2016年中考数学模拟试题汇编 专题39 开放性问题

开放性问题一.解答题1.（2016·河北石家庄·一模）如图，抛物线y=﹣x2+x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）（1）求直线AB的函数关系式；（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N．设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s 与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）由题意易求得A与B的坐标，然后有待定系数法，即可求得直线AB的函数关系式；（2）由s=MN=NP﹣MP，即可得s=﹣t2+t+1﹣（t+1），化简即可求得答案；（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，即可得方程：﹣ t2+t=，解方程即可求得t的值，再分别分析t取何值时四边形BCMN为菱形即可．【解答】解：（1）∵当x=0时，y=1，∴A（0，1），当x=3时，y=﹣×32+×3+1=2.5，∴B（3，2.5），设直线AB的解析式为y=kx+b，则：，解得：，∴直线AB的解析式为y=x+1；（2）根据题意得：s=MN=NP﹣MP=﹣t2+t+1﹣（t+1）=﹣t2+t（0≤t≤3）；（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，此时，有﹣t2+t=，解得t1=1，t2=2，∴当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形．①当t=1时，MP=，NP=4，故MN=NP﹣MP=，又在Rt△MPC中，MC=，故MN=MC，此时四边形BCMN为菱形，②当t=2时，MP=2，NP=，故MN=NP﹣MP=，又在Rt△MPC中，MC=，故MN≠MC，此时四边形BCMN不是菱形．【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式，线段的长与函数关系式之间的关系，平行四边形以及菱形的性质与判定等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是数形结合思想的应用．2.（2016·河北石家庄·一模）如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°∠EDF=30°，【操作1】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q．在旋转过程中，如图2，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明．【操作2】在旋转过程中，如图3，当时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由．【总结操作】根据你以上的探究结果，试写出当时，EP与EQ满足的数量关系是什么？其中m的取值范围是什么？（直接写出结论，不必证明）m．第2题【考点】相似形综合题．【分析】（操作1）连接BE，根据已知条件得到E是AC的中点，根据等腰直角三角形的性质可以证明DE=CE，∠PBE=∠C．根据等角的余角相等可以证明∠BEP=∠CEQ．即可得到全等三角形，从而证明结论；（操作2）作EM⊥AB，EN⊥BC于M、N，根据两个角对应相等证明△MEP∽△NWQ，发现EP：EQ=EM：EN，再根据等腰直角三角形的性质得到EM：EN=AE：CE；（总结操作）根据（2）中求解的过程，可以直接写出结果；要求m的取值范围，根据交点的位置的限制进行分析．【解答】（操作1）EP=EQ，证明：连接BE，根据E是AC的中点和等腰直角三角形的性质，得：BE=CE，∠PBE=∠C=45°，∵∠BEC=∠FED=90°∴∠BEP=∠CEQ，在△BEP和△CEQ中，∴△BEP≌△CEQ（ASA），∴EP=EQ；如图2，EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2，理由是：作EM⊥AB，EN⊥BC于M，N，∴∠EMP=∠ENC，∵∠MEP+∠PEN=∠PEN+∠NEF=90°，∴∠MEP=∠NEF，∴△MEP∽△NEQ，∴EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；如图3，过E点作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，∵在四边形PEQB中，∠B=∠PEQ=90°，∴∠EPB+∠EQB=180°，又∵∠EPB+∠MPE=180°，∴∠MPE=∠EQN，∴Rt△MEP∽Rt△NEQ，∴=，Rt△AME∽Rt△ENC，∴=m=，∴=1：m=，EP与EQ满足的数量关系式1：m，即EQ=mEP，∴0＜m≤2+，（因为当m＞2+时，EF和BC变成不相交）．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理的能力，证明过程类似．3.（2016·河大附中·一模）(本题满分9分)如图(1)，线段AB=4，以线段AB为直径画☉O，C为☉O上的动点，连接OC，过点A作☉O的切线与BC的延长线交于点D，E为AD的中点，连接CE．(1)求证：CE是☉O的切线；第2题(2)①当CE= 时，四边形AOCE为正方形？②当CE= 时，△CDE为等边三角形时？答案：4.（2016·河大附中·一模）（本题满分10分）在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC 上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC.问题发现：(1)如果AB=AC，∠BAC=90°，当点D在线段BC上时（不与点B重合），如图1，请你判断线段CE，BD之间的位置．．关系（直接写出结论）；．．关系和数量拓展探究：(2)如果AB=AC，∠BAC= 90°，当点D在线段BC的延长线上时，如图2，请判断①中的结论是否仍然成立，如成立，请证明你的结论。

