单层平面索网结构非线性分析
点式幕墙单层索网支承体系非线性固有振动
ｒ ｓ ｎ ｉ ｇｆｎ ｔ ｌｍｅ ｔｐ ｏ ｒｍ ｓ ｅ ｅｏ ｅ ｏ ｏ ｔｉ ｈ ｉｒｔｏ ｅ ｕ ｎ ｉｓ ｏ ａ ｌ ｅ ｔｕ ｔ ｒ ｎ ｄ ｓ ｍｅ ｅ ｐ ｄ ｎ ｉ ｅｅ ｎ ｒ ｇａ Ｗａ ｄ ｖ ｌｐ ｄ ｔ ｂ ａｎ ｔ ｅ ｖｂ ａｉｎ ｆ ｑ ｅ ｃｅ ｆｃ ｂ ｅ ｎ ｔｓｒ ｃｕ ｅ，ａ ｏ ｏ ｉ ｅ ｒ
到索 网体 系 的节 点 上 ， 般跨 度 较小 ， 以忽 略其 一 可 自重影 响 ， 且 索 内预 应 力 远 大 于 自重 引 起 的张 并
力， 因此 ， 索 可 以 当作 二 节 点 直线 杆 单 元 处 理 。 拉 在此 ， 文作 者利 用二 节点 直线 杆单 元和模 态 分析 本
索 网结构 属 于 典 型 的几 何非 线 性 结 构 。索 网
的抗 弯 刚度极 小 ， 只能通 过调 整 自身 的 曲率承 受横 向荷 载 ， 因而结 构在 外荷 载 的作用 下 位移很 大 。求 解结 构受 力后 的位移 时 ， 不能 以受 力前 的位置列 平 衡方 程 ， 应 以变形 后 的位置 列平 衡方 程 。但变 形 而 后 的位置 是 未 知 的 ， 就 是 典 型 的 几 何 非 线 性 问 这 题 ， 就是 计算 分析 的 困难所 在 。单层 平 面索 网作 也 为一 种新 型预 张力结 构体 系 ， 有 柔性 大 、 具 密度 低 、 阻尼 小 、 自振频 率 低 的特 点 ， 风敏 感 结 构 。 国 内 属 外一些 学者对 柔 性 索 网结 构 的 动力 特 性 进 行 了研
ｆｃｏ ｓｔ ａ ｆｅ ｔｉｓｎ ｔ ｒ ｒｑ ｎ ｙ ，ｓ ｃ ｈ ｉｈ ｆｇａ ｓｃ ｒ ｉ ｌｌ ｔｅ ｓ ｃｉｎ ｒ ａｏ ａ ｌ ａ ｌ ａ ｔｒ ｈ ｔａｆｃ ｔ ａｕ ａ ｆｅ ｕｅ ｃ ｌ ｕ ｈ ａ ｔｅ ｗｅｇ ｔｏ ｌ ｕ ａ ｎ ｗａ ， ｈ ｅ ｔ ａ ａｅ ｆｃ ｅ， ｓ ｗｅｌ ｓ ｓ ｔ ｏｌ ｂ ｓ ｔｅ ｐ ｔ ｓｏ ａ ｅ ｗｅ ｄｓ ｕ ｓ ｄ．Ｔ ｅ ｒｓ ａ ｃ ｅ ｕｔ ｈ ｗ ｈ ｔｔｅ ｖｂ ｔｏ ｒｑ ｅ ｃｅ ｆａ ｃ ｌ ａ ｈ ｒｓｒｓ ｆｃ ｌ ｒ ｉｃ ｓｅ ｅ ｅ ｂ ｅ ｈ ｅ ｅ ｒｈ ｒ ｓ ｌｓｓ ｏ ｔａ ｈ ｉｒ ｉｎ ｆ ｕ ｎ ｉｓｏ ａ ｅ— ｎ ｔｓｒ ｅ ａ ｅ ｂ ｅ ｔ — ｕ ｔ ｒ ｒ ｈｓ ａ ｈ ｏｈ ｒａ ｄ ｔｅ ｖｂ ａ ｉｎ ｏ ａ ｌ ｅ ｅｏ ｇ ｏ ｔｅ ｎ ｎｉ ｅ ｒｓ ｓｅ ． ｕ ｅ ａｅ ｃｏ ｅ ｅ ｃ ｔ ｅ ｎ ｉｒ ｔ ｆｃ ｅ ｎ ｔｂ ｌｎ ｓ ｔ ｈ ｏ ｌｎ ａ ｙ ｔｍ ｈ ｏ ｂ Ｋ ｅ ｒ ｓ：ｍｏ ｏａ ｅ ａ ｌ ｅ ；ｎ ｔ ｒ ｉｒ ｔ ｎ；ｇ ｏ ｔ ｃ ｏ ｌｎ ａｉｙ；ｐ ｉ ｔ ｓ ｐ ｒ ｄ ｇａ ｓｃ ｒａｎ ｗａｌ ｉ— ｙ ｗｏ ｄ ｎ ｌｙ ｒｃ ｅ ｎ ｔ ａｕ ａ ｖｂ ａ ｉ ｂ ｌ ｏ ｅ ｍｅｒ ａ ｎ ｎｉｅ ｒｔ ｏ ｎ — ｕ ｐ ｔ ｌ ｕ ｉ ｌ ；ｆ ｉｌ ｏ ｅ ｓ ｔ ｎｔ ｌｍｅ ｔａ ａｙ ｉ ｉ ｅｅ ｎ ｌ ｓｓ ｅ ｎ
单层平面索网玻璃幕墙数值风洞风载荷分析
单 层 平 面索 网玻 璃 幕 墙 数 值 风 洞 风 载荷 分 析
周 颖 ， 张 其 林 ， 陶 志雄
（ １ ． 同济 大学 土木 工程 学院 ， 上海 ２ ０ ０ ０ ９ ２ ； ２ ． 悉地 国际建筑设计（ 深圳 ） 顾 问有限公 司， 上海 ２ ０ ０ ４ ３ ３ ）
摘要 ： 针 对现 行幕 墙设 计规 范没有 明确 规 定 单层 平 面 索 网幕 墙 体 系的风 载 荷 计 算 的 问题 ， 以某 大
Ａｂｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ：Ａｓ ｔ ｏ ｔ ｈ ｅ ｉ ｓ ｓ ｕ ｅ ｔ ｈ ａ ｔ ｔ ｈ ｅ ｗｉ ｎ ｄ ｌ ｏ ａ ｄ ｃ ａ ｌ ｃ ｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｎ ｓ ｉ ｎ ｇ ｌ ｅ — ｌ ａ ｙ ｅ ｒ ｐ ｌ ａ ｎ ｅ ｃ ａ ｂ ｌ ｅ ｎｅ ｔ ｗｏ ｒ ｋ ｃ ｕ ｒ ｔ ａ ｉ ｎ ｓ ｙｓ ｔ ｅ ｍ ｉ ｓ ｎ ｏ ｔ ｃ ｌ ｅ ａ ｒ ｌ ｙ ｄｅ ｉｎ ｆ ｅ ｄ ｉ ｎ ｔ ｈｅ ｃ ｕ ｒ ｒ ｅ ｎ ｔ ｃ ｕ ｔａ ｒ ｉ ｎ ｄ ｅ ｓ ｉ ｇ ｎ ｓ ｐ ｅ ｃ ｉ ｉ ｆ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ，ｔ ｈ ｅ ｃ ｕ ｔａ ｒ ｉ ｎ ｏ ｆ ａ ｂ ｕ ｉ ｌ ｄ ｉ ｎ ｇ ｐ ｏ ｄｉ ｕｍ
第２ ２卷 第 ５期
２ ０ １ ３年 １ ０月
计 算 Ａｉ ｄ ｅ ｄ Ｅｎ ｇ ｉ ｎｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ
Ｖｏ １ ． ２ ２ Ｎｏ ． ５
０ｃ ｔ ．２ ０１ ３
文章编号 ： １ ０ ０ ６—０ ８ ７ １ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ５ — ０ ０ ７ ９ － ０ ５
厦裙房 幕墙 为研 究对 象 ， 用Ａ Ｄ Ｉ Ｎ Ａ分析 考虑 流 固耦合 作 用 的玻 璃． 索 网体 系风振 响 应 分析 ， 并 与通
碳纤维材料单层索网非线性主共振的特性
均优 于钢索 ， 弹性 模量选 择 范 围大 、 温度 变形 小 ， 然还存 在高 价 和剪切 强度低 等 缺点 ， 随着 碳纤 维索 虽 但
的产量 增加 和新 的锚 固技术 开发 应 用 ， 少 问题 已逐 渐 得 到 解 决 。碳 纤 维材 料 作 为 房 屋 、 梁 的加 不 桥
固材料 已得 到 了相 当广泛 应用 ， 而碳纤 维作 为拉索 首 先在 桥 梁结 构得 到 了实践 。如 已经 建造 了一 些小
。但是 钢 拉 索耐 腐 蚀性 差 ， 拉 索 索 网维 护成 本 钢
高 ， 了提高 结构 的耐久 性 ， 为 本来使 用在 宇宙 、 航空领 域 的碳 纤 维等 新 材料 开始 了实验 性 的应 用 。 与钢 拉索 相 比 ， 纤维 索具 有耐 久性好 、 碳 不锈 蚀 、 磁性 、 度重 度 比高 等优 点 ， 且 徐变 和 松 弛等 重 要 指标 无 强 而
跨径 的全 部或部 分 Ｃ Ｒ Ｆ Ｐ拉索 的人 行斜拉 桥 ， 些学 者对应 用碳 纤维 索 的大跨 度斜 拉桥 结 构 的静 、 一 动力 行为 开展 了研 究 。碳纤 维索 在屋盖 支 承体系 的应用 目前 还没有 相关 报道 。碳 纤维 索作 为一 种 很有
应用 前景 的材料 ， 以预见 在不远 的将 来 ， 会很快 推 广应用 到屋 盖支 承体 系 中。 国内外一 些学者 对柔 可 将
号 ） 湖 南 省 科 技 计 划项 目（ ０ ８ Ｊ ０ ７ ； ２ ０ Ｆ３ ６ ）
作 者 简 介 ： 立 军 （ ９６一） 男 ， 南 邵 阳 人 ， 杨 １７ ， 湖 副教 授 ， 士 ， 要 从 事 结构 理 论 的教 学 与 理 论 研 究 ． 硕 主
性索 网结构 的动 力特性 开展 了非 常多 的研究 ， 文献 ［ ］ 究 了单 层索 网非 线性 自振 特性 ， ５研 文献 ［ ８— １］ ０ 研究 了单 层索 网动 力特 性 ， 文献 ［ ］ １ 研究 了碳纤维 索 网 的非 线性 自振 特 １
综合体项目幕墙结构设计计算
综合体项目幕墙结构设计计算摘要】当前，幕墙结构在建筑工程中得到广泛的应用，其结构的设计计算关系到幕墙结构设计的合理性，并与幕墙结构的安全稳定息息相关。
本文结合工程实例，分析了工程幕墙结构的选型，并利用相关软件，对幕墙结构的设计进行了计算，为类似工程设计提供参考借鉴。
