有限元分析法第3章 杆单元
3杆系结构的有限元法
3杆系结构的有限元法有限元法是一种常用的结构分析方法，可以用来分析各种复杂的结构问题。
其中，杆系结构的有限元法是一种专门针对杆系结构及其变形特性的有限元分析方法。
本文将从有限元法的基本原理、杆系结构的有限元剖分、杆单元的刚度矩阵计算和应力计算四个方面介绍杆系结构的有限元法。
有限元法的基本原理:有限元法是一种将连续物体离散化为有限个独立几何单元的数值分析方法。
它的基本原理是将连续结构按一定的规则划分为若干个互不重叠的子域，然后在每个子域上建立适当的求解方程和函数，最后将各个子域的问题合并起来，得到整个结构的解。
有限元法可以将连续问题转化为一个线性代数方程组的求解问题，然后通过数值计算方法求解方程组，得到结构的变形、应力等信息。
杆系结构的有限元剖分:杆系结构是由多根杆件组成的结构体系。
在进行有限元分析时，需要将杆系结构进行剖分，将其离散化为有限个杆单元。
杆系结构的剖分方式可以有多种，常见的有线性剖分和非线性剖分。
线性剖分是指将每根杆件均匀地划分为若干个子单元，每个子单元长度相等。
线性剖分的好处是计算简单，但是在一些情况下不够准确。
非线性剖分是指根据杆件的曲线形状和载荷变化特点，对杆件进行不规则剖分。
这样可以更准确地描述杆系结构的实际变形情况。
非线性剖分的好处是结果更准确，但计算量相对较大。
杆单元的刚度矩阵计算:一般来说，杆单元的刚度矩阵可以通过两种方法进行计算：力法和位移法。
力法是指通过杆件上的内力和外力之间的平衡关系，推导出杆单元的刚度矩阵。
力法的基本原理是，杆单元上的总应变等于外力产生的内力，即σ=Eε=F/A。
其中，σ为应力，E为弹性模量，ε为应变，F为外力，A为杆单元的截面积。
位移法是指通过位移与应变之间的关系，推导出杆单元的刚度矩阵。
位移法的基本原理是，根据虚功原理和位移互相独立的原则，建立位移-应变-应力关系，然后通过对位移表达式积分，得到杆单元的刚度矩阵。
杆单元的应力计算:在有限元分析中，杆单元的应力计算是非常重要的一步。
有限元的分析过程(第三章)22
c ( x [ x , x ])
n i i i 0 L
2-1
0 L 1 2 3
其中 ( x [ x , x ]) 为所采用的基底函数，它定义在全域 [ x , x ]上， c , c , c ...
i 0 L
为展开的系数。 第二种是基于子域 [ x , x ] 上的分段展开形式，若采用线性函数,有
上式中的
为节点位移，
为节点力，可以看出，图2-9
分别就单元①、②、③写出了各自的节点力，如对于节点2，即写出了单元①中节 点力 ，又给出了单元②中节点2的节点力 可以看出，在单元组装后，实
3有限元分析的基本流程：
际上只需要合成后的节点力； 因此，今后只需要对各个单元的刚度系数按对应节点位移的位置进行组装，
【典型例题】2.1(1) 一个一维函数的两种展开方式的比较
设有一个一维函数 f ( x), x [ x , x ] ，分析它的展开与逼近形式。
0 L
解答：首先考虑基于全域的展开形式，如采用傅立叶级数展开，则有:
f ( x) c ( x [ x , x ]) c ( x [ x , x ]) ...
