工程优化 第4章-3
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第一节广义优化
2020/9/23
客户要求的多样
化导致基于全性能 的多目标优化。把 优化准则由传统优 化的单方面性能优 化扩展到技术性、 经济性和社会性的 综合评估和优化。 技术上追求实现目 的性能、约束性能 、使用性能和结构 性能的综合优化； 结构上追求静态性 能和动态性能的组 合优化。称为~。
全设计过程优化
2020/9/23
2020/9/23
全系统优化
2020/9/23
现代机械产
品的系统性、综 合性和规模化导 致设计模型的横 向扩展。把研究 对象由传统优化 的简单零部件扩 展到复杂零部件 、整机、系列产 品和组合产品的 整体优化，由单 学科领域的优化 发展到机、液、 光、电、信息的 集成优化。统称 为~。
全性能优化
2020/9/23
现代优化理论和方法的研究重点
仿生演化设计理论与方法 多学科协同优化设计理论与方法 结构优化、拓朴优化设计理论与方法 工程优化设计建模理论与方法 寻优求解算法与求解过程控制 优化结果智能处理与评价
2020/9/23
仿生演化设计理论 与方法
2020/9/23
仿生演化设计理论和方法
对产品寿命周
期优化的市场需求 导致设计模型的纵 向扩展。把优化范 围由传统优化的产 品技术设计阶段的 优化扩展到包含功 能、原理方案和参 数、结构方案、参 数和形状，以及工 艺和公差优化的全 设计过程，进而面 向制造、经销、使 用和用后处置的寿 命周期设计过程。
全 寿 命 周 期 优 化
2020/9/23
2020/9/23
• 优化是合理化、科学化、满意化，是一个系 统分析、系统综合、系统检验的反复交叉过 程，是一个永无止境的过程。在优化设计过 程中，常常需要根据产品设计的要求，合理 确定各种参数，以期达到最佳的设计目标。
客户要求的多样
化导致基于全性能 的多目标优化。把 优化准则由传统优 化的单方面性能优 化扩展到技术性、 经济性和社会性的 综合评估和优化。 技术上追求实现目 的性能、约束性能 、使用性能和结构 性能的综合优化； 结构上追求静态性 能和动态性能的组 合优化。称为~。
全设计过程优化
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2020/9/23
全系统优化
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现代机械产
品的系统性、综 合性和规模化导 致设计模型的横 向扩展。把研究 对象由传统优化 的简单零部件扩 展到复杂零部件 、整机、系列产 品和组合产品的 整体优化，由单 学科领域的优化 发展到机、液、 光、电、信息的 集成优化。统称 为~。
全性能优化
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现代优化理论和方法的研究重点
仿生演化设计理论与方法 多学科协同优化设计理论与方法 结构优化、拓朴优化设计理论与方法 工程优化设计建模理论与方法 寻优求解算法与求解过程控制 优化结果智能处理与评价
2020/9/23
仿生演化设计理论 与方法
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仿生演化设计理论和方法
对产品寿命周
期优化的市场需求 导致设计模型的纵 向扩展。把优化范 围由传统优化的产 品技术设计阶段的 优化扩展到包含功 能、原理方案和参 数、结构方案、参 数和形状，以及工 艺和公差优化的全 设计过程，进而面 向制造、经销、使 用和用后处置的寿 命周期设计过程。
全 寿 命 周 期 优 化
2020/9/23
2020/9/23
• 优化是合理化、科学化、满意化，是一个系 统分析、系统综合、系统检验的反复交叉过 程，是一个永无止境的过程。在优化设计过 程中，常常需要根据产品设计的要求，合理 确定各种参数，以期达到最佳的设计目标。
工程优化 第4章-4
优点：计算量较少，而且总能收敛到一个局部极小点。 缺点：收敛速度较慢
牛顿法（Newton）---基本思想
牛顿法是一种函数逼近法，基本思想是：在极小点附近用 函数的二阶泰勒多项式近似代替目标函数，从而求得目标函数 的极小点的近似值。 对 f (x) 在 x k 点二阶泰勒展开：
f ( x) f ( xk ) f '( xk )( x xk )
从极值的必要条件 P x a1 2a2 x 0
求得
x a1 / 2a2
求出系数 a1 和 a2 ，就可得到极小点的表达式。
x a1 / 2a2
1 x 2 x
2 2 2
2 x3 f1 x32 x12 f 2 x12 x22 f 3
P x1 a0 a1 x1 a2 x12 f1 f x1
（1） （2） （3）
P x2 a0 a1 x2 a2 x22 f2 f x2
P x3 a0 a1 x3 a2 x32 f3 f x3
插值法---求二次插值多项式的极小点
0, 令 k 1 。 步骤1：给定初始点 x1 R，
步骤2：计算 f '( xk ), f ''( xk ) 。
步骤3：若 f '( xk ) ，停止，x* xk ，否则转步骤4。 步骤4：计算