【关键词】综合体项目；幕墙结构；设计计算0 引言随着我国城市建设的快速发展以及建筑行业的不断进步，城市综合体项目在城市建设中的应用越来越广泛，幕墙结构在综合体项目施工中也得到了广泛的应用。
当前，玻璃幕墙作为一种新型建筑外围结构，具有节能环保、外观美观且防雨水防风性能良好等优点，得到了大量的使用。
但是，幕墙工程投入使用后，时有玻璃坠落、横梁扭转等安全事故的发生。
对此，对幕墙结构设计进行合理的计算，为幕墙结构设计提供可靠的数据依据具有十分重要的意义。
1 工程概况某综合体项目由A，B两个塔楼组成，主体结构为钢筋混凝土框架-剪力墙结构，墙、柱混凝土强度等级为C40～C55，梁、板混凝土强度等级为C30，主要钢筋采用HRB400级，板筋采用HRB335级。
在14～15层标高范围内设置矩形钢桁架将塔楼A，B连接。
在立面上的钢桁架和两个塔楼围成的区域内设置单层索网点支承玻璃幕墙，共包括D轴、G轴两片幕墙，其中D轴索网幕墙的轴线间尺寸为40m×42m(高×宽)，G轴索网幕墙的轴线间尺寸为44m×42m(高×宽)，如图1，2所示。
2 结构选型玻璃幕墙结构形式主要分为构件式玻璃幕墙、点支承玻璃幕墙、全玻璃幕墙和单元式玻璃幕墙等。
为满足建筑造型、通透性以及安全环保的要求，采用点支承玻璃幕墙，即单层索网点支承玻璃幕墙，该玻璃幕墙的横向和竖直两个方向的单根不锈钢拉索为正交连接的网状布置形式，立面分格主要是幕墙横向拉索为主抗风索，其两端固定在塔楼A，B的型钢混凝土柱上，柱截面尺寸2.2m×3m；竖向拉索为承重索及次抗风索，其两端分别固定在上部钢桁架和下部框架梁上。
大跨度单层索网索膜结构施工技术研究与应用
大跨度单层索网索膜结构施工技术研究与应用张瀚文;程大勇;柳聪聪【摘要】苏州工业园区体育中心体育场工程采用国内最大跨度轮辐式单层索网索膜加压环梁加V形柱的结构形式,施工过程中可供参照的相关经验不多.结合施工实际,通过对体育场屋盖大跨度单层索网索膜结构的V形柱柱脚、屋面大型钢结构、体育场索结构、膜结构及屋盖钢结构健康监测等内容的施工技术研究,保证了工程的顺利施工,为类似工程提供了借鉴.【期刊名称】《建筑施工》【年(卷),期】2016(038)005【总页数】3页(P567-569)【关键词】体育场屋盖;大跨度索网索膜结构;分析模型;施工技术【作者】张瀚文;程大勇;柳聪聪【作者单位】中建三局集团有限公司(沪) 上海200129;中建三局集团有限公司(沪) 上海200129;中建三局集团有限公司(沪) 上海200129【正文语种】中文【中图分类】TU7581 工程概况苏州工业园区体育场为“钢筋混凝土结构+钢支撑+单层索网索膜屋盖”，地上4层（主体2层、局部4层）、局部地下1层，建筑面积83 000 m2，最大跨度260 m，座位数41 000 个，建筑高度54 m，为国内跨度最大的单层索网结构。
国外仅有科威特国家体育场采用大跨度单层索网结构，其环梁由斜看台悬挑梁支撑，不同于本工程的V形钢柱。
因此，本工程体育场屋盖结构在全世界范围内是独一无二的。
2 体育场大跨度单层索膜结构施工技术研究2.1 V形钢柱柱脚（铸钢支座、关节轴承、销轴）研究V形钢柱对基础沉降较为敏感，为减小基础沉降差的影响，设计对V形柱的设置进行了方案优化比较，且为了节约钢材，让特定部位的立柱承受指定的荷载。
其中，黑色的立柱为承重及抗侧力体系柱，承受结构整体荷载；浅灰色的立柱为抗侧力体系柱，不承受竖向荷载；深灰色的立柱为幕墙立柱，只承受径向荷载。
图1为1/4局部的不同类型立柱布置，体育场铸钢柱脚与关节轴承示意见图2。
体育场节点试验：对V形柱柱脚节点试件的4种类型各选1个进行试验，试件比例1∶1。
单层索网结构设计的找形方法
单层索网结构设计的找形方法作者：王鹏来源：《科学与财富》2012年第01期摘要：单层索网体系点支式玻璃幕墙以其简洁、通透的特点在国内外得到广泛的应用,目前主要分为单层单向和单层双向锁网，但是单层缩网随着尺寸的增大和边界条件复杂，当层平面锁网结构找形分析非常必要。
