圆的基本性质教案

圆的基本性质
3.1 圆
1．圆的定义：
在同一平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆。

以点O 为圆心的圆作：“⊙O ”，读作：“圆O ”。

圆指的是封闭的曲线，而不是圆面。

２、点与圆的位置关系：
设⊙Ｏ的半径为r ，则点P 与⊙O 的位置关系有：
（１）点Ｐ在⊙Ｏ上 ＯＰ＝r
（２）点Ｐ在⊙Ｏ内 ＯＰ＜r
（３）点Ｐ在⊙Ｏ外 ＯＰ＞r
例题分析：
1、画图：已知Rt △ABC ，∠B=90°，试以点B 为圆心，BA 为半径画圆。

2、根据图形回答下列问题：
（1）看图想一想， Rt △ABC 的各个顶点与⊙B 在位置上有什么关系？
（2）在以上三种关系中，点到圆心的距离与圆的半径在数量上有什么关系？
３、证明几个点在同一个圆上的方法。

要证明几个点在同一个圆上，只要证明这几个点与一个定点的距离相等。

4.确定唯一的一个圆的条件：
（1）经过一个已知点能作无数个圆！
经过一个已知点并确定圆的半径同样也能作无数个圆，这些圆的圆心构成一个圆。

（2）经过两个已知点A 、B 能作无数个圆！这些圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上。

经过两个已知点A 、B 并确定圆的半径，能作几个圆呢？
（3）不在同一直线上的三个点确定一个圆。

（过三个已知点作圆时要考虑圆的存在性和唯一性）
（4）外接圆，外心的概念。

经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。

外心是△ABC 三条边的垂直平分线的交点
（5）对于不同的三角形，三角形外心的位置也不同。

锐角三角形的外心在三角形内部，
直角三角形的外心在直角三角形的斜边的中点上，
钝角三角形的外心在三角形的外部。

A
例题分析：
1、在直角三角形ABC 中，AB=6,BC=8,那么这个三角形的外接圆的直径是 。

2、 已知三角形ABC 内接于圆O ，且AB=AC ，圆O 的半径等于6cm ，O 到BC 的距离为2cm ，求AB 的长。

4、圆的轴对称性
（1）圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。

圆的对称轴有无数条。

注意：对称轴是直线，所以不能说圆的每一条直径都是它的对称轴。

(2)垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧。

推论：
（1）平分弦的直径也垂直于弦，并且平分弦所对的弧，（如果其中的弦为直径，则不成立。

因为两条直径总是互相平分的）
(2)平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。

（3）弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。

利用垂径定理及其推论进行相关证明时，常需要作出弦心距，垂足为弦的中点。

例题分析：
1、已知圆的两弦AB 、CD 的长是方程X 2-42X+432=0的两根，且AB//CD,又知两弦之间的距离为3，则圆的半径长是（ ）。

A 、12
B 、15
C 、12或15
D 、21
2、如图，矩形ABCD 的边AB 过圆O 的圆心，且O 为AB 中点，E 、P 分别AB 、CD 与圆O 的交点，若AE ＝3㎝，AD ＝4
㎝，DP ＝5㎝，则圆O 的直径＝ 。

3、如图，P 为⊙O 的弦BA 延长线上一点，PA ＝AB ＝2，PO ＝5，求⊙O 的半径。

5、圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°圆周角所对的弦是直径。

同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

（其中同弧或等弧不能改为同弦或等弦。

一条弦对应的圆周角分布在弦的两侧，并且两侧圆周角之间互为补角。

）
##在圆心角和圆周角的关系中，所有圆心角和圆周角的等量关系中都要通过他们所对的弧进行转换。

O P B A
相关补充：
（1）圆的内接四边形的概念。

圆的内接四边形中，四边形的对角互补。

圆的内接平行四边形为矩形。

圆的内接梯形一定为等腰梯形。

（2）灯塔原理：确定点与圆的位置关系的另一种判别形式。

圆内角、圆外角的概念。

例题分析：
1、已知：⊙O 的半径为6，AB 为圆O 的弦，AB=6，则弦AB 所对的圆心角为 度，弦AB 所对的圆周角为 度 。

2、如图，在⊙O 中，AB 为直径，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，则∠ABD= °.
3、如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A=45°，BC=2，求⊙O 的面积。

4、如图，在三角形ABC 中，角A=70°，圆O 截三角形ABC 的三条边所得的弦长相等， 则角BOC= 。

6、弧长及扇形的面积圆锥的侧面积和全面积
（1）在半径为R 的圆上，n 0的圆心角所对的弧长l 的的计算公式为180
n R l π= 由上述弧长公式可推出：180l n R π=，180l R n π
= （2）如果扇形的半径为R ，圆心角为n 0，扇形的弧长为l ，那么扇形面积的计算公式为：
213602
n R S lR π==.
B C A
O
如果弓形的面积是S ，弓形所在扇形的面积是S 1，圆心角是n 0，扇形的两条半径与弓形的弦所成的三角形面积是S 2，则当n ＝1800时，S=S 1；当n ＜1800时，S=S 1-S 2；当n > 1800时，S=S 1+S 2 .
（3）圆锥可以看做是一个直角三角形绕它的一条直角边旋转一周所成的图形，斜边旋转而成的曲面叫做面锥的侧面．无论转到什么位置，这条科边都叫做圆锥的母线，另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面如果记圆锥的高线长为h ，地面半径为r ，母线长为l ，则h 2+r 2=2l .
圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长l ，弧长是圆锥的底面周长
C =2лr ，侧面积S 侧=лr l .
（4）圆锥的侧面积与底面积的和叫圆锥的全面积（或表面积）．S 全=2
rl r ππ+
其中，（1）、（2）中的L 代表扇形的弧长，与（3）中的L 表示的意义不一样。

（3）中的L 表示圆锥的侧面展开图的扇形的半径。

圆锥的底面圆的周长为圆锥的侧面展开图的扇形的弧长。

例题分析：
1、如图，在Rt △ABC 中，∠C=900，∠A=600
将△ABC 绕点B 旋转至△A'B'C'的位置，且使 A ，B ( B'), C'三点在同一直线上，则点A 经过的最短路线长是 .
2、如图，同心圆中，两圆半径分别为2和1,∠AOB=1200，则阴影部分的面积为（ )
A ．л B.2л C.4л D.43
π 3、如图，在Rt △ABC 中，AC=BC ，以A 为圆心画弧 DF
，交AB 于点D ，交AC 延长线于点F ，交BC 于点E ，若图中两个阴影部分的面积相等，求AC 与AF 的长度之比（л取3 ) .
第3题
4、如图，在△ABC中，∠C =Rt∠， AC > BC 若以AC为底面圆半径，
BC为高的圆锥的侧面积为S1，以BC为底面圆半径，AC为高的圆锥
的侧面积为S2，则（）
A . S1 = S2 B.S1 > S2 C. S1 < S2 D. S1、S2的大小关系不确定
5、圆锥的底面半径是R，母线长是3R，M是底面圆周上一点，从点M拉一根绳子绕圆锥一
圈，再回到M点，求这根绳子的最短长度．
6、如图，花园边墙上有一宽为lm的矩形门ABCD，量得门框对角线AC的长为2m ，现准备
打掉部分墙体，使其变为以AC为直径的圆弧形门，问要打掉墙体的面积是多少？（精
确到0.lm2，л≈3.14 1 . 73 )。