四川省达州市达川区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题(解析版)

四川省达州市达川区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题一．选择题（共10小题）1.下列方程是一元二次方程的是（ ）A. 2x 2）5x+3B. 2x 2）y+1=0C. x 2=0D. 21x + x=2 【答案】C【解析】【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2））2）二次项系数不为0））3）是整式方程；）4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】A 、不是方程，故本选项错误；B 、方程含有两个未知数，故本选项错误；C 、符合一元二次方程的定义，故本选项正确；D）不是整式方程，故本选项错误．故选C）【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2）2.如图，桌面上放着1个长方体和1个圆柱体，按如图所示的方式摆放在一起，其左视图是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据左视图是从左面看所得到的图形进行解答即可．【详解】从左边看时，圆柱和长方体都是一个矩形，圆柱的矩形竖放在长方体矩形的中间． 故选：C ．【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．3.如图，已知矩形ABCD 和矩形EFGO 在平面直角坐标系中，点B ，F 的坐标分别为(－4,4)，(2,1)．若矩形ABCD 和矩形EFGO 是位似图形，点P (点P 在GC 上)是位似中心，则点P 的坐标为( )A. (0,3)B. (0,2.5)C. (0,2)D. (0,1.5)【答案】C【解析】【分析】如图连接BF 交y 轴于P ，由BC ）GF 可得GP PC ＝GF PC ，再根据线段的长即可求出GP ，PC ，即可得出P 点坐标.【详解】连接BF 交y 轴于P ，）四边形ABCD 和四边形EFGO 是矩形，点B ，F 的坐标分别为(－4,4)，(2,1)，）点C 的坐标为(0,4)，点G 的坐标为(0,1)，）CG ＝3，）BC ）GF ， ）GP PC ＝GF PC ＝12， ）GP ＝1，PC ＝2，）点P 的坐标为(0,2)，故选C【点睛】此题主要考查位似图形的性质，解题的关键是根据位似图形的对应线段成比例. .4.电脑福利彩票中有两种方式“22选5”和“29选7”，若选中号码全部正确则获一等奖,你认为获一等奖机会大的是（ ）A. “22选5”B. “29选7”C. 一样大D. 不能确定【答案】A【解析】从22个号码中选5个号码能组成数的个数有22×21×20×19×18=3160080，选出的这5个号码能组成数的个数为5×4×3×2×1=120，这5个号码全部选中的概率为120÷3160080=3.8×10−5；从29个号码中选7个号码能组成数的个数为29×28×27×26×25×24×23= 7866331200，这7个号码能组成数的个数为7×6×5×4×3×2×1=5040，这7个号码全部选中的概率为5040÷7866331200=6×10−8，因为3.8×10−5＞6×10−8，所以，获一等奖机会大的是22选5．故选A ．5.如图，Rt△ABC 中，△C=90°，AC=3，BC=4．分别以AB 、AC 、BC 为边在AB 的同侧作正方形ABEF 、ACPQ 、BCMN ，四块阴影部分的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4．则S 1﹣S 2+S 3+S 4等于（ ）A. 4B. 6C. 8D. 12【答案】B【解析】【分析】 本题先根据正方形的性质和等量代换得到判定全等三角形的条件, 再根据全等三角形的判定定理和面积相等的性质得到S 1、S 2、3S 、4S 与△ABC 的关系, 即可表示出图中阴影部分的面积和.本题的着重点是等量代换和相互转化的思想.【详解】解：如图所示, 过点F 作FG ⊥AM 交于点G, 连接PF.根据正方形的性质可得: AB=BE, BC=BD,∠ABC+∠CBE=∠CBE+∠EBD=90o ,即∠ABC=∠EBD.在△ABC 和△EBD 中,AB=EB ，∠ABC=∠EBD, BC=BD所以△ABC ≌△EBD(SAS),故S 4=ABC S V ,同理可证,△KME ≌△TPF,△FGK ≌△ACT,因为∠QAG=∠AGF=∠AQF=90o , 所以四边形AQFG 是矩形, 则QF//AG, 又因为QP//AC, 所以点Q 、P , F 三点共线, 故S 3+S 1=AQF S V , S 2=AGF S V . 