关键词：单层锁网；找形；玻璃幕墙；张力目前单层锁网结构主要有单层单向和单层双向锁网，随着单层平面锁网跨度和竖索长度的增加，在玻璃和爪件和索重的作用下，直接影响幕墙的外观，增加安装困难且此时锁网下会出现两个方向的索混合共同承重，索力藕断现象严重。
一、找形的必要性由于荷载和预应力的作用，锁网都会出现不均匀和不对称的编写，这个问题直接影响玻璃幕墙的外观，索力藕断现象频现，所以找形在，单层索网结构安装中是非常重要的。
二、找形的特点一般柔性张力结构找形首先假设零状态的几个构型，通过不同找形方法求得初始状态下的几何构形。
而对单层平面索网的找形目的是要保证在玻璃按照完成后，索的交点处均无转角，传力顺畅，由于零状态预应力有单层索网的刚度和强度设计控制。
所以在给定的边界条件下求得零状态和初始状态几何构形。
三、方法和原理a力密度法所谓力密度是指索段的内力与索段长度的比值。
把索网或等代的膜结构看成是由索段通过结点相连而成。
在找形时，边界点为约束点，中间点为自由点，通过指定索段的力密度，建立并求解结点的平衡方程，可得各自由结点的坐标，即索网的外形。
不同的力密度值，对应不同的外形，当外形符合要求时，由相应的力密度即可求得相应的预应力分布值。
力密度法的特点是只需求解线性方程组，计算精度能满足工程要求，在德国较为流行。
著名的膜结构设计软件 EASY 就是用力密度法找形的。
b动力松弛法动力松弛法从空间和时间两方面将结构体系离散化。
空间上的离散化是将结构体系离散为单元和结点，并假定其质量集中于结点上。
如果在结点上施加激振力，结点将产生振动，由于阻尼的存在，振动将逐步减弱，最终达到静力平衡。
索网结构中的空间两节点悬链线索单元
索网结构中的空间两节点悬链线索单元
刘玥君;汤爱平;刘克同
【期刊名称】《哈尔滨工程大学学报》
【年(卷),期】2016(037)006
【摘要】为了分析索结构在荷载作用下的线性和非线性反应，根据索结构的受力特点，提出了一种可以充分考虑索结构非线性效应的空间两节点悬链线索单元。
基于弹性悬链线的解析解，推导了索单元的切线刚度矩阵，通过迭代法求解了索结构的刚度矩阵和内力向量，利用该新型的索单元模型分析了静、动力荷载作用下结构的非线性行为，对于非线性静力分析，结构平衡方程采用牛顿迭代法求解；对于非线性动力时程分析，采用Newmark直接积分法和牛顿迭代法相结合的增量迭代法求解。
数值分析结果验证了空间两节点悬链线索单元模拟索结构的精确性和可靠性。
【总页数】8页(P788-795)
【作者】刘玥君;汤爱平;刘克同
【作者单位】东北电力大学建筑工程学院，吉林吉林132012;哈尔滨工业大学土木工程学院，黑龙江哈尔滨150090;哈尔滨工业大学土木工程学院，黑龙江哈尔滨150090
【正文语种】中文
【中图分类】O242.2
【相关文献】
1.基于新型索单元模型理论的索网结构初始形态分析及静力分析 [J], 李仁佩;苏文章;武建华;于海祥
2.基于新型索单元模型理论的索网结构初始形态分析及静力分析 [J], 李仁佩;苏文章;武建华;于海祥
3.索网结构中主次索连接节点构造研究 [J], 孙文波;陈汉翔;王剑文;刘永桂
4.轮辐式马鞍形单层索网结构索长和外联节点坐标组合随机误差影响分析 [J], 阮杨捷;罗斌;魏程峰;郭正兴;夏晨;李金飞
5.悬索结构大位移分析改进的两节点索单元模型 [J], 唐建民;卓家寿
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工程索结构动力学:非线性建模与分析
