极限分析有限元法的下限解
有限元求解方法
有限元求解方法有限元求解方法是一种常用的数值计算方法，广泛应用于工程、科学和数学领域的求解问题。
本文将介绍有限元求解方法的基本原理、步骤和应用范围。
有限元求解方法是一种数值计算方法，通过将一个连续的问题离散化成有限个子问题，然后对这些子问题进行求解，最终得到整个问题的近似解。
在有限元求解方法中，将要求解的问题分割成许多小的单元，每个单元都有一个简单的数学模型。
通过对每个单元的求解，再通过组合这些单元的解，就可以得到整个问题的解。
有限元求解方法的步骤大致可以分为以下几个部分：建立数学模型、离散化、确定边界条件、求解、后处理。
首先，需要根据实际问题建立一个数学模型，这个模型可以是一个方程、一个微分方程或者一个变分问题。
然后，将问题离散化，将连续的问题分割成有限个单元，并在每个单元上建立一个简单的数学模型。
接下来，确定边界条件，即在模型的边界上给定一些已知条件。
然后，通过求解每个单元的数学模型，得到每个单元的解。
最后，将每个单元的解组合起来，得到整个问题的解。
在得到解之后，可以进行后处理，对解进行分析和验证。
有限元求解方法广泛应用于各个领域的问题求解中。
在工程领域，有限元方法可以用于结构力学、热传导、流体力学等问题的求解。
例如，在结构力学中，可以通过有限元求解方法来计算结构的应力和位移分布，进而评估结构的强度和稳定性。
在科学领域，有限元方法可以用于物理、化学、生物等问题的求解。
例如，在地震学中，可以通过有限元求解方法来模拟地震波的传播和地壳变形。
在数学领域，有限元方法可以用于偏微分方程的数值求解。
例如，在偏微分方程的数值解法中，有限元方法是一种常用的求解方法。
有限元求解方法的优点是可以处理复杂的几何形状和边界条件，并且可以灵活地调整离散化的精度。
同时，有限元求解方法还具有较高的计算效率和数值稳定性。
然而，有限元求解方法也存在一些限制和局限性。
首先，有限元方法的求解精度受到离散化的影响，离散化越精细，求解结果越接近真实解。
有限元极限分析法在边坡中的应用
非对称楔形体模型 非对称楔形体计算 等效塑性应变图
有限元强度折减法安全系数为1.60， 用理正岩土系列软件计算安全系数为1.636。 两者的计算误差为2.2%。
5、边坡分类举例 可视、动态、定量
一 级 二级 分 分类 类
土质
类 边坡
均 质 边 坡
碎裂 散体 岩石
边坡
变形破坏特征
旋转滑动 Ｆ=1.016
一、有限元极限分析法
经典极限分析法适用工程设计 但需要事先知道破坏面，适应性差
有限元法适应性广,但无法算 安全系数 有限元极限分析法,既适用于工程 设计,且适应性广
特别适用于岩土工程设计 （边(滑)坡、地基、隧道）
1、有限元极限分析法的原理 安全系数定义 强度储备安全系数
抗滑力 Fs 下滑力
9米 1.17
11米 1.19
桩长: 15米 17米 安全系数:1.19 1.19
19米 1.23
桩长: 21米 23米 安全系数:1.25 1.29
25米 1.34
合理桩长: 桩长安全系数大于设计安全系数
----------------------------------------------------------
1.55 1.41 1.30 1.20 1.12 0.01 0.01 0.01 0.01 0.00
二、有限元极限分析法在岩石边坡 中的应用
1、具有两组平行节理面的岩质边坡
两组方向不同的节理，第一组软弱结构面倾 角30度，第二组软弱结构面倾角75度.
