(完整版)高中数学易错重点知识点梳理
高中数学知识易错点梳理
一、集合、简易逻辑、函数
1．研究集合必须注意集合元素的特征即三性( 确定, 互异, 无序); 已知集合A={x,xy,lgxy}, 集合
B={0, ｜x｜,y}, 且A=B,则x+y=
2．研究集合, 首先必须弄清代表元素, 才能理解集合的意义。已知集合M={y｜y=x 2 ,x ∈R},N={y ｜y=x 2+1,x ∈R}, 求M∩N；与集合M=（{ x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y) ｜y=x2+1,x
∈R}求M∩N的区别。
3．集合 A 、B，A B 时，你是否注意到“极端”情况： A 或B；求集合的
2 a x
子集 A B 时是否忘记. 例如： 2 2 2 1 0
a x 对一切x R 恒成
立，求 a 的取植范围，你讨论了a＝2 的情况了吗？
4．对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次
为2n，2n 1，2n 1，2n 2.如满足条件{1} M {1,2,3,4} 的集合M共有多少个5．解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10 名成员, 每人至少会唱歌和跳舞中的一项, 其中7 人会唱歌跳舞 5 人会, 现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目, 问有多少种不同的选法？
6．两集合之间的关系。M {xx 2k1,k Z}, N {xx 4k 1,k Z}
7．(C U A)∩( C U B) = C U(A ∪B) (C U A) ∪( C U B) = C U(A∩B)；A B B B A；
8、可以判断真假的语句叫做命题.
逻辑连接词有“或”、“且”和“非”.
p、q 形式的复合命题的真值表:
p q P且q P 或q
真真真真
真假假真
假真假真
假假假假
9、命题的四种形式及其相互关系
原命题互逆逆命题
若p 则q 若q 则p
互互
互为互
否逆逆否
否否
否命题
否否
若﹃ｐ则﹃q
否互逆
逆否命题若﹃ｑ则﹃ｐ
原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.
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10、你对映射的概念了解了吗？映射 f ：A→B 中，A 中元素的任意性和 B 中与它对应元素
的唯一性，哪几种对应能够成映射？
11、函数的几个重要性质：
①如果函数y f x 对于一切x R，都有 f a x f a x 或f （2a-x ）=f （x），
那么函数y f x 的图象关于直线x a 对称.
②函数y f x 与函数y f x 的图象关于直线x 0对称；
函数y f x 与函数y f x 的图象关于直线y 0对称；
函数y f x 与函数y f x 的图象关于坐标原点对称.
③若奇函数y f x 在区间0, 上是递增函数，则y f x 在区间,0 上也是
递增函数．
④若偶函数y f x 在区间0, 上是递增函数，则y f x 在区间,0 上是递
减函数．
⑤函数y f x a (a 0) 的图象是把函数y f x 的图象沿x 轴向左平移 a 个单位
得到的；函数y f x a ( (a 0) 的图象是把函数y f x 的图象沿x 轴向右平移
a 个单位得到的；
函数y f x +a (a 0) 的图象是把函数y f x 助图象沿y 轴向上平移 a 个单位得到的; 函数y f x +a(a0) 的图象是把函数y f x 助图象沿y 轴向下平移 a 个
单位得到的.
12、求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？
13、求函数的定义域的常见类型记住了吗？函数y=
x(
4
lg( x
x)
2
3)
的定义域是；
复合函数的定义域弄清了吗？函数 f (x) 的定义域是[0,1], 求 f (log 0.5 x)的定义域. 函数 f ( x) 的定义域是[ a, b ], b a 0, 求函数F(x) f ( x) f ( x)的定义域
14、含参的二次函数的值域、最值要记得讨论。若函数y=a sin
为m, 求m的表达
2x+2cos x- a-2( a∈R) 的最小值
15、函数与其反函数之间的一个有用的结论：设函数y=f(x) 的定义域为A, 值域为C,则
①若a∈A, 则a=f -1 [f(a)]; 若b∈C,则b=f[f -1 (b)]; ②若p∈C, 求 f -1 (p) 就是令p=f(x), 求x.(x ∈A) 即 f 1 a b f b a. 互为反函数的两个函数的图象关于直线
2 / 11
y=x 对称,
16、互为反函数的两个函数具有相同的单调性; 原函数y f x 在区间a,a 上单调递增，
1
则一定存在反函数，且反函数y f x 也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不
一定单调．
17、判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分
条件了吗？在公共定义域内: 两个奇函数的乘积是偶函数; 两个偶函数的乘积是偶函数; 一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数;
18、根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？( 取值, 作差, 判正负.) 可别忘了导数也是判定函数单调性的一种重要方法。
a
19、你知道函数y x a 0 的单调区间吗？（该函数在, a 和a,上单
x
调递增；在a,0 和0, a 上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！
20、解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零
且不等于1）字母底数还需讨论呀.
