2019年江苏省南通市中考数学试卷有答案

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绝密★启用前

江苏省南通市2019年中考数学试卷

(满分：150分 考试时间：120分钟)

一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的) 1.比2-℃低的温度是

( )

A .3-℃

B .1-℃

C .0℃

D .1℃ 2.

( )

A

.

B

.

C

. D

.3.下列计算,正确的是

( )

A .236a a a =g

B .22a a a -=

C .6

2

3

a a a ÷=

D .()

3

26a

a =

4.如图是一个几何体的三视图,该几何体是

( )

A .球

B .圆锥

C .圆柱

D .棱柱 5.已知a 、b 满足方程组324236a b a b +=??+=?，

，则a b +的值为

( )

A .2

B .4

C .2-

D .4- 6.用配方法解方程2890x x ++=,变形后的结果正确的是

( )

A .2(4)9x +=-

B .2(4)7x +=-

C .2(4)25x +=

D .2(4)7x +=

7.小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后,进行练习：首先画数轴,原点为O ,在数轴上找到表示数2的点A ,然后过点A 作AB OA ⊥,使3AB =(如图).以O 为圆心,OB 长为半径作弧,交数轴正半轴于点P ,则点P 所表示的数介于

( )

A .1和2之间

B .2和3之间

C .3和4之间

D .4和5之间

(第7题)

(第8题)

8.如图,AB CD ∥,AE 平分CAB ∠交CD 于点E ,若70C ∠=?,则AED ∠度数为 ( )

A .110?

B .125?

C .135?

D .140? 9.如图是王阿姨晚饭后步行的路程s (单位：m )与时间t (单位：min )的函数图像,其中曲线段AB 是以B 为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确．．．的是

( )

A .25min ～50min ,王阿姨步行的路程为800 m

B .线段CD 的函数解析式为：32400(2550)s t t =+≤≤

C .5min ～20min ,王阿姨步行速度由慢到快

D .曲线段AB 的函数解析式为23(20)1200(520)s t t =--+≤≤

10.如图,ABC △中,2AB AC ==,30B ∠=?,ABC △绕点A 逆时针旋转()0120αα??＜＜得到AB C ''△,B C ''与BC 、AC 分别交于点D 、E .设+=CD DE x ,AEC '△的面积为y ,则y 与x 的函数图像大致为

( )

A

B

C

D

二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.)

11.

计算20

21)-= .

12.5G 信号的传播速度为300 000 000m/s ,将300 000 000用科学记数法表示为 .

13.分解因式：3x x -= .

14.如图,ABC △中,AB BC =,90ABC ∠=?,F 为AB 延长线上一点,点E 在BC 上,且AE CF =,若25BAE ∠=?,则ACF ∠=

度.

15.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一.书中记载：“今有人共买鸡,人出九

,

毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________

________________ _____________

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答--------------------

题--------------------

无--------------------效

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盈十一；人出六,不足十六.问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡,如果每人出九钱,那么多了十一钱；如果每人出六钱,那么少了十六钱.问：共有几个人？”设共有x 个人共同出钱买鸡,根据题意,可列一元一次方程为 . 16.已知圆锥的底面半径为2cm ,侧面积为210π cm ,则该圆锥的母线长为 cm . 17.如图,过点(3,4)C 的直线2y x b =+交x 轴于点A ,90ABC ∠=?,AB CB =,曲线

(0)k

y x x

=＞过点B ,将点A 沿y 轴正方向平移a 个单位长度恰好落在该曲线上,则a

的值为 .

(第17题)

(第18题)

18.如图,□ABCD 中,60DAB ∠=?,6AB =,2BC =,P 为边CD 上的一动点,

则

PB 的最小值等于 . 三、解答题(本大题共10小题,共96分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

19.(本小题满分8分)解不等式41

13

x x --＞,并在数轴上表示数集.

20.(本小题满分8分)先化简,再求值：2

442m m m m m ++?

?+÷ ???

,

其中2m =.

21.(本小题满分8分)如图,有一池塘,要测池塘两端A 、B 的距离,可先在平地上取一个点C ,从点C 不经过池塘可以直接到达点A 和B .连接AC 并延长到点D ,使CD CA =.连接BC 并延长到点E ,使CE CB =.连接DE ,那么量出DE 的长就是A 、B 的距离.