4有限元分析的特点：
有限元分析的最大特点就是标准化和规范化，这种特点使
得大规模分析和计算成为可能，当采用了现代化的计算机以及 所编制的软件作为实现平台时，则复杂工程问题的大规模分析 就变为了现实。 实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元，这就需 要我们构建起各种各样的具有代表性的单元，一旦有了这些单 元，就好像建筑施工中有了一些标准的预制构件(如梁、楼板
综合分段函数描述的优势和问题，只要采用功能完善 的软件以及能够进行高速处理的计算机，就可以完全发挥 “化繁为简”策略的优势，有限元分析的概念就在于此。
汽车结构有限元分析03单元类型及单元分析
1.一维单元分析
主要有：杆单元、梁单元、管单元等 。
1.1杆单元---最简单的两节点一维单元， 用于杆件承受轴向力分析。
设杆单元横截面积为Ａ，长度为l，轴 向分布载荷q为(x) 。单元2个节点的位移 向量为： e ui u j T
由空间弹性力学几何方程，得应变表达式：
{} [B]{ }e [[B1 ][B2 ][B20 ]]{ }e
由空间弹性力学物理方程，单元内的应力可 以表示成：
[ ] [D][ ] [D][B]{ }e [S]{ }e
单元刚度矩阵为 ：
[k]e
[B]T [D][B]dV
[k1e1
[k
e 21
这其中设定单元位移模式，利用虚功 原理建立单元节点力与节点位移关系并组建 单元刚度矩阵的过程，我们将其称为单元分 析。
为了使有限元法的解在单元尺寸逐步趋 小时能够收敛于精确解，所构造的单元位移 函数必须满足以下三方面的条件：
1）位移模式中必须包括反映刚体位移的项；
2）位移模式中必须包括反映常应变的线性位 移项；
这样空间梁单元就由3个节点组成i,，j,k 点必
须在一个平面内，但不能共线。i节点到j节
点为单元坐标系的x轴，y轴(或z轴)在节点i、
j和k构成的平面上且与x轴垂直，应用右手定
则可以确定另一坐标iz, 轴j, k(或y轴)。
三点
确定后，单元坐标系即确定，梁单元的截面
方位也就完全确定下来。所增加的一个用于
] ]
[k1e2 ]
[k
e 22
]
[k1e20
[k
结构分析的有限元法-第三章
式中
H 1 u B A yH v
(3.32)
而
H 0 u H 0 v 0 0 0 0 1 0 0 2 0 6x
(3.33)
单元刚度矩阵
再次应用式(2.70)，并进行一系列的积分运算，可以得出单元刚度矩阵的显式如下：
l
K
e
E d A B B d x
0 1 l
Av
1
2 l
0 0 1 l 2 1 l
(3.21)
MATLAB不仅可以进行数值运算，也能进行符号运算。如式(3.20)中的矩 阵Au和Av的求逆运算，我们可以在MATLAB的命令窗口下输入 >> syms L >> Au = [ 1 0 1 L ] ; >> Av = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 1 L L^2 L^3 0 1 2*L 3*L^2] ; 第一句是定义符号变量L，后面定义两个矩阵Au和Av。然后我们再输入下 面求逆的命令 >> inv(Au) ans = 0 1 1 [ 1, 0] Au [ -1/L, 1/L] 1 l 1 l >> inv(Av) ans = 0 0 1 [ 1, 0, 0, 0] 0 1 0 1 [ 0, 1, 0, 0] A v 2 2 3 l 2 l 3 l [ -3/L^2, -2/L, 3/L^2, -1/L] 3 2 3 1 l 2 l [ 2/L^3, 1/L^2, -2/L^3, 1/L^2] 2 l
根据材料力学的有关知识，我们可以立刻写出杆单元的结点位移与结点力 之间的关系为
FNi EA l (u i u j ) FNj EA l (u j u i )
有限元应用—杆单元问题
《有限元应用实训》实验报告（1）杆单元问题一、实训问题介绍：如图3-4所示三杆组合，三个杆的长度均相等为30in(762m m)，在2节点施加水平向右大小为3000l b(13344.6N)的力，杆件1和杆件2的弹性模量为E=30×106ps i(206880N/m m2)，横截面面积为1in2(645.16m m2)，杆件3的弹性模量为E=15×106ps i(103440N/m m2)，横截面面积为2in2(1290.32m m2)，节点1和节点4为固定约束。
