，所以ω=2；f（x）=2sin（2x﹣）=﹣2cos2x， 5分则 f（）=﹣2cos（2×）=﹣2cos（﹣）=﹣， 6分（ 2）由函数图象的变换可知，y=g（x）=﹣2cos（x﹣）， 8分由 2kπ≤ x﹣≤ 2kπ+π，k∈ Z，解得： 4kπ+≤x≤4kπ+，k∈Z，即函数 y=g（ x）的单调递增区间为： [ 4kπ+，4kπ+] k∈Z，由 2kπ+π≤ x﹣≤ 2kπ+2π，k∈Z，解得： 4kπ+≤x≤4kπ+，k∈ Z，即函数 y=g（ x）的单调递减区间为： [ 4kπ+，4kπ+] k∈ Z， 10分∵ x∈，∴结合函数的单调性可知：当 x﹣=0，即 x=时， y=g（x）最小值为﹣ 2 11分当 x﹣=﹣，即 x=﹣时， y=g（x）最大值为 0 12分21．（ 12 分）现有一圆心角为，半径为12cm的扇形铁皮（如图）．P，Q是弧AB 上的动点且劣弧的长为2π cm，过P，Q分别作与OA，OB平行或垂直的线，从扇形上裁剪出多边形OHPRQT，将该多边形面积表示为角α的函数，并求出其最大面积是多少？【解答】解：连接 OQ，OP，则∠ POQ=．设∠ QOB=α，多边形 OHPRQT的面积为 S，则∠ POB=α+，α∈（0，），S=12sin α ?12cos+12sinα（α+）?12cos（α+）﹣12sinα ?12cos（α+）=（72﹣ 72）sin（2α+）+36，α=，即∠ POA=∠ QOB=时，多边形OHPRQT的面积的最大值为72﹣36（cm2）．22．（ 12 分）函数 f n（x）=x n +bx+c（n∈Z，b，c∈ R）．（1）若 n=﹣1，且 f ﹣1（1）=f﹣1（）=4，试求实数 b，c 的值；（2）设 n=2，若对任意 x1，x2∈ [ ﹣ 1，1] 有| f2（x1）﹣ f2（x2）| ≤4 恒成立，求b的取值范围；（ 3）当 n=1 时，已知 bx2+cx﹣a=0，设 g（x） =，是否存在正数a，使得对于区间上的任意三个实数m，n，p，都存在以 f 1（g（m）），f1（g（ n）），f1（g（p））为边长的三角形？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）n=﹣1，且，可得 1+b+c=4，2+ b+c=4，解得 b=2，c=1；（2）当 n=2 时， f 2（x）=x2+bx+c，对任意 x1，x2∈[ ﹣1，1] 有 | f 2（ x1）﹣ f2（x2） | ≤ 4 恒成立等价于f2（x）在 [ ﹣ 1， 1] 上的最大值与最小值之差 M≤4．①当﹣＜﹣ 1，即 b＞ 2 时， f2（x）在 [ ﹣1，1] 递增，f2（x）min =f2（﹣ 1） =1﹣b+c， f2（ x）max=f2（1）=1+b+c，M=2b＞ 4（舍去）；②当﹣ 1≤﹣≤0，即0≤b≤ 2时，f2（x）在[﹣1，﹣] 递减，在（﹣，1]第 15 页（共 17 页）f2（x）min =f2（﹣）=c﹣， f2（x）max=f2（1）=1+b+c，M=（ +1）2≤4 恒成立，故 0≤ b≤ 2；③当 0＜﹣≤1即﹣ 2≤ b＜ 0 时， f2（ x）在 [ ﹣ 1，﹣ ] 递减，在（﹣，1] 递增，f2（ x）min=f2（﹣） =c﹣，f2（x）max=f2（﹣ 1） =1﹣b+c， M=（﹣1）2≤4恒成立，故﹣ 2≤b＜0；④当﹣＞ 1，即 b＜﹣ 2 时， f2（x）在 [ ﹣1，1] 递减，f2（x）min =f2（1）=1+b+c， f2（ x）max=f2（﹣ 1）=1﹣b+c，M=﹣2b＞4 矛盾．综上可得， b 的取值范围是﹣ 2≤b≤2；（ 3）设 t=g（x）===，由 x∈，可得t∈[，1]．则 y=t+ 在 [ ， 1] 上恒有 2y min＞y max．①当 a∈（ 0， ] 时， y=t+在 [， 1] 上递增，y min=+3a，y max=a+1，又 2y min＞ y max．则 a＞，即有＜ a≤；②当 a∈（， ] 时， y=t+在[，）递减，（，1）递增，可得 y min=2，max=max{ 3a+，a+1} =a+1，又min＞y max．y2y解得 7﹣4＜a＜ 7+4 ，即有＜ a≤；③当 a∈（，1）时， y=t+在[，）递减，（， 1）递增，可得 y min=2，y max=max{ 3a+，a+1} =3a+，又 2y min＞ y max．解得＜a＜，即有＜a＜1；④当 a∈[ 1，+∞）时， y=t+在[，1]上递减，y min=a+1，y max=3a+，又2y min＞y max．则 a＜，即有1≤a＜．综上可得，存在这样的三角形， a 的取值范围是＜a＜．。
2017-2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高一(上)期末数学试题(解析版)
2017-2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（上）期末数学试题一、单选题1．已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么=（）A．3 B．2 C．4 D．【答案】D【解析】由于本题中未给出向量的坐标，故求向量的模时，主要是根据向量数量的数量积计算公式，求出向量模的平方，即向量的平方，再开方求解．【详解】由均为单位向量，它们的夹角为60°∴∴，∴故选：D．【点睛】本题主要考查了向量的模的运算问题，对于求向量的模一般有两种情况：若已知向量的坐标，或向量起点和终点的坐标，则或；若未知向量的坐标，只是已知条件中有向量的模及夹角，则求向量的模时，主要是根据向量数量的数量积计算公式，求出向量模的平方，即向量的平方，再开方求解，着重考查了推理与运算能力。
2．函数y=的最小正周期为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系化简函数的解析式，再利用余切函数的周期性，得出结论．【详解】由题意，函数，故函数的周期为π，故选：B．【点睛】本题主要考查了同角函数函数的基本关系式，以及余切函数的最小正周期的求解问题，其中熟记同角三角函数的基本关系式，合理、准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
3．已知a=，，c=，则a、b、c的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，，即可判断出大小关系．【详解】由题意，，则a、b、c的大小关系为：a＞c＞b．故选：C．【点睛】本题主要考查了和差倍角公式、三角函数单调性与求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．若在[0，]内有两个不同的实数x满足cos2x+sin2x=m，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由三角函数的性质，求得函数的值域，再根据cos2x+sin2x=m有两个不同的实数，结合三角函数的图象，即可求解。
【详解】令y=cos2x+sin2x=2sin（2x+），在[0，]内，那么，∴y的值域为[-1，2]．那么cos2x+sin2x=m有两个不同的实数，结合三角函数的图象：可得1≤m＜2．故选：B．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．5．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）的一部分图象如图所示，f（）=，则f（0）=（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据图象求出周期，注意到与关于对称，求出，就是的值。