近世代数模拟试题--附详细答案

近世代数模拟试题一一、单项选择题<本大题共5小题,每小题3分,共15分>在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设A ＝B ＝R<实数集>,如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2,∀x ∈R,则ϕ是从A 到B 的〔 〕A 、满射而非单射B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素,集合B 中含有2个元素,则,A 与B 的积集合A ×B 中含有〔 〕个元素。

A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b,ya=b, a,b ∈G 都有解,这个解是〔 〕乘法来说A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的<两方程解一样> 4、当G 为有限群,子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数〔 〕A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。

5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的〔 〕A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题<本大题共10小题,每空3分,共30分>请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ,则有=⨯A B ---------。

2、若有元素e ∈R 使每a ∈A,都有ae=ea=a,则e 称为环R 的--------。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R 的乘法交换,则称R 是一个------。

4、偶数环是---------的子环。

5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。

6、每一个有限群都有与一个置换群--------。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是---,元a 的逆元是-------。

8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆,如果I 是R 的最##想,则---------。

9、一个除环的中心是一个-------。

三、解答题〔本大题共3小题,每小题10分,共30分〕1、设置换σ和τ分别为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6417352812345678σ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2318765412345678τ,判断σ和τ的奇偶性,并把σ和τ写成对换的乘积。

2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

3、设集合)1}(,1,,2,1,0{ m m m M m -⋯⋯=,定义m M 中运算"m +"为a m +b=<a+b><modm>,则〔m M ,m +〕是不是群,为什么？四、证明题〔本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分〕1、设G 是群。

证明：如果对任意的G x ∈,有e x =2,则G 是交换群。

2、假定R 是一个有两个以上的元的环,F 是一个包含R 的域,则F 包含R 的一个商域。

近世代数模拟试题二一、单项选择题<本大题共5小题,每小题3分,共15分>在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设G 有6个元素的循环群,a 是生成元,则G 的子集〔 〕是子群。

A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统〔G,*〕中,〔 〕不是群A 、G 为整数集合,*为加法B 、G 为偶数集合,*为加法C 、G 为有理数集合,*为加法D 、G 为有理数集合,*为乘法3、在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的？〔 〕A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换,其中1σ=〔12〕〔23〕〔13〕,2σ=〔24〕〔14〕,3σ=〔1324〕,则3σ=〔 〕 A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群,它〔 〕。

A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题<本大题共10小题,每空3分,共30分>请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。

2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。

3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于------。

4、a 的阶若是一个有限整数n,则G 与-------同构。

5、A={} B={2.5.6} 则A ∩B=-----。

6、若映射ϕ既是单射又是满射,则称ϕ为-----------------。

7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。

8、a 是代数系统)0,(A 的元素,对任何A x ∈均成立x a x = ,则称a 为---------。

9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群,如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、---------。

10、一个环R 对于加法来作成一个循环群,则P 是----------。

三、解答题〔本大题共3小题,每小题10分,共30分〕1、设集合A={1,2,3}G 是A 上的置换群,H 是G 的子群,H={I,<1 2>},写出H 的所有陪集。

2、设E 是所有偶数做成的集合,"•"是数的乘法,则"•"是E 中的运算,〔E,•〕是一个代数系统,问〔E,•〕是不是群,为什么？3、a=493, b=391, 求<a,b>, [a,b] 和p, q 。

四、证明题〔本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分〕1、若<G,*>是群,则对于任意的a 、b ∈G,必有惟一的x ∈G 使得a*x ＝b 。

2、设m 是一个正整数,利用m 定义整数集Z 上的二元关系：a 〜b 当且仅当m ︱a –b 。

近世代数模拟试题三一、单项选择题<本大题共5小题,每小题3分,共15分>在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、6阶有限群的任何子群一定不是〔〕。

A、2阶B、3 阶C、4 阶D、 6 阶2、设G是群,G有〔〕个元素,则不能肯定G是交换群。

A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于〔〕。

A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格〔〕A、〔N,≤〕B、〔Z,≥〕C、〔{2,3,4,6,12},|〔整除关系〕〕D、 <P<A>,⊆>5、设S3＝{<1>,<12>,<13>,<23>,<123>,<132>},则,在S3中可以与<123>交换的所有元素有〔〕A、<1>,<123>,<132>B、12>,<13>,<23>C、<1>,<123>D、S3中的所有元素二、填空题<本大题共10小题,每空3分,共30分>请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、群的单位元是--------的,每个元素的逆元素是--------的。

2、如果f是A与A间的一一映射,a是A的一个元,则()[]=-aff1----------。

3、区间[1,2]上的运算},{min baba=的单位元是-------。

4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。

5、环Z8的零因子有-----------------------。

6、一个子群H的右、左陪集的个数----------。

7、从同构的观点,每个群只能同构于他/它自己的---------。

8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。

9、设群G中元素a的阶为m,如果ea n=,则m与n存在整除关系为--------。

三、解答题〔本大题共3小题,每小题10分,共30分〕1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链,问可做出多少种不同的项链？2、S 1,S 2是A 的子环,则S 1∩S 2也是子环。

S 1+S 2也是子环吗？3、设有置换)1245)(1345(=σ,6)456)(234(S ∈=τ。

1．求στ和στ-1；2．确定置换στ和στ-1的奇偶性。

四、证明题〔本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分〕1、一个除环R 只有两个理想就是零理想和单位理想。

2、M 为含幺半群,证明b =a -1的充分必要条件是aba =a 和ab 2a =e 。

近世代数模拟试题四一、单项选择题<本大题共5小题,每小题3分,共15分>在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设集合A 中含有5个元素,集合B 中含有2个元素,则,A 与B 的积集合A ×B 中含有〔 〕个元素。

A.2B.5C.7D.102.设A ＝B ＝R<实数集>,如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2,∀x ∈R,则ϕ是从A 到B 的〔 〕A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射3.设S3＝{<1>,<12>,<13>,<23>,<123>,<132>},则,在S3中可以与<123>交换的所有元素有〔〕A.<1>,<123>,<132>B.<12>,<13>,<23>C.<1>,<123>D.S3中的所有元素4.设Z15是以15为模的剩余类加群,则,Z15的子群共有〔〕个。

5.下列集合关于所给的运算不作成环的是〔〕A.整系数多项式全体Z［x］关于多项式的加法与乘法B.有理数域Q上的n级矩阵全体M n<Q>关于矩阵的加法与乘法C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法" "：∀m, n∈Z, m n＝0D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法" "：∀m, n∈Z, m n＝1二、填空题<本大题共10小题,每空3分,共30分>请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6.设"～"是集合A的一个关系,如果"～"满足___________,则称"～"是A的一个等价关系。