log b
c n
21、对数的换底公式及它的变形，你掌握了吗？（ b b
log a b , l og n log a ）
a
log a
c
log b ）
22、你还记得对数恒等式吗？（ a b
a
2 bx c 2 ac
23、“实系数一元二次方程0
ax 有实数解”转化为“ b 4 0”，你
2 ac
a 0；当a=0 时，“方程有解”不能转化为 4 0
是否注意到必须
b ．若原
题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情
形？
二、三角、不等式
24、三角公式记住了吗？两角和与差的公式________________ ；二倍角公
式:_________________ 万能公式______________ 正切半角公式____________________；解题时本着“三看”的基本原则来进行: “看角, 看函数, 看特征”, 基本的技巧有: 巧变角, 公式变形使用, 化切割为弦, 用倍角公式将高次降次,
25、在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？正切函数在整个定
义域内是否为单调函数？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？
26、在三角中，你知道 1 等于什么吗？（ 1 sin 2 x cos2 x sec2 x tan2 x
tan x cot x tan sin cos0 这些统称为 1 的代换) 常数“1”的种种
4 2
代换有着广泛的应用．（还有同角关系公式：商的关系，倒数关系，平方关系；诱导公试：
奇变偶不变，符号看象限）
27、在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换．（如
( ) , ( ) ,
2 2 2
等）
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28、你还记得三角化简题的要求是什么吗？项数最少、函数种类最少、分母不含三角函
数、且能求出值的式子，一定要算出值来）
29、你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特
殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次）；你还记得降幂公式吗？
cos 2x=(1+cos2x)/2;sin 2x=(1-cos2x)/2
30、你还记得某些特殊角的三角函数值吗？
（
6 2 6 2 5 1 sin 15 cos 75 , sin 75 cos15 , sin 18 ）
4 4 4
1
31、你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？( l r,S扇形lr )
2
2 2 ( 其中角所在的象限由a, 32、辅助角公式：asin x bcos x a b sin x
b 的符号确定，角的值由
b
tan 确定) 在求最值、化简时起着重要作用.
a
33、三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出他们的单调区、
对称轴，取最值时的x 值的集合吗？（别忘了k Z）
三角函数性质要记牢。函数y= A s in( x ) k 的图象及性质：
2
振幅|A| ，周期T= , 若x=x0 为此函数的对称轴，则x0是使y 取到最值的点，反之亦然，
使y 取到最值的x 的集合为——————————，当0, A 0 时函数的增区间为—————，减区间为—————；当0时要利用诱导公式将变为大于零后再用
上面的结论。
3
五点作图法：令x 依次为0 , , ,2 求出x 与y，依点x, y 作图
2 2
34、三角函数图像变换还记得吗？
平移公式（1）如果点P （x，y）按向量 a h, k 平移至P′（x′，y′），则
'
x x h,
'
y y k.
（2）曲线 f （x，y）=0 沿向量 a h, k 平移后的方程为 f （x-h ，y-k ）=0
35、有关斜三角形的几个结论：(1) 正弦定理: (2) 余弦定理: (3) 面积公式
36、在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它
们各自的取值范围及意义？
①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、向量的夹角的取值范围依次是
0, , [0, ], [0, ] .
2 2
②直线的倾斜角、l到l
2 的角、l1 与l2 的夹角的取值范围依次是[ 0, ), [0, ), (0, ]．
1
2 4 / 11
③反正弦、反余弦、反正切函数的取值
范围
分别
是[ , ], [0, ],( , ) ．
2 2 2 2
37、同向不等式能相减，相除吗？
38、不等式的解集的规范书写格式是什么？（一般要写成集合的表达式）
f x
39、分式不等式 a a 0
g x 的一般解题
思路是什么？（移项
通分，分子分母分解
因式，x 的系数变
为
正
值
，奇穿偶回）
40、解指对不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性,对数的真数大
于零. ）
41、含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？( 一般是根据定义分类讨论)
42、利用重要不等式 a b 2 ab 以及变式
2
a b
ab 等求函数的最值时，你是
2
否注意到a，b R （或 a ，b 非负），且“等号成立”时的条件，积a b 或和a＋b 其
中之一应
是定值
？( 一正二定三相等)
2 2
a b a b 2ab
43、ab , (a ,b R )
2 2 a b
(当且仅当 a b c时，取等号）；
a、b、c R，a2 b2 c2 ab bc ca （当且仅当 a b c时，取等号）；
44、在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底0 a 1或
a 1）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解集是??．
45、解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关
键．”
46、对于不等式恒成立问题，常用的处理方式？（转化为最值问题）
三、数列
47、等差数列中的重要性质：（1）若m n p q ，则m a a a
a ；（2）
n p q 数列{a n }, {a }, {ka } ；S n,S2n S n,S3n S2n仍成等差数列
2 b 仍成等差数列
1 2n n
（3）若三数成等差数列，则
可设
为a-d 、a、a+d；若为
四数则
可设
为a- d
3 、a- 1 d 、a+ 1 d 、
2 2 2
a+ d
3 ；
2
（4）在等差数列中, 求S n的最大( 小)值
,其思路是找出某一项
,使这
项及它前面的项
皆取正
(负)值或0, 而它后面各项皆取负(正)值,则从第一项起到该项的各项的和为最大( 小). 即: 当
a1 >0,d<0, 解不等式组a n ≥0 a n+1 ≤0 可得Sn 达最大值时的n的值;当a1 <0,d>0, 解不
等式组
a n ≤0 an+1 ≥0 可得Sn 达最小值
时
的n的值
;（5）．若an ,b n 是等差数列,Sn ,T n
a
m 分别为a n ,b n 的前n项
和, 则S
2m
T
1
1
a 。.（6）. 若{ a n } 是等差数列，则{n
2m a } 是等比数列，b
m
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若{ a } 是等比数列且a n 0 ，则{ n
a
log a n } 是等差数列.
