五年级奥数第二讲：整除的进阶
第二讲：整除问题进阶
上讲我们学习了一些常用的整除判断方法，本讲我们再学习一些新的判断方法。
一、截断作和。
能被99整除的数的特征：从个位开始每两位一截，得到的所有两位数（最前面的可以是一位数，在前面加个0相当于是两位数）之和能被99整除。
举个例子：9912875643是不是99的倍数？
方法1：
99 12 87 56 43-------99 + 12 + 87 + 56 + 43=99×3=297，和是99的倍数，所以这个数就是99的倍数。
还可以怎么做？
方法2：
99=9×11，是9的倍数也是11的倍数。
是9的倍数，数字和是9的倍数。9+9+1+2+8+7+5+6+4+3=54，54÷9=6，所以这个数是9的倍数；
是11的倍数，奇偶位和差分析法。奇数位的和：3+6+7+2+9=27
偶数位的和：4+5+8+1+9=27
差是：27-27=0 0÷11=0，所以这个多位数是11的也是9的即99的倍数。
1、六位数（）2008（）能同时被9和11整除。这个六位数是多少？
分析：是9的倍数也是11的倍数即是：9×11=99的倍数。
设六位数是B
A2008。
两位一截。共3个两位数。
+
=
+
≤
A
+
B
A
+B
2=
89
181
8
92
2
00
8
和应该是99的倍数，所以只能是99×1=99成立，99×2=198不成立。
=99，所以A=1,B=7，所以这个六位数是：120087。
答：120087。
2、已知九位数1234（）（）789能被99整除。这个九位数是多少？分析：
设1234（A ）（B）789，从个位开始，两位一截，得到：
1、23、4（A ）、（B）7 、89，
和是：01+23+两位数4A+两位数B7+89=113+40+A+B×10+7=160+A+10×B=99的倍数。
160+A+10×B的最小值：160+0+10×0=160（A和B在中间可以最小是0 。）
160+A+10×B的最大值，A和B都是9的时候，最大是：160+9+10×9=259 。
和必须是99的倍数，和的范围在160到259，所以只能是：99×2=198 。
160+A+10×B=198，所以A+10×B=198-160=38，所以A=8，B=3成立。
小学五年级奥数整除问题
五年级思维第二讲 基础知识： 1. 整除的定义、性质.定义：如果a 、b 、c 是整数并且b 0≠ ，b=c a ÷则称a 能被b 整除或者b 能整除a ，记做b a |，否则称为a 不能被b 整除或者b 不能整除a ，记做a b |. 性质1：如果a 、b 都能被c 整除，那么他们的和与差也能被c 整除. 性质2：如果b 与c 的乘积能够整除a ，那么b 、c 都能整除a . 性质3：如果b 、c 都能整除a ，并且b 、c 互质，那么b 、c 的乘积也能够整除a. 性质4：如果c 能整除b ，b 能整除a ，那么c 能整除a . 性质5：如果b 和c 的乘积能够被a 整除，并且a ，b 互质，那么c 能够被a 整除. 2. 被2（5）整除特征：以2,4,6,8,0（5,0）结尾. 3. 被3，9整除特征：数字和被3,9整除. 4. 被4（25）整除的特征：后2位能被4（25）整除； 被8（125）整除的特征：后3位能被8（125）整除. 例题： 例1、如果六位数2012□□能够被105整除，那么后两位数是多少？ 解：设六位数为，105=3，依次考虑被3,5,7整除得到3∣a+b -1，b=0或5, 7∣(10a+b-1)，得到唯一解a=8,b =5.故后两位为85. 例2、求所有的x ，y 满足使得72∣. 解：72=8×9，根据整除9性质易得x +y =8或17，根据整除4 的性质y =2或6，分别可以得到5位数32652、32256，检验可知只有32256满足题意. 例3、一本陈年旧账上写的：购入143只羽毛球共花费□67.9□元，其中□处字迹已经模糊不清，请你补上□中的数字并且算出每只羽毛球的单价. 解：设两个□处的数字分别是a 、b ，则有143∣，根据11∣，有a+b =8，再根据13∣，所以13∣(100a +67-90-b )，再根据a+b =8得到13∣（10a -5）解得a =7 b =1所以方框处的数字是7和1，单价5.37元. 例4、把若干个自然数1,2,3….乘到一起，如果已知这个乘积的最后14位都是0，那么最后的自然数至少是多少？ 解：最后14位都是0说明这个乘积整除1014，由于1×2×3×…中因数2比因数5多得多，只需考虑其整除514，5的倍数但是不是25的倍数可以提供一个因数5，25的倍数但是不是125的倍数可以提供2个因数5…可得出至少需要
五年级奥数题因数与倍数
13．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳 4 米，黄鼠狼每次跳 2 米， 它们每秒钟都只跳一次.比赛途中,从起点开始每隔 12 米设有一个陷井,当它们 因数与倍数相关习题（1） 一、填空题 1．28 的所有因数之和是_____. 2. 用 105 个大小相同的正方形拼成一个长方形,有_____种不同的拼法. 3. 一个两位数,十位数字减个位数字的差是 28 的因数,十位数字与个位数 字的积是 2 4.这个两位数是_____. 4. 李老师带领一班学生去种树 ,学生恰好被平均分成四个小组 ,总共种树 667 棵,如果师生每人种的棵数一样多,那么这个班共有学生_____人. 5. 两个自然数的和是 50,它们的最大公因数是 5,则这两个数的差是_____. 6. 现有梨 36 个,桔 108 个,分给若干个小朋友,要求每人所得的梨数,桔数相 等,最多可分给_____个小朋友,每个小朋友得梨_____个,桔_____个. 7. 一块长 48 厘米、宽 42 厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形 布片_____块. 8. 长 180 厘米,宽 45 厘米,高 18 厘米的木料,能锯成尽可能大的正方体木块 (不余料)_____块. 9. 张师傅以 1 元钱 3 个苹果的价格买苹果若干个,又以 2 元钱 5 个苹果的价 格将这些苹果卖出,如果他要赚得 10 元钱利润,那么他必须卖出苹果_____个. 10. 含有 6 个因数的两位数有_____个. 11．写出小于 20 的三个自然数，使它们的最大公因数是 1，但两两均不互 质，请问有多少组这种解 12．和为 1111 的四个自然数，它们的最大公因数最大能够是多少 1 3 2 4 3 8 之中有一个掉进陷井时,另一个跳了多少米 14. 已知 a 与 b 的最大公因数是 12,a 与 c 的最小公倍数是 300,b 与 c 的最 小公倍数也是 300,那么满足上述条件的自然数 a ,b ,c 共有多少组 (例如:a =12、b =300、c =300，与 a =300、b =12、c =300 是不同的两个自然数 组) ———————————————答 案—————————————————————— 答 案: 1． 56 28 的因数有 1,2,4,7,14,28,它们的和为 1+2+4+7+14+28=56. 2. 4