为什么？

22.(本小题满分9分)第一盒中有2个白球、1个黄球,第二盒中有1个白球、1个黄球,这些球除颜色外无其他差别.分别从每个盒中随机取出1个球,求取出的2个球中有1个白球、1个黄球的概率.

23.(本小题满分8分)列方程解应用题：中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”.为传承优秀传统文化,某校购进《西游记》和《三国演义》若干套,其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元,用3 200元购买《三国演义》的套数是用2 400元购买《西游记》套数的2倍,求每套《三国演义》的价格.

24.(本小题满分10分)8年级某老师对一、二班学生阅读水平进行测试,并将成绩进行了统计,绘制了如下图表(得分为整数,满分为10分,成绩大于或等于6分为合格,成绩大于或等于9分为优秀).

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根据图表信息,回答问题：

(1)用方差推断, 班的成绩波动较大；用优秀率和合格率推断, 班的阅读水平更好些；

(2)甲同学用平均分推断,一班阅读水平更好些；乙同学用中位数或众数推断,二班阅读水平更好些.你认为谁的推断比较科学合理,更客观些.为什么？

25.(本小题满分9分)如图,在Rt ABC △中,90ACB ∠=?,30A ∠=?,1BC =,以边AC 上一点O 为圆心,OA 为半径的O ⊙经过点B . (1)求O ⊙的半径；

(2)点P 为?

AB 中点,作PQ AC ⊥,垂足为Q ,求OQ 的长； (3)在(2)的条件下,连接PC ,求tan PCA ∠的值.

26.(本小题满分10分)已知：二次函数2432y x x a =-++(a 为常数). (1)请写出该二次函数的三条性质；

(2)在同一直角坐标系中,若该二次函数的图像在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图像有两个交点,求a 的取值范围.

27.(本小题满分13分)如图,矩形ABCD 中,2AB =,4AD =.E 、F 分别在AD 、BC 上,点A 与点C 关于EF 所在的直线对称,P 是边DC 上的一动点. (1)连接AF 、CE ,求证：四边形AFCE 是菱形； (2)当PEF △的周长最小时,求

DP

CP

的值； (3)连接BP 交EF 于点M ,当45EMP ∠=?时,求CP 的长.

28.(本小题满分13分)定义：点(, )M x y ,若x 、y 满足222,2x y t y x t =+=+,且

x y ≠,t 为常数,则称点M 为“线点”.例如,点(0,2)-和(2,0)-是“线点”. 已知：在直角坐标系xOy 中,点(,)P m n .

(1)1(3,1)P 和2(3,1)P

-两点中,点 是“线点”； (2)若点P 是“线点”,用含t 的代数式表示mn ,并求t 的取值范围；

(3)若点Q (n ,m )是“线点”,直线PQ 分别交x 轴、y 轴于点A 、B ,当

||30POQ AOB ∠-∠=?时,直接写出t 的值.

毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________

--------在

--------------------此

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卷

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上

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答

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题

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无-------------------

效

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江苏省南通市2019年中考数学试卷

答案解析

一、选择题 1.【答案】A

【解析】两个负数，绝对值大的反而小，因此3-

比2-小，故选A .

【考点】有理数的大小比较 2

.【答案】B

==B . 【考点】二次根式的化简 3.【答案】D

【解析】A 项正确结果应该是5a ； B 项不是同类项，不能合并；

C 项同底数幂除法，底数不变，指数相减，正确答案应该是4a ；

D 项正确运用了幂的乘方公式，正确. 故选D .

【考点】幂的运算法则 4.【答案】C

【解析】球的三种视图都是圆；圆锥的三视图中有两个是三角形，一个是圆，不符合；

棱柱的三视图中没有圆，也不正确，故选C . 【考点】几何体的三视图 5.【答案】A

【解析】直接将两个方程相加，可得5510a b +=，化简得65a +=，故选A . 【考点】二元一次方程组 6.【答案】D

【解析】首先要移项，得289x x +=-，然后两边同时加上一次项系数一半的平方16，

得28167x x ++=，然后将左边化为平方的形式，故选D .

【考点】配方法解一元二次方程

7.【答案】C

【解析】由作法过程可知，2,3OA AB =

=，利用勾股定理可得

OB =P

点所表

C . 【考点】勾股定理和无理数的估值 8.【答案】B

【解析】由AB CD ∥，可知180BAC C ∠+∠=?，所以110BAC ∠=?，又由于AE 平分

BAC ∠，所以55CAE ∠=?，所以125AED C CAE ∠=∠+∠=?.

