2020—2021学年北师大版高中数学选修4-5同步配套：1.2.1
高中数学新同步套餐(课件+讲义+习题)选修4-5北师大版：第2章§1 柯西不等式
§1柯西不等式1.1 简单形式的柯西不等式1.2 一般形式的柯西不等式1．认识柯西不等式的几种不同的形式，理解它们的几何意义，能证明柯西不等式的代数形式和向量形式．(重点、易混点)2．理解用参数配方法讨论柯西不等式一般情况的过程．(重点难点)3．能利用柯西不等式求特定函数的最值和进行简单的证明．(难点)[基础·初探]教材整理1简单形式的柯西不等式阅读教材P27～P28，完成下列问题．1．定理1对任意实数a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当向量(a，b)与向量(c，d)共线时，等号成立．2．柯西不等式的向量形式设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式(a2＋b2)(d2＋c2)≥(ac＋bd)2是柯西不等式．()(2)(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2，是柯西不等式，其中a，b，c，d为正数．()(3)在柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2中，a，b，c，d是任意实数．()【解析】柯西不等式中，四个数的组合是有对应顺序的，故(1)不对，(2)中，a，b，c，d可分别写成(a)2，(b)2，(c)2，(d)2，所以是正确的，(3)正确．【答案】(1)×(2)√(3)√教材整理2一般形式的柯西不等式阅读教材P29～P30“练习”以上部分，完成下列问题．1．定理2设a1，a2，…，a n与b1，b2，…，b n是两组实数，则有(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2，当向量(a1，a2，…，a n)与向量(b1，b2，…，b n)共线时，等号成立．2．推论设a1，a2，a3，b1，b2，b3是两组实数，则有(a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2.当向量(a1，a2，a3)与向量(b1，b2，b3)共线时“＝”成立．在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为a i＝kb i(i＝1,2,3，…，n)，可以吗？【解】不可以．若b i＝0而a i≠0，则k不存在．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]利用柯西不等式证明不等式(1)已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：|ax＋by|≤1；(2)设a，b，c为正数，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥2(a＋b＋c)．【精彩点拨】本题考查柯西不等式及证明不等式的基础知识，考查推理论证能力及代数式的变式能力．解答本题(1)可逆用柯西不等式，而解答题(2)需将a2＋b2，b2＋c2，a2＋c2增补，使其满足柯西不等式左边结构方可应用．【自主解答】(1)|ax＋by|＝(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝1.(2)由柯西不等式得：a2＋b2·12＋12≥a＋b，即2a2＋b2≥a＋b.同理：2b2＋c2≥b＋c，2a2＋c2≥a＋c.将上面三个同向不等式相加得：2(a2＋b2＋a2＋c2＋b2＋c2)≥2(a＋b＋c)，所以a2＋b2＋a2＋c2＋b2＋c2≥2(a＋b＋c)．利用二维柯西不等式的代数形式证题时，要抓住不等式的基本特征：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，其中a，b，c，d∈R或(a＋b)(c＋d)≥(\r(ac)＋\r(bd))2，其中a，b，c，d为正数.找出待证不等式中相应的两组数，当这两组数不太容易找时，需分析，增补(特别是对数字的增补：如a＝1×a)变形等.[再练一题]1．设a ，b ，c 为正数，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c . 【证明】 由柯西不等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2[(b )2＋(c )2＋(a )2] ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ·b ＋b c ·c ＋c a ·a 2.于是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2c ＋c 2a (a ＋b ＋c )≥(a ＋b ＋c )2，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .运用柯西不等式求参数范围已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝xyz ，且不等式1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤λ恒成立，求λ的取值范围.【导学号：94910029】【精彩点拨】 “恒成立”问题需求1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x的最大值，设法应用柯西不等式求最值．【自主解答】 1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤12xy ＋12yz ＋12zx＝12⎝⎛⎭⎪⎫1·zx ＋y ＋z＋1·xx ＋y ＋z＋1·y x ＋y ＋z≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(12＋12＋12)⎝ ⎛⎭⎪⎫z x ＋y ＋z ＋x x ＋y ＋z ＋y x ＋y ＋z 12＝32.故参数λ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.此题也是通过构造转化应用柯西不等式，由此可见，应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”应用定理.[再练一题]2．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，试求a 的取值范围．【解】 由柯西不等式得，(2b 2＋3c 2＋6d 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋16≥(b ＋c ＋d )2，即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2. 由条件可得，5－a 2≥(3－a )2， 解得1≤a ≤2，所以实数a 的取值范围是[1,2]．[探究共研型]利用柯西不等式求最值探究1【提示】 要证(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，只要证a 2c 2＋b 2c 2＋a 2d 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2，即证b 2c 2＋a 2d 2≥2abcd ， 只要证(bc －ad )2≥0.因为上式显然成立，故(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2. 探究2 根据柯西不等式，下列结论成立吗？(1)(a ＋b )(c ＋d )≥(ac ＋bd )2(a ，b ，c ，d 为非负实数)； (2)a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac ＋bd |(a ，b ，c ，d ∈R )； (3)a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac |＋|bd |(a ，b ，c ，d ∈R )． 【提示】 成立．已知x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，求3x ＋2y ＋z 的最小值．【精彩点拨】 利用x 2＋2y 2＋3z 2为定值，构造柯西不等式形式，再利用公式得出范围，求解最小值．【自主解答】 (x 2＋2y 2＋3z 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ·2＋3z ·132＝(3x ＋2y ＋z )2，∴(3x ＋2y ＋z )2≤(x 2＋2y 2＋3z 2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝12. ∵－23≤3x ＋2y ＋z ≤23， ∴3x ＋2y ＋z 的最小值为－2 3.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要保证取到等号成立的条件.