工程索结构动力学：非线性建模与分析郭铁丁;康厚军;王连华;赵跃宇【摘要】索结构因其轻、柔及高强度等特性被作为受拉构件广泛应用于工程领域.一方面,环境载荷激励下索结构产生了复杂的大幅动力响应,给结构带来危害;另一方面,索结构是一个同时含有平方和立方非线性的典型力学系统,具有非常丰富的非线性动力学行为.因此,索动力学的研究受到了工程界和力学界的广泛关注,产生了大量的研究成果.本文尝试从索结构动力学建模、非线性内共振分析、支座运动激励下的索动力学以及复杂环境载荷作用4个方面对索动力学研究进行总结,并讨论目前研究的局限性.【期刊名称】《力学与实践》【年(卷),期】2016(038)002【总页数】7页(P119-125)【关键词】索结构;非线性建模;内共振;支座/边界激励;多尺度方法【作者】郭铁丁;康厚军;王连华;赵跃宇【作者单位】湖南大学土木工程学院,长沙410082;湖南大学土木工程学院,长沙410082;湖南大学土木工程学院,长沙410082;湖南大学土木工程学院,长沙410082【正文语种】中文【中图分类】O326Key wordscables，nonlinear modeling，resonant interaction，support/boundary excitations，multiple scale method工程索结构广泛应用于工程领域，如大跨悬索桥、斜拉桥、输电线、海洋锚索、输运索道、绳系卫星等［17］.由于索结构本身轻柔，阻尼小，在外激励作用下容易产生大幅非线性运动，产生沿轴向的拉伸效应，从而导致立方非线性；另一方面，尤其对结构工程中（重）索而言，重力诱导的索结构初始垂度将导致平方非线性.因此，工程索结构是一个同时包含平方和立方非线性的复杂动力学系统，在环境载荷激励下将产生丰富的非线性行为，同时也可能诱导大幅空间运动，给工程结构带来潜在的失效危险.因此，建立合理的索结构几何非线性模型，并进行精细的非线性力学分析显得非常关键.本文将回顾索动力学研究现状，包括力学模型，模态内共振，支座激励以及复杂环境载荷问题.图1给出了工程中常见的悬索结构模型，其中l表示索的跨度，b表示索的初始垂度.索结构的一般运动包含面内竖向，面内轴向和面外3个方向，分别用w,u,v表示3个方向相对静平衡状态y（x）的位移.当索的初始垂度（无量纲表达式 f=b/l）趋向于零时，索结构（cable）退化为弦线结构（taut string）.计入初始垂度效应的现代索结构理论始于Irvine和Caughey的经典工作［8］.其中，一个关键假设是索的轴向变形是准静态拉伸，即假设索轴向（快）动力学的时间尺度远小于横向（慢）动力学尺度.当初始垂度f ＜1/8时，索结构的线性（微幅）动力学模型可以写作式中，点与撇分别表示对时间和空间变量的微分，y（x）=4fx（1-x）是近似的初始（静平衡）构形（f＜1/8），α=8bEA/（mgl2）是无量纲刚度.这里 E,A,m,g 分别表示索的材料弹性模量、截面面积、单位长度质量和重力加速度.由式（1）可见，垂度 f和刚度α完全刻画了索的动力学特征.事实上，Irvine等［8］引入了弹性--几何参数λ2= EA/［mgl（8b/l）3］=64αf2，该参数是 f和α的组合.Triantafyllou等［5］针对海洋锚索结构完成了相应的线性动力学建模.当索结构在环境载荷激励下产生大幅振动时，需要考虑几何非线性效应.Luongo 等［9］详细研究了索结构的结构非线性问题，建立了悬索结构面内运动的非线性模型；以土木工程中的大跨径斜拉桥为背景，赵跃宇［6］建立了斜拉索的三维非线性力学模型.考虑有限振幅值产生的索结构几何非线性效应，利用Hamilton原理［9］或牛顿定律［6］可以得到索结构（几何）非线性模型由式（2）可知，有限振幅的索动力学模型是同时包含平方非线性和立方非线性的动力学系统.其中初始变形函数y（x）=4fx（1-x）（f＜1/8）与平方非线性直接相关.以上索结构线性和非线性力学模型均依赖于3个假设，即小垂跨比，轴向准静态拉伸和零弯曲/剪切刚度.