《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修5【配套备课资源】第二章2.2.2(一)
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整理得n2＋13n－420＝0.解之得n＝15，n＝－28(舍去)． 第2次相遇是在开始运动后15分钟．
小结 建立等差数列的模型时，注意相遇时甲、乙两人的路程 和是两个等差数列的前n项和．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2(一)
跟踪训练3 现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛， 要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( B ) A．9
解之得n＝4. 又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d， 解之得d＝－171.
研一研·问题探究、课堂更高效
例2
2.2.2(一)
(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an} Sn Tn ＝
的前3m项的和S3m； (2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2(一)
例3 甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动,甲第1 分钟走2 m,以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？ (2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前
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1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟 后第二次相遇？
2.2.2(一)
2.2.2 等差数列的前n项和(一)
学习要求 1．理解等差数列前n项和公式的推导过程． 2．熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由
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其中三个求另外两个． 3．掌握等差数列前n项和公式及性质的应用． 学法指导 1．运用等差数列的前n项和公式的关键在于准确把握它们的结构 特征，这样才能根据具体情境(已知条件和待求目标)选用恰当 的公式解决问题． 2．要善于从推导等差数列的前n项和公式中，归纳总结出一般的 求和方法——倒序相加法．
∴2Sn＝(a1＋an)×n，
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2(一)
na1＋an 由此可得等差数列{an}的前n项和公式：Sn＝ . 2
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根据等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d， nn－1 代入上式可得Sn＝na1＋ d. 2
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m
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探究2 若数列{an}是公差为d的等差数列，求证：数列{
2.2.2(一)
Sn }也是 n
等差数列．
证明 ∵{an}是等差数列，公差为d，
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nn－1 d 2 d ∴Sn＝na1＋ d＝ n ＋(a1－ )n， 2 2 2 Sn d d ∴ ＝2n＋(a1－2)， n Sn＋1 Sn d ∴ － ＝ (常数)， n＋1 n 2 Sn d ∴数列{ }为等差数列，公差为 2. n
n＝5 解方程组得 a1＝3 n＝7， 或 a1＝－1.
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小结
在解决等差数列问题时，如已知a1，an，n，d，Sn中任意三
个，可求其余两个，这种问题在数学上常称为“知三求二”型．
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练1 已知等差数列{an}中： 3 1 (1)a1＝ ，d＝－ ，Sn＝－15，求n及an； 2 2 (2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d.
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2(一)
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探究3 设Sn、Tn分别为两个等差数列{an}和{bn}的前n项和，证 an S2n－1 明： ＝ . bn T2n－1 2n－1 1 证明 ∵S2n－1＝ (2n－1)(a1＋a2n－1)＝ · n 2a 2 2
＝(2n－1)an；
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2(一)
这种方法叫倒序相加法，是等差数列求和的一种重要方法，这
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一节我们就来学习等差数列的求和方法．
研一研·问题探究、课堂更高效探究点来自 问题 等差数列前n项和公式的推导
2.2.2(一)
求和：1＋2＋3＋„＋100.
对于这个问题，著名数学家高斯十岁时就能很快求出它的结 果．当时他的思路和解答方法是：S＝1＋2＋3＋„＋99＋100，
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把加数倒序写一遍：S＝100＋99＋98＋„＋2＋1. 所以有2S＝(1＋100)＋(2＋99)＋„＋(99＋2)＋(100＋1)＝ 100×101，∴S＝50×101＝5 050. 请你利用“高斯的算法”求1＋2＋3＋„＋n＝？
解 设Sn＝1＋2＋3＋„＋(n－1)＋n， 又Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋„＋2＋1，
2.2.2(一)
2．已知等差数列{an}中，a2＋a8＝8，则该数列的前9项和S9等 于
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( C ) B．27 C．36 D．45 9 9 S9＝ (a1＋a9)＝ (a2＋a8)＝36. 2 2
2.2.2(一)
跟踪训练2 设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知 Sn S7＝7，S15＝75，Tn为数列 的前n项和，求Tn. n
解
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设等差数列{an}的公差为d， 1 则Sn＝na1＋ n(n－1)d， 2 ∵S7＝7，S15＝75，
7a ＋21d＝7 1 ∴ 15a1＋105d＝75 a ＝－2 1 解得 d＝1 a ＋3d＝1 1 ，即 a1＋7d＝5
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.2.2(一)
1．记等差数列前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列
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的公差d等于 A．2 B．3 C．6 D．7
( B )
解析
S ＝2a ＋d＝4 2 1 由 S4＝4a1＋6d＝20
，解得d＝3.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
解
(1)设n分钟后第1次相遇，依题意， nn－1 有2n＋ 2 ＋5n＝70， 整理得n2＋13n－140＝0.解之得n＝7，n＝－20(舍去)． 第1次相遇是在开始运动后7分钟．
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2.2.2(一)
(2)设n分钟后第2次相遇，依题意， nn－1 有2n＋ ＋5n＝3×70， 2
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.2(一)
Sn 1．把a1＋a2＋„＋an叫数列{an}的前n项和，记做______．例如a1＋a2
S16 Sn－1 ＋„＋a16可以记做______；a1＋a2＋a3＋„＋an－1＝______ (n≥2)．
