一模理分类汇编7：圆锥曲线11.11

北京市高三数学理分类汇编：圆锥曲线1、．已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，一条渐近线方程为34y x =，则该双曲线的离心率是 。

2、F是抛物线22y px =()0>p 的焦点，过焦点F且倾斜角为θ的直线交抛物线于,A B两点，设,AF a BF b==，则：①若 60=θ且b a >，则ba 的值为______；②=+b a ______（用p 和θ表示）.3、过双曲线221916x y -=的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 . 4、已知点P 在抛物线24y x =上，则点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和到直线2:1l x =- 的距离之和的最小值为 （A ）3716(B ）115（C ）2（D ）35、抛物线2y x =的准线方程为 ；经过此抛物线的焦点是和点(1,1)M ，且 与准线相切的圆共有 个．6、已知双曲线的方程为2213x y -=，则此双曲线的离心率为 ，其焦点到渐近线的距离为 . 7、过抛物线24y x =焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若10AB =，则AB 的中点到y 轴的距离等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48、已知1(,0)F c -，2(,0)F c 分别是双曲线1C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的两个焦点，双曲线1C 和圆2C ：222x y c +=的一个交点为P ，且12212PF F PF F ∠=∠，那么双曲线1C 的离心率为（）（A ）2（B（C ）2（D 1９．若双曲线C:2221(0)3x y a a -=> 则抛物线28y x =的焦点到C 的渐近线距离是______。

１０。

对于直线:(1)l y k x =+与抛物线2:4C y x =，1k =±是直线l 与抛物线C 有唯一交点的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要条件D. 既不充分也不必要 １１、（本小题满分13分）已知椭圆12222=+by a x （0>>b a 1，短轴长为（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点F 的直线与椭圆分别交于A 、B 两点，若三角形OAB 的AB 的方程．１２、（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为1(F ，2F .点(1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点N 的坐标为(3,2)，点P 的坐标为(,)(3)m n m ≠.过点M 任作直线l 与椭圆 C 相交于A ，B 两点，设直线AN ，NP ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，若1322k k k +=，试求,m n 满足的关系式.１３、（本小题满分14分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>经过点(2,1)A ，离心率为，过点(3,0)B 的直线l 与椭圆交于不同的两点,M N ．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求BM BN的取值范围．１４、（本小题共13分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率是12，其左、右顶点分别为1A ，2A ，B 为短轴的端点，△12A BA的面积为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）2F 为椭圆C 的右焦点，若点P 是椭圆C 上异于1A ，2A 的任意一点，直线1A P ，2A P 与直线4x =分别交于M，N两点，证明：以MN 为直径的圆与直线2PF 相切于点2F ．１５、（本小题满分14分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为，定点(2,0)M ，椭圆短轴的端点是1B ，2B ，且12MB MB ⊥.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于A ，B 两点.试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由. １６、（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为1(1,0)F -， P为椭圆G 的上顶点，且145PFO ∠=︒. （Ⅰ）求椭圆G 的标准方程； （Ⅱ）已知直线1l ：1y kx m =+与椭圆G 交于A ，B 两点，直线2l ：2y kx m =+（12m m ≠）与椭圆G 交于C ，D 两点，且||||AB CD =，如图所示.（ⅰ）证明：120m m +=;（ⅱ）求四边形ABCD 的面积S 的最大值. １７、（本小题共14分）已知椭圆G 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，一个顶点为()0,1A -，离心率为36．（I ）求椭圆G 的方程； （II ）设直线m kx y +=与椭圆相交于不同的两点,M N ．当AN AM =时，求m 的取值范围．１８．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率e =原点到过点()0A a ，，()0B b -，．⑴ 求椭圆C 的方程；⑵ 若椭圆C 上一动点()00P x y ，关于直线2y x =的对称点为()111P x y ，，求2211x y +的取值范围． ⑶ 如果直线1y kx =+（0k ≠）交椭圆C 于不同的两点E ，F ，且E ，F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值１９．已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的两个焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过1F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N两点，且△2MNF 的周长为8．