计算方法第七章常微分方程的数值解法
h
令 xi h, 0 1，据此可得
y(xi1) y(xi ) hf (xi h, y(xi h))
定义 K * f (xi h, y(xi h)) ，称为区间上的平均斜率，进而有
y(xi1) y(xi ) hK *
第三节 龙格-库塔方法
因此只要对 K*提供一种算法，就可以求得微分方程的数值解；现据此观点对 欧拉方法及改进的欧拉方法进行分析。 2、基于平均斜率对欧拉法和改进的欧拉法进行分析（重要） （1）在欧拉公式中，是选取点 xi上的切线斜率f(xi,yi) 作为平均斜率K*的近似， 已知精度较低。（一个点的切线斜率） （2）改进的欧拉公式：（两个点的切线斜率平均值）
yi y(xi ) (i 1, ... , n)
第一节 引言
➢节点间距，即步长为： hi xi1 xi (i 0, ... , n 1)
通常采用等距节点，即hi = h (常数)
➢等间距节点
记 xi a ih (i 0,1,2,...)
y(x)在点xi上的近似值 yi , y(xi ) yi
xi )
相应地有
h[ 2
f
(xi ,
y(xi ))
f
( xi 1 ,
y( xi 1 ))]
yi1
yi
1 h[ f 2
(xi ,
yi )
f
( xi 1 ,
yi 1 )]
经推导，应用梯形公式的局部截断误差具有二阶精度，优于欧拉方法。
（重要！）
第二节 欧拉方法及改进的欧拉方法
和欧拉公式相比较，梯形公式在计算yi+1时候也只用到前一步的值yi，但是若yi 已知，将yi带入公式求解，一般不能直接得到yi+1（公式两端都有yi+1），还需要 通过其他方法（比如迭代法）进行求解，所以梯形公式被称为隐式公式。
(i 0,1,2,...)
➢在这些节点上采用离散化方法（通常用数值积分、微分、泰勒展开等）将上述
初值问题化成关于离散变量的求解问题。把相应的解yi作为y(xi)的近似值， yi就是上述初值问题在节点xi上的数值解。
第二节 欧拉方法及改进的欧拉方法（重要）
一、欧拉方法
1、向前差商近似导数
y(x0 )
则可以得到算法的具体表达式：
yi1 K1
yi f(
h(1K1
xi , yi )
K
2
f (xi p , yi
2K2
phK1 )
)
1,
2
,
p为未知参数
如何求？
第三节 龙格-库塔方法
2、选择参数使得算法具有2阶精度 计算上面公式的局部截断误差：
第二节 欧拉方法及改进的欧拉方法
➢小结：求解微分方程的两个思路
– 差商近似，如欧拉方法
y ( xi 1 ) xi1
y(xi ) xi
y '(xi )
y ( xi 1 )
y(xi )
hy '(xi )
– 计算积分
y dy f (x, y)
dx
xi1 xi
f
(x,
y)dx
y(xi1)
y(xi )
此处迭代非常简单，应该会
第二节 欧拉方法及改进的欧拉方法
结果如下：
i
xi
yi
y(xi)
i = y(xi) - yi
0
0
1.0000
1.0000
0
1
0.02
0.9820
0.9825
0.0005
2
0.04
0.9650
0.9660
0.0005
3
0.06
0.9489
0.9503
0.0014
4
0.08
0.9336
yi1
yi
h 2
f (xi , yi ) f (xi1, yi1)
i 0,1, 2,...
