数学专业英语课文翻译2(吴炯圻)

7A

在日常使用的英文单词"序列"和

' '系列"是同义词，和他们用来建议一系列的事情或

按某种顺序排列的事件。在数学中，这句话有特别

技术的意义。"序列"一词被受雇如在共同使用

这一术语，传达的理念的一套东西排列顺序，但

"系列"一词用于稍有不同的意义。概念

在本节中，将讨论序列和系列将定义第11 节。

如果为每个正整数n 有关联的真实或复数a，那时有序的集据说是定义一个无限的序列。这里最重要的是每个成员集的已标记的整数，使我们可以发言的第一届、第二个任期，以及，一般的第n 个词。每个学期了继任者，因此，没有任何"最后"一词。

如果我们给一些规则或第n 个词描述的公式，可以构造序列的最常见的例子。因此，例如，公式= 1 定义的序列的第五个任期是1.有时两个或多个公式可受雇作为，例如，a=1.the 第一次在这种情况下被1 的一些术语。

另一种常见方法定义一系列是一套的说明解释了如何在一个给定的开始后进行的。因此，我们可能= 1。

此特定的规则被称为递归公式，它定义了著名的序列，其条款被称为斐波那契数。第一次的几个术语are1。

最重要的事情是序列的序列的这样f(n) 的每个n=1.In 事实的第n 个燕鸥是序列的序列的正整数上定义一些函数 f 的任何序列，这可能是序列的序列的最方便的方法，国家技术定义。

定义。其域是所有积极integers1 的一组函数f 称为一个无限的序列。函数值f(n) 调用序列的第n 个词。

通过按顺序，因此编写条款通常显示的功能（即，函数值的集合）的范围：f (2)。为简便起见，{f(n)} 符号用于指示第n 个任期是f(n) 的序列。由使用下标，很多时候表示，n 的依赖和我们写，或类似的而不是f (n0。除非另外指定，否则所有的序列，在这一章中假定有真实的或复杂的条款。

7B

我们担心在这里主要的问题在于决定是否条款f(n) 倾向于有限的n 无限增加。若要把这个问题，我们必须扩展序列的极限概念。这样做，如下所示。

定义。{F(n)} 序列据说有限制L 如果对于每一个积极的数字e，有另一个积极的号码N （这可能取决于电子），… …。

在这种情况下，我们说的序列{f(n)} 汇聚为L 和我们写… …...

不衔接的一系列被称为发散。

在此定义的函数值f(n) L 的限制可能是真实或复杂的数字，如果f 和L 极为复杂，我们可能其分解到他们真实和虚构的部件，说f u + 四和L = = + ib，那么我们有f(n) —— L = u(n) —— a + i [v (n)-b]。这种不平等

…………… 显示这两个关系的f(n)-> L 意味着u(n)-> 和v(n)-> b … …

换句话说，复值序列f 汇聚当且仅当真实部分u 和v 虚部分开，汇聚在这种情况下，我们有…

很显然所有积极真正x 定义的任何函数可用于构建一系列限制x 采取只为整数值。这就解释了刚才的定义和更一般的功能一节6.4 强类比。类比带出无限的限制，以及和我们留给读者去定义符号… …...

如第6.5 条，在工作时，f 是实数。F 是复杂的如果我们写f(n)-> … …

这句话的"收敛"仅用于序列，其限制是有限的。序列的无限的极限据说存在分歧。当然，有不同的序列不具有无限的限制。示例由以下公式定义：… … …

应付款项、产品等限制的基本规则限制的收敛的序列，还举行读者应该有没有为自己制定这些定理的困难。有点类似于3.5 节中给他们的证明。

7 C

{F(n)} 序列说如果不断增加… …

我们通过编写… … f(n) 简要说明这。如在另一只手。我们有… …

我们调用序列降低和写f(n) … …，如果它要增加或者它正在减少，称为单调序列。

单调序列是令人愉快的工作，因为他们的趋同或分歧就特别容易确定，事实上，我们有以下的简单准则。

7.1 定理。单调的序列汇聚当且仅当它为界。

注：{f(n)} 序列被称为有界如果存在积极的数米，… …，一个序列，不有界称为无界。

证明。很明显的无界的序列不可能达成一致。因此，我们要证明是有界的单调序列必须衔接。

假定… … f (n)，让L 表示至少上限的函数值的集合。（序列为界，因为它有公理10-实数系统的最上限。）然后f(n) < L 所有n，我们须证明序列汇聚到l。

