整理所有小学数学公式大全

文件编号： B3-4D -13-0F -F9

整理人 尼克

所有小学数学公式大全

高等数学公式导数公式：

基本积分表：

三角函数的有理式积分：

sinx=

2u

1+u2，cosx=

1?u2

1+u2，u=tg

x

2，dx=

2du

1+u2

一些初等函数：两个重要极限：

三角函数公式：

·诱导公式：

函数

角A

sin cos tg ctg

-α-sinαcosα-tgα-ctgα

90°-αcosαsinαctgαtgα

90°+αcosα-sinα-ctgα-tgα

180°-αsinα-cosα-tgα-ctgα

180°+α-sinα-cosαtgαctgα

270°-α-cosα-sinαctgαtgα

270°+α-cosαsinα-ctgα-tgα

360°-α-sinαcosα-tgα-ctgα

360°+αsinαcosαtgαctgα·和差角公式：·和差化积公式：

·倍角公式：

·半角公式：

sin

α2=±√1?cosα2 cos α2=±√1+cosα2

tg

α2=±√1?cosα1+cosα=1?cosαsinα=sinα1+cosα ctg α2=±√1+cosα1?cosα=1+cosαsinα=sinα

1?cosα

·正弦定理：a

sinA

=

b sinB

=

c sinC

=2R ·余弦定理：c 2=a 2+b 2?2abcosC

·反三角函数性质：arcsinx =π2?arccosx arctgx =π

2?arcctgx

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：

(uv)(n)=∑C n k u (n?k)v

(k)

n

k=0

u (n)v +nu (n?1)v ′+

n(n ?1)2!u (n?2)v ′′+?+n(n ?1)?(n ?k +1)k!

u (n?k)v (k)+?+uv (n)

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：f(b)?f(a)=f ′(ξ)(b ?a)

柯西中值定理：f(b)?f(a)F(b)?F(a)=

f ′(ξ)

F ′(ξ)

当F(x)=x 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

曲率：

弧微分公式：ds =√1+y dx,其中 {y ′=tgα平均曲率：K =|Δα

Δs

|.Δα:从M 点到 {M ′

点，切线斜率的倾角变化量；Δs ：MM ′弧长。M 点的曲率：K

=lim Δs→0|ΔαΔs |=|dαds |=|′′|√直线：K =0;半径为a 的圆：K =1

a . 定积分的近似计算：

矩形法：∫f(x)≈

b ?a

(y 0+y 1+?+y n?1)b

a

梯形法：∫f(x)≈b ?a n [1

2(y 0+y n )+y 1+?+y n?1]

b

a

抛物线法：∫f(x)≈b ?a

3n [(y 0+y n )+2(y 2+y 4+?+y n?2)+4(y 1+y 3+?+y n?1)]

b

a

定积分应用相关公式：

功：W =F ?s

水压力：F =p ?A

引力：F =k m 1m 2

r 2

,k 为引力系数

函数的平均值：y =1

b ?a ∫f(x)dx

b a

均方根：√1

b ?a ∫f 2(t)dt

b

a 空间解析几何和向量代数：

空间2点的距离：d =|M 1M 2|=√(x 2?x 1)2+(y 2?y 1)2+(z 2?z 1)2

向量在轴上的投影：Prj u AB ????? =|AB ????? |?cos?,?是AB ????? 与u 轴的夹角。Prj u (a 1+a 2)=Prja 1+Prja 2

a ?

b =|a |?|b |cosθ=a x b x +a y b y +a z b z ,是一个数量,

两向量之间的夹角：cosθ=

x x y y z z

√a x +a y +a z ?√b x +b y +b z c =a ×b =|i j k

a x a y a z

b x b y b z

|,|c |=|a |?|b |sinθ.例：线速度： {v

=w ×r.向量的混合积：[abc]=(a ×b)?c =|a x

a y a z

b x

b y b z

c x

c y

c z

|=|a ×b |?|c |cosα,α为锐角时，代表平行六面体的体积。

平面的方程：

1、点法式：A(x ?x 0)+B(y ?y 0)+C(z ?z 0)=0，其中 {n ={A,B,C },M 0(x 0,y 0,z 0)

