证券组合的风险度量

两种证券组合的风险度量
设有两种证券A 和B ，某投资者把x A 比例的资金投资证券A ，x B 比例的资金投向证券B ，有x A +x B =1，x A 、x B 可小于0。

A 证券和
B 证券对应的预期收益率和标准差分别为B A B A r E r E σσ,),(),(，则对组合P={}B A x x ,，利用多个证券组合风险模型，令2=n ，有：
B B A A p r x r x r +=
)()()(B B A A p r E x r E x r E +=，
B A AB B A B B A A p p P x x x x r r σσρσσσ.2),cov(22222++== （1）
A B B A x x x x -=∴=+11 ，代入上式，有结论
2
122
22
]
).1(2)1([)
()1()()(B A AB A A B
A A
A P
B A A A P x x x x r E x r E x r E σσρσσσ-+-+=-+= （2）
其中，AB ρ是证券A 与证券B 的收益率r A 与r B 的相关系数。

讨论三种极端
的情况，证券A 与证券B 完全正相关(1=ρ)、完全负相关()1-=ρ和完全不相关
()0=ρ。

A 、若1=A
B ρ，表示证券A 与证券B 完全正相关，则（2）变为：
B A A A P x x σσσ)1(-+= (3)
由上式中可找出无风险投资组合(0)1(=-+=B A A A P x x σσσ)。

令0=P σ，有：
A
B A
A B A B B A x x x σσσσσσ--=-=-=
1 , （4）
（4）亦有两种情况： (1)0,1,<>-=
>B A
B B
A A
B x x 而则σσσσσ，即要求卖空B 证券，卖空比例是
)()1()()(B A A A p r E x r E x r E -+
=
A
B A
σσσ-，此时，无风险组合的收益率为：
)()()(B A
B A
A A
B B P r E r E r E σσσσσσ---=
（5）
(2) 1,0,>-=<--=
>B
A A
B B A B A B A x x σσσσσσσσ则，即要求卖空A 证券，卖
空比例是
B
A B
σσσ-，卖空的资金再用于投资B 证券，同样有无风险组合收益
率：)]()([1
)(A B B A B
A p r E r E r E σσσσ--=
∴综上所述，在证券A 、B 完全正相关的情况下，只要B A σσ≠，总可选择风险为零的组合：P={A B B A x σσσ-=
，A
B A
B x σσσ--=}，并得到组合的无风险收益
率A
B B A A B P r E r E r σσσσ--=
)()(，我们称这一组合为无风险组合或零风险组合。

为了达
到这个组合，我们需卖空标准差大的证券。

这种结果合乎情理，因为两种证券完全正相关时，它们的价格变化同向，只有通过卖空一种，买入另一种这样的反向操作，才能达到预期抵消风险的目的。

B 、两种证券完全负相关，有1-=AB ρ则
B A A A P A A A P x x r E x r E x r E σσσ)1()
()1()()(--=-+=B （6）
0,0,0>+=>+=
=B
A A
B B A B A P x x σσσσσσσ有时，两种都买入。

因为负相关，
同时买入可以抵消风险，同理有无风险收益率：
B
A B A A B P r E r E r E σσσσ++=
)
()()( （7）
C 、两种证券完全不相关：0=AB ρ此时有：
0)1()
()1()()(22
22>-+=-+=B
A A
A P
B A A A P x x r E x r E x r E σσσ （8）
显然，上式不能提供零风险组合，但可找出最小风险组合。

利用条件：
min =P σ，再利用罗彼塔法则有：02=A
P
dx d σ
2
2
2
2222
2 ,0
)1(2.2B
A A
B B A B A B A A A x x x x σσσσσσσσ+=+=⇒=-- （9）
得最小方差：
,)(..min 22
24
22222222
2
222224242B B
A B B A A B A B A B
A B A B A A B P σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ=++<++=++=B
,2
224222222
A B
A A
B A A B A σσσσσσσσσσ=++<+B ∴组合后的方差比两种证券的单独投资的风险都小，可得结论：通过组合投资可降低证券投资的风险。