f '( xk ) xk 1 =xk f ''( xk )
令 k k 1，转步骤2。 特点：收敛速度快，局部二阶收敛。 缺点：须计算二次导数，工作量大；对初始点要求高，要求初 始点离极小点不太远，否则有可能使极小化发散或收敛到非极 小点；局部收敛。
工程优化方法及应用 第四章1-2节
2 x x -0f x 1/2
1 0 0
Page 8
第2次迭代：
-1 f x , -2
1
|| f x1 || 5 0.5,
1
2+1 x x -1f x = 1/2+2 1 ( )=f x1 -f x1 =f 2+ ,1/2+2
2、其基本思想和逻辑结构可以推广到约束问题；
3、约束问题可以转化成无约束问题求解。
f ( x), x D min f ( x) min F ( x), 其中F ( x) n xD 类
解析法：对简单问题，求解必要条件或充分条件； 零阶法：只需计算函数值 f(x) 迭代算法 一阶法：需计算 ▽f(x) 梯度法 二阶法：需计算 ▽2f(x) 建立迭代算法的关键：确定迭代格式
3
5/2+22 3 x x -2f ( x )= = ， 3/2 2 5/4
继续迭代可得到函数的近似最优解。
Page 10
2 2 例 用最速下降法求函数 f ( x1 , x2 )＝x1 的极小点（迭代两 4 x2 T 次）。 并验证相邻两个搜索方向是正交的。初始点 x 0 1,1 。
No
Page 6
Yes stop. x* =xk
dk= －▽f(xk ) min f(xk+λdk) s.t. λ >0 得最佳步长因子λk 令： xk+1=xk+λkdk 解
最速下降法的算例
取 x 0 1,1T , =0.5. 解：函数的梯度为
Page 7
2 2 min f ( x ) x 2 x 例 利用最速下降法求解 1 2 2 x1 x2 4 x1 ,
工程优化方法第1章
表示 3 ）模型求解：数学方法及其他方法 4 ）解的检验：制定检验准则、讨论与现实的
一致性 5 ）灵敏性分析：参数扰动对解的影响情况 6 ）解的实施：回到实践中 7 ）后评估：考察问题是否得到完满解决
工程优化方法第1章
§3 基本概念 1、最优解与极值点
p m x iR n n fx s.t. gix0
设 f: D→ R 1( D R)n (D－定义域) (1) x 为D的一个内点; (2) f(x)在 x 可微; (3) x 为f(x)的极值点;
则: f x 0
工程优化方法第1章
Th3(充分条件) ： 设 f: D→ R(1 D )Rn(D－定义域)
(1) x 为D的一个内点; (2) f(x)在 x 处二次可微;
2 f
x12
2 f x2x1
2 f
x
n
x1
2 f x1x2
2 f x22
2 f x1x3 2 f x2x3
2 f
2 f
xnx2 xnx3
2 f
x1xn
2 f
x2xn
2 f
xn2
线性函数：f (x) = cTx + b , 2f (x) = 0
二次函数：f (x) = (1/2) xTQx + cTx + b,
则 x ≤ 0， ≥ 0 . (2)若 xTy ≤ , y L Rn ，
则 x L， ≥ 0 .(特别, L＝Rn时,x =0)
定理的其他形式：
“若 xTy ≤ , yRn 且 y ≤ 0，则 x ≥ 0， ≥ 0 .” “若 xTy ≥ , yRn 且 y ≥ 0，则 x ≥ 0， ≤ 0 .” “若 xTy ≥ , yRn 且 y ≤ 0，则 x ≤ 0， ≤ 0 .” “若 xTy ≥ , y L Rn ， 则 x L， ≤ 0 .”
一致性 5 ）灵敏性分析：参数扰动对解的影响情况 6 ）解的实施：回到实践中 7 ）后评估：考察问题是否得到完满解决
工程优化方法第1章
§3 基本概念 1、最优解与极值点
p m x iR n n fx s.t. gix0
设 f: D→ R 1( D R)n (D－定义域) (1) x 为D的一个内点; (2) f(x)在 x 可微; (3) x 为f(x)的极值点;
则: f x 0
工程优化方法第1章
Th3(充分条件) ： 设 f: D→ R(1 D )Rn(D－定义域)
(1) x 为D的一个内点; (2) f(x)在 x 处二次可微;
2 f
x12
2 f x2x1
2 f
x
n
x1
2 f x1x2
2 f x22
2 f x1x3 2 f x2x3
2 f
2 f
xnx2 xnx3
2 f
x1xn
2 f
x2xn
2 f
xn2
线性函数：f (x) = cTx + b , 2f (x) = 0
二次函数：f (x) = (1/2) xTQx + cTx + b,
则 x ≤ 0， ≥ 0 . (2)若 xTy ≤ , y L Rn ，
则 x L， ≥ 0 .(特别, L＝Rn时,x =0)
定理的其他形式：
“若 xTy ≤ , yRn 且 y ≤ 0，则 x ≥ 0， ≥ 0 .” “若 xTy ≥ , yRn 且 y ≥ 0，则 x ≥ 0， ≤ 0 .” “若 xTy ≥ , yRn 且 y ≤ 0，则 x ≤ 0， ≤ 0 .” “若 xTy ≥ , y L Rn ， 则 x L， ≤ 0 .”