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2．若{an}是等差数列，则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn＝
相加法”求等差数列{an}的前n项和Sn吗？
解 Sn＝a1＋a2＋a3＋„＋an－1＋an
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＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋„＋[a 1＋(n－2)d]＋[a 1＋(n－1) d]，
Sn＝an＋an－1＋an－2＋„＋a2＋a1 ＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋„＋[an－(n－2)d]＋[a n－(n－1) d]，
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2.2.2(一)
3 nn－1 1 解 (1)∵Sn＝n·＋ 2 (－2)＝－15， 2 整理得n2－7n－60＝0， 解之得n＝12或n＝－5(舍去)， 3 1 a12＝2＋(12－1)×(－2)＝－4. na1＋an n1－512 (2)由Sn＝ ＝ ＝－1 022， 2 2
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7n＋2 a5 ，求 的值． b5 n＋3
解 (1)方法一
在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m 成等差数列．
∴30,70，S3m－100 成等差数列． ∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
Sm S2m S3m 方法二 在等差数列中， m ，2m ， 3m 成等差数列， 2S2m Sm S3m ∴ 2m ＝ m ＋3m . 即 S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
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B．10
C．19
D．29
解析
钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数
列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1 nn＋1 ＋2＋3＋„＋n＝ 2 . 当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200. ∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根.
na1＋an 2 __________；若首项为a1，公差为d，则Sn可以表示为Sn＝
1 na1＋ n(n－1)d __________________. 2
3．写出下列常见等差数列的前n项和
1 n(n＋1) 2 (1)1＋2＋3＋„＋n＝____________. n2 (2)1＋3＋5＋„＋(2n－1)＝____. n2＋n (3)2＋4＋6＋„＋2n＝________.
，
，
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2.2.2(一)
Sn 1 1 ∴ ＝a1＋ (n－1)d＝－2＋ (n－1)， n 2 2
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Sn＋1 Sn 1 ∵ － ＝2， n＋1 n Sn 1 是等差数列，其首项为－2，公差为 ， ∴数列 2 n nn－1 1 1 2 9 ∴Tn＝n(－2)＋ 2 ×2＝4n －4n.
(3)15
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2.2.2(一)
[问题情境] “数学王子”高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史
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上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名． 高斯十岁那年，老师布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到100 的所有整数加起来，老师刚叙述完题目，高斯即刻把写着答案的小石 板交了上去．老师起初并不在意这一举动，但当他发现全班唯一正确 的答案属于高斯时，才大吃一惊．而更使人吃惊的是高斯的算法，他 发现：第一个数加最后一个数的和是101，第二个数加倒数第二个数 的和也是101，„共有50对这样的数，用101乘以50得到5 050,这种算法 是教师未曾教过的方法，高斯自己就想出来了，那么这是一个什么样 的方法呢？它用于解决什么类型的问题呢？
整理得n2＋13n－420＝0.解之得n＝15，n＝－28(舍去)． 第2次相遇是在开始运动后15分钟．
小结 建立等差数列的模型时，注意相遇时甲、乙两人的路程 和是两个等差数列的前n项和．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2(一)
跟踪训练3 现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛， 要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( B ) A．9
解之得n＝4. 又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d， 解之得d＝－171.
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例2
2.2.2(一)
(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an} Sn Tn ＝
的前3m项的和S3m； (2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知
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2.2.2(一)
例3 甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动,甲第1 分钟走2 m,以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？ (2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前
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1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟 后第二次相遇？
2.2.2(一)
2.2.2 等差数列的前n项和(一)
学习要求 1．理解等差数列前n项和公式的推导过程． 2．熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由
本 课 时 栏 目 开 关
其中三个求另外两个． 3．掌握等差数列前n项和公式及性质的应用． 学法指导 1．运用等差数列的前n项和公式的关键在于准确把握它们的结构 特征，这样才能根据具体情境(已知条件和待求目标)选用恰当 的公式解决问题． 2．要善于从推导等差数列的前n项和公式中，归纳总结出一般的 求和方法——倒序相加法．
∴2Sn＝(a1＋an)×n，
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2.2.2(一)
na1＋an 由此可得等差数列{an}的前n项和公式：Sn＝ . 2
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根据等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d， nn－1 代入上式可得Sn＝na1＋ d. 2
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m
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探究2 若数列{an}是公差为d的等差数列，求证：数列{
2.2.2(一)
Sn }也是 n
等差数列．
证明 ∵{an}是等差数列，公差为d，
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nn－1 d 2 d ∴Sn＝na1＋ d＝ n ＋(a1－ )n， 2 2 2 Sn d d ∴ ＝2n＋(a1－2)， n Sn＋1 Sn d ∴ － ＝ (常数)， n＋1 n 2 Sn d ∴数列{ }为等差数列，公差为 2. n
n＝5 解方程组得 a1＝3 n＝7， 或 a1＝－1.