选择任何积极的数字e、L e 不能为所有号码f(n) 上限，因为我们必须有L e < 一些北美（此N 可能依赖电子），为f(n) 如果n > N，我们有f(N) < f(n) 自f(n) … …，因此，我们有L e < < L 所有n > f(n) N铝在图2-7-1 所示。从这些不平等现象，我们发现，0 < < 所有n e > L-f(n) N

而这意味着该序列收敛为L，断言。

………

如果f (n) … …，证明是类似的在这种情况下是最大的一组函数值的下限的限制。

9B

当我们使用微分方程(9.1）等时，这是习惯写流行的位置的y 和y' f'(x)，正在由y 表示的更高的衍生品的位置'，y '' 等。当然，其他字母如u、v、z 等也使用的y，而不是由方程的顺序是最高的衍生品的出现，例如，(9.1) 的顺序是一阶方程的可写为y' = y。微分方程y' = … … 是第二个命令之一。

在这一章中，我们将开始研究时，一阶方程所能解决的y' 写，如下所示：

Y'=f(x,y)

在右侧的表达式f (x，y) 具有各种特殊形式，一次可微函数y = Y(x) 将间隔调用(9.2) 解我如果函数Y 和Y 及其衍生物' 满足relation……

我在每个x，最简单的情况发生时f (x，y) 是独立的y，在这种情况下，(9.2) 成为y'= Q(x)。说，凡Q 假定为给定的函数定义一些区间上我，解决发现的Q，基元的微分方程(9.3) 手段微积分第二基本定理告诉我们如何去做Q 时连续开区间上我。我们只需将集成Q 并添加任何常量。因此，每个解决方案的(9.3) 包括在公式中… …...

其中c 是任何常量（通常称为集成任意常数）。微分方程(9.3) 有无穷多的解决方案，为C.的每个值之一

如果不可能熟悉的功能，如多项式，有理函数、三角函数的角度评估(9.4) 中的积分和反三角函数、对数及指数，还是我们考虑微分方程已解决id，该解决方案可以表示的积分的已知函数，在实际执行时，有各种方法获得积分解决方案相关的有用信息导致的近似评价，这位国王的头脑中的问题的经常设计自动高速计算机。

示例。直线运动速度，从确定，假设一个粒子沿着一条直线，这样在时间t 其速度是2sint，确定其位置在时间t。

解决方案。如果Y(t) 表示的位置从开始计算的时间t 一些起始点，然后衍生的Y'(t) 表示，时间t 的速度，我们给… …

集成，我们发现… …

这就是我们可以推断Y(t) 单；速度的知识某些其他部分的信息需要修复的阵地作用。我们可以确定C 如果我们知道Y 的值在一些特定的时刻，例如，如果Y(0) = 2，则 c = 2 和位置的功能是Y(t) = 2 2cost。但如果Y (0) = 2，则 c = 4 和位置的功能是Y(t) = 4-2cost。

在某些方面只是解决了该示例是典型的一般会发生什么情况。一些-凡第一–order 差分方程求解的过程中，集成是需要删除衍生y' 和在此步骤中任意常数c 显示的方式中的任意常数C 进入该解决方案将取决于给定的微分方程的性质，它可能显示为添加剂的常量，如在Equation(9.4)但它更有可能出现以某种其他方式，例如，当我们方程求解

y' = y 在9.3 条，我们会发现每个解决方案有窗体y = Cex。

在要选择的所有解决方案在一些点有一个指定的值的集合中的很多问题，订明的值被称为一个初始的条件，并确定这种解决办法的问题被称为初值问题，这个术语起源于力学，在上面的示例中，订明的值表示在一些初始时的位移。

9-c:

从积分的定义，它都可以推导出以下属性，证明有1.27 部分中。

定理1，线性对被积函数，如果f 和g 都积[a、b] 上所以是… … 每一对常量c1 和c2。

利用数学归纳法，线性属性可推广，如下所示：… …

2.可加对集成，如果以下三个积分的两个存在的时间间隔，第三个也存在，并且我们有...

