湖南省2014年高考对口招生考试数学真题
湖南省2014年普通高等学校对口招生考试
数学（对口）试题
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分.时量120分钟.满分120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
每小题只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合{
}4,1=A ,{}6,5,4=B ,则B A ⋃等于 ( B ) A. {}6,5,4 B. {
}6,5,4,1 C. {}4,1 D. {}4 2.函数()[]()2,03∈=x x f x 的值域为 ( D
)
A. [0，9]
B. [0，6]
C. [ 1,6 ]
D. [ 1,9 ] 3.“y x =”是“y x =”的 （ A ） A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充分必要条件 D ． 既不充分也不必要条件 4.已知点()()4,1,2,5-B A ,则线段AB 的中点坐标为 （ D ）
A ．（3，－1）
B ． （4，6）
C ．（－3，1）
D ． （2，3）
5.6
1⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-x x 的二项展开式中2x 的系数为 （ C ）
A ．－30
B ．1
C ． －15
D ．30 6.函数()()R x x x x f ∈+=cos sin 的最大值为 （ C ）
A ．
2
2
B ． 1
C ． 2
D ． 2
7.若0<a 则关于x 的不等式()()023<+-a x a x 的解集为 （ A ）
A ．{}a x a x 23-<<
B ．{}
a x a x x 23-><或 C ．{}a x a x 32<<- D ．{}
a x a x x 32>-<或
8.如图从A 村去B 村的道路有2条，从B 村去C 村的道路有4条，从A 村直达C 村的道路有3条，则从A 村去C 村的不同走法种数为 （ 9 ）
第8题
C 村
B 村
A 村
A. B. C.0 D.1
9．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线1AB 与1BC 所成角的大小为 ( c ) A ．ο90 B ．ο45 C ．ο60 D ．ο30
10．已知直线1-=x y 与抛物线x y 42=交于A ，B 两点，则线段AB 的长为（ c ） A ．63 B ．8 C ．24 D ．32
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11、已知一组数据1，3，4，x ，y 的平均数为5，则=+y x ___17___。
12．已知向量()().4,,1,3x b a =-=若a ∥b ，则=x -12_________。
13．圆()()4432
2
=-+-y x 上的点到原点O 的最短距离为______3。
14.已知⎪⎭
⎫
⎝⎛∈-
=23,,22cos ππαα，则=α 135 。
15.在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BAD ＝060，P A ⊥平面ABCD ，PA ＝2，则四棱锥P －ABCD 的体积为_____根号3/6_______。
三、解答题（本大题共7小题，其中第21，22题为选做题。
满分60分。
解答题应写出文字说明或演
算步骤）
16. 已知函数())3(log 22++=x a x f ，且()11=-f （I ）求a 的值并指出()x f 的定义域； （II ）求不等式()1≥x f 的解集。
(1) F(x)为对数函数，则x+3.>0 x>-3 定义域为（-3，+00），
且f(-1)=1,则f （-1）＝a ＋2log 2（-1+3）＝1 解得:a ＝-1 (2) f （x ）＝-1+2log 2（x+3）≧1 log 2（x+3）≧log 22 x+3≧2 x ≧-1
B 1
A 1
C 1
D 1
D
B
C
A
第9题
解集为:[-1，＋∞）
17. 从4名男生和3名女生中任选4人参加独唱比赛，设随机变量ξ表示所选4人中女生的人数。
（I ）求ξ的分布列；
（II ）求事件“所选4人中女生人数ξ2≤”的概率。
18. 已知向量,,42==a 与b 的夹角为060。
（I ）求()b a ⋅2的值；（II ）若()()
b a k b a -⊥-2，求k 的值。
(1) （2a ）*b=2*|a|*|b|*cos60=2*4*1/2=4
(2) (a -2b)⊥（ka -b ）=k|a|-a*b -2kab+2|b|=0
4k -4-8k+32=0 K=7
19. 设等差数列{}n a 的前n 项为n S ，若38,1225==S a ，求： （I ）数列{}n a 的通项公式；（II ）数列{}n a 中所有正数项的和。
(1) 设通项公式为an=a1+(n -1)*d
因为a5=12,s2=38
所以a1+4d=12 2a1+66d=38 所以a1=20 d= -2
(2) 通项公式为an=-2n+22
因为要求数列{}n a 中所有正数项的和 所以an>0
-2n+22>0 n<11 11>n>0
求s10=20*10+10*9/2*（-2）=110
20.已知椭圆()01:2222>>=+b a b
y a x C 的离心率为23
，焦距为。
32
（I ）求C 的方程；
（II ）设21,F F 分别为C 的左、右焦点，问：在C 上是否存在点M ，使得21MF MF ⊥？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。
（1） 圆心率e=c/a,焦距为32
所以c(根号3，0)，（-根号3，0）
所以a=2, b 的平方=a 的平—c 的平方=1 所以方程为
（2）
注意：第21题，22题为选做题，请考生选择其中一题作答。
21．已知A ，B ，C 是ABC ∆的三个内角，且135cos -
=A ，5
3cos =B （I ）求C sin 的值；
（II ）若BC ＝5，求ABC ∆的面积。
（1）
22．某化肥厂生产甲、乙两种肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料需要磷酸盐20吨、硝酸盐5吨；生产1车皮乙种肥料的主要原料需要磷酸盐10吨、硝酸盐5吨。
现库存磷酸盐40吨、硝酸盐15吨，在此基础上生产这两种肥料。
若生产1车皮的甲种肥料，产生的利润为3万元；生产1车皮的乙种肥料，产生的利润为2万元.那么分别生产甲、乙两种肥料多少车皮，才能够产生最大利润？并求出最大利润。
湖南省对口高考数学试题分值分布(2014年-2019年)
3
12
3
16
3
1
2
函数(指数函数与对数函数)
14
1
1
22
2
1
1
22
3
1
3
三角函数及公式
8
1
1
4
1
14
1
1
4
数列
10
1
14
1
1
14
1
1
5
平面向量
14
1
1
8
1
1
8
1
1
6
直线和圆
8
1
1
8
2
4
1
7
立体几何
8
1
1
10
1
14
1
1
8
概率与统计
22
2
1
1
22
1
2
1
8
2
9
椭圆双曲线抛物线
14
1
1
10
1
10
1
10
职业模块
1
1
8
1
1
6
直线和圆
8
1
1
8
2
4
1
7
立体几何
8
2
14
1
1
14
1
1
8
概率与统计
18
1
1
1
18
2
1
18
2
1
9
椭圆双曲线抛物线
14
1
1
10
1
10
1
10
职业模块
2014年高考湖南文科数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文科)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分,共50分，在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求． （1）【2014年湖南，文1，5分】设命题2:,10p x R x ∀∈+>,则p ⌝为（ ）（A ）200,10x R x ∃∈+> (B ）200,10x R x ∃∈+≤ （C ）200,10x R x ∃∈+< （D ）200,10x R x ∀∈+≤ 【答案】B【解析】全称命题的否定是特称命题，所以命题p 的否定为200,10x R x ∃∈+≤，故选B ． （2)【2014年湖南，文2,5分】已知集合{|2},{|13}A x x B x x =>=<<，则A B =（ )（A ）{|2}x x > （B ）{|1}x x > (C ）{|23}x x << （D ）{|13}x x << 【答案】C【解析】由题可得{|23}A B x x =<<，故选C ．(3)【2014年湖南，文3，5分】对一个容器为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ,则（ ）（A ）123p p p =< (B)231p p p =< （C ）132p p p =< （D ）123p p p == 【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样,分层抽样，系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即123p p p ==，故选D ． （4)【2014年湖南，文4，5分】下列函数中，既是偶函数又在区间(),0-∞上单调递增的是( )（A ）21()f x x =（B ）2()1f x x =+ （C ）3()f x x = (D)()2xf x -=【答案】A【解析】根据函数奇偶性的判断可得选项A 、B 为偶函数，C 为奇函数，D 为非奇非偶函数，所以排除C 、D 选项．由二次函数的图像可得选项B 在(),0-∞是单调递减的，根据排除法选A ．因为函数2y x =在(),0-∞是单调递减的且1y x=在()0,+∞是单调递增的，所以根据复合函数单调性的判断同增异减可得选项A 在(),0-∞是单调递减的，故选A ．（5）【2014年湖南,文5，5分】在区间[]2,3-上随机选取一个数X ，则1X ≤的概率为（ ）（A ）45 （B)35 (C ）25 （D ）15【答案】B【解析】在[]2,3-上符合1X ≤的区间为[]2,1-，因为[]2,3-的区间长度为5且区间[]2,1-的区间长度为3,所以根据几何概型的概率计算公式可得35p =,故选B ． （6）【2014年湖南，文6,5分】若圆221:1C x y +=21x=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =( ）(A ）21 （B ）19 （C ）9 （D ）11- 【答案】C【解析】因为()()22226803425x y x y m x y m +--+=⇒-+-=-，所以25025m m ->⇒<且圆2C的圆心为()3,4,半径为25m -，根据圆和圆外切的判定可得()()2230401259m m -+-=+-⇒=,故选C ．(7）【2014年湖南，文7，5分】执行如图所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于( )（A ）[]6,2-- （B)[]5,1-- （C ）[]4,5- （D ）[]3,6- 【答案】D【解析】当[]2,0t ∈-时,运行程序如下:(]2211,9t t =+∈，(]32,6S t =-∈-，当[]0,2t ∈时，(]33,1S t =-∈--,则(][][]2,63,13,6S ∈---=-，故选D ．(8）【2014年湖南,文8，5分】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于( ）（A)1 (B ）2 （C ）3 (D ）4 【答案】B 【解析】由图可得该几何体为三棱柱，因为正视图、侧视图和俯视图的内切圆半径最小的是正视图（直角三角形）所对应的2121ln ln x x e x x x -<- C.内切圆，所以最大球的半径为正视图直角形内切 圆的半径r ，则2286862r r r -+-=+⇒=，故选B ．（9）【2014年湖南，文9，5分】若1201x x <<<，则（ ）（A ）2121ln ln x x e e x x ->- （B ）2121ln ln x x e e x x -<- (C ）1221x x x e x e > （D ）1221x x x e x e < 【答案】C【解析】设()ln x f x e x =-,则(]0,1x ∈时,()1xf x e x'=-的符号不确定，()f x ∴的单调性不确定．设()x e g x x =,则()0,1x ∈时，()()210xx eg x x -'=<，()g x ∴在()0,1上单调递减，()()1212122112x x x x e e g x g x x e x e x x ∴<⇒<⇒<,故选C ．(10)【2014年湖南,文10，5分】在平面直角坐标系中，O 为原点,(1,0),(03),(30)A B C -，，，动点D 满足||1CD =，则||OA OB OD ++的取值范围是( ）（A)[4,6] （B ）[19119+1]-， （C ）[2327]，（D ）[717+1]-， 【答案】D【解析】点D 的轨迹是以C 为圆心的单位圆，设()[)()3cos ,sin 0,2D θθθπ+∈，则OA OB OD ++()()()223cos 1sin 3822cos 3sin θθθθ=+-++=++．