近年来由于大柔性索结构的广泛应用和对动力学计算精度要求不断提高，Srinil等［10］建立了针对任意垂跨比的索动力学非线性模型，并在文献［11］中建立考虑轴向惯性的索动力学模型，考察了轴向准静态拉伸假设对动力学的影响；赵跃宇等［12］，Kang等［13］和吴庆雄等［14］分别利用Hamilton原理和牛顿定律建立了计入弯曲刚度的索结构力学模型.2.1 线性模态分析Irvine等［8］最早给出考虑垂度效应的索结构线性模态分析结果，即面内对称模态的振型和频率面内反对称模态的振型和频率和面外模态的振型和频率其中λ2=EA/［mgl（8b/l）3］=64αf2是几何--刚度参数.Wu等［15］详细讨论了斜拉索面内振动的模态频率特性.2.2 非线性分析：模态内共振针对悬索的非线性自由振动，Hagedorn等［16］，Luongo等［9］首先研究了悬索结构的面内非线性动力学；进一步，Benedettini等［17］，Takahashi等［18］研究了考虑面外自由度的悬索非线性动力学.为进一步说明索的非线性多模态动力学，图2给出了索结构低阶模态频率与弹性--几何参数λ的关系图，其中直线表示面外模态频率和面内反对称模态频率，而复杂曲线表示面内对称模态频率，见式（3）～式（5）.由图可见，索结构系统存在丰富的模态内共振现象.事实上，针对索结构的多模态内共振非线性分析构成了索结构非线性动力学的主要研究课题. 根据非线性振动理论［20］，对非线性多自由度系统或者连续结构系统，当线性模态频率之间满足公约关系时将发生模态（非线性）内共振，如±ωi±ωj± ωk=0.这时，系统能量将在参与内共振的模态之间相互转移.因此，不仅直接受到外载荷激励的模态会被激发，通过内共振效应受到间接激励的模态也会被激发，而其余模态在阻尼作用下将会最终衰减为零.因此，包含模态内共振的索动力学系统需要进行（有限）多模态非线性分析.Benedettini等［21］研究了索结构面内模态与面外模态的耦合动力学，Rao等［22］考虑索面内一阶对称模态与面外一阶模态2：1内共振，并利用多尺度法重点考察了面内简谐激励作用的非线性响应；Perkins［23］建立了基于弧长坐标的索动力学模型，并利用 Galerkin离散和多尺度法，详细分析了支座轴向运动（简谐）激励作用下悬索的面内/面外 2：1内共振动力学.Perkins［23］发现支座轴向运动诱导了参数激励和强迫激励两种效应，指出由于2：1内共振机制，支座运动可能诱导悬索的大幅面外运动. Perkins［23］的工作并没有考虑立方非线性，为此Lee等［24］进一步通过二阶多尺度展开研究了立方非线性对2：1共振动力学的影响.分析指出，Perkins［23］通过一阶多尺度分析发现的饱和现象（即非线性响应幅值在达到一定幅值后，不再随激励变大而增长），会被立方非线性破坏，即非线性响应将随激励幅值变大而缓慢增长.Srinil等［2526］计入了悬索/斜拉索的轴向惯性效应，重点研究了由于采用轴向准静态拉伸假设对索结构面内/面外2：1内共振动力学的影响.Guo等［27］完成了悬索的三模（态）共振动力学分析，指出三模共振是由平方非线性诱导的基本共振模式，2：1内共振是其退化形式. Pakdemirli等［28］分别基于悬索连续动力学方程和Galerkin离散方程进行多尺度展开，建立了相应的调制方程并详细计算了悬索的面内/面外1：1共振耦合动力学响应；Zhao等［29］针对大跨径斜拉桥中的斜拉索结构，利用Galerkin方法对斜拉索非线性动力学方程进行模态离散，建立了面内/面外1：1模态内共振（约化）动力学模型，详细计算了约化模型的稳态响应并分析其稳定性. Lacarbonara等［19，30］以索结构和浅拱结构为原型，针对同时含有平方和立方非线性的一维连续结构系统，建立了2：1，1：1和3：1内共振动力学分析的一般数学分析框架.文中在不考虑外激励的情况下详细推导了内共振作用下的结构非线性模态.Lacarbonara等［19，30］的方法通过必要的推广可以方便地应用于简谐外激励下的索结构内共振非线性响应分析.Lacarbonara［19，30］同时还详细探讨了模态内共振动力学激发的条件以及悬索结构可能的内共振形式.在此基础上，Zhao等［31］，赵跃宇等［32］，Wang等［33］，王连华等［3435］，Kang等［13］深入研究了悬索结构的3：1内共振非线性动力学，发现了环面分岔、混沌等复杂非线性现象.索结构的多模态内共振动力学也受到广泛关注.