[再练一题]3．若3x ＋4y ＝2，试求x 2＋y 2的最小值及最小值点．【解】 由柯西不等式(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2，得25(x 2＋y 2)≥4， 所以x 2＋y 2≥425.当且仅当x 3＝y4时“＝”成立，为求最小值点，需解方程组⎩⎨⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝625，y ＝825.因此，当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为425，最小值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫625，825.[构建·体系]1．设x ，y ∈R ，且2x ＋3y ＝13，则x 2＋y 2的最小值为( ) A.13 B ．169 C ．13 D ．0 【解析】 (2x ＋3y )2≤(22＋32)(x 2＋y 2)， ∴x 2＋y 2≥13. 【答案】 C2．已知a ，b ，c 大于0，且a ＋b ＋c ＝1，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为( ) A ．1 B ．4 C.13D ．12【解析】 根据柯西不等式，有(a 2＋b 2＋c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋b ＋c )2＝1， ∴a 2＋b 2＋c 2≥13.【答案】 C3．已知a 2＋b 2＋c 2＝1，x 2＋y 2＋z 2＝1，t ＝ax ＋by ＋cz ，则t 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(－1,1) C ．(－1,0)D ．[－1,1]【解析】 设α＝(a ，b ，c )，β＝(x ，y ，z )． ∵|α|＝a 2＋b 2＋c 2＝1，|β|＝x 2＋y 2＋z 2＝1，由|α||β|≥|α·β|，得|t |≤1. ∴t 的取值范围是[－1,1]．【答案】 D4．已知x ，y ＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y 的最小值为4，则xy ＝________. 【导学号：94910030】【解析】 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1·1＋1xy 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1xy 2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1xy 2＝4，又xy ＞0， ∴xy ＝1，∴xy ＝1. 【答案】 15．已知3x 2＋2y 2≤6，求证：2x ＋y ≤11. 【证明】 由柯西不等式得(2x ＋y )2≤[(3x )2＋(2y )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝(3x 2＋2y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋12≤6×116＝11.于是2x ＋y ≤11.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。
高考调研北师大版选修4-5数学1.2-1精讲精练
高考调研 ·北师大 ·数学选修4-5
思考题 2 (2015·重庆)若函数 f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小 值为 5，则实数 a＝________．
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【解析】
当 a≤－1 时，f(x)＝－ x－32x＋ a－21a－ （1a<（xx≤≤－a）1），， 3x－2a＋1（x>－1），
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§2 含有绝对值的不等式 2．1 绝对值不等式
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知识探究
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1.绝对值的几何意义 |x＋a|的几何意义是数轴上实数 x 对应的点与实数－a 对应的点 之间的距离． 2．绝对值不等式定理 对任意实数 a 和 b，有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 ab≥0 时，等 号成立．
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课后巩固
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1．若 a，b∈R，且 ab<0，则( )
A．|a＋b|>|a－b|
B．|a＋b|<|a－b|
C．|a－b|<||a|－|b||
D．|a－b|<|a|＋|b|
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是非负 ≥中间部
成立；中间部分为|a－b|时，ab≤0，
的
分
等号成立
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思考题 1 (1)设|a|<1，|b|<1，则|a＋b|＋|a－b|与 2 的大小
关系是( ) A．|a＋b|＋|a－b|>2 C．|a＋b|＋|a－b|＝2
高中数学北师大版选修4-5配套课件：1章末归纳提升
本题综合考查函数解析式的确立，最值的求法，基本不 等式的应用等知识.
证明不等式的基本方法
比较法、综合法和分析法，善于分析题目特征，灵活运 用不等式的性质，根据目标进行变形，但放缩一定要适度．
已知 a＞0， a2－2ab＋c2＝0 且 bc＞a2， 试证明 b ＞c.
【证明】
∵a2－2ab＋c2＝0，
对任意实数 a(a≠0) 和 b，不等式|a＋b|＋ |a － b|≥|a|(|x－1|＋|x－＋|a－b | 【解】 依题意， |x－1|＋|x－2|≤ 恒成立． |a | |a＋b |＋|a－b | 故|x－1|＋ |x－2|≤( )min. |a | 因为|a＋b |＋|a－b |≥|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a |， 当且仅当(a＋b)(a－b)≥0 时取“＝”， |a＋b |＋|a－b | 所以( )min＝2， |a | 因此原不等式等价于|x－1|＋ |x－2|≤2.
1 5 解上述不等式得2≤x≤2， 即为所求 x 的取值范围.
均值不等式与最值
应用均值不等式求最大(小)值，关键在于“一正、二定、 三相等”．也就是：(1)一正：各项必须为正．(2)二定：要求 积的最大值，则其和必须是定值；要求和的最小值，则其积 必须是定值．(3)三相等：必须验证等号是否可以成立．
x2－2x＋2 若－4＜x＜1，则 f(x)＝ 有( 2x－2 A．最小值 1 C．最小值－1 B．最大值 1 D．最大值－1
)
【解析】 设 x－1＝t，则－5＜t＜0. x2－2x＋2 x－12＋1 则 f(x)＝ ＝ 2x－2 2x－1 1 1 ＝ (t＋ )(－5＜t＜0)， 2 t 1 1 ∵t＋ ＝－[(－t)＋ ]≤－2， t －t 当且仅当 t＝－1 时取“＝”号， ∴f(x)≤－1，即 f(x)有最大值－1.
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题型一 题型二 题型三
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Z D 知识梳理 HISHISHULI
典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
【变式训练2】 求不等式|x+4|+|x-2|≤6的解集. 解:令x+4=0,得x=-4.令x-2=0,得x=2. (1)当x≤-4时,原不等式等价于-(x+4)-(x-2)≤6,得-2x-2≤6,即x≥-
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题型一 |ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法
【例1】 解不等式2<|2x-5|≤7.
分析:分清楚绝对值不等式的类型,利用绝对值不等式的定义或
(1)|ax+b|≤c(c>0)型不等式的解法:先化为-c≤ax+b≤c,再利用不
等式的性质求出原不等式的解集,也可以利用绝对值的几何意义求
解.
(2)|ax+b|≥c(c>0)的解法:先化为ax+b≥c和ax+b≤-c,再进一步
利用不等式的性质求出原不等式的解集,也可以利用绝对值的几何
意义求解.
【做一做2】 不等式|x+4|>9的解集是
几何意义求解.