【考点】平行线的性质和角平分线的性质 9.【答案】C

【解析】C 项的图像由陡变平，说明速度是由快变慢的，故选C . 【考点】函数图像的应用问题 10.【答案】

B

【解析】从轴对称的角度，整个图形是一个轴对称图形，CD B D '=，因此B E x '=，又

由已知条件可求得B C ''=，所以C E x '=，对于AC E

'△来说，底为CE ，高是AH ，可利用30?所对直角边等于斜边一半求得等于1，所以1

2

y x ，故选

B .

【考点】几何综合题，全等和函数的知识，轴对称的知识 二.填空题 11.【答案】3

【解析】2021)413-=-=. 故答案为：3. 【考点】实数的计算 12.【答案】8310?

【解析】8300 000 0003100000000310=?=?， 故答案为：8310?. 【考点】科学记数法 13.【答案】(1)(1)x x x +-

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【解析】先提取公因式，再利用平方差公式的顺序，()

32(1)(11)x x x x x x x -==--+. 故答案为：(1)(1)x x x +-. 【考点】因式分解 14.【答案】70

【解析】先利用HL 证明ABE CBF △≌△，可证25BCF BAE ∠=∠=?，再由AB BC =，

90ABC ∠=?，得出45BCA ∠=?，即可求出704525BCA +∠?==??.

故答案为：70. 【考点】全等的判定 15.【答案】911616x x -=+

【解析】总钱数=9?人数-11；总钱数=6?人数+16. 故答案为：9 11 6 16x x -=+. 【考点】一元一次方程的应用 16.【答案】5

【解析】根据πS Rr =侧，可知10ππ2R =??，可求得5R =. 故答案为：5.

【考点】圆锥侧面积公式 17.【答案】4

【解析】分别过点B 、点C 作y 轴和x 轴的平行线，两条平行线相交于点M ，与x 轴的

交点为N .将(3,4)C 代入2y x b =+，可得2b =-，然后求得A 点坐标为(1,0)，利用全等的判定可证明ABN BCM △≌△，可得3AN BM ==，1CM BN ==，可求出B(4,1)，即可求出4k =，A 点向上平移4个单位后得到的点(1,4)在4

y x

=，即4a =. 故答案为：4.

（第17题）

【考点】反比例函数与几何图形的综合 18.

【答案】【解析】过点P 作PQ AD ⊥于Q ，由于60PDQ ∠=?

，因此PQ =

，当B 、P 、Q 三点共线时，即点B 到AD

的垂线段长即为PB +

的最小值，PB 的

最小值为sin60AB ??=，

故答案为：

（第18题）

【考点】平行四边形的性质和线段之和最短 三、解答题

19.【答案】解：两边同乘以3，得4133x x --＞. 移项，得4331x x -+＞. 合并同类项，得4x ＞. 把解集在数轴上表示为：

【解析】先将分子、分母因式分解，然后约分化简，最后代入求值. 【考点】一元一次不等式的解法

数学试卷 第11页（共18页） 数学试卷 第12页（共18页）

20.

【答案】2-

【解析】原式22

442

m m m m m ++=+g

22

(2)2

m m

m m +=+g

2

2m m =+，

把2m =代入上式， 原式22m m =+

(2)m m =+

=

2=-

故答案为：2- 【考点】分式的化简求值

21.【答案】证明：在ABC △和DEC △中，CA CD

ACB DCE CB CE =??

∠=∠??=?

，

ABC DEC ∴△≌△，

AB DE =∴.

【解析】证明ABC △与DEC △全等，即可通过全等三角形对边相等完成证明. 【考点】全等的应用

22.【答案】31

(11)62

P ==白黄

【解析】解：根据题意画出树状图：

由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有6种，这些结果出现的可能性相等.其中1

白1黄的有3种.所以31

(11)62

P ==白黄.

【考点】概率的求法

23.【答案】解：设每套《三国演义》的价格为x 元，则每套《西游记》的价格为(40)

x +元. 由题意，得

32002400

240

x x =+g

. 方程两边乘(40)x x +，得3200(40)4800 x x +=.

解得：80x =.经检验，80x =是原方程的解，且符合题意. 所以，原分式方程的解为80x =. 答：每套《三国演义》的价格为80元.