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小结
在解决等差数列问题时，如已知a1，an，n，d，Sn中任意三
个，可求其余两个，这种问题在数学上常称为“知三求二”型．
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跟踪训练1 已知等差数列{an}中： 3 1 (1)a1＝ ，d＝－ ，Sn＝－15，求n及an； 2 2 (2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d.
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2.2.2(一)
本 课 时 栏 目 开 关
探究3 设Sn、Tn分别为两个等差数列{an}和{bn}的前n项和，证 an S2n－1 明： ＝ . bn T2n－1 2n－1 1 证明 ∵S2n－1＝ (2n－1)(a1＋a2n－1)＝ · n 2a 2 2
＝(2n－1)an；
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这种方法叫倒序相加法，是等差数列求和的一种重要方法，这
本 课 时 栏 目 开 关
一节我们就来学习等差数列的求和方法．
研一研·问题探究、课堂更高效探究点来自 问题 等差数列前n项和公式的推导
2.2.2(一)
求和：1＋2＋3＋„＋100.
对于这个问题，著名数学家高斯十岁时就能很快求出它的结 果．当时他的思路和解答方法是：S＝1＋2＋3＋„＋99＋100，
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把加数倒序写一遍：S＝100＋99＋98＋„＋2＋1. 所以有2S＝(1＋100)＋(2＋99)＋„＋(99＋2)＋(100＋1)＝ 100×101，∴S＝50×101＝5 050. 请你利用“高斯的算法”求1＋2＋3＋„＋n＝？
解 设Sn＝1＋2＋3＋„＋(n－1)＋n， 又Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋„＋2＋1，
2.2.2(一)
2．已知等差数列{an}中，a2＋a8＝8，则该数列的前9项和S9等 于
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( C ) B．27 C．36 D．45 9 9 S9＝ (a1＋a9)＝ (a2＋a8)＝36. 2 2
2.2.2(一)
跟踪训练2 设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知 Sn S7＝7，S15＝75，Tn为数列 的前n项和，求Tn. n
解
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设等差数列{an}的公差为d， 1 则Sn＝na1＋ n(n－1)d， 2 ∵S7＝7，S15＝75，
7a ＋21d＝7 1 ∴ 15a1＋105d＝75 a ＝－2 1 解得 d＝1 a ＋3d＝1 1 ，即 a1＋7d＝5
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2.2.2(一)
1．记等差数列前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列
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的公差d等于 A．2 B．3 C．6 D．7
( B )
解析
S ＝2a ＋d＝4 2 1 由 S4＝4a1＋6d＝20
，解得d＝3.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
解
(1)设n分钟后第1次相遇，依题意， nn－1 有2n＋ 2 ＋5n＝70， 整理得n2＋13n－140＝0.解之得n＝7，n＝－20(舍去)． 第1次相遇是在开始运动后7分钟．
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2.2.2(一)
(2)设n分钟后第2次相遇，依题意， nn－1 有2n＋ ＋5n＝3×70， 2
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.2(一)
Sn 1．把a1＋a2＋„＋an叫数列{an}的前n项和，记做______．例如a1＋a2
S16 Sn－1 ＋„＋a16可以记做______；a1＋a2＋a3＋„＋an－1＝______ (n≥2)．
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2．若{an}是等差数列，则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn＝
相加法”求等差数列{an}的前n项和Sn吗？
解 Sn＝a1＋a2＋a3＋„＋an－1＋an
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＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋„＋[a 1＋(n－2)d]＋[a 1＋(n－1) d]，
Sn＝an＋an－1＋an－2＋„＋a2＋a1 ＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋„＋[an－(n－2)d]＋[a n－(n－1) d]，
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3 nn－1 1 解 (1)∵Sn＝n·＋ 2 (－2)＝－15， 2 整理得n2－7n－60＝0， 解之得n＝12或n＝－5(舍去)， 3 1 a12＝2＋(12－1)×(－2)＝－4. na1＋an n1－512 (2)由Sn＝ ＝ ＝－1 022， 2 2
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7n＋2 a5 ，求 的值． b5 n＋3
解 (1)方法一
在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m 成等差数列．
∴30,70，S3m－100 成等差数列． ∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
Sm S2m S3m 方法二 在等差数列中， m ，2m ， 3m 成等差数列， 2S2m Sm S3m ∴ 2m ＝ m ＋3m . 即 S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
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B．10
C．19
D．29
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钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数
列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1 nn＋1 ＋2＋3＋„＋n＝ 2 . 当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200. ∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根.