2、一般方程：Ax

+By +Cz +D =03、截距世方程：x a +y b +z

c =1平面外任意一点到该平面的距离：d

=

|000|

√A 2+B 2+C 2

x ?x 0m =y ?y 0n =z ?z 0

p

=t,其中 {s ={m,n,p };参数方程：{x =x 0+mt y =y 0+nt z =z 0+pt 二次曲面：1、椭球面：x 2a 2+y 2b 2+z 2

c 2

=12、抛物面：x 22p +y 22q =z,（p,q 同号）3、双曲面：单叶双曲面：x 2a 2+y 2b 2?z 2

c 2

=1双叶双曲面：x 2a 2?y 2b 2+z 2

c 2=1（马鞍面）

多元函数微分法及应用

全微分：dz =

ez ex dx +ez ey dy du =eu ex dx +eu ey dy +eu

ez

dz 全微分的近似计算：Δz ≈dz =f x (x,y)Δx +f y (x,y)Δy 多元复合函数的求导法：

z =f[u(t),v(t)] dz dt =ez eu ?eu et +ez ev ?

ev

et z =f[u(x,y),v(x,y)] ez ex =ez eu ?eu ex +ez ev ?

ev

ex

当u =u(x,y)，v =v(x,y)时，du =eu ex dx +eu ey dy dv =ev ex dx +ev ey

dy

隐函数的求导公式：

隐函数F(x,y)=0， dy dx =?F x F y ， d 2y dx 2=eex (?F x F y )＋eey (?F x F y )?

dy

dx

隐函数F(x,y,z)=0， ez ex =?F x F z ， ez

ey =?

F y F z

隐函数方程组：{F(x,y,u,v)=0G(x,y,u,v)=0 J =e(F,G)e(u,v)

=|eF eu eF

ev eG eu eG ev

|=|F u F v

G u G v |

eu ex =?1J ?e(F,G)e(x,v) ev ex =?1J ?e(F,G)

e(u,x)eu =?1?e(F,G) ev =?1?e(F,G) 微分法在几何上的应用：

空间曲线{x =?(t)

y =ψ(t)z =ω(t)

在点M(x 0,y 0,z 0)处的切线方程：x?x 0?′(t 0)=y?y 0ψ′(t 0)=z?z

0ω′(t 0)

在点M 处的法平面方程： {?

′

(t 0)(x ?x 0)+ψ′(t 0)(y ?y 0)+ω′(t 0)(z ?z 0)=0若空间曲线方程为：方向导数与梯度：

函数z =f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l 的方向导数为：

ef el =ef ex cos?+ef ey

sin?其中?为x 轴到方向l 的转角。

函数z =f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)=

ef ex i +ef

ey

j 它与方向导数的关系是：ef

el

=gradf(x,y)?e ，其中 {e =cos??i +sin??j ，为l 方向上的单位向量。∴

ef

el

是gradf(x,y)在l 上的投影。 多元函数的极值及其求法：

设f x (x 0,y 0)=f y (x 0,y 0)=0，令：f xx (x 0,y 0)=A,f xy (x 0,y 0)=B,f yy (x 0,y 0)=C

则：

{

AC ?B 2>0时，{A <0,(x 0,y 0)为极大值A >0,(x 0

,y 0

)为极小值

AC ?B 2<0时， 无极值AC ?B 2=0时, 不确定

重积分及其应用：

?f(x,y)dxdy D

=?f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ

D ′

曲面z =f(x,y)的面积A =?√1+(ez ex )2

+(ez ey )2

dxdy D

平面薄片的重心： {x ˉ=M x M =?xρ(x,y)dσD

?ρ(x,y)dσD , {y ˉ=

M y M =

?yρ(x,y)dσD

?ρ(x,y)dσD

平面薄片的转动惯量：对于x 轴I x

=?y 2ρ(x,y)dσD

, 对于y 轴I y

=?x 2ρ(x,y)dσD

平面薄片（位于xoy 平面）对z 轴上质点M(0,0,a),(a

>0)的引力：F ={F x ,F y ,F z }，其中：F x =f ?ρ(x,y)xdσ

(x 2

+y 2+

a 2)32

D ， F y

=f ?