五年级奥数专题-数的整除
五年级奥数专题-数的整除 如果整除a 除以不为零数b,所得的商为整数而余数为0,我们就说a 能被b 整除,或叫b 能整除a 。如果a 能被b 整除,那么,b 叫做a 的约数,a 叫做b 的倍数。 数的整除的特征： （1） 能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0,那么这个整数一定能被2整除。 （2） 能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3（或9）整除,那么这个整数一定能被3（或9）整除。 （3） 能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除,那么这个数就一定能被4（或25）整除。 （4） 能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5,那么这个整数一定能被5整除。 （5） 能被6整除的数的特征：如果一个整数能被2整除,又能被3整除,那么这个数就一定能被6整除。 （6） 能被7（或11或13）整除的数的特征：一个整数分成两个数,末三位为一个数,其余各位为另一个数,如果这两个数之差是0或是7（或11或13）的倍数,这个数就能被7（或11或13）整除。 （7） 能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除,那么这个数就一定能被8（或125）整除。 （8） 能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除,那么它必能被11整除。 一、例题与方法指导 例1. 一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____. 思路导航： 一个数如果是88的倍数,这个数必然既是8的倍数,又是11的倍数.根据8的倍数,它的末三位数肯定也是8的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是0或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是0或11的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能 或又 23056088=2620 238568÷88=2711 所以,本题的答案是2620或2711. 例2. 123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_____. 思路导航：
五年级奥数 整除问题
整除(一):拆除数 关键词与关键策略: 一、整除的含义：如果一个整数a除以一个非零整数b的商是整数，且没有余数(或余数为零)，我们就叫做b能整除a, a能被b整除；a是b的倍数，b是a 的约数。记作: b∣a 1、0是任何非零整数的倍数，但不是任何整数的约数；1是任何数的约数。 2、0是最小的自然数，但不是最小的一位数；最小的一位数是1。 二、整除的性质：如果一个数能被两个互质数中的每一个整除，那么这个数也能被这两个数的乘积整除；反过来，一个数能被两个互质数的乘积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除。 三、特殊数整除的特征: 1、尾数判断法： (1)能被2（或5）整除的数的特征:个位数字能被2、5整除。 看个位 2 (2:个位为偶数； 5:个位为0或5) （2）能被4（或25）整除的数的特征: 末两位数字能被4、25整除。 看末两位425= 100 25: 未两位为00、25、50、75) 例：1864=1800+64,1800是4与25的倍数，64能被4整除，但是不能被25整除。 （3）能被8（或125）整除的数的特征: 末三位数字能被8、125整除。 看末三位8125 = 1000 2、数字求和法： 能被3或9整除的数的特征: 各个数位数之和是3或9的倍数(弃三法或弃九法)。例1：判断下面数的整除性：23487,3568,8875,6765,5880,7538,198954,6512,93625,864,407 （1）这些数中，有哪些数能被4整除，哪些数能被8整除？ （2）哪些数能被25整除，哪些数能被125整除？
（3）哪些数能被3整除？ （4）哪些数能被9整除？ 练习：（1）判断33333333468675能不能被125整除？ （2）1234567891011121314能不能被3和9整除？ 例2、有一个四位数是45ab, 同时能被2、3、4、5、9整除，求出这个四位数。练习：（1）四位数841口能被2和3整除，口中应填。 (2)同时能被3、4、5整除的最小四位数是。 例3、小马虎在一张纸上写了无重复数字的五位数字3□6□5，其中十位数字和千位数字被小马虎喝水时打湿看不清了，但是小马虎知道这个五位数是75的倍数，那么满足上述条件的五位数有哪些? 练习：（1）六位数1803*6能被12整除，其中十位数字是。（2）四位数8A1B能同时被5、6整除，这个四位数是。 (3)一个六位数43口57口能被72整除，这个六位数是。 (4)四位数2口2口能同时被8, 9整除，那么这个四位数是。
(完整word版)五年级奥数题：数的整除性
数的整除性 一、填空题 1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____. 2. 在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____. 3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____. 4. 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____. 5. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____. 6. 所有能被3整除的两位数的和是______. 7. 已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____. 8. 如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是_____. 9. 42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____. 10. 