解法一:原不等式等价于
|2������-5| > 2, |2������-5| ≤ 7,
∴ 2������-5 > 2 或 2������-5 < -2,
-7 ≤ 2������-5 ≤ 7,
北师大版高考数学选修4-5同步练习题 第1章 章末复习
章末复习学习目标 1.梳理本章的重要知识要点，构建知识网络.2.进一步强化对平均值不等式的理解和应用，尤其注意等号成立的条件.3.巩固对绝对值不等式的理解和掌握，进一步熟练绝对值不等式的应用.4.熟练掌握不等式的证明方法．1．实数的运算性质与大小顺序的关系：a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＝b ⇔a －b ＝0，a ＜b ⇔a －b ＜0，由此可知要比较两个实数的大小，判断差的符号即可．2．不等式的4个基本性质及5个推论．3．绝对值不等式(1)绝对值不等式的解法解含绝对值的不等式的基本思想是通过去掉绝对值符号，把含绝对值的不等式转化为一元一次不等式或一元二次不等式．去绝对值符号常见的方法有：①根据绝对值的定义；②分区间讨论(零点分段法)；③图像法．(2)绝对值三角不等式①|a|的几何意义表示数轴上的点到原点的距离，|a －b|的几何意义表示数轴上两点间的距离； ②|a ＋b|≤|a|＋|b|(a ，b ∈R ，ab ≥0时等号成立)；③|a －c|≤|a －b|＋|b －c|(a ，b ，c ∈R ，(a －b)(b －c)≥0时等号成立)；④||a|－|b||≤|a ＋b|≤|a|＋|b|(a ，b ∈R ，左边“＝”成立的条件是ab ≤0，右边“＝”成立的条件是ab ≥0)；⑤||a|－|b||≤|a －b|≤|a|＋|b|(a ，b ∈R ，左边“＝”成立的条件是ab ≥0，右边“＝”成立的条件是ab ≤0)．4．平均值不等式(1)定理1：若a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab(当且仅当a ＝b 时取“＝”)．(2)定理2：若a ，b ∈R ＋，则a ＋b 2≥ab(当且仅当a ＝b 时取“＝”)． (3)定理3：若a ，b ，c ∈R ＋，则a 3＋b 3＋c 3≥3abc(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)．(4)定理4：若a ，b ，c ∈R ＋，则a ＋b ＋c 3≥3abc(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)． (5)推论：若a 1，a 2，…，a n ∈R ＋，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n .当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时取“＝”．5．不等式的证明方法(1)比较法．(2)分析法．(3)综合法．(4)反证法．(5)几何法．(6)放缩法．类型一 绝对值不等式的解法例1 解下列关于x 的不等式．(1)|x ＋1|＞|x －3|；(2)|x －2|－|2x ＋5|＞2x.解 (1)方法一 |x ＋1|＞|x －3|，两边平方得(x ＋1)2＞(x －3)2，∴8x ＞8，∴x ＞1.∴原不等式的解集为{x|x ＞1}．方法二 分段讨论：当x ≤－1时，有－x －1＞－x ＋3，此时x ∈∅；当－1＜x ≤3时，有x ＋1＞－x ＋3，即x ＞1，∴此时1＜x ≤3；当x ＞3时，有x ＋1＞x －3，∴x ＞3.∴原不等式解集为{x|x ＞1}．(2)分段讨论：①当x ＜－52时， 原不等式变形为2－x ＋2x ＋5＞2x ，解得x ＜7，∴不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜－52. ②当－52≤x ≤2时，原不等式变形为2－x －2x －5＞2x ，解得x ＜－35， ∴不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －52≤x ＜－35. ③当x ＞2时，原不等式变形为x －2－2x －5＞2x ，解得x ＜－73，∴原不等式无解． 综上可知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜－35. 反思与感悟 含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间的符号，转化为不含绝对值的不等式去解．这种方法通常称为零点分段法．跟踪训练1 已知函数f(x)＝|x －a|，其中a ＞1.(1)当a ＝2时，求不等式f(x)≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f(2x ＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x ≤2}，求a 的值．解 (1)当a ＝2时，f(x)＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f(x)≥4－|x －4|，得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2＜x ＜4时，f(x)≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f(x)≥4－|x －4|，得2x －6≥4，解得x ≥5.所以f(x)≥4－|x －4|的解集为{x|x ≤1或x ≥5}．(2)记h(x)＝f(2x ＋a)－2f(x)，则h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a.由|h(x)|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12. 又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －12＝1，a ＋12＝2，解得a ＝3.类型二 不等式的证明例2 已知a ＞b ＞c ＞d ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d. 证明 ∵a ＞b ＞c ＞d ，∴a －b ＞0，b －c ＞0，c －d ＞0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d (a －d)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d ·[(a－b)＋(b －c)＋(c －d)] ≥331a －b ·1b －c ·1c －d ·33(a －b )(b －c )(c －d )＝9. ∴1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d. 反思与感悟 不等式证明的基本方法是比较法，分析法，综合法，在证明时注意对所证不等式恰当分组，选择适当的方法进行证明．跟踪训练2 已知a ，b ，c ∈R ＋，且ab ＋bc ＋ca ＝1，求证：(1)a ＋b ＋c ≥3； (2)a bc ＋b ac ＋c ab ≥3(a ＋b ＋c)． 证明 (1)要证a ＋b ＋c ≥3，由于a ，b ，c ∈R ＋，因此只需证(a ＋b ＋c)2≥3，即证a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca)≥3，根据条件，只需证a 2＋b 2＋c 2≥1＝ab ＋bc ＋ca ，由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝33时取等号可知， 原不等式成立． (2)a bc ＋b ac ＋c ab ＝a ＋b ＋c abc ， 在(1)中已证a ＋b ＋c ≥3，∴要证原不等式成立，只需证1abc ≥a ＋b ＋c ， ∵ab ＋bc ＋ca ＝1，即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1＝ab ＋bc ＋ca.∵a ，b ，c ∈R ＋，a bc ＝ab·ac≤ab ＋ac 2， b ac ≤ab ＋bc 2，c ab ≤ac ＋bc 2， ∴a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca(当且仅当a ＝b ＝c ＝33时取等号)成立， ∴原不等式成立．类型三 利用平均值不等式求最值例3 已知x ，y ，z ∈R ＋，x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值为______． 答案 3解析 由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z 2， 则y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz ≥6xz ＋6xz 4xz＝3， 当且仅当x ＝3z 时取“＝”．反思与感悟 利用基本不等式求最值问题一般有两种类型(1)当和为定值时，积有最大值．(2)当积为定值时，和有最小值，在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．跟踪训练3 当0＜x ＜π2时，函数f(x)＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x的最小值为________． 答案 4解析 f(x)＝2cos 2x ＋8sin 2x 2sin xcos x ＝cos x sin x ＋4sin x cos x ， ∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos x ＞0，sin x ＞0. 故f(x)＝cos x sin x ＋4sin x cos x≥2cos x sin x ·4sin x cos x ＝4，当且仅当tan x ＝12时取“＝”． 类型四 恒成立问题例4 设函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －4|－a.