计算结果
计算方法 有限元法
安全系数 1.18
极限平衡方法 (Spencer ）
云阳分界梁隧道出口段滑坡
1、工程概况 两条隧道通过滑坡地段
岩土工程极限分析有限元法及其运用
岩土工程极限分析有限元法及其运用张 聪（甘肃煤田地质局一三三队，甘肃 白银 730913）摘 要：基于极限分析方法在岩土工程施工中的应用局限文章提出兼具数值分析方法和经典极限分析方法的有限元分析方法，在介绍有限元分析原理、基本理论、安全系数和发展历程的基础上，从边坡、地基、隧道等方面着重分析岩土工程极限分析有限元法的应用，验证有限元分析方法在岩土工程中应用范围的扩大，旨在能够为岩土工程施工建设发展提供更多有力的支持。
关键词：有限元极限分析方法；岩土工程；岩土滑坡中图分类号：TU195 文献标识码：A 文章编号：1002-5065（2020）14-0233-2Finite element method for limit analysis of geotechnical engineering and its applicationZHANG Cong（No.133 team of Gansu Coalfield Geological Bureau, Baiyin 730913,China）Abstract: Based on the limitation of the application of limit analysis method in geotechnical engineering construction, this paper proposes a finite element analysis method which combines numerical analysis method and classical limit analysis method. On the basis of introducing the principle of finite element analysis, basic theory, safety factor and development process, the application of limit analysis finite element method in geotechnical engineering is emphatically analyzed from the aspects of slope, foundation and tunnel, To verify the expansion of the application scope of finite element analysis method in geotechnical engineering, in order to provide more powerful support for the development of geotechnical engineering construction.Keywords: finite element limit analysis method; geotechnical engineering; geotechnical landslide极限分析法的力学基础是土体处于一种理想的弹性、属性状态，这种状态下，土体会出现一种平衡状态，即为土体滑动面上每个点的剪应力会和土地抗剪强度等同。
有限元求极限载荷
有限元求极限载荷
有限元法是一种近似求解结构力学问题的方法，可以用来求解各种载荷情况下的应力和应变分布。
然而，要精确地求解极限载荷是非常困难的，因为极限载荷对应的结构形态通常是非常复杂的。
通常，求解极限载荷时可以采用以下两种方法之一：
1. 构造极限状态：在有限元模型中，通过设置适当的荷载形式和边界条件，来使结构达到极限载荷状态。
这种方法需要对结构的特性有较深入的了解，需要根据实际情况选择适当的荷载形式和边界条件，且结果仅适用于所构造的极限状态。
2. 非线性稳定分析：通过有限元分析软件进行非线性稳定分析，求解结构的临界载荷。
这种方法可以考虑各种复杂的几何和材料非线性，适用于包括杆件、板和壳结构等不同类型的结构。
非线性稳定分析需要对结构的几何和材料特性进行合理的建模和边界条件设定，同时需要进行迭代求解，计算量较大。
总的来说，求解极限载荷是一项相对复杂的工作，需要对结构特性有深入的了解，并采用适当的方法和技术进行分析。
有限元法或其他数值
有限元法或其他数值
有限元法（Finite Element Method，FEM）是一种数值分析方法，用于求解边界值问题和偏微分方程。
它是一种将连续问题离散
化为有限个小单元的方法，每个小单元都可以用简单的数学方程描述。
通过将整个区域分解为这些小单元，然后利用数值计算方法对
每个小单元进行计算，最终得到整个区域的近似解。
有限元法在工程、物理学、地质学等领域都有广泛的应用。
有限元法的基本思想是将求解的区域划分为有限个小的单元，
然后在每个单元内建立适当的插值函数，通过这些插值函数将原始
偏微分方程转化为代数方程组，最终通过求解这些代数方程组得到
近似解。
有限元法的优点在于可以处理复杂的几何形状和边界条件，适用于各种不同类型的材料和载荷情况。