因为∠QAF+∠CAT=90o ,∠CAT+∠CBA=90o ,所以∠QAF=∠CBA, 在△AQF 和△ACB 中, 因为∠AQF=∠ACB,AQ=AC,∠QAF=∠CAB所以△AQF ≌△ACB(ASA), 同理可证△AQF ≌△BCA,故S 1﹣S 2+S 3+S 4=ABC S V =12⨯3 ⨯4 =6, 故本题正确答案为B.【点睛】本题主要考查正方形和全等三角形的判定与性质.6.如图，已知▱ABCD 中，E 是边AD 的中点，BE 交对角线AC 于点F ，那么S △AFE ：S 四边形FCDE 为( )A. 1：3B. 1：4C. 1：5D. 1：6【答案】C【解析】【分析】 根据AE ∥BC ，E 为AD 中点，找到AF 与FC 的比，则可知△AEF 面积与△FCE 面积的比，同时因为△DEC面积=△AEC 面积，则可知四边形FCDE 面积与△AEF 面积之间的关系．【详解】解：连接CE ，∵AE ∥BC ，E 为AD 中点， ∴12AE AF BC FC == ． ∴△FEC 面积是△AEF 面积的2倍．设△AEF 面积为x ，则△AEC 面积为3x ，∵E 为AD 中点，∴△DEC 面积=△AEC 面积=3x ．∴四边形FCDE 面积为5x ，所以S △AFE ：S 四边形FCDE 为1：5．故选C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，解题关键是通过线段的比得到三角形面积的关系．7.如图，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，2AB AC ==，直角顶点A 在直线y x =上，其中点A 的横坐标为1，且两条直角边AB ，AC 分别平行于x 轴、y 轴，若反比例函数k y x=的图象与ABC V 有交点，则k 的取值范围是（ ）．A. 12k <<B. 13k ≤≤C. 14k ≤<D. 14k ≤≤【答案】D【解析】 设直线y=x 与BC 交于E 点，分别过A 、E 两点作x 轴的垂线，垂足为D 、F ，则A （1，1），而AB=AC=2，则B （3，1），△ABC 为等腰直角三角形，E 为BC 的中点，由中点坐标公式求E 点坐标，当双曲线与△ABC 有唯一交点时，这个交点分别为A 、E ，由此可求出k 的取值范围.解：∵2AC BC ==，90CAB ∠=︒．()1,1A ．又∵y x =过点A ，交BC 于点E ，∴2EF ED ==， ∴()2,2E ，∴14k ≤≤．故选D.8.如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF ⊥BD 垂足为F ．则下列结论错误的是（ ）A. AE BE EC ED =B. AE AB ED CD =C. EF DF AB DB =D. AD AE BD BF= 【答案】A【解析】【分析】利用平行线的性质以及相似三角形的性质一一判断即可．【详解】解：∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，EF ⊥BD ，∴AB ∥CD ∥EF∴△ABE ∽△DCE ， ∴AE AB ED CD=，故选项B 正确， ∵EF ∥AB ， ∴,EF DF AD BD AB DB AE BF ==，∴AD AEDB BF，故选项C，D正确，故选A．【点睛】考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9.如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值（）A. 2B. 4C.D.【答案】C【解析】【分析】过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作AP′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值．【详解】作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，∵DD′⊥AE，∴∠AFD=∠AFD′，∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，∴△DAF≌△D′AF，∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=4，∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′=45°，∴AP′=P′D′，∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=16，∵AP′=P′D’，2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16，，即DQ+PQ的最小值为，故答案为C．