在有限元软件中对模型进行有限元分析，回答下面两个问题：(1)确定节点2和节点3的位移；(2)节点1和节点4的反作用力。
二、方法与材料本次练习的研究对象为桁架结构，桁架结构由杆件组成，杆件受轴向力作用，其有限元基本模型为杆，可通过杆单元建立结构的有限元分析模型。
So l id Works有限元软件建模与求解步骤：2.1创建杆横截面草图，保存在weldment profi l es目录下，另存为.s ld l fp格式根据杆1、2和杆3规定的横截面，分别建立相应的截面文件。
2.2创建杆件草图2.3创建结构焊件，结构构件分别为三个杆件赋予截面2.4建立有限元s imulat i on新算例（1）定义材料（2）将焊件定义为桁架杆件（3）施加边界条件，节点1和节点4施加固定铰链约束（4）施加载荷条件，节点2施加水平向右的集中力（5）生成杆件网格并计算三、计算结果与讨论3.1节点2、3的位移节点2、3沿x方向（轴向）的位移分别为0.04597m m,0.0160m m计算结果与原题公式计算结果相同，说明本模型正确。
节点沿y和z向的位移为零，符合杆轴线承载条件。
3.2节点1、4的约束反力杆的约束反力为8010N,-5340N3.3杆件的轴向力3.4杆件的轴向应力3.5杆件的安全系数，当乘数为0.5时最小安全系数是8.8873.6应力准则应用最大Von Mises应力准则四、结论：通过软件建模，成功计算了结构构件的位移、应力、内力，确定了危险截面，出现在第一个杆件左端点处，构件满足最大Von M i ses应力准则，结构符合强度要求。
杆单元定义
杆单元定义
杆单元指的是在有限元分析中用来模拟某个结构或系统中的杆件的基本单元。
由于杆件在实际结构中的作用非常广泛，如桥梁、塔架、建筑结构等，因此杆单元是有限元法中最常用的基本元素。
杆单元一般由两个节点和一个杆单元的特征长度组成。
杆单元是结构体系中最基本的单元，它的内部并不包含热、电、磁等其他物理量，只考虑其中的变形、应力和应变等力学变量。
因此，在进行有限元分析之前，必须先将杆件离散化成为若干个杆单元，并对每个杆单元进行分析求解，以得到有效的杆件响应和力学性质。
在杆单元的分析过程中，需要考虑很多因素。
首先是单元内外受力平衡，即受力部分应该满足初步假设下的力学平衡条件并修正。
其次是应力、应变关系以及应力应变曲线的确定，这些需要对材料的性质进行分析，获得被称为“本构方程”的关系式。
最后是单元的刚性矩阵和质量矩阵的计算，这些矩阵是计算分析的基础，并且极大地影响了分析结果。
杆单元还有许多种类，根据其被忽略或者保留的实际结构特征和应力情况，可以分为细杆单元、柱形单元、混合单元、等效杆单元等等。
每种单元之间有各自的优势和限制，并在不同的应用场景下具有
不同的适用性。
总之，杆单元是有限元分析中最常见的基本元素之一，用于模拟结构中的杆件，并对应力和应变等力学变量进行分析求解。
在进行有限元分析之前，必须先对结构进行若干个杆单元的离散化，才能得到有效的响应和力学性质。
有限元分析是建筑设计和工程科学领域中重要的数值分析手段之一，杆单元也在这个过程中扮演着重要的角色。
有限元实验1-杆单元有限元分析
1、各单元的单元刚度矩阵 ;
2、用集成法求总体刚度矩阵[K];
3、建立节点位移和节点力的平衡方程 ，利用边界条件求出节点位移
4、由节点位移可求出各单元的应变、应力以及节点1处的支反力R1。
实验三：杆单元的有限元分析
一、实验目的
1、加深对有限元法中单元和节点等相关概念的理解；
2、掌握位移法求解杆单元有限元问题的基步骤。
二、实验要求
1、明确单元刚度矩阵、整体刚度矩阵的含义和求法；
2、根据题目要求，给出具体的计算过程；
3、编制相应的matlab计算程序并调试运行。
三、实验内容
用有限元法求图示受拉阶梯杆的位移和应力。已知杆截面面积A(1)=4×10-4m2，A(2)=2×10-4m2，，A(3)=1×10-4m2各段杆长l(1)=l(2)=l(3)=0.1m；材料弹性模量E(1)=E(2)=E(3)=2×107Pa，作用于杆端的拉力F4=10N。试建立图示结构的有限元方程，并基于matlab平台求解该结构的节点位移、单元应力和应变以及支反力R1。
有限元分析法第3章 杆单元
提示： 1）本例中单元应力的计算采用了材料力学中的方法,与采 用有限元单元应力公式 E EBd 的结果相同。 2）对锥形杆，单元截面积可用平均值。 3）求应力之前需要求出节点位移——有限元位移法。
第三章
杆单元
§ 3 –1
习题2：
一维等截面杆单元