从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行,从左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数,报到11的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_____号. 二、解答题 11. 173□是个四位数字.数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字, 所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？ 12．在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？ 13．在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券,也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将100张黄油票换成100张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券？ 14．试找出这样的最小自然数,它可被11整除,它的各位数字之和等于13.
小学五年级奥数复习：倍数整除
A 1．五位数15□8□的□内填什么数字，才能使它既能被3整除，又有约数5？ 2．四位数4A6B能同时被5、6整除，则这个四位数是几？ 3．请证明：任意一个三位数，连着写两次得到一个六位数，这个六位数一定同时能被7、11、13整除。 4．已知一个自然数A，它能被15整除，且它的各个数位上的数字只能有2、5两种，则这种最小的六位数A是多少？ 5．六位数3ABABA是6的倍数，这样的六位数有多少个？ 6．把7、14、20、21、28、30分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等。 7．把40、44、45、63、65、78、99、105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等，分出的两组数分别是（）和（）。 8．从0、3、5、7这四个数字中任选3个数，排成能同时被2、3、5整除的三位数，这样的三位有多少个？ 9．有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个不同数字组成不同的四位数，如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第三个数是多少？ 10．求出所有能被3整除的二位数的和。 11．从1到100的自然数中，的有不能被9整除的数的和是多少？ 12．商店里有6只不同重量的货箱，分别装有货物15千克、16千克、18千克、19千克、20千克、31千克，两个顾客买走了其中5箱货物，而且一个顾客的货物重量是另一个顾客的2倍，商店里剩下的这箱货物是多少千克？ B 1．已知十位数a0a1a2a3a4能被11整除，求a是多少？ 2．已知□1998□同时能被8和11整除，□各填几？ 3．从1357四个数中，选出三个数字组成被75整除的三位数。 4．三位数2AB接连写1999次，使其成为91的倍数，求AB。 5．任意一个三位数连着写两回得到的一个六位数，这个六位数一定能被7，11，13整除。 6．求无重复数字、能被75整除的五位数3A6B5有多少个？ 7．已知一个两位数恰好是它的两个数字之和的6倍，求这个两位数。 8．已知M个1991能被17整除，求M最小是几？ 9．在298后面填上一个三位数，使这个六位数能被476整除。 10．用1——6六个数字组成一个六位数abcdef，其中不同字母代表1——6中不同的数字，要求ab是2的倍数，abc是3的倍数，abcd是4的倍数，abcde是5的倍数，abcdef是6的倍数。求这样的六位数有几个？ 11．71427和19的积除以7，余数是几？ 12．李佳买了三支铅笔、五支钢笔、八本练习本和12块橡皮。已知铅笔4分一支，钢笔2角8分一支，其余单价李佳记不清了。售货员要李佳共付2元1角钱。请问售货员算错了没有？ 解答 A 1．解：因为被5整除个位上的数字是0或5；又因为被3整除，各位数字之和必定是3的倍数。所以得到：15180，15480，15780，15285，15585，15885。 2．解：因为6=2X3，所以个位上的数字是0。则4260，4560，4860。 3．解：如213213=213000+213=213X1000+210=213X（1000+1）=213X1001。而
五年级奥数-数的整除
专题一数的整除 数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题内容之一。 一、基本概念和知识 1.整除 例如：15÷3=5，63÷7=9 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a 能被b整除（或者说b能整除a） 7是63的约数。 2.数的整除性质 性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。 例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a. 即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。 性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。 即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。 例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1, 那么（2×7）｜28。 性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。 即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。 例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。 3.数的整除特征
