2020届北大附属学校数学试题

解集为_________ x < 2 3
12．Ｅ是平行四边形 ABCD 中 BC 边的中点，AE 交对角线 BD 于 G，如果
△BEG 的面积是１，则平行四边形 ABCD 的面积是
．
13．分解因式： 2x2 + (1− 2a)x + a −1 =
(x − a +1)(2x −1)
14. 已知关于 x 的方程 x2 − (m − 2)x − m2 = 0 ．若这个方程的两个实数根 x1，x2 满足|x2| 4
2
2
− 8 b ，则△ ABC 是 5
（A）等腰三角形.
（B）锐角三角形.
（C）钝角三角形.
（D） （D）直角三角形.
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
9．在分别标有号码2,3,4,5，6的5个球中，随机取出两个球，记下它们的标号，则较大标号被较小
标号整除的概率是_________．
= a + ab + b + a − b + a − ab
= 3a
又∵ a = 1 ∴原式= 3× 1 = 1
3
3
18.（本小题满分 8 分）
（5 分） （7 分） （8 分）
某商场为庆祝“五一国际劳动节”开展“购物折上折活动”：商场内所有商品按标价的八折出售，
式为 d = ( x1 − )x2 2 + ( y1 − )y2 2 ，则 x2 − 2x + 5 + x2 − 6x +18 的最小值为（ A ）
A． 29
B. 5
C. 5
D. 17
8． 设 a,b, c 是△ ABC 的三边长，二次函数 y = (a − b )x 2 − cx − a − b 在 x = 1 时取最小值
10．有编号为 1,2,3，.. .. ..n 个盒子各装有若干个小球，记第 n 个盒子的球数为 an ，若 a1 = 2 且
满足 an − an−1 = n(n ≥ 2的正整数) ，则前 8 个盒子共有_________个球。
11．已知关于 x 的不等式 (a + 2b)x + b − a > 0 的解集为 x < 1 ，则关于 x 的不等式 ax − b > 0 的 7
16.（本小题满分 8 分）如图，△ABC 为等边三角形，以边 BC 为直径的半圆与边 AB，AC 分别交
数学试卷 第 2 页（共八页）
于 D，F 两点，过点 D 作 DE⊥AC，垂足为点 E．
（Ⅰ）判断 DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （Ⅱ）过点 F 作 FH⊥BC，垂足为点 H，若 AB=4，求 FH 的长（结果保留根号）．
＝|x1|＋2，则 m 的值为
．
m=0 或 4
三、解答题（本大题共 6 小题，共 52 分） 15．（本小题满分 6 分）
计算： (π +1)0 + tan 600 − 3 − (1)−2 + 3
27 − 3 −8
解：原式=1+ 3 − 3 − 9 + 3 3 + 2 = −3 + 2 3
（6 分）
解：原式= ( a − b)(a + ab + b) + ab( a − b) ( a + b)2 + a( a + b)( a − b)
a− b
Hale Waihona Puke ab( a + b)
a( a + b)
（3 分）
= a + ab + b + ( a − b)( a − b) + a ( a − b)
（4 分）
数学试卷 第 3 页（共八页）
(B) S1 = S2
(C) S1 < S2
(D) S1 ≥ S2
3.如图是底面边长都相等的几何体三视图，该几何体的表面积是（ A ）
A. 6 + 2 3
B. 9 3 2
C. 6 + 3
D. 3
4．满足 a − b + ab = 1 的非负整数 (a, b) 的个数是( B )
(A)4;
(B)3;
(C)2;
数学试卷 第 1 页（共八页）
③.有有限多个 x (不止一个)使 y 取到最大值; ④.有无穷多个 x 使 y 取到最小值.
其中正确的个数为( A )
(A) 1 个
(B) 2 个
(C)3 个
(D)4 个
7．在平面直角坐标系中，已知点 P ( x1, y1 ) 和点 Q ( x2 , y2 ) ，则 P 、 Q 两点间的距离 d 的计算公
北大附属学校 2020 届保送生选拔考试
数学
（考试时间：90 分钟 满分：100 分）2017.05.01
友情提示：请将答案填写在答题卷中，写在试卷上不得分． 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分，在给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的）
1． 1 + 1 + 2 的值是（ C ） 1+ 43 1− 43 1+ 3
(D)1.
5.在△ABC 中,AD 是高,且 AD2 = BD·CD，那么∠BAC 的度数是（ D ）
（A）小于 90° （B）等于 90° （C）大于 90° （D）小于或等于 90°
6．设 x 是实数, y = x − 1 + x + 1 .下列四个结论:
①. y 没有最小值; ②.只有一个 x 使 y 取到最小值;
（A）－1
（B）1
（C）－2
（D）2
2．如图,正比例函数 y = x和y = ax(a > 0) 的图像与反比例函数 y = k (k > 0) 的图像分别相交于 x
A 点和 C 点.若 RtΔAOB 和 Rt ΔCOD 的面积分别为 S1 和 S2,则 S1 与 S2 的关系是( B )
(A) S1 > S2
∵FH⊥BC，∴∠FHC=90°，∴FH=CF•sin∠C=2× 3 = 3 ． 2
（8 分）
( ) 17.（本小题满分 8 分）求值： a a − b b + a b − b a a + b + 2 ab + a 2 − ab . 其中
a − b a b+b a
a + ab
a = 1 ,b = 2017 3
证明：（Ⅰ）DE 是⊙O 的切线；理由如下：
连接 OD，如图所示：∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，∵OB=OD，∴△OBD
是等边三角形，∴∠BOD=60°，∴∠BOD=∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE 是⊙O 的
切线；
（ 4 分）
（Ⅱ）连接 OF，如图所示：∵OC=OF，∠C=60°，∴△OCF 是等边三角形，∴CF=OC= 1 BC= 1 AB=2， 22