除了有限元法，还有其他一些常用的数值分析方法，例如有限
体积法、辛普森法则、龙格-库塔法等。
这些方法在不同的问题和领
域中有着各自的优势和局限性，工程师和科学家需要根据具体情况
选择合适的数值方法来求解问题。
总的来说，有限元法是一种强大的数值分析方法，在工程学和
科学研究中有着广泛的应用。
通过合理的离散化和数值计算，可以得到准确的近似解，帮助人们解决复杂的实际问题。
(塑性成形力学)5极限分析原理
虚功原理：在载荷系作用下处于静力平衡的变形结构，若给一微 小的虚变形（位移），那么由于外力（或载荷）所做的虚功必等 于内力（或应力合力）所做的虚功。
几何方程
式(1.27)
物理方程
式(2.37)
屈服准则和边界条件、体积不变、假设（理想刚－塑性模型等）
5.3 虚功原理
参考书： 徐秉业，陈森灿编著，“塑性理论简明教程”，清华大学出版社，1981
虚功(率)：在产生虚位移的过程中，真实力所做的功(率)。 虚位移：不一定是实际的位移。
载荷系：力、力矩、分布载荷 虚位移：平移、旋转、平移＋旋转
式(5.4)
应力场存在应力不连续线时对虚功原理式（5.4）无影响。
对一般三维变形问题，虚功原理也成立。 表达式：
式(5.9)
5.4 最大塑性功原理
式(2.33)
弹性势：
塑性势：
Mises屈服准则：
式(5.10) 式(5.11)
dεx = 由式（5.10）、式（5.11）得：
列维-密赛斯流动法则：式(2.39)
5 极限分析原理
前言
极限分析法：
图1.28 理想刚-塑性材料
极限状态：即使载荷不再继续增加，塑性变形也可自由地发展的状态。
极限载荷：使材料或构件达到极限状态时的载荷。
极限状态的开始也就是塑性变形的开始。
求极限载荷的问题一般只限于理想刚塑性体。
上界法（上限法）：上限中求最小值。 下界法（下限法）：下限中求最大值。
把屈服函数作为塑性塑性势时，
有限元基础知识归纳
有限元基础知识归纳有限元知识点归纳1.、有限元解的特点、原因？答：有限元解一般偏小，即位移解下限性原因：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。
在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此，连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度较实际的刚度K为大，因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。
2、形函数收敛准则（写出某种单元的形函数，并讨论收敛性）P49(1)在节点i处Ni=1,其它节点Ni=0;(2)在单元之间，必须使由其定义的未知量连续；(3)应包含完全一次多项式；(4)应满足∑Ni=1以上条件是使单元满足收敛条件所必须得。
可以推证，由满足以上条件的形函数所建单元是完备协调的单元，所以一定是收敛的。
4、等参元的概念、特点、用时注意什么？（王勖成P131）答：等参元—为了将局部坐标中几何形状规则的单元转换成总体（笛卡尔）坐标中的几何形状扭曲的单元，以满足对一般形状求解域进行离散化的需要，必须建立一个坐标变换。
即：为建立上述的变换，最方便的方法是将上式表示成插值函数的形式，即：其中m是用以进行坐标变换的单元节点数，xi,yi,zi是这些结点在总体（笛卡尔）坐标内的坐标值，Ni’称为形状函数，实际上它也是局部坐标表示的插值函数。
称前者为母单元，后者为子单元。
还可以看到坐标变换关系式和函数插值表示式：在形式上是相同的。
如果坐标变换和函数插值采用相同的结点，并且采用相同的插值函数，即m=n，Ni’=Ni,则称这种变换为等参变换。
5、单元离散？P42答：离散化既是将连续体用假想的线或面分割成有限个部分，各部分之间用有限个点相连。
每个部分称为一个单元，连接点称为结点。
对于平面问题，最简单、最常用的离散方式是将其分解成有限个三角形单元，单元之间在三角形顶点上相连。
这种单元称为常应变三角形单元。
常用的单元离散有三节点三角形单元、六节点三角形单元、四节点四边形单元、八节点四边形单元以及等参元。
高等土力学教材 第六章 土工数值分析(一)土体稳定的极限平衡和极限分析
土工数值分析（一）土体稳定的极限平衡和极限分析目录1 前言 (2)2 理论基础－塑性力学的上、下限定理 (4)2.1 一般提法 (4)2.2 塑性力学的上、下限定理 (5)2.3 边坡稳定分析的条分法 (7)3 土体稳定问题的下限解－垂直条分法 (9)3.1 垂直条分法的静力平衡方程及其解 (9)3.2 数值分析方法 (11)3.3 垂直条分法的有关理论问题 (15)3.4 垂直条分法在主动土压力领域中的应用 (19)4 土体稳定分析的上限解－斜条分法 (23)4.1 求解上限解的基本方程式 (23)4.2 上限解和滑移线法的关系 (24)4.3 边坡稳定分析的上限解 (27)4.4 地基承载力的上限解 (27)5 确定临界滑动模式的最优化方法 (30)5.1 确定土体的临界失稳模式的数值分析方法 (30)5.2 确定最小安全系数的最优化方法 (31)6 程序设计和应用 (39)6.1 概述 (39)6.2 计算垂直条分法安全系数的程序S.FOR (39)6.3 计算斜条分法安全系数的程序E.FOR (53)1土工数值分析（一）：土体稳定的极限平衡和极限分析法1前言边坡稳定、土压力和地基承载力是土力学的三个经典问题。