①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数. ②能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 ③能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 ④能被5整除的数的特征：个位是0或5。 ⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 ⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的 数字之和的差（大减小）是0或11的倍数。 ⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的 数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。 例题1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____。（小五奥数） 解析：已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之。 练习（1）在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除, 方格内应填_____。（小五奥数） 练习（2）已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位_____。 例题 2. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____。 解析：先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和。 (1+2+3+…+100)-（3+6+9+12+…+99） =(1+100)÷2?100-(3+99)÷2?33 =5050-1683=3367 练习所有能被3整除的两位数的和是______。 例题3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____。 练习能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____。 例题4. 173□是个四位数字，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字, 所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除。”问：数学老师先后填入的3个
五年级奥数带余数除法
带余数的除法 月日，宋老师带走进美妙的数学花园! 知识集锦 古代数学书《孙子算经》里，最引人瞩目的是“物不知其数”问题的算法。这种算法有很多种有趣的名称，如“秦王暗点兵”、“韩信点兵”等等，人们还编了许多美妙动人的故事。实质上，这些算法正是带余除法的表现形式。 两个整数相除时，不一定都能整除，当不能整除时，就出现了余数。被除数、除数、商和余数之间有下面关系： 被除数＝除数×商＋余数（0≤余数＜除数）。 例题集合 例1 两个数相除的商是15，余数是11，被除数、除数、商与余数的和是309，那么除数是多少？ 练习1 两个数相除的商是12，余数是26，被除数、除数、商与余数的和等于454，那么除数是多少？ 例2 自然数a除以7余3，自然数b除以7余3，已知a大于b，那么a减b的差除以7，余数是多少？
练习2 已知自然数a除以13余6，自然数b除以13余12。求a加b的和除以13，余数是多少？ 例3 一个三位数被37除余1，被36除余19，那么这个三位数是多少？ 练习3 一个四位数，它被131除时余112，被132除时余98，求这个四位数。 例4 已知一个布袋中装有小球若干个。如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取5个或7个，最后都剩2个。布袋中至少有小球多少个？ 练习4 用卡车运货，每次运9袋余1袋，每次运8袋余3袋，每次运7袋余2袋.这批货至少有多少袋？
例5 某班同学买了310个本子，如果分给每个同学的数量相同，结果还剩下37本，且不能继续平分，问这个班有多少同学？ 练习5 有一篮苹果不足60个，平均分给5名小朋友，多出一个；若平均分给6名小朋友，最后多出3个；若平均分给7名小朋友，最后却多出2个。问这一篮苹果一共有多 少个？ 课堂练习 1、哪些数除以7能使商与余数相同？ 2、474除以一个两位数的余数是6，求适合这个条件的所有两位数。
高斯小学奥数五年级上册含答案_整除问题初步
第一讲整除问题初步 从这一讲开始，我们将会进入一个神奇而美妙的世界：数论. 什么是数论呢？ 人类从学会数数开始，就一直和整数打交道.人们在对整数的应用和研究中， 探索出很多奇妙的数学规律，正是这些富有魅力的规律， 吸引了古往今来的许多数学家， 于是就出现 了数论这门学科. 确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科 . 我们就从最基本的性质一一整除开始，一起在数论的海洋中遨游吧 . X :: 数论在数学中的地位是独特的，伟大的数学家高斯曾经说过：“数学是科学的皇后，数 ;论是数学的皇冠” ? 整除的定义 如果整数a 除以整数 b ( b 0 ),除得的商是整数且没有余数，我们就说a 能被b 整除, 也可以说b 能整除a,记作b | a . 「丁M 丄 ［EfiA I 邑 九牛城帀，琴百捨吧円样的方式冉境OOOKH3C01B.以 G 、乩出卞城布可胯号毀離00001 'oooowjja 序谏次脫锂A- B- C,懵快.軒iHflt 反应境闻瞭面丈旳埠茶逾稲伸只记聲车壇忙￥2. 鼻、4. $、隔一亍？ 貝侔的推列浚记件 yrmir =Flf 面丈谥氓功了毡豪酊r.舌方境出了颯珂停! * w
如果除得的结果有余数，我们就说a 不能被b 整除，也可以说b 不能整除 a. 整除的一些基本性质: 1. 尾数判断法 3.奇偶位求差法 |能被ii 整除的数的特征：“奇位和”与“偶位和”的差能被ii 整除HI 我们把一个数从右往左数的第 1、3、5位，……，统称为奇数位，把一个数从右往左数 的第2、4、6位，，统称为偶数位.我们把“奇数位上的数字之和”简称为“奇位和” 把“偶数位上的数字 之和”简称为“ 偶位和”．F 面我们来看一下如何运用这些性质 . 例题1.判断下面11个数的整除性： 23487, 3568, 8875, 6765, 5880, 7538, 198954, 6512, 93625, 864, 407 (1)这些数中，有哪些数能被 4整除？哪些数能被 8整除？ (2)哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？(3)哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？ (4) 哪些数能被11整除？ 【分析】关于4、8、25、125以及3、9、11的整除特征刚才都已经介绍过了，大家不妨根据整除特性 判断一下. 练习 1.在数列3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314 中哪些数能被 4 整除, 哪些数能被3整除，哪些数能被 11整除？ 如果将例题1中能被3整除的数相加或相减，会发现得到的结果还能被3整除；同样的，如果将其中能被11整除的数相加或相减，会发现得到的结果同样能被 11整除.从中我们可 以总结出如下规律: 和整除性与差整除性：两个数如果都能被自然数 a 整除，那它们的和与差也都能被 a |能被2, 5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除. ||能被4, 25整除的数的特征：末两位能被4或25整除. 1［能被8, 125整除的数的特征：末三位能被8或125整除. 1 数字求和法 能被3, 9整除的数的特征：各位数字之和能被 3或9整除.| (1) (2) (3) 2.