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点O 的两条互相垂直的射线与椭圆C 分别交于A ，B 两点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值，并求出这个定值．２０．（本小题14分）已知椭圆C ：2214x y +=的短轴的端点分别为A,B,直线AM ,BM 分别与椭圆C 交于E,F 两点，其中点M (m,12) 满足0m ≠，且m ≠（Ⅰ）求椭圆C 的离心率e ； （Ⅱ）用m 表示点E,F 的坐标；（Ⅲ）若∆BME 面积是∆AMF 面积的5倍，求m 的值.２１．如图，椭圆22:1(01)y C x m m+=<<的左顶点为A ，M 是椭圆C 上异于点A 的任意一点，点P 与点A关于点M 对称．（Ⅰ）若点P的坐标为9(5，求m 的值； （Ⅱ）若椭圆C 上存在点M ，使得OPOM ⊥，求m２２．已知以原点为对称中心、F(2,0)为右焦点的椭圆C 过P(2，直线l ：y=kx+m(k ≠0)交椭圆C 于不同的两点A，B 。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在实数k ，使线段AB 的垂直平分线经过点Q （0,3）？若存在求出 k 的取值范围；若不存在，请说明理由。

２３．如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．当直线AB 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60︒．（Ⅰ）求该椭圆的离心率； （Ⅱ）设线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点．记△GFD 的面积为1S ，△OED（O 为原点）的面积为2S ，求12S S 的取值范围．1、452、【答案】① 3 ；②θ2sin 2pAB =或()θθ22tan 1tan 2+p 3、4、【答案】C5、【答案】14x =-2 6、1 7、D ８．D １０．A１１、【答案】解：（Ⅰ）由题意，2221a c b a b c ⎧-=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩ -------1分解得1a c ==. ------------2分即：椭圆方程为.12322=+y x ------------3分（Ⅱ）当直线AB 与x轴垂直时，AB =，此时AOB S ∆=不符合题意故舍掉； -----------4分当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为：)1(+=x k y ，代入消去y 得：2222(23)6(36)0k x k x k +++-=. ------------6分设1122(,),(,)A x y B x y ，则212221226233623k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， -----------7分所以221)23k AB k +=+. ------------9分原点到直线的AB距离d =，所以三角形的面积12S AB d ==由22Sk k =⇒=⇒=， ------------12分所以直线0AB l y -=或0AB l y +=. ---------13分１２、【答案】解:（Ⅰ）依题意，c = 1b =，所以a =.故椭圆C 的方程为2213x y +=. ……………4分 （Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，由221,13x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,x y ==.不妨设A，(1,B ，因为132233222k k -+=+=，又1322k k k +=，所以21k =，所以,m n 的关系式为213n m -=-，即10m n --=. ………7分②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2213x y +=整理化简得，2222(31)6330k x k x k +-+-=. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122631k x x k +=+,21223331k x x k -=+. ………9分又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-.所以12122113121222(2)(3)(2)(3)33(3)(3)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- 12211212[2(1)](3)[2(1)](3)3()9k x x k x x x x x x ---+---=-++121212122(42)()6123()9kx x k x x k x x x x -++++=-++222222223362(42)6123131336393131k k k k k k k k kk k -⨯-+⨯++++=--⨯+++ 222(126)2.126k k +==+………12分 所以222k =，所以2213n k m -==-，所以,m n 的关系式为10m n --=.………13分综上所述，,m n 的关系式为10m n --=. ………14分１３、【答案】（Ⅰ）解:由离心率为2，可设,2c a t =，则b =因为22221(0)x y a b a b+=>>经过点(2,1)A所以2241142t t +=，解得232t =，所以226,3a b == 椭圆方程为22163x y += …………………4分 （Ⅱ）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(3)y k x =-，直线l 与椭圆的交点坐标为1122(,),(,)M x y N x y …………………5分由22(3)163y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消元整理得：2222(12)121860kx k x k +-+-= …………………7分2222(12)4(12)(186)0k k k ∆=-+-> 得 201k ≤< …………………8分21221212k x x k +=+，212218612k x x k -=+…………………9分BM BN11221212(3,)(3,)(3)(3)x y x y x x y y =--=--+ …………………10分21212(1)[3()9]k x x x x =+-++223(1)12k k =+⨯+231(1)212k =++………11分因为201k≤<，所以2312(1)3212k <+≤+ 所以BM BN的取值范围是(2,3]．