这种预估校正方法称为改进的欧拉方法。
第二节 欧拉方法及改进的欧拉方法
为了便于编写程序，常将上面的公式改写为如下式：
y
p
yi
hf
(xi ,
yi )
yc yi hf (xi1, yp )
yi1
(yp
yc )
/
2
（用来编程的公式！重要！）
第二节 欧拉方法及改进的欧拉方法
4、举例（重要！） 在区间[0, 1.5]上，取h = 0.1，求解微分方程
y
dy dx
y 2x y
解：（1）用欧拉法计算公式如下：
y(0) 1
yi1
yi
h
yi
2xi yi
y0 1, h 0.1
（2）用改进欧拉法计算公式如下：
0.9354
0.0018
5
0.10
0.9192
0.923
0.0021
第二节 欧拉方法及改进的欧拉方法
3、欧拉方法的几何意义（重要）根及该据已点知处条曲件线，的曲导线数y(fx()x上0,的y0)点，(则x0,可y0) 以得到该点的切线方程
y
P1
P2
y y0 f (x0 , y0 )( x x0 )
yi1
yi
h
yi
2xi yi
yi1
yi
h 2
f (xi , yi ) f (xi1, yi1)
yi
h 2
yi
2 xi yi
yi1
2 xi 1 yi1
本题的精确解为
y(x) 1 2x ，
用来检验近似解 的精确程度。 计算结果如右表：
xi
欧拉法yi 改进欧拉法yi0 Nhomakorabea1
1
0.1
1.1
1.095909
y(xi1) y(xi ) hf (xi , y(xi ))
用矩形求积公式计算得出的结果与用欧拉方法完全相同。
不妨采用精度更高的求积方法
第二节 欧拉方法及改进的欧拉方法
2、用梯形公式
xi1 xi
f
(x,
y)dx
1[ 2
f
(xi ,
y(xi ))
f
( xi 1 ,
y( xi 1 ))] ( xi 1
第一节 引言
1、一阶常微分方程的初值问题
(看懂)
y dy f (x, y) x [a,b] dx
y(a) y0
假定上式在区间[a, b]上存在唯一且足够 光滑的解y(x)。
➢所谓数值解法就是求解y(x)在一系列离散点（也称为节点）的值
计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0< x1<…< xn= b 处的近似值
y(xi1) y(xi )
xi1 f (x, y)dx
xi
➢根据已知条件或当前结果，构造yi+1的某种计算形式
第三节 龙格-库塔方法
一、基本思想
1、平均斜率
考察差商
y(xi1) y(xi ) h
，由拉格朗日中值定理存在 (xi , xi1) 使得
y' ( ) y(xi1) y(xi ) f ( , y( ))
y(x1) h
y(x0 )
y
dy
f
(x,
y)
x [a,b]
dx
y(a) y0
y(x1) y0 h f (x0 , y0 ) 记为 y1
y2 y1 h f (x1, y1)
yi1 yi hf (xi , yi ) (i 0, ... , n 1)
此处推导非常简单，应该会
第二节 欧拉方法及改进的欧拉方法
yi1 yi hf (xi , yi ) yi hy'(xi )
上面两个公式相减得到：
Ri1
y(xi1)
yi1
h2 2
y"(i ) O(h2 )
具有1阶精度
原来欧拉方法就是泰勒一阶展开式的近似， 后面看做误差，信号处理中把误差看做噪声
第二节 欧拉方法及改进的欧拉方法
二、改进的欧拉方法（重要！）
f
(xi , yi )
f
( xi 1 ,
yi 1 )]
第三节 龙格-库塔方法
与改进的欧拉方法类似，取 K1 f (xi , yi )
如何得到xi+p的斜率？
根据改进的欧拉法，可以利用欧拉法预测 y( xi p ) 的值：
yi p yi phK1
则可以得到点xi+p斜率K2：
K2 f (xi p , yi p )
K* 的近似值的，而xi+1处的切线斜率由已知信息预测得到；精度高于欧拉方法。
第三节 龙格-库塔方法
根据上面的分析：如果在区间 [xi, xi+1]上多测几个点的斜率值，然后取其加权平
均作为平均斜率的近似值，有可能构造出精度更高的计算公式；此即龙格-库塔 方法的基本思想。（多几个点的斜率值平均）
二、二阶龙格-库塔方法
将微分方程在区间[xi, xi+1]上积分 （思路改变：常规欧拉方法思路是？）
y dy f (x, y)
dx
xi1 xi
f
(x,
y)dx
y(xi1)
y(xi )
y(xi1) y(xi )
xi1 f (x, y)dx
xi
由初值条件，可以借助于积分求各点的值 y(xi)。
1、应用矩形求积公式
3、改进的欧拉方法
梯形公式是隐式的，用迭代法求解计算量较大。实际中常将欧拉公式和梯形