五年级奥数.数论.整除性(A级).教师版
九 进 制 乔治·兰伯特是美国加利福尼亚州一所中学的数学教师，他对数学特别敏感而且有极大的研究兴趣。他常年与数字、公式打交道，深感数学的神秘与魅力。他开始注意一些巧合的事件，力图用数学的方式来破解巧合。 他发现：法国皇帝拿破仑与纳粹元首希特勒相隔一个多世纪，但是他们之间有很多数字巧合。拿破仑1804年执政，希特勒1933年上台，相隔129年。拿破仑1816年战败，希 特勒1945年战败，相隔129年。拿破仑1809年占领维也纳，希特勒在1938 年攻人维也纳，也是相隔129年。拿破仑1812年进攻俄国，希特勒在相隔 129年后进攻苏联。美国第16届总统林肯于1861年任总统，美国第35届 总统肯尼迪于1961年任总统，时隔100年。两人同在星期五并在女人的参 与下被刺遇害。接任肯尼迪和林肯的总统的名字都叫约翰逊。更巧的是， 杀害林肯的凶手出生于1829年，杀害肯尼迪的凶手出生于1929年，相隔 又是100年。 兰伯特被这些数字迷住了，他经常将这些数字翻来覆去地分解组合。 他惊奇地发现，拿破仑和希特勒的巧合数129与林肯和肯尼迪的巧合数100，把它们颠倒过去分别是921和001，用921减去129，用100减去001，得数都能被9除尽：921-129=792，100-001=99；792+9=88，99÷9=11，结果都有一个十位和个位都相同的两位数的商。 兰伯特非常吃惊，他对9着了迷。他发现将l 、2、3、4、5、6、7、8、9加在一起是45，而4+5=9。他还发现，用9乘以任何一个数，将所得到的积的各位数字相加，所得到的和总是9。取任何一个数，比如说2004，将每位数加起来是2+0+0+4=6，用2004减去6结果得到1998，而1998÷9=222，能被9除尽。 他还总结出这样一个规律：把一个大数的各位数字相加得到一个和，再把这个和的各位数字相加又得到一个和。这样继续下去，直到最后的数字之和是一个一位数为止。最后这个数称为最初那个数的“数字根”，这个数字等于原数除；29的余数，这个计算过程被称作是“弃9法”。懂得了弃9法，蓝伯特醒悟了不少，他进而想到，人类不应该10个10个地数数，也不应该12个12个数数，而应该9个9个地数数，实行9进制。 课前预习 数论之整除性
小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析
小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析 数的整除 数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。 一、基本概念和知识 1.整除——约数和倍数 例如：15÷3=5，63÷7=9 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作ba。 如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a 的约数。 例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。
2.数的整除性质 性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。 即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。 例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6）， 并且2｜（10—6）。 性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。 性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c 的积能整除a。 即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。 例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1, 那么（2×7）｜28。 性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。 即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。 例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。
3.数的整除特征 ①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。 ②能被5整除的数的特征：个位是0或5。 ③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 ④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除. ⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 例如：29375＝29000＋375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数.又因为125｜375，所以29375能被125整除.但因为8375，所以829375。
四年级奥数第一讲---数的整除问题
四年级奥数第一讲---数的整除问题
第一讲数的整除问题 一、基本概念和知识： 1、整除： 定义：一般地，如果a，b，c为整数，且a÷b=c，我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。用符号“b| a”表示。 2、因数和倍数： 如果a能被b整除，即a÷b=c 由a÷b=c得：a=b×c，我们就说b（c）是a 的因数（或约数），a是b（c）的倍数. 提醒：一个数的因数个数是有限的，最小因数是１，最大因数是它本身。 练习： 写出下面每个数的所有的因数： 1的因数：__________________； 7的因数：__________________； 2的因数：__________________； 8的因数：__________________； 3的因数：__________________； 9的因数：__________________； 4的因数：__________________； 10的因数：__________________；