因为2cos 3sin θθ+的取值范围是()()222223,237,7⎡⎤⎡⎤-++=-⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故827,82771,71OA OB OD ⎡⎤⎡⎤++∈-+=-+⎣⎦⎢⎥⎣⎦,故选D ． 二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．(11）【2014年湖南,文11，5分】复数23i i +（i 为虚数单位）的实部等于 ．【答案】3-【解析】由题可得所以23i 3i i +=--，3i --的实部为3-．（12）【2014年湖南，文12,5分】在平面直角坐标系中,曲线222:212x t C y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）的普通方程为 ．【答案】10x y --= 【解析】联立222:212x t C y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消t 可得110x y x y -=⇒--=．（13）【2014年湖南，文13，5分】若变量y x ，满足约束条件41y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,则2z x y =+的最大值为 ．【答案】7【解析】作出不等式组41y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的区域如下，则根据线性规划的知识可得目标函数2z x y =+在点()3,1处取得最大值7．（14）【2014年湖南，文14,5分】平面上以机器人在行进中始终保持与点(1,0)F 的距离和到直 线1x =-的距离相等．若机器人接触不到过点()10P -，且斜率为k 的直线,则k 的取值范围是 ． 【答案】()(),11,-∞-+∞【解析】由题设知机器人在以点(1,0)F 为焦点的抛物线24y x =上,且()1y k x =+与抛物线24y x =无交点，()22441y xy y k k y k x ⎧=⎪⇒=⋅+⇒⎨=+⎪⎩方程204y k y k ⋅-+=无实根，则0k ≠且2101k k ∆=-<⇒<-或1k >, 所以()(),11,k ∈-∞-+∞．（15）【2014年湖南，文15，5分】若()()3ln 1xf x e ax =++是偶函数,则a = ．【答案】23-【解析】因为()f x 为偶函数，所以()()()()33ln 1ln 1x x f x f x e ax e ax --=⇒+-=++⇒()()333ln 13ln 1322x x e x ax e ax x ax a +--=++⇒-=⇒=-．三、解答题:本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（16）【2014年湖南,文16，12分】已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS n N *+=∈，．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2(1)n ann n b a =+-,求数列{}n b 的前2n 项和．解：（1）当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，1n n n a S S n -=-=，∴*()n a n n N =∈． (2）由题意得：2(1)2(1)n a n n n n n b a n =+-=+-，∴数列{}n b 的前2n 项和2n T 为22212(222)(12342)22n n n T n n +=++++-+-+-+=-+． （17）【2014年湖南，文17，12分】某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下： (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b其中a a ，分别表示甲组研发成功和失败;b b ，分别表示乙组研发成功和失败． （1）若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平；（2）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率．解：(1）甲组研发新产品的成绩为1,1，1,0，0,1,1,1，0，1,0,1,1,0，1，其平均数为102==153x 甲．方差为2221222=[(1)10(0)5]15339S -⨯+-⨯=甲;乙组研发新产品的成绩为1,0，1，1,0，1,1，0,1，0,0，1,0,1,1,其平均数为93==155x 乙．方差为2221336=[(1)9(0)6]155525S -⨯+-⨯=乙 22><x x S S 甲乙甲乙，，∴甲组的研发水平优于乙组的研发水平．（2）记E =｛恰有一组研发成功}，在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a b a b a b a b a b a b 共有7个，根据古典概型的概率计算公式可得()715P E =． (18）【2014年湖南,文18,12分】如图，已知二面角MN αβ--的大小为60°，菱形ABCD在面β内，,A B 两点在棱MN 上，BAD ∠=60°,E 是AB 的中点,DO ⊥面α，垂足为 O ．(1）证明:AB ⊥平面ODE ；（2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值． 解：（1）∵DO α⊥，AB α⊂，∴DO AB ⊥．∵四边形ABCD 问菱形，60BAD ∠=︒，连结BD ，则ABD ∆为正三角形．又E 为AB 的中点，∴DE AB ⊥．而DO DE D =,∴AB ⊥平面ODE ． （2）∵//BC AD ，∴ADO ∠是直线BC ，OD 所成的角． 由（1)知,AB ⊥平面ODE ,∴AB OE ⊥，AB DE ⊥，∴DEO ∠是二面角MN αβ--的平面角,∴60DEO ∠=︒．设2AB =,则2AD =，3DE =，3sin 602DO DE =︒=．连结AO ，则3cos 4DO ADO AD ∠==，∴异面直线BC ，OD 所成的角的余弦值为34．（19）【2014年湖南，文19,13分】如图，在平面四边形ABCD 中，DA AB ⊥,1DE =,7EC =，2EA =，23ADC π∠=，3BEC π∠=． (1）求sin CED ∠的值； （2）求BE 的长． 解：（1）在CDE ∆中，222+2cos EC CD DE CD DE EDC =-⋅⋅∠．即227+1+CD CD =，2+60CD CD -=，2CD ∴=（3CD =-舍去），设CED α∠=，sin sin EC CDD α=∠，即722sin sin 3πα=，21sin 7α∴=． (2）0<<3πα，21sin 7α=，27cos 7α∴=， 2227cos cos()cos cos +sin sin 33314AEB πππααα∴∠=-==， 在ABE ∆中，cos EAAEB BE ∠=，247cos 7/14EA BE AEB ∴===∠．(20）【2014年湖南，文20，13分】如图，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)y x C a b a b +=>>均过点23(,1)3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形． （1）求12,C C 的方程；（2）是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=？证明你的结论．解：（1)设2C 的焦距为22c ，则12222a c ==，∴121a c ==．23(,1)3P 在1C 上，∴2212123:()13y C b -=,213b =． 由椭圆定义知，2222223232()(11)()(11)2333a =+-+++=，∴23a =，2222222b a c =-=， ∴12,C C 的方程分别为22221,1332y y x x -=+=．（2）不存在符合题设条件的直线．①若l x ⊥轴，∵l 与2C 只有一个公共点，∴l 的方程为2x =或2x =-．当2x =时，易得()2,3A ,()2,3B-， ||22,||23OA OB AB +==,此时||||OA OB AB +≠．②若l 不垂直x 轴，设:l y kx m =+，代入双曲线方程整理得222(3)230k x k m x m ----=．当l 与1C 有两个交点()11,A x y ，()22,B x y 时，12223k mx x k +=-，212233m x x k +=-,于是222212121212233()()()3k m y y kx b kx b k x x km x x m k -=++=+++=-，再将y kx b =+代入椭圆方程整理得222(23)4260k x k m x m +++-=，∵l 与2C 只有一个公共点，∴由0∆=,可得2223k m =-,于是有22222212122222333323303333m k m k m k OA OB x x y y k k k k +--+--⋅=+=+==≠----∴2222||||||||40OA OB AB OA OB OB OA OA OB +-=+--=⋅≠，即||||OA OB AB +≠． 综合①②可知，不存在符合题设条件的直线．（21）【2014年湖南,文21,13分】已知函数()cos sin 1(0)f x x x x x =-+>．（1)求()f x 的单调区间；（2）记i x 为()f x 的从小到大的第*()i i N ∈个零点，证明：对一切*n N ∈，有2221211123n x x x +++<．解:（1）()cos sin cos f x x x x x '=--，令()0f x '=，则*()x k k N π=∈． 当(2,2)()x k k k N πππ∈+∈时,()0f x '<，当(2,22)()x k k k N ππππ∈++∈时，()0f x '>，∴()f x 的单调减区间为(2,2)()k k k N πππ+∈, ()f x 的单调增区间为(2,22)()k k k N ππππ++∈． （2)由(1）知,()f x 在区间(0,)π上单调递减,∵()02f π=,∴12x π=．当*n N ∈时，∵1()()[(1)1][(1)(1)1]0n n f n f n n n πππππ+⋅+=-+⋅-++<， 且()f x 的图像是连续不断的，∴()f x 在区间(,)n n πππ+内至少有一个实根,又()f x 在区间(,)n n πππ+上是单调的，∴1n n x n πππ+<<+．由此可得 222222221211111111111[41][41]23(1)1223(2)(1)n x x x n n n ππ+++<+++++<+++++-⨯⨯--2222111111111162[41(1)()()](411)(6)22321113n n n n ππππ=++-+-++-=++-=-<<---- 综上可知，对一切*n N ∈,都有2221211123n x x x +++<．。
2014年湖南高考理科数学(理)真题试题及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数 学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页. 时量120分钟. 满分150分.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（2014湖南）1. 满足ii z z+=（i 为虚数单位）的复数z = 【 B 】A. 11i 22+B. 11i 22- C. 11i 22-+ D. 11i 22--【解析】由题意i 11i i z =i i 122z z +=⇔=--,选B【考点定位】复数：复数四则运算.（2014湖南）2. 对一个容量为N 的总体抽取容量为m 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ,则【 D 】 A. 123=p p p < B. 231=p p p < C. 132=p p p < D. 123==p p p 【解析】简单随机抽样、系统抽样和分层抽样都是等概率抽样, 123==p p p ,选D. 【考点定位】统计：随机抽样.（2014湖南）3. 已知(),()f x g x 分别是定义R 在上的偶函数和奇函数，且32()()1f x g x x x -=++，则(1)+(1)f g 【 C 】A. 3-B. 1-C. 1D. 3 【解析】由题意23()1,(),(1)(1)1f x x g x x f g =+=-+=,选C 【考点定位】函数：函数的奇偶性.（2014湖南）4. 51(2)2x y -的展开式23x y 的系数是【 A 】A. 20-B. 5-C. 5D. 20【解析】通项()515122kk kk T C x y -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则2k =时, ()232331102202T x y x y ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭,选A.【考点定位】二项式定理.（2014湖南）5. 已知命题p ：若x y >，则x y -<-；命题q ：若x y >，则22x y >. 