直线的一般式方程 (1)
新教材人教A版选择性必修第一册 2.2.3 直线的一般式方程 课件(43张)
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.已知直线l经过点P(2,3)且斜率为- 3 ,试求下列直线的一般式方程:
2
(1)直线l.
(2)与直线l平行,且过点(-3,1)的直线.
(3)与直线l垂直,且过点(0,-1)的直线.
【思维·引】1.化为斜截式,利用斜率、y轴上截距的符号判断. 2.根据条件,利用点斜式、斜截式写出直线方程,再化成一般式.
3.直线3x+2y+6=0在y轴上的截距为b,则b=
()
A.3 B.-2 C.2 D.-3
【解析】选D.3x+2y+6=0中,令x=0得y=-3,所以在y轴上的截距b=-3.
关键能力·素养形成
பைடு நூலகம்
类型一 直线的一般式方程
【典例】1.已知直线Ax+By+C=0(AB>0,BC>0),则直线不经过
()
A.第一象限
(4)经过两点P1(3,-2),P2(5,-4).
【解析】(1)由点斜式得y-(-2)=- 1(x-8),
2
即x+2y-4=0.
(2)由斜截式得y=2,即y-2=0.
(3)由截距式得 x ＋=y1,即2x-y-3=0.
3 3 2
(4)由两点式得 y 2 ＝,即x x3+y-1=0. 4 2 5 3
a
a
2,
则a-2= a 2,解得a=1或a=2,故直线l的方程为x+y+1=0或2x+y=0.
a
【内化·悟】 直线的一般式方程化斜截式方程时需要注意什么问题? 提示:必须考虑B是否为0,当B不等于0时才能化成斜截式方程,不确定时需要对B 分情况讨论.
2.2.3直线的一般式方程 ---(教学课件)-高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
[针对训练](1)过点(1,0),且与直线x-2y-2=0平行的直
线方程是( )
A.x-2y-1=0
B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0
D.x+2y-1=0
解析：(1)所求直线与直线x-2y-2=0 平行，故所求直线的斜 率 又直线过点(1,0),利用点斜式得所求直线方程为
在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一 条确定的 直线 ;反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一 个确定的 二 元 一 次 方 程 _表示.
预 习自测
1.过点(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为( A )
A.x-2y+7=0
B.2x+y-1=0
C.x-2y-5=0
D.2x+y-5=0
解析：设与直线x-2y+3=0平行的直线是x-2y+c=0(c≠3), 代入点(-1,3)得-1-6+c=0,得c=7,所以直线方程是x-
2y+7=0.
2.若方程Ax+By+C=0表示直线，则A,B应满足的条件为
( D)
A.A≠0
B.B≠0
C.A·B≠0
D.A2+B2≠0
解析：A,B不能同时为0,则A²+B²≠0.
3x+4y-9=0.
法二 由 I′与 I平行，可设I′的方程为3x+4y+m=0(m≠-12),将点(-1,3) 代入得m=-9.所以直线I′ 的方程为3x+4y-9=0.
[例3] 已知直线1的方程为3x+4y-12=0, 求直线l′ 的方程，使1′
直线的一般式方程 (1)
/wnrswz/
/wnsylpt/
解:(1)由点斜式方程可知,所求直线方程为 y-3= 3 (x-5),化为一般式方程为
3 x-y+3-5 3 =0.