5的因数：__________________； 11的因数：__________________； 6的因数：__________________； 12的因数：__________________； 公因数（公约数）：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数（公约数）。 如：3和4的公因数是：___________，6和8的公因数是：___________， 3、质数与合数： 在上面的题目中，我们发现，1只有1个因数，有些数只有2个因数，还有些数有很多因数。根据因数的多少，我们可以把大于1的自然数分为两类：质数与合数。 （１）质数：一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数（素数）。 （２）合数：一个数，除了１和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。 （３）0和１既不是质数，也不是合数。、
五年级奥数_数的整除
开元教育数的整除 姓名_______________ 数的整除特征： ①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。 ②能被5整除的数的特征：个位是0或5。 ③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 ④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 ⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 ⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。 ⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。 ⑧互质6=2*3 88=8*11 ······· 例1、36、60、87、95、104、123、235、396、432、505、606、712、918这些数中。能被2整除的数有________________________________________；是3的倍数的有_________________________________；5的倍数有____________________________。你还能找出哪些数是6的倍数吗？______________________________________。 例2、126、248、368、472、582、1234、5678、2468、2340、97532这些数中能被4整除的数有_______________________________；8的倍数有____________________。你还能找出12的倍数吗？___________________________________。 例3、在□内填上适当的数字，使六位数43217□能被4（或25）整除. 例4、在□内填上合适的数字，使五位数4□32□能被9整除. 例5、在□内填上合适的数字，使□679□能同时被8、9整除. 例6、在□内填上合适的数字，使六位数19□88□能被35整除. 例7、一个六位数586□□□能同时被3、4、5整除，求这样的六位数中最小的一个？ 例8、一年级有72名学生，课间加餐共交了□67.9□元（□内的数字辨认不清），每人交了多少钱？（每人交钱一样多） 例9、一个整数a与108的乘积是一个完全平方数.求a的最小值与这个平方数。 例10、问24共有多少个约数？全部约数之和是多少？ 例11、求240的约数的个数。全部约数之和是多少？ 例12、求1080的约数的个数。
五年级奥数-②数的整除(2)
数的整除（2）(4.9) 姓名_______________ 数的整除特征： ①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。 ②能被5整除的数的特征：个位是0或5。 ③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 ④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 ⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 ⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。 ⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。 例如：判断13574是否是11的倍数？ 解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0。因为0是任何整数的倍数，所以11｜0。因此13574是11的倍数。 例如：判断1059282是否是7的倍数？ 解：把1059282分为1059和282两个数。因为1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282。因此1059282是7的倍数。 例如：判断3546725能否被13整除？ 解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821。再把2821分为2和821两个数，因为821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725. 例1、36、60、87、95、104、123、235、396、432、505、606、712、918这些数
五年级奥数数的整除
五年级奥数数的整除 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】