48、等比数列中的重要性质：（1）若m n p q ，则a m a n a p a q ；（2）S k ，
S2k S ，S3k S2k成等比数列
k
49、你是否注意到在应用等比数列求前n 项和时，需要分类讨论．（q 1时，S n na1 ；
q 1 时，
n
a (1 q )
1 ）S
n 1
q
50、等比数列的一个求和公式：设等比数列a的前n 项和为S n ，公比为q, 则
n
m
S m S q S ．
n m n
51、等差数列的一个性质：设S是数列a n 的前n 项和，a n 为等差数列的充要条件
n
是
S
n
2 （a, b 为常数）其公差是2a. an bn
52、你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若c n a b ，其中a n 是等
n n 差数列，b是等比数列，求c n 的前n 项的和）
n
53、用a
n S S 求数列的通项公式时，你注意到a1 S1 了吗？
n n 1
54、你还记得裂项求和吗？（如
1
n(n 1)
1
n n
1
1
. ）
四、排列组合、二项式定理
55、解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．
56、解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；
定位问题优先法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法，还记得什么时候用隔板法？
57、排列数公式是：组合数公式是：排列数与组合数的关系是：
m m
P ！
n m C
n
组合数性质：m
C
=
n
n
C
n
m m
m
1
C
+C
=
n
n
C m
n 1
n
r
C
n
= n
2 r 0
r r r r r C r C C C C
r 1 r 2 n n 1 1
n 二项式定理：(a b) n C 0a n C1a n 1b C2a n 2b2 C r a n r b r C n b
n n n n n
二项展开式的通项公式：r n r r
T r 1 C a b (r 0，1，2 ，n)
n
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五、立体几何
58、有关平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线// 线线// 面面// 面，线⊥线
线⊥面面⊥面，垂直常用向量来证。
59、作出二面角的平面角主要方法是什么？（定义法、三垂线法）三垂线法：一定平面，
二作垂线，三作斜线，射影可见.
60、二面角的求法主要有：解直角三角形、余弦定理、射影面积法、法向量
61、求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、等体积变换法、法向量法）
62、你记住三垂线定理及其逆定理了吗？
63、有关球面上两点的球面距离的求法主要是找球心角，常常与经度及纬度联系在一
起，你还记得经度及纬度的含义吗？( 经度是面面角；纬度是线面角)
64、你还记得简单多面体的欧拉公式吗？(V+F-E=2 ，其中V为顶点数， E 是棱数， F 为
面数) ，棱的两种算法，你还记得吗？( ①多面体每面为n 边形，则E= n F
2
；②多面体
每个顶点出发有m条棱，则E= m V 2
)
六、解析几何
65、设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，你是否注意到直线垂直于x 轴时，斜率
k 不存在的情况？（例如：一条直线经过点
3
2 y
2
3, ，且被圆x 25 截得的弦2
长为8，求此弦所在直线的方程。该题就要注意，不要漏掉x+3=0 这一解. ）66、定比分点的坐标公式是什么？（起点，中点，分点以及值可要搞清）线段的定比分点坐标公式
设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2），且P1 P PP ，则
2
x x
1
1
x
2
y y
1
1
y
2
中点坐标公式
x x
1
2
x
2
y y
1
2
y
2
若( , ) ( , ) ( , )
A x1 y ，
B x y ，
C x y ，则△ABC 的重心G 的坐标是
1 2 2 3 3
x1 x x y y y
2 3 1 2 3
，。
3 3
67、在利用定比分点解题时，你注意到1了吗？
68、在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几
何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合.
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69、直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式．以及各种形式的局
限性. （如点斜式不适用于斜率不存在的直线）
70、对不重合的两条直线l1 : A1x B1 y C1 0 ，l2 : A2x B2 y C2 0 ，有
A B A B
1 2 2 1
l1 // l ；l1 l2 A1 A2 B1B2 0 ．
2
A C A C
1 2 2 1
71、直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.
x y
72、直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以理解为 1
a b
直线y=kx 在两条坐标轴上的截距都是0，也是截距相等．
，但不要忘记当a=0 时，
73、两直线0
Ax By C 和Ax By C2 0的距离公式d=——————————
1
74、直线的方向向量还记得吗？直线的方向向量与直线的斜率有何关系？当直线L 的
方向向量为m =（x
0，y0）时，直线斜率k=———————；当直线斜率为k 时，直线的方向向量m =—————
75、到角公式及夹角公式———————，何时用？
76、处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离；（2）直线方程与圆的方程
联立，判别式. 一般来说，前者更简捷．
77、处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系.
78、在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形并且要更多联想到圆的几
何性质.
79、在利用圆锥曲线统一定义解题时，你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序？两个
定义常常结伴而用，有时对我们解题有很大的帮助，有关过焦点弦问题用第二定义可能
更为方便。（焦半径公式：椭圆：|PF 1|= ————；|PF2|= ————；双曲线：|PF1 |=
————；
|PF2|= ————（其中F1 为左焦点F2 为右焦点）；抛物线：|PF|=|x 0|+ p
2
）
80、在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为
零？判别式0的限制．（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在0
下进行）.
81、椭圆中，a，b，c 的关系为————；离心率e=————；准线方程为————；焦点到相应准线
距离为————双曲线中，a，b，c 的关系为————；离心率e=————；准线方程为————；
焦点到相应准线距离为————
82、通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.
83、你知道吗？解析几何中解题关键就是把题目中的几何条件代数化，特别是一些很
不起眼的条件，有时起着关键的作用：如：点在曲线上、相交、共线、以某线段为直
径的圆经过某点、夹角、垂直、平行、中点、角平分线、中点弦问题等。圆和椭圆参
数方程不要忘，有时在解决问题时很方便。数形结合是解决解几问题的重要思想方法，
要记得画图分析哟！
84、你注意到了吗？求轨迹与求轨迹方程有区别的。求轨迹方程可别忘了寻求范围呀!
85、在解决有关线性规划应用问题时，有以下几个步骤：先找约束条件，作出可行域，明确
目标函数，其中关键就是要搞清目标函数的几何意义，找可行域时要注意把直线方程中
8 / 11
的y 的系数变为正值。如：求2<5a-2b<4,-3<3a+b<3 求a+b 的取值范围，但也可以不用线性规划。
七、向量
86、两向量平行或共线的条件，它们两种形式表示，你还记得吗？注意 a b 是向量平行
的充分不必要条件。( 定义及坐标表示)
87、向量可以解决有关夹角、距离、平行和垂直等问题，要记住以下公式：| a | 2=a ·a ，
cosθ=
a ?
