第四讲 灰度直方图变换
05第四章 图像增强1-直方图变换
产生一个s值。变换函数T(r)应满足下许列的范条围件内：。
（1） 在0≤r≤1区间内，T(r)值单调增加；
（2） 对于0≤r≤1， 有 0≤T(r)≤1
图像直方图
基础
定义 性质 计算 应用
通过变换函数T(r)可以控制图像灰度级的 概率密度函数，从而改变图像的灰度层次。 这就是直方图修改技术的理论基础。
图像增强
一．应用 空间域
图像增强
频率域
二. 分类 1.直接灰度变换
1.高通滤波
2.直方图变换
三. 内容 3.平滑滤波
2.低通滤波 3.带通和带阻滤波
4.锐化滤波
4.同态滤波
灰度变换
4.1 直接灰度变换
一．概述 二. 分类
1. 定义 2. 目的
概述 分类
灰度变换
概述
概述 分类
1、定义： 将一个灰度区间映射到另一个灰度区间的变换
（1） 初始化：pBuffer［k］=0 ; k=0, …, L-1。 （2） 统计：pBuffer［f(x, y)］++ ; x, y =0, …, M1, 0, …, N-1。 （3） 归一化：pBuffer［f(x, y)］/M*N。 其中，直方图的归一化是一个可选项。
图像直方图
示例图
定义 性质 计算 应用
1. 一般离散形式下的计算
用rk代表离散灰度级，用pr(rk)代表pr(r)且有下式成立：
pr (rk )
nk n
0 rk 1 k 0,1,2,, l 1 （4-1）
式中：nk:图像中出现rk级灰度的像素数，
n:图像像素总数，nk/n:频数。
图像直方图
定义 性质 计算 应用
2. 步骤
灰度直方图
1.灰度直方图灰度直方图（histogram）是灰度级的函数，它表示图象中具有每种灰度级的象素的个数，反映图象中每种灰度出现的频率。
如下图所示，灰度直方图的横坐标是灰度级，纵坐标是该灰度级出现的频率，是图象的最基本的统计特征。
从概率的观点来理解，灰度出现的频率可看作其出现的概率，这样直方图就对应于概率密度函数pdf(probability density function)，而概率分布函数就是直方图的累积和，即概率密度函数的积分，如下图所示：若直接从代表每种灰度的象素数目的直方图来观察，常用如下的表示：drr dP r p dr r p r P r)()(,)()(0==⎰∑⎰⎰⎰===≈======ki ik k k k k rrnnr P n n r p n r n A dAr p dr drr H A r P A drr dA A r H r p drr H A dr r H r A 00000025500)()()(1)(1)(,/)()()()()(,)()(，而概率分布函数，则概率密度的象素数为，灰度为若记象素总数为，时，在离散情况下，取概率密度象素总数一幅图象的总面积，或灰度直方图的计算是很简单的，依据定义，若图象具有L（通常L=256,即8位灰度级）级灰度，则大小为MxN的灰度图象f(x,y)的灰度直方图hist[0…L-1]可用如下计算获得：1. 1.初始化 hist[k]=0 ; k=0,…,L-12. 2.统计 hist[f(x,y)]++ ; x, y =0,…,M-1, 0,…,N-13. 3.标准化 hist[f(x,y)]/=M*N2.直方图均衡化直方图均衡化是通过灰度变换将一幅图象转换为另一幅具有均衡直方图，即在每个灰度级上都具有相同的象素点数的过程。
设灰度变换s=f（r）为斜率有限的非减连续可微函数，它将输入图象A(x,y)转换为输出图象B(x,y)，输入图象的直方图为HA (r)，输出图象的直方图为HB(s)，则它们的关系可由如下过程导出：例如，下图是直方图均衡化后的飞机图片及其直方图，可见其直方图与原图的直方图相比是很均衡的，但必须说明的是，离散情况下不可能作到绝对的一致。
灰度直方图
第三章灰度直方图目录1.灰度直方图2.直方图均衡化3.直方图规范化4.色彩直方图作业1.灰度直方图灰度直方图（histogram）是灰度级的函数，是图象的最基本的统计特征。
它表示图象中具有每种灰度级的象素的个数，反映图象中每种灰度出现的频率。