na1＋an 2 __________；若首项为a1，公差为d，则Sn可以表示为Sn＝
1 na1＋ n(n－1)d __________________. 2
3．写出下列常见等差数列的前n项和
1 n(n＋1) 2 (1)1＋2＋3＋„＋n＝____________. n2 (2)1＋3＋5＋„＋(2n－1)＝____. n2＋n (3)2＋4＋6＋„＋2n＝________.
，
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2.2.2(一)
Sn 1 1 ∴ ＝a1＋ (n－1)d＝－2＋ (n－1)， n 2 2
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Sn＋1 Sn 1 ∵ － ＝2， n＋1 n Sn 1 是等差数列，其首项为－2，公差为 ， ∴数列 2 n nn－1 1 1 2 9 ∴Tn＝n(－2)＋ 2 ×2＝4n －4n.
(3)15
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[问题情境] “数学王子”高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史
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上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名． 高斯十岁那年，老师布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到100 的所有整数加起来，老师刚叙述完题目，高斯即刻把写着答案的小石 板交了上去．老师起初并不在意这一举动，但当他发现全班唯一正确 的答案属于高斯时，才大吃一惊．而更使人吃惊的是高斯的算法，他 发现：第一个数加最后一个数的和是101，第二个数加倒数第二个数 的和也是101，„共有50对这样的数，用101乘以50得到5 050,这种算法 是教师未曾教过的方法，高斯自己就想出来了，那么这是一个什么样 的方法呢？它用于解决什么类型的问题呢？
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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修5【配套备课资源】第三章3.3(一)
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①方程－x2＋4x－3＝0的解集是 ②不等式－x2＋4x－3>0的解集是 ③不等式－x2＋4x－3<0的解集是
本 课 时 栏 目 开 关
§3.3（一）
问题2 作出函数y＝－x2＋4x－3的图象,根据图象完成下列问题： ； ； ．
答案 y＝－x2＋4x－3的图象．
①{1,3}；
集之间的联系，请补充完整. Δ>0 Δ＝0 Δ<0
本 课 时 栏 目 开 关
4ac 二次函数y＝ ax2＋bx＋ c(a>0)的图象
有两不等实数 一元二次方程
根x1,2＝ ax2＋bx＋c＝ －b± b2－4ac 数根x1＝x2 b 2a ＝－ 0(a>0)的根 2a (x1<x2)
有两相等实 没有实 数根
或者小于小根 ____________的实数的集合；ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集，就 大于小根，且小于大根 是______________________的实数的集合．
一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值．
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典型例题 例1 求下列不等式的解集： (1)2x2－3x－2≥0； (2)－3x2＋6x>2.
作出函数y＝x2－x－6的图象，根据图象完成下列问题：
①方程x2－x－6＝0的解集是 ②不等式x2－x－6>0的解集是 ③不等式x2－x－6<0的解集是
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§3.3（一）
答案
函数y＝x2－x－6的图象．
本 课 时 栏 目 开 关
①{－2,3}；
②{x|x<－2或x>3}；
③{x|－2<x<3}．
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修5【配套备课资源】第一章1.1.2习题课
题型一
本 课 时 栏 目 开 关
利用正、余弦定理证明三角恒等式 2 2 2 tan A a ＋c －b 例 1 在△ABC 中，求证： ＝ . tan B b2＋c2－a2
证明 方法一 sin A cos A sin Acos B 因为左边＝ sin B ＝sin Bcos A cos B
a2＋c2－b2 a2＋c2－b2 2ac a ＝ ·2 2 ＝ ＝右边， b b ＋c －a2 b2＋c2－a2 2bc
sin A cos B tan A ＝cos A· B ＝tan B＝左边， sin
2 2 2 tan A a ＋c －b 所以 ＝ . tan B b2＋c2－a2
小结
证明三角恒等式关键是消除等号两端三角函数式的差
异．形式上一般有：左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种．
研一研· 题型解法、解题更高效
习题课
本 课 时 栏 目 开 关
习题课
本 课 时 栏 目 开 关
学习要求 1．进一步熟练掌握正、余弦定理在解决各类三角形中的应用． 2．提高对正、余弦定理应用范围的认识． 3．初步应用正、余弦定理解决一些和三角、向量有关的综合问 题．
习题课
学法指导 解三角形的问题可以分为以下四类： (1)已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形． 此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角，用 三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边， 注意判断解的个数． (2)已知三角形的两角和任一边，解三角形． 此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时，可由正弦定 理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定 理求第三边．若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和 定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修5【配套备课资源】1.2(一)
整理得2t2－t－1＝0， 1 解得t＝1或t＝－ (舍去)． 2
即舰艇需1小时靠近渔船，此时AB＝10 3，BC＝10，
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§1.2（一）
在△ABC中，由正弦定理得 BC AB ＝sin 120° ， sin∠CAB 3 10× BCsin 120° 2 1 所以sin∠CAB＝ ＝ ＝ ， AB 10 3 2
研一研·问题探究、课堂更高效
§1.2（一）
dsin α2 sinα1＋α2 甲方案：第一步：计算AM.由正弦定理AM＝___________；
dsin β2 sinβ2－β1 第二步：计算AN.由正弦定理AN＝___________；
第三步：计算MN.由余弦定理
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AM2＋AN2－2AM×ANcosα1－β1 MN＝_________________________________.