在图2中的频率曲线的交叉点处（crossover point，λ=2mπ），Benedettini等［36］利用Galerkin离散建立了四自由度多模态内共振动力学模型，共有两个面内模态和两个面外模态参与1：1和2：1内共振非线性作用，并计算了相应的稳态响应；Rega等［37］进一步利用多尺度法对索结构的连续动力学方程进行直接摄动展开，建立了索的多模态内共振调制方程，并重点考察了（基于连续方程的）直接摄动法与（基于Galerkin 离散方程的）间接摄动法的差异；Nayfeh等［38］在此基础上，引入一阶状态空间形式的索动力学方程，并进行直接多尺度摄动展开，最后利用重构方法（method of reconstitution）建立了多模态内共振约化动力学模型（调制方程），并详细分析了调制方程的平衡解、稳定性和分岔特性.此外，Lee等［39］也研究了悬索结构的1：1和2：1多模态内共振的非线性响应.Wang等［40］，赵跃宇等［41］研究了悬索的面内/面外1：1内共振和面内3：1动力学.Nayfeh ［20］对连续结构的各类内共振非线性动力学进行了系统性的总结归纳.2.3 索动力学多尺度分析：直接法与间接法在索动力学多尺度分析过程中，引申出一个关于多尺度方法的理论讨论.基于Galerkin离散方程的间接多尺度展开方法长期以来广泛应用于索结构动力学的非线性分析，后来研究者发现对同时含有平方和立方非线性的力学系统，如果对离散模型使用多尺度分析有可能导致错误的结果［4244］.由此引发了研究者针对直接多尺度展开方法（基于连续动力学方程，以下简称直接法）和间接多尺度展开方法（基于Galerkin离散动力学方程，以下简称间接法）的对比研究和分析，如Rega等［37］，Nayfeh 等［38］，Lacarbonara［45］，Pakdemirli等［28］，赵跃宇等［46］.目前比较一致的观点是，当 Galerkin离散采用了索结构完整/全部的振型函数为基底时（将诱导索结构的无穷维离散动力学模型），间接法等价于直接法；如果间接法中的Galerkin离散模型只有有限维（略去了很多高阶模态），而直接法中的非线性作用系数和二阶形状函数包含了更多的高阶模态信息［45］，因此后者能够更准确地反应索结构的真实动力学特征，尤其能更好地捕捉结构的平方非线性特性［45］.因此针对悬索、浅拱和屈曲梁这类带有初始形变（从而产生平方非线性）的力学系统，直接对结构连续动力学方程进行多尺度展开显得最为关键［46］.不过，Abe［47］最近的一个结果却给出了相反的结论.针对文献［28］中的悬索算例，Abe［47］将直接法和间接法（Galerkin离散仅留有限个模态）的摄动解同时与有限差分法直接数值模拟结果进行对比，发现间接法和差分法吻合地更好.这是一个出乎意料的对比结果，需要对Abe［47］的结果做进一步验证.在实际结构工程中，索结构通常与其他支座结构相连接，比如桥面、桥塔、输电塔架等.当考虑支座质量远大于索结构本身质量时，（地震载荷、车桥载荷、风载荷诱导的）支座运动将直接作为边界激励作用在索结构上.利用多尺度法和 Galerkin离散，Perkins［23］建立了支座轴向运动激励下悬索非线性动力学模型，分析了其非线性响应并指出轴向支座运动将诱导对面内动力学的参数/强迫激励效应；Benedettini等［36］建立了支座竖向与面外运动激励下悬索的非线性模型.这类支座运动诱导的边界激励模型都存在一个困难，即动边界条件下索结构的模态分析. Perkins［23］忽略了这一效应，仍采用固定边界下的索模态；Benedettini等［36］为处理动边界困难，将动边界下的索运动分解为两部分，即固定边界索弹性模态与运动支座诱导的拖拽（准静态/刚性）运动. Perkins［23］和Benedettini等［36］的做法尽管存在局限性，但由于简单实用仍广泛应用于支座/边界激励作用下的索动力学研究.Cai等［48］研究了斜拉索在桥塔简谐运动诱导的参数/强迫激励效应，通过Galerkin