一些圆的性质及定理

一些圆的性质及定理

圆的基本性质

平面上到定点距离等于定长的点的集合

周长2πr（滚一圈），面积πr2（微元法）

切、割、弦、角

切线长定理

1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；

2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；

3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；

4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；

5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

圆周角定理

圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。（连接圆心和三点，利用等腰三角形。同时定理说明同一条弧所对的圆周角是相等的）

弦切角定理

弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角。（利用切点半径垂直于切线和半径相等构成等腰三角形）

圆内角和相交弦定理

1）圆内角：圆的两条弦在圆内相交所成的角叫做圆内角。

2）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等或经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。（对两个对顶圆内角作所在的三角形证相似）

切割线定理

切割线定理是指从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。（通过连接切点和割线与圆的交点，利用弦切角定理证明相似）

圆外角和割线定理

1）圆外角：过圆外一点作圆的两条割线所成的角叫做圆外角。

2）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。

（过圆外角定点作圆切线，用两次切割线定理）

圆幂定理

过一定点P作直线交⊙O于两点，点P与两交点所成线段长度乘积等于|OP2-r2|。（该定理是相交弦、切割线和割线定理的统一，可以分情况一一证明）

圆和三角形

三角形内心和内切圆

1）内心：三个内角角分线交点，记I

内心到三边距离相等（AAS），记r

2）内切圆：以内心为圆心半径为r的圆

三边所在直线为内切圆切线。

3）设I是△ABC的内心，则∠BIC=1/2(π+∠A)

4）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之也成立；

5）设p=1/2(a+b+c),三角形面积为S，则p r2=（p-a）（p-b）（p-c）=rS。

三角形外心和外切圆

1）外心：三边中垂线交点，记O

外心到三顶点距离相等（SAS），记R

2）外切圆：以外心为圆心半径为R的圆；

3）设O为△ABC的外心，则∠A=2∠BOC或∠A=2π-2∠BOC；

4）设△ABC面积为S，三边分别为a、b、c，则4RS=abc

5）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和；

6）r=4R sin（1/2∠A）sin（1/2∠B）sin（1/2∠C）；

7）设△ABC是锐角三角形，则内接圆半径与外接圆半径之和等于为外心到各边距离之和。三角形旁心和旁切圆

1）旁心：一内角分线和另外两外角分线交点，记I A、I B、I C

旁心到三边距离相等（AAS），记r a、r b、r c

2）旁切圆：以外心为圆心半径分别为r a、r b、r c的三个圆；

3）∠BI A C=1/2(π-∠A)，∠BI A C+∠BIC=π，∠BI B C=∠BI C C=1/2∠A；

4）∠I A I B I C=1/2(∠A+∠C)；

5）若AI A交△ABC的外接圆于D，则DI A=DB=DC；

6）△ABC为△I A I B I C的垂足三角形，设△I A I B I C的外接圆圆心为R I，则R I=2R；

7）r a=4R sin（1/2∠A）cos（1/2∠B）cos（1/2∠C）。

三角形垂心

1）垂心：三角形三条高的交点，记H

2）垂心关于三边对称点在外接圆上；

3）设△ABC垂心H，则△ABC、△ABH、△AHC、△HBC外接圆是等圆；

4）设△ABC垂心H、外心O，则∠BAO=∠HAC。

其它

1）九点共圆定理：三角形三边的中点，三条高的垂足，垂心与各顶点连线的中点这九点共圆，此圆称为九点圆

九点圆圆心是外心和垂心连线中点

外接圆半径等于九点圆直径

九点圆与内切圆和三个旁切圆相切

2）欧拉线：三角形外心、重心、垂心、九点圆圆心所在的共同直线；

3）欧拉公式：设△ABC中I与O距离为d，则d2=R2-2Rr。

其它

托勒密定理

圆内接四边形两组对边乘积之和等于等角线乘积

婆罗摩笈多公式

设四边形ABCD外接圆为⊙O，四边长分别为a、b、c、d，p=1/2(a+b+c+d)，四边形面积为S，则S2=（p-a）（p-b）（p-c）（p-d）