解 在△ABC中，
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§1.2（一）
∠BCA＝90° ＋β， ∠ABC＝90° －α， ∠BAC＝α－β，∠CAD＝β. AC BC 根据正弦定理得 ＝ ， sin∠ABC sin∠BAC AC BC 即 ＝ ， sin90° －α sinα－β
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练一练·当堂检测、目标达成落实处
3.如图所示,为了测定河的宽度，在一岸边选定 两点A、B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝ 30° ，∠CBA＝75° ，AB＝120m，则河的宽度
本 课 时 栏 目 开 关
§1.2（一）
为
．
解析 在△ABC中，∠CAB＝30° ，∠CBA＝75° ， ∴∠ACB＝75° .∠ACB＝∠ABC. ∴AC＝AB＝120(m)．
即舰艇需1小时靠近渔船，此时AB＝10 3，BC＝10，
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§1.2（一）
在△ABC中，由正弦定理得 BC AB ＝sin 120° ， sin∠CAB 3 10× BCsin 120° 2 1 所以sin∠CAB＝ ＝ ＝ ， AB 10 3 2
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§1.2（一）
dsin α2 sinα1＋α2 甲方案：第一步：计算AM.由正弦定理AM＝___________；
dsin β2 sinβ2－β1 第二步：计算AN.由正弦定理AN＝___________；
第三步：计算MN.由余弦定理
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AM2＋AN2－2AM×ANcosα1－β1 MN＝_________________________________.
解 在△ABC中，
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§1.2（一）
∠BCA＝90° ＋β， ∠ABC＝90° －α， ∠BAC＝α－β，∠CAD＝β. AC BC 根据正弦定理得 ＝ ， sin∠ABC sin∠BAC AC BC 即 ＝ ， sin90° －α sinα－β
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练一练·当堂检测、目标达成落实处
3.如图所示,为了测定河的宽度，在一岸边选定 两点A、B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝ 30° ，∠CBA＝75° ，AB＝120m，则河的宽度
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§1.2（一）
为
．
解析 在△ABC中，∠CAB＝30° ，∠CBA＝75° ， ∴∠ACB＝75° .∠ACB＝∠ABC. ∴AC＝AB＝120(m)．
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修5【配套备课资源】第三章3.3(二)
(x－ 1)(x－ 2)(x－ 3)>0.我们可以列表如下：
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§3.3（二）
把代数式 (x － 1)(x － 2)(x － 3) 的符号规律“浓缩”在数轴上 得：
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据 此 ， 可 写 出 不 等 式 (x － 1)(x － 2)(x － 3)>0 的 解 集 是 {x|1<x<2 或 x>3} _____________________ ． 一般地，利用数轴穿根法解一元高次不等式的步骤： (1)化成形如 p(x)＝ (x－ x1)(x－ x2)„(x－ xn)>0 (或 <0)的标准 形式；
f x · g x≤0 f x g x≠ 0 (2) ≤0⇔________________ ；
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g x f x－ ag x f x (3) ≥a⇔ ≥ 0. g x g x
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§3.3（二）
探究点一 问题
小结
解答 ax2＋ bx＋ c>0或 ax2＋ bx＋ c<0恒成立问题时，不
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要遗漏二次项系数为零的情况，当 a>0时，可以由开口方向 和判别式来确定参数范围；当 a＝ 0时，要单独检验．
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§3.3（二）
跟踪训练1 不等式ax2＋2ax－(a＋2)≥0的解集是∅，则实数 a的取值范围是 (－1,0] ．
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§3.3（二）
(2)将每个因式的根标在数轴上， 从右上方依次通过每个点画 曲线； (3)奇次根依次穿过，偶次根穿而不过 (即不要改变符号 )； (4)根据曲线显现出的 p(x)的符号变化规律，标出 p(x)的正值 区间和负值区间； (5)写出不等式的解集，并检验零点是否在解集内．
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修5【配套备课资源】第二章2.3.1(一)
a＝8 解得 q＝2
2.3.1(一)
本 课 时 栏 目 开 关
a＝3 或 1 . q＝ 3
当a＝8，q＝2时，所求四个数为0,4,8,16； 1 当a＝3，q＝ 时，所求四个数为15,9,3,1. 3 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
研一研·问题探究、课堂更高效
a＝4， 解得 d＝4， a＝9， 或 d＝－6.