最优化计算方法(工程优化)第1章
最优化在物质运输、自动控制、机械设计、采矿冶金、经 济管理等科学技术各领域中有广泛应用。下面举几个简单的实 例。
例1：把半径为1的实心金属球熔化后，铸成一个实心圆柱体， 问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面积最小？
解：决定圆柱体表面积大小有两个决策变量：圆柱体底面半 径r、高h。
问题的约束条件是所铸圆柱体重量与球重相等。即
优化模型的分类
根据问题的不同特点分类
一般的约束优化问题
标准形式
min
xRn
f
x
s.t. gi x 0, i 1, 2, , m
1） gi x 0 -gi x 0
2）
hi
x
0
hi x 0
-hi
x
0
优化模型的分类
根据函数类型分类
线性规划：目标函数、约束条件都是线性的 非线性规划：目标函数、约束条件中的函数不全是线性
yi
a1
1
a3
ln 1
a2 exp
xi
a4 a5
最优化问题举例
例3已：知有从一v旅i 到行团v j从的v旅0费出为发要cij遍，游问城应市如何v1安, v排2 行,..程.,使vn总 ，
费用最小？
模型：
变量—是否从i第个城市到第j个城市
xij 1, 0;
约束—每个城市只能到达一次、离开一次
因此，我们在学习本课程时要尽可能了解如何 由实际问题形成最优化的数学模型。
数学模型: 对现实事物或问题的数学抽象或描述。
最优化问题的数学模型与分类
数学模型的建立
建立数学模型时要尽可能简单，而且要能完整地描 述所研究的系统。
过于简单的数学模型所得到的结果可能不符合实际情 况；而过于详细复杂的模型又给分析计算带来困难。
浅析工程项目进度控制中的工期优化和资源优化
3.2施工项目进度控制方法
施工项目进度控制方法主要是规划、控制和协调。规划是指确定施工项目总进度控制目标和分进度控制目标，并编制其进度计划。控制是指在施工项目实施的全过程中，进行施工实际进度与施工计划进度的比较，出现偏差及时采取措施调整。协调是指协调与施工进度有关的单位、部门和工作队组之间的进度关系
（1）建设单位因素：如建设单位因使用要求改变而进行的设计变更；不能及时提供建设场地而满足施工需要；不能及时向承包单位、材料供应单位付款；
（2）勘察设计因素：如勘察资料不准确，特别是地质资料有错误或遗漏；设计有缺陷或错误；设计对施工考虑不周，施工图供应不及时等；
（3）施工技术因素：如施工工艺错误；施工方案不合理等；
工期管理是项目管理的重要组成部分,工期管理的效果对建设项目的成败有着决定性.... 工期优化也称时间优化，就是当初始网络计划的计算工期大于要求工期时，通过压缩关键线路上工作的持续时间或调整工作关系，以满足工期要求的过程。在优化过程中，当出现多条关键线路时，必须将各条关键线路的持续时间压缩同一数值。否则，不能有效地将工期缩短。
浅析工程项目进度控制中的工期优化和资源优化
摘 要
三控三管一协调是一种工程建设中建筑主体各方的工作。建筑、房地产以及建设监理基础工作的主要内容大致就分别包括“三控”、“三管”、“一协调”。建设工程进度控制的总目标是建设工期。进度计划是进度控制的依据，是实现工程项目工期目标的保证。
加强施工进度控制加强施工进度控制加强施工进度控制加强施工进度控制，按合同工期履约交竣工按合同工期履约交竣工按合同工期履约交竣工按合同工期履约交竣工，是施工企业生产组织的因此进度控制首先要编制一个完备的进度汁划重要工作内是施工企业生产组织的重要工作内是施工企业生产组织的重要工作内是施工企业生产组织的重要工作内容。进度控制的综合性措施包括组织措施、技术措施、合同措施等，进度控制所采取的措施主要有组织措施、技术措施、合同措施、经济措施和管理措施等。
施工项目进度控制方法主要是规划、控制和协调。规划是指确定施工项目总进度控制目标和分进度控制目标，并编制其进度计划。控制是指在施工项目实施的全过程中，进行施工实际进度与施工计划进度的比较，出现偏差及时采取措施调整。协调是指协调与施工进度有关的单位、部门和工作队组之间的进度关系
（1）建设单位因素：如建设单位因使用要求改变而进行的设计变更；不能及时提供建设场地而满足施工需要；不能及时向承包单位、材料供应单位付款；
（2）勘察设计因素：如勘察资料不准确，特别是地质资料有错误或遗漏；设计有缺陷或错误；设计对施工考虑不周，施工图供应不及时等；
（3）施工技术因素：如施工工艺错误；施工方案不合理等；