公式联合使用，先用欧拉公式得一个y(xi+1)的近似值 yi1 ，称为预估值，然后对
预估值使用梯形公式对它进行调整，得到更为精确的近似值yi+1，称之为校正值。
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常微分方程的数值解
f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) L y1 y2
（其中 L 为 Lipschitz 常数）则初值问题（ 1 ）存 在唯一的连续解。
求问题（1）的数值解，就是要寻找解函数在一 系列离散节点x1 < x2 <……< xn < xn+1 上的近似 值y1, y 2,…,yn 。 为了计算方便，可取 xn=x0+nh，(n=0,1,2,…)， h称为步长。
(1)，(2)式称为初值问题，(3)式称为边值问题。 在实际应用中还经常需要求解常微分方程组：
f1 ( x, y1 , y2 ) y1 ( x0 ) y10 y1 (4) f 2 ( x, y1 , y2 ) y2 ( x0 ) y20 y2
本章主要研究问题(1)的数值解法，对(2)~(4)只 作简单介绍。
得 yn1 yn hf ( xn1 , yn1 )
上式称后退的Euler方法，又称隐式Euler方法。 可用迭代法求解
二、梯形方法 由
y( xn1 ) y( xn )
xn1 xn
f ( x, y( x))dx
利用梯形求积公式： x h x f ( x, y( x))dx 2 f ( xn , y( xn )) f ( xn1 , y( xn1 ))
常微分方程的数言 简单的数值方法 Runge-Kutta方法 一阶常微分方程组和高阶方程
引言
在高等数学中我们见过以下常微分方程：
y f ( x, y, y) a x b y f ( x, y ) a x b (2) (1) (1) y ( x ) y , y ( x ) y 0 0 0 0 y ( x0 ) y0 y f ( x, y, y) a x b (3) y(a) y0 , y(b) yn
第7章 常微分方程初值问题的数值解法
例1 函数f ( t , y ) = t y 在区域D0 = {( t , y ) | 1 ≤ t ≤ 2, −3 ≤ y ≤ 4}
关于y满足Lipschitz条件，相应的Lipschitz常数可取为L = 2
3 存在性定理 定理1 设函数f ( t , y )在凸集D ⊂ R 2中有定义，若存在常数
(7.2.7)
称为显式Runge-Kutta(龙格-库塔 )方法，简称R-K方法，
其中正整数N 称为R-K方法的级，所有ci , ai , bij 都是待定 常数。
根据定义(7.2.7)，N 级R-K方法(7.9)的局部截断误差为
Rn+1 = y( t n+1 ) − y( t n ) − h∑ ci ki
dy 其斜率为 = f ( t0 , y0 ) dt ( t0 , y0 ) 由 点 斜 式 写 出 切线 方 程 dy y = y0 + ( t − t0 ) = y0 + ( t − t0 ) f ( t0 , y0 ) dt ( x0 , y )
0
等步长为h,则t1 - t0 = h, 可由切线算出 y1 ： 则 y1 = y0 + hf ( t0 , y0 ) 按此逐步计算y( tn ), 在tn +1处的值 ： yn+1 = yn + hf ( tn , yn ) y 注意： 这是“ 注意 ： 这是 “ 折 yN 线法” 而非“ 线法 ” 而非 “ 切 线法” 线法 ” 除第一个 点是曲线切线外， 点是曲线切线外 ， 其他点不是切线 y2 而是折线(如右 y1 y0 图所示)。 图所示 。
பைடு நூலகம்
则称数值解法(7.5)为显式方法。否则，称数值解法(7.3) 为隐式方法。
第七章常微分方程数值解法
h2 h3 y ( xi 1 ) y ( xi h) y ( xi ) hy '( xi ) y ''( xi ) y '''( xi ) 2! 3!
丢掉高阶项，有
y( xi 1 ) y( xi h) y( xi ) hy '( xi ) yi hf ( xi , yi )
| f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) | L | y1 y2 | ,
那么模型问题在 [ a, b] 存在唯一解。
Lipschitz 连续： | f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) | L | y1 y2 | .