很多学者认为这三个领域的分析方法属于同一理论体系，即极限平衡分析和极限分析方法，因此，应该建立一个统一的数值分析方法。
Janbu 曾在1957年提出过土坡通用分析方法。
Sokolovski(1954)应用偏微分方程的滑移线理论提出了地基承载力、土压力和边坡稳定的统一的求解方法。
W. F. Chen (1975) 在其专著中全面阐述了在塑性力学上限和下限定理基础上建立的土体稳定分析一般方法。
但是，上述这些方法只能对少数具有简单几何形状、介质均匀的问题提供解答，故没有在实践中获得广泛的应用。
下面分析这三个领域分析方法的现状以及建立一个统一的体系的可能性。
有关边坡稳定分析的理论的研究工作，从早期的瑞典法，到适用的园弧滑裂面的Bishop简化法，到适用于任意形状、全面满足静力平衡条件的Morgenstern - Price法(1965)，其理论体系逐渐趋于严格。
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黄 琳
1
肖洪天 2
1. 长沙理工大学 土木建筑学院，长沙 417100 2. 山东省土木工程防灾减灾重点实验室，青岛 266590
摘要：针对极限分析下限法中静力许可应力场建立困难这一问题，本文在下限定理的基 础上，引入有限元的思想来构造静力许可应力场。本文通过自编的 MATLAB 程序自动 进行映射网格划分，并利用 MATLAB 软件优化工具箱内置的内点算法求解线性规划模 型。通过对经典算例进行求解，计算结果表明该方法是一种合理有效的方法。 关键词：极限分析；下限定理；有限元法；线性规划；网格划分
作 者：黄 琳，岩土工程本科生. E-mail: franklyn0601@
1
1 引言
20 世纪 50 年代，D.C.Drucker 和 W.Prager 基于极值原理建立了土体极限分析理论； W.F.Chen[1]进一步阐明了极限分析理论在土工问题中的应用。目前研究土工问题的常用 方法主要有极限平衡法与有限元法。前者以概念简单明了，实际工程经验丰富而在工程 中得到广泛应用。但极限平衡法需要预先假设滑动面，且并不一定满足精力平衡条件， 因此它的解即缺乏理论基础同时又不是严格意义上的上下限解； 后者虽能弥补前者的不 足，但却无法回避本构关系的盲目性以及相应力学参数的不确定性。 S.W.Sloan[2] 提出的在二维条件下基于线性规划的下限分析有限单元法在理论上克 服了上述两种方法的不足。该方法引入有限单元法构造静力许可的应力场，可直接得到 材料到达塑性流动时所对应的极限荷载或者安全系数。换言之，应力场在满足静力许可 的约束条件下，将对应的极限荷载或安全系数作为目标函数进行优化求解，这样下限问 题可以转化为一个等价的约束非线性规划问题。 又可以通过用内接正 P 边形去拟合屈服 面，将非线性规划问题线性化。另外国内学者在下限分析中也做了很多工作，如：陈祖 煜证明了边坡稳定极限分析的垂直条分法和斜条分法的基础分别是塑性力学下限和上 限原理；李国英等在采用下限原理有限元解决结构面问题，三维非线性问题等方面做了 一定的探索。 上述学者大多采用 Fortran 语言编写塑性极限下限法程序并形成结构土体的约束规 划模型，调用商业的或自编的优化程序求解抽象得到的数学规划模型。本文则直接基于 MATLAB 平台求解整个计算过程，针对边坡和条形基础承载力问题进行计算。
e
Байду номын сангаасe x1
e e e e e y xy x y xy 1 1 2 2 2
这样每条特定的存在边界应力条件的边界 l 都会产生最多四个等式约束条件。
q2 t2
q1
t1
⑴
l
⑵
y
side l
x
4
2.4 应力连续性条件 静力许可的间断线允许应力连续性条件与经典的下限法一样， 在相邻单元的公共边 界上的正应力和剪应力的分量相等，可得：
2 下限原理有限元法
2.1 下限原理 下限定理认为一个满足平衡条件， 应力边界条件和屈服准则的静力场所对应的荷载 将不大于真实的破坏荷载。因此选定一个合适的静力场是解决工程实际问题的关键。根 据下限定理，设定求解区域 V 及其应力边界 S，满足以下三个条件的应力场ij 称为静力 许可应力场：
ij , j Fi 0
sin 2 d cos 2 d
d T T d equil
a x1
a a b b b a a a b b b y xy x y xy y xy x y xy 1 1 2 2 2 x1 1 1 2 2 2
b 0
2.5 屈服条件
MESH GENERATION AND LOWER BOUND ANALYSIS USING FINITE ELEMENT METHOD ON MATLAB
HUANG Lin 1 XIAO Hong-tian 2