数的整除（2）(4.9) 姓名_______________ 数的整除特征： ①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。 ②能被5整除的数的特征：个位是0或5。 ③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 ④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 ⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 ⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。 ⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。 例如：判断13574是否是11的倍数？ 解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0。因为0是任何整数的倍数，所以11｜0。因此13574是11的倍数。 例如：判断1059282是否是7的倍数？ 解：把1059282分为1059和282两个数。因为1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282。因此1059282是7的倍数。 例如：判断3546725能否被13整除？ 解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821。再把2821分为2和821两个数，因为821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725. 例1、36、60、87、95、104、123、235、396、432、505、606、712、918这些数中。能被2整除的数有________________________________________；是3的倍数的
五年级奥数 数的整除
1、数的整除 1、既能被30整除，又能被20整除的自然数能被60整除； 既能被 6 整除，又能被 9 整除的自然数能被36整除； 既能被 5 整除，又能被 4 整除，还能被9整除的自然数能被30整除。（填：一定、不一定或一定不） 2、从0、2、 3、7、9这五个数字中选出三个数字组成三位数。在所有这样的三位数中，能被3整除的数多，还是能被9整除的数多？多。多个。 3、有一类自然数：111┅┅1，它的各位数字都是1,并且它们都是7的倍数， 也是37的倍数，还是11的倍数。这样的自然数中最小的一个是。 4、有一类三位数，它能被11整除，如果去掉末位数字，所得的两位数就能被18整除，这样的三位数有哪些？。 5、一个六位数，六个数字各不相同，且是17的倍数。符合条件的最大六位数是。 6、已知8 34B A是72的倍数，则这个A是一个小于40000的五位数，而且8 34B 五位数是。 7、已知六位数12□□21能被3整除，并且是41的倍数。那么符合题意的六位数是。 8、从1、3、5、7、9中的任意取一个数与2、4、6、8中的任意一个数相乘，在所有不同的乘积中有个能被6整除。 9、有一类四位数，能同时被5、6、7整除。如果把这样的四位数按从小到大的顺序排成一列，位于最中间的四位数是。 10、庆祝“六一”国际儿童节，学校买来了7箱水果。其中一箱是香蕉，其余是苹果和桔子，7箱水果分别重：4千克、7千克、8千克、10千克、11千克、13千克、14千克。已知桔子的总重量是苹果的4倍，那么这箱香蕉的重量是千克。 11、若干个小朋友排成一排，从左边第一个小朋友开始，每隔一个小朋友发一个苹果，从右边第一个小朋友开始，每隔二个小朋友发一个桔子，最后有8个小朋友同时拿到了苹果和桔子，这一排小朋友最少可以是人。 12、四个小朋友计算一题两个加数是四位数并且互为倒序数的加法。(如：1537+7351、6124+4216等)甲的答案是：14221；乙的答案是：14222；丙的答案是14223；丁的答案是14224。已知甲、乙、丙、丁四位同学中只有一位同学的结果是正确的。那么做对的同学是谁？为什么？
小学五年级奥数整除练习题
小学五年级奥数整除练习题 1.能被2整除的书的特征：个位上的数字是0. 2.4.6.8的整数，“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数，包括0的整数，必能被2整除；另一方面：能被2整除的数，其个位上的数字只能是偶数。 2.能被5整除的数的特征是：个位是0或5 3.能被3或9整除的数的特征是：各个数位数字之和能被3或9整除 4.能被4或25整除的数的特征是：末两位数能被4或25整除 例：1864=1800+64 因为100是4与25的倍数，所以1800是4和25的倍数。又因为64能被4整除，数以1864能被4整除。但因为64不能被25整除，所以1864不能被25整除。 5.能被8或125整除的数的特征是：末三位数能被8整除。 例：29375=29000+375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8和125的倍数。又因为375能被125整除，所以29375能被125整除。但因为375不能被8整除，所以8不能被29375整除。 6.能被11整除的数的特征是：这个数的奇数位上的数字之和与偶数位上数字之和的差（大减小）是11的倍数 例：判断123456789这九位数能否被11整除 解：这个数的奇数位上的数字之和三个是9+7+5+3+1=25，偶数位上的数字之和是8+6+4+2=20。因为25-20=5，有因为11不能被5整除，所以123456789不能被11整除 再例如：判断13574能否是11的倍数？ 解：这个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字和的差是：（4+5+1）—(7+3)=0因为0是任何整数的倍数，所以11能被0整除。因此13574是11的倍数。
五年级奥数之数的整除
第二讲数的整除 例1：在下面的数中，哪些能被4整除?哪些能被8整除?哪些能被25整除?哪些能被125整除? 100，234，728，7756，6648，2781，1750，8125。 例2：学校为竖笛小组购买了75根竖笛，发票上的总价有两个数字模糊不清，只看到3□7．□元，你知道每根竖笛至少是多少元吗? 例3：一个六位数165□□□能同时被4和9整除，这个六位数最大是多少?最小是多少? 例4：abcabc这个六位数能否被7整除?能否被11整除?能否被13整除?如果能，请说明理由。
例5:173□是四位数，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？ 例6:将自然数1，2，3，…依次写下去组成一个数：12345678910111213…．如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被72整除，那么这个自然数是多少? 例7:自然数中1～100内共有多少个不能被3或11整除的数？
例8：用1，2，3，4，5，6，7，8，9（每个数字用一次）组成三个能被9整除的、和尽可能大的三位数，这三个三位数分别是多少？ 例9：小明的两个衣服口袋中各有13张卡片，每张卡片上分别写着1，2，3，…，13。如果从这两个口袋各拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积，可以得到许多不相等的乘积。那么，其中能够被6整除的乘积共有多少个？ 应用与拓展 1.在下面的□里填上适当的数字。 能被4整除：93，可以填)能被8整除： 错误!