工期管理是项目管理的重要组成部分,工期管理的效果对建设项目的成败有着决定性.... 工期优化也称时间优化，就是当初始网络计划的计算工期大于要求工期时，通过压缩关键线路上工作的持续时间或调整工作关系，以满足工期要求的过程。在优化过程中，当出现多条关键线路时，必须将各条关键线路的持续时间压缩同一数值。否则，不能有效地将工期缩短。
浅析工程项目进度控制中的工期优化和资源优化
摘 要
三控三管一协调是一种工程建设中建筑主体各方的工作。建筑、房地产以及建设监理基础工作的主要内容大致就分别包括“三控”、“三管”、“一协调”。建设工程进度控制的总目标是建设工期。进度计划是进度控制的依据，是实现工程项目工期目标的保证。
加强施工进度控制加强施工进度控制加强施工进度控制加强施工进度控制，按合同工期履约交竣工按合同工期履约交竣工按合同工期履约交竣工按合同工期履约交竣工，是施工企业生产组织的因此进度控制首先要编制一个完备的进度汁划重要工作内是施工企业生产组织的重要工作内是施工企业生产组织的重要工作内是施工企业生产组织的重要工作内容。进度控制的综合性措施包括组织措施、技术措施、合同措施等，进度控制所采取的措施主要有组织措施、技术措施、合同措施、经济措施和管理措施等。
建筑工程施工组织电子课本
建筑工程施工组织电子课本第一章施工组织概述一、施工组织的概念建筑工程施工组织是指在建筑工程施工中，按照工程施工任务的要求和施工条件，合理组织施工过程，调配人力、物力、财力等资源，保证在规定的时间内按质量要求完成工程施工任务的一种管理活动。
施工组织是建筑工程管理的重要组成部分，是保证工程施工顺利进行、按质按时完成的关键。
二、施工组织的基本原则1. 效率原则施工组织要符合工程施工的效率要求，合理利用施工资源，提高施工效率，确保工程施工进度。
2. 经济原则施工组织要根据工程特点和施工条件，合理组织施工过程，控制施工成本，提高经济效益。
3. 安全原则施工组织要保障施工人员的安全，严格执行施工安全规程，防范施工安全事故的发生。
4. 环保原则施工组织要符合环保政策和法规要求，采取有效措施保护环境，减少对周围环境的影响。
三、施工组织的内容1. 施工方案施工方案是施工组织的核心内容，包括施工方法、流程、技术要求、工程量清单、施工进度等内容，是保证工程施工顺利进行的基础。
2. 施工计划施工计划是根据施工方案具体制定的施工时间表和进度计划，包括施工任务分解、工程进度计划、施工组织机构与分工、施工图纸和材料清单等内容。
3. 施工组织机构施工组织机构是建筑工程施工管理的组织架构，包括总包单位、子包单位、项目经理、工程师、技术员、监理单位等，各个单位之间协作配合，共同完成工程施工任务。
4. 施工现场管理施工现场管理是建筑工程施工管理的重要环节，包括现场安全管理、质量管理、进度管理、人员管理等内容，确保工程施工按照要求进行。
5. 施工技术措施施工技术措施是根据工程特点和施工条件制定的具体施工措施，包括施工方法、操作规程、质量要求、安全措施等内容，保证工程施工按要求完成。
第二章施工组织的流程一、施工前期准备1. 确定施工方案根据工程设计和施工条件，确定施工方案，包括施工方法、工期安排、施工组织机构、技术措施等内容。
2. 制定施工计划根据施工方案确定的施工任务，制定施工计划，包括工程进度计划、施工任务分解、材料清单、人员配备等内容，确保工程施工按计划进行。
锦州市人民政府办公厅关于印发锦州市建设工程项目优化审批流程实施办法（试行）的通知
锦州市人民政府办公厅关于印发锦州市建设工程项目优化审批流程实施办法（试行）的通知文章属性•【制定机关】锦州市人民政府办公厅•【公布日期】2016.09.09•【字号】锦政办发〔2016〕138号•【施行日期】2016.09.09•【效力等级】地方规范性文件•【时效性】现行有效•【主题分类】城市建设正文锦州市人民政府办公厅关于印发锦州市建设工程项目优化审批流程实施办法（试行）的通知锦政办发〔2016〕138号各县（市）区人民政府（管委会），市政府各部门：经市政府同意，现将《锦州市建设工程项目优化审批流程实施办法（试行）》印发给你们，请认真遵照执行。
锦州市人民政府办公厅2016年9月9日锦州市建设工程项目优化审批流程实施办法（试行）第一章总则第一条为深化投资领域审批制度改革，整合、规范、提升建设工程审批服务效能，在《锦州市人民政府办公厅关于印发锦州市建设工程项目优化审批流程方案（试行）的通知》（锦政办发〔2014〕92号）的基础上，进一步优化审批流程，制定本办法。
第二条本办法是在逐一梳理审批事项前置要件的基础上，打破部门界限和审批阶段界限，实施四次并联。