如下图所示，横坐标：灰度－r纵坐标：为某一灰度值ri的像素个数ni,或是灰度出现的概率P(r)从概率的观点来理解，灰度出现的频率可看作其出现的概率，这样直方图就对应于概率密度函数pdf(probability density function)，而概率分布函数就是直方图的累积和，即概率密度函数的积分，如下图所示：灰度直方图的计算是很简单的，依据定义，若图象具有L （通常L=256,即8位灰度级）级灰度，则大小为MxN的灰度图象f(x,y)的灰度直方图hist[0…L-1]可用如下计算获得：1.初始化hist[k]=0 ; k=0,…,L-12.统计hist[k] ; x, y =0,…,M-1, 0,…,N-13.如果需要标准化，则hist[k]/=M*N例：直方图算法实现例: 通过直方图求图像中的灰度的最大、最小和中值。
例：通过直方图求图像的亮度和对比度。
注2：图像的亮度和对比度图像的亮度（brightness ）：即图像矩阵的平均值，其值越小越暗。
Brightness=图像的对比度（contrast ）：即图像矩阵的均方差（标准差），对比度越大，图像中黑白反差越明显。
Contrast=1100(,)MN y x g x y M N −−==×∑∑11200((,))M N y x M Ng x y brightness −−==×−∑∑1）unsigned long hist[256]; unsigned char *pCur;for(int i=0;i<256;i++)hist[i]=0;int ImgSize=width*height;for(i=0,pCur=pImg;i<ImgSize;i++) hist[*(pCur++)]++;2）for (g=255;g>=0;g--)if (hist[g])break;maxGray=g;for (g=0;g<256;g++)I f (hist[g])break;minGray=g;for(g=sum=0;g<256;g++) {sum+=hist[g];if (sum>=ImgSize/2)break;}medGray=g;3）for(g=sum=0;g<256;g++)sum+=g*hist[g];brightness=1.0*sum/ImgSize;for(g=sum=0;g<256;g++)sum+= (g-brightness)* (g-brightness)*hist[g]; contrast=sqrt(sum/ImgSize);直方图具有很多的优点，直方图能反映图象的概貌，比如图像中有几类目标，目标和背景的分布如何；通过直方图可以直接计算图像中的最大亮度、最小亮度、平均亮度、对比度以及中间亮度等。
第四讲灰度直方图变换
因此，变换变量s的概率密度函数由输入图像的概率密度函数和所选 择的变换函数决定。
第四讲灰度直方图变换
在图像处理中一个尤为重要的变换函数如下所示：
r
s T(r) pr()d
0
是积分变量。上式两端对r求导：
d drsdd(T rr)d dr0 r pr()dpr(r)
第四讲 灰度直方图变换
Lecture 4 Gray-level Histogram Transformations
第四讲灰度直方图变换
图像灰度直方图(histogram)
一、定义
灰度直方图反映的是一幅图像中各灰度级像素 出现的频率。以灰度级为横坐标，纵坐标为灰度级 的频率，绘制频率同灰度级的关系图就是灰度直方 图。它是图像的一个重要特征，反映了图像灰度分 布的情况。
亮度范围内
(b)
(d) 高对比度，灰度级在整个动态范围内 均匀分布
(c)
(a)
注：图像来自R.C.Gonz第al四ez讲灰度直方图变换
(d)
绘制直方图使用函数imhist(f)
1600 1400 1200 1000 800 600 400 200
0 0
50
100
150
200
250
横坐标表示灰度值，纵坐标表示各灰度值出现的次数或概率
上式表明，当变换 函数为r的累积直 方图函数时，能达 到直方图均衡化的 目的。
从基本微积分学（莱布尼茨准则），我们知道关于上限的定 积分的导数就是该上限的积分值。该结果代入公式 ps(s)pr(r)d drspr(r)d d[sT1(s)] 得到：