(1)当a ＝1时，求函数f(x)的最小值；(2)若f(x)≥4a＋1对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f(x)＝|x ＋1|＋|x －4|－1≥|x ＋1＋4－x|－1＝4，∴f(x)min ＝4.(2)f(x)≥4a＋1对任意的实数x 恒成立 ⇔|x ＋1|＋|x －4|－1≥a ＋4a对任意的实数x 恒成立 ⇔a ＋4a≤4. 当a ＜0时，上式成立；当a ＞0时，a ＋4a ≥2a·4a ＝4， 当且仅当a ＝4a，即a ＝2时上式取等号， 此时a ＋4a≤4成立． 综上，实数a 的取值范围为(－∞，0)∪{2}．反思与感悟 不等式恒成立问题，通常是分离参数，将其转化为求最大、最小值问题．当然，根据题目特点，还可能用变更主次元、数形结合等方法．跟踪训练4 已知f(x)＝|ax ＋1|(a ∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x ≤1}．(1)求a 的值；(2)若|f(x)－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2|≤k 恒成立，求k 的取值范围． 解 (1)由|ax ＋1|≤3，得－4≤ax ≤2，∵f(x)≤3的解集为{x|－2≤x ≤1}，∴当a ≤0时，不合题意．又当a ＞0时，－4a ≤x ≤2a， ∴a ＝2.(2)令h(x)＝f(x)－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝|2x ＋1|－|2x ＋2|， ∴h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ≤－1，－4x －3，－1＜x ＜－12，－1，x ≥－12，∴|h(x)|≤1， ∴k ≥1，即k 的取值范围是[1，＋∞)．1．给出下列四个命题：①若a ＞b ，c ＞1，则algc ＞blgc ；②若a ＞b ，c ＞0，则algc ＞blgc ；③若a ＞b ，则a·2c ＞b·2c；④若a ＜b ＜0，c ＞0，则c a ＞c b. 其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 ①正确，c ＞1，lg c ＞0；②不正确，当0＜c ≤1时，lg c ≤0；③正确，2c ＞0；④正确，由a ＜b＜0，得0＞1a ＞1b ，故c a ＞c b. 2．设a ，b 为正实数，以下不等式恒成立的是( ) ①ab ＞2ab a ＋b ；②a ＞|a －b|－b ；③a 2＋b 2＞4ab －3b 2；④ab ＋2ab＞2. A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 答案 D解析 ①不恒成立，因为a ＝b 时取“＝”；②恒成立，因为a ，b 均为正数；③不恒成立，当a ＝2，b ＝1时，a 2＋b 2＝5,4ab －3b 2＝5，a 2＋b 2＝4ab －3b 2.④是恒成立的，因为ab ＋2ab≥22＞2. 3．若a ＝lg22，b ＝lg33，c ＝lg55，则( ) A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c 答案 C解析 a ＝3lg 26＝lg 86，b ＝2lg 36＝lg 96， ∵9＞8，∴b ＞a.b ＝lg 33＝lg 3515，c ＝lg 55＝lg 5315， ∵35＞53，∴b ＞c.a ＝lg 2510＝lg 3210，c ＝lg 2510， ∵32＞25，∴a ＞c.∴b ＞a ＞c ，故选C.4．求不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋x ＋x 22＜1的解集． 解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋x ＋x 22＜1⇔－1＜1＋x ＋x 22＜1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ＋4＞0⇒x ∈R ，x 2＋2x ＜0⇒－2＜x ＜0.∴原不等式的解集为(－2,0)．5．若不等式|x －a|＋|x －2|≥1对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．解 设y ＝|x －a|＋|x －2|，则y min ＝|a －2|.因为不等式|x －a|＋|x －2|≥1对任意x ∈R 恒成立．所以|a －2|≥1，解得a ≥3或a ≤1.1．本章的重点是平均值不等式、绝对值不等式和不等式的证明方法．要特别注意含绝对值不等式的解法．2．重点题型有利用不等式的基本性质、平均值不等式、绝对值不等式证明不等式或求函数最值问题；解绝对值不等式．3．重点考查利用不等式的性质、平均值不等式求函数的最值，含参数的绝对值不等式有解、解集是空集或恒成立问题．4．证明不等式的基本方法及一题多证：证明不等式的基本方法主要有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．证明不等式时既可探索新的证明方法，培养创新意识，也可一题多证，开阔思路，活跃思维，目的是通过证明不等式发展逻辑思维能力，提高数学素养．一、选择题1．a，b∈R＋，那么下列不等式中不正确的是( )A.ab＋ba≥2 B.b2a＋a2b≥a＋bC.ba2＋ab2≤a＋babD.1a2＋1b2≥2ab答案 C解析A满足基本不等式；B可等价变形为(a－b)2(a＋b)≥0，正确；B选项中不等式的两端同除以ab，不等式方向不变，所以C选项不正确；D选项是A选项中不等式的两端同除以ab得到的，D正确．2．设0<x<1，则a＝2x，b＝x＋1，c＝11－x中最大的是( )A．c B．bC．a D．随x取值不同而不同答案 A解析∵0<x<1，∴b＝x＋1>2x>2x＝a，∵11－x－(x＋1)＝1－(1－x2)1－x＝x21－x>0，∴c>b>a.3．“a＜4”是“对任意实数x，|2x－1|＋|2x＋3|≥a成立”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件答案 B解析∵|2x－1|＋|2x＋3|≥|2x－1－(2x＋3)|＝4，∴当a＜4时⇒|2x－1|＋|2x＋3|≥a成立，即充分条件；对任意实数x，|2x－1|＋|2x＋3|≥a⇒a≤4，不能推出a＜4，即必要条件不成立．4．若关于x的不等式|x＋1|≥kx恒成立，则实数k的取值范围是( )A．(－∞，0] B．[－1,0]C．[0,1] D．[0，＋∞)答案 C解析作出y＝|x＋1|与l1：y＝kx的图象如图所示，当k<0时，直线一定经过第二、四象限，从图看出明显不恒成立；当k ＝0时，直线为x 轴，符合题意；当k>0时，要使|x ＋1|≥kx 恒成立，只需k ≤1.综上可知k ∈[0,1]．5．设a ＝(m 2＋1)(n 2＋4)，b ＝(mn ＋2)2，则( )A ．a ＞bB ．a<bC ．a ≤bD ．a ≥b 答案 D解析 ∵a －b ＝(m 2＋1)(n 2＋4)－(mn ＋2)2＝4m 2＋n 2－4mn ＝(2m －n)2≥0，∴a ≥b.6．已知a ，b ，c ，d 为实数，ab ＞0，－c a ＜－d b，则下列不等式中成立的是( ) A ．bc ＜adB ．bc ＞ad C.a c ＞b dD.a c ＜b d答案 B解析 将－c a ＜－d b两边同乘以正数ab ，得－bc ＜－ad ，所以bc ＞ad. 二、填空题7．已知不等式|x ＋2|－|x|≤a 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．答案 [－2，＋∞)解析 ∵||x ＋2|－|x||≤|x ＋2－x|＝2，∴2≥|x ＋2|－|x|≥－2，∵不等式|x ＋2|－|x|≤a 的解集不是空集，∴a ≥－2.8．当x ＞1时，x 3与x 2－x ＋1的大小关系是________．答案 x 3＞x 2－x ＋1解析 ∵x 3－(x 2－x ＋1)＝x 3－x 2＋x －1＝x 2(x －1)＋(x －1)＝(x －1)(x 2＋1)，且x ＞1，∴(x －1)(x 2＋1)＞0.∴x 3－(x 2－x ＋1)＞0，即x 3＞x 2－x ＋1.9．定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y)⊗x 的最小值为________．答案 2解析 因为x ⊗y ＝x 2－y 2xy ，所以(2y)⊗x ＝4y 2－x 22xy. 又x ＞0，y ＞0，故x ⊗y ＋(2y)⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ≥22xy 2xy ＝2，当且仅当x ＝2y 时等号成立．10．若f(x)＝2|x ＋1|－|x －1|且f(x)≥22，则x 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 解析 ∵f(x)＝2x是增函数，∴f(x)≥22，即|x ＋1|－|x －1|≥32， ①⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，2≥32，∴x ≥1，②⎩⎪⎨⎪⎧ －1＜x ＜1，2x ≥32，∴34≤x ＜1， ③⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－1，－2≤32，无解．综上x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 11．已知函数f(x)＝|x －a|，若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x ≤5}，则实数a 的值为________． 答案 2解析 由f(x)≤3，得|x －a|≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2，所以实数a 的值为2.三、解答题12．已知函数f(x)＝1＋x 2，a ≠b ，设a ，b ∈R ，求证：|f(a)－f(b)|<|a －b|.