【点睛】本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质和全等三角形的判定和性质和轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的10.如图，正方形ABCD和正方形DEFG的顶点A在y轴上，顶点D，F在x轴上，点C在DE边上，反比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点B、C和边EF的中点M．若S正方形ABCD＝2，则正方形DEFG的面积为（）A. 103B.329C. 4D.154【答案】B【解析】【分析】作BH⊥y轴于H，连接EG交x轴于N，进一步证明△AOD和△ABH都是等腰直角三角形，然后再求出反比例函数解析式为y＝2x，从而进一步求解即可.【详解】作BH⊥y轴于H，连接EG交x轴于N，如图，∵正方形ABCD和正方形DEFG的顶点A在y轴上，顶点D、F在x轴上，点C在DE边上，∴∠EDF＝45°，∴∠ADO＝45°，∴∠DAO＝∠BAH＝45°，∴△AOD和△ABH都是等腰直角三角形，∵S正方形ABCD＝2，∴AB＝AD，∴OD＝OA＝AH＝BH＝1，∴B点坐标为（1，2），把B （1，2）代入y ＝k x得k ＝1×2＝2， ∴反比例函数解析式为y ＝2x， 设DN ＝a ，则EN ＝NF ＝a ，∴E （a+1，a ），F （2a+1，0），∵M 点为EF 的中点，∴M 点的坐标为（322a +，2a ）， ∵点M 在反比例函数y ＝2x的图象上， ∴322a +×2a =2， 整理得3a 2+2a ﹣8＝0，解得a 1＝13，a 2＝﹣2（舍去）， ∴正方形DEFG 的面积＝2∙12EN ∙DF ＝2∙148233⋅⋅＝329． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质与反比例函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.二．填空题（共6小题）11.x=1是关于x 的一元二次方程x 2+mx）5=0的一个根，则此方程的另一个根是 ）【答案】-5【解析】把1x =代入方程250x mx +-=得：150m +-=，解得：4m =，∴原方程为：2450x x -=+，解此方程得：1215x x ==-，，∴此方程的另一根为：5x =-.12. 阅读对话，解答问题：分别用、表示小冬从小丽、小兵袋子中抽出的卡片上标有的数字，则在（，）的所有取值中使关于的一元二次方程220x ax b -+=有实数根的概率为_________． 【答案】14． 【解析】试题分析：用列表法易得（a ，b ）所有情况,看使关于x 的一元二次方程x 2-ax+2b=0有实数根的情况占总情况的多少即可．试题解析：（a ，b ）对应的表格为：∵方程x 2-ax+2b=0有实数根，∴△=a 2-8b≥0．∴使a 2-8b≥0的（a ，b ）有（3，1），（4，1），（4，2）， ∴p （△≥0）=31124=． 考点：1．列表法与树状图法；2．根的判别式．13.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ∥EF ，EF 分别与AB ，AC ，CD 相交于点E ，M ，F ，若EM ：BC ＝2：5，则FC ：CD 的值是_____．【答案】35【解析】【分析】首先得出△AEM ∽△ABC ，△CFM ∽△CDA ，进而利用相似三角形的性质求出即可．详解】∵AD ∥BC ∥EF ，∴△AEM ∽△ABC ，△CFM ∽△CDA ，∵EM ：BC=2：5， ∴25AM EM AC BC ==， 设AM=2x ，则AC=5x ，故MC=3x ， ∴35CM CF AC CD ==， 故答案为35． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，得出25AM AC =是解题关键． 14.如图，已知梯形ABCO 的底边AO 在x 轴上，//BC AO ，AB ⊥AO ，过点C 的双曲线k y x =交OB 于D ，且:1:2OD DB =，若△OBC 的面积等于3，则k 的值为__________．【答案】34【解析】【【分析】设C（x，y），BC=a．过D点作DE⊥OA于E点．