概率独立性
事件的相互独立性、条件概率与全概率公式-高考数学复习
）
A. 甲与丙相互独立
B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立
D. 丙与丁相互独立
目录
解析：
1
事件甲发生的概率 P （甲）＝ ，事件乙发生的概率 P
6
1
5
5
（乙）＝ ，事件丙发生的概率 P （丙）＝
＝ ，事件丁发生的概
6
6×6
36
6
1
率 P （丁）＝
＝ .事件甲与事件丙同时发生的概率为0， P （甲
）＝（1－0.6）×0.5×0.5×0.4＋0.6×（1－0.5）×0.5×0.4＋
0.6×0.5×（1－0.5）×0.4＋0.6×0.5×0.5×（1－0.4）＝0.25，4人需
使用设备的概率 P 2＝0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06，故所求的概率 P ＝
3
2
3
5
（ ）·P （ ）·P （ ）＝（1－ ）（1－ ）（1－ ）＝ .
4
3
8
96
因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙
三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，
5
91
所以所求事件的概率为 P （ M ）＝1－ ＝ .
96
96
目录
解题技法
1. 求相互独立事件同时发生的概率的步骤
2∪…∪ An ＝Ω，且 P （ Ai ）＞0， i ＝1，2，…， n ，则对任意的事
件 B ⊆Ω，有 P （ B ）＝
∑ P （ Ai ） P （ B ｜ Ai ）
i=1
，我们称上面
的公式为全概率公式.
目录
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
知识点概率与统计中的事件独立性
知识点概率与统计中的事件独立性知识点：概率与统计中的事件独立性事件独立性是概率与统计中的一个重要概念，指的是两个或多个事件之间的发生与否互不影响、相互独立的性质。
在实际问题中，对事件独立性的判断和运用是非常常见的。
一、事件独立性的定义和性质在概率与统计中，如果两个事件A和B满足以下条件，即当事件A 发生与否并不影响事件B的概率时，称事件A与B是独立事件。
具体而言，事件A与B的独立性可表述为：P(A∩B) = P(A) × P(B)其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率。
根据事件独立性的定义，可以得出以下性质：1. 事件A与自身是独立的，即P(A∩A) = P(A) × P(A)，即事件A发生与否不影响事件A本身的概率。
2. 如果事件A与事件B独立，那么事件A的补事件与事件B也是独立的，即P(A'∩B) = P(A') × P(B)。
3. 如果事件A与事件B独立，那么事件A与事件B的补事件也独立，即P(A∩B') = P(A) × P(B')。
二、事件独立性的判断在实际问题中，如何判断两个事件是否独立是一个重要的问题。
通常可以通过以下两种方式进行判断。
1. 通过已知概率判断：如果已知事件A和事件B的概率，可以通过计算P(A∩B)和P(A) × P(B)来判断两者是否相等。
如果相等，则事件A与事件B是独立的；如果不相等，则事件A与事件B不是独立的。
2. 通过条件概率判断：根据条件概率的定义，如果已知事件A和事件B的条件概率P(A|B)和P(B|A)，可以通过比较P(A|B)和P(A)以及P(B|A)和P(B)的大小关系来判断事件A与事件B的独立性。
如果条件概率与边际概率相等，则事件A与事件B是独立的；如果条件概率与边际概率不相等，则事件A与事件B不是独立的。
概率与统计中的事件独立性
概率与统计中的事件独立性事件独立性是概率论和统计学中一个基本概念，用于描述两个或多个事件之间是否相互独立发生的性质。
在概率论和统计学中，研究事件独立性对于理解随机性事件的关系和推断未知信息具有重要意义。
本文将介绍概率与统计中的事件独立性的定义、性质和应用。
一、定义在概率论中，两个事件A和B是相互独立的，当且仅当事件A的发生与B的发生是相互无关的，即事件A的发生不会影响事件B的发生概率，记作P(A∩B) = P(A)P(B)。
其中，P(A)和P(B)分别表示事件A 和事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率。
如果P(A∩B) ≠ P(A)P(B)，则事件A和B是不独立的。
二、性质事件独立性具有以下性质：1. 互逆性：若事件A和B独立，则事件B和A也独立。
2. 自反性：事件A与自身独立，即P(A∩A) = P(A)P(A) = P(A)。
3. 不交性：对于任意事件A和B，若A与B互不相容（即A∩B=∅），则A和B不独立。
4. 幂等性：若事件A和事件B独立，那么事件A和事件B的补集(A'和B')也独立。
三、应用事件独立性在概率论和统计学中有广泛的应用，例如：1. 加法法则与乘法定理：事件独立性是加法法则和乘法定理的重要前提。
根据加法法则，对于互不相容的事件A和B，其联合概率可以表示为P(A∪B) = P(A) + P(B)。
而乘法定理则利用了独立事件的特性，通过P(A∩B) = P(A)P(B)计算联合概率。
2. 条件独立性：条件独立性指的是在给定某一事件的条件下，其他事件之间是否独立。