所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16； 当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
研一研·问题探究、课堂更高效
2a a 方法二 设四个数依次为 －a， ，a，aq(q≠0)， q q 2a q －a＋aq＝16 由条件得 ， a＋a＝12 q
研一研·问题探究、课堂更高效
2.3.1(一)
本 课 时 栏 目 开 关
小结
利用等比数列的通项公式求各项时，要注意选取的首项
a1与项数n的对应关系，计算各项时注意防止序号出错．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.3.1(一)
8 27 跟踪训练2 在 和 之间插入三个数，使这五个数成等比数 3 2 列，则插入的三个数的乘积为 216 ．
本 课 时 栏 目 开 关
解析 设这个等比数列为{an}，公比为q， 8 27 4 a5 81 a1＝3，a5＝ 2 ，则q ＝ ＝16， a1 2 9 ∴q ＝ . 4 ∴a2·3·4＝a1q·1q2·1q3 a a a a 83 93 3 3 6 ＝a1· ＝(3) ×(4) ＝6 ＝216. q
本 课 时 栏 目 开 关
等比中项
请你类比等差中项的概念，给出等比中项的概念．
2.3.1(一)
本 课 时 栏 目 开 关
a＝3 或 1 . q＝ 3
当a＝8，q＝2时，所求四个数为0,4,8,16； 1 当a＝3，q＝ 时，所求四个数为15,9,3,1. 3 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
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a＝4， 解得 d＝4， a＝9， 或 d＝－6.
所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16； 当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
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2a a 方法二 设四个数依次为 －a， ，a，aq(q≠0)， q q 2a q －a＋aq＝16 由条件得 ， a＋a＝12 q
研一研·问题探究、课堂更高效
2.3.1(一)
本 课 时 栏 目 开 关
小结
利用等比数列的通项公式求各项时，要注意选取的首项
a1与项数n的对应关系，计算各项时注意防止序号出错．
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2.3.1(一)
8 27 跟踪训练2 在 和 之间插入三个数，使这五个数成等比数 3 2 列，则插入的三个数的乘积为 216 ．
本 课 时 栏 目 开 关
解析 设这个等比数列为{an}，公比为q， 8 27 4 a5 81 a1＝3，a5＝ 2 ，则q ＝ ＝16， a1 2 9 ∴q ＝ . 4 ∴a2·3·4＝a1q·1q2·1q3 a a a a 83 93 3 3 6 ＝a1· ＝(3) ×(4) ＝6 ＝216. q
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等比中项
请你类比等差中项的概念，给出等比中项的概念．
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修5【配套备课资源】1.1.1(一)
第一章 解三角形§1.1 正弦定理和余弦定理1．1.1 正弦定理(一)一、基础过关1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．b sin C ＝c sin AC ．ab sin C ＝bc sin BD ．a sin C ＝c sin A2．在△ABC 中，若A ＝30°，B ＝60°，b ＝3，则a 等于( ) A ．3 B ．1 C ．2 D.123．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( ) A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形4．在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则B 为( ) A.π3B.π6C.π3或23π D.π6或56π 5．在△ABC 中，已知a ∶b ∶c ＝3∶4∶5，则2sin A －sin B sin C＝________. 6．在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝________. 7．已知在△ABC 中，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a 、b 和B .8．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，求证：a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2ab sin C .二、能力提升9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π610．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是 ( ) A.⎝⎛⎭⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞)C ．