椭圆中点弦的斜率公式

下面介绍椭圆中点弦的斜率公式，利用它可起到事半功倍的效果．

定理设有二次曲线的方程为Ａ、Ｂ两点在曲线上，Ｍ是弦

ＡＢ的中点，Ｏ为坐标原点，则．

证明设Ａ、Ｂ两点坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2)，则点Ｍ的坐标为

（）．

∵Ａ、Ｂ两点在曲线上，

∴

两式相减得：

整理得，

又，

．证毕．

注特别地，当＞０时，二次曲线为圆，显然ＯＭ⊥ＡＢ，有．

例１过椭圆内一点Ｄ（１，０）引动弦ＡＢ，求弦ＡＢ的中点Ｍ的轨迹方程．解设动点Ｍ的坐标为（x,y），则

由定理得

整理得

这就是点Ｍ的轨迹方程．

例２设椭圆与直线相交于Ａ、Ｂ两点，且，又ＡＢ的中点Ｍ与原点Ｏ的连线的斜率为

解由定理得（－１）·＝－（１）

将代入椭圆方程整理得：

设Ａ、Ｂ两点横坐标分别为x1、x2,则

∴，∴

即（２）

由（１）、（２）解得