b x x
1 2
y y
1 2
2 2 2 2 | a x y x y ||b|
1 1
2 2
88、利用向量平行或垂直来解决解析几何中的平行和垂直问题可以不用讨论斜率不存在的
情况，要注意 a ?b 0 是向量a和向量b夹角为钝角的必要而非充分条件。
89、向量的运算要和实数运算有区别：如两边不能约去一个向量，向量的乘法不满足结合律，
即
a(b ?c) (a ?b)c ，切记两向量不能相除。
90、你还记得向量基本定理的几何意义吗？它的实质就是平面内的任何向量都可以用平面
内任意不共线的两个向量线性表示，它的系数的含义与求法你清楚吗？
91、一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，这是题目中的天然条件，要注意运用，
对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边
同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量。
92、向量的直角坐标运算
设a a1 ,a,a, b b ,b ,b, 则
2 3 1 2 3
a b a1 b ,a b ,a b
1 2 2 3 3
a b a1 b ,a b ,a b
1 2 2 3 3
a a1, a2 , a3 R
a b a1b a b a b
1 2 2 3 3
a a a 2 2 2
a1 a a
2 3
cos a, b
2
a
1 a
b
1
1
2
2
a
a b
2 2
2
a
3
2
b
1
a b
3 3
2
2
b
2
b
3
a// b a1 b1 ,a2 b2 ,a3 b3, R
a b a1b a b a b
1 2 2 3 3
设A= x1, y1, z1 , B= x2 , y2, z2 ,
9 / 11
则AB OB OA x2 , y2 , z2 - x1, y1 ,z1 = x2 x1 , y2 y1 , z2 z1
AB AB AB 2 2
x2 x y y z z
1 2 1 2 1
2
八、导数
93、导数的几何意义即曲线在该点处的切线的斜率，学会定义的多种变形。
' n
n ' 1
94、几个重要函数的导数：① C 0 , （C为常数）②x nx n Q
' ' '
导数的四运算法则
95、利用导数可以证明或判断函数的单调性，注意当 f ’(x) ≥0 或f ’(x) ≤0，带上等号。
96、f (x
0 )=0 是函数f(x) 在x0 处取得极值的非充分非必要条件，f(x) 在x0 处取得极值的充
分要条件是什么？
' （2）求方程 f ' x =0 的根97、利用导数求最值的步骤：（1）求导数 f x x1 ,x2 ,, x
n
（3）计算极值及端点函数值的大小
（4）根据上述值的大小, 确定最大值与最小值.
98、求函数极值的方法：先找定义域，再求导，找出定义域的分界点，根据单调性求出极值。
告诉函数的极值这一条件，相当于给出了两个条件：①函数在此点导数值为零，②函数在此点的值为定值。
九、概率统计
99、有关某一事件概率的求法：把所求的事件转化为等可能事件的概率( 常常采用排列组合
的知识) ，转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率，利用对立事件的概率，转化为
相互独立事件同时发生的概率，看作某一事件在n 次实验中恰有k 次发生的概率，但要注意公式的使用条件。
1）若事件A、B 为互斥事件, 则
P（A+B）=P（A）+P（B）
（2）若事件A、B 为相互独立事件, 则
P（A·B）=P（A）·P（B）
（3）若事件A、B 为对立事件, 则
P（A）+P（B）=1
一般地, p A 1 P A
（4）如果在一次试验中某事件发生的概率是p, 那么在n 次独立重复试验中这个事恰好发生
K次的概率
k k
P n K C p 1 p
n
n k
100、抽样方法主要有：简单随机抽样( 抽签法、随机样数表法) 常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常常用于总体个数较多时，它的主要特征就是均衡成若干部分，每一部分只取一个；分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异。它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等。
101、用总体估计样本的方法就是把样本的频率作为总体的概率。
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十、解题方法和技巧
102、总体应试策略：先易后难，一般先作选择题，再作填空题，最后作大题，选择题力保速度和准确度为后面大题节约出时间，但准确度是前提，对于填空题，看上去没有思路或计算太复杂可以放弃，对于大题，尽可能不留空白，把题目中的条件转化代数都有可能得分，在考试中学会放弃，摆脱一个题目无休止的纠缠，给自己营造一个良好的心理环境，这是考试成功的重要保证。
103、解答选择题的特殊方法是什么？( 顺推法，估算法，特例法，特征分析法，直观选择
法，逆推验证法、数形结合法等等)
104、解答填空题时应注意什么？（特殊化，图解，等价变形）
105、解答应用型问题时，最基本要求是什么？（审题、找准题目中的关键词，设未知数、列出函数关系式、代入初始条件、注明单位、答）
106、解答开放型问题时，需要思维广阔全面，知识纵横联系．
107、解答信息型问题时，透彻理解问题中的新信息，这是准确解题的前提．
108、解答多参型问题时，关键在于恰当地引出参变量, 想方设法摆脱参变量的困绕．这当中，参变量的分离、集中、消去、代换以及反客为主等策略，似乎是解答这类问题的通
性通法．
109、学会跳步得分技巧，第一问不会，第二问也可以作，用到第一问就直接用第一问的结论即可，要学会用“由已知得”“由题意得”“由平面几何知识得”等语言来连接，一旦你想来了，可在后面写上“补证”即可。
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高中数学知识点易错点梳理
高考数学考前提醒：高中知识点易错点梳理 一、集合、简易逻辑、函数 1． 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy},集合B={0,｜ x ｜,y},且A=B,则x+y= 2． 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。已知集合M={y ｜y=x 2 ,x ∈R},N={y ｜ y=x 2+1,x ∈R},求M ∩N ；与集合M={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)｜y=x 2 +1,x ∈R}求M ∩N 的区别。 3． 集合 A 、B ，?=?B A 时，你是否注意到“极端”情况：?=A 或?=B ；求集合的子集B A ?时是否忘记?. 例如：()()012222 <--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 的取植范围，你讨论 了a ＝2的情况了吗？ 4． 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2， 12-n ， 12-n .22-n 如满足条件}4,3,2,1{}1{??M 的集合M 共有多少个 5． 解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中 7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？ 6． 两集合之间的关系。{21,}{41,}M x x k k x x k k ==+∈==±∈Z Z 7． (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)；B B A = A B ??； 8、可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”. p 、q 形式的复合命题的真值表: 9、 互 互 互 为 互 否 逆 逆 否 否 否 否 否 否 互 逆 原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假. 10、你对映射的概念了解了吗？映射f ：A →B 中，A 中元素的任意性和B 中与它对应元素的唯一性，哪几 种对应能够成映射？ 