即：辅导并联、勘验并联、图审并联、审批并联。
第三条对审批流程进行充分辅导，招商引资类项目由招商部门组织对投资企业进行前期辅导，政府投资类项目由市发改委组织对项目单位进行前期辅导，为审批提速奠定基础。
第四条设定审批时限。
审批部门要提高审批效率，提高审批流程的规范化和标准化管理，确保在流程规定的时限内完成审批事项。
第二章招商引资类项目第五条审批流程：1.土地挂牌。
项目单位先到发改部门进行项目备案（即办）；再委托具有资质的中介机构编制环评，先由环保部门（审批局）出具环评初步意见，国土部门根据环评初步意见及土地基本情况进行挂牌，同时环保部门对环评情况按程序进行拟受理公示和拟审批公示。
土地挂牌至土地成交确认书期间需40天时间，在此期间项目单位委托具有资质中介编制能评、环评、水土保持方案、稳评、项目可研报告、安评、控规方案、详规、立面、初设、人防建设方案、施工图设计，用电、用水申请等（环评文件批复在建设工程规划许可证之前完成；水保方案、节能审查意见、稳评备案、安评、防雷装置设计审核可在施工许可前办理完成即可）。
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由假设可知，要证明 n=k +1时结论成立，只需证明
g k +1 与 g1 ,g 2 ,...,g k 正交，p k +1 与 p1 ,p 2 ,...,p k A共轭。 (a) 证明 g k +1 与 g1 ,g 2 ,...,g k 正交; 1 f ( x ), i 1, 因为 i p i i 1 f ( x ) p , i 2,..., n, i 1
共轭方向法---共轭方向的性质
性质4 设n元函数f(x)=1/2xTAx+bTx+c, A=AT正定，又设n维非零向量组p1, p2,…, pn是A 共轭向量组，从任意点x1出发，相继以p1, p2,…, pn 为搜索方向进行精确一维搜索，则
(1) ▽f(xk+1)与p1, p2,…, pk (k=1,2,…,n)正交；
共轭方向法和共轭梯度法
最速下降法，计算步骤简单，但收敛速度慢。
Newton法和阻尼Newton法都有一个优点：收敛速度快，但 需要计算Hesse矩阵和Hesse矩阵的逆矩阵，计算量和存储量都 很大。
需要寻找一种好的算法，这种算法能够兼有这两种方法的 优点，又能克服它们的缺点，即收敛速度快同时计算简单。 这就是要讨论的共轭方向法和共轭梯度法。
=0
结论(b)成立，进而结论(2)成立。
共轭梯度法
定理1：设向量组 p , p ,..., p 是由上述方法产生的向量组，向量
组 g1 , g 2 ,..., g n 是由各点的梯度生成的向量组， ( g k f ( x ) ) 则
k
1 2 n
(1) g1 , g 2 ,..., g n 是正交向量组；
( pi )T Ap j 0 (i j, j 1, 2,..., m)
则称这个向量组是A-共轭 (或A正交)向量组，也称它们是一组A共 轭方向。
共轭方向法---共轭方向的性质
性质1 在n维空间中与n个线性无关的向量都正交的一定是零向
量。 性质2 若Rn中的非零向量p1,p2,…, pm是A共轭向量组，则这m 个向量是线性无关的。 性质3 在n维空间中互相共轭的非零向量的个数不超过n。 性质4 设n元函数f(x)=1/2xTAx+bTx+c, A=AT正定，又设n维非零 向量组p1, p2,…, pn是A共轭向量组，从任意点x1出发，依次 以p1, p2,…, pn 为搜索方向进行精确一维搜索，则 (1) ▽f(xk+1)与p1, p2,…, pk (k=1,2,…,n)正交； (2) 最多n次迭代必达到二次函数f(x)的极小点。
(b) 证明 p k +1 与 p1 ,p 2 ,...,p k 是A共轭的;
k +1 k p 是A共轭的; p 与 p 由 的构造过程知， 下证 p k +1 与 p1 ,p 2 ,...,p k -1是A共轭的; i
p
k +1 T
Ap = gk +1 k p
i
k
T
Ap
i
共轭梯度法
令
1 T f ( x) x Ax bT x c, A AT 正定 2
1 1
2 1 1
(1) 从任取初始点x1 出发，沿负梯度方向进行精确一维搜索:
x x 1 p , p f ( x ) (2) 若 f ( x 2 ) 0 ，停止， 否则在 f ( x 2 ) 和 p1 张
1 2 n p , p ,..., p (2) 是A共轭向量组。
注：为保证方向的共轭性，初始方向取负梯度方向。