已知：
求：杆两端的支反力
解
第三章 杆单元
u2
v2 u3 v3
1 1 1 1 EA 1 1 1 1 2 L 1 1 1 1 1 1 1 1
第三章 杆单元
§ 3 –2
二维空间中的杆单元
将单元1，2的刚度方程扩张到系统规模（6阶）， 相加后引入节点平衡条件：
第三章
杆单元
§ 3 –2
0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0
u1 v1 u2
v2
1 1 1 1 EA 1 1 1 1 2 L 1 1 1 1 1 1 1 1
第三章 杆单元
§ 3 –2
单元2：2-3
135，l
按公式计算杆应力：
二维空间中的杆单元
得：
0 E 2 L 0 1 1 1 1 2 ( P1 P2 ) 1 L 2 EA P 2A 1 P2
P 1 E 2 L P2 1 1 1 1 2 ( P1 P2 ) 2 L 2 EA 0 2 A 0
第三章
杆单元
§ 3 –2
二维空间中的杆单元
节点位移向量的坐标变换：
~ d i Tdi
第三章
杆单元
§ 3 –2
二维空间中的杆单元
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d B N i ( ) dx
N j ( ) 1 / L 1 / L
单元应力： E EBd 应用弹性体虚功原理导出单元刚度方程。
第三章 杆单元
§ 3 –1
虚功原理 虚位移
一维等截面杆单元
弹性体受力平衡时，若发生虚位移，则外力虚功等 于弹性体内的虚应变能。 ——平衡条件 对于杆单元，定义虚位移如下： ui 节点虚位移： d u j
T
二维空间中的杆单元
2 2 ，m 2 2
k 2 T2 k 2T 2
1 1 0 0 EA 2 2 1 1 0 0 L 2 2 0 0 1 1 0 0 1 1
T
1 0 1 0
0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1
~ T 0 T ~ 0 T
单元节点力的变换为： f
第三章 杆单元
Tf
§ 3 –2
刚度矩阵的坐标变换
二维空间中的杆单元
局部坐标系下杆单元的刚度方程为：
扩充到4自由度形式： 1 0 1 0 ui f xi 0 0 0 0 v f EA yi i L 1 0 1 0 u j f xj 0 0 0 0 v j f yj 写成矩阵符号形式：
2 2 0 0 F1 EA 2 3 1 u 2 P L 0 F 0 1 1 3
解得：
u1 0 PL 位移解： u 2 1 u 3EA 0 3
单元1应力：
1 u 2 u1 E PL P 1 E 1 E E 0 L L L 3EA 3A
第三章 杆单元
§ 3 –1
单元2应力：
一维等截面杆单元
u3 u2 E 2 PL P 2 E 2 E E 0 L L L 3EA 3A
§ 3 –1
一维等截面杆单元
则单元假设位移函数——位移模式如下：
矩阵形式：u N i
ui N j Nd u j
u Ni
ui N j Nd u j
du d N d B d 单元应变： dx dx
B ——单元应变矩阵
T T
对杆单元应用虚位移原理，得：
T d f d B EBdV d V
T T
考虑到 d 的任意性，立刻得到：
T f B EBdV d k d V
k B T EBdV
V
——杆单元刚度矩阵
这就是刚度矩阵的一般形式，可推广到其他类型的单元。
第三章 杆单元
§ 3 –1
一维等截面杆单元
轴向拉压变形模式下，该杆单元的行为与弹簧单元相同，因 此杆单元的刚度矩阵为：
EA k L
比照弹簧元的刚度方程，写出杆单元的刚度方程为：
f i k k ui EA 1 1 ui f j k k u j L 1 1 u j
第三章 杆单元
§ 3 –1
一维等截面杆单元
（二）公式法导出杆单元特性
单元上假设近似位移函数——位移模式 单元上位移假设为简单多项式函数： u a0 a1 x 有限元中用插值法通过节点位移（待定参数）定义单 元假设位移函数： 对杆单元，引入局部坐标： 定义节点的插值函数（形函数）：
第三章
杆单元
第三章
杆单元
§ 3 –2
二维空间中的杆单元
节点位移向量的坐标变换：
~ d i Tdi
第三章
杆单元
§ 3 –2
二维空间中的杆单元
~ 1 ~ T T T 显然是正交阵，即：
m ~ l 向量的坐标变换矩阵为： T m l
单元节点位移向量的变换式如下：
或
d Td
引入边界位移约束和载荷：