离散构造了非线性方程并利用数值计算求得非线性响应；Lilien等［49］，Costa等［50］分别研究了斜拉索在桥塔和桥面运动诱导的参数激励效应，计算了大幅非线性响应；Berlioz等［51］建立了斜拉索在桥面运动激励下的非线性动力学模型并进行了实验验证；Georgakis等［52］研究了桥面简谐作用下斜拉索的非线性特性，讨论了周期、准周期和混沌运动；王连华等［5354］和Wang等［55］建立了桥面简谐运动作用下，斜拉索的多模态面内/面外耦合动力学模型，并计算了小幅/中幅/大幅支座运动诱导的非线性响应；Gonzalez-Buelga等［56］，Macdonald等［57］分析了支座运动作用下斜拉索运动的模态稳定性问题；Kang等［58］研究了斜拉索在桥面简谐运动作用下的主共振与亚谐共振非线性响应；何学军等［59］，任爱娣等［60］研究了高架补给索道的非线性力学.对支座运动引起的索结构准静态/拖拽运动，目前绝大部分研究采用了基于经验的线性插值解. Warnitchai等［61］指出准确的准静态运动应该通过求解索结构静平衡方程构造.除了面外方向，面内轴向和竖向支座运动诱导的准静态解都不是线性插值形式［61］.考虑到实际工程中支座运动量阶远小于索结构本身，其相当于索结构的弱边界激励，Guo等［6263］构造了边界调制方法.该方法的基本思路是通过摄动分析将弱边界激励转化为对索动力学的高阶非零边界调制项，从而消除索动力学的动边界困难.这一思路最初受到了Shaw等［64］和Nayfeh［20］求解弹性梁结构（带有弱非线性边界弹簧）非线性模态方法的启发.实际工程中的环境载荷要比简谐载荷复杂得多，比如风载荷和水下（流体）载荷.Hu等［65］研究了水下行进悬索在横流作用下的非线性动力学，Sorokin等［66］研究了具有任意垂度斜拉索与流体的耦合动力学；崔亚梅等［67］研究了覆冰悬索在风载荷作用下的非线性力学；Luongo等［6870］研究了风载荷作用下索结构的驰振问题，并考虑了模态内共振，支座激励等因素的影响；国内顾明等［71］，张琪昌等［72］，何学军等［73］研究了索结构的风/雨振动问题.论文对索结构非线性建模、模态内共振分析、支座激励及复杂环境激励等方面的研究现状进行了综述. 我们认为在以下研究方面尚存在局限性：（1）利用Galerkin离散和多尺度方法构造的索结构约化动力学模型，大部分缺乏高精度数值对比或实验验证，需要针对索结构连续动力学方程发展高精度数值模拟方法，并进一步开展索动力学的实验验证研究；（2）工程索结构通常与弹性支座结构发生动力耦合作用，比如桥面梁/桥塔/输电线塔架等，以支座运动诱导的边界激励模型为基础，需要进一步考虑索与支座的双向耦合效应，利用多尺度建模手段建立既计算可行又能反映关键耦合特性的多尺度力学模型；（3）风载荷、水下流体载荷和风/雨载荷等环境载荷目前大部分依赖于经验建模，需要发展更加准确可靠的载荷模型，并进一步研究索与环境介质的耦合动力学.致谢感谢清华大学李俊峰教授对论文提供的建议与帮助.【相关文献】1 Rega G.Nonlinear vibrations of suspended cables—Part I：modeling andanalysis.Applied Mechanics Reviews，2004，57（6）：443-4782 Rega G.Nonlinear vibrations of suspended cables—Part II：deterministic phenomena.Applied Mechanics Reviews，2004，57（6）：479-5143 Ibrahim RA.Nonlinear vibrations of suspended cables—Part III：random excitation and interaction with fluid flow. 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