例如，对于事件A、B和C，若事件A和B独立，且事件C与A的发生与否无关，那么事件C与B也独立。
3. 贝叶斯定理：贝叶斯定理利用了事件独立性的概念，通过P(A|B) = P(B|A)P(A) / P(B)计算后验概率。
其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
4. 统计推断：在统计学中，独立性的概念也广泛应用于构建统计模型和进行推断。
《概率论》第1章§6独立性
两两独立 三三独立 ……
概率论的基本概念
§6 独立性
8/25
设每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%, 求混合100个人的血清中含有肝炎病毒的概率. 记 Ai { 第 i 个人血清含肝炎病毒 }, i 1, 2, ,100 则所求概率为
100 P ( Ai ) P Ai i 1 i 1
100
1 P ( Ai )
i 1
100
根据实际问题 判断事件独立性
1 0.996
100
0.33
第一章
概率论的基本概念
§6 独立性
9/25
P( AB) P( A) P( B) P( BC ) P( B) P(C ) P(CA) P(C ) P( A)
A, B, C 相互独立
时 , 两种赛制甲最终获胜的 1 2 .
制有利 .
概率是
相同的 , 都是
§6 独立性
19/25
甲、乙两坦克的首发命中率均为0.8，经修正后的第 二发命中率均为0.95，敌目标被一发炮弹击中而被击毁 的概率为0.2，被两发炮弹击中而击毁的概率为0.5，被三 发炮弹击中必定被击毁。在战斗中，甲、乙两坦克分别 向敌同一目标发射了两发炮弹，求敌目标被击毁的概率。
p n P ( Ai )
i 1 n
1 P ( Ai )
i 1
n
n 1 (1 p) 1 0.999 n
n pn
1000
2000
3000
4000
5000
0.632 0.865 0.950 0.982 0.993
可见即使 p 很小，但只要试验不断进 行下去，小概率事件几乎必然要发生
高中数学概率计算中的条件概率与独立性判定
高中数学概率计算中的条件概率与独立性判定概率是数学中一个重要的概念，它描述了某个事件发生的可能性大小。
在概率计算中，条件概率与独立性判定是两个重要的考点，它们在解题过程中起着至关重要的作用。
本文将围绕这两个概念展开讨论，并通过具体题目的举例，说明其考点和解题技巧。
一、条件概率的概念和计算方法条件概率是指在已知某个条件下，另一个事件发生的概率。
常用的计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
例如，某班学生中有30%的人会打篮球，其中男生占总人数的40%，女生占总人数的60%。
现在从该班级中随机抽取一个学生，已知这个学生会打篮球，求这个学生是男生的概率。
解题思路：设事件A表示所抽取的学生是男生，事件B表示所抽取的学生会打篮球。
根据已知条件可知，P(A) = 40%，P(B) = 30%，P(A∩B) = P(B|A) * P(A) = 0.3 * 0.4 = 0.12。
根据条件概率的计算公式可得到所求概率：P(A|B) = P(A∩B) / P(B) = 0.12 / 0.3 = 0.4。
通过这个例子，我们可以看出条件概率在解题中的重要性。
在实际应用中，条件概率常常用于处理复杂的情况，如疾病的诊断、市场调研等领域。
二、独立性判定的概念和判定方法独立性是指两个事件之间的发生与否不相互影响。
如果事件A和事件B是独立的，那么P(A∩B) = P(A) * P(B)。
否则，事件A和事件B是相关的。
例如，某班学生中有80%的人喜欢音乐，70%的人喜欢阅读，已知喜欢音乐的学生中有60%的人也喜欢阅读。
问喜欢音乐和喜欢阅读这两个事件是否独立？解题思路：设事件A表示喜欢音乐，事件B表示喜欢阅读。
根据已知条件可知，P(A) = 80%，P(B) = 70%，P(A∩B) = 60%。
条件概率与事件的独立性例题和知识点总结
条件概率与事件的独立性例题和知识点总结在概率论中，条件概率和事件的独立性是两个非常重要的概念。
理解它们对于解决各种概率问题至关重要。
下面，我们将通过一些具体的例题来深入探讨这两个概念，并对相关知识点进行总结。
一、条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
其定义为：设 A、B 是两个事件，且 P(A)＞0，在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率记为 P(B|A)，且 P(B|A) ＝ P(AB) ／P(A) 。
例 1：一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球。
从中随机取出一个球，已知取出的是红球，求它是第二个红球的概率。
解：设 A 表示“第一次取出红球”，B 表示“第二次取出红球”。
则P(A) ＝ 5/8 。
P(AB) 表示“第一次和第二次都取出红球”，其概率为 5/8 × 4/7 ＝ 5/14 。
所以 P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A) ＝（5/14) ／（5/8) ＝4/7 。
例 2：某班级学生的数学成绩及格率为 80%，英语成绩及格率为70%，已知某学生数学成绩及格，求他英语成绩也及格的概率。
解：设 A 表示“数学成绩及格”，B 表示“英语成绩及格”。