错误! 48 □2， 可以填错误! ) 能被 9 整除：20□308，□可以填( ) 能被 25 整除： 71 ， 可以填 ) 能被 125 整除：□8 50，□可以填( ) 2. 在下面的数中，哪些能被 4 整除，哪些能被 25 整除?哪些能 被 8 整除？哪些能被除 125 整除? ①234②500③789④8865⑤3728⑥8064⑦5125⑧12000 能被 4 整除的数是： 能被 8 整除的数 是 能被 25 整除的数是 能被 125 整除的 数是： 3. 用 2，3，7，8 四个数字组成没有重复数字的四位数，且它是 11 的倍数，并将这些数按从大到小排列出来。
五年级数的整除奥数
五年级数的整除奥数 Revised by Liu Jing on January 12, 2021
五年级数的整除 1、两数之积是5766,它们的最大公约数是31,这两个数分别是多少 2、在长96米的河堤上,每隔4米栽一棵树.现在要改成每隔6米栽一棵,可以不拔出来的树有多少棵？ 3、某校举行一项活动，学生人数在70至80人之间，如果分成8人一组，就有一组多4人；如果分成10人一组，就有四组各少1人，求学生人数。 4、一盒棋子，4枚4枚数多3枚，6枚6枚数多5枚，15枚15枚数多14枚，这盒棋子在150～200枚之间.这盒棋子有多少枚？ 5、有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整既响铃又亮灯下一次既响铃又亮灯是几点？ 6、一个班上体育课，平均2人一个排球，3个人一个足球，4人一个篮球，共需52个球．求这个班最少有多少个学生？ 7、现有4个自然数，它们的和是1111，如果要求这4个数的公约数尽可能地大，那么，这4个数的公约数最大可能是多少？ 8、有12分米长的铜丝12根,18分米长的铜丝9根,24分米长的铜丝10根,把它们截成一样长的铜丝,且无剩余.求截得的铜丝最长是多少分米共截多少根 9、有一箱书，平均分给5个人，余3本，平均分给6个人，余2本；平均分给11个人，余8本，这箱书至少有多少本？
10、用同一自然数去除1 200、1 314、1 048所得的余数都相同，并且比5大，求这个自然数。 11、一块砖长20厘米,宽12厘米,高6厘米.要堆成正方体至少需要这样的砖多少块 12、一个长方形纸，长2703厘米，宽1113厘米，要把它截成若干个同样大小的正方形，纸张不能有剩余，且正方形的边长要尽可能大.这样的正方形的边长是多少厘米？ 13、在周长400米环道外围放花盆,甲乙两人同一起点放起,甲先放,每隔10米放一个花盆,甲放好后,乙去放,每隔8米放一个花盆,按规定,甲放过花盆的地方乙就不能再放,那么跑道外围共放了多少个花盆 14、a、b两个自然数的和是104055，（a，b）=6937，求a、b两数。 15、三个连续自然数在100~200之间，其中最小的有约数3，中间的有约数5，最大有约数7，写出这样的三位数。 16、学生队列，只知人数在50~110之间。排成3列无余；排成5列不足2人；排成7列不足4人。共有学生多少人？ 17、三人隔不同天数到图书馆去一次：甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次.上次他们是星期二在图书馆相遇的，问：还要过多少天他们再次在图书馆相遇相遇时是星期几 18、大雪后的一天,甲和乙两人共同步测一个圆形花池的周长,他俩的起点和走的方向完全相同,甲每步长54厘米,乙每步长72厘米,由于两人的脚印有重合，所以，雪地上只留下60个脚印,求这个花池的周长是多少米。