在命题①p q ∧； ②p q ∨； ③()p q ∧⌝； ④()p q ⌝∨中，真命题是 【 C 】A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④ 【解析】命题p 为真命题,当命题q 为假命题,所以②③为真命题,故选C. 【考点定位（2014湖南）6. 执行如图1则输出的S 属于 D 】A. [6,2]--B. [5,1]--C. [4,5]-D. [3,6]- 【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下,(]32,6S t =-∈-(]2211,9t t =+∈,当[]0,2t ∈时,[]33,1S t =-∈--,则(][][]2,63,13,6S ∈---=-,故选D.【考点定位】算法：程序框图；二次函数.（2014湖南）7. 一块石材的几何体三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于【 B 】 A. 1 B. 2C. 3D. 4 【解析】由图可得该几何体为三棱柱, 所以最大球的半径为正视图直角三角 形内切圆的半径r ,则86r r -+-2r ⇒=, 故选B. 【考点定位】立体几何：三视图；内切圆；球.（2014湖南）8. 某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为【 D 】 A.2p q+ B.(1)(1)12p q ++-C.D. 1【解析】设前两年的平均增长率为x ,则有2(1)(1)(1)1x p q x +=++⇒-【考点定位】函数应用题（2014湖南）9. 已知函数()sin()f x x ϕ=-，且230()0f x dx π=⎰，则函数()f x 的图像的一条对称轴是【 A 】A. 5π6x =B. 7π12x =C. 3x π=D. 6x π=【解析】法一：由23022()0cos cos =0cos cos 33f x dx πππϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=⇔--+⇔=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰, 所以223k πϕϕπ=-+或223k πϕϕπ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，即3k πϕπ=+. 则56x π=是其中一条对称轴.故选A.法二：由定积分的几何性质与三角函数图象可知,03π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()sin()f x x ϕ=-的一个对称中心，所以sin()03πϕ-=,所以3k πϕπ=+.故选A.【考点定位】三角函数：三角函数图像与性质，定积分的几何意义.（2014湖南）10. 已知函数21()(0)2x f x x e x =+-<与2()ln()g x x x a =++的图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是 【 B 】A. (,-∞B. (-∞C. (D. ( 【解析】由题可得函数()f x 的图像上存在点020001(,)(0)2x P x x e x +-<关于y 轴对称的点02001(,)2x Q x x e -+-在函数2()ln()g x x x a =++的图像上，正视图 侧视图 俯视图图2从而有()0220001ln()2x x e x x a +-=-+-+,即001ln()02x e x a --+-=. 问题等价于函数1()ln()2x h x e x a =--+-在(),0x ∈-∞存在零点, 法一：1'()0x h x e x a=+>-+,()h x 在(),0x ∈-∞单调递增， 当x →-∞时，()h x →-∞，要使()h x 在(),0-∞存在零点，则1(0)1ln 02h a =-->， 从而a <法二：问题等价于函数1()2xx e φ=-与()ln()x x a ϕ=-+的图象在(),0-∞有交点,在同一坐标系中作出这两个函数的图象，当()ln()x x a ϕ=-+的图象在左右平移的过程中，(0)(0)h ϕ>即可，即a【考点定位】函数：指、对数函数；方程.二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分. （一）选做题：在11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按全两题记分.（2014湖南）11. 在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos :1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）交于,A B 两点，且2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是 . 【答案】(cos sin )1ρθθ-= 【考点定位】极坐标与参数方程.（2014湖南）12. 如图3，已知,AB AC 是O 的两条弦，,AO BC AB⊥， BC =O 的半径等于 . 【答案】32【考点定位】几何证明选讲：垂径定理，相交弦定理，射影定理.（2014湖南）13. 若关于x 的不等式23ax -<的解集为5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a = . 【答案】3-【解析】由题可得5123,2333a a --=-=3a ⇒=-,故填3-.【考点定位】不等式选讲：绝对值不等式的解法.（二）必做题（14~16题）（2014湖南）14. 若变量,x y 满足约束条件4y x x y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最小值为6-，则k = . 【答案】2-【解析】求出约束条件中三条直线的交点为()(),,4,k k k k -(),2,2,且,4y x x y ≤+≤的可行域如图,所以2k ≤,则当(),k k 为最优解时,362k k =-⇒=-,O 图3当()4,k k -为最优解时,()24614k k k -+=-⇒=, 因为2k ≤,所以2k =-,故填2-. 【考点定位】线性规划（2014湖南）15. 如图4，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为,()a b a b <O ，原点O 为AD 的中点，抛物线经过,C F 两点，则ba = .【答案】1【解析】由题可得,,,22a a C a F b b ⎛⎫⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 则2222a paa b p b ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩22201a b ab a b ⇒--=⇒=【考点定位】抛物线（2014湖南）16. 在平面直角坐标系中，O 为原点， (1,0),(3,0)A B C -，动点D 满足1CD=，则OA OB OD ++的最大值是 .【答案】1【解析】动点D 的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，可设D 的坐标为(3cos ,sin )θθ+，则(2cos sin )OA OB OD θθ++=+.(2OA OB OD ++=)==sin ϕϕ==当()sin 1θϕ+=时，OA OB OD ++的取到最大值1【考点定位】平面向量，三角函数性质，参数方程，圆.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （2014湖南）17.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35. 现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B . 设甲、乙两组的研发相互独立. （Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；（Ⅱ）若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元. 求该企业可获利润的分布列和数学期望.【解析】记{E =甲组研发新产品成功}，{F =乙组研发新产品成功}.由题设知2132(),(),(),()3355P E P E P F P F ====且E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立.（Ⅰ）记{E =至少有一种新产品研发成功}，则H EF =,于是122()()()3515P H P E P F ==⋅=,故所求的概率为13()1()15P H P H =-=. （Ⅱ）设企业可获利润为X ，则X 的可能取值为0,100,120,220.因122133(0)(),(100)(),35153515224236(120)(),(220)().35153515P X P EF P X P EF P X P EF P X P EF ===⋅====⋅====⋅====⋅=数学期望为2412()0120100220151555E X =⨯+⨯+⨯+⨯300480132014015++==.（2014湖南）18.（本小题满分12分）如图5，平面四边形ABCD 中，12AD CD AC ===，，（Ⅰ）求cos CAD ∠的值；（Ⅱ）若cos BAD CBA ∠=∠=BC 【解析】（Ⅰ）如图5，在ADC ∆中，由余弦定理，得222cos 2AC AD CD CAD AC AD +-∠=⋅ 故由题设知，cos CAD ∠=（Ⅱ）如图5，设BAC α∠=，则BAD CAD α=∠-∠,因为cos CAD ∠=,cos BAD ∠=， 所以sin CAD ∠==sin BAD ∠= 于是()sin sin sin cos cos sin BAD CAD BAD CAD BAD CAD α=∠-∠=∠∠-∠∠= 在ABC ∆中，由正弦定理，sin sin BC ACCBAα=∠故 sin 3.sin AC BC CBAα⋅===∠ 【考点定位】三角函数：解三角形.（2014湖南）19.（本小题满分12分）如图6，四棱柱1111-ABCD A B C D 的所有棱长都相等，11111,,AC BD O AC B D O == 四边形11ACC A 和四边形11BDD B 均为矩形. （Ⅰ）证明：1O O ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若60,CAB ∠=︒，求二面角11C OB D --的余弦值.【解析】（Ⅰ）如图（a ），因为四边形11ACC A 为矩形，所以1CC AC ⊥，同理1DC BD ⊥. 因为11//CC DD ，所以1CC BD ⊥，而AC BD O =，因此1CC ⊥平面ABCD , 由题设知11//O O C C ，故1O O ⊥平面ABCD . （Ⅱ）解法1：如图（a ），过1O 作11O H B C ⊥于H ，连接1C H . 由（Ⅰ）知，1O O ⊥平面ABCD ，所以1O O ⊥平面1111A B C D图5于是111O O AC ⊥,又四棱柱1111-ABCD A B C D 的所有棱长都相等， 所以1111A B C D 是菱形，因此1111AC B D ⊥,从而11AC ⊥平面11B BDD 所以111AC OB ⊥,于是1OB ⊥平面11O HC ，进而11OB C H ⊥, 所以11O HC ∠为二面角11C OB D --的平面角,不妨设2AB =,因为060CBA ∠=，所以11,OB OC OB = 在11Rt OO B ∆中，易知11111O O O H B O B O =⋅=,又111O C =.于是1C H =故1111cos O H O HC C H ∠====即二面角11C OB D --. 解法2：因为四棱柱1111-ABCD A B C D 的所有棱长都相等，所以ABCD 是菱形， 因此AC BD ⊥,又1O O ⊥平面ABCD ，从而1,,OB OC OO 两两垂直. 如图（b ）,以1,,OB OC OO 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，不妨设2AB =, 因为060CBA ∠=，所以 1.OB OC =于是相关各点的坐标为11(0,0,0),(0,1,2)O B C 易知，1(0,1,0)=n 是平面平面11B BDD 的一个法向量. 设2(,,)x y z =n 是平面11OB C 的一个法向量，则212100OB OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即2020z y z +=+=⎪⎩取z =2,x y ==，所以2=n .设二面角11C OB D --的大小为，易知是锐角，于是121212cos cos ,θ⋅=<>=⋅n n n n n n 二面角11C OB D --. 【考点定位】立体几何：线面垂直，二面角.（2014湖南）20.（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足111,,*.nn n a a a p n N +=-=∈（Ⅰ）若数列{}n a 是递增数列，且123,2,3a a a 成等差数列，求p 的值；（Ⅱ）若12p =，且{}2+1n a 是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式. 