P(A) ＝08 ，P(AB) 表示“数学和英语成绩都及格”，假设两者相互独立，则P(AB) ＝ 08 × 07 ＝ 056 。
所以 P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A) ＝ 056 ／ 08 ＝07 。
二、事件的独立性如果事件 A 的发生不影响事件 B 发生的概率，事件 B 的发生也不影响事件 A 发生的概率，那么称事件 A 和事件 B 相互独立。
即 P(B|A) ＝ P(B) 且 P(A|B) ＝ P(A) ，等价于 P(AB) ＝ P(A)P(B) 。
例 3：抛掷两枚均匀的硬币，设事件 A 为“第一枚硬币正面朝上”，事件 B 为“第二枚硬币正面朝上”，判断 A、B 是否独立。
概率论第三章事件的独立性
用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性,比用
P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B)
更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制约.
一、两事件独立的定义
若两事件A、B满足
P(AB)= P(A) P(B)
(1)
则称A、B独立，或称A、B相互独立.
例1 从一副不含大小王的扑克牌中任取一 张，记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}
所求为 P(A1∪A2∪A3)
记 Ai={第i个人破译出密码} i=1,2,3
1 所求为 P(A1∪A2∪A3)
3
已知, P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4
P(A1∪A2∪A3) 1 P( A1 A2 An )
2
1 P( A1A2 A3)
1 P( A1)P( A2 )P( A3)
= P( A1 )P( Ai1 ) P( Aim ).
[注释] 1. n个事件独立，则其中任意k（2≤k<n） 个事件也独立，反之未必成立，
2. 在实际应用中，独立性往往通过实际 意义判断，而不用定义证明；在理论证 明中，独立性用定义或定理证明。
3. 事件的独立与互斥是两个截然不同的概 念，互斥是指两个事件之间的关系，独 立是指两个事件概率之间的关系。
由于“甲命中”并不影响“乙命中”的
概率，故认为A、B独立 .
（即一事件发生与否并不影响另一事件发生 的概率）
又如：一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai={第i件是合格品} i=1,2
若抽取是有放回的, 则A1与A2独立.
因为第二次抽取的结果
不受第一次抽取的影响. 若抽取是无放回的，则A1 与A2不独立.
概率独立性与相关性的判断
概率独立性与相关性的判断概率独立性和相关性是概率论中的两个重要概念，它们在统计学和数据分析中具有广泛的应用。
本文将深入探讨概率独立性和相关性的判断方法及其在实际问题中的应用。
一、概率独立性的判断概率独立性是指两个事件的发生与否互相不影响，即事件A的发生与否对事件B的发生概率没有影响，反之亦然。
在判断概率独立性时，我们可以根据联合概率和边缘概率之间的关系进行分析。
对于两个事件A和B，若它们为独立事件，则有以下条件成立：P(A∩B) = P(A) * P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
通过计算上述等式两边的数值来判断两个事件是否独立。
若等式成立，则说明两个事件独立；若等式不成立，则说明两个事件不独立。
举例来说，假设有一枚公正的硬币，事件A表示抛掷硬币正面朝上，事件B表示抛掷硬币反面朝上。
根据硬币的性质，我们知道事件A和事件B是独立的，因为抛掷硬币的结果不受之前的结果影响，每一次抛掷硬币的概率都是1/2。
二、相关性的判断相关性是指两个变量之间的关联程度。
在统计学中，用协方差和相关系数来衡量两个随机变量之间的相关性。
1. 协方差协方差是衡量两个变量关系强弱和方向的统计量，用Cov(X,Y)表示，其中X和Y为两个随机变量。
协方差的计算公式如下：Cov(X, Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]其中E表示期望值。
协方差为正值时，表示X和Y呈正相关；协方差为负值时，表示X和Y呈负相关；协方差为零时，表示X和Y不相关。
2. 相关系数相关系数是在协方差的基础上进行标准化的统计量，用ρ(X,Y)表示，取值范围为[-1,1]。
相关系数的计算公式如下：ρ(X, Y)= Cov(X, Y) / σ(X)σ(Y)其中σ(X)和σ(Y)分别表示X和Y的标准差。
相关系数接近于1时，表示X和Y呈正相关；相关系数接近于-1时，表示X和Y呈负相关；相关系数接近于0时，表示X和Y不相关。
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或
概率论
证 先证必要性 . 设事件 A、B 独立 ,由独立定义知
P AB P A P B
P AB P AP B P A 所以 ,当 P B 0 时 , P A | B P B P B P AB P AP B P B 或者 ,当 P A 0 时 , P B | A P A P A
则称三事件 A、B、C 为两两独立的事件 .