共轭梯度法
1 1
p f ( x ), k 1 k 1 k p f ( x ) p , k 1, 2,..., n 1, k k 1 T k f ( x ) Ap k . k T k ( p ) Ap
的公式，得到几个等价的计算公式：
f ( x k 1 )T Ap k ( gk +1 )T Apk (1) k k T k ( p ) Ap ( pk )T Apk ( Daniel ,1967)
(2) k ( Sorenson Wolfe,1972) T k T ((g g g g ) p +1)) ((g +1 kk +1 kk) (2) k k k ( Sorenson Wolfe,1972) T ( p ) ( gk +1 gk ) , g ,..., g n是正交向量组，因此(2) 利用定理1，可知 1 g 2 ( gk +1g )T T Tk +1 k ( Dixon Myers ,1972) (3) k gg p =0. 中 g k +1 g k =0 ; 并且 ( pk )T k+ k1 ( gk +1 )T gk +1 (3) k ( Dixon Myers,1972) k T ( p ) gk
p
证明：归纳法： 1 2 i p , p 是A共轭的，即 由 的构造过程知， p i n=2
2 T
Ap1 =0, 结论(2)成立；
T
利用精确一维搜索的性质知， g2 故 g 2 g1 =0, 结论(1)成立。
T
1 而 p = g1 , p =0,
1
ii 假设n=k时，结论(1)(2)成立,下证n=k +1时结论仍成立.
1 1
k 变形
针对一般的函数，将这组方向进行推广： 直接对(*)式推广：
A f x
2
k
能否将 k 中的A 去掉？ 怎么解决呢？
存在问题：计算量、存储量都很大
共轭梯度法
1 2 n 1 T T T 定理2：设 f ( x) x Ax b x c, A A 正定 ，向量组 p , p ,..., p 2 是由上述方法构造的A共轭向量组， gk f ( x k ) ，利用前面所得
共轭方向法计算效果好，应用广泛；
共轭梯度法是最著名的共轭方向法， 其搜索方向是与正定二次 函数的系数矩阵有关的共轭方向。
共轭方向法---共轭方向及其性质
定义1 n T 设 Ann 是对称正定矩阵，p,q R , 如果 p Aq=0, 则称向 量p 和q是A共轭的(或称为A正交)。 定义2 1 2 m p , p ,..., p 如果对有限个向量 ，有
每一个搜索方向都依赖迭代点处的 负梯度构造出来，对应的算法称为 共轭梯度法。
(*)
p1 , p 2 ,..., p n 是一个A共轭向量组
性质4 设n元函数f(x)=1/2xTAx+bTx+c, A=AT正定，又设n维非零
向量组p1, p2,…, pn是A共轭向量组，从任意点x1出发，相
继以p1, p2,…, pn 为搜索方向进行精确一维搜索，则 (1) ▽f(xk+1)与p1, p2,…, pk (k=1,2,…,n)正交；
(2) 最多n次迭代必达到正定二次函数f(x)的极小点。
共轭梯度法
针对 f(x)=1/2xTAx+bTx+c, A=AT正定，最多n次迭代达到极 小点找到了一组共轭方向：
p f ( x ), k 1 k 1 k p f ( x ) p , k 1, 2,..., n 1, k (*) k 1 T k f ( x ) Ap k . 在正定二次函数 k T k ( p ) Ap 的前提下，将
= g k +1 Ap
T
i
p
i =1,2,...,k -1
k
T
Api =0，i =1,2,...,k -1
gi +1 gi Axi 1 b gi A( xi i pi ) b gi i Api T g gi T i +1 k +1 T i i p Ap = gk +1 Ap = g k +1 i T T = 1/i g k +1 gi +1 gi g k +1 gi =0，i =1,2,...,k
所以
g
k +1
T
i g p , i 1, k +1 =0, gi = T i i 1 g p p , i 2,..., k , i 1 k +1 T
p1 ,p 2 ,...,p k是A共轭向量组，利用性质4(1)可知，
成的正交锥中找一个向量
p
2
，即令 p
2
f ( x ) 1 p
2
1
使得 p 与
1Leabharlann p 2共轭，即 ( p 2 )T Ap1 0.
f ( x 2 )T Ap1 1 ( p1 )T Ap1
1 ?