根据DE∥AB得比例线段表示点D坐标；根据△OBC 的面积等于3得关系式，列方程组求解．【详解】设C（x，y），BC=a．则AB=y，OA=x+a．过D点作DE⊥OA于E点．∵OD：DB=1：2，DE∥AB，∴△ODE∽△OBA，相似比为OD：OB=1：3，∴DE=13AB=13y，OE=13OA=13（x+a）．∵D点在反比例函数的图象上，且D（13（x+a），13y），∴13y•13（x+a）=k，即xy+ya=9k，∵C点在反比例函数的图象上，则xy=k，∴ya=8k．∵△OBC的面积等于3，∴12ya=3，即ya=6．∴8k=6，k=34．故答案为：34．15.如图，矩形纸片ABCD中，AD＝5，AB＝3．若M为射线AD上的一个动点，将△ABM沿BM折叠得到△NBM．若△NBC是直角三角形．则所有符合条件的M点所对应的AM长度的和为_____．【答案】10．【解析】【分析】根据四边形ABCD为矩形以及折叠的性质得到∠A=∠MNB=90°，由M为射线AD上的一个动点可知若△NBC是直角三角形，∠NBC=90°与∠NCB=90°都不符合题意，只有∠BNC=90°．然后分N在矩形ABCD 内部与N在矩形ABCD外部两种情况进行讨论，利用勾股定理求得结论即可．【详解】∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝90°，∵将△ABM沿BM折叠得到△NBM，∴∠MAB＝∠MNB＝90°．∵M为射线AD上的一个动点，△NBC是直角三角形，∴∠NBC＝90°与∠NCB＝90°都不符合题意，∴只有∠BNC＝90°．①当∠BNC＝90°，N在矩形ABCD内部，如图1．∵∠BNC＝∠MNB＝90°，∴M、N、C三点共线，∵AB＝BN＝3，BC＝5，∠BNC＝90°，∴NC＝4．设AM＝MN＝x，∵MD＝5﹣x，MC＝4+x，∴在Rt△MDC中，CD2+MD2＝MC2，32+（5﹣x）2＝（4+x）2，解得x＝1；当∠BNC＝90°，N在矩形ABCD外部时，如图2．∵∠BNC＝∠MNB＝90°，∴M、C、N三点共线，∵AB＝BN＝3，BC＝5，∠BNC＝90°，∴NC＝4，设AM＝MN＝y，∵MD＝y﹣5，MC＝y﹣4，∴在Rt△MDC中，CD2+MD2＝MC2，32+（y﹣5）2＝（y﹣4）2，解得y＝9，则所有符合条件的M点所对应的AM和为1+9＝10．故答案为10．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质以及勾股定理，难度适中．利用数形结合与分类讨论的数学思想是解题的关键．16.如图，角α两边与双曲线y=kx（k＜0，x＜0）交于A、B两点，在OB上取点C，作CD⊥y轴于点D，分别交双曲线y=kx、射线OA于点E、F，若OA=2AF，OC=2CB，则CEEF的值为______．【答案】4 9【解析】分析】过C ，B ，A ，F 分别作CM ⊥x 轴，BN ⊥x 轴，AG ⊥x 轴，FH ⊥x 轴，设DO 为2a ，分别求出C ，E ，F 的坐标，即可求出CE EF的值． 【详解】如图：过C ，B ，A ，F 分别作CM ⊥x 轴，BN ⊥x 轴，AG ⊥x 轴，FH ⊥x 轴， 设DO 为2a ，则E （2k a，2a ）， ∵BN ∥CM ， ∴）OCM ∽△OBN ， ∴CO CM BO BN ==23， ∴BN =3a ， ∴B （3k a ，3a ）， ∴直线OB 的解析式y =29a kx ， ∴C （29k a，2a ）， ∵FH ∥AG ，∴）OAG ∽△OFH ， ∴23OA AG OF FH ==， ∵FH=OD=2a ，∴AG =43a ， ∴A （34k a ，43a ）， ∴直线OA 的解析式y =2169a kx ， ∴F （98k a，2a ）， ∴CE EF =292928k k a a k k a a --=49， 【故答案为49【点睛】本题考查反比例函数图象上点的特征，相似三角形的判定，关键是能灵活运用相似三角形的判定方法．三．解答题（共9小题）17.解方程：2320x -+=【答案】1233x x == 【解析】【分析】直接找出a 、b 、c 利用公式法进行解答即可【详解】解：在这里3,2a b c ==-= (224432240b ac -=--⨯⨯=>Qx ∴===即1233x x == 【点睛】本题考查运用公式法解一元二次方程，熟记公式是解题关键18.先化简，再求值：2212111x x x x x --⎛⎫÷+- ⎪-+⎝⎭，其中x 是方程260x x +-=的根． 【答案】见解析【解析】试题分析：先将原式按分式的相关运算法则化简，再解方程求得x 的值，最后将使原分式有意义的x 的值代入化简后的式子计算即可.