证明 方法一 |f(a)－f(b)|<|a －b|⇔|1＋a 2－1＋b 2|<|a －b|⇔|1＋a 2－1＋b 2|2<|a －b|2⇔2＋a 2＋b 2－2(1＋a 2)(1＋b 2)<a 2－2ab ＋b 2⇔1＋ab<(1＋a 2)(1＋b 2).①当1＋ab ≤0时，①式显然成立．当1＋ab>0时，①⇔(1＋ab)2<[(1＋a 2)(1＋b 2)]2⇔1＋2ab ＋a 2b 2<1＋a 2＋b 2＋a 2b 2⇔2ab<a 2＋b 2，∵a ≠b ，∴2ab<a 2＋b 2成立．∴①式成立．综上知，原不等式成立．方法二 当a ＝－b 时，原不等式显然成立．当a ≠－b 时，∵|1＋a 2－1＋b 2|＝|(1＋a 2)－(1＋b 2)|1＋a 2＋1＋b 2<|a 2－b 2||a|＋|b|≤|a ＋b|·|a－b||a ＋b|＝|a －b|， ∴原不等式成立．13．(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝|x ＋1|－|x －2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．解 (1)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f(x)≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f(x)≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2；当x ＞2时，由f(x)≥1，解得x ＞2.所以f(x)≥1的解集为{x|x ≥1}．(2)由f(x)≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ，而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x|－322＋54≤54. 当且仅当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54， 故m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54. 四、探究与拓展14．设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ；(2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b|＜|c －d|的充要条件．证明 (1)因为(a ＋b)2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d)2＝c ＋d ＋2cd ，又a ＋b ＝c ＋d ，ab ＞cd ，所以(a ＋b)2＞(c ＋d)2. 因此a ＋b ＞c ＋ d.(2)①若|a －b|＜|c －d|，则(a －b)2＜(c －d)2,即(a ＋b)2－4ab ＜(c ＋d)2－4cd.因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd.由(1)得a ＋b ＞c ＋ d. ②若a ＋b ＞c ＋d ，则(a ＋b)2＞(c ＋d)2，即a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd.因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd ，于是(a －b)2＝(a ＋b)2－4ab ＜(c ＋d)2－4cd ＝(c －d)2.因此|a －b|＜|c －d|. 综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b|＜|c －d|的充要条件．15．(2018·全国Ⅰ)已知f(x)＝|x ＋1|－|ax －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f(x)＞x 成立，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f(x)＝|x ＋1|－|x －1|，即f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2，x ≤－1，2x ，－1＜x ＜1，2，x ≥1.故不等式f(x)＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＞12. (2)当x ∈(0,1)时，|x ＋1|－|ax －1|＞x 成立等价于当x ∈(0,1)时，|ax －1|＜1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1；若a ＞0，则|ax －1|＜1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 0＜x ＜2a ， 所以2a≥1，故0＜a ≤2. 综上，a 的取值范围为(0,2]．。
2019-2020学年北师大版高中数学选修4-5同步配套课件：1.2含有绝对值的不等式1.2.1 .pdf
∴y∈[-5,5],∴ymax=5,ymin=-5.
反思1.形如y=|x-a|+|x-b|或y=|x-a|-|x-b|型函数的最值,均可利用 绝对值不等式或其几何意义进行求解.
2.一般地,函数y=|x-a|+|x-b|有最小值|a-b|,无最大值;函数y=|x-a||x-b|的最大值为|a-b|,最小值为-|a-b|.
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【变式训练3】 设f(x)=x2-x+13,实数a满足|x-a|<1.求证:|f(x)-
f(a)|<2(|a|+1).
证明:∵f(x)=x2-x+13,|x-a|<1, ∴|f(x)-f(a)|=|x2-x-a2+a|=|x-a||x+a-1|<|x+a-1|. 又∵|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|<1+2|a|+1=2(|a|+1), ∴|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).
∴g(1)≤g(x)≤g(-1). ∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,∴|c|=|f(0)|≤1,
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∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤|f(-1)|+|c|≤2,g(1)=a+b=f(1)-c≥-
北师大版高考数学选修4-5同步练习题 第2章 章末复习
章末复习学习目标 1.梳理本章的重点知识，构建知识网络.2.进一步理解柯西不等式、排序不等式和贝努利不等式，并能够熟练应用.3.理解数学归纳法的基本思想，初步形成“归纳—猜想—证明”的思维模式．1．柯西不等式定理1：对任意实数a ，b ，c ，d ，有(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd)2.当向量(a ，b)与向量(c ，d)共线时，等号成立．定理2：设a 1，a 2，…，a n 与b 1，b 2，…，b n 是两组实数，则有(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.当向量(a 1，a 2，…，a n )与向量(b 1，b 2，…，b n )共线时，等号成立．即a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a n b n 时(规定a i ＝0时，b i ＝0)等号成立．推论：设a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3是两组实数，则有(a 21＋a 22＋a 23)(b 21＋b 22＋b 23)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2. 当向量(a 1，a 2，a 3)与向量(b 1，b 2，b 3)共线时等号成立． 2．排序不等式定理1：设a ，b 和c ，d 都是实数，如果a ≥b ，c ≥d ，那么ac ＋bd ≥ad ＋bc. 当且仅当a ＝b(或c ＝d)时取“＝”号． 定理2：(排序不等式)设有两个有序实数组 a 1≥a 2≥…≥a n 及b 1≥b 2≥…≥b n ， 则(顺序和)a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≥ (乱序和)1212n j j n j a b a b a b ＋＋＋≥ (逆序和)a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1.其中j 1，j 2，…，j n 是1,2，…，n 的任一排列方式，上式当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n (或b 1＝b 2＝…＝b n )时取“＝”号． 3．贝努利不等式对任何实数x ≥－1和任何正整数n ，有(1＋x)n≥1＋nx.4．数学归纳法数学归纳法原理是证明关于正整数n 的命题．步骤：(1)验证当n 取第一个值n 0(如n 0＝1或2等)时命题正确．(2)假设当n ＝k 时(k ∈N ＋，k ≥n 0)命题正确，证明当n ＝k ＋1时命题也正确.类型一 利用柯西不等式证明不等式例1 已知a ，b ，c ，d 为不全相等的正数，求证：1a 2＋1b 2＋1c 2＋1d 2＞1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da.证明 由柯西不等式知，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＋1c 2＋1d 2· ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2＋1c 2＋1d 2＋1a 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da 2， 于是1a 2＋1b 2＋1c 2＋1d 2≥1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da.