【解析】（Ⅰ）因为数列{}n a 是递增数列，11.nn n n n a a a a p ++-=-=而11a =，因此2231,1,a p a p p =+=++又123,2,3a a a 成等差数列，所以21343a a a =+，因而得230p p -=.解得1,0.3p p ==图a 1A OC B D1C 1B 1D A1O H1当0p =时，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾，故13p =. （Ⅱ）{}2+1n a 是递增数列，因而2+1210n n a a -->，于是()()2+122210n n n n a a a a --+-> ①但2211122n n -<，所以 2+12221n n n n a a a a --<- ②由①，②知，2210n n a a -->，因此()221221211122nn n n n a a ----⎛⎫-== ⎪⎝⎭③因为{}2n a 是递减数列，同理可得2120n n a a +-<，故()21221221122n nn n n a a ++-⎛⎫-=-=⎪⎝⎭④由③，④知，()111.2n n n na a ++--==于是121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-()()()11211111111412111222233212n n nnnn -+-----=+-++=+=+⋅+. 数列{}n a 的通项公式为()1141332nn n a --=+⋅. 【考点定位】数列：等差数列，等比数列，递推数列.（2014湖南）21.（本小题满分13分）如图7，O 为坐标原点，椭圆221221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点分别为12,F F ，离心率为1e ；双曲线222221(0)x y C a b a b -=>>：的左右焦点分别为34,F F ，离心率为2e ，已知12e e =，且241F F . （Ⅰ）求12C C ，的方程；（Ⅱ）1F 过作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为 AB 的中点，当直线OM 与2C 交于,P Q 两 点时，求四边形APBQ 面积的最小值. 【解析】（Ⅰ）因为12e e =2221b a +=4434a b -=，因此222,a b =从而24(,0),,0)F b F 241b F F -=，所以1b =，22a =故椭圆1C 方程为2212x y +=,双曲线2C 的方程为2212x y -=. （Ⅱ）因为直线AB 不垂直于y 轴且过点()11,0F -，故课设直线AB 的方程为1x my =-.F F由22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得 ()222210my my +--=易知此方程的判别式大于0.设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,y y 是上述方程的两个实根，所以12122221,22m y y y y m m -+=⋅=++ 因此()12122422x x m y y m -+=+-=+，AB 的中点为222,22m M m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，故 直线PQ 的斜率为2m -，PQ 的方程为2my x =-，即20mx y +=.由22212m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得()2224m x -=，所以222222420,,,22m m x y m m ->==--从而PQ =设点A 到直线PQ 的距离为d ，则B 点到直线PQ 的距离也为d ，所以2d =因为点,A B 在直线20mx y +=的异侧，所以)1122220mx y mx y +++<，于是112211222222mx y mx y mx y mx y +++=+--,从而2d又因为12y y -=，所以2d =四边形APBQ 面积122S PQ d =⋅=而2022m <-<，故当0m =时，S 取得最小值2. 四边形APBQ 面积的最小值为2.【考点定位】解析几何：椭圆，双曲线，直线与圆锥曲线位置关系.（2014湖南）22.（本小题满分13分）已知常数0a >，函数2()ln(1)2xf x ax x =+-+. （Ⅰ）讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；（Ⅱ）若()f x 存在两个极值点12,x x ，且12()()0f x f x +>，求a 的取值范围.【解析】（Ⅰ）()()24'12a f x ax x =-++()()()()2224112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x +-=++,（*）因为()()2120ax x ++>,所以当10a -≤时,当1a ≥时,()'0f x ≥,此时，函数()f x 在()0,+∞单调递增,当01a <<时, ()12'0f x x x =⇒==-， 当1(0,)x x ∈时，()'0f x <；当1(,)x x ∈+∞时，()'0f x <.故()f x 在区间1(0,)x 单调递减,在1(,)x +∞单调递增的. 综上所述当1a ≥时,()'0f x ≥,此时，函数()f x 在()0,+∞单调递增,当01a <<时, ()f x在区间⎛ ⎝上单调递减,在⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增的. （Ⅱ）由（*）式知，当1a ≥时，()'0f x ≥函数()f x 不存在极值点，因而要使得()f x 有两个极值点，必有01a <<，又()f x的极值点只可能是1x =2x =-，且由()f x 的定义可知，1x a >-且2x ≠-，所以1a --，2-≠-，解得12a ≠-，此时，（*）式知1x ,2x 分别是()f x 的极小值点和极大值点，而1212121222()()ln(1)ln(1)22x x f x f x ax ax x x +=+-++-++()()()121221212121244ln 1224x x x x a x x a x x x x x x ++⎡⎤=+++-⎣⎦+++()()()22412ln 21ln 2122121a a a a a -=--=-+--- 令21a x -=，由01a <<且12a ≠-知当102a <<时,10;x -<< 当112a <<时,0 1.x <<记22()ln 2g x x x=+-（ⅰ）当10x -<<时，()2()2ln 2g x x x=-+-，所以 222222'()x g x x x x-=-= 因此，()g x 在()1,0-上单调递减，从而()(1)40g x g <-=-<，故当102a <<时，12()()0f x f x +<（ⅱ）当01x <<时，2()2ln 2g x x x=+-，所以 222222'()x g x x x x-=-= 因此，()g x 在()0,1上单调递减，从而()(1)0g x g >=，故当112a <<时，12()()0f x f x +> 综上所述，满足条件的a 的取值范围是为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.【考点定位】函数与导数：应用导数研究函数单调性与极值，不等式.。
14年高考真题——理科数学(湖南卷)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南）卷数学（理科）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．满足z i i z+=（i 为虚数单位）的复数z =（ ） （A ）1122i + （B ）1122i - （C ）1122i -+ （D ）1122i -- 2．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是123,,p p p ，则（ ）（A ）123p p p =< （B ）231p p p =< （C ）132p p p =< （D ）123p p p ==3．()(),f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()321f x g x x x -=++，则()()11f g +=（ ） （A ）3- （B ）1- （C ）1 （D ）34．5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中23x y 的系数是（ ） （A ）20- （B ）5-0 （C ）5 （D ）205．已知命题p ：若x y >，则x y -<-；命题q ：若x y >，则22x y >。
在命题①p q ∧ ②p q ∨ ③()p q ∧⌝ ④()p q ⌝∨中，真命题是（ ）（A ）①③ （B ）①④（C ）②③ （D ）②④6．执行如图1所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于（ ）（A ）[]6,2-- （B ）[]5,1--（C ）[]4,5- （D ）[]3,6-7．一块石材表示的几何何的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）48．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ）（A ）2p q + （B ）()()1112p q ++- （C（D1 9．已知函数()()sin f x x ϕ=-，且()2300f x dx π⎰=，则函数()f x 的图象的一条对称轴是（ ） （A ）56x π= （B ）712x π= （C ）3x π= （D ）6x π= 10．已知函数()()2102x f x x e x =+-<与()()2ln g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）（A ）(-∞（B ）(-∞（C）(-（D）( 二．填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分）（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）11．在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos :1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）交于,A B 两点，且||2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是_________________。
2014年对口升学数学试题
数学试题卷 第 1 页（共 3 页）2014年普通高等学校对口招收中等职业学校毕业生考试数学试题卷考生注意：所有答案都要写在答题卡上，写在试题卷上无效一、选择题（每小题3分，共30分。
每小题中只有一个选项是正确的，请将正确选项涂在答题卡上）1．已知集合{}1,1A =-，{}0,2B =，则集合{}|,M z x y x A y B ==+∈∈中的元素的个数是A ．5B ．4C ．3D ．22．函数2()log (1)f x x π=+的定义域是A ．(1,1)-B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．R 3．若14()()25x x<，则x 的取值范围是A ．(,)-∞+∞B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．(,0)-∞ 4．假设函数()b f x kx =+是增函数，则A ．0k >B ．0k <C ．0b <D ．0b > 5．若cos θ与tan θ同号，则θ属于 A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第一、四象限角D ．第一、二象限角6．垂直于同一个平面的两个平面一定 A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．前三种情况都有可能7．等差数列{}n a 中，若35a =，59a =，则6S 等于A ．38B ．36C ．48D ．46 8．抛物线2160y x +=的焦点坐标是A ．(2,0)-B ．(0,4)-C ．(0,2)-D ．(2,0)9．已知向量 (3,1)-a =， (1,2)--b =， (1,1)-c =，则a +b +c 模长等于A ．5B ．4C ．3D ．2数学试题卷 第 2 页（共 3 页）10．4的展开式中，常数项是 A ．5 B ．8 C ．6 D ．12二、填空题（每小题3分，共24分)11．不等式2(2)10x --<的解集是 .12．若11(1)322x f x x +=⋅+，则(0)f = . 13．已知3sin(21)2y x =--+，则函数y 的最大值等于 .14．cos 20cos70sin 20sin 70-= .15．直线360x -=的倾斜角是 度.16．三个平面最多把空间分成 部分.17．向量a 的模为3，向量b 的模为2，二者的夹角为60，则二者的内积等于 .18．