1. School of Civil Engineering and Achitecture, Changsha University of Science and Technology, Qingdao 266590; 2. Shandong Provincial Key Laboratory of Disaster Prevention and Mitigation, Qingdao 200092 Abstract: Given the difficulty of finding a statically admissible field, this paper describes a technique for computing lower bound limit loads using finite element method in soil mechanics under conditions of plane strain. Integrated with the optimization toolbox of Matlab and automatically mapping mesh method, a new calculating method is proposed to solve linear programming problems. Several examples of the ultimate bearing capacity of a rigid strip footing and slope in homogeneous soil was presented to illustrate the validation and effectiveness of the present method with the comparison between numerical lower bound analysis and analytical solutions. Key words: limit analysis; lower bound analysis; finite elements; linear programming; mesh generation
A2 b1
c A1 b1
T
对于工程问题，其静力许可场的构造非常困难，更不用说计算极限荷载。不过随着 有限元的引入和计算机的应用，该问题已经可以求解。在对计算区域进行离散后，取节 点应力为优化变量，这里我们借助于有限元中三角形三节点单元的插值函数构造应力 场，并施加平衡条件，应力间断条件，边界条件和屈服条件。这样就构成了有限自由度 的规划问题来求解极限荷载。 由于使用的是三角形三节点单元进行离散，应采纳对应单元的插值函数如下：
A b
d equil d d equil
b
n
⑵ ⑴
⑷ ⑶
d
a
y
x
式中
T A 0
d equil
T 0
0 T
0 T
sin 2 d T 1 sin 2 d 2
cos 2 d 1 sin 2 d 2
2k Ck 2 sin p ， D 2c cos cos p
y 2 xy
k 6
k 5
Mohr-Coulomb 屈服函数
p
k 1 k 4
x x y
k=2
k=3
线性 Mohr-Coulomb 屈服准则 （p=6）
3 基于 MATLAB 的网格划分和求解策略
本文基于 MATLAB 7.10.0 编写程序。特点如下： 1）网格的自动划分； 其基本思想为：将待划分的整个区域分成若干个超单元，要求每个超单元为单连通 区域，而整个区域可为单连通的或复连通的。每个超单元由 4 个节点描述之。然后对每 个超单元进行再划分。 2）数据的可视化； 数据可视化是 MATLAB 的一项重要功能。在后处理中，作者为直观分析样本数据 的分布和趋势特性，将单元间各个节点的应力值绘制成二维平面等值线图。 3）矩阵的稀疏存储； 矩阵的稀疏存储对于塑性有限元极限分析具有重要意义。 因为约束条件通常是由一 系列高度稀疏的矩阵组合而成，利用稀疏存储可以显著提高计算速度，减少所需存储空 间。结果比对证明，MATLAB 可以有效准确的处理塑性极限分析中的线性规划求解问 题。
6
4 程序编制与算例
4.1 程序编制 根据上述推导的数学模型，本文采用 MATLAB 7.10.0 编写了基于线性规划的有限 元塑性分析下限法主体计算程序 CALORS.m 和网格划分程序 Meshgenerator.m，主体计 算程序框图如下图所示。程序可根据给定边界自动进行网格划分，并手动控制网格的精 细程度，并计算外力超载系数以及生成应力场。
式中： c 为材料的黏聚力； 为材料的内摩擦角。 用内接正 p 边形去拟合屈服面，如图所示，那么每个节点的屈服条件均可用 p 个线 性方程代替，则正多边形第 k 条边表示的约束条件为
Ak x Bk y Ck xy D, k 1,2, p
5
2k 2k 其中： Ak cos p sin cos p ， Bk sin cos p cos p ，
A b
l bound l l bound
其中
T A 0
l bound
0 T sin 2 l cos 2 l
sin 2 l cos 2 l [T ] 1 1 sin 2 l sin 2 l 2 2 l bbound q1 t1 q2 t2
0 0 0
因此每条相邻单元的公共边界的应力间断线都会产生四个等式约束条件。
对于平面应变问题，假设拉应力为正，则 Mohr-Coulomb 屈服准则可表示为
F x y 2 xy 2c cos x y sin 0