11、函数的几个重要性质： ①如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f -=+或f （2a-x ）=f （x ），那么函数()x f y =的图象关于直线a x =对称. ②函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=x 对称； 函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=y 对称； 函数()x f y =与函数()x f y --=的图象关于坐标原点对称. ③若奇函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上也是递增函数． ④若偶函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上是递减函数． ⑤函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的；函数 ()a x f y +=()0(a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的;函数 ()x f y =+a )0( 高中数学必修+选修知识点归纳新课标人教A版 一、集合 1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、常见集合：正整数集合： 或 ，整数集合： ，有理数集合： ，实数集合： . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作 . 2、如果集合 ，但存在元素 ，且 ，则称集合A是集合B的真子集.记作：A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作： .并规定：空集合是任何集合的子集. 4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有 个子集， 个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作： . 2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作： . 3、全集、补集？ §1.2.1、函数的概念 1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合A中的任意一个数 ，在集合B中都有惟一确定的数 和它对应，那么就称 为集合A到集合B的一个函数，记作： . 2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设 那么 上是增函数； 上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设 高一数学知识点梳理最新五篇 高一数学知识点总结1 如果直线a与平面α平行，那么直线a与平面α内的直线有哪些位置关系? 平行或异面。 若直线a与平面α平行，那么在平面α内与直线a平行的直线有多少条?这些直线的位置关系如何? 无数条;平行。 如果直线a与平面α平行，经过直线a的平面β与平面α相 交于直线b，那么直线a、b的位置关系如何?为什么? 平行;因为a∥α，所以a与α没有公共点，则a与b没有公共点，又a与b在同一平面β内，所以a与b平行。 综上分析，在直线a与平面α平行的条件下我们可以得到什么 结论? 如果一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 高一数学知识点总结2 集合常用大写拉丁字母来表示，如：A，B，C…而对于集合中的 元素则用小写的拉丁字母来表示，如：a，b，c…拉丁字母只是相当 于集合的名字，没有任何实际的意义。 将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的，例如： A={…}的形式。等号左边是大写的拉丁字母，右边花括号括起来的，括号内部是具有某种共同性质的数学元素。 常用的有列举法和描述法。 1.列举法﹕常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。{1，2，3，……} 2.描述法﹕常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法 叫做描述法。{x|P}(x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的 元素的共同属性)如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0 3.图示法(venn图)﹕为了形象表示集合，我们常常画一条封闭 的曲线(或者说圆圈)，用它的内部表示一个集合。集合 自然语言常用数集的符号： (1)全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集)，记 作N;不包括0的自然数集合，记作N_ (2)非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作Z+;负整数 集内也排除0的集，称负整数集，记作Z- (3)全体整数的集合通常称作整数集，记作Z (4)全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q。Q={p/q|p∈Z，q∈N，且p，q互质}(正负有理数集合分别记作Q+Q-) (5)全体实数的集合通常简称实数集，记作R(正实数集合记作R+;负实数记作R-) (6)复数集合计作C集合的运算：集合交换律 A∩B=B∩AA∪B=B∪A集合结合律 (A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)集合分配律 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)集合德.摩根 律集合 Cu(A∩B)=CuA∪CuBCu(A∪B)=CuA∩CuB集合“容斥原理”在研 究集合时，会遇到有关集合中的元素个数问题，我们把有限集合A 的元素个数记为card(A)。 高二数学易错知识点归纳五篇 高二这一年，是成绩分化的分水岭，成绩会形成两极分化：行则扶摇直上，不行则每况愈下。下面就是给大家带来的高二数学知识点，希望能帮助到大家！ 高二数学知识点1 1.不等式证明的依据 (2)不等式的性质(略) (3)重要不等式：①|a|≥0;a2≥0;(a-b)2≥0(a、b∈R) ②a2+b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号) 2.不等式的证明方法 (1)比较法：要证明ab(a0(a-b0)，这种证明不等式的方法叫做比较法. 用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——判断符号. (2)综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法. (3)分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法. 证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等. 高二数学知识点2 第一章：集合和函数的基本概念，错误基本都集中在空集这一概念上，而每次考试基本都会在选填题上涉及这一概念，一个不小心就是五分没了。次一级的知识点就是集合的韦恩图，会画图，集合的“并、补、交、非”也就解决了，还有函数的定义域和函数的单调性、增减性的概念，这些都是函数的基础而且不难理解。在第一轮复习中一定要反复去记这些概念，的方法是写在笔记本上，每天至少看上一遍。 第二章：基本初等函数：指数、对数、幂函数三大函数的运算性质及图像。函数的几大要素和相关考点基本都在函数图像上有所体现，单调性、增减性、极值、零点等等。关于这三大函数的运算公式，多记多用，多做一点练习基本就没多大问题。函数图像是这一章的重难点，而且图像问题是不能靠记忆的，必须要理解，要会熟练的画出函数图像，定义域、值域、零点等等。对于幂函数还要搞清楚当指数幂大于一和小于一时图像的不同及 高中数学高考易错知识点归纳 忽视零截距致误 解决有关直线的截距问题时应注意两点：一是求解时一定不要忽略截距为零这种特殊 情况;二是要明确截距为零的直线不能写成截距式。因此解决这类问题时要进行分类讨论，不要漏掉截距为零时的情况。 忽视圆锥曲线定义中条件致误 利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件。如在双 曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值;其二，2a<|F1F2|。如果不满足第一 个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是 双曲线的一支。 误判直线与圆锥曲线位置关系 过定点的直线与双曲线的位置关系问题，基本的解决思路有两个：一是利用一元二次 方程的判别式来确定，但一定要注意，利用判别式的前提是二次项系数不为零，当二次项 系数为零时，直线与双曲线的渐近线平行或重合，也就是直线与双曲线最多只有一个交点;二是利用数形结合的思想，画出图形，根据图形判断直线和双曲线各种位置关系。在直线 与圆锥曲线的位置关系中，抛物线和双曲线都有特殊情况，在解题时要注意，不要忘记其 特殊性。 两个计数原理不清致误 分步加法计数原理与分类乘法计数原理是解决排列组合问题最基本的原理，故理解 “分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提，在解题时，要分析计数对象的本质 特征与形成过程，按照事件的结果来分类，按照事件的发生过程来分步，然后应用两个基 本原理解决.