试题解析：原式()()()()()()()()()()()()()2121122212122111111111111121x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-----+---+=÷=÷=÷=⋅=+-++-++-++---． 解方程260x x +-=得1232x x =-=，．当3x =-时，原式()113412==-⨯-； 当2x =时，原式无意义．点睛：求分式的值时，字母的取值需确保原分式有意义，本题中，当2x =时，原分式无意义，此时不能将2x =代入化简所得的分式中进行计算.19.为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A ，B ，C 依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A ，B ，C 这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是__________；（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．【答案】（1）13；（2）23 【解析】【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；（2）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．【详解】解：（1）因为有A ，B ，3C 种等可能结果，所以八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是13； 故答案为13．（2）树状图如图所示：共有9种可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率62 93 ==．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，20. 某图书馆2014年年底有图书20万册，预计2016年年底图书增加到28.8万册．（1）求该图书馆这两年图书册数的年平均增长率；（2）如果该图书馆2017年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2017年年底图书馆有图书多少万册？【答案】（1）20%（2）34.56【解析】试题分析：（1）经过两次增长，求年平均增长率的问题，应该明确原来的基数，增长后的结果．设这两年的年平均增长率为x，则经过两次增长以后图书馆有书20（1+x）2万册，即可列方程求解；（2）利用求得的百分率，进一步求得2017年年底图书馆存图书数量即可．试题解析：（1）设年平均增长率为x，根据题意得20（1+x）2=28.8，即（1+x）2=1.44，解得：x1=0.2，x2=﹣2.2（舍去）答：该图书馆这两年图书册数的年平均增长率为20%；（2）28.8（1+0.2）=34.56（万册）答：预测2016年年底图书馆存图书34.56万册．考点：一元二次方程的应用21.如图所示，阳光透过长方形玻璃投射到地面上，地面上出现一个明亮的平行四边形，杨阳用量角器量出了一条对角线与一边垂直，用直尺量出平行四边形的一组邻边的长分别是30 cm,50 cm，请你帮助杨阳计算出该平行四边形的面积．【答案】1200cm2【解析】【分析】先利用勾股定理计算AC，然后根据平行四边形的面积求解.【详解】解如图，AB＝30 cm，BC＝50 cm，AB⊥AC，在Rt△ABC中，AC＝＝40 cm，所以该平行四边形的面积＝30×40＝1 200(cm2)．【点睛】本题主要考查了利用勾股定理求直角三角形边长和求平行四边形面积，熟练掌握方法即可求解.22.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点E，点F在边AB上，连接CF交线段BE于点G，CG2=GE•GD．（1）求证：∠ACF=∠ABD；（2）连接EF，求证：EF•CG=EG•CB．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）先根据CG2=GE•GD得出CG GDGE CG=，再由∠CGD=∠EGC可知△GCD∽△GEC，∠GDC=∠GCE．根据AB∥CD得出∠ABD=∠BDC，故可得出结论；（2）先根据∠ABD=∠ACF，∠BGF=∠CGE得出△BGF∽△CGE，故FG EGBG CG=．再由∠FGE=∠BGC得出△FGE∽△BGC，进而可得出结论．试题解析：（1）∵CG2=GE•GD，∴CG GD GE CG=．又∵∠CGD=∠EGC ，∴△GCD∽△GEC ，∴∠GDC=∠GCE ．