【解析】题目中包含两个相等关系，“《西游记》单价=《三国演义》单价+40元”，“3 200

元购买《三国演义》的套数=用2 400元购买《西游记》套数的2倍”，利用第一个相等关系设出未知数，第二个相等关系列出方程. 【考点】分式方程的应用 24.【答案】(1)二 一 (2)乙同学的推断比较科学合理.

理由：虽然二班成绩的平均分比一班低，但从条形图中可以看出，二班有3名学生的成

绩是1分，它在该组数据中是一个极端值，平均数受极端值影响较大，而中位数或众数不易受极端值的影响，所以，乙同学的推断更客观些.(答案不唯一，理由只要有理有据即可)

【解析】(1)方差越小，成绩越稳定；

(2)由于二班的成绩中出现了3个1分，这属于极端分数，影响了二班的平均分，因此

本题利用平均分来比较两班成绩是不合适的. 【考点】数据的收集，整理与描述

25.【答案】解：(1)连接OB ，OA OB =∵，30ABO A ∠=∠=?∴.

90ACB ∠=?∵，30A ∠=?，60ABC ∠=?∴.

30OBC ∠=?∴.

在Rt OBC △中，cos BC OBC OB ∠=

，即1

cos30OB

?=.

解得OB ，即O ⊙

的半径为OB =.

数学试卷 第13页（共18页） 数学试卷 第14页（共18页）

(2)连接OP .

∵点P 为劣弧AB 的中点，∴OP AB ⊥.

30QPO A ∠=∠=?∴.

在Rt OQP △中，cos PQ QPO OP ∠=

，sin OQ QPO OP ∠=，

即cos30?=

sin30?.

1PQ =∴

，12OQ =

g (3)在Rt OBC △

中，OC =

CQ =∴.

tan 2

PQ PCA CQ ∠==∴.

【解析】(1)若连接OB .则BCO △是一个含30?角的直角三角形，AOB △是底角为30?

的等腰三角形，可分别在这两个三角形中求出OC 和OA ；

(2)可先求出30OPQ ∠=?，所以OPQ △是一个含30?角的直角三角形，且斜边长为半

径长；

(3)可在Rt PCQ △中解决，分别计算出两条直角边，即可求出tan PCA ∠的值. 【考点】圆，特殊三角函数值解直角三角形，垂径定理

26.【答案】(1)①图像开口向上；②图像的对称轴为直线2x =；③当x ＞2时，y 随x

的增大而增大；④当x ＜2时，y 随x 的增大而减小；⑤当x =2时，函数有最小值. (2)∵二次函数的图像与一次函数21y x =-的图像有两个交点，

243221x x a x -++=-∴，即26330x x a -++=. 364(33)12240a a ?=-+=-+＞，解得2a ＜.

∵二次函数的图像在4x ≤的部分与一次函数 2 1y x =-的图像有两个交点， ∴二次函数2633w x x a =-++的图像与x 轴4x ≤的部分有两个交点. 结合图像，可知4x =时，26330x x a -++≥. ∴当4x =时，2633350x x a a -++=-≥，得5

3

a ≥.

∴当二次函数的图像在4x ≤的部分与一次函数 2 1y x =-的图像有两个交点时，a 的取

值范围为523

a ≤＜.

【解析】(1)可从开口方向、对称轴、开口大小这些角度来研究；

(2)逐将限制条件转化为不等式，有两个极限位置，一是直线经过抛物线上横坐标为4

的点，二是抛物线与直线有一个交点. 【考点】二次函数的性质

27.【答案】解：(1)连接AC ，交EF 于点O . 由对称可知：OA OC =，AC EF ⊥. ∴AE CE =，AF CF =.

∵四边形ABCD 是矩形，AD BC ∴∥. ∴OAE OCF ∠=∠，OEA OFC ∠=∠.

OAE OCF ∴△≌△.

∴AE CF =.AE CE CF AF ===∴. ∴四边形AFCE 是菱形.

(2)∵PEF △的周长PE PF EF =++， 又∵EF 长为定值，

∴PEF △的周长最小时，即PE PF +最小.

作E 关于直线CD 的对称点E '，连接FE '交DC 于点P '， 则PE PF PE PF E F ''+=+≥，

因此，当点P 与点P '重合时，PEF △的周长最小.

2,4,AB AD AC OC ====∵∴∴

数学试卷 第15页（共18页） 数学试卷 第16页（共18页）

由COF CBA △∽△，得

5

2OC CF CF BC CA ==.∴. 由画图可知：3

2

DE DE '==.