对于较复杂的问题既要用到分类加法计数原理，又要用到分步乘法计数原理，一般是先分类，每一类中再分步，注意分类、分步时要不重复、不遗漏，对于“至少、至多”型问题除了可以用分类方法处理外，还可以用间接法处理。 排列、组合不分致误 为了简化问题和表达方便，解题时应将具有实际意义的排列组合问题符号化、数学化，建立适当的模型，再应用相关知识解决.建立模型的关键是判断所求问题是排列问题还是 组合问题，其依据主要是看元素的组成有没有顺序性，有顺序性的是排列问题，无顺序性 的是组合问题。 混淆项系数与二项式系数致误 高中数学概念总结 一、 函数 1、 若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有非空真子集的个数是22-n 。 二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a b x 2-=，顶点坐标是??? ? ? ?--a b ac a b 4422，。用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即（一般式）c bx ax x f ++=2)(，（零点式）)()()(21x x x x a x f -?-=和n m x a x f +-=2)()( （顶点式）。 2、 幂函数n m x y = ，当n 为正奇数，m 为正偶数， m ),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α= r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。 2、同角三角函数的关系中，平方关系是：1cos sin 2 2 =+αα，αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ； 倒数关系是：1=?ααctg tg ，1csc sin =?αα，1sec cos =?αα； 相除关系是：αααcos sin = tg ，α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如：=-)23sin( απαcos -，)2 15(απ -ctg =αtg ，=-)3(απtg αtg -。 4、 函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ，频 率是πω2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+=+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。 5、 三角函数的单调区间： x y s i n =的递增区间是??? ?? ? + -222 2πππ πk k ，)(Z k ∈，递减区间是????? ? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，tgx y =的递增区间是 ??? ? ? +-22ππππk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。 6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)c o s (βαβαβαs i n s i n c o s c o s = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?± 1 7、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2? cos2α=αα2 2 sin cos -=1cos 22 -α=α2 sin 21- tg2α= α α 2 12tg tg -。 高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 高中数学 必修3知识点 第一章 算法初步 一，算法与程序框图 1，算法的概念：按一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。 2，算法的三个基本特征：明确性，有限性，有序性。 （1）顺序结构：顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤。 （2）条件结构：条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。 （3）循环结构：直到型循环结构，当型循环结构。一个完整的循环结构，应该包括三个内容：1）循环体；2）循环判断语句；3）与循环判断语句相关的变量。 二，基本算法语句（一定要注意各种算法语句的正确格式） 1，输入语句 2，输出语句 3，赋值语句 注意：“=”的含义是赋值，将右边的值赋予左边的变量 4，条件语句 5，循环语句： 直到型 当型 注意：提示内容用双引号标明，并 与变量用分号隔开。 三，算法案例 1，辗转相除法： 例：求２１４６与１８１３的最大公约数 ２１４６＝１８１３×１＋３３３ １８１３＝３３３×５＋１４８ ３３３＝１４８×２＋３７ １４８＝３７×４＋０ ．．．．．．．．．．．．．．余数为０时计算终止。 为最大公约数 2，更相减损术：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。 3，秦九韶算法：将1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 改写成 1210()(()))n n n f x a x a x a x a x a --=+++++ 再由内及外逐层计算。 4，进位制：注意K 进制与十进制的互化。 1）例：将三进制数(3)10212化为十进制数 10212(3)=2+1×3+2×32+0×33+1×34=104 2）例：将十进制数１０４化为三进制数 １０４＝３×３４＋２ ．．．．．．． 最先出现的余数是三进制数的最右一位 ３４＝３×１１＋１ １１＝３×３＋２ ３＝３×１＋０ １＝３×０＋１ ．．．．．．．．．．．． 商数为0时计算终止 １０４=(3)10212 第二章 统计 一，随机抽样 1，简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽取到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。（关键词）逐个，不放回，机会相等 2，随机数表法的步骤： 1）编号； 2）确定起始数字；3）按一定规则读数（所读数不能大于最大编号，不能重复）。 3，系统抽样的步骤： 1）编号； 2）分段（若样本容量为n ，则分为n 段）；分段间隔N k n = ，若N n 不是整数，则剔除余数，再重新分段； 3）在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号； 4）按照 一定的规则在后面每段内各取一个编号，组成整个样本。 4，分层抽样的步骤： 1）确定抽样比； 2）根据个体差异分层，确定每层的抽样个体数（抽样比乘以各层的个体数，如果不是整数，则通过四舍五入取近似值）；3）在每一层内抽取样本（个体数少就用简单随机抽样，个体数多则用系统抽样），组成整个样本。 5，三种抽样方法的异同点 直到型和当型循环可以相互演变，循环体相同，条件恰好互补。 高中数学易错题集锦 指导教师：任宝安 参加学生：路栋胡思敏 李梅张大山 ?【例1②×2①×2③+b a 和 993)3(f ∴3 3在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】解下列各题 (1) 设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是 思路分析本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα 有的学生一看到4 49 - ，常受选择答案（A ）的诱惑，盲从附和，这正是思维缺乏反思性的体现。如 果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。 原方程有两个实根βα、 ∴0)6k (4k 42≥+-=??.3k 2k ≥-≤或 当3≥k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是8； 当2-≤k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是18 这时就可以作出正确选择，只有（B ）正确。 (2)已知(x+2)2+=1,求x 2+y 2的取值范围。 错解∴当分析∴ x 2 【例3错解)2的最小 值是分析2 1 ,第二 原式 由ab ∴原式≥2×17+4=2(当且仅当a=b=2时，等号成立)， ∴(a+a 1)2+(b+b 1 )2的最小值是。 ●不进行分类讨论，导致错误 【例4】已知数列{}n a 的前n 项和12+=n n S ，求.n a 错误解法.222)12()12(1111----=-=+-+=-=n n n n n n n n S S a 错误分析显然，当1=n 时，1231111=≠==-S a 。 错误原因：没有注意公式1--=n n n S S a 成立的条件是。 教师版高中数学必修+选修知识点归纳 安徽·合肥郭建德老师整理 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线 与平面、平面与平面、棱柱、 棱锥、球、空间向量 ⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二 项式定理及其应用 ⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、 抽样、正态分布 ⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用 ⒀复数：复数的概念与运算 必修1数学知识点 第一章：集合与函数概念 § 高中数学易错知识点梳理 高中数学易错知识点梳理 集合与简单逻辑 第一、遗忘空集是任何非空集合的真子集，因此对于集合B，就有B=A、φ≠B、B≠φ三种情况出现。在实际解题中，如果考生思 维不够缜密，就有可能忽视第三种情况，导致结果出错。尤其是在 解含有参数的集合问题时，要充分注意当参数在某个范围内取值时 所给的集合可能是空集这种情况。空集是一个特殊集合，考生因思 维定式遗忘集合导致结果出错或不全面是常见的错误，一定要倍加 当心。 第二、忽视集合元素的三性集合元素具有确定性、无序性、互异性的特点，在三性中，数互异性对答题的影响最大，尤其是带有字 母参数的集合，实际上就隐含着对考生字母参数掌握程度的要求。 在考场答题时，考生可先确定字母参数的范围，再一一具体解决。 在否定一个命题时，要记住“全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题”的规律。如对“a，b都是偶数”的否定应该是“a，b不都是偶数”，不是“a，b都是奇数”。 第四、充分必要条件颠倒两个条件A与B，若A=>B成立，则A 是B的充分条件，B是A的必要条件;若B=>A成立，则A是B的必 要条件，B是A的充分条件;若A<=>B，则AB互为充分必要条件。考生在解这类题时最容易出错的点就是颠倒了充分性与必要性，一定 要根据充要条件的概念作出准确的判断。 第五、逻辑联结词理解不准确 p∨q真<=>p真或q真，p∨q假<=>p假且q假(概括为一真即真); p∧q真<=>p真且q真，p∧q假<=>p假或q假(概括为一假即假); ┐p真<=>p假，┐p假<=>p真(概括为一真一假)。 函数与导数 第一、求函数定义域题忽视细节函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，考生想要在考场上准确求出定义域，就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数的定义域。 在求一般函数定义域时，要注意以下几点：分母不为0;偶次被开放式非负;真数大于0以及0的0次幂无意义。函数的定义域是非空的数集，在解答函数定义域类的题时千万别忘了这一点。复合函数要注意外层函数的定义域由内层函数的值域决定。 第二、带绝对值的函数单调性判断错误带绝对值的函数实质上就是分段函数，判断分段函数的单调性有两种方法：第一，在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间，然后对各个段上的单调区间进行整合;第二，画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质能够进行直观的判断。函数题离不开函数图象，而函数图象反应了函数的所有性质，考生在解答函数题时，要第一时间在脑海中画出函数图象，从图象上分析问题，解决问题。 对于函数不同的单调递增(减)区间，千万记住，不要使用并集，指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可。 在用定义进行判断时，要注意自变量在定义域区间内的任意性。 第四、抽象函数推理不严谨很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同“特征”而设计的，在解答此类问题时，考生可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数。多用特殊赋值法，通过特殊赋可以找到函数的不变性质，这往往是问题的突破口。 抽象函数性质的证明属于代数推理，和几何推理证明一样，考生在作答时要注意推理的严谨性。每一步都要有充分的条件，别漏掉条件，更不能臆造条件，推理过程层次分明，还要注意书写规范。 高中数学基础知识整合 函数与方程区间建立函数模型 抽象函数复合函数分段函数求根法、二分法、图象法；一元二次方程根的分布 单调性：同增异减赋值法，典型的函数 零点函数的应用 A 中元素在 B 中都有唯一的象；可一对一（一一映射），也可多对一，但不可一对多 函数的基本性质 单调性奇偶性周期性 对称性 最值 1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性。 2.复合函数单调性：同增异减。 1.先看定义域是否关于原点对称，再看f (-x )=f (x )还是-f (x ). 2.奇函数图象关于原点对称，若x =0有意义，则f (0)=0. 3.偶函数图象关于y 轴对称，反之也成立。 f (x +T)=f (x )；周期为T 的奇函数有：f (T)=f (T/2)= f (0)=0.二次函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、线性规划、导数、利用单调性、数形结合等。 函数的概念 定义 列表法解析法图象法 表示三要素使解析式有意义及实际意义 常用换元法求解析式 观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、重要不等式、三角法、图象法、线性规划等 定义域 对应关系值域 函数常见的几种变换平移变换、对称变换翻折变换、伸缩变换 基本初等函数正（反）比例函数、一次（二次）函数幂函数 指数函数与对数函数三角函数 定义、图象、性质和应用 函数 映 射 第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分 退出 上一页 第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分 导数 导数概念函数的平均变化率运动的平均速度曲线的割线的斜率 函数的瞬时变化率运动的瞬时速度曲线的切线的斜率 ()()的区别 与0x f x f ' '0 t t t v a S v ==，() 0' x f k =导数概念 基本初等函数求导 导数的四则运算法则简单复合函数的导数()()()()()()()().ln 1ln ln 1 log sin cos cos sin 0''' ' 1' 'x x x x a n n e e a a a x x a x x x x x x nx x c c ==== -====-；；；；；；； 为常数()()()()[]()() ()()[]()()()()()()()()()()()[]2)3()2()1(x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f -=? ? ????+=?±=±是可导的，则有：，设()()[]()() x u u f x g f ' ' ' ?=1.极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点； 2.闭区间一定有最值，开区间不一定有最值。导数应用函数的单调性研究函数的极值与最值 曲线的切线变速运动的速度生活中最优化问题 ()()()(). 00''在该区间递减在该区间递增，x f x f x f x f ?1.曲线上某点处切线，只有一条；2.过某点的曲线的切线不一定只一条，要设切点坐标。 一般步骤：1.建模，列关系式；2.求导数，解导数方程；3.比较区间端点函数值与极值，找到最大（最小）值。 定 积分与微积分 定积分概念 定理应用 性质定理含意微积分基本 定理 曲边梯形的面积变力所做的功 ()的极限 和式i n i i x f ?∑-=1 1 ξ定义及几何意义 1.用定义求：分割、近似代替、求和、取极限； 2.用公式。 ()()()()[]()()()()()()()() c b a dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x g dx x f dx x g x f dx x f k dx x kf c b b a c a a b b a b a b a b a b a b a <<=-=±=±=?????????? .；；；()()()()()() 莱布尼兹公式牛顿则若--==?a F b F dx x f x f x F b a ,'1.求平面图形面积；2.