ps(s)pr(r)d drspr(r)pr1(r) 1
灰度直方图的概念灰度变换的原理
取样定理
取样定理的意义：取样定理指出了要使取 样信号能不失真地描述原信号，其采样频 率必须大于或等于信号所含有最高截止频 率的2倍
傅立叶频谱特点
从分布上看，频谱中心位于屏幕中心，呈 辐射状分布：离中心点越近，频率越低， 能量越大；反之。频率越高，能量越小。 频谱中心反映图像平均亮度，低频区域反 映图像实体细节，高频区域反映图像边缘 轮廓。
直方图线性(尺度)变换
s
255 255
g
g
b
gb
g b
P(s)
ga
ga
a
a b
255
f
P(r)
结果分析？
a
b
255
直方图均衡化和指定化
直方图均衡化是对在图像中像素个 数多的灰度级进行展宽，而对像素个 数少的灰度级进行缩减，将直方图的 分布变成均匀分布，从而达到清晰图 像的目的。 直方图指定化是把已知直方图的图 像变为期望直方图的图像。
第六章 图像恢复与重建
图像退化因素 退化模型的框图及描述 三种最常见的有约束的图像恢复方法及其条件 什么是盲目去卷积恢复？ 什么是图像的几何畸变？
第七章 图像特征与分析
图像分析的目的 图像特征的种类 图像的形态运算包括哪些？ 什么是图像纹理？纹理分析的主要方法？ 图像形状的体现形式有哪些？形状分析有哪 些方法？
第四章 图像分割
图像分割的概念 图像分割的理论基础与方法 边界搜索跟踪的原理 门限化分割的原理 差分、梯度、拉普拉斯边缘检测的原理 区域生长法的原理（具体分析）
第五章 图像编码与压缩
图像数据冗余度概念，压缩编码的分类 帧内预测的原理与工作过程（对DPCM的原理和过程 进行分析） 帧间预测的原理与应用 变换编码能实现压缩的原理及应用 行程编码的原理及应用 哈夫曼编码的原理及应用（具体计算，包括熵、编码 平均长度、编码效率） JPEG压缩标准的压缩步骤
第4章直方图和灰度变换
第4章直方图和灰度变换第四章Fra bibliotek图像增强与平滑
Lena图像及直方图 （a） Lena图像；（b） Lena图像的直方图
第4章直方图和灰度变换
第四章 图像增强与平滑
钟楼图像及直方图 （a）钟楼图像；（b）钟楼图像的直方图
第4章直方图和灰度变换
第四章 图像增强与平滑
4.2.4
一幅给定图像的灰度级分布在0≤r≤1范围内，可以对［0, 1］ 区间内的任一个r值进行如下变换：
第四章 图像增强与平滑
第四章 图像增强与平滑
4.1 背景知识 4.2 直方图 4.3 灰度变换 4.4 图像噪声 4.5 去除噪声 4.6 图像锐化 4.7 图像的伪彩色处理
第4章直方图和灰度变换
第四章 图像增强与平滑
图像处理中最具有吸引力的领域之一
增强的首要目标是处理图像,使其比原始图像更适合于 特定应用。其技术主要包括直方图修改处理、图像平 滑、图像锐化及彩色处理等。
2r
(a)
s＝T(r)
pr(s)
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
0 0.20.40.60.81.0 r
(b)
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
0 0.20.40.60.81.0 r
(c)
直方图均衡化处理
第4章直方图和灰度变换
第四章 图像增强与平滑
当灰度级是离散值时，
pr(rk)n nk 0rk1k0,1, ,l1
O
r
O
r
O
r
s
s
s
O
r
O
r
O
r
常见的几种非线性变换函数
第4章直方图和灰度变换
第4章直方图和灰度变换
04第四讲 直方图及点运算
第 四 讲 直 方 图 及 点 运 算
4.1 灰度直方图
5. 直方图的作用：边界阈值选择
第 四 讲 直 方 图 及 点 运 算
频率
0
100
阈值 T
200
255 灰度
双峰直方图与阈值的确定
4.1 灰度直方图
5. 直方图的作用：边界阈值选择
第 四 讲 直 方 图 及 点 运 算