(2)由斜截式方程可知, 所求直线方程为 y=4x-2, 化为一般式方程为 4x-y-2=0. (3)由两点式方程可知, 所求直线方程为 y 5 x-(-1) ,
三、新知建构，交流展示
/wnsr/
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，
方程表示的直线：
(1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合;
y
o
l
(3) A=0 , B≠0 ,C=0
x
三、新知建构，交流展示
/wnsrgw/
/bfdyj/
3.2.3直线的一般式方程
一、导学提示，自主学习 二、课堂设问，任务驱动 三、新知建构，交流展示 四、当堂训练，针对点评 五、课堂总结，布置作业
/wnsgfwz/
一、导学提示，自主学习
1.本节学习目标
方程表示的直线：
(1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合;
(4)与y轴重合; (5)过原点;
y
l
(5) C=0，A、B不同时为0
o
x
三、新知建构，交流展示
/wnsryl/
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，
方程表示的直线：
(1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合;
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，
方程表示的直线：
(1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合;
(4)与y轴重合;
直线的一般式方程 课件
当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，即－a1＋ －2a·－2aa－＋13＝－1， 所以a＝－1. 综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2. 法二：由直线l1⊥l2，所以(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0， 解得a＝±1. 将a＝±1代入方程，均满足题意． 故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
②若2a＋3＝0，即a＝－
3 2
时，直线l1：x＋5y－2＝0与直
线l2：5x－4＝0不垂直． ③若1－a≠0，且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2
都存在，k1＝－a1＋ －2a，k2＝－2aa－＋13，
当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，即－a1＋ －2a·－2aa－＋13＝－1， 所以a＝－1.
[类题通法] (1)利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0， ①若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－ A2C1≠0)． ②若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. (2)与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法 ①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0， (m≠C)． ②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.
名师指津：二元一次方程与直线的关系： ①二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系 中一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标 满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了 一条直线． ②二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应 的，因此直线的一般式方程可以表示坐标平面内的任意一条 直线．
直线的一般式方程
回答下列问题：
(1)平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于 x，y 的
直线的两点式方程直线的一般式方程
直线的两点式方程直线的一般式方程直线是平面几何中的基本元素之一，可以用各种不同的方程表示。
其中，最常用的两种方式是直线的两点式方程和直线的一般式方程。
1.直线的两点式方程：(x-x₁)/(x₂-x₁)=(y-y₁)/(y₂-y₁)在这个公式中，表示直线上任意一点的坐标为(x,y)。
通过运算化简，可以得到直线的两点式方程的另一种形式：(y₁-y₂)*x+(x₂-x₁)*y+(x₁*y₂-x₂*y₁)=0这就是直线的两点式方程，也叫做点斜式方程。
2.直线的一般式方程：直线的一般式方程是通过直线的斜率和截距来表示的。
斜率表示了直线在坐标平面上的倾斜程度，截距表示了直线与坐标轴的交点。
假设直线的斜率为m，截距为b。
那么直线的一般式方程可以写为：y = mx + b这就是直线的一般式方程。
直线的斜率通过两点式方程的公式可以求解：m=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)而直线的截距b可以通过将已知点的坐标代入直线方程求解。
例如，已知点A(x₁,y₁)在直线上，我们可以将其代入直线方程，然后解出截距b 的值。
另外，一般式方程也可以变形为标准式方程。
标准式方程表示为Ax+By+C=0，其中A、B、C是常数。
可以通过对一般式方程进行整理和变形，将其转化为标准式方程。
总结：直线的两点式方程通过已知直线上的两个点来表示直线方程，可以求解出直线上任意一点的坐标。
直线的一般式方程通过斜率和截距来表示直线方程，可以清晰地表示直线的特征。
两种方程都可以用于求解直线与其他几何元素的交点、直线的长度等问题。
在解题过程中，根据实际情况选择使用哪种方程比较方便。
直线方程的一般式
引导学生思考：直线与二元一次方程 的对应是什么样的对应？
直线与二元一次方程是一一对应的
例1.已知直线经过点A（6，-4），斜率 为- 4/3，求直线的点斜式和一般式方程.
解：过点A（6，-4）且斜率为 – 4/3的直线方程的点斜式是
(一)引入新课 点斜式、斜截式不能表示与x轴垂直的直
线,截距式既不能表示与坐标轴平行的直线， 又不能表示过原点的直线．与x轴垂直的直线 可表示成x=x0，与x轴平行的直线可表示成 y=y0。它们都是二元一次方程．
我们问：直线的方程都可以写成二元 一次方程吗？
反过来，二元一次方程都表示直标系中，每一条直线 都有倾斜角α．当α≠90°时，直线有斜率 ，方程可写成下面的形式：
A
这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为- 在
Y轴上的截距为- C 的直线.