∵AB∥CD ，∴∠ABD=∠BDC ，∴∠ACF=∠ABD ．（2）∵∠ABD=∠ACF ，∠BGF=∠CGE ，∴△BGF∽△CGE ，∴FG EG BG CG =． 又∵∠FGE=∠BGC ，∴△FGE∽△BGC ，∴FE EG BC CG =，∴FE•CG=EG•CB ． 考点：相似三角形的判定与性质．23.如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点C 在y 轴的正半轴上，D 是BC 边上的一点，OC ：CD ＝5：3，DB ＝6．反比例函数y ＝k x（k≠0）在第一象限内的图象经过点D ，交AB 于点E ，AE ：BE ＝1：2．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）动点P 在矩形OABC 内，且满足S △PAO ＝25S 四边形OABC ． ①若点P 在这个反比例函数的图象上，求点P 的坐标；②若点Q 是平面内一点使得以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形求点Q 的坐标．【答案】（1）y ＝15x ；（2）①（154 ，4）；②（6，9）或（9﹣ ，﹣1）． 【解析】【分析】（1）设点B 的坐标为（m ，n ），则点E 的坐标为（m ，13n ），点D 的坐标为（m ﹣6，n ），利用反比例函数图像上的点的坐标特征可求出m 的值，之后进一步求出n 的值，然后进一步求解即可； （2）根据三角形的面积公式与矩形的面积公式结合S △PAO ＝25S 四边形OABC 即可进一步求出P 的纵坐标.①若点P 在这个反比例函数的图象上，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点P 的坐标；②由点A ，B 的坐标及点P 的总坐标可得出AP≠BP ，进而可得出AB 不能为对角线，设点P 的坐标为（t ，4），分AP ＝AB 和BP ＝AB 两种情况考虑：（i ）当AB ＝AP 时，利用两点间的距离公式可求出t 值，进而可得出点P 1的坐标，结合P 1Q 1的长可求出点Q 1的坐标；（ii ）当BP ＝AB 时，利用两点间的距离公式可求出t 值，进而可得出点P 2的坐标，结合P 2Q 2的长可求出点Q 2的坐标．【详解】（1）设点B 的坐标为（m ，n ），则点E 的坐标为（m ，13n ），点D 的坐标为（m ﹣6，n ）． ∵点D ，E 在反比例函数y ＝k x （k≠0）的图象上， ∴k ＝13mn ＝（m ﹣6）n ， ∴m ＝9．∵OC ：CD ＝5：3，∴n ：（m ﹣6）＝5：3，∴n ＝5，∴k ＝13mn ＝13×9×5＝15， ∴反比例函数的表达式为y ＝15x． （2）∵S △PAO ＝25S 四边形OABC ， ∴12OA∙y P ＝25OA∙OC ， ∴y P ＝45OC ＝4． 当y ＝4时，15x＝4， 解得：x ＝154， ∴若点P 在这个反比例函数的图象上，点P 的坐标为（154，4）． ②由（1）可知：点A 的坐标为（9，0），点B 的坐标为（9，5），∵y P ＝4，y A +y B ＝5， ∴2A B P y y y +≠， ∴AP≠BP ，∴AB 不能为对角线．设点P 的坐标为（t ，4）．分AP ＝AB 和BP ＝AB 两种情况考虑（如图所示）：（i ）当AB ＝AP 时，（9﹣t ）2+（4﹣0）2＝52，解得：t 1＝6，t 2＝12（舍去），∴点P 1的坐标为（6，4）．又∵P 1Q 1＝AB ＝5，∴点Q 1的坐标为（6，9）；（ii ）当BP ＝AB 时，（9﹣t ）2+（5﹣4）2＝52，解得：t 3＝9﹣，t 4＝（舍去），∴点P 2的坐标为（9﹣，4）．又∵P 2Q 2＝AB ＝5，∴点Q 2的坐标为（9﹣，﹣1）．综上所述：点Q 的坐标为（6，9）或（9﹣，﹣1）．【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.24.邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；……依次类推，若第n 次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n 阶准菱形，如图1，平行四边形ABCD 中，若1,2AB BC ==，则平行四边形ABCD 为1阶准菱形．（1）判断与推理：① 邻边长分别为2和3的平行四边形是__________阶准菱形；② 小明为了剪去一个菱形，进行如下操作：如图2，把平行四边形ABCD 沿着BE 折叠（点E 在AD 上）使点A 落在BC 边上的点F ，得到四边形ABFE ，请证明四边形ABFE 是菱形．