问题解决：(3)如图3，A B≠AC，∠BAC≠90。

，若点D在线段BC上运动，试探究：当锐角∠ACB等于度时，线段CE和BD之间的位置关系仍然成立（点C、E重合除外）。

此时作DF⊥AD交线段CE于点F，AC=32，线段CF长的最大值是．答案：第4题答案：5. （2016·黑龙江大庆·一模）（本题9分）在平面直角坐标系中，有三点A （-1，0），B （0，3错误！未找到引用源。

），C （3，0）． （1）求过点A 、B 、C 的抛物线的解析式；（2）如图1，在线段AC 上有一动点P ，过P 点作直线PD ∥AB 交BC 于点D ，求出△PBD 面积的最大值；（3）如图2，在（2）的情况下，在抛物线上是否存在一点Q ，使△QBD 的面积与△PBD 面积相等，如存在，直接写出Q 点坐标，如不存在，请说明理由．第5题图1 图2 答案：解:（1）∵所求的函数解析式过A （-1，0），B （0，3），C （3，0），∴设所求的函数解析式为：()()13y a x x =+-，当0x =，3y =时，()()01033a +-=，解得：a =，∴所求的函数解析式为: )()13y x x =+-或2y x x =++． 2分 （2）∵A （-1，0），B （0，），C （3，0），OA =1，OB =3，OC =3，OB ⊥AC ，∴在Rt△AOB 和Rt△BOC 中，tan∠BAO=BOAO=BCO=BO CO = ∴∠BAO =60°，∠BCO =30°则∠ABC =90°，∴AB ⊥BC ，∴BC =2OB =32； 又∵AB ⊥BC ，PD //AB ，∴PD ⊥AC ，∵P 在线段AC 上，设P （m ，0），∴PC =3m -=3-m ∵∠BCO =30°，PD ⊥AC ，∴PD =12PC =()132m -； DC =cos PCD PC ⋅=()cos303m ︒⋅-()3m -， BD =BC -DC=()3m -，∴()1113222PBD S BD PD m ∆=⋅=⨯-=)21m -+， ∴△PBD；（3）1Q），2Q），3Q （1），4Q （2）．图1 图26. （2016·黑龙江齐齐哈尔·一模）（本题8分）如图，过点A （-1，0）、B （3，0）的抛物线y=-x 2+b x +c 与y 轴交于点C ，它的对称轴与x轴交于点E .求抛物线解析式；求抛物线顶点D 的坐标；若抛物线的对称轴上存在点P 使POB POC S 3S =△△，求此时DP 的长.答案 ：解：（1）y=-x 2+2x+3； （2）D （1，4）； （3）1或7.7.（2016·黑龙江齐齐哈尔·一模）（本题12分）如图，矩形ABCD 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点D 在y 轴的正半轴上，点B 、点C 在第一象限，sin ∠线段AD 、AB 的长分别是方程211240x x -+=的两根（AD ＞AB ）． （1）求点B 的坐标；（2）求直线AB 的解析式；（3）在直线AB 上是否存在点M ，使以点C 、点B 、点M 为顶点的三角形与△OAD 相似？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 答案：（1）过点B 作BE⊥x 轴于点E. 解方程211240x x -+=得123,8x x ==. ∵AD>AB-13AB C x O yD E∴AD=8，AB=3.∵sin,∴∠OAD=60°.∴∠BAE=30°OA=AD×cos60°=4BE=AB×sin30°=32∴B点的坐标为（342+）（2）设直线AB的解析式为y=k x+b(k≠0).则043(42k bk b=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩kb∴直线AB的解析式为错误！未找到引用源。