若随机事件A 与随机事件B 为互斥事件，且()()0.5P A P B +=，则()P A B = .三、计算题（每小题8分，共24分）19．设2()2()36f x f x x +-=-.（1）求函数()f x 的表达式；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =和21n n S a =-(其中n N *∈). （1）求数列{}n a 的前四项；（2）求数列{}n a 的通项公式.数学试题卷 第 3 页（共 3 页） 21．三个运动员练习篮球投篮，每个运动员投进的概率都是12，求 （1）三人都同时是投进的概率;（2）至少有两个人投进的概率.四、证明题（每小题6分，共12分）22．已知sin 2cos 0θθ-=，证明: 2222sin 2sin cos 5cos 1sin cos θθθθθθ+-=- 23．已知正方体1111ABCD A BC D -棱长是a ，求证:三角形1ACB 为等边三角形.五、综合题（10分）24．已知直线l ：30x y a ++=，它过圆22240x y x y ++-=的圆心（1）求a 的值，并写出直线l 的方程;（2）求出直线l 与两坐标轴的交点A 、B 的坐标，并求A 、B 两点间的距离.。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(文史类)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(文史类)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014湖南,文1)设命题p:∀x∈R,x2+1>0,则p为()A.∃x0∈R,x02+1>0B.∃x0∈R,x02+1≤0C.∃x0∈R,x02+1<0D.∀x∈R,x2+1≤0答案:B解析:因为全称命题的否定为特称命题,所以p为∃x0∈R,x02+1≤0.故选B.2.(2014湖南,文2)已知集合A={x|x>2},B={x|1<x<3},则A∩B=()A.{x|x>2}B.{x|x>1}C.{x|2<x<3}D.{x|1<x<3}答案:C解析:由交集的概念,结合数轴(数轴略)可得A∩B={x|2<x<3}.故选C.3.(2014湖南,文3)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2,p3,则()A.p1=p2<p3B.p2=p3<p1C.p1=p3<p2D.p1=p2=p3答案:D解析:由随机抽样的原则可知简单随机抽样、分层抽样、系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即p1=p2=p3,故选D.4.(2014湖南,文4)下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是()A.f(x)=1x2B.f(x)=x2+1C.f(x)=x3D.f(x)=2-x答案:A解析:由偶函数的定义知,A,B为偶函数.A选项,f'(x)=-2x3在(-∞,0)恒大于0;B选项,f'(x)=2x在(-∞,0)恒小于0.故选A.5.(2014湖南,文5)在区间[-2,3]上随机选取一个数X,则X≤1的概率为()A.45B.35C.25D.15答案:B解析:由几何概型的概率公式可得P(X≤1)=3,故选B.6.(2014湖南,文6)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=()A.21B.19C.9D.-11答案:C解析:易知圆C1的圆心坐标为(0,0),半径r1=1.将圆C2化为标准方程(x-3)2+(y-4)2=25-m(m<25),得圆C2的圆心坐标为(3,4),半径r2=25-m(m<25).由两圆相外切得|C1C2|=r1+r2=1+25-m=5,解方程得m=9.故选C.7.(2014湖南,文7)执行如图所示的程序框图.如果输入的t∈[-2,2],则输出的S属于()A .[-6,-2]B .[-5,-1]C .[-4,5]D .[-3,6]答案:D解析:当t ∈[-2,0)时,执行以下程序:t=2t 2+1∈(1,9],S=t-3∈(-2,6];当t ∈[0,2]时,执行S=t-3∈[-3,-1],因此S ∈(-2,6]∪[-3,-1]=[-3,6].故选D .8.(2014湖南,文8)一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )A .1B .2C .3D .4答案:B 解析:由三视图可得原石材为如右图所示的直三棱柱A 1B 1C 1-ABC ,且AB=8,BC=6,BB 1=12.若要得到半径最大的球,则此球与平面A 1B 1BA ,BCC 1B 1,ACC 1A 1相切,故此时球的半径与△ABC 内切圆半径相等,故半径r=6+8-102=2.故选B .9.(2014湖南,文9)若0<x 1<x 2<1,则( ) A .e x 2−e x 1>ln x 2-ln x 1 B .e x 2−e x 1<ln x 2-ln x 1 C .x 2e x 1>x 1e x 2 D .x 2e x 1<x 1e x 2答案:C解析:设f (x )=e x -ln x ,则f'(x )=x ·e x -1.当x>0且x 趋近于0时,x ·e x -1<0;当x=1时,x ·e x -1>0,因此在(0,1)上必然存在x 1≠x 2,使得f (x 1)=f (x 2),因此A,B 不正确;设g (x )=e x x,当0<x<1时,g'(x )=(x -1)e xx 2<0,所以g (x )在(0,1)上为减函数.所以g (x 1)>g (x 2),即e x 1x 1>e x 2x 2,所以x 2e x 1>x 1e x 2.故选C .10.(2014湖南,文10)在平面直角坐标系中,O 为原点,A (-1,0),B (0, 3),C (3,0),动点D 满足|CD |=1,则|OA +OB +OD |的取值范围是( ) A .[4,6] B .[ -1, +1] C .[2 3,2 7] D .[ 7-1, 7+1]答案:D解析:设动点D 的坐标为(x ,y ),则由|CD |=1得(x-3)2+y 2=1,所以D 点的轨迹是以(3,0)为圆心,1为半径的圆.又OA +OB +OD =(x-1,y+ ),所以|OA +OB +OD |= (x -1)2+(y + 3)2,故|OA +OB +OD |的最大值为(3,0)与(1,- )两点间的距离加1,即 1,最小值为(3,0)与(1,- )两点间的距离减1,即 1.故选D . 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.(2014湖南,文11)复数3+i i 2(i 为虚数单位)的实部等于 .答案:-3解析:由题意可得3+i i2=3+i-1=-3-i,故复数的实部为-3. 12.(2014湖南,文12)在平面直角坐标系中,曲线C : x =2+ 2t ,y =1+ 2t(t 为参数)的普通方程为 . 答案:x-y-1=0解析:两式相减得,x-y=2-1,即x-y-1=0.13.(2014湖南,文13)若变量x ,y 满足约束条件 y ≤x ,x +y ≤4,y ≥1,则z=2x+y 的最大值为 .答案:7解析:不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示,作直线l 0:2x+y=0并平移,当直线经过点A (3,1)时,在y 轴上的截距最大,此时z 取得最大值,且最大值为7. 14.(2014湖南,文14)平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P (-1,0)且斜率为k 的直线,则k 的取值范围是 . 答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)解析:由题意知,机器人行进的路线为抛物线y 2=4x.由题意知过点P 的直线为y=kx+k (k ≠0),要使机器人接触不到过点P 的直线,则直线与抛物线无公共点,联立方程得k4y 2-y+k=0,即Δ=1-k 2<0,解得k>1或k<-1. 15.(2014湖南,文15)若f (x )=ln(e 3x +1)+ax 是偶函数,则a= . 答案:-3解析:由题意得f (-x )=ln(e -3x +1)-ax=ln 1+e 3xe3x -ax=ln(1+e 3x )-ln e 3x -ax=ln(e 3x +1)-(3+a )x ,而f (x )为偶函数,因此f (-x )=f (x ),即ax=-(3+a )x ,所以a=-3.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)(2014湖南,文16)已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+n2,n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =2a n +(-1)n a n ,求数列{b n }的前2n 项和.分析:在第(1)问中,通过S n 可求出a n ,在求解过程中要注意分n=1和n ≥2两种情况进行讨论;在第(2)问中,充分利用第(1)问的结论得到b n =2n +(-1)n n ,然后利用分组求和法分别计算(21+22+…+22n )和(-1+2-3+…+2n ),最后相加得到{b n }的前2n 项和. 解:(1)当n=1时,a 1=S 1=1;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 2+n −(n -1)2+(n -1)=n.故数列{a n }的通项公式为a n =n.(2)由(1)知,b n =2n +(-1)n n.记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ,则T 2n =(21+22+…+22n )+(-1+2-3+4-…+2n ). 记A=21+22+ (22),B=-1+2-3+4-…+2n ,则A=2(1-22n )1-2=22n+1-2,B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n ]=n.故数列{b n }的前2n 项和T 2n =A+B=22n+1+n-2.17.(本小题满分12分)(2014湖南,文17)某企业有甲、乙两个研发小组,为了比较他们的研发水平,现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下:(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ) 其中a ,a 分别表示甲组研发成功和失败;b ,b 分别表示乙组研发成功和失败.(1)若某组成功研发一种新产品,则给该组记1分,否则记0分.试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平;(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品,试估计恰有一组研发成功的概率.分析:在第(1)问中,通过已知条件可分别写出甲、乙两组的成绩,然后利用平均数公式分别计算甲、乙两组的平均成绩,再结合方差公式得到甲、乙两组的方差,进而比较甲、乙两组的研发水平;在第(2)问中,充分利用古典概型的概率公式,转化为计算基本事件的个数,从而求得概率. 解:(1)甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1,其平均数为x 甲=1015=23; 方差为s 甲2=115 1-23 2×10+ 0-232×5 =29.乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1, 其平均数为x 乙=9=3; 方差为s 乙2=115 1-352×9+ 0-352×6 =625. 因为x 甲>x 乙,s 甲2<s 乙2,所以甲组的研发水平优于乙组. (2)记E={恰有一组研发成功}.在所抽得的15个结果中,恰有一组研发成功的结果是(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),共7个.故事件E 发生的频率为715.将频率视为概率,即得所求概率为P (E )=7.18.(本小题满分12分)(2014湖南,文18)如图,已知二面角α-MN-β的大小为60°,菱形ABCD 在面β内,A ,B 两点在棱MN 上,∠BAD=60°,E 是AB 的中点,DO ⊥面α,垂足为O. (1)证明:AB ⊥平面ODE ;(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值.分析:在第(1)问中,可利用线面垂直的判定定理证明,由DO ⊥平面α可得到DO ⊥AB ,然后利用△ABD 为正三角形得到DE ⊥AB ,最后根据线面垂直的判定定理得出所证结论;在第(2)问中,充分利用第(1)问的结论AB ⊥平面ODE ,从而得到二面角α-MN-β的平面角,达到立几化平几的目的,即转化为求∠ADO 的余弦,然后利用解直角三角形的方法求出余弦值.解:(1)如图a,因为DO ⊥α,AB ⊂α,所以DO ⊥AB.图a连接BD ,由题设知,△ABD 是正三角形. 又E 是AB 的中点,所以DE ⊥AB. 而DO ∩DE=D ,故AB ⊥平面ODE.(2)因为BC ∥AD ,所以BC 与OD 所成的角等于AD 与OD 所成的角,即∠ADO 是BC 与OD 所成的角. 