解析几何答案-廖华奎-王宝富-第一章

第一章 向量代数习题1.11. 试证向量加法的结合律，即对任意向量,,a b c 成立()().a b c a b c ++=++证明：作向量,,u u u r u u u r u u u rAB a BC b CD c ===（如下图），则 ()(),u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r a b c AB BC CD AC CD AD ++=++=+=()(),u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ra b c AB BC CD AB BD AD ++=++=+=故()().a b c a b c ++=++2. 设,,a b c 两两不共线，试证顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是0.a b c ++=证明：必要性，设,,a b c 的终点与始点相连而成一个三角形ABC ∆，则0.u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ra b c AB BC CA AC CA AA ++=++=+== 充分性，作向量,,u u u r u u u r u u u rAB a BC b CD c ===，由于0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ra b c AB BC CD AC CD AD =++=++=+=所以点A 与D 重合，即三向量,,a b c 的终点与始点相连构成一个三角形。

ABCabcABCDabca b +b c +3. 试证三角形的三中线可以构成一个三角形。

证明：设三角形ABC ∆三边,,AB BC CA 的中点分别是,,D E F （如下图），并且记,,u u u r u u u r u u u ra ABb BCc CA ===，则根据书中例 1.1.1，三条中线表示的向量分别是111(),(),(),222u u u r u u u r u u u r CD c b AE a c BF b a =-=-=-所以，111()()()0,222u u u r u u u r u u u r CD AE BF c b a c b a ++=-+-+-=故由上题结论得三角形的三中线,,CD AE BF 可以构成一个三角形。

4. 用向量法证明梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。

证明：如下图，梯形ABCD 两腰,BC AD 中点分别为,E F ，记向量,u u u r u u u rAB a FA b ==，则,u u u rDF b =而向量u u u r DC 与u u u r AB 共线且同向，所以存在实数0,λ>使得.u u u r u u u r DC AB λ=现在,u u u r FB b a =+,u u u rFC b a λ=-+由于E 是BC 的中点，所以1111()()(1)(1).2222u u u r u u u r u u u r u u u r FE FB FC b a a b a AB λλλ=+=++-=+=+且111(1)()().222u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r FE AB AB AB AB DC λλ=+=+=+故梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。

5. 试证命题1.1.2。

A BabcE FD C证明：必要性，设,,a b c 共面，如果其中有两个是共线的，比如是,a b ，则,a b 线性相关，从而,,a b c 线性相关。

现在设,,a b c 两两不共线，则向量c 可以在两个向量,a b 上的进行分解，即作以c 为对角线，邻边平行于,a b 的平行四边形，则存在实数,λμ使得c a b λμ=+，因而,,a b c 线性相关。

充分性，设,,a b c 线性相关，则存在不全为零的数123,,k k k ，使得1230k a k b k c ++=。

不妨设30k ≠，则向量c 可以表示为向量,a b 的线性组合，因此由向量加法的平行四边形法则知道向量c 平行于由向量,a b 决定的平面，故,,a b c 共面。

6. 设,,A B C 是不共线的三点，它们决定一平面∏，则点P 在∏上的充要条件是存在唯一的数组(,,)λμν使得,(*)1,u u u r u u u r u u u r u u u rOP OA OB OC λμνλμν⎧=++⎪⎨++=⎪⎩其中，O 是任意一点。

P 在ABC ∆内的充要条件是(*)与0,0,0λμν≥≥≥同时成立。

证明：必要性，作如下示意图，连接AP 并延长交直线BC 于R 。

则由三点,,B R C 共线，存在唯一的数组12,k k 使得12OR k OB k OC =+u u u r u u u r u u u r，并且121k k +=。

由三点,,A P R 共线，存在唯一的数组12,l l 使得12OP l OA l OR =+u u u r u u u r u u u r，并且121l l +=。

于是1212122OP l OA l OR l OA l k OB l k OC=+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，设12122,,,l l k l k λμν===由12,k k ，12,l l 的唯一性知道(,,)λμν的唯一性，则,OP OA OB OC λμν=++u u u r u u u r u u u r u u u r且121221l l k l k λμν++=++=。

充分性，由已知条件有(1)OP OA OB OC OA OB OC λμνλμλμ=++=++--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()OA OC OB OC OC λμ=-+-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r CA CB OC λμ=++u u u r u u u r u u u r ,得到CP CA CB λμ=+u u u r u u u r u u u r ，因而向量,,CP CA CB u u u r u u u r u u u r共面，即P 在,,A B C 决定的平面上。

如果P 在ABC ∆内，则P 在线段AR 内，R 在线段BC 内，于是12120,,,1k k l l ≤≤，则0,,1λμν≤≤。

如果（*）成立且0,,1λμν≤≤，则有CP CA CB λμ=+u u u r u u u r u u u r，这说明点P 在角ACB ∠内。

同样可得到AP AB AC μν=+u u u r u u u r u u u r，这说明点P 在角BAC ∠内。

故P 在ABC ∆内。

7. 在ABC ∆中，点,D E 分别在边BC 与CA 上，且11,,33BD BC CE CA AD ==与BE 交于R ，试证14,.77RD AD RE BE == 证明：作如下示意图，由三点,,B R E 共线，存在k 使得(1)CR kCB k CE =+-u u u r u u u r u u u r，由三点,,A R D 共线，存在l使得(1)CR lCA l CD =+-u u u r u u u r u u u r ，由于11,,33BD BC CE CA ==有21,,33CD CB CE CA ==u u u r u u u r u u u r u u u r因而1(1)3CR kCB k CA =+-u u u r u u u r u u u r 2(1)3lCA l CB =+-u u u r u u u r 。

由于向量,CA CB u u u r u u u r 不共线，所以21(1),(1)33k l l k =-=-，解此方程组得41,77k l ==。

由此得4377CR CB CE =+u u u r u u u r u u u r，4344()7777ER CR CE CB CE CE CB CE EB =-=+-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur 。

同理得到17DR DA =u u u r u u u r 。

故得14,.77RD AD RE BE ==8. 用向量法证明ABC ∆的三条中线交于一点P ，并且对任意一点O 有1().3u u u r u u u r u u u r u u u rOP OA OB OC =++证明：设,,D E F 分别是边,,AB BC CA 的中点，则,AE BF 交于一点P ，连接,CP CD 。

由,,A P E 三点共线，存在k 使1(1)(1)2CP kCF k CB kCA k CB =+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，由,,B P F 三点共线，存在l 使1(1)(1)2CP lCE l CA lCB l CA =+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，于是得111,122k l l k =-=-，解得23k l ==。

从而有1133CP CB CA =+u u u r u u u r u u u r ，然而1122CD CB CA =+u u u r u u u r u u u r ，故23CP CD =u u u r u u u r，即,,C P D 三点共线，ABC ∆的三条中线交于一点P 。

任取一点O ，由1133CP CB CA =+u u u r u u u r u u u r ，得到11()()33OP OC OB OC OA OC -=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，于是1().3u u u r u u u r u u u r u u u rOP OA OB OC =++9. 用向量法证明四面体ABCD 的对棱中点连线交于一点P ，且对任意一点O 有1().4u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r OP OA OB OC OD =+++证明：设四面体ABCD 的棱,,AB AC AD 的中点分别是,,B C D '''，棱,,BC CD DB 的中点分别是,,E F G ，如下图。