(1) 比连续性强: y1 y2 可推出 f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) ; (2) 比连续的 1 阶导弱：具有连续的 1 阶导，则
f | f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) || ( ) || y1 y2 | L | y1 y2 | . y
常微分方程数值解法
目标：计算出解析解 y ( x) 在一系列节点 a x0 x1 xn1 xn b 处的近似值 yi y( xi ) ，即所谓的数值解。节点间距 hi xi 1 xi ，一般 取为等距节点。
常微分方程初值问题的数值解法一般分为两大类： (1)单步法：在计算 yn 1 时，只用到前一步的值，即用到 xn1 , xn , yn ，则给定初
值之后，就可逐步计算。例如 Euler 法、向后欧拉法、梯形公式、龙格-库塔法；
(2) 多步法： 这 类 方 法 在 计算 yn 1 时 ， 除 了 用 到 xn1 , xn , yn 外 ， 还 要 用到
数值分析Ch7
2
f (xi , yi )
0
言
Numerical Analysis
M. H. Xu
二 理论基础 定理 7. 1 若f (x, y )在区 域 D = {(x, y )|a ≤ x ≤ b, |y | < ∞} 内连 续, 关于 y 满足 Lipschitz条件 , 即 存在 常数 L > 0, 对 任意 y1 , y2 , 不 等 式 |f (x, y1 ) − f (x, y2 )| ≤ L|y1 − y2 | 对所 有的 x ∈ [a, b]成立 , 则 初值 问题 dy = f (x, y ), a ≤ x ≤ b dx y (a) = y
Numerical Analysis
M. H. Xu
§7. 2 Euler方法与梯 形方 法 一 方法导出 由微分方程知 y (xi ) = f (xi , y (xi )), 用差商
y0 y yi y=y(x) yi+1 yn
y (xi+1 ) − y (xi ) h 近似 导数 y (xi )可 得 y (xi+1 ) ≈ y (xi ) + hf (xi , y (xi ))
0
在区 间[a, b]上有 唯 一解 y (x), 并且 y (x)为 连续 可微 的, 解函 数y (x) 连续 地依 赖于 初值 及f (x, y ).
Numerical Analysis
M. H. Xu
三 数值解法的基本步骤 第一 步: 把区 间[a, b]进行 划分 , 通 常进 行n等 分, 节点 xi = a + ih, i = 0, 1, 2 · · · , n, 其中 h = (b − a)/n; 第二 步: 求y (x)在节 点xi 处 函数 值y (xi )的近 似值 yi , 得 一列 表 函数 ; 第三 步: 根据 需要 可由 插值 方法求得 函数 y (x)在 x处的 近似 值, 或 由 列表 函数 求得 y = y (x)的近 似函 数. 说明 : 数值 解法 的关 键在 于如 何由 y0 得到y (x1 )的近 似值 y1 , 一 般地 , 如何 由y (xi )的近 似值 yi 得到y (xi+1 )的近 似值 yi+1 .
f (xi , yi )
0
言
Numerical Analysis
M. H. Xu
二 理论基础 定理 7. 1 若f (x, y )在区 域 D = {(x, y )|a ≤ x ≤ b, |y | < ∞} 内连 续, 关于 y 满足 Lipschitz条件 , 即 存在 常数 L > 0, 对 任意 y1 , y2 , 不 等 式 |f (x, y1 ) − f (x, y2 )| ≤ L|y1 − y2 | 对所 有的 x ∈ [a, b]成立 , 则 初值 问题 dy = f (x, y ), a ≤ x ≤ b dx y (a) = y
Numerical Analysis
M. H. Xu
§7. 2 Euler方法与梯 形方 法 一 方法导出 由微分方程知 y (xi ) = f (xi , y (xi )), 用差商
y0 y yi y=y(x) yi+1 yn
y (xi+1 ) − y (xi ) h 近似 导数 y (xi )可 得 y (xi+1 ) ≈ y (xi ) + hf (xi , y (xi ))
0
在区 间[a, b]上有 唯 一解 y (x), 并且 y (x)为 连续 可微 的, 解函 数y (x) 连续 地依 赖于 初值 及f (x, y ).
Numerical Analysis
M. H. Xu
三 数值解法的基本步骤 第一 步: 把区 间[a, b]进行 划分 , 通 常进 行n等 分, 节点 xi = a + ih, i = 0, 1, 2 · · · , n, 其中 h = (b − a)/n; 第二 步: 求y (x)在节 点xi 处 函数 值y (xi )的近 似值 yi , 得 一列 表 函数 ; 第三 步: 根据 需要 可由 插值 方法求得 函数 y (x)在 x处的 近似 值, 或 由 列表 函数 求得 y = y (x)的近 似函 数. 说明 : 数值 解法 的关 键在 于如 何由 y0 得到y (x1 )的近 似值 y1 , 一 般地 , 如何 由y (xi )的近 似值 yi 得到y (xi+1 )的近 似值 yi+1 .