B
这里，我们借用了B 前一课y=kx+b表示直线的结论，
不弄清这一点，会感到上面的论证不知所云．
(2)当B=0时，由于AC、B不同时为零，必有A≠0，
方程(1)可化为X=-
A 它表示一条与y轴平行的直线．
在平面直角坐标系中，任何关于 x、y 的二元一次方程都表示一条直线。
y=kx+b 当α=90°时，它的方程可以写成x=x0的 形式
在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都 有一个表示这条直线的关于 x、y 的二元一次方 程。
反过来，对于x、y的一次方程的一般形式
Ax+By+C=0．
(1)
其中A、B不同时为零．
(1)当B≠0时，方程(1)可化为
直线方程的一般式课件可编辑全文
(2)方法 1：当 m＝0 时，l1：x＋6＝0，l2：2x－3y＝0 两直 线既不平行也不垂直；当 m≠0 时，
l1：y＝－m1 x－m6 ，l2：y＝－m－3 2x－23m，
解得 m＝2 或 3.故选 A.
• [错因分析] 错解忽视了当m＝2时，2m2－ 5m＋2＝0且－(m2－4)＝0.
• [思路分析] 直线的一般式方程Ax＋By＋C＝ 0中，A与B满足的条件是A与B不能同时为0， 即A2＋B2≠0.当A＝B＝0时，方程变为C＝0， 不[表正解示] 任直何线图l1 的形斜．率为2m2m－2－5m4＋2，直线 l2 的斜率为 1，
• (2)当A＝0且B≠0时，这条直线与y轴垂直．
• (3)要使直线与x轴，y轴都相交，则它与两轴 都不垂直，由(1)(2)知，当A≠0且B≠0，即当 AB≠0时，这条直线与x轴和y轴都相交．
• (4)将x＝0，y＝0代入直线方程Ax＋By＋C＝ 0，得C＝0，故当C＝0时，这条直线过原 点．
• (5)当A＝0，B≠0，C＝0时，直线方程化为y ＝0，直线与x轴重合．
斜率不存在 斜率 k＝0
• ●自我检测
• 1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B 应满足的条件为( )
• A．A≠0
B．B≠0
• C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0
• [答案] D
• [解析] A，B不能同时为0，则A2＋B2≠0.
2．直线 2x＋y＋4＝0 的斜率 k＝( )
A．2
B．－2
ax＋by＝1
a，b 分别是直线 直线不垂直于 在 x 轴，y 轴上的 x 轴和 y 轴，且 两个非零截距 不过原点
直线方程的五种形式
直线方程的五种形式直线方程一般式：Ax+By+C=0(A、B不同时为0)；点斜式：y-y0=k(x-x0)；截距式：x/a+y/b=1；斜截式：y=kx+b；两点式：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)(x1≠x2，y1≠y2)。
直线方程表达形式1：一般式:Ax+By+C=0(A、B不同时为0)【适用于所有直线】K=-A/B，b=-C/BA1/A2=B1/B2≠C1/C2←→两直线平行A1/A2=B1/B2=C1/C2←→两直线重合横截距a=-C/A纵截距b=-C/B2：点斜式:y-y0=k(x-x0)【适用于不垂直于x轴的直线】表示斜率为k，且过（x0,y0）的直线3：截距式:x/a+y/b=1【适用于不过原点或不垂直于x轴、y轴的直线】表示与x轴、y轴相交，且x轴截距为a，y轴截距为b的直线4：斜截式:y=kx+b【适用于不垂直于x轴的直线】表示斜率为k且y轴截距为b的直线5：两点式:【适用于不垂直于x轴、y轴的直线】表示过（x1,y1）和(x2,y2)的直线(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)(x1≠x2，y1≠y2)6：交点式:f1(x,y)*m+f2(x,y)=0【适用于任何直线】表示过直线f1(x,y)=0与直线f2(x,y)=0的交点的直线7：点平式:f(x,y)-f(x0,y0)=0【适用于任何直线】表示过点（x0,y0）且与直线f（x,y）=0平行的直线8：法线式：x·cosα+ysinα-p=0【适用于不平行于坐标轴的直线】过原点向直线做一条的垂线段，该垂线段所在直线的倾斜角为α，p是该线段的长度9：点向式：(x-x0)/u=(y-y0)/v(u≠0,v≠0)【适用于任何直线】表示过点(x0,y0)且方向向量为（u,v）的直线10：法向式：a（x-x0）+b（y-y0）=0【适用于任何直线】表示过点（x0，y0）且与向量（a，b）垂直的直线。
直线的一般式方程-课件全
法二：令 2×3＝m(m＋1)， 解得 m＝－3 或 m＝2. 当 m＝－3 时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0， 显然 l1 与 l2 不重合，∴l1∥l2. 同理当 m＝2 时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0， 显然 l1 与 l2 不重合，∴l1∥l2. ∴m 的值为 2 或－3.