由DE P CFP '△∽△，得3

3

255

2

DP DE CP CF '===.

(3)设BP 交AC 于点Q ，作BN AC ⊥于点N .

45EMP ∠=?∵，OM OQ =∴，NQ BN =.

由AB BC AC BN =g g

，得24BN ?=.

BN NQ =

=∴. 在Rt ABN △

中，AN =

AQ AN NQ CQ AC AQ '∴=+=-

由 AB CP ∥，得ABQ CPQ △∽△，得

AB AQ

CP CQ

=. 即254PC =.解得43

PC =. 【解析】(1)利用垂直乎分线的性质证明AE CE =，AF CF =，然后再利用对称的性质

和平行的性质，证得AE CF =，即可证得四条边都相等；

(2)PEF △中，EF 长是定值，因此本题考查的实际上是PE PF +的最小值，我们作E

关于CD 的对称点E '，连接E F '，此时E F '最小；

(3)利用45?构造等腰直角三角形，设BP 交AC 于点Q ，作BN AC ⊥于点N .这时BQN

△为等腰直角三角形，ABN △与ABC △相似，先在Rt ABN △中求出BN 和AN 的长，然后求出AQ ，CQ 的长，再根据BAQ △与PCQ △相似，求出PC 的长.

【考点】几何综合题

28.【答案】解：(1)由线点定义：222,2x y t y x t =+=+， 消去t ，可得，()(2)0x y x y -++=， 由于x y ≠，可得20x y ++=，

将1P 、2P 坐标代入表达式，易知2P 为线点. (2)(,)P m n ∵是“线点”，

22m n t =+∴，22n m t =+.

222()m n n m -=-∴，222()2m n n m t =+++.

m n ≠∵，2m n +=-∴.

2()22()2m n mn n m t +-=++∴. 4242mn t -=-+∴. 4mn t =-+∴.

m n ≠∵，2()0m n -∴＞，即2()40m n mn +-＞.

30t -∴＞.解得3t ＞.

∴t 的取值范围为3t ＞.

(3)10

3

t =

或6.理由如下： (,)Q m n ∵为“线点”

20n m ++=∴，∴Q 是直线2y x =--上一点

又∵P 为(,)m n ，即P 也满足2y x =-- ∴PQ 所在直线方程为2y x =--

(2,0)A -∴，(0,2)B -，90AOB ∠=?

又||30POQ AOB ∠-∠=?∵

120POQ ∠=?∴或60POQ ∠=?

当120POQ ∠=?，即点P 、Q 分别在二、四象限内，过O 作OC PQ ⊥，如图1，

数学试卷 第17页（共18页） 数学试卷 第18页（共18页）

2OA =∵，2OB =

，OC ∴又120POQ ∠=?∵

，OP OQ =

OP =∴228m n +=

由(2)可知：222()2m n m n t +=++且2m n +=-

82(2)2t =?-+∴，解得：6t =.

当60POQ ∠=?，即点P 、Q 都在第三象限内，过O 作OC PQ ⊥，如图2.

2OA =∵，2OB =

，OC ∴又∵60POQ ∠=?

，OP OQ =

OP =

∴2283

m n += 由(2)可知：222()2m n m n t +=++，且2m n +=-

82(2)23t =?-+∴，解得：10

3

t =. 综上可得：t 的值为6或10

3

.

【解析】(1)由“222,2x y t y x t =+=+”消去t ，可得，()(2)0x y x y -++=，

由于x y ≠，可得20x y ++=，

即当一个点的横纵坐标之和为2-的时候，这个点就是线点.利用这一结论很容易判断2

P 是线点；

(2)利用完全平方公式的变形，可用含t 的代数式表示mn ，然后再利用完全平方公式的

非负性求出t 的取值范围；

(3)如果(,)Q n m 是“线点”，那么2m n +=-，即Q 是直线2y x =--上一点，又由于

(,)P m h ，所以P 也满足2y x =--，所以直线PQ 的解析式为2y x =--.又由于

||30POQ AOB ∠-∠=?，且90AOB ∠=?，所以120POQ ∠=?或60POQ ∠=?.当

120POQ ∠=?，可求得228m n +=；当60POQ ∠=?时可求得228

3

m n +=号，代入

之前的定义即可求出t 的值.

【考点】利用完全平方公式进行的新定义，等腰三角形性质，勾股定理