…………………14分 １４、【答案】（Ⅰ）解：由已知2221,2.c a ab a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩…………2分 解得2a=，b = …………4分故所求椭圆方程为22143x y +=． …………5分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知()12,0A -，()22,0A ，()21,0F ．设()()0,2Px y x≠±，则22003412x y +=．于是直线1A P 方程为()0022y y x x =++，令4x =，得0062M yy x =+；所以(M 4,0062y x +)，同理(N 4,0022y x -)． …………7分所以2F M = (3,0062y x +)，2F N = (3,0022y x -). 所以22F M F N ⋅= (3,0062y x +)⋅(3,0022y x -)000062922y y x x =+⨯+-()220022003123129944x y x x -=+=+--()2029499904x x -=-=-=-．所以22F M F N ⊥，点2F 在以MN 为直径的圆上． …………9分设MN 的中点为E ，则(4,E 00204(1)4y x x --)． …………10分又2F E = (3,00204(1)4y x x --)，()2001,,F P x y =- 所以22F E F P ⋅= (3,00204(1)4y x x --)()()()20000020411,314y x x y x x -⋅-=-+-()()()()()20020123131313104x x x x x x --=-+=---=-．所以22F E F P ⊥． …………12分因为2F E 是以MN 为直径的圆的半径，E 为圆心，22F EF P ⊥，故以MN 为直径的圆与直线2PF 相切于右焦点． …………13分１５、【答案】（Ⅰ）解：由222222519a b b e a a -===-， 得23b a =. 依题意△12MB B 是等腰直角三角形，从而2b =，故3a =. 所以椭圆C 的方程是22194x y +=. ………5分 （Ⅱ）解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 的方程为2x my =+. 将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立， 消去x 得 22(49)16200m y my ++-=. ………7分所以1221649m y y m -+=+，1222049y y m -=+. ………8分 若PF 平分APB ∠，则直线PA ，PB 的倾斜角互补，所以0=+PB PAk k .设(,0)P a ，则有12120y yx a x a+=--.将 112x my =+，222x my =+代入上式，整理得1212122(2)()(2)(2)my y a y y my a my a +-+=+-+-，所以12122(2)()0my y a y y +-+=将1221649m y y m -+=+，1222049y y m -=+代入上式，整理得 (29)0a m -+⋅=. 由于上式对任意实数m 都成立，所以 92a =. 综上，存在定点9(,0)2P ，使PM 平分APB ∠. ………14分１６、【答案】（Ⅰ）解：设椭圆G 的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>.因为1(1,0)F -，145PFO ∠=︒，所以1b c ==.所以 2222a b c =+=. 所以 椭圆G 的标准方程为2212x y +=. ………（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y .（ⅰ）证明：由122,1.2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：22211(12)4220k x km x m +++-=.则2218(21)0km ∆=-+>，1122211224,1222.12km x x km x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………………………………5分 所以||AB ====同理||CD =因为 ||||AB CD =, 所以=因为 12m m ≠，所以 120m m +=. ………………………………………9分（ⅱ）解：由题意得四边形ABCD 是平行四边形，设两平行线,AB CD 间的距离为d,则d=.因为120m m +=，所以d =.所以||S AB d =⋅=2221121k m m -++=≤=.（或S ==≤ 所以 当221212km +=时， 四边形ABCD 的面积S取得最大值为１７、【答案】解：（I ）依题意可设椭圆方程为1222=+y a x ，则离心率为==a c e 36故3222=ac ，而12=b ，解得32=a ， ……………………4分故所求椭圆的方程为1322=+y x . ……………………5分 （II ）设()()()P P M M N N P x y M x y N x y ，、，、，，P 为弦MN 的中点，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1322y x mkx y 得 0)1(36)13(222=-+++m mkx x k ， 直线与椭圆相交，()()()2226431310mk k m ∴∆=-+⨯->⇒1322+<k m ，① …………7分23231M N P x x mk x k +∴==-+，从而231P P my kx m k =+=+，（1）当0≠k时21313P APP y m k k x mk+++∴==-(0=m 不满足题目条件) ∵,AM AN AP MN =∴⊥，则km k k m 13132-=++-，即 1322+=k m ， ② 把②代入①得 22m m < ，解得 20<<m ， 由②得03122>-=m k ，解得21>m ．故221<<m （2）当0=k 时∵直线m y =是平行于x 轴的一条直线，∴11<<-m 综上，求得m 的取值范围是21<<-m ．