(0,10) D.⎝⎛⎦⎤0，403 11．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________. 12．在△ABC 中，已知a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，求A 的值．三、探究与拓展13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，求角C 的大小．答案1．D 2.B 3.A 4.C 5.25 6.5237．解 ∵a sin A ＝c sin C， ∴a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝10 2. B ＝180°－(A ＋C )＝180°－(45°＋30°) ＝105°.又∵b sin B ＝c sin C， ∴b ＝c sin B sin C ＝10×sin 105°sin 30°＝20sin 75° ＝20×6＋24＝5(6＋2)． 8．证明 因为左边＝4R 2sin 2A ·sin 2B ＋4R 2sin 2B ·sin 2A ＝8R 2sin 2A sin B cos B ＋8R 2sin 2B sin A cos A ＝8R 2sin A sin B (sin A cos B ＋cos A sin B ) ＝8R 2sin A sin B sin(A ＋B )＝8R 2sin A sin B sin C＝2·(2R sin A )·(2R sin B )·sin C＝2ab sin C ＝右边，∴等式成立．9．D 10.D 11.10212．解 ∵b ＝2a ∴sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°，∴sin(A ＋60°)＝2sin A ， 即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ， 化简得：sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33，∴A ＝30°. 13．解 ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C )＝3sin(30°＋C )＝3⎝⎛⎭⎫32sin C ＋12cos C ， 即sin C ＝－3cos C ．∴tan C ＝－ 3. 又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.。
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修5【配套备课资源】第三章3.5.2(一)
研一研·问题探究、课堂更高效
3.5.2（一）
如图所示，直线 MB 的斜率最大，直线 MC 的斜率最小，
本 课 时 栏 目 开 关
又∵B(0,2)，C(1,0)， 1 ∴zmax＝kMB＝3；zmin＝kMC＝ . 2
1 ∴z 的最大值为 3，最小值为 . 2
研一研·问题探究、课堂更高效
3.5.2（一）
|x＋2y－4| (3)将目标函数化为z＝ 5 · 2 2 ，问题化归为求可行域内的 1 ＋2 点(x，y)到直线x＋2y－4＝0的距离的 5倍的最大值．观察图，点 B(0,2)到直线x＋2y－4＝0的距离最小，为0；点A(2,3)到直线x＋ 4 2y－4＝0的距离最大，为 .所以zmax＝4，zmin＝0. 5 小结 当斜率k，两点间的距离，点到直线的距离与可行域相结
练一练·当堂检测、目标达成落实处
3.5.2（一）
x≥0， 1．已知实数x、y满足约束条件 y≥0， x＋y≤2， 本
课 时 栏 目 开 关
则z＝2x＋4y的最
大值为
解析
8
பைடு நூலகம்
．
由不等式组表示的可行域知，目标函数z在
点(0,2)处取得最大值8.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
x＋y≥6， 2．若x、y满足x≤4， y≤4，
合求最值时，注意数形结合思想方法的灵活运用．
研一研·问题探究、课堂更高效
7x－5y－23≤0 跟踪训练2 已知x，y满足条件x＋7y－11≤0 4x＋y＋10≥0 (1)4x－3y的最大值和最小值；
本 课 时 栏 目 开 关
3.5.2（一）
.求：
(2)x2＋y2的最大值和最小值．
解 7x－5y－23≤0 (1)不等式组x＋7y－11≤0 4x＋y＋10≥0 表示的公共区域如
《步步高-学案导学设计》2013-2014学年-高中数学-人教B版必修5【配套备课资源】第一章章末复
跟踪训练 2 如图所示，已知⊙O 的半径是 1，点 C 在直径 AB
的延长线上，BC＝1，点 P 是⊙O 半圆上的一个动点，以 PC
为边作等边三角形 PCD，且点 D 与圆心分别在 PC 的两侧．
本
课
时
栏 目
(1)若∠POB＝θ，试将四边形 OPDC 的面积 y 表示为关于 θ 的
栏
目 解析 如图，连接 AC，
开 关
∠ABC＝60°，BC＝AB＝5，则 AC＝5.
在△ACD 中，AD＝3 2，AC＝5，∠DAC＝45°，
由余弦定理得 CD＝ 13(海里)．
章末复习课
6
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
题型一 构建方程(组)解三角形问题
例 1 已知△ABC 中，b＝3，c＝3 3，B＝30°，求 a 的值．
a＝6.
当 C＝120°时，A＝180°－B－C＝30°. 由sina A＝sinb B＝6，解得 a＝3.
所以 a 的值为 6 或 3.