计算方法与误差理论-7
参数解不止一组，而为一簇。
常微分方程—龙格-库塔方法
改进的欧拉公式: l=1, λ1=λ2=1/2 变形的欧拉公式: l=1/2, λ1=0, λ2=1 y i 1 y i hk2 k1 f ( x i , y i ) h k 2 f ( x i 1 , y i k1 ) 2 2
xi i xi 1
常微分方程——欧拉方法
梯形公式—数值积分用梯形公式计算
y ( xi 1 ) y ( xi ) yi 1
公式：
xi 1
xi
f ( x, y ( x))dx i 0,1,2,...,n 1
h yi [ f ( xi , yi ) f ( xi 1 , yi 1 )] 2
梯形公式的局部截断误差：
( 2) i 1
Ri 1 R
1 3 h y ' ' ' ( i ) O(h 3 ) 12
xi i xi 1
常微分方程——欧拉方法
改进欧拉公式
将欧拉公式与梯形公式联合使用
1.先用欧拉公式的y(xi+1)的一个粗糙的近似值 (预测值) 2.然后对预测值用梯形公式进行校正(校正值)
1 2 1 l 1 二阶龙格-库塔公式 2 2 单步显式公式 1 1 1 2l ,
常微分方程—龙格-库塔方法
2 1 2l
待定参数： λ1, λ2, l（3个）
要使公式具有2阶精度（局部截断误差(h0,
h1, h2的系数必须为零)和泰勒展开）得：
y0-0.2*0.1yp=0.9800
第7章 常微分方程数值解法
代入(6―3)式得
h yi 1 yi [ f ( xi , yi ) f ( xi 1 , yi 1 )] 2 i 0,1, 2, , n 1
(6―5)
这样得到的点列仍为一折线，只是用平均斜率 来代替原来一点处的斜率。式(6―5)称为改进的欧拉 公式。
不难发现，欧拉公式(6―3)是关于yi+1 的显式，只
h y xi 1 yi 1 f xi 1 , y xi 1 f xi 1 , yi 1 2 (6―15) h 3 '' f 12
因此
hL h3 y ( xi 1 ) yi 1 y ( xi 1 ) yi 1 f ( ) 2 12 h3 (1 q) y ( xi 1 ) yi 1 f ( ) 12 y ( xi 1 ) yi 1 O ( h 3 )
c 并取 yi 1 yi(1)
(6―7)
虽然式(6―7)仅迭代一次，但因进行了预先估计，
故精度却有较大的提高。 在实际计算时，还常常将式(6―7)写成下列形式：
k1 f ( xi , yi ) k f ( x h, y hk ) i i 1 2 h yi 1 yi 2 (k1 k2 ) i 0,1, 2,
在进行误差分析时，我们假设yi=y(xi)，考虑用
yi+1 代替y(x
i+1)而产生截断误差，确定欧拉公式和改
进的欧拉公式的精确度。 设初值问题(6―1)的准确解为y=y(x)，则利用泰 勒公式
y ( xi 1 ) y ( xi h ) h2 y ( xi ) hy ( xi ) y ( xi ) 2! h3 y ( xi ) 3!
计算方法 第七章常微分数值解
1. 整体截断误差和局部截断误差 整体截断误差:数值解 yn和精确解 y(xn) 之差
dy f (x, y) dx
(1)
y(x0 ) y0
en y( xn ) yn
整体截断误差除与 xn步计算有关外,还与 xn1,, x1的计算
有关
分析计算中的某一步,显式单步法的一般形式可写为:
yn1 yn hQ(xn , yn , h)
x0
解 : f ( x, y) y x 1,由Euler公式
yn1 yn h( yn xn 1)
代入h 0.1,有yn1 0.9 yn 0.1( xn 1), 依次算得果如下:
n0 1 2 3
4
5
xn 0 0.1 0.2 0.3 0.4
0.5
yn 1.0 1.0 1.01 1.029 1.0561 1.09049
一、Runge-Kutta法的基本思想（1）
若用p阶Taylor多项式近似函数y( xn1 )有：
yn1
y( xn1 )
y( xn )
hy'( xn )
h2 2!
y"( xn )
hp P!