①等号成立⇔1a 1b ＝1b 1c ＝1c 1d ＝1d 1a ⇔b a ＝c b ＝d c ＝ad ⇔a ＝b ＝c ＝d.又已知a ，b ，c ，d 不全相等，则①中等号不成立． 即1a 2＋1b 2＋1c 2＋1d 2＞1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da . 反思与感悟 利用柯西不等式证题的技巧(1)柯西不等式的一般形式为(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2(a i ，b i ∈R ，i ＝1,2，…，n)，形式简洁、美观、对称性强，灵活地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式的证明问题迎刃而解．(2)利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数，并向着柯西不等式的形式进行转化，运用时要注意体会．跟踪训练1 设a ，b ，c 为正数且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2≥1003.证明 ∵左边＝13(12＋12＋12)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2≥13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥13(1＋9)2＝1003. 等号成立的条件均为a ＝b ＝c ＝13，∴原结论成立．类型二 利用排序不等式证明不等式例2 设A ，B ，C 表示△ABC 的三个内角弧度数，a ，b ，c 表示其对边，求证：aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3.证明 不妨设a ≤b ≤c ，于是A ≤B ≤C. 由排序不等式，得 aA ＋bB ＋cC ＝aA ＋bB ＋cC ， aA ＋bB ＋cC ≥bA ＋cB ＋aC ， aA ＋bB ＋cC ≥cA ＋aB ＋bC.三式相加，得3(aA ＋bB ＋cC)≥(a ＋b ＋c)(A ＋B ＋C) ＝π(a＋b ＋c)，得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3.引申探究若本例条件不变，求证：aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ＜π2.证明 不妨设a ≤b ≤c ，于是A ≤B ≤C. 由0＜b ＋c －a,0＜a ＋b －c,0＜a ＋c －b ， 有0＜A(b ＋c －a)＋C(a ＋b －c)＋B(a ＋c －b) ＝a(B ＋C －A)＋b(A ＋C －B)＋c(A ＋B －C) ＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C) ＝(a ＋b ＋c)π－2(aA ＋bB ＋cC)． 得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ＜π2.反思与感悟 利用排序不等式证明不等式的策略(1)在利用排序不等式证明不等式时，首先考虑构造出两个合适的有序数组，并能根据需要进行恰当地组合．这需要结合题目的已知条件及待证不等式的结构特点进行合理选择．(2)根据排序不等式的特点，与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简捷．跟踪训练2 设a ，b ，c 为正数，求证：a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab ≥a 10＋b 10＋c 10.证明 由a ，b ，c 的对称性，不妨设a ≥b ≥c ， 于是a 12≥b 12≥c 12，1bc ≥1ca ≥1ab .由排序不等式，得a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab ≥a 12ab ＋b 12bc ＋c 12ca ＝a 11b ＋b 11c ＋c11a .① 又因为a 11≥b 11≥c 11，1a ≤1b ≤1c，再次由排序不等式，得 a 11a ＋b 11b ＋c 11c ≤a 11b ＋b 11c ＋c11a .② 由①②得a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab ≥a 10＋b 10＋c 10.等号成立的条件为a ＝b ＝c. 类型三 归纳—猜想—证明例3 已知数列{a n }的第一项a 1＝5且S n －1＝a n (n ≥2，n ∈N ＋)． (1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式． (1)解 a 2＝S 1＝a 1＝5，a 3＝S 2＝a 1＋a 2＝10， a 4＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝5＋5＋10＝20，猜想a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，5×2n －2，n ≥2，n ∈N ＋.(2)证明 ①当n ＝2时，a 2＝5×22－2＝5，公式成立． ②假设当n ＝k 时成立，即a k ＝5×2k －2(k ≥2，k ∈N ＋)，当n ＝k ＋1时，由已知条件和假设，有 a k ＋1＝S k ＝a 1＋a 2＋…＋a k ＝5＋5＋10＋…＋5×2k －2＝5＋5(1－2k －1)1－2＝5×2k －1.故当n ＝k ＋1时公式也成立．由①②可知，对n ≥2，n ∈N ＋均有a n ＝5×2n －2.所以数列{a n }的通项a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，5×2n －2，n ≥2，n ∈N ＋.反思与感悟 利用数学归纳法解决探索型不等式的思路：观察——归纳——猜想——证明．即先通过观察部分项的特点，进行归纳，判断并猜想出一般结论，然后用数学归纳法进行证明．跟踪训练3 在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N ＋)．(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，并猜想a n ，b n 的表达式； (2)用数学归纳法证明你的猜想．(1)解 由条件可得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1， 则a 2＝2b 1－a 1＝6，b 2＝a 22b 1＝9；a 3＝2b 2－a 2＝12，b 3＝a 23b 2＝16；a 4＝2b 3－a 3＝20，b 4＝a 24b 3＝25.猜想a n ＝n(n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2.(2)证明 ①当n ＝1时，由a 1＝2，b 1＝4知，结论正确． ②假设当n ＝k(k ≥1，k ∈N ＋)时结论正确， 即a k ＝k(k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2. 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k(k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)， b k ＋1＝a 2k ＋1b k ＝(k ＋1)2(k ＋2)2(k ＋1)2＝(k ＋2)2. 即当n ＝k ＋1时结论正确． 由①②知猜想的结论正确．类型四 利用柯西不等式或排序不等式求最值例4 (1)求实数x ，y 的值，使得(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2达到最小值． 解 由柯西不等式，得(12＋22＋12)×[(y －1)2＋(3－x －y)2＋(2x ＋y －6)2] ≥[1×(y －1)＋2×(3－x －y)＋1×(2x＋y －6)]2＝1， 即(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2≥16，当且仅当y －11＝3－x －y 2＝2x ＋y －61，即x ＝52，y ＝56时，上式取等号．故x ＝52，y ＝56.(2)设a 1，a 2，a 3，a 4，a 5是互不相等的正整数，求M ＝a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋a 552的最小值．解 设b 1，b 2，b 3，b 4，b 5是a 1，a 2，a 3，a 4，a 5的一个排列，且b 1＜b 2＜b 3＜b 4＜b 5. 因此b 1≥1，b 2≥2，b 3≥3，b 4≥4，b 5≥5. 又1≥122≥132≥142≥152.由排序不等式，得a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋a 552≥b 1＋b 222＋b 332＋b 442＋b 552≥1×1＋2×122＋3×132＋4×142＋5×152＝1＋12＋13＋14＋15＝13760.即M 的最小值为13760.反思与感悟 利用柯西不等式或排序不等式求最值的技巧(1)有关不等式问题往往要涉及对式子或量的范围的限定，其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理．在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易．(2)在利用柯西不等式或排序不等式求最值时，要关注等号成立的条件，不能忽略． 跟踪训练4 已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝xyz ，且不等式1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤λ恒成立，求λ的取值范围． 