系统方程化为：
2 2 0 0 F1 EA 2 3 1 u 2 P L 0 F 0 1 1 3
第三章 杆单元
§ 3 –1
一维等截面杆单元
上述方程组中删除第１，３个方程，得到：
45，l m
k1 T1 k 1T 1
T
1 EA 2 2 1 L 2 2 0 0
0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0
T
1 0 1 0
0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
第三章 杆单元
k d f
d Td
f Tf
§ 3 –2
二维空间中的杆单元
利用前面的向量坐标变换式，得：
k Td Tf
考虑到变换矩阵的正交性，得：
k Td Tf
k T k T
T
T kTd f
T
kd f
总体坐标系中的杆单元刚度矩阵为：
用单元刚度矩阵装配系统 刚度矩阵的方法与1-D情况相 同，按节点号对子块重新排 列。
第三章
杆单元
第三章
杆单元
杆单元
3-1 一维等截面杆单元
如何用直接法求杆单元特性？ 如何用公式法导出杆单元特性？
3-2 二维空间杆单元
什么叫坐标变换？ 如何对节点位移向量进行坐标变换？
什么是虚功原理？ 杆单元刚度矩阵的特点？
如何对刚度矩阵进行坐标变换？
应用举例
第三章
杆单元
§ 3 –1
一维等截面杆单元
考虑一个2节点一维等截面杆单元： L— 杆长
u2
v2 u3 v3
1 1 1 1 EA 1 1 1 1 2 L 1 1 1 1 1 1 1 1
第三章 杆单元
§ 3 –2
二维空间中的杆单元
将单元1，2的刚度方程扩张到系统规模（6阶）， 相加后引入节点平衡条件：
第三章
杆单元
§ 3 –2
提示： 1）本例中单元应力的计算采用了材料力学中的方法,与采 用有限元单元应力公式 E EBd 的结果相同。 2）对锥形杆，单元截面积可用平均值。 3）求应力之前需要求出节点位移——有限元位移法。
第三章
杆单元
§ 3 –1
习题2：
一维等截面杆单元
已知：
求：杆两端的支反力
解
第三章 杆单元
第三章 杆单元
§ 3 –1
一维等截面杆单元
对于上面的杆单元：
与前面直接法得到的公式相同！
第三章
杆单元
§ 3 –1
一维等截面杆单元
（三）关于杆单元的讨论 1）在单元坐标系下，每个节点一个未知位移分量，单元共有 2个自由度。 2）单元刚度矩阵元素的物理意义：
刚度方程中令：
ui 1 u j 0
３）单元刚度矩阵对称、奇异、主对角元素恒正。
第三章
杆单元
§ 3 –1
（四）举例
一维等截面杆单元
求图示２段杆中的应力。
解：分２个杆单元，单元之间在节点２铰接。 刚度矩阵分别为：
第三章
杆单元
§ 3 –1
一维等截面杆单元
参考前面弹簧系统的方法，装配系统的有限元方程（平衡方程）：
2 2 0 u1 F1 EA u F 2 3 1 2 2 L u F 0 1 1 3 3
单元刚度方程
f i k11 则： f j k21
f i k11 f j k 21
k12 ui k 22 u j
第三章
杆单元
§ 3 –1
一维等截面杆单元
所以，单元刚度矩阵的第i（i=1,2)列元素表示当维持单 元的第i个自由度位移为１，其它自由度位移为０时，施加在 单元上的节点力分量。（也可以用此方法直接导出杆单元的 刚度矩阵元素，试练习）
单元虚位移： u Nd 则单元虚应变：
d (u ) Bd dx
节点力（外力）虚功： d T f
第三章 杆单元
§ 3 –1
单元虚应变能：
T T
一维等截面杆单元
T dV d B EBddV d B EBdV d V V V
按公式计算杆应力：
二维空间中的杆单元
得：
0 E 2 L 0 1 1 1 1 2 ( P1 P2 ) 1 L 2 EA P 2A 1 P2
P 1 E 2 L P2 1 1 1 1 2 ( P1 P2 ) 2 L 2 EA 0 2 A 0
第三章 杆单元
§ 3 –2
单元应力：
二维空间中的杆单元
即：
第三章
杆单元
§ 3 –2
（二）例题
二维空间中的杆单元
平面桁架由2根相同的杆组 成（E，A，L）。求： 1）节点2位移 2）每根杆应力
解：
求出每个单元在总体坐标下的刚度矩阵：
第三章
杆单元
§ 3 –2
单元1：1-2
2 2
二维空间中的杆单元
应变—位移关系：
应力—应变关系：
E
第三章
杆单元
§ 3 –1
一维等截面杆单元
（一）直接法导出单元特性
杆单元伸长量： u j ui
应变：
L