由(1)知,AB ⊥平面ODE ,所以AB ⊥OE.又DE ⊥AB ,于是∠DEO 是二面角α-MN-β的平面角,从而∠DEO=60°. 不妨设AB=2,则AD=2.易知DE= 3. 在Rt △DOE 中,DO=DE ·sin 60°=3. 连接AO ,在Rt △AOD 中,cos ∠ADO=DO=32=3.故异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为34.19.(本小题满分13分)(2014湖南,文19)如图,在平面四边形ABCD 中,DA ⊥AB ,DE=1,EC= 7,EA=2,∠ADC=2π3,∠BEC=π3. (1)求sin ∠CED 的值; (2)求BE 的长.分析:在第(1)问中,通过已知条件,借助余弦定理得到CD 的长,然后在△CDE 中,利用正弦定理得到∠CED 的正弦值;在第(2)问中,利用∠CED 的正弦值求得其余弦值,然后利用角之间的关系表示出∠AEB ,进而表示出∠AEB 的余弦值,最后在Rt △EAB 中利用边角关系,求得BE 的长. 解:如题图,设∠CED=α.(1)在△CDE 中,由余弦定理,得EC 2=CD 2+DE 2-2CD ·DE ·cos ∠EDC. 于是由题设知,7=CD 2+1+CD ,即CD 2+CD-6=0. 解得CD=2(CD=-3舍去). 在△CDE 中,由正弦定理,得EC sin ∠EDC=CDsin α. 于是,sin α=CD ·sin 2π3EC =2× 327=217,即sin ∠CED= 21.(2)由题设知,0<α<π3,于是由(1)知,cos α= 1-sin 2α= 1-2149=2 77. 而∠AEB=2π-α,所以cos ∠AEB=cos 2π-α =cos 2πcos α+sin 2πsin α=-1cos α+ 3sin α=-1×2 7+ 3×21=7.在Rt △EAB 中,cos ∠AEB=EA =2,故BE=2= 714=4 7.20.(本小题满分13分)(2014湖南,文20)如图,O 为坐标原点,双曲线C 1:x 2a 12−y 2b 12=1(a 1>0,b 1>0)和椭圆C 2:y 2a 22+x 2b 22=1(a 2>b 2>0)均过点P2 3,1 ,且以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求C 1,C 2的方程;(2)是否存在直线l ,使得l 与C 1交于A ,B 两点,与C 2只有一个公共点,且|OA +OB |=|AB |?证明你的结论.分析:在第(1)问中,利用已知条件结合图形以及双曲线、椭圆中a ,b ,c 的几何意义,列出关于a 1,b 1,a 2,b 2的方程,得到它们的值,从而求出双曲线C 1、椭圆C 2的方程;在第(2)问中,首先对直线l 的斜率进行分类讨论,当斜率k 不存在时易得A ,B 两点的坐标,进而判断满足题设条件的直线l 不存在;当斜率k 存在时,可先设出l 的方程,然后代入曲线方程,利用根与系数的关系并结合向量的运算,依此判断满足题设条件的直线l 不存在. 解:(1)设C 2的焦距为2c 2,由题意知,2c 2=2,2a 1=2.从而a 1=1,c 2=1.因为点P 2 33,1 在双曲线x 2-y 2b 12=1上,所以2 332−1b 12=1.故b 12=3. 由椭圆的定义知2a 2= 2 332+(1-1)+ 2 332+(1+1)=2 3.于是a 2= 3,b 22=a 22−c 22=2.故C 1,C 2的方程分别为x 2-y 23=1,y 23+x 22=1. (2)不存在符合题设条件的直线.①若直线l 垂直于x 轴,因为l 与C 2只有一个公共点,所以直线l 的方程为x= 或x=- .当x= 2时,易知A ( 2, 3),B ( 2,- 3), 所以|OA +OB |=2 2,|AB |=2 3. 此时,|OA+OB |≠|AB |. 当x=- 2时,同理可知,|OA +OB |≠|AB |.②若直线l 不垂直于x 轴,设l 的方程为y=kx+m. 由 y =kx +m ,x 2-y 2=1得(3-k 2)x 2-2kmx-m 2-3=0. 当l 与C 1相交于A ,B 两点时,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1,x 2是上述方程的两个实根,从而x 1+x 2=2km 3-k2,x 1x 2=m 2+3k 2-3.于是y 1y 2=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=3k 2-3m 2k 2-3.由 y =kx +m ,y 2+x 2=1得(2k 2+3)x 2+4kmx+2m 2-6=0. 因为直线l 与C 2只有一个公共点,所以上述方程的判别式Δ=16k 2m 2-8(2k 2+3)(m 2-3)=0. 化简,得2k 2=m 2-3,因此OA·OB =x 1x 2+y 1y 2=m 2+3k 2-3+3k 2-3m 2k 2-3=-k 2-3k 2-3≠0,于是OA 2+OB 2+2OA ·OB ≠OA 2+OB 2-2OA ·OB , 即|OA +OB 2|≠|OA −OB 2|,故|OA +OB |≠|AB |. 综合①,②可知,不存在符合题设条件的直线.21.(本小题满分13分)(2014湖南,文21)已知函数f (x )=x cos x-sin x+1(x>0).(1)求f (x )的单调区间;(2)记x i 为f (x )的从小到大的第i (i ∈N *)个零点,证明:对一切n ∈N *,有1x 12+1x 22+…+1n 2<2.分析:在第(1)问中,通过已知条件,借助导数,转化为判断导数在(0,+∞)上的符号,进而得出函数的单调区间;在第(2)问中,充分利用第(1)问的结论,得到f (x )在(n π,(n+1)π)上存在零点,从而得出n π<x n+1<(n+1)π,然后分n=1,n=2,n ≥3三种情况讨论112+122+…+1n 2的值与2的大小关系,即可得证. 解:(1)f'(x )=cos x-x sin x-cos x=-x sin x.令f'(x )=0,得x=k π(k ∈N *).当x ∈(2k π,(2k+1)π)(k ∈N )时,sin x>0,此时f'(x )<0; 当x ∈((2k+1)π,(2k+2)π)(k ∈N )时,sin x<0,此时f'(x )>0.故f (x )的单调递减区间为(2k π,(2k+1)π)(k ∈N ),单调递增区间为((2k+1)π,(2k+2)π)(k ∈N ). (2)由(1)知,f (x )在区间(0,π)上单调递减. 又f π=0,故x 1=π.当n ∈N *时,因为f (n π)f ((n+1)π)=[(-1)n n π+1][(-1)n+1(n+1)π+1]<0,且函数f (x )的图象是连续不断的,所以f (x )在区间(n π,(n+1)π)内至少存在一个零点.又f (x )在区间(n π,(n+1)π)上是单调的,故n π<x n+1<(n+1)π.因此,当n=1时,1x 12=4π2<23; 当n=2时,1x 12+1x 22<1π2(4+1)<23;当n ≥3时,1x 12+1x 22+…+1x n 2<1π2 4+1+122+…+1(n -1)2 <1π2 5+11×2+…+1(n -2)(n -1) <12 5+ 1-1 + 1-1 +…+ 1n -2-1n -1 =1π2 6-1n -1<6π2<23. 综上所述,对一切n ∈N *,1x 12+1x 22+…+1x n 2<23.。
湖南职高对口升学数学复习基础训练题05(含答案)
2014届湖南职高对口升学数学复习基础训练题05（含答案）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列赋值能使y的值为4的是( )(A)y-2=6 (B)2*3-2=y(C)4=y (D)y=2*3-22.某单位员工按年龄分为A、B、C三个组，其人数之比为5∶4∶1,现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知C组中甲、乙两人均被抽到的概率为125，则该单位员工总数为( )（A）110 （B）100 （C）90 （D）803.有甲、乙两种钢材，从中各取等量样品检验它们的抗拉强度指标如下：甲乙（A）期望与方差（B）正态分布（C）K2（D）概率4.现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查.②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈.③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本.较为合理的抽样方法是( )（A）①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样（B）①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样（C）①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样（D）①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样5.在样本的频率分布直方图中，一共有m(m≥3)个小矩形，第3个小矩形的面积等于其余m-1个小矩形面积之和的14，且样本容量为100，则第3组的频数是( )（A）0.2 （B）25（C）20 （D）以上都不正确6.(2012·杭州模拟)下面的程序语句输出的结果S为( )（A）17 （B）19 （C）21 （D）237.（2012·广州模拟）如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是( )（A）62 （B）63 （C）64 （D）658.（预测题）为了做一项调查，在A、B、C、D四个单位回收的问卷数依次成等差数列，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为100的样本，若在B单位抽取20份问卷，则在D单位抽取的问卷数是( )（A）30份（B）35份（C）40份（D）65份二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分.请把正确答案填在题中横线上)9.根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80 mg/100 mL(不含80)之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80 mg/100 mL(含80)以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2 000元以下罚款.据《法制晚报》报道，2011年8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28 800人，如图是对这28 800人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为_________.10.如图是歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则a 1，a2的大小关系为_______.(A)a1>a2(B)a2>a1(C)a1＝a2(D)a1、a2的大小不确定11.某市政府调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，采用独立性检验法抽查了3 000人，计算发现K2＝6.023，则根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系的可信程度是__________.P(K2≥k) …0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 …k… 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 …12.如图，判断正整数x是奇数还是偶数，①处应填______.13.319,377,116的最大公约数是______.14.某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)元的同学有30人，则n的值为_________.15.（易错题）已知一个回归直线方程为y＝1.5x＋45，x∈{1,7,5,13,19}，则y＝______.三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.（12分）（2012·唐山模拟）某校高三年级共有450名学生参加英语口语测试，其中男生250名，女生200名，现按性别用分层抽样的方法从中抽取45名学生的成绩.（1）求抽取的男生和女生的人数.（2）男生甲和女生乙至少有1人被抽到的概率.（3）从男生和女生中抽查的结果分别如下表1和表2：表1：成绩分组（60，70］（70，80］（80，90］（90，100］人数 3 m 8 6表2：成绩分组（60，70］（70，80］（80，90］（90，100］人数 2 5 n 5答案解析1.【解析】选D.赋值时把“＝”右边的值赋给左边的变量，故选D.2.【解析】选B.设甲被抽到的概率为x,单位员工总数为a,由题意知乙被抽到的概率为x. ∴21x ,25=∴x=1,5∴a 5,201=∴a=100, 故选B.3.【解析】选A.应该评价抗拉强度的大小和波动情况，故应从期望和方差入手.4.【解析】选A.