由( p 2 )T Ap1 0 (f ( x 2 ) 1 p1 )T Ap1 , 可得
证明：提示用归纳法。
共轭梯度法
定理1：设向量组 p1 , p 2 ,..., p n 是由上述方法产生的向量组，向量组 g1 , g 2 ,..., g n
是由各点的梯度生成的向量组， (g (1)
k
f ( x k ) ) 则
g1 , g 2 ,..., g n是正交向量组；
(2) p1 , p 2 ,..., p n是A共轭向量组。
g p =0, i 1,2,..., k , 共轭向量组，从任意点x 出发，相继以p , p ,…, p 为搜索方向进行精确一维搜索，则
Tx+c, A=AT正定，又设n维非零向量组p1, p2,…, pn是A T xTAx+b 性质4 设n元函数f(x)=1/2 i
g k +1 与 g1 ,g 2 ,...,g k 正交，p k +1 与 p1 ,p 2 ,...,p k A共轭。 (a) 证明 g k +1 与 g1 ,g 2 ,...,g k 正交; 1 f ( x ), i 1, 因为 i p i i 1 f ( x ) p , i 2,..., n, i 1
共轭方向法---共轭方向的性质
性质4 设n元函数f(x)=1/2xTAx+bTx+c, A=AT正定，又设n维非零向量组p1, p2,…, pn是A 共轭向量组，从任意点x1出发，相继以p1, p2,…, pn 为搜索方向进行精确一维搜索，则
(1) ▽f(xk+1)与p1, p2,…, pk (k=1,2,…,n)正交；
共轭方向法和共轭梯度法
最速下降法，计算步骤简单，但收敛速度慢。
Newton法和阻尼Newton法都有一个优点：收敛速度快，但 需要计算Hesse矩阵和Hesse矩阵的逆矩阵，计算量和存储量都 很大。
需要寻找一种好的算法，这种算法能够兼有这两种方法的 优点，又能克服它们的缺点，即收敛速度快同时计算简单。 这就是要讨论的共轭方向法和共轭梯度法。
=0
结论(b)成立，进而结论(2)成立。
共轭梯度法
定理1：设向量组 p , p ,..., p 是由上述方法产生的向量组，向量
组 g1 , g 2 ,..., g n 是由各点的梯度生成的向量组， ( g k f ( x ) ) 则
k
1 2 n
(1) g1 , g 2 ,..., g n 是正交向量组；
( pi )T Ap j 0 (i j, j 1, 2,..., m)
则称这个向量组是A-共轭 (或A正交)向量组，也称它们是一组A共 轭方向。
共轭方向法---共轭方向的性质
性质1 在n维空间中与n个线性无关的向量都正交的一定是零向
量。 性质2 若Rn中的非零向量p1,p2,…, pm是A共轭向量组，则这m 个向量是线性无关的。 性质3 在n维空间中互相共轭的非零向量的个数不超过n。 性质4 设n元函数f(x)=1/2xTAx+bTx+c, A=AT正定，又设n维非零 向量组p1, p2,…, pn是A共轭向量组，从任意点x1出发，依次 以p1, p2,…, pn 为搜索方向进行精确一维搜索，则 (1) ▽f(xk+1)与p1, p2,…, pk (k=1,2,…,n)正交； (2) 最多n次迭代必达到二次函数f(x)的极小点。
(b) 证明 p k +1 与 p1 ,p 2 ,...,p k 是A共轭的;
k +1 k p 是A共轭的; p 与 p 由 的构造过程知， 下证 p k +1 与 p1 ,p 2 ,...,p k -1是A共轭的; i
p
k +1 T
Ap = gk +1 k p
i
k
T
Ap
i
共轭梯度法
令
1 T f ( x) x Ax bT x c, A AT 正定 2
1 1
2 1 1
(1) 从任取初始点x1 出发，沿负梯度方向进行精确一维搜索:
x x 1 p , p f ( x ) (2) 若 f ( x 2 ) 0 ，停止， 否则在 f ( x 2 ) 和 p1 张
1 2 n p , p ,..., p (2) 是A共轭向量组。
注：为保证方向的共轭性，初始方向取负梯度方向。
共轭梯度法
1 1
p f ( x ), k 1 k 1 k p f ( x ) p , k 1, 2,..., n 1, k k 1 T k f ( x ) Ap k . k T k ( p ) Ap
的公式，得到几个等价的计算公式：
f ( x k 1 )T Ap k ( gk +1 )T Apk (1) k k T k ( p ) Ap ( pk )T Apk ( Daniel ,1967)
(2) k ( Sorenson Wolfe,1972) T k T ((g g g g ) p +1)) ((g +1 kk +1 kk) (2) k k k ( Sorenson Wolfe,1972) T ( p ) ( gk +1 gk ) , g ,..., g n是正交向量组，因此(2) 利用定理1，可知 1 g 2 ( gk +1g )T T Tk +1 k ( Dixon Myers ,1972) (3) k gg p =0. 中 g k +1 g k =0 ; 并且 ( pk )T k+ k1 ( gk +1 )T gk +1 (3) k ( Dixon Myers,1972) k T ( p ) gk
p
证明：归纳法： 1 2 i p , p 是A共轭的，即 由 的构造过程知， p i n=2
2 T
Ap1 =0, 结论(2)成立；
T
利用精确一维搜索的性质知， g2 故 g 2 g1 =0, 结论(1)成立。
T
1 而 p = g1 , p =0,
1
ii 假设n=k时，结论(1)(2)成立,下证n=k +1时结论仍成立.