ρ(x,y)ydσ(x 2

+y 2+

a 2)32

D ，

F z =?fa ?

ρ(x,y)xdσ(x 2

+y 2+

a 2)32

D 柱面坐标和球面坐标：

柱面坐标：{x=rcosθ

y=rsinθ

z=z

,?f(x,y,z)dxdydz=?F(r,θ,z)rdrdθdz

Ω

Ω

,其中：F(r,θ,z)=f(rcosθ,rsinθ,z)

球面坐标：{x=rsin?cosθ

y=rsin?sinθ

z=rcos?

，dv=rd??rsin??dθ?dr=r2sin?drd?dθ

?f(x,y,z)dxdydz=?F(r,?,θ)r2sin?drd?dθ

Ω

Ω=∫dθ∫d?∫F(r,?,θ)r2sin?dr

r(?,θ)

π

2π

重心： {xˉ

=1

M

?xρdv

Ω

, {yˉ=

1

M

?yρdv

Ω

, {zˉ=

1

M

?zρdv

Ω

，其中M=xˉ

=?ρdv

Ω转动惯量：I x=?(y2+z2)ρdv

Ω

，I y

=?(x2+z2)ρdv

Ω，I z=?(x2+y2)ρdv

Ω

曲线积分：

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：

设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：{x=?(t)

y=ψ(t),(α≤t≤β),则：

∫f(x,y)ds=∫f[?(t),ψ(t)]√?(t)+ψ(t)dt

β

α

L (α<β)特殊情况：{

x=t

y=?(t)

第

∫P(x,y)dx+Q(

L

两类曲线积分之间的关

格林公式：?(

eQ

ex

?

eP

ey

)d

D

当P=?y,Q=x，即：

2、P(x,y)，Q(x,y)在G

在

eQ

＝

eP

时

u(x,y)=∫

(

曲面积分：

对面积的曲面积分：?

∑f(x,y,z)ds=?f[x,y,z(x,y)]√1+z x2(x,y)+z y2(x,y)dxdy

D xy 对坐标的曲面积分：?

∑P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dz

高斯公式：

?(eP

ex +eQ

ey +eR

ez

)dv =?∑Pdydz+Qdzdx+Rdxdy

?∑

(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds

Ω高斯公式的物理意义——通量与散度：散度

eP ex

+

eQ ey

+

eR ez

,即：单位体积内所产生的流体质量，若div {ν<0,则为消失...通量：

?∑

A?nds=?∑

A n ds=?P ∑

(cosα+Qcosβ+Rcosγ)ds ，因此，高斯公式又可写成：?div {A Ωdv=?

∑A n ds

斯托克斯公式——

曲线积分与曲面积分的关系： ?

∑

(eR ey ?eQ ez )dydz+(eP ez ?eR ex )dzdx+(eQ ex ?eP

ey

)dxdy=∮Pdx+Qdy+Rdz Γ上式左端又可写成：?

∑

|dydz dzdx dxdy

eex eey eez

P Q R

|=?空间∑|cosα

cosβcosγeex eey eez P Q

R

|=|i j k eex eey e

ez P Q R

|向量场 {A 沿有向闭曲线Γ的环流量：∮Pdx +Qdy +Rdz =∮A ?tds ΓΓ 常数项级数：

等比数列：1+q +q 2

+?+q n?1

=

1?q n

1?q 等差数列：1+2+3+?+n =

(n +1)n

2

调和级数：1+12+13+?+1

n

是发散的

级数审敛法：

1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：

设：ρ=lim n→∞

√u n n ，则{ρ<1时，级数收敛

ρ>1时，级数发散

ρ=1时，不确定

2、比值审敛法：

设：ρ=lim

n→∞U n+1

n

，则{ρ<1时，级数收敛

ρ>1时，级数发散

ρ=1时，不确定

3、定义法：

s n =u 1+u 2+?+u n ;lim n→∞

s n 存在，则收敛；否则发散。

交错级数u 1?u 2+u 3?u 4+?(或?u 1+u ?u 3+?,u n >0)的审敛法——莱布尼兹定理：

如果交错级数满足{u n ≥u n+1lim n→∞

u n

=0，那么级数收敛且其和s ≤u 1,其余项r n 的绝对值|r n |≤u n+1。

绝对收敛与条件收敛：

(1)u1+u2+?+u n+?，其中u n为任意实数；

(2)|u1|+|u2|+|u3|+?+|u n|+?