y( p)( xn )
其中y'( x)
f ( x, y),
y'' ( x)
f
' x
(
x,
y
)
f
' y
(例：考察初值问题来自y( x) 30y( x) 在区间[0, 0.5]上的解。
y(0) 1
分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。
节点 xi 0.0 0.1
0.2 0.3 0.4
0.5
欧拉显式 欧拉隐式
常微分方程的数值解法
常微分方程的数值解法常微分方程是研究变量的变化率与其当前状态之间的关系的数学分支。
它在物理、工程、经济等领域有着广泛的应用。
解常微分方程的精确解往往十分困难甚至不可得，因此数值解法在实际问题中起到了重要的作用。
本文将介绍常见的常微分方程的数值解法，并比较其优缺点。
1. 欧拉方法欧拉方法是最简单的数值解法之一。
它基于近似替代的思想，将微分方程中的导数用差商近似表示。
具体步骤如下：（1）确定初始条件，即问题的初值。
（2）选择相应的步长h。
（3）根据微分方程的定义使用近似来计算下一个点的值。
欧拉方法的计算简单，但是由于误差累积，精度较低。
2. 改进欧拉方法为了提高欧拉方法的精度，改进欧拉方法应运而生。
改进欧拉方法通过使用两个点的斜率的平均值来计算下一个点的值。
具体步骤如下：（1）确定初始条件，即问题的初值。
（2）选择相应的步长h。
（3）根据微分方程的定义使用近似来计算下一个点的值。
改进欧拉方法相较于欧拉方法而言，精度更高。
3. 龙格-库塔法龙格-库塔法（Runge-Kutta）是常微分方程数值解法中最常用的方法之一。
它通过迭代逼近精确解，并在每一步中计算出多个斜率的加权平均值。
具体步骤如下：（1）确定初始条件，即问题的初值。
（2）选择相应的步长h。
（3）计算各阶导数的导数值。
（4）根据权重系数计算下一个点的值。
与欧拉方法和改进欧拉方法相比，龙格-库塔法的精度更高，但计算量也更大。
4. 亚当斯法亚当斯法（Adams）是一种多步法，它利用之前的解来近似下一个点的值。
具体步骤如下：（1）确定初始条件，即问题的初值。
（2）选择相应的步长h。
（3）通过隐式或显式的方式计算下一个点的值。
亚当斯法可以提高精度，并且比龙格-库塔法更加高效。
5. 多步法和多级法除了亚当斯法，还有其他的多步法和多级法可以用于解常微分方程。
多步法通过利用多个点的值来逼近解，从而提高精度。
而多级法则将步长进行分割，分别计算每个子问题的解，再进行组合得到整体解。
常微分方程初值问题的数值解法
第七章 常微分方程初值问题的数值解法--------学习小结一、本章学习体会通过本章的学习，我了解了常微分方程初值问题的计算方法，对于解决那些很难求解出解析表达式的，甚至有解析表达式但是解不出具体的值的常微分方程非常有用。
在这一章里求解常微分方程的基本思想是将初值问题进行离散化，然后进行迭代求解。
在这里将初值问题离散化的方法有三种，分别是差商代替导数的方法、Taylor 级数法和数值积分法。
常微分方程初值问题的数值解法的分类有显示方法和隐式方法，或者可以分为单步法和多步法。
在这里单步法是指计算第n+1个y 的值时,只用到前一步的值，而多步法则是指计算第n+1个y 的值时，用到了前几步的值。
通过对本章的学习，已经能熟练掌握如何用Taylor 级数法去求解单步法中各方法的公式和截断误差，但是对线性多步法的求解理解不怎么透切，特别是计算过程较复杂的推理。
在本章的学习过程中还遇到不少问题，比如本章知识点多，公式多，在做题时容易混淆，其次对几种R-K 公式的理解不够透彻，处理一个实际问题时，不知道选取哪一种公式，通过课本里面几种方法的计算比较得知其误差并不一样，，这个还需要自己在往后的实际应用中多多实践留意并总结。