（3）存在，13M(82-+-，、23M(162++，、33M(82+，、43M2-，8. （2016·湖北襄阳·一模） (本题11分）如图，在正方形ABCD中，AB=5，P是BC边上任意一点，E是BC延长线上一点，连接AP，作PF⊥AP，使PF＝PA，连接CF，AF，AF交CD边于点G，连接PG．（1）求证：∠GCF＝∠FCE；（2）判断线段PG，PB与DG之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若BP＝2，在直线AB上是否存在一点M，使四边形DMPF是平行四边形，若存在，求出BM的长度，若不存在，说明理由．第8题答案：（1）证明：过点F作FH⊥BE于点H，∵四边形ABCD是正方形，B CDEP∴∠ABC ＝∠PHF ＝∠DCB ＝90º,AB ＝BC ， ∴∠BAP ＋∠APB ＝90º ∵AP ⊥PF,∴∠APB ＋∠FPH ＝90º ∴∠FPH ＝∠BAP 又∵AP ＝PF ∴△BAP ≌△HPF ∴PH ＝AB ，BP ＝FH ∴PH ＝BC∴BP ＋PC ＝PC ＋CH ∴CH ＝BP ＝FH而∠FHC ＝90º. ∴∠FCH ＝CFH ＝45º ∴∠DCF ＝90º－45º＝45º ∴∠GCF ＝∠FCE （2）PG ＝PB ＋DG证明：延长PB 至K ，使BK=DG, ∵四边形ABCD 是正方形 ∴AB=AD, ∠ABK ＝ADG=90º ∴△ABK ≌△ADG∴AK=AG, ∠KAB ＝∠GAD, 而∠APF=90 º,AP=PF ∴∠PAF ＝∠PFA ＝45 º∴∠BAP ＋∠KAB ＝∠KAP ＝45 º＝∠PAF ∴△KAP ≌△GAP ∴KP=PG,∴KB ＋BP=DG ＋BP ＝PG 即，PG ＝PB ＋DG ； （3）存在.如图，在直线AB 上取一点M ，使四边形DMPF 是平行四边形， 则MD ∥PF ，且MD ＝FP ， 又∵PF=AP ， ∴MD=AP∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=AD ，∠ABP=∠DAM ∴△ABP ≌△DAM ∴AM ＝BP=2，∴BM ＝AB －AM=5－2=3.∴当BM=3，BM+AM=AB 时，四边形DMPF 是平行四边形． 9.（2016·湖北襄阳·一模）（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，二次函数22++=bx ax y 的图象与x 轴交于A （－3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使△ACP 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）点Q 是直线AC 上方的抛物线上一动点，过点Q 作QE 垂直于x 轴，垂足为E ．是否存在点Q ，使以点B 、Q 、E 为顶点的三角形与△AOC 相似？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由；第9题答案：解：（1）由抛物线22++=bx ax y 过点A （－3，0），B （1，0）， 则⎩⎨⎧++=+-=202390b a b a解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=3432b a∴二次函数的关系解析式234322+--=x x y ． （2）连接PO ，作PM⊥x 轴于M ，PN⊥y 轴于N ．…4分 设点P 坐标为（m ，n ），则234322+--=m m n ． PM =234322+--m m ，m PN -=，AO=3．（5分） 当0=x 时，2034032+⨯-⨯-=y ＝２．∴OC=2．ACO PCO PAo ACP S S S S ∆∆∆∆-+=＝CO AO PN CO PM AO ⋅-⋅+⋅212121 ＝2321)(221)23432(3212⨯⨯--⨯⨯++--⨯⨯m m m ＝m m 32--．8分∵a ＝－１＜0，∴当23-=m 时，函数=∆ACP S m m 32--有最大值．此时=+--=234322m m n 2)23(34)23(322+-⨯--⨯-＝25．∴存在点)25,23(-P ，使△ACP 的面积最大．11 （3）存在点Q ，坐标为：)2,2(1-Q ，)821,43(2-Q ． 分△BQE∽△AOC，△EBQ∽△AOC，△QEB∽△AOC 三种情况讨论可得出．10. (2016·上海闵行区·二模)如果一个四边形的两条对角线相等，那么称这个四边形为“等对角线四边形”．写出一个你所学过的特殊的等对角线四边形的名称 矩形 ．【考点】多边形．【专题】新定义；开放型．【分析】我们学过的等腰梯形、矩形、正方形的对角线相等，任选一个即可．【解答】解：矩形、正方形的两条对角线相等．故答案为：矩形．【点评】本题考查了多边形，知道我们学过的等腰梯形、矩形、正方形的对角线相等是解题的关键．。