（2）操作、探究与计算：① 已知平行四边形ABCD 的邻边分别为1，(1)a a >裁剪线的示意图，并在图形下方写出a 的值； ② 已知平行四边形ABCD 的邻边长分别为,()a b a b >，满足6,5a b r b r =+=，请写出平行四边形ABCD 是几阶准菱形．【答案】（1）① 2，②证明见解析；（2）①见解析，②▱ABCD 是10阶准菱形．【解析】【分析】（1）①根据邻边长分别为2和3的平行四边形经过两次操作，即可得出所剩四边形是菱形，即可得出答案； ②根据平行四边形的性质得出AE ∥BF ，进而得出AE=BF ，即可得出答案；（2）①利用3阶准菱形的定义，即可得出答案；②根据a=6b+r ，b=5r ，用r 表示出各边长，进而利用图形得出▱ABCD 是几阶准菱形．【详解】解：（1）①利用邻边长分别为2和3的平行四边形经过两次操作，所剩四边形是边长为1的菱形， 故邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形；故答案为：2；②由折叠知：∠ABE=∠FBE ，AB=BF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AE ∥BF ，∴∠AEB=∠FBE ，∴∠AEB=∠ABE ，∴AE=AB ，∴AE=BF ，∴四边形ABFE 是平行四边形，∴四边形ABFE 是菱形；（2）①如图所示：，②答：10阶菱形，∵a=6b+r ，b=5r ，∴a=6×5r+r=31r ；如图所示：故▱ABCD 是10阶准菱形．【点睛】此题主要考查了图形的剪拼以及菱形的判定，根据已知n 阶准菱形定义正确将平行四边形分割是解题关键．25.如图，边长为3正方形OACD 的顶点O 与原点重合，点,D A 在x 轴，y 轴上．反比例函数()0k y x x=≠的图象交,AC CD 于点,B E ，连接,OB OE BE ,，4OBE S ∆=.（1）求反比例函数的解析式；（2）过点B 作y 轴的平行线m ，点P 在直线m 上运动，点Q 在x 轴上运动. ①若CPQ V是以P 为直角顶点的等腰直角三角形，求CPQ V 的面积； ②将“①”中的“以P 为直角顶点的”去掉，将问题改为“若CPQ V是等腰直角三角形”，CPQ V 的面积除了“①”中求得的结果外，还可以是______.（直接写答案，不用写步骤）【答案】（1）3y x =；（2）①52或292.②5或17. 【解析】【分析】 （1）设,B E 的坐标分别为,3,3,33k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据三角形的面积，构建方程即可解决问题． （2）①分两种情形画出图形：当点P 在线段BM 上，当点P 在线段BM 的延长线上时，分别利用全等三角形的性质求解即可．②当点Q 是等腰三角形的直角顶点时，分两种情形分别求解即可．【详解】解：（1））∵四边形OACD 是正方形，边长为3，∴点B 纵坐标为3，点E 的横坐标为3， ∵反比例函数()0k y x x =≠的图象交AC ，CD 于点B ，E ， 设,B E 的坐标分别为,3,3,33k k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∵S △OBE =4， 可得，219342223OBEk k k S ∆⎛⎫=----= ⎪⎝⎭. 解得，13k =，23k =-（舍）. 所以，反比例函数的解析式为3y x=. （2））①如图1中，设直线m 交OD 于M ．的由（1）可知B （1，3），AB=1，BC=2，当PC=PQ ，∠CPQ=90°时，∵∠CBP=∠PMQ=∠CPQ=90°，∴∠CPB+∠BCP=90°，∠CPB+∠PQM=90°，∴∠PCB=∠MPQ ，∵PC=PQ ，∴△CBP ≌△PMQ （AAS ），∴BC=PM=2，PB=MQ=1，∴=∴S △PCQ =52如图2中，当PQ=PC ，∠CPQ=90°，同法可得△CBP ≌△PMQ （AAS ），∴PM=BC=2，OM=PB=5，∴=∴S △PCQ =292. 所以，CPQ V 的面积为52或292.②当点Q 是等腰三角形的直角顶点时，同法可得，此时S △PCQ =5．或S△P′CQ′=17，不存在点C为等腰三角形的直角顶点，综上所述，△CPQ的面积除了“①”中求得的结果外，还可以是5或17．故答案为5或17．【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了正方形的性质，反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。