即 x＋y－1＝0.
[规律方法] 求直线的一般式方程的策略
1当
A≠0
时，方程可化为
x＋
B A
y＋
C A
＝0，只需求
B A
，
C A
的值；
若 B≠0，则方程化为
A B
x＋y＋
C B
＝0，只需确定
A B
，
C B
的值.因此，只要
给出两个条件，就可以求出直线方程.
2在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定
直线的一般式方程
直线的一般式方程 (1)．在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直 线的关于 x二，元y 一的次__方__程_________；任何关于 x，y 的二元一次一方条程直都线表示 _____A_x_＋_ ．By方＋程C＝__0_(_其__中__A_、__B__不__同__时__为___0_) ______________ 叫做直线方程的 一般式．
(3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是3，－3； 2
(4)经过两点 P1(3，－2)，P2(5，－4)．
[解] (1)由点斜式得 y－(－2)＝－12(x－8)， 即 x＋2y－4＝0. (2)由斜截式得 y＝2，即 y－2＝0.
(3)由截距式得3x＋－y3＝1， 2
即 2x－y－3＝0. (4)由两点式得－y－4－－－22＝5x－－33，
直线方程的确定
直线方程的确定直线方程是代数学中的一个重要内容，它描述了平面上两点之间的直线关系。
本文将详细介绍直线方程的确定方法。
一、一般形式的直线方程直线方程的一般形式可以表示为 y = mx + c，其中 m 是直线的斜率，c 是直线与 y 轴的截距。
1. 斜率的计算直线通过两点 P(x1, y1) 和 Q(x2, y2)。
斜率可以通过以下公式计算得出：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)2. 截距的计算截距表示直线与 y 轴的交点坐标，可以通过直线上已知点 P(x1, y1)的坐标和斜率 m 计算得出：c = y1 - mx1二、点斜式的直线方程点斜式直线方程可以表示为 y - y1 = m(x - x1)，其中 m 是直线的斜率，P(x1, y1) 是直线上的已知点。
1. 斜率的计算斜率可以使用与一般形式相同的公式计算得到。
2. 方程的确定已知斜率 m 和直线上的已知点 P(x1, y1)，可以将它们代入点斜式直线方程中，得到相应的直线方程。
三、截距式的直线方程截距式直线方程可以表示为 x/a + y/b = 1，其中 a 和 b 分别表示直线与 x 轴和 y 轴的截距。
1. 斜率的计算斜率可以通过以下公式计算得到：m = -a/b2. 方程的确定已知斜率 m 和直线与 x 轴和 y 轴的截距 a 和 b，可以将它们代入截距式直线方程中，得到相应的直线方程。
四、两点式的直线方程两点式直线方程可以表示为 (y - y1) / (y2 - y1) = (x - x1) / (x2 - x1)，其中 P(x1, y1) 和 Q(x2, y2) 是直线上的两个已知点。
1. 方程的确定已知直线上的两个点 P(x1, y1) 和 Q(x2, y2)，可以将它们代入两点式直线方程中，得到相应的直线方程。
通过以上的介绍，我们可以看到直线方程的确定方法有一般形式、点斜式、截距式和两点式等多种形式。
根据不同的已知条件和需求，选择合适的直线方程形式可以更方便地描述和计算直线的性质和关系。
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那么是否存在某种形式 的方程能表示任意的一 条直线？