注意：在特别是，如果f 是单调[a、c] 和还在[c、b]，然后这两个积分… …...

3.翻译，如果f 是积分下的不变性对[a、b]，然后为每个真实的c，我们有… …。

4.膨胀或收缩的间隔的集成，f 是积上[a、b] 如果当时每是真的… …

注：在定理3 和4 中，积分之一的存在意味着对方的存在，当k =-1，定理4 称为正确反映。

5.比较定理，如果f 和g 都积[a、b] 上… …

重要的定理5 特殊情况发生时g (x) = 0 x 个，在这种情况下，定理指出，如果g(x) > 0 无处不在[a、b]

然后… …，换句话说，非负的函数具有非负的积分，它还可以显示，如果我们有严格的不平等g(x) < 所有x 流行中[a、b]，然后相同的严格不等式成立的积分，但证明是不容易的给这一阶段。

第 5 章中，我们将讨论各种方法计算积分，无需在每种情况下使用定义的值。但是，这些方法，是适用于只有较少的功能，和最可积函数只可以估计实际数值积分。这通常是通过逼近被积函数的上方和下方，由步函数或其他简单的函数，可以准确地说，评估其积分则比较定理用于获得相应积分逼近函数问题。

10——A

一套S V 线性空间中的元素称为依赖的如果有一组有限的不同元素s，说x、x，并相应设置的标量c，c、并不是所有的零，这样。

Set 的s 称为独立，如果不是依赖。在这种情况下，为所有选择的不同元素x，s 和标量c，c 中的x。

虽然依赖和独立的元素集的性质，我们亦适用于元素本身的这些条款。例如，在一组独立的元素称为独立元素。

如果s 是有限的一组，则上述定义会同意，这让空间v 第8 章。然而，目前的定义并不局限于有限集。

如果set s 的子集t 是从属的则依赖s 本身。这是逻辑上等效于每一组独立的子集是独立的语句。

如果在s 中的一个元素是另一种标量倍数，s 是相关的。

第8 章讨论了很多例子的载体在v 的从属和独立集。下面的示例说明了这些函数空间中的概念。在每种情况下基础的线性空间v 是真正的行上定义的所有实值函数集。

毕身份显示v，所以三个函数u、v、依赖。

Set 的S = {b} 是独立。为了证明这一点，这足以说明每个n + 1 多项式u、v 是独立。窗体v 形的关系意味着所有真正的t v。当t = 0，这给 c = 0。鉴别和设置t = 0，我们发现，c = 0。重复该过程，我们发现每个系数c 是零。

如果a、 b 是截然不同的实数，X n 指数职能无关。我们可以证明这对n 诱导。结果持有琐屑当n = 1。因此，假设它是真正的n-1 指数函数和考虑标量c、 c 这种X。

让我们获得M a、 a.乘以x 两个成员是最大的n 编号的。

因此，当零方程，每届任期与X X 倾向，我们发现，c = 0。删除从年月词并应用诱导假说，我们发现每个剩余的n-1 系数 c 是零。

让s k v 线性空间中的元素组成的一组独立和让l s 所跨的子空间。然后每组k = 1 l 中的元素是依赖。

如果我们检查的8.8 证明，我们发现它根据只对该v 是线性空间的事实而不是v 的任何其他特殊属性。因此给予8.8 定理证明是有效的任何线性空间v。

10。—— B

如果s 是独立的跨越v 有限的set 的S V 线性空间中的元素被称为v 有限的基础。空间v 称为有限维若有一个有限的基础，或如果v o 仅由组成。否则v 被称为无穷维。

让v 是有限维线性空间。然后每个v 的有限基础有相同数目的元素。

让s 和t 被诉两有限基础假设由k 元素包含s 和t 由m 元素组成。由于s 是独立，跨越v 10.5 定理告诉我们，我们每个组的k + v 1 元素是依赖。因此，每一集更多k v 中的元素的依赖。由于t 是一组独立，我们必须有m < k。S 和t 互换使用相同的参数显示该k < m。因此k = m。

