圆锥曲线压轴题解题策略

圆锥曲线压轴题解题策略

圆锥曲线问题将几何与代数知识有机结合在一起,较好地考察了学生的数学思维和创新,灵活处理问题的能力,是高考命题的热点之一.本文重点分析圆锥曲线的解题策略,希望同学们读后对圆锥曲线有一个新的认识,并通过自己不断地领悟和练习提高自己的解题能力. 一、知识准备

圆锥曲线解题的本质就是将题干中的条件和提干中条件和图形中隐含的几何特征转化成等式或不等式,最后通过代数运算解决问题,而其中的关键是怎样转化或构造不等式.

1．抓住定义构造等式，定义是圆锥曲线的核心和根本，涉及焦点时，优先用第一定义或第二定义。

2．抓住题中特殊几何关系来构造等式或应用几何关系使解题简化。 ①内心 1、三条角平分线支点

2、角平分线上的点到两边距离相等

3、切线长定理

4、面积法（S △ABI +S △ACI +S △BCI =S ABC ） ②重心 1、中线交点 2、AH=2HD

③重心 三条高线交点（可用垂直构造等式）

④外心 垂直平分线交点（垂直平分线的性质构造等式） ⑤三角形两边之和大于第三边（焦点三角形） ⑥直线与圆锥曲线相交 （1）两不同交点⇒△＞O （2）交于左右两支⇒X 1X 2＜O （3）交于同一支⇒X 1X 2＞O

⑦用点与圆坐位曲线的关系来构造等式或不等式

(1)在椭圆上122

0220=+b y

a x

（2）在椭圆外22

022

0b

y

a x +＞1

（3）右椭圆内22

0220b

y

a x +＜1

⑧用曲线本身的一些坐标限制（在椭圆中，-a≤x≤a,-b≤y≤b ） ⑨用k 相等（三点共线）

注：条件已用完，当缺少等式时，且无明显几何特征时，考虑用⑦、⑧、⑨。 3．用其它条件构造等式或不等式 ①用非负数k 2，R ，|x|大于0构造 ②问题中的要求与条件中的范围相联系

③结合参数方程，利用参数的几何意义或三角函数的有界性，构造不等式。 4．与平面几何的联系

①圆 直径所对的圆周角为90度（可用垂直构造等式） 相交弦，割线长定理

②中位线（坐标原点为中点，往往考虑不到） 5．点差法

①直线与曲线相交，且出现中点时，常常使用。 ②抛物线涉及k 时，常使用。 二、例题

例1．椭圆122

22=+b y a x （a ＞b ＞0）上相异两点A 、B 的垂直平分线在x 、y 轴上的截

距分别tx 、ty 证明：22

22b

ty a tx +＜2

2222)(b a b a -。 解析：本题初看无法下笔，要求证明的不等式非常复杂，无法入手，条件中只有垂直平分线这个条件，设垂直平分线l 与x ，y 轴交于M （tx ，o ）、N （o ，ty ）。因为|AM|=|BM|，于是M （x 1-tx ）2+y 12=（x 2-tx ）2+y 02，但是这个等式与问题求证等式无法联系，还需要等式

或不等式，注意到A 、B 在椭圆上，则1221221=+b y a x ，1222222=+b y a x ，y 12=b 2（22

11a

x

-），

y 22=b 2（22

1a

x

-）

∴(x 1－ty)2+b 2(22

1

1a x -)=(x 2－tx)2+b 2（22

1a

x -），整理得2a 2tx(x 2－x 1)=(a 2－b 2)(x 22－x 12)

∵x 1≠x 2 ∴221x x +=222b a tx a -同理得221y y +=－2

22b a ty

b -

知道

221x x +和2

21y y +，自然想到是AB 中点坐标，但中点条件无法用（几何特征不明显），且问题中得证的是不等式，现在得到的是等式，还需要一个不等式。从整个图形中观察，且结合知识准备中的⑦、⑧、⑨，可用点与圆坐位曲线的关系来构造不等式（中点在椭圆内部）。

∵P )2

,2(

2

121y y x x ++是弦AB 的中点，且在椭圆内部。 ∴2

2

22222222)()(b

b a ty b a b a tx a --+-＜1，整理得：2222b ty a tx +＜22222)(b a b a - 评注：本题用完垂直平分线的条件后，已无其他条件可用，且无几何特点。根据知识准备，考虑用点在曲线上来构造等式，但最后是证不等式，必须构造一个不考虑用点在圆锥曲线内，才能构造出一个不等式。

例2．已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在X 轴上，K 为1的直线过椭圆的右焦点F 且交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与a=（3，-1）共线。

（1）求椭圆的离心率。

（2）设M 为不椭圆上任意一点，且μλ+=（R ∈μλ,）证明2

2

μλ+为定值。

解析：（1）设AB 为中点为M （x ，y ） 则OM 与a=（3，-1）共线 x+3y=0

根据点差法22

;a

b k x y -=

2

2

3b a =

∴

3

6=a c （2）设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）、M （x ，y ），由（1）知2

2

3b a =所以椭圆方程为1322

22=+b

y b x

要证2

2

μλ+为定值，现只有OB OA OM μλ+=一个条件 转化为等式为

②

y y y ①x x x 2121μλμλ+=+=，现缺少等式，且问题中λ、μ的次数为2，但①，

②中λ，μ次数为1，必须再构造等式，题中条件都已用完，可考虑点在椭圆上这一隐含等式。

∵M （x ，y ）在椭圆上

∴2

2212213)(3)(b y y x x =+++μλμλ

即2

21212

22

222

12

123)3(2)3()3(b y y x x y x y x =+++++λμμλ

∵A 、B 在椭圆上

∴2

2

22

222

12

133,33b y x b y x =+=+

剩下的21213y y x x +可由韦达定理求出，最后可得12

2=+μλ

例3．过定点A （m ，o ）（m ＜o ）作直线l 交抛物线Ｃ：y 2=2P×(P ＞O)于Ｐ、Ｏ两点，Ｑ关于Ｘ轴的对称点为Ｑ，连结ＰＱ交Ｘ轴于点Ｂ，（１）求证：直线ＰＱ恒过定点；（２）若AQ AP λ=（λ＞Ｏ），求证：BQ PB λ=。

解析：（１）要证直线过定点，首先要将直线的解析式写出来，现在的任务将Ｋ值求出，根据知识准备中，抛物线中的Ｋ值一般用点差法，根据点差法可得2

12y y P

k -=

，),(11y x P ，

),(22y x Q ，),(221y x Q -，根据点差法2

12y y P

k -=

，于是直线方程为

)(212

11x x y y P

y y --=

-，整理得2121212y y y y y y Px y --⨯+=

①。但方程毫无特征，缺少等式。注意到题中的隐含条件：A 、P 、Q 三点共线。