二、本章知识梳理常微分方程初值问题的数值解法一般概念步长h ，取节点0,(0,1,...,)n t t nh n M =+=，且M t T ≤，则初值问题000'(,),()y f t y t t Ty t y =≤≤⎧⎨=⎩的数值解法的一般形式是1(,,,...,,)0,(0,1,...,)n n n n k F t y y y h n M k ++==-@显示单步法7.2.1 显示单步法的一般形式1(,,),(0,1,...,1)n n n n y y h t y h n M ϕ+=+=-定理7.2.1 设增量函数(,,)n n t y h ϕ在区域00{(,,)|,||,0}D t y h t t T y h h =≤≤<∞≤≤内对变量y 满足Lipschitz 条件，即存在常数K ，使对D 内任何两点1(,,)t u h 和2(,,)t u h ，不等式1212|(,,)(,,)|||t u h t u h K u u ϕϕ-≤-成立，那么，若单步法的局部截断误差1n R +与1(1)p h p +≥同阶，即11()p n R O h ++=，则单步法的整体截断误差1n ε+与p h 同阶，即1()p n O h ε+=。
常微分方程数值解法课件
使用龙格-库塔公式计算 下一个时间点的数值解的 近似值。
根据选择的步长，确定当 前时刻的数值解的近似值 。
重复上述步骤，直到达到 所需的时间积分区间终止 点。
龙格-库塔方法的误差分析
误差主要来源于时间步长 的离散化，步长越小，误 差越小。
龙格-库塔方法的收敛性 和稳定性取决于所选步长 和步数。
ABCD
机械工程
在机械工程中，机构的动力学行为可以用常微分方程来描 述，如机器人的运动轨迹、机械臂的姿态等，通过数值解 法可以模拟这些机构的运动。
在金融问题中的应用
股票价格模拟
股票价格的变化可以用常微分方程来描述，通过数值解法可以模 拟股票价格的走势，预测未来的股票价格。
期货价格模拟
期货价格的变化也可以用常微分方程来描述，通过数值解法可以 模拟期货价格的走势，预测未来的期货价格。
可以通过增加步数来减小 误差，但会增加计算量。
在实际应用中，需要根据 具体问题选择合适的步长 和步数，以达到精度和计 算效率的平衡。
05
数值解法的应用
在物理问题中的应用
计算物体运动轨迹
通过数值解法求解常微分方程，可以模拟物体的运动轨迹，如行星 运动轨迹、炮弹弹道等。
模拟振动系统
在物理中，许多系统可以用常微分方程来描述，如弹簧振荡器、电 磁振荡器等，通过数值解法可以模拟这些系统的振动行为。
终止条件
当达到预设的精度或迭代次数时，停止迭代并输出结果。
欧拉方法的误差分析
截断误差
由于欧拉方法使用离散化近似 ，因此存在截断误差。这种误 差的大小取决于步长$h$的选
择。
稳定性
欧拉方法对于某些微分方程可 能是不稳定的，这意味着随着 迭代的进行，解可能会发散或
根据选择的步长，确定当 前时刻的数值解的近似值 。
重复上述步骤，直到达到 所需的时间积分区间终止 点。
龙格-库塔方法的误差分析
误差主要来源于时间步长 的离散化，步长越小，误 差越小。
龙格-库塔方法的收敛性 和稳定性取决于所选步长 和步数。
ABCD
机械工程
在机械工程中，机构的动力学行为可以用常微分方程来描 述，如机器人的运动轨迹、机械臂的姿态等，通过数值解 法可以模拟这些机构的运动。
在金融问题中的应用
股票价格模拟
股票价格的变化可以用常微分方程来描述，通过数值解法可以模 拟股票价格的走势，预测未来的股票价格。
期货价格模拟
期货价格的变化也可以用常微分方程来描述，通过数值解法可以 模拟期货价格的走势，预测未来的期货价格。
可以通过增加步数来减小 误差，但会增加计算量。
在实际应用中，需要根据 具体问题选择合适的步长 和步数，以达到精度和计 算效率的平衡。
05
数值解法的应用
在物理问题中的应用
计算物体运动轨迹
通过数值解法求解常微分方程，可以模拟物体的运动轨迹，如行星 运动轨迹、炮弹弹道等。
模拟振动系统
在物理中，许多系统可以用常微分方程来描述，如弹簧振荡器、电 磁振荡器等，通过数值解法可以模拟这些系统的振动行为。
终止条件
当达到预设的精度或迭代次数时，停止迭代并输出结果。
欧拉方法的误差分析
截断误差
由于欧拉方法使用离散化近似 ，因此存在截断误差。这种误 差的大小取决于步长$h$的选
择。
稳定性
欧拉方法对于某些微分方程可 能是不稳定的，这意味着随着 迭代的进行，解可能会发散或