章末复习课
8
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
小结 已知三角形的两边及一边的对角，可用正弦定理解三
角形，也可用余弦定理解三角形．如已知 a，b，A，可先由
本 课
题型二 构建目标函数解三角形问题
例 2 甲船在 A 处、乙船在甲船正南方向距甲船 20 海里的 B 处，
乙船以每小时 10 海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每
小时 8 海里的速度由 A 处向北偏西 60°方向行驶，问经过多少
本 课
小时后，甲、乙两船相距最近？
时 栏
解 设甲、乙两船经 t 小时后相距最近，且分别到达 P、Q 两处，
4．如图，海岸线上有相距 5 海里的两座灯塔 A，B，
《步步高-学案导学设计》2013-2014学年-高中数学-人教B版必修5PPT优秀课件
1.1.1(二)
1.1.1 正弦定理(二)
学习要求
1．熟记正弦定理的有关变形公式．
本 2．探究三角形面积公式的表现形式，能结合正弦定理解与面
课
积有关的斜三角形问题．
时
栏 3．能根据条件，判断三角形解的个数．
目
开 学法指导
关
1．已知两边及其中一边对角解三角形，其解不一定唯一，应
注意运用大边对大角的理论判断解的情况．
5
研一研·问题探究、课堂更高效
1.1.1(二)
探究1 在△ABC中，已知a，b和A，若A为直角，讨论三角形
解的情况．(请完成下表)
关系式
a≤b
a＞b
本
课 时
图形
栏
目
开 关
解的
无解
一解
个数
2021/6/3
6
研一研·问题探究、课堂更高效
1.1.1(二)
探究2 在△ABC中，已知a，b和A，若A为钝角，讨论三角形
2．三角形面积公式：S＝_12_a_b_s_i_n_C___＝__12_b_c_si_n_A___＝__12_a_c_s_in_B___.
2021/6/3
2
填一填·知识要点、记下疑难点
1.1.1(二)
3．在△ABC中，若sin A>sin B，则角A与角B的大小关系为( A )
A．A>B
本
B．A<B
＝12acsinB＝12absinC.
本 课 时
同理S△ABC＝12absinC＝12bcsinA.
栏 目 开
∴S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB.
关
2021/6/3
1.1.1(二)
1.1.1 正弦定理(二)
学习要求
1．熟记正弦定理的有关变形公式．
本 2．探究三角形面积公式的表现形式，能结合正弦定理解与面
课
积有关的斜三角形问题．
时
栏 3．能根据条件，判断三角形解的个数．
目
开 学法指导
关
1．已知两边及其中一边对角解三角形，其解不一定唯一，应
注意运用大边对大角的理论判断解的情况．
5
研一研·问题探究、课堂更高效
1.1.1(二)
探究1 在△ABC中，已知a，b和A，若A为直角，讨论三角形
解的情况．(请完成下表)
关系式
a≤b
a＞b
本
课 时
图形
栏
目
开 关
解的
无解
一解
个数
2021/6/3
6
研一研·问题探究、课堂更高效
1.1.1(二)
探究2 在△ABC中，已知a，b和A，若A为钝角，讨论三角形
2．三角形面积公式：S＝_12_a_b_s_i_n_C___＝__12_b_c_si_n_A___＝__12_a_c_s_in_B___.
2021/6/3
2
填一填·知识要点、记下疑难点
1.1.1(二)
3．在△ABC中，若sin A>sin B，则角A与角B的大小关系为( A )
A．A>B
本
B．A<B
＝12acsinB＝12absinC.
本 课 时
同理S△ABC＝12absinC＝12bcsinA.
栏 目 开
∴S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB.
关
2021/6/3
1.1.1(二)
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修5【配套备课资源】1.1.1(一)
1.1.1（一）
b＋c＝4k 则c＋a＝5k a＋b＝6k
本 课 时 栏 目 开 关
.
∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝7∶5∶3.
答案 B
研一研·问题探究、课堂更高效
a－ccos B sin B 例2 在△ABC中，求证： ＝ . sin A b－ccos A a b c 证明 因为 ＝ ＝ ＝2R， sin A sin B sin C 所以 2Rsin A－2Rsin Ccos B sinB＋C－sin Ccos B 左边＝ ＝ 2Rsin B－2Rsin Ccos A sinA＋C－sin Ccos A sin Bcos C sin B ＝ ＝ ＝右边． sin Acos C sin A
小结
a b c 综上所述，对于任意△ABC， ＝ ＝ ＝2R sin A sin B sin C
恒成立．
研一研·问题探究、课堂更高效
典型例题
1.1.1（一）
例1 在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若 A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c等于 A．1∶2∶3
本 课 时 栏 目 开 关
(
)
B．2∶3∶4 D．1∶ 3∶2
C．3∶4∶5
解析 ∵A＋B＋C＝π，A∶B∶C＝1∶2∶3，
π π π ∴A＝ ，B＝ ，C＝ ， 6 3 2 1 3 ∴sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝1. 2 2
研一研·问题探究、课堂更高效
a b c 设 ＝ ＝ ＝k(k＞0)，则 sin A sin B sin C k 3 a＝ksinA＝ ；b＝ksinB＝ k；c＝ksinC＝k； 2 2 1 3 ∴a∶b∶c＝ ∶ ∶1＝1∶ 3∶2，故选D. 2 2 答案 D