int iWidth = pDib->GetWidth(); int iHeight = pDib->GetHeight(); int iBitsWidth = pDib->GetBitsWidth(); unsigned char * lpPixel; LPSTR lpStartBit = pDib->GetPixelBit(); int i，j; // 获取图像宽度 // 获取图像高度 // 获取图像存储宽度 // 指向像素的指针 // 图像数据起始位置 // 循环变量
b
c
f
4.3 线性变换
6. 线性变换五 分段线性变换
第 四 讲 直 方 图 及 点 运 算
4.3 线性变换
7. 线性变换六
g
锯齿波变换
第 四 讲 直 方 图 及 点 运 算
d
灰度区间[0，a]变换为[0，d] ； 灰度区间[a，b]变换为[0，d] ； 灰度区间[b，c]变换为[0，d] 。
图像数据
内容回顾
位图文件头 位图信息头 调色板
调色板：颜色查找表，Look Up Table （LUT），由若干个颜色表项构成，每个 表项长度为4bit。 单色DIB：2个表项； 16色DIB：16个表项； 256色DIB：256个表项； 真彩色DIB：无调色板。 Typedef struct tag RGBQUAD { BYTE rgbBlue; //该颜色的蓝色分量 BYTE rgbGreen; //该颜色的绿色分量 BYTE rgbRed; //该颜色的红色分量 BYTE rgbReserved; //保留值，不考虑 } RGBQUAD;
图像增强—灰度变换及直方图均衡化试验目的试验原理及知识点
图像增强—灰度变换及直方图均衡化一、实验目的1、了解图像增强的目的及意义，加深对图像增强的感性认识，巩固所学理论知识。
2、掌握直接灰度变换的图像增强方法。
3、掌握灰度直方图的概念及其计算方法；4、掌握直方图均衡化的计算过程；二、实验原理及知识点1、图像增强是指按特定的需要突出一幅图像中的某些信息，同时，消弱或去除某些不需要的信息的处理方法。
其主要目的是处理后的图像对某些特定的应用比原来的图像更加有效。
图像增强可以在空间域中执行，也可以在变换域中执行。
2、空间域指的是图像平面本身，在空间域内处理图像是直接对图像的像素进行处理。
空间域处理方法分为两种：灰度级变换、空间滤波。
空间域技术直接对像素进行操作，其表达式为g(x,y)=T[f(x,y)]其中f(x,y)为输入图像，g(x,y)为输出图像，T是对图像f进行处理的操作符，定义在点(x,y)的指定邻域内。
定义点(x,y)的空间邻近区域的主要方法是，使用中心位于(x,y)的正方形或长方形区域。
此区域的中心从原点(如左上角)开始逐像素点移动，在移动的同时，该区域会包含不同的邻域。
T应用于每个位置(x,y)，以便在该位置得到输出图像g。
在计算(x,y)处的g值时，只使用该领域的像素。
2、灰度变换T的最简单形式是使用领域大小为1×1，此时,(x,y)处的g值仅由f在该点处的亮度决定，T也变为一个灰度变换函数。
由于灰度变换函数仅取决于亮度的值，而与(x,y)无关，所以亮度函数通常可写做如下所示的简单形式：s=T(r)其中，r表示图像f中相应点(x,y)的亮度，s表示图像g中相应点(x,y)的亮度。
灰度拉伸又叫对比度拉伸是最基本的一种灰度变换，使用简单的分段线性变换函数，可以提高灰度的动态范围，适用于低对比度图像的处理，增强对比度。
3、直方图是多种空间城处理技术的基础。
直方图操作能有效地用于图像增强。
除了提供有用的图像统计资料外，直方图固有的信息在其他图像处理应用中也是非常有用的，如图像压缩与分割。
第4章图像增强1灰度变换PPT课件
pr(rk)n n k
k0,1,2, ,L1
式中： n是一幅图像的像素总数； L是灰度级的总数目； rk表示第k个灰度 级； nk为第k级灰度的像素数； pr(rk)表示该灰度级出现的频率，是对其出 现概率的估计。在直角坐标系中做出rk与pr(rk)的关系图形，称为该图像的
直方图。其横坐标表示灰度级，纵坐标表示该灰度级出现的次数或频率。对
连续图像，直方图的纵坐标表示灰度级出现的概率密度。
7
直方图
1 2 34 5 6 6 4 32 2 1 1 6 64 6 6 3 4 56 6 6 1 4 66 2 3 1 3 64 6 6