观察所给的三组数据，①个体没有差异且总数不多可用随机抽样法，是简单随机抽样，②将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整数倍即为抽样编号，是系统抽样，③个体有明显的差异，所以选用分层抽样法，是分层抽样，故选A.【方法技巧】简单随机抽样简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法,常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法,简单随机抽样中，每个个体被抽取的可能性是相等的.5.【解析】选C.设第3个小矩形的面积为S ，则由频率分布直方图性质可知其余m-1个小矩形面积之和为1-S,∴S=(1-S)×1,4得1S ,5= ∴第3组的频率是1,5∵样本容量为100， ∴第3组的频数为100×15＝20. 6.【解题指南】该程序是当型循环，进入依次执行循环，直至结束.【解析】选A.i 从1开始，依次取3,5,7,9，…，当i<8时，循环继续进行，故当i ＝9时，跳出循环，故输出S ＝2×7＋3＝17.7.【解题指南】求解本题需看懂茎叶图，找出甲、乙的中位数，相加即得.【解析】选C.由题意知：甲的比赛得分由高到低为：41，39，37，34，28，26，23，15，13乙的比赛得分由高到低为：47，45，38，37，36，33，32，25，24∴甲、乙的中位数分别为28，36，故和为64，选C.8.【解析】选C.由分层抽样的特点知：样本中各单位的问卷数也成等差数列，设其公差为d，D单位抽取x份，则20-d+20+20+d+x=100，∴x=40.9. 【解析】由图可知，醉驾人数约为(0.005+0.005)×10×28 800=2 880人.答案：2 88010.【解析】∵甲、乙分数在70、80、90各分数段的打分评委人数一样多，先去掉一个最高分和一个最低分，两名选手的分数都只剩十位数为8的，故只需看个位数的和，乙的个位数字总和为25，甲的个位数字总和为20，∴a2>a1，答案：a2>a111. 【解析】∵K2＝6.023＞5.024，∴市民收入增减与旅游愿望有关系的可信程度是1-0.025=97.5%.答案：95.5%12.【解析】由奇数、偶数性质知正整数x除以2的余数为1时为奇数，不为1时为偶数，再由判断框意义知①处应为r＝1？答案：r＝1?13.【解析】选用辗转相除法求319与377的最大公约数.∵377＝319×1＋58，319＝58×5＋29,58＝29×2，∴319与377的最大公约数是29.再求29与116的最大公约数.∵116＝29×4，∴29与116的最大公约数是29.故319,377,116的最大公约数是29.答案：2914.【解析】由图可知支出在[50,60)元的同学占有的频率为1-(0.01+0.024+0.036)×10=0.3，所以30n=0.3,解得n=100.答案：10015.【解析】因为1x(1751319)95=＋＋＋＋＝，且y1.5x45＝＋，所以y＝1.5×9＋45＝58.5.答案：58.5【误区警示】本题易错之处是根据x的值及y＝1.5x＋45求出y的值再求y，因为用y＝1.5x＋45求得的y值不是原始数据，故错误.16.【解析】（1）由抽样方法知：抽取的男生人数为45 25025450⨯=，抽取的女生人数为45 20020450⨯=，（2）男生甲和女生乙被抽到的概率均为0.1.所以男生甲和女生乙至少有1人被抽到的概率为1-（1-0.1）2=0.19. （3）由（1）知：m=25-（3+8+6）=8，n=20-（2+5+5）=8，据此估计男生平均分为65375885895681.8.25⨯+⨯+⨯+⨯=女生平均分为65275585895583.20⨯+⨯+⨯+⨯=这450名学生的平均分为81.825832082.33.45⨯+⨯≈。
2014年高考理科数学湖南卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共45页） 数学试卷 第2页（共45页） 数学试卷 第3页（共45页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共6页.时量120分钟.满分150分.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.满足ii z z +=（i 为虚数单位）的复数z =( )A .11i 22+B .11i 22-C .11i 22-+D .11i 22--2.对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽 样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为1p ,2p ,3p ,则( ) A .123p p p =＜ B .231p p p =＜ C .132p p p =＜D .123p p p ==3.已知()f x ,()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且32()()1f x g x x x -=++,则(1)(1)f g += ( ) A .3-B .1-C .1D .34.51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是 ( )A .20-B .5-C .5D .205.已知命题p ：若x y ＞,则x y -＜-；命题q ：若x y ＞,则22x y ＞.在命题①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()p q ⌝∨中,真命题是( )A .①③B .①④C .②③D .②④6.执行如图1所示的程序框图,如果输入的[2,2]t ∈-,则输出的S 属于 ( )A .[6,2]--B .[5,1]--C .[4,5]-D .[3,6]-7.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示.将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )A .1B .2C .3D .48.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A .2p q+ B .(1)(1)12p q ++-CD19.已知函数()sin()f x x ϕ=-,且2π30()d 0f x x =⎰,则函数()f x 的图象的一条对称轴是( )A .5π6x =B .7π12x =C .π3x =D .π6x = 10.已知函数21()e (0)2x f x x x =+-＜与2()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是( )A.(-∞ B.(-∞ C.( D.(二、填空题：本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分）11.在平面直角坐标系中,倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：2cos ,1sin ,x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）交于A ,B 两点,且||2AB =.以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l 的极坐标方程是 .12.如图3,已知AB ,BC 是O 的两条弦,AO BC ⊥,AB =BC =则O 的半径等于 .13.若关于x 的不等式|2|3ax -＜的解集为51{|}33x x -＜＜,则a = . （二）必做题（14～16题）14.若变量x ,y 满足约束条件,4,,y x x y y k ⎧⎪+⎨⎪⎩≤≤≥且2z x y =+的最小值为6-,则k = .15.如图4,正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为,()a b a b ＜,原点O 为AD 的中点,抛物线22(0)y px p =＞经过C ,F 两点,则ba= . 16.在平面直角坐标系中,O 为原点,(1,0)A -,(0,3)B ,(3,0)C ,动点D 满足||1CD =,则||OA OB OD ++的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立. （Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；（Ⅱ）若新产品A 研发成功,预计企业可获利润120 万元；若新产品B 研发成功,预计企业可获利润100 万元,求该企业可获利润的分布列和数学期望.-----在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效---------姓名________________ 准考证号_____________图1图2图3图4数学试卷 第4页（共45页） 数学试卷 第5页（共45页） 数学试卷 第6页（共45页）18.（本小题满分12分）如图5,在平面四边形ABCD 中,1AD =,2CD =,AC （Ⅰ）求cos CAD ∠的值；（Ⅱ）若cos BAD ∠=,sin CBA ∠= 求BC 的长.19.（本小题满分12分）如图6,四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等,AC BD O =,11111AC B D O =,四边形11ACC A 和四边形11BDD B 均为矩形. （Ⅰ）证明：1O O ⊥底面ABCD ；（Ⅱ）若60CBA ∠=,求二面角11C OB D --的余弦值.20.（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足11a =,1||n n n a a p +-=,*n ∈N .（Ⅰ）若{}n a 是递增数列,且1a ,22a ,33a 成等差数列,求p 的值； （Ⅱ）若12p =,且21{}n a -是递增数列,2{}n a 是递减数列,求数列{}n a 的通项公式.21.（本小题满分13分）如图7,O 为坐标原点,椭圆1C ：()222210x y a b a b +=＞＞的左、右焦点分别为1F ,2F ,离心率为1e ；双曲线2C ：22221x y a b -=的左、右焦点分别为3F ,4F ,离心率为2e .已知12e e =且241F F . （Ⅰ）求1C ,2C 的方程；（Ⅱ）过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点.当直线OM 与2C 交于P ,Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.21.（本小题满分13分）已知常数0a ＞,函数2()ln(1)2xf x ax x =+-+. （Ⅰ）讨论()f x 在区间(0+)∞，上的单调性； （Ⅱ）若()f x 存在两个极值点1x ,2x ,且12()()0f x f x +＞,求a 的取值范围.图5图6图73 / 152014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）答案解析【提示】根据复数的基本运算即可得到结论. 【考点】复数的四则运算 2.【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，系统抽样和分层抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即123p p p ==.故选D.【提示】利用二项式定理的展开式的通项公式，求解所求项的系数即可. 【考点】二项式定理 5.【答案】C【解析】根据不等式的性质可知，若x y >，则x y -<-成立，即p 为真命题，当1x =，1y =-时，满足x y >，数学试卷 第10页（共45页）数学试卷 第11页（共45页） 数学试卷 第12页（共45页）但22x y >不成立，即命题q 为假命题，则①p q ∧为假命题；②p q ∨为真命题；③()p q ∧⌝为真命题；④()p q ⌝∨为假命题，故选：C.【提示】根据不等式的性质分别判定命题p ，q 的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论. 【考点】非、或、且，真假命题 6.【答案】D【解析】当[2,0)t ∈-时，运行程序如下，221(1,9]t t =+∈，(26]3,S t -=∈-，当[0,2]t ∈时，[,1]33S t ∈--=-，则(2,6][3,1][3,6]S ∈---=-，故选D.r5 / 15【提示】由题意可得001e ln()0x x a ---+=有负根，采用数形结合的方法可判断出a 的取值范围.BD DC AD DE DE =⇒=O 的半径等于R ，先计算AD ，再计算数学试卷 第16页（共45页）数学试卷 第17页（共45页）数学试卷 第18页（共45页）【提示】可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出C ，F 两点的坐标，再将坐标代入抛物线方程中，消去参数p 后，得到a ，b 的关系式，再寻求b的值.||OA OB OD ++=||OA OB OD ++的取值范围为cos,sin )θθ，求得||8OA OB OD ++=+||OA OB OD ++的最大值.