1 1
k 变形
针对一般的函数，将这组方向进行推广： 直接对(*)式推广：
A f x
2
k
能否将 k 中的A 去掉？ 怎么解决呢？
存在问题：计算量、存储量都很大
共轭梯度法
1 2 n 1 T T T 定理2：设 f ( x) x Ax b x c, A A 正定 ，向量组 p , p ,..., p 2 是由上述方法构造的A共轭向量组， gk f ( x k ) ，利用前面所得
共轭方向法计算效果好，应用广泛；
共轭梯度法是最著名的共轭方向法， 其搜索方向是与正定二次 函数的系数矩阵有关的共轭方向。
共轭方向法---共轭方向及其性质
定义1 n T 设 Ann 是对称正定矩阵，p,q R , 如果 p Aq=0, 则称向 量p 和q是A共轭的(或称为A正交)。 定义2 1 2 m p , p ,..., p 如果对有限个向量 ，有
每一个搜索方向都依赖迭代点处的 负梯度构造出来，对应的算法称为 共轭梯度法。
(*)
p1 , p 2 ,..., p n 是一个A共轭向量组
性质4 设n元函数f(x)=1/2xTAx+bTx+c, A=AT正定，又设n维非零
向量组p1, p2,…, pn是A共轭向量组，从任意点x1出发，相
继以p1, p2,…, pn 为搜索方向进行精确一维搜索，则 (1) ▽f(xk+1)与p1, p2,…, pk (k=1,2,…,n)正交；
(2) 最多n次迭代必达到正定二次函数f(x)的极小点。
共轭梯度法
针对 f(x)=1/2xTAx+bTx+c, A=AT正定，最多n次迭代达到极 小点找到了一组共轭方向：
p f ( x ), k 1 k 1 k p f ( x ) p , k 1, 2,..., n 1, k (*) k 1 T k f ( x ) Ap k . 在正定二次函数 k T k ( p ) Ap 的前提下，将
= g k +1 Ap
T
i
p
i =1,2,...,k -1
k
T
Api =0，i =1,2,...,k -1
gi +1 gi Axi 1 b gi A( xi i pi ) b gi i Api T g gi T i +1 k +1 T i i p Ap = gk +1 Ap = g k +1 i T T = 1/i g k +1 gi +1 gi g k +1 gi =0，i =1,2,...,k
所以
g
k +1
T
i g p , i 1, k +1 =0, gi = T i i 1 g p p , i 2,..., k , i 1 k +1 T
p1 ,p 2 ,...,p k是A共轭向量组，利用性质4(1)可知，
成的正交锥中找一个向量
p
2
，即令 p
2
f ( x ) 1 p
2
1
使得 p 与
1Leabharlann p 2共轭，即 ( p 2 )T Ap1 0.
f ( x 2 )T Ap1 1 ( p1 )T Ap1
1 ?
由( p 2 )T Ap1 0 (f ( x 2 ) 1 p1 )T Ap1 , 可得
证明：提示用归纳法。
共轭梯度法
定理1：设向量组 p1 , p 2 ,..., p n 是由上述方法产生的向量组，向量组 g1 , g 2 ,..., g n
是由各点的梯度生成的向量组， (g (1)
k
f ( x k ) ) 则
g1 , g 2 ,..., g n是正交向量组；
(2) p1 , p 2 ,..., p n是A共轭向量组。
g p =0, i 1,2,..., k , 共轭向量组，从任意点x 出发，相继以p , p ,…, p 为搜索方向进行精确一维搜索，则
Tx+c, A=AT正定，又设n维非零向量组p1, p2,…, pn是A T xTAx+b 性质4 设n元函数f(x)=1/2 i