1 2 34 5 6 5 4 5 6 2 14
图像灰度直方图
8
直方图
直方图的性质： (1) 直方图是一幅图像中各灰度级出现频数的统计
作。
4
空域处理表示
如果用s 和t 分别代表 f 和 g 在(x,y)处的灰
度值，则空间域处理就表示为： t T(s)
下图是增强对比度的T操作：
5
空域点处理增强
灰度变换方法
直接灰度变换法 直方图修正法
线性变换 分段线性 非线性变换 直方图均衡化 直方图规定化
6
直方图
直方图
直方图是灰度级的函数，它反映了图像中每一灰度级出现的次数(该 灰度级的像素数)或频率(该灰度级像素数与图像总像素数之比)。对数字 图像，直方图可表示为
t3 6 n t3 98p t 5 ( s t3 ) 0 .24 t4 7 n t4 44p t 8 ( s t4 ) 0 .11
50
直方图规定化
例
（2）对规定直方图像操作：
v 0 0 .0 T 0 u ( u 0 ) v 1 0 .0 T 0 u ( u 1 ) 0
图像灰度变换、二值化、直方图
图像灰度变换、⼆值化、直⽅图1、灰度变换1）灰度图的线性变换Gnew = Fa * Gold + Fb。
Fa为斜线的斜率，Fb为y轴上的截距。
Fa>1 输出图像的对⽐度变⼤，否则变⼩。
Fa=1 Fb≠0时，图像的灰度上移或下移，效果为图像变亮或变暗。
Fa=-1，Fb=255时，发⽣图像反转。
注意：线性变换会出现亮度饱和⽽丢失细节。
2）对数变换t=c * log(1+s)c为变换尺度，s为源灰度，t为变换后的灰度。
对数变换⾃变量低时曲线斜率⾼，⾃变量⼤时斜率⼩。
所以会放⼤图像较暗的部分，压缩较亮的部分。
3）伽马变换y=(x+esp)γ,x与y的范围是[0,1]， esp为补偿系数，γ为伽马系数。
当伽马系数⼤于1时，图像⾼灰度区域得到增强。
当伽马系数⼩于1时，图像低灰度区域得到增强。
当伽马系数等于1时，图像线性变换。
4）图像取反⽅法1：直接取反imgPath = 'E:\opencv_pic\src_pic\pic2.bmp';img1 = imread(imgPath); % 前景图img0 = 255-img1; % 取反景图subplot(1,2,1),imshow(img1),title('原始图像');subplot(1,2,2),imshow(img0),title('取反图像');⽅法2：伽马变换Matlab：imadjust(f, [low_in, high_in], [low_out, high_out], gamma)[low_in, high_in]范围内的数据映射到 [low_out, high_out]，低于low的映射到low_out, ⾼于high的映射到high_out. imgPath = 'E:\opencv_pic\src_pic\pic2.bmp';img1 = imread(imgPath); % 前景图img0 = imadjust(img1, [0,1], [1,0]);subplot(1,2,1),imshow(img1),title('原始图像');subplot(1,2,2),imshow(img0),title('取反图像');2、⼆值化1）rgb2gray⼀般保存的灰度图是24位的灰度，如果改为8bit灰度图。
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2 2/7 850 0.21 0.65 5/7 5/7 850 0.21
3 3/7 656 0.16 0.81 6/7
4 4/7 329 0.08 0.89 6/7 6/7 985 0.24
5 5/7 245 0.06 0.95 1
6 6/7 122 0.03 0.98 1
7 1 81 0.02 1 1 1 448 0.11
pr (r)
1 pr (r)
1
变换后图像的概率密度函数是均匀的。
例题：给定一幅图像，其灰度级分布概率密度函数为： 求使图像灰度级均匀化的变换函数T(r) 。
2r 2,0 r 1 pr (r) 0,其它
解：
r
r
s T r pr d 2 2d r2 2r
?