１８．解: (Ⅰ)因为c a =，222a b c -=，所以 2a b =． 因为原点到直线AB ：1x ya b -=的距离d =，解得4a =，2b =． 故所求椭圆C 的方程为221164x y+=．(Ⅱ)因为点()00,P x y 关于直线2y x =的对称点为()111,P x y ，所以 011010121,2.22y y x x y y x x-⎧⨯=-⎪-⎪⎨++⎪=⨯⎪⎩解得 001435y x x -=，001345y x y +=．所以22221100x y x y +=+． 因为点()00,P x y 在椭圆C :221164x y +=上，所以2222201100344x x y x y +=+=+．因为044x -≤≤， 所以2211416x y ≤+≤．所以2211x y +的取值范围为[]4,16． (Ⅲ)由题意221,1164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得 22(14)8120k x kx ++-=． 可知0∆>． 设22(,)E x y ，33(,)F x y ，EF 的中点是(,)M M M x y ， 则2324214M x x k x k +-==+，21114M M y kx k =+=+．所以21M BM My k x k +==-． 所以20M M x ky k ++=． 即224201414k k k k k -++=++． 又因为0k ≠， 所以218k =．所以k = ……13分 １９．解：（I ）由题意知，48a =，所以2a =．因为12e = 所以222222314b a c e a a -==-=，所以23b =． 所以椭圆C 的方程为22143x y +=． （II ）由题意,当直线AB 的斜率不存在，此时可设00(,)A x x ，00(,)B x x -. 又A ，B 两点在椭圆C 上， 所以2200143x x +=，20127x =． 所以点O 到直线AB的距离7d ==． 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+． 由22,143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得 222(34)84120k x kmx m +++-=． 由已知0∆>．设11(,)A x y ，22(,)B x y ．所以122834km x x k +=-+，212241234m x x k-=+． 因为OA OB ⊥，所以12120x x y y +=．所以1212()()0x x kx m kx m +++=．即．所以22222224128(1)03434m k mk mk k-+-+=++．整理得)1(12722+=km，满足0∆>．所以点O到直线AB的距离7d===为定值．２０．解：（Ⅰ）依题意知2a=,3=c,23=∴e; ……………………… 3分（Ⅱ） )1,0(),1,0(-BA,M (m,12)，且0m≠，………………………4分∴直线AM的斜率为k1=m21-,直线BM斜率为k2=m23,∴直线AM的方程为y=121+-xm,直线BM的方程为y=123-xm, ……………6分由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,121,1422xmyyx得()22140m x mx+-=，240,,1mx xm∴==+22241,,11m mEm m⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭………………………8分由⎪⎩⎪⎨⎧-==+,123,1422xmyyx得()012922=-+mxxm，2120,,9mx xm∴==+222129,99m mFm m⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭；………………………10分（Ⅲ）1||||sin2AMFS MA MF AMF∆=∠,1||||sin2BMES MB ME BME∆=∠,AMF BME∠=∠,5AMF BMES S∆∆=,∴5||||||||MA MF MB ME=，∴5||||||||MA MBME MF=, ………………..12分∴225,41219m mm mm mm m=--++m≠，∴整理方程得22115119m m=-++，即22(3)(1)0m m--=，又 m≠∴230m-≠，12=∴m，1m∴=±为所求. ………………14分由点M 在椭圆C 上， 所以 41212525m +=，………4分解得 47m =． …5分 （Ⅱ）解：设00(,)M x y ，则 22001y x m +=，且011x -<<． ① ………………6分 因为 M 是线段AP 的中点，所以 00(21,2)P x y +．…7分因为 OP OM ⊥，所以 2000(21)20x x y ++=．② …8分 由 ①，② 消去0y ，整理得 20020222x x m x +=-． ………………10分所以 001116242(2)82m x x =+≤-++-+， ………………12分当且仅当 02x =-时，上式等号成立．所以 m 的取值范围是1(0,2．…13分 ２２．解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，由题意 22224421a b a b⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得28a =，24b =，所以椭圆C 的方程为22184x y +=. ……………………5分 （Ⅱ）假设存在斜率为k 的直线，其垂直平分线经过点Q （0,3），设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，AB 的中点为N(x 0,y 0),由22184x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(12)4280k x mkx m +++-=, ……………………………………………6分 222222164(12)(28)648320m k k m k m ∆=-+-=-+>，所以22840k m -+>,……………7分 122412mkx x k +=-+, ∴12022212x x mk x k +==-+，00212my kx m k =+=+, …… 线段AB 的垂直平分线过点Q （0,3），∴1NQ k k ⋅=-，即0031y k x -⋅=-，∴236m k -=+， 0∆> ， 整理得42362850k k ++<，显然矛盾∴不存在满足题意的k 的值。