解1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x ≤12xy ＋12yz ＋12zx＝12⎝⎛⎭⎪⎫1×zx ＋y ＋z＋1×xx ＋y ＋z＋1×y x ＋y ＋z≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(12＋12＋12)⎝ ⎛⎭⎪⎫z x ＋y ＋z ＋x x ＋y ＋z ＋y x ＋y ＋z 12＝32. 故λ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.1．函数y ＝21－x ＋2x ＋1的最大值为( ) A.3B ．－3C ．－3D ．3 答案 D解析 y 2＝(2·2－2x ＋1·2x ＋1)2≤[(2)2＋12][(2－2x)2＋(2x ＋1)2]＝3×3＝9. ∴y ≤3，y 的最大值为3.2．设x ，y ，m ，n>0，且m x ＋ny ＝1，则u ＝x ＋y 的最小值是( )A ．(m ＋n)2B.mC.n D ．(m ＋n)2答案 A解析 根据柯西不等式，得x ＋y ＝(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫m x ＋n y ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·m x ＋y ·n y 2＝()m ＋n 2，当且仅当x m ＝y n时，等号成立，这时u 取最小值(m ＋n)2.3．设a 1，a 2，…，a n 都是正数，b 1，b 2，…，b n 是a 1，a 2，…，a n 的任一排列，P ＝a 21b －11＋a 22b －12＋…＋a 2n b －1n ，Q ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则P 与Q 的大小关系是( )A ．P ＝QB ．P>QC ．P<QD ．P ≥Q答案 D解析 设a 1≥a 2≥…≥a n >0，可知a 21≥a 22≥…≥a 2n ，a －1n ≥a －1n －1≥…≥a －11. 由排序不等式，得a 21b －11＋a 22b －12＋…＋a 2n b －1n ≥a 21a －11＋a 22a －12＋a 2n a －1n ， 即a 21b －11＋a 22b －12＋…＋a 2n b －1n ≥a 1＋a 2＋…＋a n . ∴P ≥Q ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n >0时等号成立．4．用数学归纳法证明“n 3＋5n 能被6整除”的过程中，当n ＝k ＋1时，对式子(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为________________________． 答案 k 3＋5k ＋3k(k ＋1)＋6解析 (k ＋1)3＋5(k ＋1)＝k 3＋3k 2＋3k ＋1＋5k ＋5＝k 3＋5k ＋3k 2＋3k ＋6 ＝k 3＋5k ＋3k(k ＋1)＋6.5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋4＋…＋n 2＝n 4＋n22(n ∈N ＋)，则当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上________________． 答案 (k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2解析 当n ＝k ＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，所以增加了(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2.1．对于柯西不等式要特别注意其向量形式的几何意义，从柯西不等式的几何意义出发就得到了三角形式的柯西不等式，柯西不等式的一般形式也可以写成向量形式．2．参数配方法是由旧知识得到的新方法，注意体会此方法的数学思想．3．对于排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立的条件是其中一序列为常数序列． 4．数学归纳法是用来证明和正整数有关的命题的，要特别注意归纳奠基和归纳递推是必不可少的两个步骤．一、选择题1．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，则a 的最大值是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 ∵(2b 2＋3c 2＋6d 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋16≥(b ＋c ＋d)2，即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d)2. ∴5－a 2≥(3－a)2. 解得1≤a ≤2.验证：当a ＝2时，等号成立．2．已知2x ＋3y ＋4z ＝10，则x 2＋y 2＋z 2取到最小值时的x ，y ，z 的值为( ) A.53，109，56 B.2029，3029，4029 C ．1，12，13D ．1，14，19答案 B解析 由柯西不等式，得(22＋32＋42)(x 2＋y 2＋z 2)≥(2x ＋3y ＋4z)2， 即x 2＋y 2＋z 2≥10029.当且仅当x 2＝y 3＝z4时，等号成立，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝y 3＝z 4，2x ＋3y ＋4z ＝10，可得x ＝2029，y ＝3029，z ＝4029.3．已知x ，y ∈R ＋，且xy ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y 的最小值为( )A ．4B ．2C ．1D.14答案 A解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫1×1＋1x×1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1xy 2＝22＝4. 4．已知a ，b ，x 1，x 2∈R ＋，ab ＝1，x 1＋x 2＝2，则M ＝(ax 1＋bx 2)(bx 1＋ax 2)与4的大小关系是( ) A ．M ＞4B ．M ＜4 C ．M ≥4D ．M ≤4 答案 C解析 M ＝(ax 1＋bx 2)(bx 1＋ax 2)＝[(ax 1)2＋(bx 2)2]·[(bx 1)2＋(ax 2)2] ≥[ab(x 1＋x 2)]2＝(x 1＋x 2)2＝4.5．用数学归纳法证明对一切大于1的自然数n ，不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n －1＞2n ＋12成立时，当n ＝2时验证的不等式是( ) A ．1＋13＞52B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15＞52C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15≥52D ．以上都不对答案 A解析 当n ＝2时，2n －1＝3,2n ＋1＝5，∴1＋13＞52.6．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764(n ∈N ＋)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10 答案 B解析 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.二、填空题7．设f(n)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋n ，用数学归纳法证明f(n)≥3，在假设当n ＝k 时成立后，f(k ＋1)与f(k)的关系是f(k ＋1)＝f(k)·________________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋2k k ＋1解析 f(k)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋1…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋k ，f(k ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋2…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋k ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋k ＋2， ∴f(k ＋1)＝f(k)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋2k k ＋1. 8．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋2，用数学归纳法证明a n ＝4·2n －1－2的第二步中，设当n ＝k 时结论成立，即a k ＝4·2k －1－2，那么当n ＝k ＋1时，应证明等式_________成立． 答案 a k ＋1＝4·2(k ＋1)－1－29．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n 条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n ＞4时，f(n)＝________(用含n 的式子表示)． 答案 5 12(n －2)(n ＋1)解析 f(3)＝2，f(4)＝5，f(5)＝9，f(6)＝14，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．