若在原图像一行上连续8个像素的灰度值分
别为：0、1、2、3、4、5、6、7，则均衡后，他
们的灰度值为多少？
原图像的直方图
均衡后图像的直方图
%histeq37.m %本程序产生冈萨雷斯《数字图像处理》（MATLAB 版） % P83 FIGURE3.8及P84 FIGURE3.9
f=imread('e:\chenpc\data\thry\chpt3\Fig3.15(a)1top.jpg');
ns=zeros(1,8); for i=0:7
idx=find(Tr>=(2*i-1)/14&Tr<(2*i+1)/14); m0=nk(idx); ns(i+1)=sum(m0(:)); end sums=sum(ns(:)); Ps=ns/sums; subplot(133) stem(rk,Ps) xlabel('s_k') ylabel('P_s(s_k)') title('均匀化后的直方图')
T-1(s)对s同样满足上述两个条件。
令pr(r)和ps(s)分别代表变换前后图像灰度级的概率密度函数，由基本概 率理论得到一个基本结果，如果pr(r)和T(r)已知，且T-1(s)满足上述两个 条件，那么变换变量s的概率密度函数ps(s)可由以下简单公式得到：
ps (s)
pr
(r)
dr ds
pr (r)
上式表明，当变换 函数为r的累积直 方图函数时，能达 到直方图均衡化的 目的。
从基本微积分学（莱布尼茨准则），我们知道关于上限的定
积分的导数就是该上限的积分值。该结果代入公式
ps (s)
pr (r)
dr ds
pr
(r)
d [T ds
1 (s)]
得到：
ps (s)
pr
(r
)
dr ds
v4=1/64
12321212
v5=5/64
31231221
v6=8/64
i
v7=5/64
直方图的性质
①灰度直方图只能反映图像的灰度分布情况，而不能反 映图像像素的位置,即丢失了像素的位置信息。
②一幅图像对应唯一的灰度直方图，反之不成立。不同 的图像可对应相同的直方图。下图给出了一个不同的 图像具有相同直方图的例子。
pr(r) T(r) ps(s)
2
1.8 1.2
1.6
1.4
1
1.2 0.8
1 0.6
0.8
0.6
0.4
0.4
0.2 0.2
0
0
0.5
1
r
0 0 0.5 1 r
1.2 1
0.8 0.6 0.4 0.2
0 0 0.5 1 s
➢ 离散图像直方图均衡化
对于离散的数字图像，用频率来代替概率,则变换函 数T(rk)的离散形式可表示为:
ylim('auto') hnorm=imhist(f)./length(f(:)); cdf=cumsum(hnorm); x=linspace(0,1,256); subplot(233),plot(x,cdf) axis([0 1 0 1]) set(gca,'xtick',0:.2:1) set(gca,'ytick',0:.2:1) xlabel('输入灰度级','fontsize',9) ylabel('输出灰度级','fontsize',9) %Specify text in the body of the graph: text(0.18,0.5,'变换函数','fontsize',9)
具有二峰性的灰度图象
③当影像上目标的灰度值比其它部分灰度值大或 者灰度区间已知时，可利用直方图统计图像中 物体的面积。
A= n vi iT
④ 计算图像信息量H（熵）
L1
H Pi log2 Pi
i0
图像获取过程中经常出现以下情况：
（a）成像时曝光不足，灰度级集中在低亮 度范围内，使得整幅图像偏暗
不同的图像具有相同直方图 ③一幅图像分成多个区域，多个区域的直方图之和即为
原图像的直方图。
直方图的应用
①用于判断图像量化是否恰当
(a) 恰当量化
(b)未能有效利用