【提示】（Ⅰ）利用对立事件的概率公式，计算即可，AC AD7 / 15数学试卷 第22页（共45页）数学试卷 第23页（共45页） 数学试卷 第24页（共45页）21277217147⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ 37sin 23sin 216AC BACCBA∠=∠. 【提示】（Ⅰ）利用余弦定理，利用已知条件求得cos CAD ∠的值.（Ⅱ）根据cos CAD ∠，cos BAD ∠的值分别，求得sin BAD ∠和sin CAD ∠，进而利用两角和公式求得sin BAC ∠的值，最后利用正弦定理求得BC . 【考点】解三角形，余弦定理，正弦定理19.【答案】（Ⅰ）如图，因为四边形11ACC A 为矩形，所以1CC AC ⊥. 同理1DD BD ⊥.因为11CC DD ∥，所以1CC BD ⊥. 而ACBD O =，因此1C C B D C A ⊥底面.由题设知，11O O C C ∥. 故1C O B D O A ⊥底面.（Ⅱ）如图2，过1O 作11O H OB ⊥于H ，连接1HC . 由（Ⅰ）知，1C O B D O A ⊥底面， 所以11111O O A B C D ⊥底面， 于是111O O AC ⊥.又因为四棱柱1111A B ABC C D D -的所有棱长都相等，所以四边形1111A B C D 是菱形，11112OO O BOB=19【提示】（Ⅰ）由已知中，四棱柱1111ABCD A B C D-的所有棱长都相等，AC BD O=，11111AC B D O=，四边形11ACC A和四边形11BDD B均为矩形.可得111O O CC BB∥∥且1CC AC⊥，1BB BD⊥，进而1OO AC⊥，1OO BD⊥，再由线面垂直的判定定理得到1O O ABCD⊥底面；（Ⅱ）由线面垂直，线线垂直推得111AC OB⊥，11OB C H⊥，所以11C HO∠是二面角11C OB D--的平面角.再由三角函数求得二面角11C OB D--的余弦值.【考点】线线关系、线面关系，二面角9 / 15数学试卷 第29页（共45页） 数学试卷 第30页（共45页）11(1)32nn -- 【解析】解（Ⅰ）因为{}n a 1(1)2n n --++112121()121n ---+11 / 1511(1)32nn --. }n 的通项公式为11(1)32nn --. 【提示】（Ⅰ）根据条件去掉式子的绝对值，分别令1n =，2代入求出2a 和3a ，再由等差中项的性质列出关于p 的方程求解，利用“{}n a 是递增数列”对求出的p 的值取舍；（Ⅱ）根据数列的单调性和式子“1||n n n a a p +-=”、不等式的可加性，求出221n n a a --和1n n a a +-，再对数列{}n a 的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n 项和公式，求出数列{}n a 的奇数项、偶数项对应22a b a +=，从而2(F数学试卷 第34页（共45页）数学试卷 第35页（共45页） 数学试卷 第36页（共45页） 22212m m ++，22214m m ++.2222213|222122m d m m +==-+--. S 取得最小值2.13 / 15【提示】（Ⅰ）由斜率公式写出1e ，2e 把双曲线的焦点用含有a ，b 的代数式表示，结合已知条件列关于a ，b 的方程组求解a ，b 的值，则圆锥曲线方程可求；（Ⅱ）设出AB 所在直线方程，和椭圆方程联立后得到关于y 的一元二次方程，由根与系数的关系得到AB 中点M 的坐标，并由椭圆的焦点弦公式求出AB 的长度，写出PQ 的方程，和双曲线联立后解出P ，Q 的坐标，由点到直线的距离公式分别求出P ，Q 到AB 的距离，然后代入三角形面积公式得四边形APBQ n数学试卷第40页（共45页）数学试卷第41页（共45页）数学试卷第42页（共45页）【提示】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决. 【考点】函数单调性，极值，导数的性质与应用15 / 15。
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2014湖南省对口升学数学试题湖南省2013年普通高等学校对口招生考试数学(时量:120分钟;满分:120分)一、选择题(本大题10小题，每小题4分，共40分。
):1、已知集合A={1,4}，B={4,5,6}，则AB=( ) {4,5,6} B. {1,4,5,6}C.{1,4}D.{4},2、函数f(x)=3x (x[0,2] )的值域为( )[0，9] B.[0，6] C.[1，6] D.[1，9] 3、“x=y”是“|x|=|y|”的( )充分不必要条件 B. 必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4、已知点A(5,2)，B(,1,4)，则线段AB的中点坐标为( ) A.(3，,1) B.(4，6) C.(,3，1) D.(2，3) 162()的二项展开式中的系数为x,x5、( ) xA、 -30B、 15C、-15D、30f(x),sinx，cosx(x,R)6、函数的最大值为( )22A、 B、 1 C、 D、2 2(x,3a)(x，2a),07、若a <0，则关于x的不等式的解集为( )<x<-2a} B、{x|x<3a或x>-2a} A、{x|3aC、{x|-2a<x<3a}D、{x|x<-2a或x>3a}C村 8、如图1，从A村去B村的道路有2条，从B村去C村的道路有4条，从A村直达C村的道路有3条，则从A村去C村的不同走法种数为( )B村 A村 A、9 B、 10 C、11 D、 249、如图2，在正方体ABCD-ABCD中，异面1111直线AB与BC所成的角为( ) 11A、 90?B、45?C、 60?D、30?210、已知直线y=x-1与抛物线y=4x交于A，B两点，则线段AB的长为( )42A、64 B、8 C、 D、32二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11、已知一组数据1，3，4，x，y的平均数为5，则x+y=_________。
2014年高考数学湖南卷(理科) word版
2014年普通高等学校招生全国统一考试湖南卷理科一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.满足ii z z +=（i 是虚数单位）的复数z =（ ）. A.11i 22+ B.11i 22- C.11i 22-+ D. 11i 22--2.对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（ ）.A.123p p p =<B.231p p p =<C.132p p p =<D. 123p p p == 3.已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()321f x g x x x -=++，则()()11f g +=（ ）.A.3-B.1-C. 1D. 34.5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中23x y 的系数是（ ）. A.20- B.5- C.5 D.205.已知命题:p 若x y >，则x y -<-；命题:q 若x y >，则22x y >.在命题①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()p q ⌝∨中，真命题是（ ）.A.①③B.①④C.②③D.②④6.执行如图所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于（ ）. A.[]6,2-- B.[]5,1-- C.[]4,5- D.[]3,6-7.一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）.A.1B.2C.3D.48.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ）. A.2p q + B.()()1112p q ++-C.pq D.()()111p q ++-9.已知函数()()sin f x x ϕ=-，且()230d 0f x x π=⎰，则函数()f x 的图像的一条对称轴是（ ）.A.6x 5π=B.12x 7π=C.3x π=D.6x π= 10.已知函数()21e 2x f x x =+-()0x <与()()2ln g x x x a =++图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）.侧视图正视图俯视图12 8 6 开始 3S t =-0?t < 输入t 结束否是221t t =+输出SA.1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B.(),e -∞ C.1,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D.1e,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭二.填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，没小题5分，共25分.(一)选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11.在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线:C 2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）交于A ，B 两点，且2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________. 12.如图所示，已知AB ，BC 是O 的两条弦，AO BC ⊥，3AB =，22BC =，则O 的半径等于________.13.若关于x 的不等式23ax -<的解集为5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a =________.（二）必做题（14-16题）14.若变量y x ,满足约束条件4y xx y y k⎧⎪+⎨⎪⎩………，且2z x y =+的最小值为6-，则k =________.15.如图所示，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为(),a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线22y px =()0p >经过C ，F 两点，则ba=________. 16.在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -，()03B ，,()30C ，，动点D 满足1CD =，则OA OB OD ++的最大值是________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.17. 某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35,现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲,乙两组的研发是相互独立的. （1）求至少有一种新产品研发成功的概率;（2）若新产品A 研发成功,预计企业可获得120万元；若新产品B 研发ACOBxyO AGFE D CB AD成功,预计企业可获得利润100万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望. 18.如图所示，在平面四边形ABCD 中，1AD =，2CD =，7AC =. （1）求cos CAD ∠的值； （2）若7cos 14BAD ∠=-，21sin 6CBA ∠=，求BC 的长. 19.如图所示，四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长都相等，AC BD O =，11111AC B D O =，四边形11ACC A 和四边形11BDD B 均为矩形.（1）证明：1O O ⊥底面ABCD ；（2）若60CBA ∠=︒，求二面角11C OB D --的余弦值.OO 1A BCDA 1B 1C 1D 120.已知数列{}n a 满足11a =，1nn n a a p +-=，*N n ∈.（1）若{}n a 为递增数列，且123,2,3a a a 成等差数列，求p 的值； （2）若12p =，且{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式. 21.如图所示，O 为坐标原点，椭圆1:C ()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率为1e ；双曲线2:C 22221x y a b -=的左右焦点分别为34,F F ，离心率为2e ,已知1232e e =，且2431F F =-.（1）求12,C C 的方程；yAP（2）过1F 点作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值.22.已知常数0a >，函数()()2ln 12xf x ax x =+-+. （1）讨论()f x 在区间()0,+∞上的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，且()()120f x f x +>，求a 的取值范围.。