如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。

调和级数：∑1

n发散，而∑

(?1)n

n收敛；

级数：∑1

n2收敛；

p级数：∑1

n p

?ｐ≤１时发散

?p>1时收敛

幂级数：

1+x+x2+x3+?+x n+??|x|<1时，收敛于

1

1?x ?|x|≥1时，发散

函数展开成幂级数：

函数展开成泰勒级数：f(x)=f(x0)(x?x0)+f′′(x0)

2!

(x?x0)2+?+

f(n)(x0)

n!

(x?x0)n+?

余项：R n=f(n+1)(ξ)

(n+1)!

(x?x0)n+1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：lim

n→∞

R n=0

x0=0时即为麦克劳林公式：f(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)

2!

x2+?+

f(n)(0)

n!

x n+?

一些函数展开成幂级数：

(1+x)m=1+mx+m(m?1)

2!

x2+?+

m(m?1)?(m?n+1)

n!

x n+?(?1

sinx=x?x3

3!

+

x5

5!

??+(?1)n?1

x2n?1

(2n?1)!

+?(?∞

欧拉公式：

e ix=cosx+isinx或{cosx=e ix+e?ix 2|

三角级数：

f(t)=A0+∑A n sin(nωt+?n)=

∞

n=1a0

2

+∑(a n cosnx+b n sinnx)∞

n=1

其中，a0=aA0，a n=A n sin?n，b n=A n cos?n，ωt=x。

正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x?sinnx,cosnx?任意两个不同项的乘积在[?π,π]

上的积分＝0。

傅立叶级数：

f(x)=a0

2

+∑(a n cosnx+b n sinnx)

n=1

，周期=2π

其中

{a n=

1

π∫f(x)cosnxdx(n=0,1,2?)

π

?π

|

?1+

1

22

+

1

32

+

1

42

?1?

1

22

+

1

32

?

1

42

周期为2l的周期函数的傅立叶级数：

f(x)=a0

2

+∑(a n cos

nπx

l

+b n sin

nπx

l

)

n=1

，周期=2l

其中

{a n=

1

l∫f(x)cos

nπx

l dx(n=0,1,2?)

l

?l

|

微分方程的相关概念：

一阶微分方程： {y′=f(x,y)或P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy

=f(x)dx的形式，解法：∫g(y)dy=∫f(x)dx得：G(y)

=F(x)+C称为隐式通解。齐次方程：一阶微分方程可以写成dy

dx

=f(x,y)

=?(x,y)，即写成y

x的函数，解法：

设u=

y

x，则

dy

dx

=u+x

du

dx

，u+

du

dx

=?(u)，∴

dx

x

=

du

?(u)?u分离变量，积分后将

y

x代替u

，即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程：

1、一阶线性微分方程：dy

dx

+P(x)y=Q(x)

?当Q(x)=0时,为齐次方程，y=Ce?∫P(x)dx

?当Q(x)≠0时，为非齐次方程，y=(∫Q(x)e∫P(x)dx dx+C)e?∫P(x)dx

全微分方程：

如果P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0中左端是某函数的全微分方程，即：

du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0，其中：eu

ex

=P(x,y)，

eu

ey

=Q(x,y)

∴u(x,y)=C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程：

d2y dx2+P(x)

dy

dx

+Q(x)y=f(x)，

?f(x)≡0时为齐次

?f(x)≠0时为非齐次

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(?)y′′+py′+qy=0，其中p,q为常数；

求解步骤：

1、写出特征方程：(Δ)r2+pr+q=0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(?)式中 {y′′,y′,y的系数；

2、求出

的不同情况，按下表写出(?)式的通解：

二阶常系数非齐次线性微分方程

y′′+py′+qy=f(x)，p,q为常数

f(x)=eλx P m(x)型，λ为常数；

f(x)=eλx[P l(x)cosωx+P n(x)sinωx]型

整理丨尼克

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