线性空间v 有n 个元素的基础，如果整数n 称为v 的维度。我们写了n = dim v。我们说v 在维度0。

N 维空间v。一个基础是n 单元坐标向量的一组。

所有的多项式p(t) 度的空间< n 有维n + 1。一个基础是n + 1 的多项式的一组。每个学位的多项式< n 是这些n + 1 的多项式的线性组合。

微分方程解的空间有2 维。一个基础包括两种功能。每一种解决方案是这两个线性组合。

无穷维空间的所有多项式p(t)。无限集合{1，2} 跨越这一空间，虽然没有组数量有限的多项式跨越空间。

让v 是有限维线性空间使用dim v = n。然后，我们有以下。

任何一组独立的元素，在v 是v 的一些基础的一个子集。

任何一套n 个独立元素是v 的基础。

证明(a) 完全相同的部分(b) 的定理。(B) 的证明完全相同的定理（c）部分。

让v n 维线性空间并考虑给定的顺序其元素（e、e、e) 所需的基础。我们表示n tuple(e, e) 作为这种有序的基础。如果n，我们可以表示为这些基础元素的线性组合x：m.在这个方程式的系数确定的数字（c，c）唯一由x n 元组。事实上，如果我们有x 为e，e，说x，然后从，减法的线性组合的另一个表示我们发现的X。但由于基础元素都是独立的这意味着c d = 为每个我，所以我们有() = ()。

有序n-元(c) 确定的方程的组件称为组件的相对于有序的basis(e) x

10-C

近年来以惊人的速度增加了矩阵数学和很多不同领域中的应用。矩阵理论在现代物理学量子力学研究中扮演着中心角色。矩阵方法用于解决问题中应用的微分方程，具体来说，空气动力学、应力和结构分析领域。心理学研究最强大的数学方法之一是因素分析，使用了大量的矩阵方法的主体。最近的事态发展，在数理经济学和商业管理存在的问题导致了矩阵方法的广泛应用。生物科学和遗传学，特别是使用矩阵技术好的优势。不管什么学生域主要关心的是，有可能扩大范围，他能理解地读文学知识的矩阵的基本原理。

在本节中，我们将给予一些初等矩阵如何利用。

N 个未知数的线性方程组n 解决方案是应用数学的重要问题之一。笛卡尔、解析几何的发明者和现代的代数表示法，创始人之一认为所有问题最终可都减少到一组的线性方程组的解决方案。虽然这样的信念现在被认为是站不住脚，我们知道一大批重大应用的问题，从很多不同的学科是可还原这些方程。许多应用程序，需要的解决方案

大量的线性方程组，有时在数百名。计算机的诞生作出了矩阵方法有效地解决这些令人生畏的问题。

示例1。解决联立方程组x 1、x 2 和x 3。

解决方案。我们可能会重写这些方程中的矩阵… …，并要求的矩阵A，未知因素3 * 1 矩阵系数的x 和3 * 1 矩阵上，正确的k，我们可再写方程（1）在从Ax = k。如果能够找到一个3 * 3 矩阵，由A-1 并称为矩阵的逆矩阵，这样… …，我是恒等矩阵，然后我们会用A-1 乘以方程的两个成员。(2) 方程就变成了...使用方程式，我们可以变得… …使用公式(3)，我们可以改写Equation(4) … … 作为专门针对这种情况下，不告诉你我们如何得到它，… …使用此公式（5）中，我们得到… …因此x 1 =-6、2 = 24，x 和x 3 =-14。

从上面的讨论，我们看到在n 未知n 同时直线方程求解的问题会降低寻找的系数矩阵的逆矩阵的问题。并因此不奇怪，技术求逆矩阵的理论书籍在矩阵占据相当大的空间。当然，我们会在我们有限的治疗不讨论这种技术。不只是矩阵方法解决联立方程组，非常有用，但他们也有用中发现方程的一组是一致的即它们会导致解决方案，和发现方程的一组确定，在意义上，它们会导致独特的解决方案。