∴f(4)－f(3)＝3，f(5)－f(4)＝4，f(6)－f(5)＝5，…，f(n)－f(n －1)＝n －1. 累加，得f(n)－f(3)＝3＋4＋…＋(n －1)＝3＋(n －1)2(n －3)．∴f(n)＝12(n －2)(n ＋1)．10．如图，矩形OPAQ 中，a 1≤a 2，b 1≤b 2，则阴影部分的矩形面积之和________空白部分的矩形面积之和．答案 ≥解析 由题图可知，阴影部分的面积等于a 1b 1＋a 2b 2，而空白部分的面积等于a 1b 2＋a 2b 1，根据顺序和≥逆序和可知，答案为≥. 三、解答题11．已知f(n)＝(2n ＋7)×3n＋9(n ∈N ＋)，用数学归纳法证明f(n)能被36整除． 证明 (1)当n ＝1时，f(1)＝(2＋7)×3＋9＝36，能被36整除． (2)假设当n ＝k(k ∈N ＋)时，f(k)＝(2k ＋7)×3k＋9能被36整除， 则当n ＝k ＋1时，f(k ＋1)＝[2(k ＋1)＋7]×3k ＋1＋9＝(2k ＋7)×3k ＋1＋2×3k ＋1＋9＝(2k ＋7)×3k×3＋2×3k ＋1＋9＝3[(2k ＋7)×3k ＋9]－27＋2×3k ＋1＋9＝3[(2k ＋7)×3k＋9]＋18(3k －1－1)．由于3k －1－1是2的倍数，故18(3k －1－1)能被36整除，即当n ＝k ＋1时，f(k ＋1)也能被36整除．根据(1)和(2)可知，对一切正整数n ，都有f(n)＝(2n ＋7)×3n＋9能被36整除． 12．设x 1，x 2，…，x n ∈R ＋，且x 1＋x 2＋…＋x n ＝1.求证：x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n 1＋x n ≥1n ＋1.证明 ∵(n ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n 1＋x n＝(1＋x 1＋1＋x 2＋…＋1＋x n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n 1＋x n ≥⎝⎛⎭⎪⎫1＋x 1·x 11＋x 1＋1＋x 2·x 21＋x 2＋…＋1＋x n ·x n1＋x n 2＝(x 1＋x 2＋…＋x n )2＝1， ∴x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n 1＋x n ≥1n ＋1. 13．已知a ，b ，c 为正数，求证：b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c ≥abc.证明 考虑到正数a ，b ，c 的对称性，不妨设a ≥b ≥c>0， 则1a ≤1b ≤1c，bc ≤ca ≤ab ， 由排序不等式知，顺序和≥乱序和，∴bc a ＋ca b ＋ab c ≥ab b ＋bc c ＋ca a， 即b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2abc≥a ＋b ＋c. ∵a ，b ，c 为正数，∴两边同乘以abc a ＋b ＋c， 得b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c≥abc. 四、探究与拓展14．上一个n 层的台阶，若每次可上一层或两层，设所有不同上法的总数为f(n)，则下列猜想正确的是( )A ．f(n)＝nB ．f(n)＝f(n)＋f(n －2)C ．f(n)＝f(n)·f(n－2)D ．f(n)＝⎩⎪⎨⎪⎧ n ，n ＝1，2，f (n －1)＋f (n －2)，n ≥3答案 D解析 当n ≥3时，f(n)分两类，第一类，从第n －1层再上一层，有f(n －1)种方法；第二类，从第n －2层再一次上两层，有f(n －2)种方法，所以f(n)＝f(n －1)＋f(n －2)，n ≥3.15．已知f(n)＝1＋12＋13＋ (1)(n ∈N ＋)，g(n)＝2(n ＋1－1)(n ∈N ＋)． (1)当n ＝1,2,3时，分别比较f(n)与g(n)的大小(直接给出结论)；(2)由(1)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并证明你的结论．解 (1)f(1)＞g(1)，f(2)＞g(2)，f(3)＞g(3)．(2)当n ＝1时，f(1)＞g(1)；当n ＝2时，f(2)＞g(2)；当n ＝3时，f(3)＞g(3)．猜想：f(n)＞g(n)(n ∈N ＋)，即1＋12＋13＋…＋1n ＞2(n ＋1－1)(n ∈N ＋)． 下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，f(1)＝1，g(1)＝2(2－1)，f(1)＞g(1)，不等式成立．②假设当n ＝k(k ≥1，k ∈N ＋)时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋1k ＞2(k ＋1－1)． 则当n ＝k ＋1时，f(k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＞2(k ＋1－1)＋1k ＋1＝2k ＋1＋1k ＋1－2，g(k＋1)＝2(k＋2－1)＝2k＋2－2，所以只需证明2k＋1＋1k＋1＞2k＋2，即证2(k＋1)＋1＝2k＋3＞2(k＋2)(k＋1)，即证(2k＋3)2＞4(k＋2)(k＋1)，即证4k2＋12k＋9＞4k2＋12k＋8，此式显然成立．所以，当n＝k＋1时不等式也成立．综上①②可知，对n∈N＋，不等式都成立，即1＋12＋13＋…＋1n＞2(n＋1－1)(n∈N＋)成立．。
北师大版高中数学选修4-5同步配套课件：本章整合2
解决实际应用问题,主要在于数学模型的建立和目标函数的求解,
只要找好这两点问题便容易解决.
应用 等腰直角三角形AOB的直角边长为1,在此三角形中任取点
P,过点P分别作三边的平行线,与各边围成以P为顶点的三个三角形,
求这三个三角形的面积和的最小值,以及达到最小值时点P的位置.
提示:本题需要建立坐标系,然后设点 P 坐标为 P(xP,yP),建立阴影
专题一
专题二
专题三
知识建构
综合应用
应用1 已知x+2y+3z=1,求x2+y2+z2的最小值.
提示:利用柯西不等式进行变形.
解:(x2+y2+z2)(12+22+32)≥(x+2y+3z)2=1,
∴x2+y2+z2≥ 1 .
14
当且仅当 ������ = ������ = ������ , 即x= 1 , ������ = 1 , ������ = 3 时,
本章整合
-1-
知识建构
综合应用
真题放送
柯西不等式 简单形式的柯西不等式 一般形式的柯西不等式
几个重要的不等式 排序不等式 数学归纳法
数学归纳法与贝努利不等式 贝努利不等式
专题一
专题二
专题三
知识建构
综合应用
真题放送
专题一 利用不等式的性质解决最值问题 应用柯西不等式和排序不等式来解决最值问题,是一种常见的题 型,也是不等式的重要应用.在解题过程中要注意:(1)充分利用已知 条件中的定值;(2)验证等号是否成立;(3)综合应用不等式的性质.
������-1 + ������-2
2
2019-2020学年北师大版高中数学选修4-5同步配套课件：2.3数学归纳法与贝努利不等式2.3.2 .pdf
S随堂演练 UITANGYANLIAN
2.贝努利不等式 对任何实数x≥-1和任何正整数n,有(1+x)n≥1+nx. 【做一做2】 设n∈N+,求证:3n>2n. 分析:利用贝努利不等式来证明.
证明:∵3n=(1+2)n,根据贝努利不等式,有(1+2)n≥1+n×2=1+2n.
上式右边舍去1,得(1+2)n>2n.
1
1
1
= ������ + 1 + ������ + 2 + ⋯ + 3������ + 3������ + 1 + 3������ + 2 + 3������ + 3 - ������ + 1
5
1
1
1
1
> 6 + 3������ + 1 + 3������ + 2 + 3������ + 3 - ������ + 1
������ +1
· 1+ 1
-1
������ +1
(������ + 1)(������ + 1) ������+1 ������ + 1
= ������(������ + 2)
·������ + 2
1 + ������(������ + 2) ������+1 ������ + 1
= ������(������ + 2)
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典例透析
2019-2020学年北师大版高中数学选修4-5同步配套课件：1.1不等式的性质
解:由 a>b>c>0,得 a2ab2bc2c>0,ab+cbc+aca+b>0.
������ 2������ ������ 2������������ 2������ ������ ������ +������������ ������+������ ������ ������+������
=
������ ������
2
44
答案:>
【做一做1-2】 比较1816与1618的大小.
分析:两个数是幂的形式,比较大小一般采用求商的方法.
解:
1816 1618
=
18 16
16
×
1 162
=
∵ 9 ∈(0,1),
82
9 16
∴
< 1.
82
∵1816>0,1618>0,
∴1816<1618.
9
16
×
8
1
16
=
9
16
.
2
82
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名师点拨不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论基础,必
须熟练掌握.
应用不等式的性质时要注意:(1)性质成立的条件;(2)理清条件是
充分条件,还是充要条件.
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典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
【做一做2-1】 若a>b>c,则下列不等式成立的是( )
同理
������
������ -������
> 1,
������