新课
Question：方程 Ax By C 0 总是表示直线吗？
A C (1)若B 0，则y x B B (2)若B 0，则Ax C 0
C 1)若A 0，则x A
2)若A 0，则0 x C 0 若C 0，则表示整个平面 结论 当A, B不全为0时，方程 Ax By C 0 表示直线
例题讲解 例1.根 据 下 列 条 件 求 解 直 的 线一般式方程
（ 1） 直 线 的 斜 率 为 2， 且 经 过 点 A(1,3) ( 2)斜 率 为 3， 且 在y轴 上 的 截 距 为 4 （3） 经 过 两 点 A( 2,3), B( 1,5) (4)在x , y轴 上 的 截 距 分 别 为 2， -4
直线的一般式方程
复习
1、直线方程的点斜式 y y1 k ( x x 1 )
y kx b 2、直线方程的斜截式
y y1 x x1 3、直线方程的两点式 y 2 y1 x 2 x1 x y 4、直线方程的截距式 1 a b
新课
以上的四种直线方程形 式都是
方程，但都有局限性。
y y1 x x1 不包括坐标轴以及与 y 2 y1 x 2 x1 坐标轴平行的直线
不包括过原点的直线 x y 1 及与坐标轴平行的直 a b 线
一般式 A、B不同时为零 Ax+By+C= 0
2 2
根 据下 列条 件 分别 确 m的 值：
（ 1）l在x轴 上的 截距 是 - 3；
（2）l的 斜率 是 -1
小结
名称
直线方程的五种形式
已知条件 方 程 局限性
点斜式 点P1(x1,y1)和斜 率k
y-y1=k(x-x1) 不能表示与x轴垂直 的直线 不能表示与x轴垂直 的直线
斜截式 斜率k和y轴上截 y=kx+b 距 两点式 点P1(x1,y1)和点 P2(x2,y2) 截距式 在x轴上的截距a 在y轴上的截距b
练习：求过点 A(2,3)和点B(a,7)的直线方程
例2.(1)求 与 直 线 3 x 4 y 1 0平 行 且 过 点 (1,2) 的直线 l的 方 程 . ( 2)求 经 过 点 A( 2,1)， 且 与 直 线 2 x y 10 0 垂直的直线 l的 方 程 .
总结规律： 与直线Ax By C 0平行的直线可设为 Ax By m 0 与直线Ax By C 0垂直的直线可设为 Bx Ay m 0
例3.已知直线 l1 : 5ax 5 y a 3 0 (1)不论a为何值，直线 l总经过第 一象限； （2）为使直线 不经过第二 象限，求 a的取值范 围 .
例4.当a为何值时，直线 ( a 1 )x ( 3 a ) y a 0 在两坐标轴上的截距相 等
变 式练 习： 设 直线 l的 方程 ( m 2m 3) x ( 2m m 1) y 2m 6,
若C 0，与C 0矛盾
方程 Ax By C 0( A、B不同时为0) 叫做直线方程的一般式
新课
名称
直线方程的五种形式
已知条件 方 程 局限性
点斜式 点P1(x1,y1)和斜 率k
y-y1=k(x-x1) 不能表示与x轴垂直 的直线 不能表示与x轴垂直 的直线
斜截式 斜率k和y轴上截 y=kx+b 距 两点式 点P1(x1,y1)和点 P2(x2,y2) 截距式 在x轴上的截距a 在y轴上的截距b
y y1 x x1 不包括坐标轴以及与 y 2 y1 x 2 x1 坐标轴平行的直线
不包括过原点的直线 x y 1 及与坐标轴平行的直 a b 线
一般式 A、B不同时为零 Fra bibliotekx+By+C= 0
探究：
在方程 Ax By C 0中 ，A、B、C为 何 值 时 ， 方程表示直线： ( 1 )平 行x轴 ； A 0, B 0,C 0 （2） 平 行 y轴; A 0 , B 0 , C 0 （3） 与x轴 重 合 A C 0, B 0 （4） 与y轴 重 合 ； B C 0, A 0