(c)超过了动态范围
图2.4.4直方图用于判断量化是否恰当
②用于确定图像二值化的阈值
g(
x,
y)
0 1
f (x, y) T f (x, y) T
sk
T (rk )
k j0
pr (rj )
k nj j0 n
上式表明，均衡后各像素的灰度值sk可直接由原图 像的直方图算出。
例 假定有一幅总像素为n=64×64的图像，灰度级数为8，各灰 度级分布列于表中。对其均衡化计算过程如下：
k 01234567 rk 0 1/7 2/7 3/7 4/7 5/7 6/7 1 nk 790 1023 850 656 329 245 122 81 pr(rk ) 0.19 0.25 0.21 0.16 0.08 0.06 0.03 0.02
subplot(231),imshow(f); title('原图');
subplot(234),imhist(f); title('直方图')
ylim('auto')
g=histeq(f,256);
subplot(232),imshow(g) title('直方图均衡化后的图像')
subplot(235),imhist(g) title('均衡化后的直方图')
下图是一幅图像的灰度直方图。
频率的计算式为
灰度图像的直方图(histogram)
彩色图像的分波段直方图
二、计算 该图像像元总数为8*8=64, i=[0,7]
01321321 05762567
v0=5/64 v1=12/64
vi
16063512
v2=18/64
26753650
v3=8/64
32272416 22562760
0 r,s 1
在[0,1]区间内的任一个r值，都可产生一个s值，且
s T (r)
T(r)作为变换函数，满足下列条件： 1. 在0≤r≤1内为单调递增函数，保证灰度级从黑到白的次序不变； 2. 在0≤r≤1内，有0≤T(r)≤1，确保映射后的像素灰度在允许的范
围内。
反变换关系为
r T 1(s)
量化级 新灰度级sk 0
1/7=0.14 s0=1/7
2/7=0.29
3/7=0.43 s1=3/7
4/7=0.57
5/7=0.71 s2=5/7
6/7=0.86 s3=6/7
1
s4=1
像素数 Ps(sk)
790 0.19
1023 0.25
850 0.21 985 0.24 448 0.11
本例题可编程实现 方法一（image35.m） %本程序绘出直方图均匀化的变换函数 %以及变化前后的直方图 k=0:7; rk=k/7; nk=[790 1023 850 656 329 245 122 81]; n=sum(nk(:)); Pr=nk/n; subplot(131) stem(rk,Pr) xlabel('rk') ylabel('P_r(r_k)') title('均匀化前的直方图') Tr=cumsum(Pr,2); %沿列的方向求累积和 subplot(132) stem(rk,Tr) xlabel('rk') ylabel('s_k=T(r_k)') title('变换函数')
pr
(r
)
d ds
[T
1
(s)]
因此，变换变量s的概率密度函数由输入图像的概率密度函数和所选 择的变换函数决定。
在图像处理中一个尤为重要的变换函数如下所示：
r
s T (r) pr ()d
0
是积分变量。上式两端对r求导：
ds
dr
dT (r) dr
d dr
r 0
pr ()d
k rk nk Pr(rk) 0 0 790 0.19 1 1/7 1023 0.25 2 2/7 850 0.21 3 3/7 656 0.16 4 4/7 329 0.08 5 5/7 245 0.06 6 6/7 122 0.03 7 1 81 0.02
Tr(rk) 0.19 0.44 0.65 0.81 0.89 0.95 0.98 1.00