当事件A、B、C 两两独立时 , 等式 P ABC P AP B P C
不一定成立 .
概率论
例如 S 1 , 2 , 3 , 4 , A 1 , 2 , B 1 , 3 ,
1 C 1 , 4 , 则 P A P B P C , 并且 , 2 1 P AB P AP B , 4 1 P AC P A P C , 4 1 P BC P B P C . 4 即事件 A、B、C 两两独立 . 1 . 但是 P ABC P AP B P C 4
的 k 1 k n , 和任意的1 i1 i2 ik n 有等式 P Ai1 Ai2 Aik P Ai1 P Ai2 P Aik
则称 A1 , A2 , , An 为相互独立的事件.
定理 若n个事件A1，…，An相互独立，则将其中任 意k个事件换成其对立事件后所得到的n个事件仍相 互独立。 请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系 对 n (n > 2)个事件
再证充分性 : 设 P A | B P A 成立 , 则有
P AB P A | B P B P AP B
由定义可知, 事件 A、B 相互独立 .
概率论
请问：如图的两个事件是独立的吗？ 我们来计算：
A
P(AB)=0
而P(A) ≠0, P(B) ≠0
3
4 2 3 3 1 0.6 5 3 4 5
概率论
三、小结
这一讲，我们介绍了事件独立性的概念. 不 难发现，当事件相互独立时，乘法公式变得十分 简单，因而也就特别重要和有用. 如果事件是独 立的，则许多概率的计算就可大为简化.
概率论
四、 布置作业
《概率统计》习题册
相互独立
?
两两独立
概率论
例 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译 出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人 能将密码译出的概率是多少？ 解 将三人编号为1，2，3， 记 Ai={第i个人破译出密码} 所求为 P A1 A2 A3 已知, P(A1)=1/5 , P(A2)=1/3 , P(A3)=1/4 i=1 , 2 , 3
概率的性质 A、B独立
P(A B )= P(A - A B)
= P(A)- P(AB) = P(A)- P(A) P(B) =P(A)[1- P(B)] = P(A) P(B ) 故 A与 B 独立
概率论
二、多个事件的独立性
定义 设 A、B、C 为三事件 , 如果满足等式
P AB P AP B P AC P AP C P BC P B P C
概率论
第六节
独立性
两个事件的独立性
多个事件的独立性
独立性的概念在计算概率中的应用
小结 布置作业
一、两事件的独立性
两事件独立的定义 若两事件A、B满足
P(AB)= P(A) P(B) (1)
概率论
则称A、B相互独立，简称A、B独立.
定理 1 事件 A、B 独立的充要条件为
P A | B P A , P B 0 P B | A P B , P A 0
B
即
P(AB) ≠ P(A)P(B)
故 A、B不独立 即 若A、B互斥，且P(A)>0, P(B)>0, 则A与B不独立. 反之，若A与B独立，且P(A)>0, P(B)>0, 则A 、B不互斥.
概率论
定理 2 若两事件A、B独立, 则 A 与B, A与B , A 与B 也相互独立. 证明 仅证A与 B 独立
概率论
对于三个事件A、B、C，若
P(AB)= P(A)P(B)
P(AC)= P(A)P(C) P(BC)= P(B)P(C) P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 四个等式同时成立,则称事件A、B、C相互独立.
此பைடு நூலகம்义可以推广到任意 有限多个事件的情形:
概率论
定义 设 A1 , A2 , , An 为 n 个事件 , 如果对于任意
P A1 A2 A3 1 P A1 A2 A3
概率论
1
P A1 A2 A3 1 P A1 A2 A3
1 P ( A1 A2 A3 )
2
1 P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 )
=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]