在物理中的应用（1）求变速运动的路程： （2）求变力所作的功； ()?=b a dx x F W ()dt t v s a b ?= 高中数学37个易错知识点汇总分析 为了帮助同学们复习备考，减少不必要的丢分，下面对高中数学易错知识点37个进行汇总分析，供同学们参考。 1．在应用条件A∪B＝B，A∩B＝A 时，易忽略A是空集Φ的情况。 2．求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则，尤其是在与实际生活相联系的应用题中，判断两个函数是否是同一函数也要判断函数的定义域，求三角函数的周期时也应考虑定义域。 3．判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称，优先考虑定义域对称。 4．解对数不等式时，易忽略真数大于0、底数大于0且不等于1这一条件。 5．用判别式法求最值（或值域）时，需要就二次项系数是否为零进行讨论，易忽略其使用的条件，应验证最值。 6．用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为0。尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略。 7．用均值定理求最值（或值域）时，易忽略验证“一正（几个数或代数式均是正数）二定（几个数或代数式的和或者积是定值）三等（几个数或代数式相等）”这一条件。 8．用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性。 9．求反函数时，易忽略求反函数的定义域。 10．求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”；单调区间不能用集合或不等式表示，而应用逗号连接多个区间。 11．用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ＝1的情况。 12．已知Sn求a n 时，易忽略n＝1的情况。 13．用直线的点斜式、斜截式设直线的方程时，易忽略斜率不存在的情况；题目告诉截距相等时，易忽略截距为0的情况。 14.求含系数的直线方程平行或者垂直的条件时，易忽略直线与x轴或者y 轴平行的情况。 15．用到角公式时，易将直线L 1、L 2 的斜率ｋ 1 、ｋ 2 的顺序弄颠倒；使用到 高中数学必修+选修知识点归纳 新课标人教A版 一、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总 体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无 序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个 集合相等。 3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合： Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任 意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是 集合B 的子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?， 则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定： 空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子 集，21n -个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成 的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A Y . 2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素 组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A I . 3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念 1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应 关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值 域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完 全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则： ()()21x f x f -=… (2)导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数； 若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. §1.3.2、奇偶性 1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为 偶函数.偶函数图象关于y 轴对称. 2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为 奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接：函数与导数 1、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义： 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在 ))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方 程是))((000x x x f y y -'=-. 2、几种常见函数的导数 ①' C 0=；②1 ' )(-=n n nx x ； 高中数学知识易错点梳理 一、集合、简易逻辑、函数 1． 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy}, 集合 B={0,｜x ｜,y},且A=B,则x+y= 2． 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。已知集合M={y ｜y=x 2 ,x ∈ R},N={y ｜y=x 2 +1,x ∈R},求M ∩N ；与集合M={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)｜y=x 2 +1,x ∈R}求M ∩N 的区别。 3． 集合 A 、B ，?=?B A 时，你是否注意到“极端”情况：?=A 或?=B ；求集合的 子集B A ?时是否忘记?. 例如：()()012222 <--+-x a x a 对一切R x ∈恒成 立，求a 的取植范围，你讨论了a ＝2的情况了吗？ 4． 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次 为，n 2，12-n ，12-n .22-n 如满足条件}4,3,2,1{}1{??M 的集合M 共有多少个 5． 解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？ 6． 两集合之间的关系。},14{},,12{Z k k x x N Z k k x x M ∈±==∈+== 7． (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)；B B A =I A B ??； 8、可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”. p 、q 形式的复合命题的真值表: 9、 否 原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假. 人教版高中数学知识点（必修＋选修） 高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子 集，它有2 2n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 B {x A A = ?=? B A ? B B ? B {x A A A = A A ?= A B A ? B B ? A {|x x ()U A =? e 2()U A A U =e 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 （1）含绝对值的不等式的解法 （2）一元二次不等式的解法 0) ()()()U U A B A B =痧?()()() U U A B A B =痧?高中数学知识点总结(精华版)
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