安徽2015届高考数学二轮专项训练之集合与函数课时提升训练(13)Word版含答案

集合与函数课时提升训练（13）
1、已知集合，若集合，且对
任意的，存在，使得（其中
），则称集合为集合的一个元基底.（Ⅰ）分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由；
①，；②，.
（Ⅱ）若集合是集合的一个元基底，证明：；
（Ⅲ）若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底.
2、若集合具有以下性质：①，；②若，则，且时，.
则称集合是“好集”.（Ⅰ）分别判断集合，有理数集是否是“好集”，并说明理由；
（Ⅱ）设集合是“好集”，求证：若，则；（Ⅲ）对任意的一个“好集”
，分别判断下面命题的真假，并说明理由.命题：若，则必有；命题：若，且，则必有；
3、若为集合且的子集，且满足两个条件：
①；②对任意的，至少存在一个，使
或.
则称集合组具有性质.如图，作行列数表，定义数表中的第行第列的
数为.
（Ⅰ）当时，判断下列两个集合组是否具有性质，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；
集合组1：；集合组2：. （Ⅱ）当时，若集合组具有性质，请先画出所对应的行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合；（Ⅲ）当时，集合组是具有性质
且所含集合个数最小的集合组，求的值及的最小值.（其中表示集合所含元素的个数）
4、已知函数在区间上为增函数，且。

（1）当时，求的值；（2）当最小时，①求的值；②若
是图象上的两点，且存在实数使得
，证明：。

5、（本小题满分14分）对于函数和，若存在常数，对于任意，不等式都成立，则称直线是函数的分界线. 已知函数为自然对数的底，为常数）.
(Ⅰ)讨论函数的单调性；(Ⅱ)设，试探究函数与函数是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由.
6、设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）．记集合
S=若，分别为集合元素S，T的元素个数，则下列结论不可能的是
A．=1且=0 B．C．=2且=2 D．=2且=3
7、设，已知函数的定义域是，值域是，若函数
g(x)=2︱x-1︱+m+1有唯一的零点，则（）
A．2 B． C．1 D．0 8、已知函数，在定义域[-2，2]上表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为．有以下命题：①是奇函数；②若在内递减，则的最大值为4；③的最大值为，最小值为，则；④若对
，恒成立，则的最大值为2．其中正确命题的个数为
A .1个 B. 2个 C .3
个 D. 4个
11、设函数的最大值为，最小值为，那么.
12、（本小题满分14分）已知函数（Ⅰ）求函数的定义域，并证明
在定义域上是奇函数；
（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）当时，试比较与的大小关系．
13、对于实数，称为取整函数或高斯函数，亦即是不超过的最大整数.例如：
.直角坐标平面内，若满足，则的取值范
围
1、解：（Ⅰ）①不是的一个二元基底.理由是
；
②是的一个二元基底.
理由是，
.
（Ⅱ）不妨设，则形如
的正整数共有个；
形如的正整数共有个；形如的正整数至多有个；
形如的正整数至多有个.又集合含个不同的正整数，为集合的一个元基底.故，即. （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所以.当时，，即用基底中元素表示出的数最多重复一个. *假设为的一个4元基底，不妨设，则.
当时，有，这时或.如果，则由
，与结论*矛盾.如果，则或.易知和都不是的4元基底，矛盾.当
时，有，这时，，易知不是
的4元基底，矛盾.当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，，
，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有
，，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，均不可能是的4元基底.当时，的一个基底
；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可.综上，的最小可能值为5.
2、解：（Ⅰ）集合不是“好集”. 理由是：假设集合是“好集”. 因为，，所以. 这与矛盾. 有理数集是“好集”. 因为，,对任意的，有，且时，.
所以有理数集是“好集”.
（Ⅱ）因为集合是“好集”，所以.若，则，即.所以
，即.
（Ⅲ）命题均为真命题. 理由如下：对任意一个“好集”，任取，
若中有0或1时，显然.下设均不为0，1. 由定义可知：.
所以，即.所以. 由（Ⅱ）可得：，即. 同理可得.若或，则显然.若
且，则.
所以.所以由（Ⅱ）可得：.
所以.
综上可知，，即命题为真命题.若，且，则.所以
，即命题为真命题.
3、（Ⅰ）解：集合组1具有性质. 所对应的数表为：集合组2不具有性质. 因为存在，有
，与对任意的，都至少存在一个，有或矛盾，所以集合组
不具有性质. （Ⅱ注：表格中的7行可以交换得到不同的表格，它们所对应的集合组也不同）
（Ⅲ）设所对应的数表为数表，因为集合组为具有性质的集合组，
所以集合组满足条件①和②，由条件①：，
可得对任意，都存在有，所以，即第行不全为0，
所以由条件①可知数表中任意一行不全为0. 由条件②知，对任意的，都至少存在一个，使或，所以一定是一个1一个0，即第行与第行的第列的两个数一定不同.
所以由条件②可得数表中任意两行不完全相同. 因为由所构成的元有序数组共有
个，去掉全是的元有序数组，共有个，又因数表中任意两行都不完全相同，所以，所以.
又时，由所构成的元有序数组共有个，去掉全是的数组，共个，选择其中的个数组构造行列数表，则数表对应的集合组满足条件①②，即具有性质. 所以. 因为等于表格中数字1的个数，
所以，要使取得最小值，只需使表中1的个数尽可能少，而时，在数表中，
的个数为的行最多行；的个数为的行最多行；的个数为的行最多
行；
的个数为的行最多行；因为上述共有行，所以还有行各有个，所
以此时表格中最少有个.所以
的最小值为.
4、解：。

（1）当时，由
，得或，
所以在上为增函数，在，上为减函数，由题意知
，且。

因为，所以，
可知。

（2）①因为
，
当且仅当时等号成立。

由，有，得；由，有，得；故取得最小值时，，。

②此时，，，
由知，，欲证，先比较
与的大小。

因为，所以，有
，
于是，即，另一方面，
，因为，所以
，从而，即。

…14分同理可证，因此。

5、（本小题满分14分）解：（1），当时，
，即，
函数在区间上是增函数，在区间上是减函数；当时，
，函数是区间上的增函数当时，
即，
函数在区间上是增函数，在区间上是减函数.
（2）若存在，则恒成立，令，则，所以
，因此：恒成立，即恒成立，由
得到：，
现在只要判断是否恒成立，设，因为：
，
当时，，，当时，，，
所以，即恒成立，所以函数与函数存在“分界线”. 6、D 7、C 8、B 11、4021
12、解：（Ⅰ）由，解得或，∴函数的定义域为当
时，
∴在定义域上是奇函数。

（Ⅱ）由时，
恒成立，
∴∴在成立令
，，由二次函数的性质可知时函数单调递增，时函数单调递减，时，∴（Ⅲ）
=
证法一：设函数,则时，，
即在上递减，所以，故在成立，
则当时,成立.证法二：构造函数
，当时，，∴在单调递减，
当（）时，
13、（1,5）∪[10,20）。